На равнина правите се наричат успоредни, ако нямат общи точки, тоест не се пресичат. За да посочите паралелизъм, използвайте специалната икона || (успоредни прави a || b).
За прави линии, лежащи в пространството, изискването за отсъствие на общи точки не е достатъчно - за да са успоредни в пространството, те трябва да принадлежат на една и съща равнина (в противен случай ще се пресичат).
Няма нужда да отивате далеч за примери за успоредни прави линии, те ни придружават навсякъде, в стаята - това са линиите на пресичане на стената с тавана и пода, на лист от тетрадка - противоположни ръбове и т.н.
Съвсем очевидно е, че имайки успоредност на две прави и трета права, успоредна на една от първите две, тя ще бъде успоредна на втората.
Успоредните прави линии на равнина са свързани с твърдение, което не може да бъде доказано с помощта на аксиомите на планиметрията. Приема се като факт, като аксиома: за всяка точка от равнината, която не лежи на права, има една права, която минава през нея успоредно на дадената. Всеки шестикласник знае тази аксиома.
Неговото пространствено обобщение, тоест твърдението, че за всяка точка от пространството, която не лежи на права линия, има една права линия, която минава през нея успоредно на дадена, се доказва лесно с помощта на вече известната аксиома на паралелизма на самолета.
Свойства на паралелна линия
- Ако някоя от успоредните две прави прави е успоредна на третата, тогава те са взаимно успоредни.
Това свойство се притежава от успоредни линии както в равнината, така и в пространството.
Като пример, разгледайте неговата обосновка в стереометрията.
Нека допуснем успоредност на прави b и с права а.
Случаят, когато всички прави линии лежат в една и съща равнина, ще оставим планиметрията.
Да предположим, че a и b принадлежат на бета равнината, а гама е равнината, към която принадлежат a и c (по дефиницията на паралелизма в пространството правите линии трябва да принадлежат на една и съща равнина).
Ако приемем, че бета и гама равнините са различни и маркираме точка B на правата b от бета равнината, тогава равнината, прокарана през точка B и правата c, трябва да пресичат бета равнината по права линия (означете я с b1).
Ако получената права линия b1 пресече гама равнината, тогава, от една страна, пресечната точка трябва да лежи върху a, тъй като b1 принадлежи на бета равнината, а от друга страна, тя също трябва да принадлежи на c, тъй като b1 принадлежи на третата равнина.
Но успоредните прави a и c не трябва да се пресичат.
По този начин правата b1 трябва да принадлежи на betta равнината и в същото време да няма общи точки с a, следователно, според аксиомата на паралелизма, тя съвпада с b.
Получихме правата b1, съвпадаща с правата b, която принадлежи на една и съща равнина с права c и не я пресича, тоест b и c са успоредни
- През точка, която не лежи на дадена права, само една права линия може да минава успоредно на дадената.
- Лежайки върху равнина, перпендикулярна на третата, две прави линии са успоредни.
- При условие, че равнината пресича една от успоредните две прави, втората права пресича същата равнина.
- Съответните и кръстосани вътрешни ъгли, образувани от пресичането на успоредни две прави линии от третата, са равни, сумата от вътрешните едностранни ъгли, образувани в този случай, е 180 °.
Верни са и обратните твърдения, които могат да се приемат като признаци на успоредност на две прави.
Условие на паралелност за прави линии
Формулираните по-горе свойства и характеристики са условия за успоредност на правите и могат да бъдат напълно доказани с методите на геометрията. С други думи, за да се докаже успоредността на две съществуващи прави прави, е достатъчно да се докаже техния успоредност на третата права линия или равенството на ъглите, независимо дали съответстващи или напречни и т.н.
За доказателство се използва основно методът „от противоречие“, тоест с допускането, че правите не са успоредни. Изхождайки от това предположение, може лесно да се покаже, че в този случай посочените условия са нарушени, например кръстосано разположените вътрешни ъгли се оказват неравни, което доказва неправилността на направеното предположение.
Цели на урока: В този урок ще се запознаете с концепцията за "успоредни линии", ще научите как да се уверите, че правите са успоредни, както и какви свойства имат ъглите, образувани от успоредни прави и секуща.
Паралелни линии
Знаете, че понятието "права линия" е едно от така наречените недефинирани понятия на геометрията.
Вече знаете, че две прави линии могат да съвпадат, тоест да имат всички общи точки, да се пресичат, тоест да имат една обща точка. Правите линии се пресичат под различни ъгли, докато ъгълът между правите линии се счита за най-малкия от ъглите, които са образували. Специален случай на пресичане може да се счита за случая на перпендикулярност, когато ъгълът, образуван от правите, е 90 0.
Но две прави линии може да нямат общи точки, тоест да не се пресичат. Такива прави линии се наричат успоредно.
Работа с електроника образователен ресурс « ».
За да се запознаете с концепцията за "успоредни линии", работете във видеоуроковите материали
По този начин вече знаете определението за успоредни прави.
От материалите на фрагмента от видеоурок, научихте за различни видовеъгли, които се образуват при пресичането на две трети прави линии.
Двойки ъгли 1 и 4; 3 и 2 се наричат вътрешни едностранни ъгли(те лежат между правите линии аи б).
Двойки ъгли 5 и 8; 7 и 6 обаждане външни едностранни ъгли(те лежат извън правите линии аи б).
Двойки ъгли 1 и 8; 3 и 6; 5 и 4; 7 и 2 се наричат едностранни ъгли за прави линии аи би секанс ° С... Както можете да видите, от двойка съответни ъгли, един лежи между десния аи ба другото е извън тях.
Признаци на успоредност на правите
Очевидно, използвайки определението, е невъзможно да се направи извод за успоредността на две прави. Следователно, за да заключите, че две прави са успоредни, използвайте знаци.
Вече можете да формулирате един от тях, като прочетете материалите от първата част на видео урока:
Теорема 1... Две прави линии, перпендикулярни на третата, не се пресичат, тоест те са успоредни.
Ще се запознаете с други признаци на паралелизъм на прави линии, основани на равенството на определени двойки ъгли, като работите с материалите от втората част на видео урока"Признаци на успоредност на правите".
По този начин трябва да знаете още три признака за успоредност на правите.
Теорема 2 (първият критерий за успоредност на правите)... Ако в пресечната точка на две пресичащи се прави, ъглите на лежане са равни, тогава правите са успоредни.
Ориз. 2. Илюстрация за първият знакуспоредност на правитеОще веднъж повторете първия знак за успоредност на правите, като работите с електронен образователен ресурс « ».
Така при доказване на първия критерий за успоредност на правите се използва критерият за равенство на триъгълниците (по двете страни и ъгъла между тях), както и критерият за успоредност на правите като перпендикулярни на една права линия.
Упражнение 1.
Запишете формулировката на първия критерий за успоредност на правите и доказателството му в тетрадките си.
Теорема 3 (втори критерий за успоредност на правите)... Ако в пресечната точка на две прави секанси съответните ъгли са равни, тогава правите са успоредни.
Още веднъж повторете втория знак за успоредност на правите, като работите с електронен образователен ресурс « ».
При доказване на втория критерий за успоредност на правите се използват свойството на вертикалните ъгли и първия критерий за успоредност на правите.
Задача 2.
Запишете формулировката на втория критерий за успоредност на правите и доказателството му в тетрадките си.
Теорема 4 (трети критерий за успоредност на правите)... Ако при пресичането на две прави секачни, сумата от едностранните ъгли е 180 0, тогава правите са успоредни.
Още веднъж повторете третия знак за успоредност на правите, като работите с електронен образователен ресурс « ».
По този начин, при доказването на първия критерий за успоредност на правите, ние използваме свойството на съседни ъгли и първия критерий за успоредност на правите.
Задача 3.
Запишете формулировката на третия критерий за успоредност на правите и неговото доказателство в тетрадките си.
За да практикувате решаването на най-простите задачи, работете с материалите на електронния образователен ресурс « ».
Знаците за успоредност на правите се използват при решаване на задачи.
Сега разгледайте примери за решаване на задачи за признаци на успоредност на прави линии, като работите с материалите от видео урока„Решаване на задачи по темата“ Признаци на успоредност на правите.
Сега се изпробвайте, като изпълните задачите на контролния електронен образователен ресурс « ».
Всеки, който иска да работи с решаването на по-сложни задачи, може да работи с материалите от видео урока "Проблеми за признаците на успоредност на правите."
Свойства на паралелна линия
Паралелните линии имат редица свойства.
Ще разберете какви са тези свойства, като работите с материалите от видеоурока. "Свойства на успоредни прави".
Поради това, важен факткоето трябва да знаете е аксиомата на паралелизма.
Аксиома за паралелизъм... Чрез точка, която не лежи на дадена права линия, можете да начертаете права линия, успоредна на дадената, и освен това само една.
Както научихте от материалите на видео урока, въз основа на тази аксиома могат да се формулират две следствия.
Следствие 1.Ако правата пресича една от успоредните прави, тогава тя пресича и другата успоредна права.
Следствие 2.Ако две прави са успоредни на третата, тогава те са успоредни една на друга.
Задача 4.
Запишете формулировката на формулираните следствия и техните доказателства в тетрадките си.
Свойствата на ъглите, образувани от успоредни прави и секуща, са теореми, противоположни на съответните критерии.
И така, от материалите на видео урока научихте свойството на кръстосани ъгли.
Теорема 5 (теорема, обратна на първия критерий за успоредност на правите)... Когато две успоредни пресичащи се прави линии се пресичат, ъглите са равни.
Задача 5.
Повторете още веднъж първото свойство на успоредните прави линии след работа с електронния образователен ресурс « ».
Теорема 6 (теорема, обратна на втория критерий за успоредност на правите)... Когато две успоредни прави линии се пресичат, съответните ъгли са равни.
Задача 6.
Запишете твърдението на тази теорема и нейното доказателство в тетрадките си.
Още веднъж повторете второто свойство на успоредните прави линии, като работите с електронен образователен ресурс « ».
Теорема 7 (теорема, обратна на третия критерий за успоредност на правите)... Когато две успоредни прави линии се пресичат, сумата от едностранните ъгли е 180 0.
Задача 7.
Запишете твърдението на тази теорема и нейното доказателство в тетрадките си.
Повторете още веднъж третото свойство на успоредните прави линии, като работите с електронен образователен ресурс « ».
Всички свойства на успоредните прави се използват и при решаването на задачи.
Обмисли типични примерирешаване на задачи чрез работа с материалите от видео урока "Успоредни прави и проблеми за ъглите между тях и секущата."
Тази глава е посветена на изучаването на успоредните прави. Това е името на две прави линии в равнина, които не се пресичат. Виждаме отсечките от успоредни прави линии заобикаляща среда- това са два ръба на правоъгълна маса, два ръба на корицата на книга, две колички и т.н. Паралелните линии играят много важна роля... В тази глава ще научите какво представляват аксиомите на геометрията и от какво се състои аксиомата на успоредните прави - една от най-известните аксиоми на геометрията.
В раздел 1 отбелязахме, че две прави или имат една обща точка, тоест се пресичат, или нямат една обща точка, тоест не се пресичат.
Определение
Паралелизмът на правите a и b се обозначава както следва: a || б.
Фигура 98 показва прави линии a и b, перпендикулярни на линия c. В раздел 12 установихме, че такива прави a и b не се пресичат, тоест те са успоредни.
Ориз. 98
Наред с успоредните прави често се разглеждат и успоредни. Двата сегмента се наричат успоредноако лежат на успоредни прави. На фигура 99 отсечките AB и CD са успоредни (AB || CD), а отсечките MN и CD не са успоредни. По същия начин се определя успоредността на отсечка и права линия (фиг. 99, б), лъч и права линия, сегмент и лъч, два лъча (фиг. 99, в).
Ориз. 99Признаци на успоредност на две прави
Направо с се нарича секанспо отношение на прави а и b, ако ги пресича в две точки (фиг. 100). При пресичането на прави линии a и b сечение c се образуват осем ъгъла, които са обозначени с числа на фигура 100. Някои двойки от тези ъгли имат специални имена:
кръстосани ъгли: 3 и 5, 4 и 6;
едностранни ъгли: 4 и 5, 3 и 6;
съответни ъгли: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
Ориз. 100
Помислете за три признака за паралелизъм на две прави линии, свързани с тези двойки ъгли.
Теорема
Доказателство
Да предположим, че в пресечната точка на прави a и b секуща AB, пресичащите се ъгли са равни: ∠1 = ∠2 (фиг. 101, а).
Нека докажем, че a || б. Ако ъглите 1 и 2 са прави (фиг. 101, b), тогава правите a и b са перпендикулярни на линия AB и следователно са успоредни.
Ориз. 101
Помислете за случая, когато ъглите 1 и 2 не са прави.
От средата O на отсечката AB извеждаме перпендикуляра OH към правата линия a (фиг. 101, в). По правата линия b от точка B отлагаме отсечката BH 1, равно на отсечката AH, както е показано на фигура 101, c, и начертаваме отсечката OH 1. Триъгълниците ОНА и ОН 1 В са равни по две страни и ъгълът между тях (AO = BO, AH = BN 1, ∠1 = ∠2), следователно ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6. От равенството ∠3 = ∠4 следва, че точката H 1 лежи върху продължението на лъча OH, тоест точките H, O и H 1 лежат на една права линия, а от равенството ∠5 = ∠6 от това следва, че ъгълът 6 е права линия (тъй като ъгъл 5 е прав). И така, правите a и b са перпендикулярни на правата HH 1, така че са успоредни. Теоремата е доказана.
Теорема
Доказателство
Нека в пресечната точка на прави линии a и b, секущи със съответните ъгли, са равни, например ∠1 = ∠2 (фиг. 102).
Ориз. 102
Тъй като ъглите 2 и 3 са вертикални, тогава ∠2 = ∠3. От тези две равенства следва, че ∠1 = ∠3. Но ъгли 1 и 3 са напречни, така че линиите a и b са успоредни. Теоремата е доказана.
Теорема
Доказателство
Нека в пресечната точка на прави линии a и b сека със сумата от едностранните ъгли, равна на 180 °, например ∠1 + ∠4 = 180 ° (виж фиг. 102).
Тъй като ъгли 3 и 4 са съседни, ∠3 + ∠4 = 180 °. От тези две равенства следва, че кръстосаните ъгли 1 и 3 са равни, следователно правите a и b са успоредни. Теоремата е доказана.
Практически начини за изграждане на успоредни линии
Признаците на успоредност на правите са в основата на методите за конструиране на успоредни прави линии с помощта на различни инструменти, използвани в практиката. Помислете например за метод за конструиране на успоредни линии с помощта на чертожен квадрат и линийка. За да построим права линия, минаваща през точка M и успоредна на дадена права линия a, прилагаме чертожен квадрат към линия a и линийка към нея, както е показано на фигура 103. След това, премествайки квадрата по линията, ще постигнете, че точката M е от страната на квадрата, и начертайте линия b. Линиите a и b са успоредни, тъй като съответните ъгли, обозначени на фигура 103 с буквите α и β, са равни.
Ориз. 103Фигура 104 показва метод за конструиране на успоредни линии с помощта на полетна шина. Този метод се използва в практиката на рисуване.
Ориз. 104Подобен метод се използва при извършване на дърводелски работи, където се използва малка за маркиране на успоредни прави линии (две дървени дъски, закрепени с панта, фиг. 105).
Ориз. 105
Задачи
186. На фигура 106 правите a и b се пресичат от права линия c. Докажете, че a || b ако:
а) ∠1 = 37 °, ∠7 = 143 °;
б) ∠1 = ∠6;
в) ∠l = 45° и ъгъл 7 е три пъти по-голям от ъгъл 3.
Ориз. 106
187. Според фигура 107 докажете, че AB || DE.
Ориз. 107
188. Отсечките AB и CD се пресичат в общата си среда. Докажете, че правите AC и BD са успоредни.
189. Като използвате данните от фигура 108, докажете, че ВС || АД.
Ориз. 108
190. На фигура 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70 °, ∠EAC = 35 °. Докажете, че DE || AC.
Ориз. 109
191. Отсечка BK - ъглополовяща на триъгълник ABC. През точка K е проведена права линия, която пресича страната BC в точка M, така че BM = MK. Докажете, че правите KM и AB са успоредни.
192. В триъгълник ABC ъгълът A е равен на 40°, а ъгълът BCE, съседен на ъгъл ACB, е равен на 80°. Докажете, че ъглополовящата на ъгъл ALL е успоредна на права AB.
193. В триъгълник ABC ∠A = 40 °, ∠B = 70 °. Права BD е проведена през връх B, така че лъчът BC е ъглополовящата на ъгъл ABD. Докажете, че правите AC и BD са успоредни.
194. Начертайте триъгълник. През всеки връх на този триъгълник с помощта на квадрат и линийка начертайте права линия, успоредна на противоположната страна.
195. Начертайте триъгълник ABC и маркирайте точка D на страната AC. През точка D, използвайки чертожен квадрат и линийка, начертайте прави линии, успоредни на другите две страни на триъгълника.
§ 1. Признаци за успоредност на две прави - Геометрия 7 клас (Атанасян Л.С.)
Кратко описание:
Ще научите какви са успоредните прави в този параграф. Ще получите проста дефиниция, но в същото време малко необичайна - две прави линии в равнина се наричат успоредни, ако не се пресичат. С други думи, ако две прави не се пресичат, тогава те ще бъдат успоредни. Или, ако линиите нямат пресечни точки, тогава те са успоредни.
Необичайността на това определение се крие във факта, че ако пред вас има две прави линии и не виждате пресечната им точка, това не означава, че няма такава. Това означава, че може просто да не го видите.
Следователно, тази дефиниция не може да се използва директно, за да се докаже, че две прави са успоредни. В крайна сметка не можете да следвате безкрайно продължението на прави линии, за да сте сигурни, че те не се пресичат.
Но това не е необходимо. Има признаци, по които може да се съди за успоредността на правите. Има три от тях. В съответствие с всеки от тях се разглеждат специални ъгли или техни комбинации, които се образуват при пресичането на тези две изследвани прави линии на третата права линия - секущата. Тези ъгли се използват за преценка на успоредността на правите.
Доказателствата на тези знаци - теоремата за успоредността на правите - се основават на теоремата, която вече разгледахте в глава 1 на учебника - две прави, перпендикулярни на третата, не се пресичат. Само сега тази теорема изглежда различно - две прави, перпендикулярни на третата, са успоредни.
Признаци на успоредност на две прави
Теорема 1. Ако в пресечната точка на две секущи прави:
кръстосаните ъгли са равни, или
съответните ъгли са равни, или
тогава сумата от едностранните ъгли е 180 °
правите линии са успоредни(Фиг. 1).
Доказателство. Ние се ограничаваме до доказателството на случай 1.
Да предположим, че в пресечната точка на прави a и b сека AB, пресичащите се ъгли са равни. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Нека докажем, че a || б.
Да предположим, че правите a и b не са успоредни. Тогава те се пресичат в някаква точка M и следователно един от ъглите 4 или 6 ще бъде външният ъгъл на триъгълника ABM. Нека за определеност ∠ 4 е външният ъгъл на триъгълника ABM, а ∠ 6 - вътрешният. От теоремата за външния ъгъл на триъгълника следва, че ∠ 4 е по-голямо от ∠ 6 и това противоречи на условието, което означава, че правите a и 6 не могат да се пресичат, следователно са успоредни.
Следствие 1. Две различни прави линии в равнина, перпендикулярна на една и съща права линия, са успоредни(фиг. 2).
Коментирайте. Начинът, по който току-що доказахме случай 1 от теорема 1, се нарича противоречие или редукция до абсурд. Този метод получи първото си име, защото в началото на разсъжденията се прави предположение, което е противоположно (противоположно) на това, което се изисква да се докаже. Нарича се редукция до абсурд поради факта, че, аргументирайки се въз основа на направеното предположение, стигаме до абсурдно заключение (до абсурд). Получаването на подобно заключение ни принуждава да отхвърлим направеното в началото предположение и да приемем това, което се изискваше да бъде доказано.
Цел 1.Построете права линия, минаваща през дадена точка M и успоредна на дадена права линия a, която не минава през точка M.
Решение. Начертайте през точка M права p, перпендикулярна на права линия a (фиг. 3).
След това правим права b през точка M, перпендикулярна на права p. Правата b е успоредна на права а според следствието от теорема 1.
От разглеждания проблем следва важен извод:
през точка, която не лежи на дадена права линия, винаги можете да начертаете права линия, успоредна на дадена.
Основното свойство на успоредните прави е както следва.
Аксиома на успоредните прави. През дадена точка, която не лежи на дадена права, минава само една права, успоредна на дадената.
Помислете за някои свойства на успоредните прави, които следват от тази аксиома.
1) Ако правата пресича една от две успоредни прави, то тя пресича и другата (фиг. 4).
2) Ако две различни прави са успоредни на третата права, то те са успоредни (фиг. 5).
Следната теорема също е вярна.
Теорема 2. Ако две успоредни прави се пресичат от секуща, тогава:
ъглите на кръстосване са равни;
съответните ъгли са равни;
сумата от едностранните ъгли е 180°.
Следствие 2. Ако една права е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна на другата(виж фиг. 2).
Коментирайте. Теорема 2 се нарича обратното на теорема 1. Заключението на теорема 1 е условието на теорема 2. А условието на теорема 1 е заключението на теорема 2. Не всяка теорема има обратното, т.е. ако тази теорема е вярна , тогава обратното на теоремата може да не е вярно.
Нека обясним това с примера на теоремата на вертикални ъгли... Тази теорема може да бъде формулирана по следния начин: ако два ъгъла са вертикални, тогава те са равни. Обратната на нея теорема би била следната: ако два ъгъла са равни, тогава те са вертикални. И това, разбира се, не е вярно. две равен ъгълизобщо не трябва да са вертикални.
Пример 1.Две успоредни прави се пресичат от трета. Известно е, че разликата между два вътрешни едностранни ъгъла е 30 °. Намерете тези ъгли.
Решение. Нека фигура 6 отговаря на условието.
