No hay cambios en el USE en matemáticas a nivel de perfil en 2019: el programa de exámenes, como en años anteriores, está compuesto por materiales de las principales disciplinas matemáticas. Los boletos incluirán problemas matemáticos, geométricos y algebraicos.

No hay cambios en KIM USE 2019 en matemáticas a nivel de perfil.

Características de las asignaciones USE en matemáticas-2019

• Al prepararse para el examen de matemáticas (perfil), preste atención a los requisitos básicos del programa de examen. Está diseñado para probar los conocimientos del programa avanzado: modelos vectoriales y matemáticos, funciones y logaritmos, ecuaciones algebraicas y desigualdades.
• Por separado, practique la resolución de tareas para.
• Es importante mostrar un pensamiento no estándar.

Estructura del examen

Tareas del Examen Estatal Unificado de perfil matemático. dividido en dos bloques.

1. Parte - respuestas cortas, incluye 8 tareas que ponen a prueba la formación matemática básica y la capacidad de aplicar los conocimientos matemáticos en la vida cotidiana.
2. Parte - breve y respuestas detalladas. Consta de 11 tareas, 4 de las cuales requieren una respuesta breve y 7, una detallada con una argumentación de las acciones realizadas.

• Mayor complejidad- tareas 9-17 de la segunda parte de KIM.
• Alto nivel de dificultad- tareas 18-19 –. Esta parte de las tareas del examen verifica no solo el nivel de conocimiento matemático, sino también la presencia o ausencia de un enfoque creativo para resolver tareas "digitales" secas, así como la efectividad de la capacidad de usar el conocimiento y las habilidades como una herramienta profesional. .

¡Importante! Por eso, cuando te prepares para el examen, siempre apoya la teoría en matemáticas resolviendo problemas prácticos.

¿Cómo se distribuirán los puntos?

Las tareas de la primera parte de los KIM en matemáticas se acercan a las pruebas USE de nivel básico, por lo que es imposible obtener una puntuación alta en ellas.

Los puntos para cada tarea en matemáticas en el nivel de perfil se distribuyeron de la siguiente manera:

• por respuestas correctas a las tareas No. 1-12 - 1 punto cada una;
• No. 13-15 - 2 cada uno;
• No. 16-17 - 3 cada uno;
• No. 18-19 - 4 cada uno.

La duración del examen y las reglas de conducta para el examen.

Para completar el examen -2019 el estudiante es asignado 3 horas 55 minutos(235 minutos).

Durante este tiempo, el estudiante no debe:

• ser ruidoso;
• utilizar aparatos y otros medios técnicos;
• pedir por escrito;
• trate de ayudar a otros, o pida ayuda para usted mismo.

Por tales acciones, el examinador puede ser expulsado de la audiencia.

Para el examen estatal de matemáticas. permitido traer solo una regla contigo, el resto de los materiales se te entregarán inmediatamente antes del examen. emitido en el acto.

La preparación efectiva es la solución de las pruebas de matemáticas en línea 2019. ¡Elige y obtén el puntaje más alto!

Evaluación

dos partes, incluyendo 19 tareas. Parte 1 Parte 2

3 horas 55 minutos(235 minutos).

respuestas

Pero puedes hacer una brújula Calculadoras en el examen no utilizado.

El pasaporte), pasar y capilar o! permitido tomar conmigo mismo agua(en una botella transparente) y comida

El examen consta de dos partes, incluyendo 19 tareas. Parte 1 contiene 8 tareas de un nivel básico de complejidad con una respuesta corta. Parte 2 contiene 4 tareas de mayor complejidad con respuesta corta y 7 tareas de mayor complejidad con respuesta detallada.

Para completar el trabajo de examen en matemáticas se da 3 horas 55 minutos(235 minutos).

respuestas a las tareas 1–12 se registran como un número entero o decimal final. ¡Escriba los números en los campos de respuesta en el texto del trabajo y luego transfiéralos a la hoja de respuestas No. 1 emitida durante el examen!

Al hacer el trabajo, puede usar los emitidos con el trabajo. Solo puedes usar una regla., pero puedes hacer una brújula con tus propias manos. Está prohibido utilizar herramientas con materiales de referencia impresos en ellas. Calculadoras en el examen no utilizado.

Debe tener un documento de identidad con usted para el examen. El pasaporte), pasar y capilar o bolígrafo de gel con tinta negra! permitido tomar conmigo mismo agua(en una botella transparente) y comida(fruta, chocolate, bollos, sándwiches), pero se les puede pedir que los dejen en el pasillo.

educación general secundaria

Línea UMK GK Muravina. Álgebra y los inicios del análisis matemático (10-11) (profundo)

Línea UMK Merzlyak. Álgebra y los Principios del Análisis (10-11) (U)

Matemáticas

Preparación para el examen de matemáticas (nivel de perfil): tareas, soluciones y explicaciones.

Analizamos tareas y resolvemos ejemplos con el profesor.

El examen de nivel de perfil dura 3 horas 55 minutos (235 minutos).

Umbral mínimo- 27 puntos.

El examen consta de dos partes, que difieren en contenido, complejidad y número de tareas.

La característica definitoria de cada parte del trabajo es la forma de las tareas:

• la parte 1 contiene 8 tareas (tareas 1-8) con una respuesta corta en forma de un número entero o una fracción decimal final;
• la parte 2 contiene 4 tareas (tareas 9-12) con una respuesta corta en forma de un número entero o una fracción decimal final y 7 tareas (tareas 13-19) con una respuesta detallada (registro completo de la decisión con la justificación de la acciones realizadas).

Panova Svetlana Anatolievna, profesor de matemáticas de la máxima categoría del colegio, experiencia laboral de 20 años:

“Para obtener un certificado escolar, un graduado debe aprobar dos exámenes obligatorios en la forma del Examen Estatal Unificado, uno de los cuales es de matemáticas. De acuerdo con el Concepto para el Desarrollo de la Educación Matemática en la Federación Rusa, el Examen Estatal Unificado de matemáticas se divide en dos niveles: básico y especializado. Hoy consideraremos opciones para el nivel de perfil.

Tarea número 1- comprueba la capacidad de los participantes de USE para aplicar las habilidades adquiridas en el curso de los grados 5-9 en matemáticas elementales en actividades prácticas. El participante debe tener habilidades computacionales, poder trabajar con números racionales, poder redondear fracciones decimales, poder convertir una unidad de medida a otra.

Ejemplo 1 En el departamento donde vive Petr, se instaló un medidor de agua fría (medidor). El primero de mayo, el medidor mostró un consumo de 172 metros cúbicos. m de agua, y el primero de junio - 177 metros cúbicos. m) ¿Qué cantidad debe pagar Peter por agua fría para mayo, si el precio de 1 cu. m de agua fría es de 34 rublos 17 kopeks? Dé su respuesta en rublos.

Solución:

1) Encuentra la cantidad de agua gastada por mes:

177 - 172 = 5 (m3)

2) Encuentre cuánto dinero se pagará por el agua gastada:

34,17 5 = 170,85 (frotar)

Responder: 170,85.

Tarea número 2- es una de las tareas más sencillas del examen. La mayoría de los graduados lo enfrentan con éxito, lo que indica la posesión de la definición del concepto de función. El tipo de tarea No. 2 según el codificador de requisitos es una tarea para utilizar los conocimientos y habilidades adquiridos en actividades prácticas y en la vida cotidiana. La Tarea No. 2 consiste en describir, usando funciones, varias relaciones reales entre cantidades e interpretar sus gráficos. La tarea número 2 prueba la capacidad de extraer información presentada en tablas, diagramas, gráficos. Los graduados deben poder determinar el valor de una función por el valor del argumento con varias formas de especificar la función y describir el comportamiento y las propiedades de la función de acuerdo con su gráfico. También es necesario poder encontrar el valor más grande o más pequeño del gráfico de la función y construir gráficos de las funciones estudiadas. Los errores cometidos son de carácter aleatorio en la lectura de las condiciones del problema, lectura del diagrama.

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Ejemplo 2 La figura muestra el cambio en el valor de cambio de una acción de una empresa minera en la primera quincena de abril de 2017. El 7 de abril, el empresario compró 1.000 acciones de esta empresa. El 10 de abril vendió las tres cuartas partes de las acciones compradas y el 13 de abril vendió todas las restantes. ¿Cuánto perdió el empresario como resultado de estas operaciones?

Solución:

2) 1000 3/4 = 750 (acciones) - componen 3/4 de todas las acciones compradas.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rublos): el empresario recibió después de la venta de 1000 acciones.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (rublos) - el empresario perdió como resultado de todas las operaciones.

Responder: 15000.

Tarea número 3- es una tarea del nivel básico de la primera parte, comprueba la capacidad de realizar acciones con formas geométricas de acuerdo con el contenido del curso "Planimetría". La tarea 3 evalúa la capacidad de calcular el área de una figura en papel cuadriculado, la capacidad de calcular medidas de ángulos en grados, calcular perímetros, etc.

Ejemplo 3 Encuentre el área de un rectángulo dibujado en papel cuadriculado con un tamaño de celda de 1 cm por 1 cm (ver figura). Da tu respuesta en centímetros cuadrados.

Solución: Para calcular el área de esta figura, puedes usar la fórmula del Pico:

Para calcular el área de este rectángulo, usamos la fórmula Peak:

S= B +	GRAMO
	2

donde V = 10, G = 6, por lo tanto

S = 18 +	6
	2

Responder: 20.

Ver también: Examen de estado unificado en física: resolución de problemas de vibración

Tarea número 4- la tarea del curso "Teoría de la probabilidad y estadística". Se prueba la capacidad de calcular la probabilidad de un evento en la situación más simple.

Ejemplo 4 Hay 5 puntos rojos y 1 azul en el círculo. Determina qué polígonos son más grandes: los que tienen todos los vértices rojos o los que tienen uno de los vértices azules. En tu respuesta, indica cuántos más de uno que del otro.

Solución: 1) Usamos la fórmula para el número de combinaciones de norte elementos por k:

todos cuyos vértices son rojos.

3) Un pentágono con todos los vértices rojos.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polígonos con todos los vértices rojos.

cuyos vértices son rojos o con un vértice azul.

cuyos vértices son rojos o con un vértice azul.

8) Un hexágono cuyos vértices son rojos con un vértice azul.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polígonos que tienen todos los vértices rojos o un vértice azul.

10) 42 - 16 = 26 polígonos que usan el punto azul.

11) 26 - 16 = 10 polígonos: cuántos polígonos, en los que uno de los vértices es un punto azul, son más que polígonos, en los que todos los vértices son solo rojos.

Responder: 10.

Tarea número 5- el nivel básico de la primera parte pone a prueba la capacidad de resolver las ecuaciones más simples (irracionales, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas).

Ejemplo 5 Resolver Ecuación 2 3 + X= 0.4 5 3 + X .

Solución. Divide ambos lados de esta ecuación por 5 3 + X≠ 0, obtenemos

2 3 + X	= 0,4 o		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

de donde se sigue que 3 + X = 1, X = –2.

Responder: –2.

Tarea número 6 en planimetría para encontrar cantidades geométricas (longitudes, ángulos, áreas), modelando situaciones reales en el lenguaje de la geometría. El estudio de los modelos construidos utilizando conceptos geométricos y teoremas. La fuente de dificultades es, por regla general, la ignorancia o la aplicación incorrecta de los teoremas de planimetría necesarios.

Area de un triangulo A B C es igual a 129 Delaware- línea mediana paralela al lado AB. Encuentra el área del trapezoide UNA CAMA.

Solución. Triángulo CDE similar a un triangulo TAXI en dos esquinas, desde la esquina en el vértice C general, ángulo CDE igual al ángulo TAXI como los ángulos correspondientes en Delaware || AB secante C.A.. Porque Delaware es la línea media del triángulo por la condición, luego por la propiedad de la línea media | Delaware = (1/2)AB. Entonces el coeficiente de similitud es 0.5. Las áreas de figuras similares están relacionadas como el cuadrado del coeficiente de similitud, por lo que

Como consecuencia, CAMA S = S Δ A B C – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Tarea número 7- comprueba la aplicación de la derivada al estudio de la función. Para una implementación exitosa, es necesaria una posesión significativa y no formal del concepto de derivado.

Ejemplo 7 A la gráfica de la función y = F(X) en el punto con la abscisa X 0 se traza una tangente, que es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (4; 3) y (3; -1) de este gráfico. Encontrar F′( X 0).

Solución. 1) Usemos la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados y encontremos la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos (4; 3) y (3; -1).

(y – y 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–y + 3 = –4X+ 16| · (-una)

y – 3 = 4X – 16

y = 4X– 13, donde k 1 = 4.

2) Encuentra la pendiente de la tangente k 2 que es perpendicular a la recta y = 4X– 13, donde k 1 = 4, según la fórmula:

3) La pendiente de la tangente es la derivada de la función en el punto de contacto. Medio, F′( X 0) = k 2 = –0,25.

Responder: –0,25.

Tarea número 8- comprueba el conocimiento de la estereometría elemental entre los participantes del examen, la capacidad de aplicar fórmulas para encontrar áreas de superficie y volúmenes de figuras, ángulos diédricos, comparar los volúmenes de figuras similares, poder realizar acciones con figuras geométricas, coordenadas y vectores , etc

El volumen de un cubo circunscrito alrededor de una esfera es 216. Encuentra el radio de la esfera.

Solución. 1) V cubo = a 3 (donde pero es la longitud de la arista del cubo), entonces

pero 3 = 216

pero = 3 √216

2) Como la esfera está inscrita en un cubo, significa que la longitud del diámetro de la esfera es igual a la longitud de la arista del cubo, por lo tanto D = a, D = 6, D = 2R, R = 6: 2 = 3.

Tarea número 9- requiere que el egresado transforme y simplifique expresiones algebraicas. Tarea No. 9 de mayor nivel de complejidad con respuesta corta. Las tareas de la sección "Cálculos y transformaciones" en el USE se dividen en varios tipos:

transformaciones de expresiones racionales numéricas;

transformaciones de expresiones algebraicas y fracciones;

transformaciones de expresiones irracionales numéricas/letras;

acciones con grados;

transformación de expresiones logarítmicas;

1. conversión de expresiones trigonométricas numéricas/letras.

Ejemplo 9 Calcular tgα si se sabe que cos2α = 0.6 y

3π	< α < π.
4

Solución. 1) Usemos la fórmula del doble argumento: cos2α = 2 cos 2 α - 1 y hallemos

bronceado 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	porque 2 α		0,8		8		4		4		4

Por lo tanto, tan 2 α = ± 0,5.

3) Por condición

3π	< α < π,
4

por tanto, α es el ángulo del segundo cuarto y tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Responder: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Tarea número 10- comprueba la capacidad de los alumnos para utilizar los conocimientos y habilidades iniciales adquiridos en actividades prácticas y en la vida cotidiana. Podemos decir que estos son problemas de física y no de matemáticas, pero todas las fórmulas y cantidades necesarias se dan en la condición. Las tareas se reducen a resolver una ecuación lineal o cuadrática, o una desigualdad lineal o cuadrática. Por lo tanto, es necesario poder resolver tales ecuaciones y desigualdades y determinar la respuesta. La respuesta debe estar en forma de un número entero o una fracción decimal final.

Dos cuerpos de masa metro= 2 kg cada uno, moviéndose a la misma velocidad v= 10 m/s en un ángulo de 2α entre sí. La energía (en julios) liberada durante su colisión absolutamente inelástica está determinada por la expresión q = m.v. 2 sen 2 α. ¿Con qué ángulo menor 2α (en grados) deben moverse los cuerpos para que se liberen al menos 50 julios como resultado de la colisión?
Solución. Para resolver el problema, necesitamos resolver la desigualdad Q ≥ 50, en el intervalo 2α ∈ (0°; 180°).

m.v. 2 sen 2 α ≥ 50

2 10 2 sen 2 α ≥ 50

200 sen2α ≥ 50

Como α ∈ (0°; 90°), solo resolveremos

Representamos la solución de la desigualdad gráficamente:

Ya que por supuesto α ∈ (0°; 90°), significa que 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Tarea número 11- es típico, pero resulta difícil para los estudiantes. La principal fuente de dificultades es la construcción de un modelo matemático (elaboración de una ecuación). La tarea número 11 prueba la capacidad de resolver problemas verbales.

Ejemplo 11. Durante las vacaciones de primavera, Vasya, estudiante de 11.° grado, tuvo que resolver 560 problemas de capacitación para prepararse para el examen. El 18 de marzo, el último día de clases, Vasya resolvió 5 problemas. Entonces todos los días resolvió el mismo número de problemas más que el día anterior. Determine cuántos problemas resolvió Vasya el 2 de abril en el último día de vacaciones.

Solución: Denotar a 1 = 5 - la cantidad de tareas que Vasya resolvió el 18 de marzo D– número diario de tareas resueltas por Vasya, norte= 16 - el número de días desde el 18 de marzo hasta el 2 de abril inclusive, S 16 = 560 - el número total de tareas, a 16 - la cantidad de tareas que Vasya resolvió el 2 de abril. Sabiendo que todos los días Vasya resolvió la misma cantidad de tareas más que el día anterior, puede usar las fórmulas para encontrar la suma de una progresión aritmética:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Responder: 65.

Tarea número 12- comprobar la capacidad de los alumnos para realizar acciones con funciones, ser capaces de aplicar la derivada al estudio de la función.

Encontrar el punto máximo de una función y= 10ln( X + 9) – 10X + 1.

Solución: 1) Encuentra el dominio de la función: X + 9 > 0, X> –9, es decir, x ∈ (–9; ∞).

2) Encuentra la derivada de la función:

4) El punto encontrado pertenece al intervalo (–9; ∞). Definimos los signos de la derivada de la función y representamos el comportamiento de la función en la figura:

El punto máximo deseado X = –8.

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Tarea número 13- un mayor nivel de complejidad con una respuesta detallada, que pone a prueba la capacidad de resolver ecuaciones, la más exitosamente resuelta entre las tareas con una respuesta detallada de un mayor nivel de complejidad.

a) Resuelve la ecuación 2log 3 2 (2cos X) – 5log 3 (2cos X) + 2 = 0

b) Encuentra todas las raíces de esta ecuación que pertenecen al segmento.

Solución: a) Sea log 3 (2cos X) = t, entonces 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log3(2 cos X) =	2	⇔		2cos X = 9	⇔		porque X =	4,5	⇔ porque |porque X| ≤ 1,
	log3(2 cos X) =	1			2cos X = √3			porque X =	√3
		2							2

entonces porque X =	√3
	2

	X =	π	+ 2π k
		6
	X = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Encuentra las raíces que se encuentran en el segmento .

Se puede ver en la figura que el segmento dado tiene raíces

11π	Y	13π	.
6		6

Responder: pero)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; B)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Tarea número 14- el nivel avanzado se refiere a las tareas de la segunda parte con una respuesta detallada. La tarea pone a prueba la capacidad de realizar acciones con formas geométricas. La tarea contiene dos elementos. En el primer párrafo se debe probar la tarea, y en el segundo párrafo se debe calcular.

El diámetro del círculo de la base del cilindro es 20, la generatriz del cilindro es 28. El plano corta sus bases a lo largo de cuerdas de longitud 12 y 16. La distancia entre las cuerdas es 2√197.

a) Demostrar que los centros de las bases del cilindro están en el mismo lado de este plano.

b) Encuentra el ángulo entre este plano y el plano de la base del cilindro.

Solución: a) Una cuerda de longitud 12 está a una distancia = 8 del centro del círculo base, y una cuerda de longitud 16, igualmente, está a una distancia de 6. Por lo tanto, la distancia entre sus proyecciones en un plano paralelo al bases de los cilindros es 8 + 6 = 14, o 8 − 6 = 2.

Entonces la distancia entre cuerdas es

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

De acuerdo con la condición, se realizó el segundo caso, en el que las proyecciones de las cuerdas se encuentran en un lado del eje del cilindro. Esto significa que el eje no corta este plano dentro del cilindro, es decir, las bases se encuentran a un lado del mismo. Lo que necesitaba ser probado.

b) Denotemos los centros de las bases como O 1 y O 2. Dibujemos desde el centro de la base con una cuerda de longitud 12 la mediatriz a esta cuerda (tiene una longitud de 8, como ya se ha dicho) y desde el centro de la otra base a otra cuerda. Se encuentran en el mismo plano β perpendicular a estas cuerdas. Llamemos al punto medio de la cuerda menor B, mayor que A, ya la proyección de A sobre la segunda base H (H ∈ β). Entonces AB,AH ∈ β y, por tanto, AB,AH son perpendiculares a la cuerda, es decir, la línea de intersección de la base con el plano dado.

Entonces el ángulo requerido es

∠ABH = arctan	Ah	= arco	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Tarea número 15- un mayor nivel de complejidad con una respuesta detallada, comprueba la capacidad de resolver desigualdades, la más exitosamente resuelta entre las tareas con una respuesta detallada de un mayor nivel de complejidad.

Ejemplo 15 Resuelve la desigualdad | X 2 – 3X| registro 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Solución: El dominio de definición de esta desigualdad es el intervalo (–1; +∞). Considere tres casos por separado:

1) Deja X 2 – 3X= 0, es decir X= 0 o X= 3. En este caso, esta desigualdad se cumple, por lo tanto, estos valores se incluyen en la solución.

2) Vamos ahora X 2 – 3X> 0, es decir X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). En este caso, esta desigualdad se puede reescribir en la forma ( X 2 – 3X) registro 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 y dividir por una expresión positiva X 2 – 3X. Obtenemos log 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 -1 o X≤ -0,5. Teniendo en cuenta el dominio de definición, tenemos X ∈ (–1; –0,5].

3) Finalmente, considere X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). En este caso, la desigualdad original se reescribirá en la forma (3 X – X 2) registro 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Después de dividir por una expresión positiva 3 X – X 2, obtenemos log 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Teniendo en cuenta el área, tenemos X ∈ (0; 1].

Combinando las soluciones obtenidas, obtenemos X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Responder: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Tarea número 16- el nivel avanzado se refiere a las tareas de la segunda parte con una respuesta detallada. La tarea pone a prueba la capacidad de realizar acciones con formas geométricas, coordenadas y vectores. La tarea contiene dos elementos. En el primer párrafo se debe probar la tarea, y en el segundo párrafo se debe calcular.

En un triángulo isósceles ABC con un ángulo de 120° en el vértice A, se dibuja una bisectriz BD. El rectángulo DEFH está inscrito en el triángulo ABC de modo que el lado FH se encuentra en el segmento BC y el vértice E se encuentra en el segmento AB. a) Demuestre que FH = 2DH. b) Encuentra el área del rectángulo DEFH si AB = 4.

Solución: pero)

1) ΔBEF - rectangular, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, entonces EF = BE debido a la propiedad del cateto opuesto al ángulo de 30°.

2) Sea EF = DH = X, entonces BE = 2 X, FB = X√3 por el teorema de Pitágoras.

3) Dado que ΔABC es isósceles, entonces ∠B = ∠C = 30˚.

BD es la bisectriz de ∠B, entonces ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Considere ΔDAP - rectangular, porque DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)		4

1	=	2 – X
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

FE = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Responder: 24 – 12√3.

Tarea número 17- una tarea con una respuesta detallada, esta tarea prueba la aplicación de conocimientos y habilidades en actividades prácticas y la vida cotidiana, la capacidad de construir y explorar modelos matemáticos. Esta tarea es una tarea de texto con contenido económico.

Ejemplo 17. Está previsto que el depósito por un monto de 20 millones de rublos se abra durante cuatro años. Al final de cada año, el banco aumenta el depósito en un 10% en comparación con su tamaño a principios de año. Además, al comienzo del tercer y cuarto año, el depositante repone anualmente el depósito por X millones de rublos, donde X - entero número. Encuentre el valor más alto X, en el que el banco agregará menos de 17 millones de rublos al depósito en cuatro años.

Solución: Al final del primer año, la contribución será de 20 + 20 · 0,1 = 22 millones de rublos, y al final del segundo - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 millones de rublos. Al comienzo del tercer año, la contribución (en millones de rublos) será (24.2 + X), y al final - (24.2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Al inicio del cuarto año, la cotización será (26,62 + 2,1 X), y al final - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Por condición, necesitas encontrar el entero x más grande para el cual la desigualdad

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

La solución entera más grande a esta desigualdad es el número 24.

Responder: 24.

Tarea número 18- una tarea de mayor nivel de complejidad con una respuesta detallada. Esta tarea está destinada a la selección competitiva a universidades con mayores requisitos para la preparación matemática de los solicitantes. Una tarea de un alto nivel de complejidad no es una tarea para aplicar un método de solución, sino para una combinación de diferentes métodos. Para completar con éxito la tarea 18, además de un sólido conocimiento matemático, también se requiere un alto nivel de cultura matemática.

en que a sistema de desigualdades

	X 2 + y 2 ≤ 2sí – a 2 + 1
	y + a ≤ |X| – a

tiene exactamente dos soluciones?

Solución: Este sistema se puede reescribir como

	X 2 + (y– a) 2 ≤ 1
	y ≤ |X| – a

Si dibujamos sobre el plano el conjunto de soluciones de la primera desigualdad, obtenemos el interior de una circunferencia (con contorno) de radio 1 centrada en el punto (0, pero). El conjunto de soluciones de la segunda desigualdad es la parte del plano que se encuentra debajo de la gráfica de la función y = | X| – a, y esta última es la gráfica de la función
y = | X| , desplazado hacia abajo por pero. La solución de este sistema es la intersección de los conjuntos solución de cada una de las desigualdades.

En consecuencia, este sistema tendrá dos soluciones sólo en el caso que se muestra en la Fig. una.

Los puntos de contacto entre la circunferencia y las rectas serán las dos soluciones del sistema. Cada una de las rectas está inclinada respecto a los ejes en un ángulo de 45°. Entonces el triangulo PQR- isósceles rectangulares. Punto q tiene coordenadas (0, pero), y el punto R– coordenadas (0, – pero). Además, cortes relaciones públicas Y PQ son iguales al radio del círculo igual a 1. Por lo tanto,

código QR= 2a = √2, a =	√2	.
	2

Responder: a =	√2	.
	2

Tarea número 19- una tarea de mayor nivel de complejidad con una respuesta detallada. Esta tarea está destinada a la selección competitiva a universidades con mayores requisitos para la preparación matemática de los solicitantes. Una tarea de un alto nivel de complejidad no es una tarea para aplicar un método de solución, sino para una combinación de diferentes métodos. Para completar con éxito la tarea 19, es necesario poder buscar una solución, eligiendo varios enfoques entre los conocidos, modificando los métodos estudiados.

Permitir sn suma PAGS miembros de una progresión aritmética ( una p). Se sabe que S norte + 1 = 2norte 2 – 21norte – 23.

a) Dar la fórmula PAGS th miembro de esta progresión.

b) Encuentre la suma de módulo más pequeña S norte.

c) Encuentra el más pequeño. PAGS, en el cual S norte será el cuadrado de un número entero.

Solución: a) Obviamente, un = S norte – S norte- una . Usando esta fórmula, obtenemos:

S norte = S (norte – 1) + 1 = 2(norte – 1) 2 – 21(norte – 1) – 23 = 2norte 2 – 25norte,

S norte – 1 = S (norte – 2) + 1 = 2(norte – 1) 2 – 21(norte – 2) – 23 = 2norte 2 – 25norte+ 27

medio, un = 2norte 2 – 25norte – (2norte 2 – 29norte + 27) = 4norte – 27.

B) porque S norte = 2norte 2 – 25norte, entonces considere la función S(X) = | 2X 2 – 25x|. Su gráfico se puede ver en la figura.

Es obvio que el valor más pequeño se alcanza en los puntos enteros más cercanos a los ceros de la función. Obviamente estos son puntos. X= 1, X= 12 y X= 13. Ya que, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, entonces el valor más pequeño es 12.

c) Del párrafo anterior se desprende que sn positivo desde norte= 13. Desde S norte = 2norte 2 – 25norte = norte(2norte– 25), entonces el caso obvio cuando esta expresión es un cuadrado perfecto se realiza cuando norte = 2norte- 25, es decir, con PAGS= 25.

Queda por comprobar los valores del 13 al 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Resulta que para valores más pequeños PAGS no se logra el cuadrado completo.

Responder: pero) un = 4norte- 27; b) 12; c) 25.

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*Desde mayo de 2017, el grupo editorial conjunto DROFA-VENTANA forma parte de Russian Textbook Corporation. La corporación también incluía la editorial Astrel y la plataforma educativa digital LECTA. Alexander Brychkin, graduado de la Academia Financiera del Gobierno de la Federación Rusa, candidato de ciencias económicas, jefe de proyectos innovadores de la editorial DROFA en el campo de la educación digital (formas electrónicas de libros de texto, Escuela Electrónica Rusa, educación digital LECTA plataforma) ha sido nombrado Director General. Previo a su incorporación a la editorial DROFA, ocupó el cargo de Vicepresidente de Desarrollo Estratégico e Inversiones del holding editorial EKSMO-AST. En la actualidad, la Corporación de Publicaciones de Libros de Texto de Rusia tiene la cartera más grande de libros de texto incluidos en la Lista Federal: 485 títulos (aproximadamente el 40%, excluyendo los libros de texto para escuelas correccionales). Las editoriales de la corporación son propietarias de los conjuntos de libros de texto de física, dibujo, biología, química, tecnología, geografía, astronomía, más demandados por las escuelas rusas, áreas de conocimiento necesarias para desarrollar el potencial productivo del país. La cartera de la corporación incluye libros de texto y material didáctico para escuelas primarias que recibieron el Premio del Presidente en Educación. Estos son libros de texto y manuales sobre áreas temáticas que son necesarias para el desarrollo del potencial científico, técnico e industrial de Rusia.

Evaluación

dos partes, incluyendo 19 tareas. Parte 1 Parte 2

3 horas 55 minutos(235 minutos).

respuestas

Pero puedes hacer una brújula Calculadoras en el examen no utilizado.

El pasaporte), pasar y capilar o! permitido tomar conmigo mismo agua(en una botella transparente) y comida

El examen consta de dos partes, incluyendo 19 tareas. Parte 1 contiene 8 tareas de un nivel básico de complejidad con una respuesta corta. Parte 2 contiene 4 tareas de mayor complejidad con respuesta corta y 7 tareas de mayor complejidad con respuesta detallada.

Para completar el trabajo de examen en matemáticas se da 3 horas 55 minutos(235 minutos).

respuestas a las tareas 1–12 se registran como un número entero o decimal final. ¡Escriba los números en los campos de respuesta en el texto del trabajo y luego transfiéralos a la hoja de respuestas No. 1 emitida durante el examen!

Al hacer el trabajo, puede usar los emitidos con el trabajo. Solo puedes usar una regla., pero puedes hacer una brújula con tus propias manos. Está prohibido utilizar herramientas con materiales de referencia impresos en ellas. Calculadoras en el examen no utilizado.

Debe tener un documento de identidad con usted para el examen. El pasaporte), pasar y capilar o bolígrafo de gel con tinta negra! permitido tomar conmigo mismo agua(en una botella transparente) y comida(fruta, chocolate, bollos, sándwiches), pero se les puede pedir que los dejen en el pasillo.