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Subtítulos de las diapositivas:
Esferas descritas cerca de poliedros.
Definición. Se dice que un poliedro está inscrito en una esfera (y una esfera circunscrita cerca de un poliedro) si todos los vértices del poliedro pertenecen a esta esfera. Consecuencia. El centro de la esfera circunscrita es un punto equidistante de todos los vértices del poliedro. O o o . . .
Teorema 1. El conjunto de puntos equidistantes de dos puntos dados es un plano perpendicular a un segmento con extremos en estos puntos, que pasa por su medio (el plano de bisectrices perpendiculares a este segmento). AB ┴ α AO=OB α A B O
Teorema 2. El conjunto de puntos equidistantes de n puntos dados, situados en la misma circunferencia, es una recta perpendicular al plano de estos puntos, que pasa por el centro de la circunferencia circunscrita. C E A B D O a . . . . . . C E A B D . . . . .
Prisma inscrito en una esfera. OA=OB=…=OX=R sf. O 1 . o O sf a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1 . X1. .A .B .C .D E. X. a a 1 . o O 1
Consecuencias. 1) Cerca de un prisma triangular recto, se puede describir una esfera, porque un círculo siempre se puede circunscribir alrededor de un triángulo. 2) Una esfera se puede describir cerca de cualquier prisma regular, porque un prisma regular es una línea recta y un círculo siempre se puede circunscribir cerca de un poliedro regular. o o .
Tarea número 1. La pelota se describe cerca de un prisma, en cuya base se encuentra un triángulo rectángulo con catetos 6 y 8. La arista lateral del prisma es 24. Calcula el radio de la pelota. Dado: ∆ ABC – rectangular; AC=6, BC=8, AA 1=24. Encuentre: R w = ? Solución: 1)OO 1 ┴AB 1 ; OO 1 = AA 1 = 24. 2) ABC: AB=10. 3) O w OB: R w = O w B=√OO w 2 + OB 2 = = √144+25=13 Respuesta: 13. O 1 O. . . R w O w C 1 B 1 A 1 A C B
Tarea número 3. Las medidas de un paralelepípedo son 2, 3 y 5. Encuentra el radio de la esfera circunscrita. Dado: AB=a=2; BC=b=3; CC1=c=5. Encuentre: R w = ? Solución: 1) AC 2 =a 2 +b 2 +c 2 . 2) A 1 C 2 =25+9+4=38 (Propiedad de las diagonales de un paralelepípedo rectangular) 3) A 1 C=√38; R w \u003d O w C \u003d √38 / 2 Respuesta: √38 / 2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3. . . oh sh
Tarea número 3. El lado de la base de un prisma triangular regular es a, y la arista lateral es 2 a. Encuentra el radio de la esfera circunscrita. Dado: AB=BC=AC=a, AA 1 ┴ABC ; AA 1= 2a. Encuentre: R w = ? Solución: 1)AB=AO √3; AO=a/√3. 2) R w \u003d √ a 2 + a 2 / 3 \u003d 2a / √ 3 Respuesta: 2a / √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O w R w. O O 1
Consecuencias. 1) Una esfera siempre se puede describir cerca de una pirámide triangular, ya que un círculo siempre se puede describir cerca de un triángulo. 2) Cerca de una pirámide regular, siempre puedes describir una esfera. 3) Si los bordes laterales de la pirámide son iguales (inclinados de manera similar a la base), siempre se puede describir una esfera cerca de dicha pirámide. *En los dos últimos casos, el centro de la esfera se encuentra en la línea que contiene la altura de la pirámide. o o
Tareas (la esfera descrita cerca de la pirámide). Cerca de la pirámide PABC se describe una bola, cuya base es un triángulo regular ABC de lado 4√3. La arista lateral PA es perpendicular al plano de la base de la pirámide y es igual a 6. Encuentra el radio de la bola. Dado: AB=BC=AC=4 √3 ; PA┴(ABC); AP=6. Encuentre: R w = ? Solución: 1) OO SF ┴(ABC); O es el centro del círculo circunscrito alrededor de ∆ABC; K O SF ┴ PA; KP=AK (KO SF Una de las bisectrices perpendiculares al borde lateral PA); O SF es el centro de la esfera circunscrita. 2) OO SF ┴(ABC); OO SF pertenece (AKO); PA┴(ABC); AK pertenece (AKO); significa KA|| OO SF; . O SF. O K.P.A.B.C.
Tareas (la esfera descrita cerca de la pirámide). 3) KO c f ┴AP; KO c f pertenece a (AOK); AO┴AP; AO pertenece a (AOK); significa KO c f || AO; 4) De (2) y (3): AOO c f K-rectángulo, AK=PA/2=3; 5) AO=AB/ √3 =4; 6) ∆ AO O c f: AO c f \u003d R w \u003d 5 Respuesta: 5
Tareas (la esfera descrita cerca de la pirámide). En una pirámide cuadrangular regular, la arista lateral está inclinada con respecto a la base en un ángulo de 45˚. La altura de la pirámide es h. Encuentra el radio de la esfera circunscrita. Dado: PABCD es una pirámide regular; (AP^(ABC))=45˚; PO=h. Encuentre: R w = ? Solución: 1) AO=OP=h; PA=h √ 2; 2) ∆PAP 1 – rectangular; PP 1 - diámetro de la bola; PP 1 \u003d 2 R w; AP2 = PP1 *OP; (h √ 2) 2 =2 Rw *h; R w \u003d 2h 2 / 2h \u003d h. Respuesta: H. C. B A. .D .P .P 1 . O
Tareas (la esfera descrita cerca de la pirámide). Por propia cuenta. El radio de una esfera circunscrita a un tetraedro regular es R. Encuentra el área total de la superficie del tetraedro.
Tareas (la esfera descrita cerca de la pirámide). Por propia cuenta. Dado: DABC es un tetraedro regular; R es el radio de la esfera. Encuentra: S tetra completo. =? Solución: 1) Como el tetraedro es regular, el centro de la esfera circunscrita pertenece a la recta que contiene la altura de la pirámide; 2) S tetra completo. = un 2 √ 3/4*4= un 2 √ 3; 3) Los puntos D, A, D 1 pertenecen al mismo círculo: la sección de la esfera por el plano DAD 1, por lo que el ángulo DAD 1 es un ángulo inscrito basado en el diámetro, DD 1; ángulo DAD 1 =90 ˚; 4) AO es la altura ∆ ADD 1 trazada desde el vértice del ángulo recto. DA 2 = DO*DD 1 ; 5) AO=a/ √ 3; DO= √ a 2 -a 2 / 3=a √ 2 / √ 3; un 2 = un √ 2 / √ 3*2R; a= √ 2 / √ 3*2R; un 2 \u003d 8R 2 / 3; .D 1 .D .O .B .C A. a a
Tareas (la esfera descrita cerca de la pirámide). Por propia cuenta. 6) S tetra completo. = 8R 2 √ 3/3 Respuesta: 8R 2 √ 3/3
El tema “Diferentes problemas sobre poliedros, un cilindro, un cono y una bola” es uno de los más difíciles en el curso de geometría de grado 11. Antes de resolver problemas geométricos, suelen estudiar las secciones relevantes de la teoría a las que se hace referencia al resolver problemas. En el libro de texto de S. Atanasyan y otros sobre este tema (p. 138) solo se pueden encontrar definiciones de un poliedro circunscrito alrededor de una esfera, un poliedro inscrito en una esfera, una esfera inscrita en un poliedro y una esfera circunscrita cerca un poliedro Las recomendaciones metodológicas para este libro de texto (ver el libro "Estudiar geometría en los grados 10–11" de S.M. Saakyan y V.F. Butuzov, p. 159) dicen qué combinaciones de cuerpos se consideran al resolver los problemas No. 629–646, y se llama la atención. al hecho de que "al resolver un problema en particular, en primer lugar, es necesario asegurarse de que los estudiantes tengan una buena idea de la posición relativa de los cuerpos indicados en la condición". La siguiente es la solución de los problemas No. 638 (a) y No. 640.
Teniendo en cuenta todo lo anterior, y el hecho de que las tareas más difíciles para los estudiantes son las tareas de combinar una pelota con otros cuerpos, es necesario sistematizar las disposiciones teóricas pertinentes y comunicarlas a los estudiantes.
Definiciones.
1. Se dice que una bola está inscrita en un poliedro, y se dice que un poliedro está circunscrito cerca de la bola, si la superficie de la bola toca todas las caras del poliedro.
2. Una bola se llama circunscrita cerca de un poliedro, y un poliedro se llama inscrito en una bola si la superficie de la bola pasa por todos los vértices del poliedro.
3. Una bola se llama inscrita en un cilindro, un cono truncado (cono) y un cilindro, un cono truncado (cono) se llama descrito cerca de la bola, si la superficie de la bola toca las bases (base) y todas las generatrices del cilindro, cono truncado (cono).
(Se sigue de esta definición que la circunferencia del círculo máximo de la bola puede inscribirse en cualquier sección axial de estos cuerpos).
4. Una bola se llama circunscrita cerca de un cilindro, un cono truncado (cono) si los círculos de las bases (el círculo de la base y la parte superior) pertenecen a la superficie de la bola.
(De esta definición se sigue que sobre cualquier sección axial de estos cuerpos, se puede describir la circunferencia del círculo mayor de la bola).
Observaciones generales sobre la posición del centro del balón.
1. El centro de una bola inscrita en un poliedro se encuentra en el punto de intersección de los planos bisectores de todos los ángulos diedros del poliedro. Se encuentra solo dentro del poliedro.
2. El centro de una esfera circunscrita a un poliedro se encuentra en el punto de intersección de los planos perpendiculares a todas las aristas del poliedro y que pasan por sus puntos medios. Se puede ubicar en el interior, en la superficie y en el exterior del poliedro.
Una combinación de una esfera y un prisma.
1. Una esfera inscrita en un prisma recto.
Teorema 1. Una esfera se puede inscribir en un prisma recto si y solo si se puede inscribir un círculo en la base del prisma, y la altura del prisma es igual al diámetro de este círculo.
Consecuencia 1. El centro de una esfera inscrita en un prisma recto está en el centro de la altura del prisma que pasa por el centro de una circunferencia inscrita en la base.
consecuencia 2. Una bola, en particular, puede inscribirse en líneas rectas: triangulares, regulares, cuadrangulares (en las que las sumas de los lados opuestos de la base son iguales entre sí) bajo la condición H = 2r, donde H es la altura del prisma , r es el radio de la circunferencia inscrita en la base.
2. Una esfera descrita cerca de un prisma.
Teorema 2. Una esfera se puede circunscribir alrededor de un prisma si y solo si el prisma es recto y un círculo se puede circunscribir cerca de su base.
Corolario 1. El centro de una esfera circunscrita cerca de un prisma recto se encuentra a la mitad de la altura del prisma trazado por el centro de un círculo circunscrito cerca de la base.
consecuencia 2. Una esfera, en particular, se puede describir: cerca de un prisma triangular recto, cerca de un prisma regular, cerca de un paralelepípedo rectangular, cerca de un prisma cuadrangular recto, en el que la suma de los ángulos opuestos de la base es 180 grados.
Del libro de texto de L.S. Atanasyan, se pueden proponer los problemas No. 632, 633, 634, 637 (a), 639 (a, b) para la combinación de una bola con un prisma.
Combinación de una esfera con una pirámide.
1. La pelota descrita cerca de la pirámide.
Teorema 3. Una esfera puede estar circunscrita cerca de una pirámide si y solo si un círculo puede estar circunscrito cerca de su base.
Consecuencia 1. El centro de una esfera circunscrita a una pirámide está en el punto de intersección de una línea perpendicular a la base de la pirámide, que pasa por el centro de un círculo circunscrito cerca de esta base, y un plano perpendicular a cualquier borde lateral trazado por el medio de este borde.
consecuencia 2. Si los bordes laterales de la pirámide son iguales entre sí (o están igualmente inclinados con respecto al plano de la base), entonces se puede describir una bola cerca de dicha pirámide. El centro de esta bola en este caso se encuentra en el punto de intersección de la altura de la pirámide (o su continuación) con el eje de simetría de la arista lateral en el plano de la arista lateral y la altura.
Consecuencia 3. Una pelota, en particular, se puede describir: cerca de una pirámide triangular, cerca de una pirámide regular, cerca de una pirámide cuadrangular, en la que la suma de los ángulos opuestos es de 180 grados.
2. Una bola inscrita en una pirámide.
Teorema 4. Si las caras laterales de la pirámide están igualmente inclinadas con respecto a la base, entonces se puede inscribir una esfera en dicha pirámide.
Consecuencia 1. El centro de una bola inscrita en una pirámide, cuyas caras laterales están igualmente inclinadas con respecto a la base, se encuentra en el punto de intersección de la altura de la pirámide con la bisectriz del ángulo lineal de cualquier ángulo diedro en la base de la pirámide, cuyo lado es la altura de la cara lateral dibujada desde la parte superior de la pirámide.
consecuencia 2. Una bola se puede inscribir en una pirámide regular.
Del libro de texto de L.S. Atanasyan, se pueden proponer los problemas No. 635, 637 (b), 638, 639 (c), 640, 641 para la combinación de una pelota con una pirámide.
Combinación de una esfera con una pirámide truncada.
1. Una bola circunscrita cerca de una pirámide truncada regular.
Teorema 5. Cerca de cualquier pirámide truncada regular, se puede describir una esfera. (Esta condición es suficiente pero no necesaria)
2. Una bola inscrita en una pirámide truncada regular.
Teorema 6. Una bola puede inscribirse en una pirámide truncada regular si y solo si la apotema de la pirámide es igual a la suma de las apotemas de las bases.
Solo hay un problema para combinar una pelota con una pirámide truncada en el libro de texto de LS Atanasyan (No. 636).
Una combinación de una pelota con cuerpos redondos.
Teorema 7. Cerca de un cilindro, se puede describir un cono truncado (circular recto), un cono, una esfera.
Teorema 8. Una esfera se puede inscribir en un cilindro (circular recto) si y solo si el cilindro es equilátero.
Teorema 9. Una esfera se puede inscribir en cualquier cono (circular recto).
Teorema 10. Una bola puede inscribirse en un cono truncado (circular recto) si y solo si su generatriz es igual a la suma de los radios de las bases.
Del libro de texto de L.S. Atanasyan, se pueden proponer los problemas No. 642, 643, 644, 645, 646 para la combinación de una pelota con cuerpos redondos.
Para un estudio más exitoso del material de este tema, es necesario incluir tareas orales en el curso de las lecciones:
1. La arista del cubo es igual a a. Encuentre los radios de las bolas: inscritas en un cubo y circunscritas cerca de él. (r = a/2, R = a3).
2. ¿Es posible describir una esfera (bola) alrededor de: a) un cubo; b) un paralelepípedo rectangular; c) un paralelepípedo inclinado, en cuya base se encuentra un rectángulo; d) un paralelepípedo recto; e) un paralelepípedo inclinado? (a) sí; b) sí; c) no; d) no; e) no)
3. ¿Es cierto que se puede describir una esfera cerca de cualquier pirámide triangular? (Sí)
4. ¿Es posible describir una esfera alrededor de cualquier pirámide cuadrangular? (No, no cerca de ninguna pirámide cuadrangular)
5. ¿Qué propiedades debe tener una pirámide para describir una esfera a su alrededor? (En su base debe haber un polígono, alrededor del cual se puede describir un círculo)
6. En la esfera está inscrita una pirámide cuyo borde lateral es perpendicular a la base. ¿Cómo encontrar el centro de una esfera? (El centro de la esfera es el punto de intersección de dos lugares geométricos de puntos en el espacio. El primero es una perpendicular trazada al plano de la base de la pirámide, a través del centro del círculo descrito alrededor de ella. El segundo es un plano perpendicular a este borde lateral y dibujado a través de su centro)
7. ¿Bajo qué condiciones se puede describir una esfera cerca de un prisma, en cuya base hay un trapezoide? (En primer lugar, el prisma debe ser recto y, en segundo lugar, el trapezoide debe ser isósceles para que se pueda describir un círculo a su alrededor)
8. ¿Qué condiciones debe cumplir un prisma para describir una esfera a su alrededor? (El prisma debe ser recto y su base debe ser un polígono alrededor del cual se pueda circunscribir un círculo)
9. Se describe una esfera cerca de un prisma triangular, cuyo centro se encuentra fuera del prisma. ¿Qué triángulo es la base del prisma? (triángulo obtuso)
10. ¿Es posible describir una esfera cerca de un prisma inclinado? (No, no puedes)
11. ¿Bajo qué condición el centro de una esfera circunscrita a un prisma triangular recto estará ubicado en una de las caras laterales del prisma? (La base es un triángulo rectángulo)
12. La base de la pirámide es un trapezoide isósceles.La proyección ortogonal de la parte superior de la pirámide sobre el plano de la base es un punto ubicado fuera del trapezoide. ¿Es posible describir una esfera alrededor de tal trapezoide? (Sí, puede. El hecho de que la proyección ortogonal de la parte superior de la pirámide se encuentre fuera de su base no importa. Es importante que en la base de la pirámide se encuentre un trapezoide isósceles, un polígono alrededor del cual se puede formar un círculo. descrito)
13. Cerca de la pirámide regular se describe una esfera. ¿Cómo se ubica su centro en relación con los elementos de la pirámide? (El centro de la esfera está en una perpendicular trazada al plano de la base a través de su centro)
14. ¿Bajo qué condición el centro de una esfera circunscrita a un prisma triangular recto se encuentra: a) dentro del prisma; b) fuera del prisma? (En la base del prisma: a) un triángulo acutángulo; b) triángulo obtuso)
15. Se describe una esfera cerca de un paralelepípedo rectangular cuyas aristas miden 1 dm, 2 dm y 2 dm. Calcular el radio de la esfera. (1,5 cm)
16. ¿En qué cono truncado se puede inscribir una esfera? (En un cono truncado, en cuya sección axial se puede inscribir una circunferencia. La sección axial del cono es un trapezoide isósceles, la suma de sus bases debe ser igual a la suma de sus lados laterales. En otras palabras, para un cono, la suma de los radios de las bases debe ser igual a la generatriz)
17. Una esfera está inscrita en un cono truncado. ¿Con qué ángulo es visible la generatriz del cono desde el centro de la esfera? (90 grados)
18. ¿Qué propiedad debe tener un prisma recto para poder inscribir una esfera en él? (En primer lugar, en la base de un prisma recto debe haber un polígono en el que se pueda inscribir un círculo y, en segundo lugar, la altura del prisma debe ser igual al diámetro del círculo inscrito en la base)
19. Da un ejemplo de una pirámide en la que no se pueda inscribir una esfera. (Por ejemplo, una pirámide cuadrangular, en cuya base se encuentra un rectángulo o paralelogramo)
20. Un rombo se encuentra en la base de un prisma recto. ¿Se puede inscribir una esfera en este prisma? (No, no se puede, ya que en el caso general es imposible describir un círculo cerca de un rombo)
21. ¿Bajo qué condición se puede inscribir una esfera en un prisma triangular recto? (Si la altura del prisma es el doble del radio de la circunferencia inscrita en la base)
22. ¿Bajo qué condición se puede inscribir una esfera en una pirámide truncada cuadrangular regular? (Si la sección de esta pirámide por un plano que pasa por la mitad del lado de la base perpendicular a ella es un trapezoide isósceles en el que se puede inscribir un círculo)
23. Una esfera está inscrita en una pirámide triangular truncada. ¿Qué punto de la pirámide es el centro de la esfera? (El centro de la esfera inscrita en esta pirámide está en la intersección de tres planos bisectrices de ángulos formados por las caras laterales de la pirámide con la base)
24. ¿Es posible describir una esfera alrededor de un cilindro (circular recto)? (Sí tu puedes)
25. ¿Es posible describir una esfera cerca de un cono, un cono truncado (los circulares rectos)? (Sí, se puede, en ambos casos)
26. ¿Se puede inscribir una esfera en cualquier cilindro? ¿Qué propiedades debe tener un cilindro para que en él se inscriba una esfera? (No, no en todos: la sección axial del cilindro debe ser un cuadrado)
27. ¿Se puede inscribir una esfera en cualquier cono? ¿Cómo determinar la posición del centro de una esfera inscrita en un cono? (Sí, en cualquiera. El centro de la esfera inscrita está en la intersección de la altura del cono y la bisectriz del ángulo de inclinación de la generatriz al plano de la base)
El autor considera que de las tres lecciones que se dan para la planificación del tema “Diferentes problemas para poliedros, un cilindro, un cono y una pelota”, es recomendable tomar dos lecciones para resolver problemas de combinación de una pelota con otros cuerpos. . No se recomienda probar los teoremas dados anteriormente debido a la cantidad insuficiente de tiempo en las lecciones. Se puede ofrecer a los alumnos que tengan las competencias suficientes para que las prueben indicando (a criterio del profesor) el curso o plan de la prueba.
Una bola se puede circunscribir cerca de una pirámide si y solo si un círculo se puede circunscribir cerca de su base.
Para construir el centro O de esta pelota, necesitas:
1. Encuentra el centro O, el círculo circunscrito cerca de la base.
2. Por el punto O, traza una línea recta perpendicular al plano de la base.
3. A través de la mitad de cualquier borde lateral de la pirámide, dibuje un plano perpendicular a este borde.
4. Encuentra el punto O de la intersección de la recta y el plano construidos.
Caso especial: las aristas laterales de la pirámide son iguales. Luego:
la pelota se puede describir;
el centro O de la bola se encuentra a la altura de la pirámide;
¿Dónde está el radio de la esfera circunscrita; - costilla lateral; H es la altura de la pirámide.
5.2. bola y prisma
Una esfera se puede circunscribir cerca de un prisma si y solo si el prisma es recto y un círculo se puede circunscribir cerca de su base.
El centro de la pelota es el medio del segmento que conecta los centros de los círculos descritos cerca de las bases.
donde es el radio de la esfera circunscrita; es el radio del círculo circunscrito cerca de la base; H es la altura del prisma.
5.3. bola y cilindro
Una esfera siempre se puede describir cerca de un cilindro. El centro de la esfera es el centro de simetría de la sección axial del cilindro.
5.4. bola y cono
Una esfera siempre se puede describir cerca de un cono. el centro de la pelota; sirve como el centro de un círculo circunscrito a la sección axial del cono.
Cerca de la bola se describe un prisma cuadrangular regular, cuyo volumen es de 65 dm 3 . Calcula la relación entre el área de la superficie total del prisma y el volumen de la esfera.
Un prisma se llama regular si sus bases son polígonos regulares y sus aristas laterales son perpendiculares a la base. Un cuadrilátero regular es un cuadrado. El punto de intersección de las diagonales de un cuadrado es su centro, así como el centro de un círculo inscrito en él. Probemos este hecho. aunque es poco probable que se solicite esta prueba y se puede omitir
Como un tipo especial de paralelogramo, rectángulo y rombo, el cuadrado tiene sus propiedades: las diagonales son iguales y bisecan el punto de intersección, y son las bisectrices de las esquinas del cuadrado. Dibuja una línea a través del punto E paralela a AB. AB es perpendicular a BC, lo que significa que TC también es perpendicular a BC (si una de las dos líneas paralelas es perpendicular a cualquier tercio de la línea, entonces la segunda línea paralela también es perpendicular a esta (tercera) línea). De la misma manera, trazamos una línea recta MR. Los triángulos rectangulares BET y AEK son iguales en hipotenusa y ángulo agudo (BE=AE - la mitad de las diagonales, ∠ EBT=∠ EAK - la mitad del ángulo recto), entonces ET=EK. De la misma manera probamos que EM=EP. Y de la igualdad de los triángulos CEP y SET (mismo signo) veremos que ET = EP, es decir ET=EP=EK=EM o simplemente decir que el punto M equidista de los lados del cuadrado, y esta es la condición necesaria para reconocerlo como el centro de un círculo inscrito en este cuadrado.
Considere el rectángulo ABTK (este cuadrilátero es un rectángulo, ya que todos los ángulos en él son rectos por construcción). En un rectángulo, los lados opuestos son iguales: AB \u003d KT (cabe señalar que KT es el diámetro de la base), esto significa que el lado de la base es igual al diámetro del círculo inscrito.
Dibujemos un plano por paralelo (dos rectas perpendiculares al mismo plano son paralelas) AA 1, CC 1 y BB 1 y DD 1, respectivamente (las rectas paralelas definen un plano, además, solo uno). Los planos AA 1 C 1 C y BB 1 D 1 D son perpendiculares a la base ABCD, porque pasan por líneas rectas (costillas laterales) perpendiculares a él.
Desde el punto H (la intersección de las diagonales) en el plano AA 1 C 1 C perpendicular a la base ABCD. Luego haremos lo mismo en el plano BB 1 D 1 D. Del teorema: si desde un punto perteneciente a uno de los dos planos perpendiculares trazamos una perpendicular al otro plano, entonces esta perpendicular se encuentra completamente en el primer plano, obtenemos que esta perpendicular debe estar y en el plano AA 1 C 1 C y en el plano BB 1 D 1 D. Esto es posible solo si esta perpendicular coincide con la línea de intersección de estos planos - NO. Esos. el segmento NO es una recta sobre la que está el centro de la circunferencia inscrita (porque NO es equidistante de los planos de las caras laterales, y ésta, a su vez, se sigue de la equidistancia de los puntos E y H de los vértices de la bases correspondientes (según lo probado: el punto de intersección de las diagonales equidista de los lados del cuadrado), y del hecho de que NOT es perpendicular a las bases, podemos concluir que NOT es el diámetro de la bola. : Una bola puede inscribirse en un prisma regular si y solo si su altura es igual al diámetro del círculo inscrito en la base, por lo que su altura es igual al diámetro del círculo inscrito en la base. el lado de la base como pero, y la altura del prisma para h, luego usando este teorema, concluimos pero=h y luego el volumen del prisma se puede encontrar de la siguiente manera: 
Además, usando el hecho de que la altura es igual al diámetro de la esfera inscrita y el lado de la base del prisma, encontramos el radio de la esfera y luego su volumen: 
Hay que decir que las aristas laterales son iguales a la altura (los segmentos de rectas paralelas encerrados entre planos paralelos son iguales), y como la altura es igual al lado de la base, entonces en general todas las aristas del prisma son iguales entre sí, y todas las caras son esencialmente cuadrados con un área pero 2. De hecho, tal figura se llama cubo, un caso especial de un paralelepípedo. Queda por encontrar la superficie total del cubo y correlacionarla con el volumen de la pelota: 
2. Lado base 
Tareas
1. Encuentra el área de la superficie de un prisma recto, en cuya base se encuentra un rombo con diagonales iguales a 3 y 4, y una arista lateral igual a 5.
Respuesta: 62.
2. En la base de un prisma recto se encuentra un rombo con diagonales iguales a 6 y 8. Su área de superficie es 248. Encuentra el borde lateral de este prisma.
Respuesta: 10.
3. Encuentra la arista lateral de un prisma cuadrangular regular si los lados de su base son 3 y el área de la superficie es 66.
Respuesta: 4.
4. Un prisma cuadrangular regular se describe cerca de un cilindro cuyo radio de base y altura son iguales a 2. Encuentra el área de la superficie lateral del prisma.
Respuesta: 32.
5. Un prisma cuadrangular regular está circunscrito a un cilindro cuyo radio base es 2. El área de la superficie lateral del prisma es 48. Encuentra la altura del cilindro.
Prisma recto (regular hexagonal)
Prisma en el que las aristas laterales son perpendiculares a las bases y las bases son cuadrados iguales.
1. Caras laterales - rectángulos iguales
2. Lado base 
Tareas
1. Encuentra el volumen de un prisma hexagonal regular cuyos lados de la base son iguales a 1 y las aristas laterales son iguales.
Respuesta: 4.5.
2. Halla el área de la superficie lateral de un prisma hexagonal regular cuyos lados base son 3 y cuya altura es 6.
Respuesta: 108.
3. Halla el volumen de un prisma hexagonal regular con todas las aristas iguales a √3.
Respuesta: 13.5
4. Halla el volumen de un poliedro cuyos vértices son los puntos A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 de un prisma hexagonal regular ABCDEFA1B1C1D1E1F1 de área base 6 y arista lateral 2.
Prisma directo (arbitrario norte-carbón)
Un prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases y cuyas bases son n-ágonos iguales.
1. Si la base es un polígono regular, entonces las caras laterales son rectángulos iguales.
2. Lado base 
.
Pirámide
Una pirámide es un poliedro compuesto por un n-ágono A1A2...AnA1 y n triángulos (A1A2P, A1A3P, etc.).
1. Una sección paralela a la base de la pirámide es un polígono similar a la base. Las áreas de la sección y la base están relacionadas como los cuadrados de sus distancias a la parte superior de la pirámide.
2. Una pirámide se llama regular si su base es un polígono regular y el vértice se proyecta en el centro de la base.
3. Todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales y las caras laterales son triángulos isósceles iguales.
4. La altura de la cara lateral de una pirámide regular se llama apotema.
5. El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base y la apotema.
Tareas
1. ¿Cuántas veces aumentará el volumen de un tetraedro regular si todas sus aristas se duplican?
Respuesta: 8.
2. Los lados de la base de una pirámide hexagonal regular son 10, las aristas laterales son 13. Encuentra el área de la superficie lateral de la pirámide.
Respuesta: 360.
5. Encuentra el volumen de la pirámide que se muestra en la figura. Su base es un polígono cuyos lados adyacentes son perpendiculares, y una de las aristas laterales es perpendicular al plano de la base y es igual a 3.
Respuesta: 27.
6. Encuentra el volumen de una pirámide triangular regular cuyos lados de la base son 1 y cuya altura es .
Respuesta: 0,25.
7. Las aristas laterales de una pirámide triangular son mutuamente perpendiculares, cada una de ellas es igual a 3. Encuentra el volumen de la pirámide.
Respuesta: 4.5.
8. La diagonal de la base de una pirámide cuadrangular regular es 8. La arista lateral es 5. Encuentra el volumen de la pirámide.
Respuesta: 32.
9. En una pirámide cuadrangular regular, la altura es 12, el volumen es 200. Halla la arista lateral de la pirámide.
Respuesta: 13.
10. Los lados de la base de una pirámide cuadrangular regular son 6, las aristas laterales son 5. Encuentra el área de la superficie de la pirámide.
Respuesta: 84.
11. El volumen de una pirámide hexagonal regular 6. El lado de la base es 1. Halla la arista lateral.
12. ¿Cuántas veces aumentará el área de la superficie de un tetraedro regular si se duplican todas sus aristas?
Respuesta: 4.
13. El volumen de una pirámide cuadrangular regular es 12. Encuentra el volumen de la pirámide cortado de ella por un plano que pasa por la diagonal de la base y el medio del borde del lado opuesto.
Respuesta: 3.
14. ¿Cuántas veces disminuirá el volumen de un octaedro si todas sus aristas se reducen a la mitad?
Respuesta: 8.
15. El volumen de una pirámide triangular es 15. El plano pasa por el lado de la base de esta pirámide y corta el borde del lado opuesto en un punto que lo divide en una proporción de 1:2, contando desde la parte superior de la pirámide. Encuentra el mayor de los volúmenes de las pirámides en que el plano divide la pirámide original.
Respuesta: 10.
16. Encuentra la altura de una pirámide triangular regular cuyos lados de la base son 2 y cuyo volumen es .
Respuesta: 3.
17. En una pirámide cuadrangular regular, la altura es 6, el borde lateral es 10. Encuentra su volumen.
Respuesta: 256.
18. De una pirámide triangular, cuyo volumen es igual a 12, se corta una pirámide triangular por un plano que pasa por la parte superior de la pirámide y la línea media de la base. Encuentra el volumen de la pirámide triangular recortada.
Respuesta: 3.
Cilindro
Cilindro: un cuerpo delimitado por una superficie cilíndrica y dos círculos con bordes.
| H |
| R |
| volumen corporal | Superficie lateral | Área de la base | Superficie total |
 |  |  |  |
 |  |  |
1. Generadores de un cilindro: segmentos de generadores encerrados entre las bases.
2. La altura del cilindro es la longitud de la generatriz.
3. Sección axial: un rectángulo, dos de cuyos lados son generadores y los otros dos son los diámetros de las bases del cilindro.
4. Sección circular: una sección cuyo plano secante es perpendicular al eje del cilindro.
5. Desarrollo de la superficie lateral del cilindro: un rectángulo que representa dos bordes de la sección de la superficie lateral del cilindro a lo largo de la generatriz.
6. El área de la superficie lateral del cilindro es el área de su desarrollo.
7. El área de la superficie completa del cilindro se llama la suma de las áreas de la superficie lateral y las dos bases.
8. Siempre es posible describir una esfera cerca de un cilindro. Su centro se encuentra en el medio de la altura. 
, donde R es el radio de la bola, r es el radio de la base del cilindro, H es la altura del cilindro.
9. Se puede inscribir una bola en un cilindro si el diámetro de la base del cilindro es igual a su altura, 
.
Tareas
1. Se baja una parte a un recipiente cilíndrico que contiene 6 litros de agua. Al mismo tiempo, el nivel de líquido en el recipiente aumentó 1,5 veces. ¿Cuál es el volumen de la pieza?
Respuesta: 3.
2. Halla el volumen de un cilindro cuyo área de base es igual a 1, y la generatriz es igual a 6 y está inclinado con respecto al plano de base en un ángulo de 30o.
Respuesta: 3.
3. El cilindro y el cono tienen base y altura comunes. Halla el volumen del cilindro si el volumen del cono es 50.
Respuesta: 150.
4. El agua, que estaba en un recipiente cilíndrico a un nivel de 12 cm, se vertió en un recipiente cilíndrico, el doble de grande en diámetro. ¿A qué altura estará el nivel del agua en el segundo recipiente?
5. El área de la sección axial del cilindro es . Encuentre el área de la superficie lateral del cilindro.
Respuesta: 2.
6. Un prisma cuadrangular regular se describe cerca de un cilindro cuyo radio base y altura son iguales a 2. Encuentra el área de la superficie lateral del prisma.
Respuesta: 32.
7. La circunferencia de la base del cilindro es 3. El área de la superficie lateral es 6. Encuentra la altura del cilindro.
8. Una taza cilíndrica es el doble de alta que la segunda, pero la segunda es una vez y media más ancha. Encuentra la razón del volumen de la segunda taza al volumen de la primera.
Respuesta: 1.125.
9. En un recipiente cilíndrico el nivel del líquido alcanza los 18 cm ¿A qué altura estará el nivel del líquido si se vierte en un segundo recipiente cuyo diámetro es 3 veces mayor que el primero?
Respuesta: 2.
Cono
Un cono es un cuerpo limitado por una superficie cónica y un círculo.
  |
| eje del cono |
| R |
| vértice |
| generadores |
| superficie lateral |
| r |
| volumen corporal | Superficie lateral | Área de la base | Superficie total |
 |  | |  |
 |  |
1. El área de la superficie lateral del cono es el área de su desarrollo.
2. Relación entre el ángulo de desarrollo y el ángulo en el vértice de la sección axial 
.
1. Un cilindro y un cono tienen una base y una altura comunes. Halla el volumen del cilindro si el volumen del cono es 50.
Respuesta: 150.
2. Halla el volumen de un cono cuya base es 2, y la generatriz es 6 y está inclinada respecto al plano base en un ángulo de 30o.
Respuesta: 2.
3. El volumen del cono es 12. Se dibuja una sección paralela a la base del cono, dividiendo la altura por la mitad. Encuentre el volumen del cono cortado.
Respuesta: 1.5.
4. ¿Cuántas veces es mayor el volumen de un cono circunscrito cerca de una pirámide cuadrangular regular que el volumen de un cono inscrito en esta pirámide?
Respuesta: 2.
5. La altura del cono es 6, la generatriz es 10. Encuentra su volumen dividido por.
Respuesta: 128.
6. El cilindro y el cono tienen base y altura comunes. Encuentra el volumen del cono si el volumen del cilindro es 48.
Respuesta: 16.
7. El diámetro de la base del cono es 6 y el ángulo en la parte superior de la sección axial es 90°. Calcula el volumen del cono dividido por .
8. El cono se describe cerca de una pirámide cuadrangular regular con base de lado 4 y altura 6. Encuentra su volumen dividido por .
9. Se obtiene un cono girando un triángulo rectángulo isósceles alrededor de un cateto igual a 6. Encuentra su volumen dividido por.
esfera y bola
Una esfera es una superficie que consta de todos los puntos en el espacio ubicados a una distancia dada de un punto dado. Una esfera es un cuerpo limitado por una esfera.
1. Una sección de una esfera por un plano es un círculo si la distancia del centro de la esfera al plano es menor que el radio de la esfera.
2. La sección de una esfera por un plano es un círculo.
3. El plano tangente a la esfera es un plano que tiene un solo punto en común con la esfera.
4. El radio de la esfera, dibujado en el punto de contacto entre la esfera y el plano, es perpendicular al plano tangente.
5. Si el radio de una esfera es perpendicular al plano que pasa por su extremo que se encuentra sobre la esfera, entonces este plano es tangente a la esfera.
6. Se dice que un poliedro está inscrito cerca de una esfera si la esfera toca todas sus caras.
7. Los segmentos de las tangentes a la esfera trazadas desde un punto son iguales y forman ángulos iguales con la recta que pasa por este punto y el centro de la esfera.
8. Una esfera se inscribe en una superficie cilíndrica si toca todos sus generadores.
9. Una esfera se inscribe en una superficie cónica si toca todos sus generadores.
Tareas
1. Los radios de dos bolas son 6 y 8. Encuentra el radio de una bola cuya superficie es igual a la suma de sus superficies.
Respuesta: 10.
2. El área del círculo máximo de la pelota es 1. Encuentra el área de la superficie de la pelota.
3. ¿Cuántas veces aumentará el área superficial de la pelota si se duplica su radio?
4. Los radios de tres bolas son 3, 4 y 5. Encuentra el radio de una bola cuyo volumen es igual a la suma de sus volúmenes.
Respuesta: 6.
5. Una caja rectangular está circunscrita alrededor de una esfera de radio 2. Encuentra su área de superficie.
Respuesta: 96.
6. Un cubo está inscrito en una bola de radio . Encuentra el área de la superficie del cubo.
Respuesta: 24.
7. Una caja rectangular está circunscrita alrededor de una esfera de radio 2. Encuentra su volumen.
8. El volumen del paralelepípedo circunscrito alrededor de la esfera es 216. Encuentra el radio de la esfera.
Respuesta: 3.
9. El área de superficie de un paralelepípedo circunscrito a una esfera es 96. Encuentra el radio de la esfera.
Respuesta: 2.
10. Se describe un cilindro cerca de la esfera, cuyo área de superficie lateral es 9. Encuentra el área de superficie de la esfera.
Respuesta: 9.
11. ¿Cuántas veces es mayor el área superficial de una esfera circunscrita a un cubo que el área superficial de una esfera inscrita en el mismo cubo?
Respuesta: 3.
12. Un cubo está inscrito en una bola de radio . Encuentra el volumen del cubo.
Respuesta: 8.
poliedros compuestos
Tareas
1. La figura muestra un poliedro, todos los ángulos diedros del poliedro son rectos. Encuentra la distancia entre los vértices A y C2.
Respuesta: 3.
2. Encuentra el ángulo CAD2 del poliedro que se muestra en la figura. Todos los ángulos diedros de un poliedro son rectos. Da tu respuesta en grados.
Respuesta: 60.
3. Encuentra el área de la superficie del poliedro que se muestra en la figura (todos los ángulos diedros son rectos).
Respuesta: 18.
4. Encuentra el área de la superficie del poliedro que se muestra en la figura (todos los ángulos diedros son rectos).
Respuesta: 132
5. Encuentra el área de la superficie de la cruz espacial que se muestra en la figura y está formada por unidades cúbicas.
Respuesta: 30
6. Encuentra el volumen del poliedro que se muestra en la figura (todos los ángulos diedros son rectos).
Respuesta: 8
7. Halla el volumen del poliedro que se muestra en la figura (todos los ángulos diedros son rectos).
Respuesta: 78
8. La figura muestra un poliedro, todos los ángulos diedros del poliedro son rectos. Encuentra la tangente del ángulo ABB3.
Respuesta: 2
10. La figura muestra un poliedro, todos los ángulos diedros del poliedro son rectos. Encuentra la tangente del ángulo C3D3B3.
Respuesta: 3
11. A través de la línea media de la base de un prisma triangular, se dibuja un plano paralelo al borde lateral. Encuentra el área de la superficie lateral del prisma si el área de la superficie lateral del prisma triangular recortado es 37.
Respuesta: 74.
12. La figura muestra un poliedro, todos los ángulos diedros del poliedro son rectos. Encuentra la distancia al cuadrado entre los vértices B2 y D3.
Respuesta: 11.
