मॉड्यूल संख्या (किसी संख्या का निरपेक्ष मान), परिभाषाएँ, उदाहरण, गुण। किसी संख्या के मापांक का निर्धारण। मॉड्यूल का ज्यामितीय अर्थ

संख्याओं का मॉड्यूल गणित में एक नई अवधारणा का परिचय देता है। आइए एक नज़र डालते हैं कि संख्या मॉड्यूल क्या है और इसके साथ कैसे काम करना है?

आइए एक उदाहरण पर विचार करें:

हम घर से दुकान की ओर निकले। हम 300 मीटर चले, गणितीय रूप से, इस अभिव्यक्ति को +300 के रूप में लिखा जा सकता है, "+" चिह्न से संख्या 300 का अर्थ नहीं बदलेगा। गणित में किसी संख्या की दूरी या मापांक एक होता है और इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: | 300 | = 300। किसी संख्या का मापांक दो लंबवत रेखाओं द्वारा दर्शाया जाता है।

और फिर हम विपरीत दिशा में 200मी चले। गणितीय रूप से, हम वापसी पथ को -200 के रूप में लिख सकते हैं। लेकिन हम यह नहीं कहते हैं कि "हम शून्य से दो सौ मीटर पार कर गए," हालांकि हम लौट आए, क्योंकि मान के रूप में दूरी सकारात्मक बनी हुई है। इसके लिए गणित में मॉड्यूल की अवधारणा पेश की गई। आप संख्या -200 की दूरी या मापांक इस प्रकार लिख सकते हैं: | -200 | = 200।

मॉड्यूल गुण।

परिभाषा:
संख्या का मापांक or निरपेक्ष मूल्यसंख्याएँप्रारंभिक बिंदु से गंतव्य बिंदु तक की दूरी है।

एक शून्येतर पूर्णांक का मापांक हमेशा एक धनात्मक संख्या होता है।

मॉड्यूल इस तरह लिखा गया है:

1. एक धनात्मक संख्या का निरपेक्ष मान स्वयं संख्या के बराबर होता है।
| ए | =ए

2. एक ऋणात्मक संख्या का निरपेक्ष मान विपरीत संख्या के बराबर होता है।
|- ए | =ए

3. शून्य का मापांक शून्य होता है।
|0|=0

4. विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल बराबर होते हैं।
| ए | = | -ए | =ए

विषय पर प्रश्न:
किसी संख्या का मापांक क्या होता है?
उत्तर: मॉड्यूल प्रारंभिक बिंदु से गंतव्य बिंदु तक की दूरी है।

यदि आप एक पूर्णांक के सामने "+" डालते हैं, तो क्या होता है?
उत्तर संख्या अपना अर्थ नहीं बदलेगी, उदाहरण के लिए, 4 = + 4।

यदि आप किसी पूर्णांक के सामने "-" डालते हैं, तो क्या होता है?
उत्तर: संख्या बदल जाएगी, उदाहरण के लिए, 4 और -4।

किन संख्याओं का मापांक समान होता है?
उत्तर: धनात्मक संख्याओं और शून्य का मापांक समान होगा। उदाहरण के लिए, 15 = | 15 |।

किन संख्याओं में विपरीत मापांक होता है?
उत्तर: यू ऋणात्मक संख्या, मापांक विपरीत संख्या के बराबर होगा। उदाहरण के लिए, | -6 | = 6।

उदाहरण 1:
संख्याओं का मापांक ज्ञात कीजिए: a) 0 b) 5 c) -7?

समाधान:
क) | 0 | = 0
बी) | 5 | = 5
ग) | -7 | = 7

उदाहरण # 2:
क्या दो भिन्न संख्याएँ हैं जिनके निरपेक्ष मान समान हैं?

समाधान:
|10|=10
|-10|=10

विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल समान हैं।

उदाहरण # 3:
वे दो विपरीत संख्याएँ क्या हैं जिनका मापांक 9 है?

समाधान:
|9|=9
|-9|=9

उत्तर: 9 और -9।

उदाहरण # 4:
चरणों का पालन करें: क) | +5 | + | -3 | बी) | -3 | + | -8 | ग) | +4 | - | +1 |

समाधान:
क) | +5 | + | -3 | = 5 + 3 = 8
बी) | -3 | + | -8 | = 3 + 8 = 11
ग) | +4 | - | +1 | = 4 - 1 = 3

उदाहरण # 5:
खोजें: a) संख्या 2 का मापांक b) संख्या 6 का मापांक c) संख्या 8 का मापांक d) संख्या 1 का मापांक e) संख्या 0 का मापांक।
समाधान:

क) संख्या 2 के मापांक को 2 | . के रूप में दर्शाया जाता है या | +2 | यह बिल्कुल वैसा है।
|2|=2

b) संख्या 6 के मापांक को | 6 | . के रूप में दर्शाया गया है या | +6 | यह बिल्कुल वैसा है।
|6|=6

c) संख्या 8 के मापांक को 8 | . के रूप में दर्शाया जाता है या | +8 | यह बिल्कुल वैसा है।
|8|=8

d) संख्या 1 के मापांक को 1 | . के रूप में दर्शाया जाता है या | +1 | यह बिल्कुल वैसा है।
|1|=1

ई) संख्या 0 के मापांक को | 0 |, | +0 | . के रूप में दर्शाया जाता है या | -0 | यह बिल्कुल वैसा है।
|0|=0

मॉड्यूल परिभाषाइस प्रकार दिया जा सकता है: संख्या का निरपेक्ष मान ए(मापांक) किसी दिए गए अंक का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु से दूरी है एसमन्वय रेखा पर, मूल तक। यह परिभाषा से इस प्रकार है कि:

इस प्रकार, एक मॉड्यूल का विस्तार करने के लिए, सबमॉड्यूल अभिव्यक्ति के संकेत को निर्धारित करना आवश्यक है। यदि यह सकारात्मक है, तो आप बस मापांक चिह्न को हटा सकते हैं। यदि सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन ऋणात्मक है, तो इसे "माइनस" से गुणा किया जाना चाहिए, और मापांक चिह्न, फिर से, अब नहीं लिखा जाता है।

मॉड्यूल के मुख्य गुण:

मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करने के कुछ तरीके

कई प्रकार के मॉड्यूलर समीकरण हैं जिनके लिए एक पसंदीदा समाधान है। जिसमें इस तरहइकलौता नहीं है। उदाहरण के लिए, फॉर्म के समीकरण के लिए:

पसंदीदा समाधान कुल में जाना होगा:

और फॉर्म के समीकरणों के लिए:

आप लगभग समान सेट पर भी जा सकते हैं, लेकिन चूंकि मॉड्यूल केवल स्वीकार करता है सकारात्मक मूल्य, तो समीकरण का दाहिना पक्ष भी धनात्मक होना चाहिए। इस शर्त को पूरे उदाहरण के लिए एक सामान्य बाधा के रूप में जोड़ा जाना चाहिए। तब हमें सिस्टम मिलता है:

इन दोनों प्रकार के समीकरणों को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है: मॉड्यूल को तदनुसार अंतराल पर खोलकर जहां सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति का एक निश्चित संकेत होता है। इस मामले में, हमें दो प्रणालियों का एक सेट प्राप्त होगा। आइए हम देते हैं सामान्य फ़ॉर्मऊपर दिए गए दोनों प्रकार के समीकरणों के लिए प्राप्त समाधान:

एक से अधिक मॉड्यूल वाले समीकरणों को हल करने के लिए, आवेदन करें अंतराल विधि, जो इस प्रकार है:

• सबसे पहले, हम संख्यात्मक अक्ष पर उन बिंदुओं को ढूंढते हैं, जिन पर मॉड्यूल के नीचे का प्रत्येक व्यंजक गायब हो जाता है।
• अगला, हम संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष को प्राप्त बिंदुओं के बीच के अंतराल में विभाजित करते हैं और प्रत्येक अंतराल पर प्रत्येक सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियों के संकेत की जांच करते हैं। ध्यान दें कि व्यंजक के चिह्न को निर्धारित करने के लिए, आपको उसमें किसी भी मान को प्रतिस्थापित करना होगा। एक्सअंतराल से, सीमा बिंदुओं को छोड़कर। उन मानों को चुनें एक्सजिन्हें स्थानापन्न करना आसान है।
• इसके अलावा, प्रत्येक प्राप्त अंतराल पर, हम इस अंतराल में उनके संकेतों के अनुसार मूल समीकरण में सभी मॉड्यूल खोलते हैं और प्राप्त सामान्य समीकरण को हल करते हैं। अंतिम उत्तर में, हम इस समीकरण के केवल उन्हीं मूलों को लिखते हैं जो अध्ययन किए गए अंतराल में आते हैं। एक बार फिर: हम प्रत्येक प्राप्त अंतराल के लिए इस प्रक्रिया को अंजाम देते हैं।

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भौतिकी और गणित में सीटी की सफलतापूर्वक तैयारी कैसे करें?

भौतिकी और गणित में सीटी की सफलतापूर्वक तैयारी करने के लिए, अन्य बातों के अलावा, तीन महत्वपूर्ण शर्तों को पूरा करना होगा:

1. सभी विषयों का अन्वेषण करें और इस साइट पर प्रशिक्षण सामग्री में दिए गए सभी परीक्षणों और कार्यों को पूरा करें। ऐसा करने के लिए, आपको कुछ भी नहीं चाहिए, अर्थात्: भौतिकी और गणित में सीटी की तैयारी के लिए हर दिन तीन से चार घंटे समर्पित करना, सिद्धांत का अध्ययन करना और समस्याओं को हल करना। तथ्य यह है कि सीटी एक ऐसी परीक्षा है जहां केवल भौतिकी या गणित को जानना पर्याप्त नहीं है, आपको अभी भी जल्दी और बिना किसी असफलता के हल करने में सक्षम होना चाहिए एक बड़ी संख्या कीके लिए कार्य विभिन्न विषयऔर बदलती जटिलता के। उत्तरार्द्ध को केवल हजारों समस्याओं को हल करके ही सीखा जा सकता है।
2. भौतिकी में सभी सूत्र और नियम और गणित में सूत्र और विधियाँ सीखें। वास्तव में, ऐसा करना भी बहुत आसान है, भौतिकी में लगभग 200 आवश्यक सूत्र हैं, और गणित में भी थोड़ा कम। इनमें से प्रत्येक विषय में बुनियादी स्तर की जटिलता की समस्याओं को हल करने के लिए लगभग एक दर्जन मानक तरीके हैं, जिन्हें सीखा भी जा सकता है, और इस प्रकार, पूरी तरह से स्वचालित रूप से और बिना किसी कठिनाई के, सही समय पर। अधिकांशसीटी. उसके बाद, आपको केवल सबसे कठिन कार्यों के बारे में सोचना होगा।
3. भौतिकी और गणित के तीनों रिहर्सल परीक्षणों में भाग लें। दोनों विकल्पों को हल करने के लिए प्रत्येक आरटी को दो बार देखा जा सकता है। फिर से, सीटी पर, समस्याओं को जल्दी और कुशलता से हल करने की क्षमता, और सूत्रों और विधियों के ज्ञान के अलावा, समय की सही योजना बनाने, बलों को वितरित करने और सबसे महत्वपूर्ण रूप से उत्तर फॉर्म भरने में सक्षम होना भी आवश्यक है। सही ढंग से, या तो उत्तरों और कार्यों की संख्या, या अपने स्वयं के उपनाम को भ्रमित किए बिना। इसके अलावा, आरटी के दौरान, कार्यों में प्रश्न पूछने की शैली का उपयोग करना महत्वपूर्ण है, जो कि सीटी पर एक अप्रस्तुत व्यक्ति के लिए बहुत ही असामान्य लग सकता है।

इन तीन बिंदुओं का सफल, मेहनती और जिम्मेदार कार्यान्वयन आपको सीटी में उत्कृष्ट परिणाम दिखाने की अनुमति देगा, जो आप करने में सक्षम हैं।

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1. विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल बराबर होते हैं
2. किसी संख्या के निरपेक्ष मान का वर्ग इस संख्या के वर्ग के बराबर होता है
3. वर्गमूलकिसी संख्या के वर्ग से इस संख्या का मापांक होता है
4. किसी संख्या का निरपेक्ष मान एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है।
5. मापांक के संकेत के बाहर एक निरंतर सकारात्मक कारक लिया जा सकता है
6. यदि, तो
7. दो (या अधिक) संख्याओं के गुणनफल का मापांक उनके मापांक के गुणनफल के बराबर होता है

संख्या अंतराल

एक बिंदु का पड़ोस मान लीजिए x o कोई वास्तविक संख्या है (वास्तविक रेखा पर एक बिंदु)। कोई भी अंतराल (a; b) जिसमें बिंदु x है, बिंदु xo का पड़ोस कहलाता है। विशेष रूप से, अंतराल (x o -ε, x o + ), जहां > 0, बिंदु x o का -पड़ोस कहलाता है। संख्या x 0 को केंद्र कहा जाता है।

3 प्रश्न फ़ंक्शन की अवधारणा एक फ़ंक्शन चर x पर चर y की निर्भरता है, जिसमें चर x का प्रत्येक मान चर y के एकल मान से मेल खाता है।

चर x को स्वतंत्र चर या तर्क कहा जाता है।

चर y को आश्रित चर कहा जाता है।

फ़ंक्शन सेट करने के तरीके

सारणीबद्ध तरीका।व्यक्तिगत तर्क मूल्यों और उनके संबंधित फ़ंक्शन मानों की तालिका सेट करना शामिल है। किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब फ़ंक्शन का डोमेन एक असतत परिमित सेट होता है।

किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की सारणीबद्ध विधि के साथ, आप लगभग उन फ़ंक्शन मानों की गणना कर सकते हैं जो तालिका में शामिल नहीं हैं और तर्क के मध्यवर्ती मूल्यों के अनुरूप हैं। इसके लिए प्रक्षेप विधि का प्रयोग किया जाता है।

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के सारणीबद्ध तरीके के लाभ यह हैं कि यह अतिरिक्त माप या गणना के बिना, एक ही बार में कुछ विशिष्ट मानों को निर्धारित करना संभव बनाता है। हालांकि, कुछ मामलों में, तालिका फ़ंक्शन को पूरी तरह से परिभाषित नहीं करती है, लेकिन केवल तर्क के कुछ मूल्यों के लिए और तर्क में परिवर्तन के आधार पर फ़ंक्शन में परिवर्तन की प्रकृति का एक दृश्य प्रतिनिधित्व प्रदान नहीं करती है।

चित्रमय तरीका।फंक्शन ग्राफ वाई = एफ (एक्स) समतल के सभी बिंदुओं के समुच्चय को कहा जाता है, जिसके निर्देशांक दिए गए समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने का चित्रमय तरीका हमेशा तर्क के संख्यात्मक मानों को सटीक रूप से निर्धारित करना संभव नहीं बनाता है। हालांकि, अन्य तरीकों पर इसका एक बड़ा फायदा है - स्पष्टता। इंजीनियरिंग और भौतिकी में, फ़ंक्शन को परिभाषित करने की एक ग्राफिकल विधि का अक्सर उपयोग किया जाता है, और इसके लिए एक ग्राफ़ ही एकमात्र तरीका उपलब्ध है।

गणितीय दृष्टिकोण से फ़ंक्शन की ग्राफिकल सेटिंग पूरी तरह से सही होने के लिए, ग्राफ के सटीक ज्यामितीय निर्माण को इंगित करना आवश्यक है, जो अक्सर समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह फ़ंक्शन को परिभाषित करने के निम्नलिखित तरीके की ओर जाता है।

विश्लेषणात्मक विधि।किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए, आपको वह तरीका निर्दिष्ट करना होगा जिसमें आप प्रत्येक तर्क मान के लिए संबंधित फ़ंक्शन मान प्राप्त कर सकते हैं। सूत्र y = f (x) का उपयोग करके फ़ंक्शन को परिभाषित करने का सबसे आम तरीका है, जहां f (x) चर x के साथ कुछ अभिव्यक्ति है। इस मामले में, वे कहते हैं कि फ़ंक्शन किसी सूत्र द्वारा दिया गया है या फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक रूप से दिया गया है।

विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के लिए, फ़ंक्शन के डोमेन को कभी-कभी स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया जाता है। इस मामले में, यह माना जाता है कि फ़ंक्शन का डोमेन y = f (x) अभिव्यक्ति f (x) के डोमेन के साथ मेल खाता है, अर्थात, x के उन मानों के सेट के साथ जिसके लिए अभिव्यक्ति f ( एक्स) समझ में आता है।

किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का प्राकृतिक डोमेन

फंक्शन स्कोप एफयह बहुत है एक्ससभी तर्क मान एक्सजिस पर फ़ंक्शन सेट है।

किसी फ़ंक्शन के दायरे को दर्शाने के लिए एफप्रपत्र के एक संक्षिप्त संकेतन का उपयोग किया जाता है डी (एफ).

स्पष्ट निहित पैरामीट्रिक फ़ंक्शन परिभाषा

यदि फलन समीकरण y = (x) द्वारा दिया जाता है, जिसे y के सापेक्ष हल किया जाता है, तो फलन स्पष्ट रूप (स्पष्ट कार्य) में दिया जाता है।

अंतर्गत निहित असाइनमेंटफ़ंक्शन एक समीकरण F (x; y) = 0 के रूप में एक फ़ंक्शन की परिभाषा को समझते हैं, जो y के संबंध में हल नहीं होता है।

स्पष्ट रूप से दिए गए किसी भी फलन y = (x) को समीकरण ƒ (x) -y = 0 द्वारा निहित रूप से लिखा जा सकता है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।

पाठ मकसद

स्कूली बच्चों को एक संख्या के मॉड्यूल के रूप में इस तरह की गणितीय अवधारणा से परिचित कराना;
स्कूली बच्चों को संख्याओं के मॉड्यूल खोजने का कौशल सिखाएं;
विभिन्न कार्यों को पूरा करके अध्ययन की गई सामग्री को समेकित करना;

कार्य

संख्या मॉड्यूल के बारे में बच्चों के ज्ञान को समेकित करना;
समाधान की मदद से परीक्षण चीज़ेंजाँच करें कि छात्रों ने अध्ययन की गई सामग्री को कैसे सीखा;
गणित के पाठों में रुचि पैदा करना जारी रखें;
स्कूली बच्चों को शिक्षित करें तार्किक सोच, जिज्ञासा और दृढ़ता।

शिक्षण योजना

1. सामान्य अवधारणाएंऔर संख्या के मापांक का निर्धारण।
2. ज्यामितीय अर्थमापांक।
3. इसके गुणों की संख्या का मापांक।
4. उन समीकरणों और असमानताओं को हल करना जिनमें किसी संख्या का मापांक होता है।
5. इतिहास संदर्भ"संख्या मॉड्यूल" शब्द के बारे में।
6. उत्तीर्ण विषय के ज्ञान को समेकित करने के लिए असाइनमेंट।
7. गृहकार्य।

किसी संख्या के मापांक की सामान्य अवधारणाएँ

यदि संख्या नहीं है तो संख्या मापांक को स्वयं ही कॉल करने की प्रथा है ऋणात्मक मान, या समान संख्या ऋणात्मक है, लेकिन विपरीत चिह्न के साथ।

अर्थात्, एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या का मापांक यह संख्या ही है:

और, एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या x का मापांक विपरीत संख्या होगी:

पोस्ट में यह इस तरह दिखेगा:

अधिक समझने योग्य समझ के लिए, हम एक उदाहरण देंगे। इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या 3 का मापांक 3 है, और संख्या -3 का मापांक भी 3 है।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी संख्या के मापांक का अर्थ निरपेक्ष मान होता है, अर्थात उसका निरपेक्ष मूल्य, लेकिन इसके संकेत की परवाह किए बिना। इसे और भी सरलता से कहने के लिए, संख्या से चिन्ह को गिराना आवश्यक है।

किसी संख्या के मॉड्यूल को निरूपित किया जा सकता है और इस तरह देखा जा सकता है: | 3 |, | x |, | a | आदि।

इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या 3 का मापांक निरूपित किया जाता है | 3 |।

साथ ही, याद रखें कि किसी संख्या का मापांक कभी भी ऋणात्मक नहीं होता है: | a | 0.

| 5 | = 5, | -6 | = 6, | -12.45 | = 12.45, आदि।

मॉड्यूल का ज्यामितीय अर्थ

किसी संख्या का मापांक वह दूरी है, जिसे इकाई खंडों में मूल बिंदु से बिंदु तक मापा जाता है। यह परिभाषा एक ज्यामितीय दृष्टिकोण से मॉड्यूल को प्रकट करती है।

एक निर्देशांक रेखा लें और उस पर दो बिंदु निर्दिष्ट करें। इन बिंदुओं को −4 और 2 जैसी संख्याओं के अनुरूप होने दें।

आइए अब हमारा ध्यान इस तस्वीर की ओर लगाते हैं। हम देखते हैं कि निर्देशांक रेखा पर इंगित बिंदु A संख्या -4 से मेल खाता है, और यदि आप बारीकी से देखते हैं, तो आप देखेंगे कि यह बिंदु संदर्भ बिंदु 0 से 4 इकाई खंडों की दूरी पर स्थित है। इसलिए यह इस प्रकार है कि खंड OA की लंबाई चार इकाइयों के बराबर है। इस मामले में, खंड OA की लंबाई, यानी संख्या 4, संख्या -4 का मापांक होगा।

यह इंगित किया गया है और लिखा गया है इस मामले मेंकिसी संख्या का मापांक इस प्रकार है: | −4 | = 4

अब हम लेते हैं, और समन्वय रेखा पर हम बिंदु B को निरूपित करते हैं।

यह बिंदु बी संख्या +2 के अनुरूप होगा, और यह दो इकाई खंडों की दूरी पर मूल से, जैसा कि हम देखते हैं, स्थित है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि खंड OB की लंबाई दो इकाई के बराबर है। इस स्थिति में, संख्या 2 संख्या +2 का मापांक होगी।

रिकॉर्ड में यह इस तरह दिखेगा: | +2 | = 2 या | 2 | = 2.

अब संक्षेप करते हैं। यदि हम कोई अज्ञात संख्या a लेते हैं और इसे निर्देशांक रेखा पर बिंदु A से निरूपित करते हैं, तो इस स्थिति में बिंदु A से मूल बिंदु तक की दूरी, यानी खंड OA की लंबाई, संख्या "a" का मापांक है ".

रिकॉर्ड में, यह इस तरह दिखेगा: | a | = ओए।

इसके गुणों की संख्या का मापांक

अब आइए मॉड्यूल के गुणों को उजागर करने का प्रयास करें, सभी प्रकार के मामलों पर विचार करें और उन्हें शाब्दिक अभिव्यक्तियों का उपयोग करके लिखें:

सबसे पहले, किसी संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसका अर्थ है कि एक सकारात्मक संख्या का मापांक संख्या के बराबर होता है: | a | = ए अगर ए> 0;

दूसरे, मॉड्यूल, जिसमें विपरीत संख्याएँ होती हैं, समान होते हैं: | a | = | -А |। अर्थात्, यह गुण हमें बताता है कि विपरीत संख्याओं में हमेशा समान मॉड्यूल होते हैं, ठीक उसी तरह जैसे निर्देशांक रेखा पर होते हैं, हालाँकि उनकी विपरीत संख्याएँ होती हैं, वे संदर्भ बिंदु से समान दूरी पर होते हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इन विपरीत संख्याओं के निरपेक्ष मान समान होते हैं।

तीसरा, शून्य का निरपेक्ष मान शून्य के बराबर होता है यदि यह संख्या शून्य है: | 0 | = 0 यदि a = 0। यहाँ हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि शून्य का मापांक परिभाषा के अनुसार शून्य है, क्योंकि यह निर्देशांक रेखा के मूल से मेल खाती है।

मापांक का चौथा गुण यह है कि दो संख्याओं के गुणनफल का मापांक इन संख्याओं के मापांक के गुणनफल के बराबर होता है। अब आइए विस्तार से देखें कि इसका क्या अर्थ है। यदि हम परिभाषा का पालन करते हैं, तो हम जानते हैं कि संख्याओं a और b के गुणनफल का मापांक ab के बराबर होगा, या - (ab) यदि, और 0 में, या - (a in), if, और in 0 से अधिक। बी रिकॉर्ड यह इस तरह दिखेगा: | ए बी | = | ए | |बी |.

पांचवां गुण यह है कि संख्याओं के विभाजन के भागफल का मापांक अनुपात के बराबर हैइन नंबरों के मॉड्यूल: | a: b | = | ए | : | ख |.

और संख्या इकाई के निम्नलिखित गुण:

उन समीकरणों और असमानताओं को हल करना जिनमें किसी संख्या का मापांक होता है

उन समस्याओं को हल करना शुरू कर दिया है जिनके पास एक संख्या का मॉड्यूल है, यह याद रखना चाहिए कि इस तरह के कार्य को हल करने के लिए, मॉड्यूल के संकेत को प्रकट करना आवश्यक है, उन गुणों के ज्ञान का उपयोग करना जिससे यह कार्य मेल खाता है।

अभ्यास 1

इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि मॉड्यूल साइन के तहत एक अभिव्यक्ति है जो एक चर पर निर्भर करती है, तो मॉड्यूल को परिभाषा के अनुसार विस्तारित किया जाना चाहिए:

बेशक, समस्याओं को हल करते समय, ऐसे मामले होते हैं जब मॉड्यूल स्पष्ट रूप से प्रकट होता है। यदि, उदाहरण के लिए, हम लेते हैं

, यहाँ हम देखते हैं कि मापांक चिह्न के तहत ऐसा व्यंजक x और y के किसी भी मान के लिए ऋणात्मक नहीं है।

या, उदाहरण के लिए, हम लेते हैं

, हम देखते हैं कि मापांक के अंतर्गत यह व्यंजक z के किसी भी मान के लिए धनात्मक नहीं है।

असाइनमेंट 2

आपके सामने निर्देशांक रेखा दिखाई गई है। इस रेखा पर उन संख्याओं को अंकित करना आवश्यक है, जिनका मापांक 2 के बराबर होगा।

समाधान

सबसे पहले, हमें एक समन्वय रेखा खींचनी होगी। आप पहले से ही जानते हैं कि इसके लिए आपको सबसे पहले एक सीधी रेखा पर मूल, दिशा और इकाई खंड का चयन करना होगा। इसके अलावा, हमें उन बिंदुओं को मूल बिंदु से रखना होगा जो दो इकाई खंडों की दूरी के बराबर हों।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समन्वय रेखा पर दो ऐसे बिंदु हैं, जिनमें से एक संख्या -2 से मेल खाती है, और दूसरी संख्या 2 से मेल खाती है।

संख्या की इकाई पर ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

शब्द "मॉड्यूल" से आया है लैटिन नाममापांक, जिसका अनुवाद में "माप" शब्द है। यह शब्द अंग्रेजी गणितज्ञ रोजर कोट्स द्वारा गढ़ा गया था। लेकिन जर्मन गणितज्ञ कार्ल वीयरस्ट्रैस की बदौलत मापांक चिन्ह पेश किया गया। जब लिखा जाता है, तो एक मॉड्यूल को निम्नलिखित प्रतीक के साथ दर्शाया जाता है: | |.

सामग्री के ज्ञान को मजबूत करने के लिए प्रश्न

आज के पाठ में, हम एक संख्या के मॉड्यूल के रूप में इस तरह की अवधारणा के साथ मिले, और अब देखते हैं कि आपने इस विषय को कैसे सीखा, प्रश्नों के उत्तर देकर:

1. उस संख्या का नाम क्या है जो एक धनात्मक संख्या के विपरीत है?
2. उस संख्या का नाम क्या है जो ऋणात्मक संख्या के विपरीत है?
3. शून्य का विपरीत क्या है? क्या ऐसी संख्या मौजूद है?
4. उस संख्या का नाम बताइए जो किसी संख्या का मापांक नहीं हो सकता।
5. संख्या के मापांक की परिभाषा दीजिए।

होम वर्क

1. आपके सामने संख्याएँ हैं जिन्हें आपको मॉड्यूल के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने की आवश्यकता है। यदि आप कार्य को सही ढंग से पूरा करते हैं, तो आपको उस व्यक्ति का नाम पता चल जाएगा जिसने पहली बार "मॉड्यूल" शब्द को गणित में पेश किया था।

2. एक निर्देशांक रेखा खींचिए और M (-5) और K (8) से मूल बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

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