Ъглов диаметър на земята. Издигането на Земята на Луната ... често срещано явление. Ъглов диаметър на Земята и Слънцето

Ако сегмент с дължина D е перпендикулярен на линията на наблюдение (освен това е нейният среден перпендикуляр) и се намира на разстояние L от наблюдателя, точната формула за ъгловия размер на този сегмент е:. Ако размерът на тялото D е малък в сравнение с разстоянието от наблюдателя L, тогава ъгловият размер (в радиани) се определя от съотношението D / L, тъй като за малки ъгли. Тъй като тялото се отдалечава от наблюдателя (увеличавайки L), ъгловият размер на тялото намалява.

Концепцията за ъглов размер е много важна в геометричната оптика и особено по отношение на органа на зрението – окото. Окото е в състояние да регистрира точно ъгловия размер на обект. Неговият реален линеен размер се определя от мозъка чрез оценка на разстоянието до обекта и от сравнение с други, вече известни тела.

В астрономията

Обикновено се нарича ъглов размер на астрономически обект, гледан от Земята ъглов диаметърили видим диаметър... Поради отдалечеността на всички обекти, ъгловите диаметри на планетите и звездите са много малки и се измерват в ъглови минути (′) и секунди (″). Например, средният видим диаметър на Луната е 31′05 ″ (поради елиптичността на лунната орбита, ъгловият размер варира от 29′24 ″ до 33′40 ″). Средният видим диаметър на Слънцето е 31′59 ″ (варира от 31′27 ″ до 32′31 ″). Видимите диаметри на звездите са изключително малки и само при няколко светила достигат няколко стотни от секундата.

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "Ъглов диаметър" в други речници:

ЪГЛОВ ДИАМЕТЪР, в астрономията, привидният диаметър на небесно тяло, изразен в ъглови единици (обикновено в дъгови градуси и минути). Това е ъгълът, чийто връх е окото на наблюдателя, а основата на който е видимият диаметър на наблюдаваното тяло. Ако знаеш ... ... Научно-технически енциклопедичен речник

ъглов диаметър- - [А.С. Голдбърг. Английският руски енергиен речник. 2006] Теми енергия като цяло EN ъглов диаметър…

Привидният диаметър на обект, измерен в ъглови единици, т.е. в радиани, градуси, дъгови минути или секунди. Ъгловият диаметър зависи както от истинския диаметър, така и от разстоянието до обекта ... Астрономически речник

ъглов диаметър- kampinis skersmuo statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. ъглов диаметър; привиден диаметър vok. scheinbare Durchmesser, m; Winkeldurchmesser, m rus. видим диаметър, m; ъглов диаметър, m pranc. diamètre angulaire, m; diamètre apparent, m… Fizikos terminų žodynas

ъглов диаметър на приемника- (η2) Ъгълът, под който се наблюдава най-голямата видима площ на приемника от първоначалния център (β1 = β2 = 0 °). [GOST R 41.104 2002] Предмети на моторни превозни средства ... Ръководство за технически преводач

ъглов диаметър на отразяващ образец- (η1) Ъгълът, под който се наблюдава най-голямата видима площ на отразяващия образец, или от центъра на източника на светлина, или от центъра на приемника (β1 = β2 = 0 °). [GOST R 41.104 2002] Предмети на моторни превозни средства ... Ръководство за технически преводач

ъглов диаметър на приемника (η 2)- 2.4.3 ъглов диаметър на приемника (η2): Ъгълът, под който се наблюдава най-голямата видима площ на приемника от референтния център (b1 = b2 = 0 °). Източник …

ъглов диаметър на отразяващия образец (η 1)- 2.4.2 ъглов диаметър на светлоотразителния образец (η1): Ъгълът, под който се наблюдава най-голямата видима площ на светлоотразителния образец, или от центъра на източника на светлина, или от центъра на приемника (b1 = b2 = 0 °). Източник … Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

В първоначалното си значение това е отсечка, която свързва две точки на окръжност и минава през центъра на окръжността, както и дължината на този сегмент. Диаметърът е равен на два радиуса. Съдържание 1 Диаметър на геометричните форми ... Wikipedia

Диаметърът на видимия диск на тези звезди, изразен в ъглова мярка. Познавайки видимия диаметър и разстоянието от Земята, е лесно да се изчислят истинските размери на звездите. Ъгловият диаметър се променя в зависимост от разстоянието и тъй като всички движения на звездите са свързани ... Енциклопедичен речник на F.A. Брокхаус и И.А. Ефрон

Луната е най-големият обект на звездното нощно небе. Древните гърци са успели да изчислят приблизителния диаметър на луната.

- петият по големина естествен спътник в Слънчевата система, превъзхождан по размер само от три спътника на Юпитер и една луна на Сатурн. Луната не е много по-малка от Меркурий, най-малката от планетите и половината от размера на Марс. По отношение на размера на своята планета Луната е на първо място сред спътниците.

Размери (редактиране)

Поради въртене около оста той е леко "сплескан" при полюсите, диаметърът му при полюсната линия е 3471,94 km, а при екваторната линия - 3476,28 km, което е около една четвърт от диаметъра на Земята. Тъй като нашият спътник има сферична форма, могат да бъдат изчислени други геометрични размери: дължината на екватора на Луната е 10 920 km, обемът на нашия спътник е 1/50 от земния, а площта на повърхността е 13 пъти по-малка от тази на земя.

Диаметър на ъгъла

Тъй като лунната орбита е елипса, ъгловият диаметър на Луната се променя от 33'40 "в най-близката точка - апогей, до 29'24" в най-отдалечената точка - перигей. Когато е ниско над хоризонта, той изглежда по-голям, отколкото в зенита си, поради оптична илюзия, която все още не е обяснена. Ъгловите размери на спътника почти съвпадат с ъгловите, поради което са възможни пълно слънчево затъмнение, когато лунният диск напълно покрива слънчевия.

Как се измерва

Аристарх от Самос е първият, който се опитва да определи диаметъра на луната през 3 век пр.н.е. NS въз основа на измервания, направени по време на слънчево затъмнение и последващи изчисления, базирани на евклидова геометрия. Поради грешката в измерването изчисленията се оказаха неточни. Сто години по-късно

Небето над главата е най-старият учебник по геометрия. Първите понятия като точка и окръжност са от там. По-скоро дори не учебник, а проблемна книга. В която няма страница с отговори. Два кръга с еднакъв размер - слънцето и луната - се движат по небето, всеки със собствена скорост. Останалите обекти - светещи точки - всички се движат заедно, сякаш са прикрепени към сфера, въртяща се със скорост от 1 оборот за 24 часа. Вярно е, че има изключения сред тях - 5 точки се движат както си искат. За тях е избрана специална дума - "планета", на гръцки - "скитник". Откакто съществува човечеството, то се опитва да разбере законите на това вечно движение. Първият пробив настъпва през 3-ти век пр.н.е., когато гръцките учени, възприели младата наука за геометрията, успяват да получат първите резултати за структурата на Вселената. Това ще бъде обсъдено.

За да получите някаква представа за сложността на проблема, помислете за пример. Представете си светеща топка с диаметър 10 см, висяща неподвижно в пространството. Да го наречем С.Около него се изтегля малка топка на разстояние малко над 10 метра Зс диаметър 1 милиметър и около Зна разстояние 6 см се изтегля много мъничка топка L,диаметърът му е четвърт милиметър. На повърхността на средната топка Змикроскопични същества живеят. Имат някакъв вид интелигентност, но не могат да напуснат границите на своята топка. Всичко, което могат да направят, е да погледнат другите две топки - Си Л.Въпросът е дали могат да намерят диаметрите на тези топки и да измерят разстоянията до тях? Както и да мислите, това ще изглежда безнадежден бизнес. Начертахме силно намален модел на слънчевата система ( С -Слънцето, Z -земя, L -Луна).

Това е задачата, стояща пред древните астрономи. И те го решиха! Преди повече от 22 века, без да използвам нищо освен най-елементарната геометрия - на ниво 8 клас (свойства на права и окръжност, подобни триъгълници и питагоровата теорема). И, разбира се, гледане на луната и слънцето.

Няколко учени са работили върху решението. Ще подчертаем две. Това е математикът Ератостен, който измерил радиуса на земното кълбо, и астрономът Аристарх, който изчислил размерите на Луната, Слънцето и разстоянието до тях. Как го направиха?

Как се измерва глобусът

Хората отдавна знаят, че Земята не е плоска. Древните мореплаватели наблюдаваха как картината на звездното небе постепенно се променя: стават видими нови съзвездия, докато други, напротив, излизат отвъд хоризонта. Корабите, които плават в далечината, „минават под вода“, а последните изчезват от погледа върховете на мачтите им. Кой е първият, който изрази идеята за сферичността на Земята, не е известно. Най-вероятно - питагорейците, които смятаха топката за най-съвършената от фигурите. Век и половина по-късно Аристотел предоставя няколко доказателства, че Земята е топка. Основното: по време на лунно затъмнение сянка от Земята се вижда ясно на повърхността на Луната и тази сянка е кръгла! Оттогава се правят постоянни опити за измерване на радиуса на земното кълбо. Два прости метода са описани в упражнения 1 и 2. Измерванията обаче са получени неточни. Аристотел, например, греши повече от един и половина пъти. Смята се, че първият, който успява да направи това с висока точност, е гръцкият математик Ератостен от Кирена (276-194 г. пр. н. е.). Името му вече е известно на всички благодарение на ситото на Ератостен -начин за намиране на прости числа (фиг. 1).

Ако изтриете едно от естествения ред, след това изтрийте всички четни числа с изключение на първото (самото число 2), след това всички числа, които са кратни на три, с изключение на първото от тях (числото 3) и т.н., тогава само простите числа ще останат в резултат ... Сред съвременниците си Ератостен е известен като голям учен-енциклопедик, който се занимава не само с математика, но и с география, картография и астрономия. Дълго време оглавява Александрийската библиотека - центърът на световната наука по това време. Докато работеше по съставянето на първия атлас на Земята (разбира се, ставаше дума за известна по това време част от него), той решава да направи точно измерване на земното кълбо. Идеята беше тази. В Александрия всички знаеха, че на юг, в град Сиена (днешен Асуан), един ден в годината, по обяд, Слънцето достига своя зенит. Сянката на вертикалния стълб изчезва, дъното на кладенеца се осветява за няколко минути. Това се случва в деня на лятното слънцестоене, 22 юни - денят на най-високото положение на Слънцето в небето. Ератостен изпраща своите помощници в Сиена и те установяват, че точно по обяд (слънчев часовник) Слънцето е точно в зенита си. Едновременно (както пише в първоизточника: „в същия час“), тоест по обяд според слънчевия часовник, Ератостен измерва дължината на сянката от вертикалния полюс в Александрия. Получи се триъгълник ABC (КАТО- стълб, AB- сянка, фиг. 2).

И така, слънчев лъч в Сиена ( н) е перпендикулярна на повърхността на Земята, което означава, че минава през нейния център - точката З... Лъч, успореден на него в Александрия ( А) прави ъгълът γ = ACBс вертикално. Използвайки равенството на пресичащите се ъгли за успоредни ъгли, заключаваме, че AZN= γ. Ако означим с лобиколката и след това NSдължината на дъгата му AN, тогава получаваме пропорцията. Ъгъл γ в триъгълник ABCЕратостен измери, оказа се 7,2 °. Количеството NS -нищо повече от дължината на пътя от Александрия до Сиена, около 800 км. Ератостен го изчислява точно въз основа на средното време за пътуване на кервани с камили, които редовно са пътували между двата града, както и на базата на данни бематистов -хора от специална професия, които измерваха разстоянията със стъпки. Сега остава да решим пропорцията, след като получим обиколката (т.е. дължината на земния меридиан) л= 40 000 км. След това радиусът на Земята Ре равно на л/ (2π), е около 6400 км. Фактът, че дължината на земния меридиан се изразява в такова кръгло число от 40 000 km не е изненадващо, ако си припомним, че единицата за дължина от 1 метър е въведена (във Франция в края на 18 век) като една четиридесет- милионна част от обиколката на Земята (по дефиниция!). Ератостен, разбира се, използва различна мерна единица - етапи(около 200 м). Имаше няколко етапа: египетски, гръцки, вавилонски и кой от тях е използвал Ератостен не е известно. Поради това е трудно да се прецени със сигурност за точността на измерването му. Освен това неизбежната грешка е възникнала поради географското разположение на двата града. Ератостен разсъждава по следния начин: ако градовете са на един и същ меридиан (тоест Александрия се намира точно на север от Сиена), тогава пладне в тях настъпва по едно и също време. Следователно, след като направихме измервания в момента на най-високото положение на Слънцето във всеки град, трябва да получим правилния резултат. Но всъщност Александрия и Сиена не са на един и същи меридиан. Сега е лесно да се убедите в това, като погледнете картата, но Ератостен не е имал такава възможност, той просто е работил върху съставянето на първите карти. Следователно неговият метод (абсолютно правилен!) Довел до грешка при определянето на радиуса на Земята. Въпреки това много изследователи са уверени, че точността на измерването на Ератостен е била висока и че той е сгрешил с по-малко от 2%. Човечеството успя да подобри този резултат едва след 2 хиляди години, в средата на 19 век. Над това работиха група учени във Франция и експедиция на В. Я. Струве в Русия. Дори в ерата на големите географски открития, през 16-ти век, хората не са могли да постигнат резултата на Ератостен и са използвали неправилната стойност на земната обиколка от 37 000 км. Нито Колумб, нито Магелан знаеха какви са истинските измерения на Земята и какви разстояния ще трябва да изминат. Те вярвали, че дължината на екватора е с 3 хиляди километра по-малка, отколкото е в действителност. Ако знаеха, може би нямаше да плуват.

Каква е причината за толкова висока точност на метода на Ератостен (разбира се, ако той използва необходимите сцена)? Преди него бяха измервания местен,На разстояния, видими за човешкото око, т.е. не повече от 100 км. Това са например методите в упражнения 1 и 2. В този случай грешките са неизбежни поради терена, атмосферни явления и т. н. За да постигнете по-голяма точност, трябва да направите измервания глобално, на разстояния, сравними с радиуса на Земята. Разстоянието от 800 км между Александрия и Сиена беше напълно достатъчно.

Упражнения
1. Как да изчислим радиуса на Земята от следните данни: от планина с височина 500 m можете да видите околността на разстояние 80 km?
2. Как да изчислим радиуса на Земята от следните данни: кораб с височина 20 m, плаващ на 16 км от брега, напълно изчезва от погледа?
3. Двама приятели, единият в Москва, другият в Тула, вземат един метров стълб и ги поставят вертикално. В момента, през деня, когато сянката от стълба достигне най-малката си дължина, всеки от тях измерва дължината на сянката. В Москва се оказа асм, а в Тула - бвиж Изразете радиуса на Земята чрез аи б.Градовете са разположени на един и същ меридиан на разстояние 185 км.

Както се вижда от упражнение 3, експериментът на Ератостен може да се направи в нашите географски ширини, където Слънцето никога не е в зенита си. Вярно е, че това изисква две точки задължително на един и същ меридиан. Ако повторим опита на Ератостен за Александрия и Сиена и в същото време направим измервания в тези градове по едно и също време (сега има технически възможности за това), тогава ще получим правилния отговор и няма да има значение за какъв меридиан се намира Сиена (защо?).

Как са измерени Луната и Слънцето. Три стъпки на Аристарх

Гръцкият остров Самос в Егейско море сега е провинция на пустинята. Четиридесет километра дълга, осем широка. Трима от най-големите гении са родени на този малък остров по различно време - математикът Питагор, философът Епикур и астрономът Аристарх. Малко се знае за живота на Аристарх от Самос. Датите на живота са приблизителни: роден около 310 г. пр. н. е., починал около 230 г. пр. н. е. Не знаем как е изглеждал, нито едно изображение не е оцеляло (модерният паметник на Аристарх в гръцкия град Солун е просто фантазия на скулптора). Дълги години прекарва в Александрия, където работи в библиотеката и в обсерваторията. Основното му постижение - книгата "За величините и разстоянията на Слънцето и Луната" - според единодушното мнение на историците, е истински научен подвиг. В него той изчислява радиуса на слънцето, радиуса на луната и разстоянието от земята до луната и до слънцето. Той го направи сам, използвайки много проста геометрия и добре познатите резултати от наблюдения на Слънцето и Луната. Аристарх не се спира на това, той прави няколко важни заключения за структурата на Вселената, които са много изпреварили времето си. Неслучайно по-късно е наречен „Коперник от Античността”.

Изчислението на Аристарх може грубо да бъде разделено на три стъпки. Всяка стъпка се свежда до прост геометричен проблем. Първите две стъпки са доста елементарни, третата е малко по-трудна. В геометричните конструкции ще означаваме с З, Си Лцентрове на Земята, Слънцето и Луната, съответно и през Р, R sи R lса техните радиуси. Всички небесни тела ще се считат за топки, а техните орбити - за кръгове, както вярваше самият Аристарх (въпреки че, както сега знаем, това не е съвсем вярно). Започваме с първата стъпка и за това ще наблюдаваме малко Луната.

Стъпка 1. Колко пъти Слънцето е по-далече от Луната?

Както знаете, луната свети с отразена слънчева светлина. Ако вземете топка и я осветите с голям прожектор отстрани, тогава във всяка позиция точно половината от повърхността на топката ще бъде осветена. Границата на осветеното полукълбо е окръжност, лежаща в равнина, перпендикулярна на лъчите на светлината. Така Слънцето винаги осветява точно половината от повърхността на Луната. Формата на луната, която виждаме, зависи от това как се намира тази осветена половина. В Новолуниекогато луната изобщо не се вижда на небето, слънцето осветява обратната му страна. Тогава осветеното полукълбо постепенно се обръща към Земята. Започваме да виждаме тънък полумесец, след това месец („нарастваща луна“), след това полукръг (тази фаза на луната се нарича „квадратура“). След това от ден на ден (или по-скоро нощ от нощ) полукръгът нараства до пълнолуние. След това започва обратният процес: осветеното полукълбо се отвръща от нас. Луната "остарява", постепенно се превръща в месец, обърна се към нас с лявата си страна, като буквата "C", и накрая, в нощта на новолунието тя изчезва. Периодът от едно новолуние до следващото продължава приблизително четири седмици. През това време Луната прави пълен оборот около Земята. Една четвърт от периода преминава от новолуние до половината на луната, откъдето идва и името „квадрат“.

Забележителното предположение на Аристарх беше, че при квадратурата слънчевите лъчи, осветяващи половината от луната, са перпендикулярни на линията, свързваща луната със земята. Така че в триъгълник ZLSъгъл на върха L -права линия (фиг. 3). Ако сега измерете ъгъла LZS, ние го означаваме с α, тогава получаваме, че = cos α. За простота приемаме, че наблюдателят е в центъра на Земята. Това няма да повлияе значително на резултата, тъй като разстоянията от Земята до Луната и до Слънцето значително надвишават радиуса на Земята. И така, след като измерим ъгъла α между лъчите ZLи ZSдокато прави квадратура, Аристарх изчислява съотношението на разстоянията до луната и слънцето. Как да хванем Слънцето и Луната в небето едновременно? Това може да се направи рано сутрин. Трудността възниква по друга, неочаквана причина. По времето на Аристарх не е имало косинуси. Първите понятия за тригонометрия ще се появят по-късно, в произведенията на Аполоний и Архимед. Но Аристарх знаеше какво представляват такива триъгълници и това беше достатъчно. Като начертаете малък правоъгълен триъгълник Z "L" S "със същия остър ъгъл α = L "Z" S "и измервайки страните му, намираме, че и това съотношение е приблизително равно на 1/400.

Стъпка 2. Колко пъти Слънцето е по-голямо от Луната?

За да намери съотношението на радиусите на Слънцето и Луната, Аристарх използва слънчеви затъмнения (фиг. 4). Те се появяват, когато Луната закрива Слънцето. С частично или, както казват астрономите, частен, затъмнение, Луната преминава само над диска на Слънцето, без да го покрива напълно. Понякога такова затъмнение дори не може да се види с просто око, слънцето грее като в нормален ден. Само чрез силно потъмняване, например опушено стъкло, може да се види как част от слънчевия диск е покрита с черен кръг. Много по-рядко се случва пълно затъмнение, когато Луната напълно покрива слънчевия диск за няколко минути.

По това време става тъмно, на небето се появяват звезди. Затъмненията ужасяваха древните хора, смятаха се за предвестници на трагедии. Слънчевото затъмнение се наблюдава по различни начини в различните части на Земята. По време на пълно затъмнение на земната повърхност се появява сянка от Луната – кръг, чийто диаметър не надвишава 270 км. Само в онези региони на земното кълбо, през които минава тази сянка, може да се наблюдава пълно затъмнение. Следователно на едно и също място пълно затъмнение се случва изключително рядко - средно веднъж на всеки 200-300 години. Аристарх имаше късмет - успя да наблюдава пълно слънчево затъмнение със собствените си очи. В безоблачното небе Слънцето постепенно започна да намалява и да намалява в размерите си и се установи здрач. За няколко мига Слънцето изчезна. Тогава през него надникна първият лъч светлина, слънчевият диск започна да расте и скоро Слънцето засия с пълна сила. Защо едно затъмнение продължава толкова кратко? Аристарх отговаря: причината е, че Луната има същите видими размери на небето като Слънцето. Какво означава? Нека начертаем равнина през центровете на Земята, Слънцето и Луната. Получената секция е показана на фигура 5. а... Ъгъл между допирателните, изтеглени от точка Здо обиколката на луната се нарича ъглов размерЛуната или тя ъглов диаметър.Определя се и ъгловият размер на Слънцето. Ако ъгловите диаметри на Слънцето и Луната съвпадат, тогава те имат еднакви видими размери на небето и по време на затъмнение Луната наистина напълно закрива Слънцето (фиг. 5 б), но само за момент, когато лъчите съвпадат ZLи ZS... Снимката на пълно слънчево затъмнение (виж фиг. 4) ясно показва равенството на размерите.

Заключението на Аристарх се оказа удивително точно! В действителност средните ъглови диаметри на Слънцето и Луната се различават само с 1,5%. Принудени сме да говорим за средните диаметри, тъй като те се променят през годината, тъй като планетите се движат не в кръг, а в елипси.

Свързване на центъра на земята Зс центровете на слънцето Си луната Ла също и с допирни точки Ри В, получаваме два правоъгълни триъгълника ZSPи ZLQ(виж фиг. 5 а). Те са сходни по това, че имат двойка равни остри ъгли β / 2. следователно, ... Поради това, съотношението на радиусите на слънцето и луната е равно на съотношението на разстоянията от техните центрове до центъра на Земята... Така, R s/R l= κ = 400. Въпреки факта, че видимите им размери са равни, Слънцето се оказва 400 пъти по-голямо от Луната!

Равенството на ъгловите размери на Луната и Слънцето е щастливо съвпадение. Това не следва от законите на механиката. Много планети от Слънчевата система имат спътници: Марс има два, Юпитер има четири (и няколко десетки по-малки) и всички те имат различни ъглови размери, които не съвпадат със слънчевия.

Сега преминаваме към решаващата и най-трудна стъпка.

Стъпка 3. Изчисляване на размера на Слънцето и Луната и техните разстояния

И така, ние знаем съотношението на размерите на Слънцето и Луната и съотношението на техните разстояния до Земята. Тази информация роднина: възстановява картината на околния свят само до подобие. Можете да премахнете Луната и Слънцето от Земята 10 пъти, като увеличите размера им със същото количество и картината, която се вижда от Земята, ще остане същата. За да намерите реалните размери на небесните тела, трябва да ги съпоставите с известен размер. Но от всички астрономически стойности Аристарх досега знае само радиуса на земното кълбо. R = 6400 км Ще помогне ли? Появява ли се радиусът на Земята в някое от видимите явления, случващи се в небето? Неслучайно казват "небето и земята", имайки предвид две несъвместими неща. И все пак има такъв феномен. Това е лунно затъмнение. С негова помощ, прилагайки доста умна геометрична конструкция, Аристарх изчислява съотношението на радиуса на Слънцето към радиуса на Земята и веригата се затваря: сега едновременно намираме радиуса на Луната, радиуса на Слънцето и в същото време разстоянието от Луната и от Слънцето до Земята.

С лунно затъмнение Луната отива в сянката на Земята. Скривайки се зад Земята, Луната е лишена от слънчева светлина и по този начин престава да свети. Той не изчезва напълно от погледа, тъй като малка част от слънчевата светлина се разпръсква от земната атмосфера и достига до Луната, заобикаляйки земята. Луната потъмнява, придобивайки червеникав оттенък (червените и оранжевите лъчи преминават най-добре през атмосферата). В същото време на лунния диск ясно се вижда сянката от Земята (фиг. 6). Кръглата форма на сянката още веднъж потвърждава сферичността на Земята. Аристарх се интересуваше от размера на тази сянка. За да определите радиуса на кръга на земната сянка (ще направим това от снимката на фигура 6), достатъчно е да решите просто упражнение.

Упражнение 4.Върху равнина е дадена кръгова дъга. С помощта на пергел и линийка начертайте сегмент, равен на радиуса му.

След завършване на конструкцията установяваме, че радиусът на земната сянка е приблизително два пъти по-голям от радиуса на Луната. Нека сега се обърнем към фигура 7. Областта на земната сянка, в която Луната попада по време на затъмнение, е боядисана в сиво. Да предположим, че центровете на кръговете С, Зи Ллежат на една права линия. Нека начертаем диаметъра на луната М 1 М 2 перпендикулярно на права линия LSПродължението на този диаметър пресича общите допирателни на окръжностите на Слънцето и Земята в точки д 1 и д 2. След това сегментът д 1 д 2 е приблизително равно на диаметъра на земната сянка. Стигнахме до следващия проблем.

Цел 1.Дадени са три кръга с центрове С, Зи Ллежащи на една права линия. Раздел д 1 д 2 преминаващи през Л, перпендикулярно на правата линия SL, а краищата му лежат върху общи външни допирателни към първата и втората окръжност. Известно е, че съотношението на сегмента д 1 д 2 към диаметъра на третия кръг е T, а съотношението на диаметрите на първия и третия кръг е ZS/ZL= κ. Намерете съотношението на диаметрите на първия и втория кръг.

Ако този проблем бъде решен, тогава ще бъде намерено съотношението на радиусите на Слънцето и Земята. Това означава, че ще бъде намерен радиусът на Слънцето, а с него и на Луната. Но няма да е възможно да се реши. Можете да опитате - една информация липсва в задачата. Например ъгълът между общите външни допирателни към първите две окръжности. Но дори и този ъгъл да беше известен, решението щеше да използва тригонометрия, която Аристарх не знаеше (формулираме съответния проблем в упражнение 6). Той намира по-лесен изход. Нека начертаем диаметъра А 1 А 2 първи кръг и диаметър Б 1 Б 2 второ, и двете са успоредни на правата д 1 д 2 . Нека бъде ° С 1 и С 2 - точки на пресичане на сегмента д 1 д 2 с прави А 1 Б 1 и А 2 V 2 съответно (фиг. 8). След това приемаме сегмента като диаметъра на земната сянка ° С 1 ° С 2 вместо сегмент д 1 д 2. Спри, спри! Какво означава „вземете един сегмент вместо друг“? Те не са равни! Раздел ° С 1 ° С 2 лежи вътре в сегмента д 1 д 2 означава ° С 1 ° С 2 <д 1 д 2. Да, сегментите са различни, но те почти равни.Факт е, че разстоянието от Земята до Слънцето е много пъти по-голямо от диаметъра на Слънцето (около 215 пъти). Следователно разстоянието ZSмежду центровете на първия и втория кръг значително надвишава техните диаметри. Това означава, че ъгълът между общите външни допирателни към тези окръжности е близо до нула (в действителност е около 0,5 °), тоест допирателните са "почти успоредни". Ако бяха точно успоредни, тогава точките А 1 и Б 1 ще съвпадне с точките на допир, следователно, точката ° С 1 би съвпадало д 1, а ° С 2 сек д 2 и следователно ° С 1 ° С 2 =д 1 д 2. По този начин, сегментите ° С 1 ° С 2 и д 1 д 2 са почти равни. Интуицията не разочарова Аристарх и тук: всъщност разликата между дължините на сегментите е по-малка от една стотна от процента! Това е нищо в сравнение с възможните грешки в измерването. След като вече премахнахме допълнителните линии, включително окръжностите и техните общи допирателни, стигаме до следния проблем.

Задача 1".Отстрани на трапеца А 1 А 2 С 2 СВзети са 1 точки Б 1 и V 2, така че сегментът V 1 V 2 е успоредна на основите. Нека бъде С, З u Л- средата на сегментите А 1 А 2 , Б 1 Б 2 и ° С 1 ° С 2 съответно. Базиран ° С 1 ° С 2 е сегмент М 1 М 2 със средата Л... Известно е, че и . намирам А 1 А 2 /Б 1 Б 2 .

Решение.Тъй като тогава, а оттам и триъгълниците А 2 SZи М 1 LZса сходни с коефициента SZ/LZ= κ. следователно, А 2 SZ= M 1 LZ, и следователно точката Злежи на сегмента М 1 А 2 . По същия начин, Злежи на сегмента М 2 А 1 (фиг. 9). Защото ° С 1 ° С 2 = t M 1 М 2 и , тогава .

следователно,

От друга страна,

означава, ... От това равенство веднага получаваме това.

И така, съотношението на диаметрите на Слънцето и Земята е равно, а Луната и Земята са равни.

Заместване на известните стойности κ = 400 и T= 8/3, получаваме, че Луната е около 3,66 пъти по-малка от Земята, а Слънцето е 109 пъти по-голямо от Земята. От радиуса на Земята Рзнаем, намираме радиуса на луната R l= Р/ 3,66 и радиуса на Слънцето R s= 109Р.

Сега разстоянията от Земята до Луната и до Слънцето се изчисляват в една стъпка, това може да се направи с помощта на ъгловия диаметър. Ъгловият диаметър β на Слънцето и Луната е около половин градус (0,53 ° за да бъдем точни). Как древните астрономи са го измервали, се обсъжда по-късно. Пропускане на допирателната ZQвърху обиколката на луната получаваме правоъгълен триъгълник ZLQс остър ъгъл β / 2 (фиг. 10).

От него намираме , което е приблизително равно на 215 R lили 62 Р... По същия начин разстоянието до Слънцето е 215 R s = 23 455Р.

Всичко. Намерени са размерите на Слънцето и Луната и разстоянията до тях.

Упражнения
5. Докажете, че правите А 1 Б 1 , А 2 Б 2 и две общи външни допирателни към първата и втората окръжност (виж фиг. 8) се пресичат в една точка.
6. Решете задача 1, ако ъгълът между допирателните между първата и втората окръжност също е известен.
7. Слънчевото затъмнение може да се наблюдава в някои части на земното кълбо и да не се наблюдава в други. Какво ще кажете за лунно затъмнение?
8. Докажете, че слънчево затъмнение може да се наблюдава само по време на новолуние, а лунно - само по време на пълнолуние.
9. Какво се случва на Луната, когато се случи лунно затъмнение на Земята?

Ползите от грешките

Всъщност всичко беше малко по-сложно. Геометрията тепърва се оформяше и много неща, познати ни още от осми клас, тогава изобщо не се виждаха. Отне Аристарх да напише цяла книга, за да представи това, което сме очертали на три страници. И с експерименталните измервания също не всичко беше лесно. Първо, Аристарх направи грешка при измерването на диаметъра на земната сянка по време на лунно затъмнение, като получи съотношението T= 2 вместо. Освен това той, изглежда, изхожда от неправилната стойност на ъгъла β - ъгловия диаметър на Слънцето, считайки го за равен на 2 °. Но тази версия е противоречива: Архимед в своя трактат "Псамит" пише, че, напротив, Аристарх е използвал почти правилна стойност от 0,5 °. Най-ужасната грешка обаче се случи на първата стъпка, при изчисляването на параметъра κ - съотношението на разстоянията от Земята до Слънцето и до Луната. Вместо κ = 400, Аристарх получи κ = 19. Как може да сте направили грешка повече от 20 пъти? Нека се върнем отново към Стъпка 1, Фигура 3. За да намерим съотношението κ = ZS/ZL, Аристарх измерва ъгъла α = SZL, а след това κ = 1 / cos α. Например, ако ъгълът α е равен на 60 °, тогава ще получим κ = 2 и Слънцето ще бъде два пъти по-далече от Земята от Луната. Но резултатът от измерването се оказа неочакван: ъгълът α се оказа почти правилен. Това означаваше, че катетусът ZSмногократно превъзхождащ ZL... Аристарх получи α = 87 °, а след това cos α = 1/19 (припомнете си, че всички наши изчисления са приблизителни). Истинската стойност на ъгъла и cos α = 1/400. Така че грешка при измерване от по-малко от 3 ° доведе до грешка от 20 пъти! След като завърши изчисленията, Аристарх стига до извода, че радиусът на Слънцето е 6,5 пъти по-голям от радиуса на Земята (вместо 109).

Грешките бяха неизбежни, предвид несъвършените измервателни уреди от онова време. По-важното е, че методът се оказа правилен. Скоро (по исторически стандарти, тоест след около 100 години) изключителният астроном от древността Хипарх (190 - ок. 120 г. пр. н. е.) ще премахне всички неточности и, следвайки метода на Аристарх, ще изчисли правилните размери на Слънцето и луна. Може би грешката на Аристарх в крайна сметка се оказа полезна. Преди него преобладаваше мнението, че Слънцето и Луната или имат еднакви размери (както изглежда на земния наблюдател), или се различават леко. Дори разликата 19 пъти изненада съвременниците. Следователно е възможно, ако Аристарх беше намерил правилното съотношение κ = 400, никой не би повярвал в това и може би самият учен щеше да изостави метода си, считайки резултата за абсурден. Един добре познат принцип гласи, че геометрията е изкуството да се разсъждава добре върху лошо изпълнени чертежи. Ако перифразираме, можем да кажем, че науката като цяло е изкуството да се правят правилни заключения от неточни или дори погрешни наблюдения. И Аристарх направи такъв извод. За 17 века преди Коперник той осъзнава, че в центъра на света не е Земята, а Слънцето. Така за първи път се появява хелиоцентричният модел и концепцията за Слънчевата система.

Какво има в центъра?

Доминиращата идея в Древния свят за структурата на Вселената, позната ни от уроците по история, беше, че в центъра на света има неподвижна Земя, около нея се въртят 7 планети в кръгови орбити, включително Луната и Слънцето (което също се смяташе за планета). Всичко завършва с небесна сфера със звезди, прикрепени към нея. Сферата се върти около Земята, като прави пълен оборот за 24 часа. С течение на времето този модел е преразглеждан многократно. И така, те започнаха да вярват, че небесната сфера е неподвижна и Земята се върти около оста си. След това започнаха да коригират траекториите на планетите: кръговете бяха заменени от циклоиди, тоест линии, които описват точките на кръг, когато се движи по друг кръг (можете да прочетете за тези прекрасни линии в книгите на Г. Н. Берман " Циклоид“, А. И. Маркушевич „Чудесни криви“, както и в „Квант“: статия на С. Веров „Тайните на циклоида“ № 8, 1975 г. и статия на С. Г. Гиндикин „Звездната ера на циклоидите“, бр. 6, 1985). Циклоидите са в по-добро съгласие с резултатите от наблюденията, по-специално те обясняват "обратните" движения на планетите. То - геоцентриченсистемата на света, в чийто център е Земята („гей“). През II век той приема окончателния си вид в книгата "Алмагест" на Клавдий Птолемей (87-165), изключителен гръцки астроном, съименник на египетските царе. С течение на времето някои циклоиди стават по-сложни, добавят се все повече и повече междинни кръгове. Но като цяло системата на Птолемей преобладава около хилядолетия и половина, до 16 век, преди откритията на Коперник и Кеплер. Първоначално Аристарх също се придържа към геоцентричния модел. Въпреки това, след като изчисли, че радиусът на Слънцето е 6,5 пъти по-голям от радиуса на Земята, той зададе прост въпрос: защо толкова голямо Слънце трябва да се върти около толкова малка Земя? В крайна сметка, ако радиусът на Слънцето е 6,5 пъти по-голям, тогава обемът му е почти 275 пъти по-голям! Това означава, че слънцето трябва да е в центъра на света. Около него се въртят 6 планети, включително Земята. И седмата планета, Луната, се върти около Земята. Ето как се появи хелиоцентриченсистема на света ("хелиос" - слънцето). Самият Аристарх вече отбеляза, че такъв модел по-добре обяснява видимото движение на планетите в кръгови орбити, е в по-добро съответствие с резултатите от наблюденията. Но нито учените, нито официалните власти го приеха. Аристарх е обвинен в атеизъм и е преследван. От всички астрономи на древността само Селевк стана привърженик на новия модел. Никой друг не го е приел, поне историците нямат солидна информация по този въпрос. Дори Архимед и Хипарх, които почитат Аристарх и развиват много от неговите идеи, не смеят да поставят Слънцето в центъра на света. Защо?

Защо светът не е приел хелиоцентричната система?

Как се случи така, че в продължение на 17 века учените не приемат простата и логична система на света, предложена от Аристарх? И това е въпреки факта, че официално признатата геоцентрична система на Птолемей често се проваля, несъгласна с резултатите от наблюденията на планети и звезди. Трябваше да добавям все повече и повече кръгове (т.нар вложени цикли) за "правилното" описание на движението на планетите. Самият Птолемей не се страхуваше от трудностите, той пише: „Защо да се изненадваме от сложното движение на небесните тела, ако същността им е неизвестна за нас?“ До 13-ти век обаче се натрупаха 75 от тези кръгове! Моделът стана толкова тромав, че започнаха да се повдигат предпазливи възражения: Наистина ли светът е толкова сложен? Широко известен е случаят с Алфонсо X (1226-1284), крал на Кастилия и Леон, държава, която окупира част от съвременна Испания. Той, покровителят на науките и изкуствата, който събра в двора си петдесет от най-добрите астрономи в света, каза на една от своите научни беседи, че „ако Господ ме беше уважил и поиска съвета ми при сътворението на света, много щеше да беше по-лесно." Такава наглост не беше простена дори на кралете: Алфонс беше свален и изпратен в манастир. Но съмненията останаха. Някои от тях биха могли да бъдат разрешени чрез поставяне на Слънцето в центъра на Вселената и приемане на системата Аристарх. Неговите писания бяха добре известни. Въпреки това в продължение на много векове никой от учените не смееше да предприеме такава стъпка. Причините бяха не само в страха от властите и официалната църква, която смяташе теорията на Птолемей за единствено правилна. И не само в инерцията на човешкото мислене: не е толкова лесно да се признае, че нашата Земя не е център на света, а само обикновена планета. И все пак за истинския учен нито страхът, нито стереотипите са пречки по пътя към истината. Хелиоцентричната система беше отхвърлена по доста научни, може дори да се каже, геометрични причини. Ако приемем, че Земята се върти около Слънцето, тогава нейната траектория е окръжност с радиус, равен на разстоянието от Земята до Слънцето. Както знаем, това разстояние е равно на 23 455 земни радиуса, тоест повече от 150 милиона километра. Това означава, че Земята се движи на 300 милиона километра в рамките на шест месеца. Гигантски размер! Но картината на звездното небе за земен наблюдател остава същата. Земята сега се приближава, след което се отдалечава от звездите с 300 милиона километра, но нито видимите разстояния между звездите (например формата на съзвездията), нито тяхната яркост се променят. Това означава, че разстоянието до звездите трябва да бъде няколко хиляди пъти по-голямо, тоест небесната сфера трябва да има абсолютно невъобразими размери! Това, между другото, осъзнава самият Аристарх, който пише в книгата си: „Обемът на сферата на неподвижните звезди е толкова пъти по-голям от обема на сфера с радиус Земя-Слънце, колкото пъти обемът от последния е по-голям от обема на земното кълбо", тоест според Аристарх се оказа, че разстоянието до звездите е (23 455) 2 Р, той е над 3,5 трилиона километра. В действителност разстоянието от Слънцето до най-близката звезда все още е около 11 пъти по-голямо. (В модела, който представихме в самото начало, когато разстоянието от Земята до Слънцето е 10 m, разстоянието до най-близката звезда е ... 2700 километра!) Вместо компактен и удобен свят, в центъра от които е Земята и която е поставена вътре в относително малка небесна сфера, Аристарх нарисува бездна. И тази бездна уплаши всички.

Венера, Меркурий и невъзможността на геоцентричната система

Междувременно невъзможността за геоцентрична система на света с кръгови движения на всички планети около Земята може да се установи с помощта на прост геометричен проблем.

Цел 2.На равнината са дадени две окръжности с общ център. О, две точки се движат равномерно по тях: точка Мпо една окръжност и точка Vот другата. Докажете, че или те се движат в една и съща посока със същата ъглова скорост, или в някакъв момент от време ъгълът MOVглупав.

Решение.Ако точките се движат в една и съща посока с различни скорости, след известно време лъчите ОМи ОВще се окаже съпосочен. Допълнителен ъгъл MOVзапочва да се увеличава монотонно до следващото съвпадение, тоест до 360 °. Следователно в даден момент той е равен на 180 °. Случаят, когато точките се движат в различни посоки, се разглежда по същия начин.

Теорема.Ситуация, при която всички планети на Слънчевата система се въртят равномерно около Земята в кръгови орбити, е невъзможна.

Доказателство.Нека бъде О- центърът на Земята, М- центърът на Меркурий, и V -център на Венера. Според дългосрочни наблюдения Меркурий и Венера имат различни периоди на въртене и ъгъл MOVникога не надвишава 76°. По силата на резултата от задача 2, теоремата е доказана.

Разбира се, древните гърци многократно са се сблъсквали с подобни парадокси. Ето защо, за да спасят геоцентричния модел на света, те накараха планетите да се движат не в кръг, а в циклоиди.

Доказателството на теоремата не е съвсем справедливо, тъй като Меркурий и Венера се въртят не в една и съща равнина, както в задача 2, а в различни. Въпреки че равнините на техните орбити почти съвпадат: ъгълът между тях е само няколко градуса. В упражнение 10 ви предлагаме да премахнете този недостатък и да решите аналог на задача 2 за точки, въртящи се в различни равнини. Друго възражение: може би ъгъл MOVпонякога скучно, но ние не го виждаме, защото по това време на Земята е ден? Ние приемаме и това. В упражнение 11 трябва да докажете, че за тривъртящи се радиуси, винаги ще дойде момент във времето, когато те образуват тъпи ъгли един спрямо друг. Ако в краищата на радиусите са Меркурий, Венера и Слънцето, тогава в този момент Меркурий и Венера ще се виждат на небето, но Слънцето не, тоест ще има нощ на земята. Но трябва да ви предупредим: Упражнения 10 и 11 са много по-трудни от Задача 2. И накрая, в Упражнение 12 ви предлагаме не по-малко да изчислите разстоянието от Венера до Слънцето и от Меркурий до Слънцето (те, разбира се , се въртят около Слънцето, а не около Земята). Вижте сами колко лесно е, след като научихме метода на Аристарх.

Упражнения
10. В пространството са дадени две окръжности с общ център О, две точки се движат по тях равномерно с различни ъглови скорости: точка Мпо една окръжност и точка Vот другата. Докажете, че в даден момент ъгълът MOVглупав.
11. На равнината са дадени три окръжности с общ център. О, три точки се движат по тях равномерно с различни ъглови скорости. Докажете, че в даден момент и трите ъгъла между лъчите с връх Онасочени към дадените точки са тъпи.
12. Известно е, че максималното ъглово разстояние между Венера и Слънцето, тоест максималният ъгъл между лъчите, насочени от Земята към центровете на Венера и Слънцето, е 48 °. Намерете радиуса на орбитата на Венера. Същото е и за Меркурий, ако се знае, че максималното ъглово разстояние между Меркурий и Слънцето е 28°.

Последният щрих: измерване на ъгловите размери на слънцето и луната

Следвайки стъпка по стъпка разсъжденията на Аристарх, пропуснахме само един аспект: как беше измерен ъгловият диаметър на Слънцето? Самият Аристарх не направи това, използвайки измерванията на други астрономи (очевидно, не съвсем правилно). Спомнете си, че той успя да изчисли радиусите на Слънцето и Луната, без да включва техните ъглови диаметри. Погледнете отново стъпки 1, 2 и 3: никъде не се използва диаметърът на ъгъла! Необходимо е само да се изчислят разстоянията до Слънцето и Луната. Опитът за определяне на ъгловия размер "на око" не носи успех. Ако помолите няколко души да оценят ъгловия диаметър на луната, повечето ще кажат, че ъгълът е от 3 до 5 градуса, което е многократно по-голямо от истинската стойност. Оптичната измама засяга: ярко бялата луна на фона на тъмно небе изглежда масивна. Първият, който извърши математически стриктно измерване на ъгловия диаметър на Слънцето и Луната, е Архимед (287-212 г. пр. н. е.) Той очертава метода си в книгата Psammit (Изчисление на пясъчните зърна). Той е наясно със сложността на задачата: „Не е лесно да се получи точната стойност на този ъгъл, защото нито очите, нито ръцете, нито инструментите, с които се извършва броенето, осигуряват достатъчна точност“. Следователно Архимед не се ангажира да изчисли точната стойност на ъгловия диаметър на Слънцето, той го оценява само отгоре и отдолу. Той поставя кръгъл цилиндър в края на дълга линийка, срещу окото на наблюдателя. Линейката е насочена към Слънцето, а цилиндърът се движи към окото, докато напълно закрие Слънцето. След това наблюдателят напуска и в края на линийката се маркира сегмент MNравен на размера на човешката зеница (фиг. 11).

Тогава ъгълът α 1 между правите Г-Ни NQпо-малък от ъгловия диаметър на Слънцето, а ъгълът α 2 = POQ- Повече ▼. Означихме с PQдиаметър на основата на цилиндъра, а през О - средата на сегмента MN... И така, α 1< β < α 2 (докажите это в упражнении 13). Так Архимед находит, что угловой диаметр Солнца заключен в пределах от 0,45° до 0,55°.

Остава неясно защо Архимед измерва Слънцето, а не Луната. Той беше добре запознат с книгата на Аристарх и знаеше, че ъгловите диаметри на Слънцето и Луната са еднакви. Луната е много по-удобна за измерване: тя не заслепява очите и границите й са по-ясно видими.

Някои древни астрономи измерват ъгловия диаметър на Слънцето въз основа на продължителността на слънчево или лунно затъмнение. (Опитайте да възстановите този метод в упражнение 14.) Или можете да направите същото, без да чакате затъмнения, а просто да наблюдавате залеза. Нека изберем за това деня на пролетното равноденствие на 22 март, когато Слънцето изгрява точно на изток и залязва точно на запад. Това означава, че нарастващите точки Еи залез Удиаметрално противоположни. За земен наблюдател Слънцето се движи в кръг с диаметър Е В... Равнината на този кръг прави ъгъл от 90 ° - γ с хоризонталната равнина, където γ е географската ширина на точката М, в който се намира наблюдателят (например за Москва γ = 55,5 °, за Александрия γ = 31 °). Доказателството е показано на фигура 12. Директно ZP- оста на въртене на Земята, перпендикулярна на равнината на екватора. Точкова ширина М- ъгълът между сегмента ZPи равнината на екватора. Нека го пренесем през центъра на слънцето Сравнина α, перпендикулярна на оста ZP.

Равнината на хоризонта докосва земното кълбо в точка М... За наблюдател в точката М, Слънцето през деня се движи в окръжност в равнината α с център Ри радиус PS... Ъгълът между равнината α и равнината на хоризонта е равен на ъгъла MZP, което е равно на 90 ° - γ, тъй като равнината α е перпендикулярна на ZP, а равнината на хоризонта е перпендикулярна на ZM... И така, в деня на равноденствието Слънцето залязва зад хоризонта под ъгъл от 90 ° - γ. Следователно, по време на залез, той преминава кръгова дъга, равна на β / cos γ, където β е ъгловият диаметър на Слънцето (фиг. 13). От друга страна, за 24 часа той изминава пълен оборот по този кръг, тоест 360°.

Получаваме пропорцията, при която точно шест, а не девет, тъй като Уран, Нептун и Плутон са открити много по-късно. Съвсем наскоро, на 13 септември 2006 г., по решение на Международния астрономически съюз (IAU), Плутон загуби своя планетарен статут. Така че сега има осем планети в Слънчевата система.
Истинската причина за позора на крал Алфонс очевидно беше обичайната борба за власт, но ироничната му забележка за устройството на света послужи като добра причина за враговете му.

Нашият естествен спътник, Луната, привлича погледите на хората повече от едно хилядолетие. Той е вторият най-ярък обект на небето след Слънцето и в много отношения оказва влияние върху земния живот, например благодарение на Луната има приливи и отливи. За първи път разстоянието до Луната е измерено от древногръцкия астроном и математик Хипарх през втори век пр.н.е.

Ъглов размер на луната

Първо, нека да вземем решение за входните данни, които са ни необходими за изчисления. По време на пълно слънчево затъмнение можем да видим, че лунният диск почти перфектно припокрива слънчевата повърхност. Това наблюдение казва на астрономите, че ъгловите размери на Луната и Слънцето са практически еднакви. Ъгловият диаметър се отнася до ъгъла между два лъча, излъчвани от очите на наблюдателя, които преминават през крайно противоположните точки на измервания обект (виж фигурата по-долу).

Основният принцип за измерване на ъгловия диаметър на Слънцето (с възможност за щракване).

Не се нуждаете от специални инструменти, за да направите измервания. При пълнолуние сгънете малко парче хартия, така че да покрие напълно диска на луната. Като разделите ширината на хартията на разстоянието от нея до очите ви, получавате ъгловия размер, изразен в радиани. В този случай няма нужда да се прилага математически точна формула, тъй като за малки ъгли tg α ≈ α... Не правете такива измервания за Слънцето! Можете сериозно да повредите очите си.

Определянето на ъгловите размери на отдалечените обекти и ъгловите разстояния между обектите е важна част от астрономическите наблюдения и ще бъде многократно споменавано в бъдещи материали. За обозначаването им обикновено се използват минути и дъгови секунди. За да преобразувате дъгови минути в градуси, просто разделете стойността на 60, например видимият диаметър на луната е приблизително 30 ′ или 0,5 градуса. Втората, често използвана мерна единица е радиани, тя ви позволява да опростите предварителните изчисления и да се отървете от тригонометрията. Един радиан е ъгълът, който съответства на дъга, която е дължината на радиуса на окръжността (виж фигурата). За да преобразувате дъговите минути в радиани, индикаторът трябва да се умножи по π / 10800, така получаваме стойност от ~ 0,0087 за Луната.

Вече знаем едно приблизително такова от предишната статия, а също така знаем и за съществуването на лунни затъмнения, по време на които нашата планета хвърля сянка върху повърхността на Луната. За по-нататъшни изчисления се нуждаем и от ъгловия размер на земната сянка при пълно лунно затъмнение. Той е повече от два и половина пъти по-голям от диаметъра на Луната и съответно директното измерване на сянката е донякъде проблематично. Въпреки това, в хода на наблюденията е възможно да се открие времето, през което Луната ще бъде напълно покрита със сянка от единия край на Земята за първи път, и след това да се измери времето до момента, в който сянката от противоположният ръб започва да напуска лунния диск. Решаването на пропорцията дава приблизителна стойност от 80 ′ или 0,023 радиана. Сега, когато имаме всички необходими входни данни, можем да започнем да изчисляваме.

Разстояние до луната

Всички изчисления се основават на проста евклидова геометрия, показана на фигурата по-долу, която схематично показва лунно затъмнение. Ще се основаваме на предположението, че разстоянието между Земята и Слънцето е много по-голямо от разстоянието до Луната. По този начин можем да разгледаме ъгъла α равен на ъгловия диаметър на Слънцето, който от своя страна е приблизително равен на лунния.

Схемата за определяне на разстоянието до Луната по метода на Аристарх. Изчисленията са извършени за първи път от Гипархус.
сп. Nature, No7, 2008г

Диаметърът на земята е основата на триъгълника ABC, и досега неизвестната за нас дължината на сянката по време на лунно затъмнение служи за основа A′BC ′... Тези равнобедрени триъгълници са подобни, тъй като имат еднакви ъгли, следователно съотношението на техните височини е равно на коефициента на подобие. Правим пропорцията:

Ако обозначим разстоянието до луната с Л, тогава диаметърът на земната сянка ще бъде D ЗТ = L * β... Също и височината на триъгълника A′BC ′е равно на H L = H Z - L, и височината ABCе равно на H З = D З / α... Нека направим серия от замествания:

Умножавайки разстоянието до Луната по нейния ъглов размер, получаваме приблизителен диаметър от 3497 км, което е много близко до реалността. За сравнение представяме точните съвременни данни: голямата полуос е 384 399 km, средният диаметър е 3474 km. Получи се доста добре предвид ниската точност на ъгловите измервания. Можете сами да изчислите диаметъра на земната сянка, вече сме получили всички необходими данни за това.

В момента знаем, че орбитата на Луната е елиптична с ексцентриситет 0,0549. В най-близката си точка (перигей) спътникът се приближава до нас на 356 400 км, а максималното му разстояние (апогей) е 406 700 км. Разстоянието до луната в наше време се определя с фантастична точност с помощта на лазерно измерване. На 21 юли 1969 г. астронавтите от Аполо 11 напуснаха първия ъглов рефлектор на лунната повърхност за този вид измерване. Същността на метода е, че фокусиран лазерен лъч се изпраща от Земята към рефлектора (на лунната повърхност площта на лъча е около 25 km 2), част от светлината се връща обратно към детектора. Познавайки точното време, прекарано от светлината по пътя напред и назад, както и скоростта на светлината, можете лесно да определите разстоянието.

Почти всички знаем, че Луната винаги е обърната към Земята от една и съща страна. От училищните курсове по физика също знаем, че причината за това са земните приливи и отливи, които завинаги скриха от нас обратната, „тъмна” страна на Луната. Принципът на приливното улавяне постулира, че планетата гостоприемник е почти винаги в една точка от небето на своя спътник. Това обаче казах твърде недвусмислено, защото всъщност това е възможно само при идеални условия. Светът, за наше щастие, е далеч от идеалния, което ни позволява да наблюдаваме пълноценни изгреви и залези на Земята на Луната ...

Астрономите отдавна са забелязали, че Луната се „мърда“ по особен начин през лунния месец, замествайки ни до 10% от площта на „тъмната“ страна. В резултат на това още преди полета на станцията "Луна 3" астрономите разполагаха с карти на 60% от лунната повърхност.
Това явление се нарича либрация. В момента има 4 вида либрации, но ще се спрем на два основни – либрации по ширина и дължина.

1. Либрациите в географската ширина се причиняват от наклона на оста на денонощното въртене на Луната към равнината на нейната орбита (амплитуда 6°50 мин.), в резултат на което Луната ни „замества“ или Северния, или Южния полюс.
2. Либрациите по дължина се причиняват от ненулев ексцентриситет на лунната орбита.
Орбиталният ексцентриситет в опростена форма отразява степента на отклонение на орбитата на спътник или планета от идеален кръг. 0 означава идеално кръгова орбита. По-голямо от 0, но по-малко от 1, в една или друга степен, удължена орбита (елиптична), параболична за e = 1 и хиперболична за e> 1. Както забелязахте, орбитата постепенно се разтяга с увеличаване на ексцентриситета от 0 до 1, счупвайки се при e = 1 (достигайки втората космическа в тази орбита).

Либрации на Луната, изглед от Земята.

Ексцентриситетът на Луната е средно 0,05, което е напълно достатъчно за появата на малки отклонения между скоростта на въртене на Луната около Земята и собственото въртене на Луната около оста си. Това провокира либриране по дължина с амплитуда от 7° и 54 минути.

Очевидно е, че и двата вида либрация карат Земята да се движи в небето на Луната - където синята планета описва огромна елипса с максимален диаметър 18 ° за един месец. Като се има предвид, че ъгловите размери на Земята от Луната са „само“ около 2° (четири пъти повече от Луната, гледана от Земята), това ще позволи на бъдещите лунни колонисти да наблюдават, макар и бавни, зрелищни изгреви и залези на своите родна планета в определени региони на Луната.

Издигане на Земята в "зоните на либрация", лунния полюс, средните ширини и екватора (програма Stellarium).

Въпреки това, най-малко търпеливите колонисти могат да наблюдават това "в бързо напред" от орбитата на Луната (сонда Kaguya / JAXA).

И малък бонус. Въпреки че на Япет, луната на Сатурн, най-вероятно няма звездна врата, където героят на книгата на Артър Кларк „Космична одисея 2001“ успя да падне, но все пак, благодарение на неравностите на орбитата на този спътник, човек може наблюдавайте доста епични изгреви на "Властелинът на пръстените" там.