Nacionalinis tyrimų universitetas

Taikomosios geologijos katedra

Esė apie aukštąją matematiką

Tema: „Pagrindinės elementarios funkcijos,

jų savybės ir grafikai“

Užbaigta:

Patikrinta:

mokytojas

Apibrėžimas. Funkcija, pateikta formule y=a x (kur a>0, a≠1), vadinama eksponentine funkcija su baze a.

Suformuluokime pagrindines eksponentinės funkcijos savybes:

1. Apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė (R).

2. Reikšmių diapazonas yra visų teigiamų realiųjų skaičių aibė (R+).

3. Kai a > 1, funkcija didėja visoje realioje eilutėje; 0 val<а<1 функция убывает.

4. Yra bendroji funkcija.

, intervale xО [-3;3] , intervale xО [-3;3]

Funkcija, kurios forma yra y(х)=х n , kur n yra skaičius ОR, vadinama laipsnio funkcija. Skaičius n gali turėti skirtingas reikšmes: ir sveikąjį, ir trupmeninį, ir lyginį, ir nelyginį. Atsižvelgiant į tai, galios funkcija bus kitokia. Apsvarstykite specialius atvejus, kurie yra galios funkcijos ir atspindi pagrindines šio tipo kreivių savybes tokia tvarka: laipsnio funkcija y \u003d x² (funkcija su lyginiu eksponentu - parabolė), galios funkcija y \u003d x³ (funkcija su nelyginiu rodikliu - kubine parabole) ir funkcija y \u003d √ x (x iki ½ laipsnio) (funkcija su trupmeniniu rodikliu), funkcija su neigiamu sveikuoju skaičiumi (hiperbolė).

Maitinimo funkcija y=x²

1. D(x)=R – funkcija apibrėžta visoje skaitinėje ašyje;

2. E(y)= ir didėja intervale

Maitinimo funkcija y=x³

1. Funkcijos y \u003d x³ grafikas vadinamas kubine parabole. Galios funkcija y=x³ turi šias savybes:

2. D(x)=R – funkcija apibrėžta visoje skaitinėje ašyje;

3. E(y)=(-∞;∞) – funkcija paima visas reikšmes savo apibrėžimo srityje;

4. Kai x=0 y=0 – funkcija eina per pradžią O(0;0).

5. Funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje.

6. Funkcija nelyginė (simetriška kilmei).

, intervale xн [-3;3]

Priklausomai nuo skaitinio koeficiento priešais x³, funkcija gali būti stati / plokščia ir didinti / mažėti.

Galios funkcija su sveikuoju neigiamu rodikliu:

Jei rodiklis n yra nelyginis, tai tokios laipsnio funkcijos grafikas vadinamas hiperbole. Galios funkcija su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu turi šias savybes:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) bet kuriam n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), jei n yra nelyginis skaičius; E(y)=(0;∞) jei n yra lyginis skaičius;

3. Funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje, jei n yra nelyginis skaičius; funkcija didėja intervale (-∞;0) ir mažėja intervale (0;∞), jei n yra lyginis skaičius.

4. Funkcija nelyginė (simetriška kilmei), jei n yra nelyginis skaičius; funkcija yra net jei n yra lyginis skaičius.

5. Funkcija eina per taškus (1;1) ir (-1;-1), jei n yra nelyginis skaičius ir per taškus (1;1) ir (-1;1), jei n yra lyginis skaičius.

, intervale xн [-3;3]

Galios funkcija su trupmeniniu rodikliu

Laipsnio funkcija su formos trupmeniniu rodikliu (paveikslėlis) turi funkcijos grafiką, parodytą paveikslėlyje. Laipsnio funkcija su trupmeniniu rodikliu turi šias savybes: (paveikslėlis)

1. D(x) ОR, jei n yra nelyginis skaičius ir D(x)= , intervale xО , intervale xО [-3;3]

Logaritminė funkcija y \u003d log a x turi šias savybes:

1. Apibrėžimo sritis D(x)н (0; + ∞).

2. Vertybių diapazonasE(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė (bendra).

4. Funkcija didėja intervalu (0; + ∞), kai a > 1, mažėja, kai (0; + ∞), kai 0< а < 1.

Funkcijos y = log a x grafiką galima gauti iš funkcijos y = a x grafiko, naudojant simetrijos transformaciją apie tiesę y = x. 9 paveiksle pavaizduotas logaritminės funkcijos grafikas, kai > 1, o 10 paveiksle - 0< a < 1.

; intervale xн ; intervale xО

Funkcijos y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x vadinamos trigonometrinėmis funkcijomis.

Funkcijos y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x yra nelyginės, o funkcija y \u003d cos x yra lyginės.

Funkcija y \u003d sin (x).

1. Apibrėžimo sritis D(x) ОR.

2. Reikšmių diapazonas E(y) О [ - 1; vienas].

3. Funkcija yra periodinė; pagrindinis periodas yra 2π.

4. Funkcija nelyginė.

5. Funkcija didėja intervalais [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] ir mažėja intervalais [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Funkcijos y \u003d sin (x) grafikas parodytas 11 paveiksle.

Pačioje algebros tyrimo pradžioje moksleiviai susiduria su užduotimi sudaryti funkcijų grafiką ir toliau juos kurti metai iš metų. Pradedant nuo tiesinės funkcijos grafiko, kurio konstravimui reikia žinoti tik du taškus, iki parabolės, kuriai jau reikia 6 taškų, hiperbolės ir sinusoidės. Kiekvienais metais funkcijos tampa vis sudėtingesnės ir nebegalima jų grafikų braižyti pagal šabloną, reikia atlikti sudėtingesnius tyrimus naudojant išvestines ir ribas.

Išsiaiškinkime, kaip rasti funkcijos grafiką? Norėdami tai padaryti, pradėkime nuo paprasčiausių funkcijų, kurių grafikai sudaryti taškais, o tada apsvarstykite sudėtingesnių funkcijų kūrimo planą.

Tiesinės funkcijos braižymas

Norint sudaryti paprasčiausius grafikus, naudojama funkcijų reikšmių lentelė. Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija. Pabandykime surasti funkcijos y=4x+5 grafiko taškus.

1. Norėdami tai padaryti, paimame dvi savavališkas kintamojo x reikšmes, pakeičiame jas po vieną į funkciją, randame kintamojo y reikšmę ir viską sudedame į lentelę.
2. Paimkime reikšmę x=0 ir pakeiskime ją į funkciją vietoj x - 0. Gauname: y=4*0+5, tai yra, y=5 šią reikšmę į lentelę įrašome po 0. Panašiai imkime x= 0 gauname y=4*1+5 , y=9.
3. Dabar, norėdami sukurti funkcijų grafiką, turite nubraižyti šiuos taškus koordinačių plokštumoje. Tada reikia nubrėžti tiesią liniją.

Kvadratinės funkcijos braižymas

Kvadratinė funkcija yra y=ax 2 +bx +c formos funkcija, kur x yra kintamasis, a,b,c yra skaičiai (a nelygu 0). Pavyzdžiui: y=x 2, y=x 2 +5, y=(x-3) 2, y=2x 2 +3x+5.

Paprasčiausiai kvadratinei funkcijai y=x 2 sukurti paprastai reikia 5–7 taškų. Paimkime kintamojo x reikšmes: -2, -1, 0, 1, 2 ir raskite y reikšmes taip pat, kaip ir kuriant pirmąjį grafiką.

Kvadratinės funkcijos grafikas vadinamas parabole. Sukūrę funkcijų grafikus, mokiniai turi naujų užduočių, susijusių su grafiku.

1 pavyzdys: raskite funkcijos grafiko taško y=x 2 abscisę, jei ordinatės lygi 9. Norėdami išspręsti uždavinį, į funkciją reikia pakeisti jos reikšmę 9, o ne y. Gauname 9=x 2 ir išsprendžiame šią lygtį . x=3 ir x=-3. Tai galima pamatyti ir funkcijos grafike.

Funkcijos tyrimas ir jos grafiko sudarymas

Norėdami nubrėžti sudėtingesnes funkcijas, turite atlikti kelis veiksmus, skirtus jo tyrimui. Tam jums reikia:

1. Raskite funkcijos apimtį. Taikymo sritis yra visos reikšmės, kurias x gali įgyti. Iš apibrėžimo srities reikėtų išskirti tuos taškus, kuriuose vardiklis tampa 0 arba radikalinė išraiška tampa neigiama.
2. Nustatykite lyginę arba nelyginę funkciją. Prisiminkite, kad lygi yra funkcija, kuri atitinka sąlygą f(-x)=f(x). Jo grafikas yra simetriškas Oy atžvilgiu. Funkcija bus nelyginė, jei ji atitiks sąlygą f(-x)=-f(x). Šiuo atveju grafikas yra simetriškas kilmės atžvilgiu.
3. Raskite susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Norint rasti susikirtimo su x ašimi taško abscisę, reikia išspręsti lygtį f(x)=0 (ordinatė lygi 0). Norint rasti susikirtimo taško su Oy ašimi ordinates, vietoj kintamojo x reikia funkcijoje pakeisti 0 (abscisė yra 0).
4. Raskite funkcijos asimptotes. Asimptotė yra linija, prie kurios grafikas artėja neribotai, bet niekada nekerta. Išsiaiškinkime, kaip rasti funkcijos grafiko asimptotes.
   • Vertikali asimptotinė tiesė formos x=a
   • Horizontali asimptotė - tiesi linija formos y \u003d a
   • Įstrižinė asimptotė – y=kx+b formos tiesė
5. Raskite funkcijos ekstremalinius taškus, funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus. Raskite funkcijos kraštutinius taškus. Norėdami tai padaryti, turite rasti pirmąją išvestinę ir prilyginti ją 0. Būtent šiuose taškuose funkcija gali keistis iš didėjančios į mažėjančią. Nustatykime kiekvieno intervalo išvestinės ženklą. Jei išvestinė teigiama, tai funkcijos grafikas didėja, jei neigiamas – mažėja.
6. Raskite funkcijos grafiko vingio taškus, išgaubimo intervalus aukštyn ir žemyn.

Rasti vingio taškus dabar lengviau nei bet kada anksčiau. Jums tereikia rasti antrą išvestinę, tada prilyginti ją nuliui. Toliau kiekviename intervale randame antrosios išvestinės ženklą. Jei teigiama, tai funkcijos grafikas yra išgaubtas žemyn, jei neigiamas - aukštyn.

Ši metodinė medžiaga skirta tik informaciniams ir apima daugybę temų. Straipsnyje apžvelgiami pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikai ir aptariamas svarbiausias klausimas - kaip teisingai ir GREITAI sudaryti grafiką. Studijuojant aukštąją matematiką, nežinant pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikų, bus sunku, todėl labai svarbu atsiminti, kaip atrodo parabolės, hiperbolės, sinuso, kosinuso ir kt. grafikai, prisiminti kai kuriuos. funkcijų reikšmės. Taip pat pakalbėsime apie kai kurias pagrindinių funkcijų savybes.

Nepretenduoju į išsamią ir moksliškai nuodugnią medžiagą, daugiausia dėmesio bus skiriama praktikai – tiems dalykams, su kuriais tenka susidurti tiesiogine prasme kiekviename žingsnyje, bet kurioje aukštosios matematikos temoje. Manekenų diagramos? Galima taip sakyti.

Pagal populiarų skaitytojų poreikį spustelėjamas turinys:

Be to, šia tema yra itin trumpa santrauka
– įvaldykite 16 tipų diagramas studijuodami ŠEŠIUS puslapius!

Jei rimtai, šeši, net aš pats buvau nustebęs. Šioje santraukoje yra patobulinta grafika, ją galima įsigyti už nominalų mokestį, galima peržiūrėti demonstracinę versiją. Failą patogu atsispausdinti, kad grafikai visada būtų po ranka. Ačiū už paramą projektui!

Ir iškart pradedame:

Kaip teisingai sudaryti koordinačių ašis?

Praktiškai testus studentai beveik visada rengia atskiruose sąsiuviniuose, išklotuose narve. Kodėl jums reikia languotų ženklų? Juk darbą iš principo galima atlikti ir ant A4 formato lapų. O narvas reikalingas vien dėl kokybiško ir tikslaus brėžinių suprojektavimo.

Bet koks funkcijos grafiko brėžinys prasideda koordinačių ašimis.

Piešiniai yra dvimačiai ir trimačiai.

Pirmiausia panagrinėkime dvimatį atvejį Dekarto koordinačių sistema:

1) Nubraižome koordinačių ašis. Ašis vadinama x ašis , ir ašis y ašis . Mes visada stengiamės juos nupiešti tvarkingas ir nekreivas. Rodyklės taip pat neturėtų priminti Papa Carlo barzdos.

2) Ašys pasirašome didžiosiomis raidėmis „x“ ir „y“. Nepamirškite pasirašyti ašių.

3) Nustatykite skalę išilgai ašių: nubrėžkite nulį ir du vienetus. Darant piešinį patogiausia ir įprasta mastelė: 1 vienetas = 2 langeliai (piešinys kairėje) – jei įmanoma, laikykitės. Tačiau karts nuo karto nutinka taip, kad piešinys netelpa ant sąsiuvinio lapo – tada sumažiname mastelį: 1 vnt. = 1 langelis (piešinys dešinėje). Retai, bet pasitaiko, kad piešinio mastelį tenka dar labiau sumažinti (ar padidinti).

NEGALIMA rašyti iš kulkosvaidžio ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Mat koordinačių plokštuma nėra paminklas Dekartui, o studentas – ne balandis. Mes dedame nulis Ir du vienetai išilgai ašių. Kartais vietoj vienetų, patogu „aptikti“ kitas reikšmes, pavyzdžiui, „dvi“ abscisių ašyje ir „trys“ ordinačių ašyje - ir ši sistema (0, 2 ir 3) taip pat vienareikšmiškai nustatys koordinačių tinklelį.

Geriau PRIEŠ braižant brėžinį įvertinti numatomus brėžinio matmenis.. Taigi, pavyzdžiui, jei atliekant užduotį reikia nubrėžti trikampį su viršūnėmis , , , tuomet visiškai aišku, kad populiarios skalės 1 vienetas = 2 langeliai neveiks. Kodėl? Pažiūrėkime į esmę – čia reikia išmatuoti penkiolika centimetrų žemyn, ir, aišku, piešinys netilps (arba vos tilps) ant sąsiuvinio lapo. Todėl iš karto pasirenkame mažesnio masto 1 vienetas = 1 langelis.

Beje, apie centimetrus ir užrašų knygelės ląsteles. Ar tiesa, kad 30 bloknoto langelių yra 15 centimetrų? Išmatuokite liniuote sąsiuvinyje susidomėjimui 15 centimetrų. SSRS galbūt tai buvo tiesa ... Įdomu pastebėti, kad jei išmatuosite tuos pačius centimetrus horizontaliai ir vertikaliai, tada rezultatai (ląstelėse) bus skirtingi! Griežtai tariant, šiuolaikiniai sąsiuviniai yra ne languoti, o stačiakampiai. Gali atrodyti, kad tai nesąmonė, bet piešti, pavyzdžiui, apskritimą su kompasu tokiose situacijose yra labai nepatogu. Tiesą sakant, tokiomis akimirkomis pradedate galvoti apie draugo Stalino, kuris buvo išsiųstas į stovyklas dėl įsilaužimo gamyboje, teisingumą, jau nekalbant apie vidaus automobilių pramonę, krentančius lėktuvus ar sprogstančias elektrines.

Kalbant apie kokybę, arba trumpa rekomendacija dėl kanceliarinių prekių. Iki šiol dauguma parduodamų sąsiuvinių, nekalbant blogų žodžių, yra visiški goblinai. Dėl to, kad jie sušlampa, ir ne tik nuo gelinių rašiklių, bet ir nuo tušinukų! Taupykite popieriuje. Bandymų projektavimui rekomenduoju naudoti Archangelsko celiuliozės ir popieriaus gamyklos (18 lapų, ląstelė) arba Pyaterochka sąsiuvinius, nors jie yra brangesni. Patartina rinktis gelinį rašiklį, net pigiausias kiniškas gelio pildymas yra daug geriau nei tušinukas, kuris arba ištepa, arba suplėšo popierių. Vienintelis „konkurencinis“ tušinukas mano atmintyje yra Erichas Krause. Rašo aiškiai, gražiai ir stabiliai – arba pilnu kotu, arba beveik tuščiu.

Papildomai: straipsnyje aptariamas stačiakampės koordinačių sistemos matymas analitinės geometrijos akimis Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorinis pagrindas, išsamią informaciją apie koordinačių ketvirčius rasite antroje pamokos pastraipoje Tiesinės nelygybės.

3D dėklas

Čia beveik tas pats.

1) Nubraižome koordinačių ašis. Standartas: taikymo ašis – nukreipta į viršų, ašis – nukreipta į dešinę, ašis – žemyn į kairę griežtai 45 laipsnių kampu.

2) Pasirašome ant ašių.

3) Nustatykite skalę išilgai ašių. Skalė išilgai ašies – du kartus mažesnė už skalę išilgai kitų ašių. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad dešiniajame brėžinyje aš panaudojau nestandartinį „serifą“ išilgai ašies (ši galimybė jau buvo paminėta aukščiau). Mano požiūriu, tai tikslesnė, greitesnė ir estetiškesnė – nereikia ieškoti ląstelės vidurio po mikroskopu ir „skulptuoti“ įrenginio iki pat pradžios.

Dar kartą darydami 3D piešinį – pirmenybę teikite masteliui
1 vienetas = 2 langeliai (piešinys kairėje).

Kam skirtos visos šios taisyklės? Taisyklės yra tam, kad jas laužytume. Ką aš dabar darysiu. Faktas yra tas, kad tolesnius straipsnio brėžinius aš padarysiu programoje „Excel“, o koordinačių ašys atrodys neteisingos tinkamo dizaino požiūriu. Visus grafikus galėčiau nubraižyti ranka, bet labai baisu juos braižyti, nes Excelis nelinkęs piešti daug tiksliau.

Grafikai ir pagrindinės elementariųjų funkcijų savybės

Tiesinė funkcija pateikiama lygtimi . Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesioginis. Norint sukurti tiesią liniją, pakanka žinoti du taškus.

1 pavyzdys

Nubraižykite funkciją. Raskime du taškus. Kaip vieną iš taškų pravartu pasirinkti nulį.

Jei tada

Imame kitą tašką, pavyzdžiui, 1.

Jei tada

Rengiant užduotis taškų koordinatės dažniausiai apibendrinamos lentelėje:

Ir pačios vertės skaičiuojamos žodžiu arba juodraščiu, skaičiuokle.

Rasti du taškai, nubrėžkime:

Piešdami piešinį visada pasirašome ant grafikos.

Nebus nereikalinga prisiminti specialius tiesinės funkcijos atvejus:

Atkreipkite dėmesį, kaip įdėjau antraštes, parašai neturėtų būti dviprasmiški studijuojant piešinį. Šiuo atveju buvo labai nepageidautina parašą dėti šalia linijų susikirtimo taško arba apačioje, dešinėje tarp grafikų.

1) Formos () tiesinė funkcija vadinama tiesiogine proporcingumu. Pavyzdžiui, . Tiesioginio proporcingumo grafikas visada eina per pradžią. Taigi, tiesios linijos konstravimas yra supaprastintas – pakanka rasti tik vieną tašką.

2) Formos lygtis apibrėžia tiesę, lygiagrečią ašiai, visų pirma, pati ašis pateikiama lygtimi. Funkcijos grafikas sudaromas iš karto, nerandant taškų. Tai reiškia, kad įrašas turėtų būti suprantamas taip: "y visada lygus -4, bet kuriai x reikšmei".

3) Formos lygtis apibrėžia tiesę, lygiagrečią ašiai, visų pirma, pati ašis pateikiama lygtimi. Funkcijos grafikas taip pat sukuriamas iš karto. Įrašas turėtų būti suprantamas taip: "x visada, esant bet kuriai y reikšmei, yra lygus 1."

Kai kas paklaus, na, kam prisiminti 6 klasę?! Taip yra, gal ir taip, tik per praktikos metus sutikau gerą tuziną studentų, kuriuos glumino užduotis sudaryti grafiką kaip arba .

Tiesios linijos brėžimas yra labiausiai paplitęs veiksmas kuriant brėžinius.

Tiesi linija išsamiai aptariama analitinės geometrijos eigoje, o norintys gali kreiptis į straipsnį Tiesės lygtis plokštumoje.

Kvadratinės funkcijos grafikas, kubinių funkcijų grafikas, daugianario grafikas

Parabolė. Kvadratinės funkcijos grafikas () yra parabolė. Apsvarstykite garsųjį atvejį:

Prisiminkime kai kurias funkcijos savybes.

Taigi, mūsų lygties sprendimas: - būtent šioje vietoje yra parabolės viršūnė. Kodėl taip yra, galima sužinoti iš teorinio straipsnio apie išvestinę ir pamoką apie funkcijos kraštutinumus. Tuo tarpu apskaičiuojame atitinkamą "y" reikšmę:

Taigi viršūnė yra taške

Dabar randame kitus taškus, įžūliai naudodami parabolės simetriją. Reikėtų pažymėti, kad funkcija – nėra net, tačiau, nepaisant to, niekas nepanaikino parabolės simetrijos.

Kokia tvarka rasti likusius taškus, manau, paaiškės iš galutinės lentelės:

Tokį konstravimo algoritmą galima perkeltine prasme pavadinti „šautytu“ arba „pirmyn ir atgal“ principu su Anfisa Čechova.

Padarykime piešinį:

Iš nagrinėjamų grafikų į galvą ateina dar viena naudinga funkcija:

Dėl kvadratinės funkcijos () tiesa:

Jei , tada parabolės šakos nukreiptos į viršų.

Jei , tada parabolės šakos nukreiptos žemyn.

Išsamių žinių apie kreivę galima įgyti pamokoje Hiperbolė ir parabolė.

Kubinė parabolė pateikiama funkcija . Štai piešinys, pažįstamas iš mokyklos:

Išvardijame pagrindines funkcijos savybes

Funkcijų grafikas

Tai yra viena iš parabolės šakų. Padarykime piešinį:

Pagrindinės funkcijos savybės:

Šiuo atveju ašis yra vertikali asimptota hiperbolinės diagramos atveju .

Tai bus DIDELĖ klaida, jei sudarydami brėžinį dėl aplaidumo leisite grafikui susikirsti su asimptote.

Taip pat vienpusės ribos, pasakykite mums, kad hiperbolė neapribota iš viršaus Ir neapribota iš apačios.

Išnagrinėkime funkciją begalybėje: tai yra, jei pradėsime judėti išilgai ašies į kairę (arba dešinę) iki begalybės, tada „žaidimai“ bus lieknas žingsnis be galo arti artėja prie nulio ir atitinkamai hiperbolės šakos be galo arti priartėti prie ašies.

Taigi ašis yra horizontalioji asimptote funkcijos grafikui, jei "x" linkęs į pliuso arba minus begalybę.

Funkcija yra nelyginis, o tai reiškia, kad hiperbolė yra simetriška kilmės atžvilgiu. Šis faktas akivaizdus iš brėžinio, be to, jį galima lengvai patikrinti analitiškai: .

() formos funkcijos grafikas vaizduoja dvi hiperbolės šakas.

Jei , tada hiperbolė yra pirmajame ir trečiajame koordinačių kvadrantuose(žr. paveikslėlį aukščiau).

Jei , tada hiperbolė yra antrajame ir ketvirtame koordinačių kvadrantuose.

Grafų geometrinių transformacijų požiūriu nesunku išanalizuoti nurodytą hiperbolės gyvenamosios vietos dėsningumą.

3 pavyzdys

Sukurkite dešinę hiperbolės šaką

Mes naudojame taškinio konstravimo metodą, tuo tarpu naudinga pasirinkti reikšmes taip, kad jos visiškai išsiskirtų:

Padarykime piešinį:

Sukonstruoti kairiąją hiperbolės šaką nebus sunku, čia funkcijos keistumas kaip tik padės. Grubiai tariant, taškinės konstrukcijos lentelėje mintyse pridėkite minusą prie kiekvieno skaičiaus, sudėkite atitinkamus taškus ir nubrėžkite antrąją šaką.

Išsamią geometrinę informaciją apie nagrinėjamą liniją rasite straipsnyje Hiperbolė ir parabolė.

Eksponentinės funkcijos grafikas

Šioje pastraipoje iš karto apsvarstysiu eksponentinę funkciją, nes aukštosios matematikos uždaviniuose 95% atvejų atsiranda eksponentas.

Primenu, kad tai neracionalus skaičius: to reikės kuriant grafiką, kurį, tiesą sakant, sukursiu be ceremonijų. Tikriausiai pakanka trijų taškų:

Funkcijos grafiką kol kas palikime ramybėje, apie tai vėliau.

Pagrindinės funkcijos savybės:

Iš esmės funkcijų grafikai atrodo taip pat ir pan.

Turiu pasakyti, kad antrasis atvejis praktikoje yra mažiau paplitęs, tačiau pasitaiko, todėl maniau, kad būtina jį įtraukti į šį straipsnį.

Logaritminės funkcijos grafikas

Apsvarstykite funkciją su natūraliuoju logaritmu .
Nubrėžkime liniją:

Jei pamiršote, kas yra logaritmas, skaitykite mokyklinius vadovėlius.

Pagrindinės funkcijos savybės:

Domenas:

Vertybių diapazonas: .

Funkcija nėra ribojama iš viršaus: , nors ir lėtai, bet logaritmo atšaka kyla iki begalybės.
Panagrinėkime funkcijos, esančios šalia nulio, veikimą dešinėje: . Taigi ašis yra vertikali asimptota funkcijos grafikui, kai "x" linkęs į nulį dešinėje.

Būtinai žinokite ir atsiminkite tipinę logaritmo reikšmę: .

Iš esmės logaritmo grafikas prie pagrindo atrodo taip pat: , , (dešimtainis logaritmas iki 10 bazės) ir kt. Tuo pačiu metu, kuo didesnis pagrindas, tuo diagrama bus plokštesnė.

Mes nenagrinėsime atvejo, aš neprisimenu, kada paskutinį kartą sukūriau grafiką tokiu pagrindu. Taip, ir logaritmas, atrodo, yra labai retas svečias aukštosios matematikos uždaviniuose.

Baigdamas pastraipą pasakysiu dar vieną faktą: Eksponentinė funkcija ir logaritminė funkcijayra dvi viena kitai atvirkštinės funkcijos. Jei atidžiai pažvelgsite į logaritmo grafiką, pamatysite, kad tai yra tas pats eksponentas, tik jis yra šiek tiek kitaip.

Trigonometrinių funkcijų grafikai

Kaip mokykloje prasideda trigonometrinės kančios? Teisingai. Iš sinuso

Nubraižykime funkciją

Ši linija vadinama sinusoidinė.

Primenu, kad „pi“ yra neracionalus skaičius:, o trigonometrijoje jis apakina akyse.

Pagrindinės funkcijos savybės:

Ši funkcija yra periodinis leidinys su laikotarpiu. Ką tai reiškia? Pažiūrėkime į pjūvį. Kairėje ir dešinėje nuo jo lygiai ta pati grafiko dalis kartojasi be galo.

Domenas: , tai yra, bet kuriai "x" reikšmei yra sinusinė reikšmė.

Vertybių diapazonas: . Funkcija yra ribotas: , tai yra, visi „žaidimai“ yra griežtai segmente .
Taip nebūna: arba, tiksliau, atsitinka, bet šios lygtys neturi sprendimo.

Plokštumoje pasirenkame stačiakampę koordinačių sistemą ir nubraižome argumento reikšmes ant abscisių ašies X, o y ašyje - funkcijos reikšmės y = f(x).

Funkcijų grafikas y = f(x) iškviečiama visų taškų aibė, kurios abscisės priklauso funkcijos sričiai, o ordinatės lygios atitinkamoms funkcijos reikšmėms.

Kitaip tariant, funkcijos y \u003d f (x) grafikas yra visų plokštumos taškų, koordinačių rinkinys X, adresu kurios tenkina santykį y = f(x).

Ant pav. 45 ir 46 yra funkcijų grafikai y = 2x + 1 Ir y \u003d x 2 - 2x.

Griežtai kalbant, reikėtų atskirti funkcijos grafiką (tikslus matematinis apibrėžimas buvo pateiktas aukščiau) ir nubrėžtą kreivę, kuri visada pateikia tik daugiau ar mažiau tikslų grafiko eskizą (ir net tada, kaip taisyklė, ne viso grafiko, o tik jo dalies, esančios paskutinėse plokštumos dalyse). Tačiau toliau mes paprastai vadinsime „diagramą“, o ne „diagramos eskizą“.

Naudodami grafiką galite rasti funkcijos reikšmę taške. Būtent, jei taškas x = a priklauso funkcijos sričiai y = f(x), tada norėdami rasti numerį f(a)(t. y. funkcijos reikšmės taške x = a) turėtų tai padaryti. Reikia per tašką su abscise x = a nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią y ašiai; ši linija kirs funkcijos grafiką y = f(x) vienu metu; šio taško ordinatė pagal grafiko apibrėžimą bus lygi f(a)(47 pav.).

Pavyzdžiui, dėl funkcijos f(x) = x 2 - 2x naudodamiesi grafiku (46 pav.) randame f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 ir t.t.

Funkcijos grafikas vizualiai iliustruoja funkcijos elgesį ir savybes. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į Fig. 46 akivaizdu, kad funkcija y \u003d x 2 - 2xįgauna teigiamas reikšmes, kai X< 0 ir pas x > 2, neigiamas – ties 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x priima val x = 1.

Norėdami nubrėžti funkciją f(x) reikia rasti visus plokštumos taškus, koordinates X,adresu kurios tenkina lygtį y = f(x). Daugeliu atvejų tai neįmanoma, nes tokių taškų yra be galo daug. Todėl funkcijos grafikas pavaizduotas apytiksliai – didesniu ar mažesniu tikslumu. Paprasčiausias yra kelių taškų braižymo metodas. Jis susideda iš to, kad argumentas X pateikite baigtinį skaičių reikšmių – tarkime, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k ir sudarykite lentelę, kurioje būtų pasirinktos funkcijos reikšmės.

Lentelė atrodo taip:

Sudarę tokią lentelę, funkcijos grafike galime nubrėžti keletą taškų y = f(x). Tada sujungus šiuos taškus lygia linija, gauname apytikslį funkcijos grafiko vaizdą y = f(x).

Tačiau reikia pažymėti, kad kelių taškų braižymo metodas yra labai nepatikimas. Tiesą sakant, grafiko elgsena tarp pažymėtų taškų ir jos elgsena už atkarpos tarp kraštutinių taškų lieka nežinoma.

1 pavyzdys. Norėdami nubrėžti funkciją y = f(x) kažkas sudarė argumentų ir funkcijų reikšmių lentelę:

Atitinkami penki taškai parodyti fig. 48.

Remdamasis šių taškų vieta, jis padarė išvadą, kad funkcijos grafikas yra tiesi linija (48 pav. parodyta punktyrine linija). Ar ši išvada gali būti laikoma patikima? Jei nėra papildomų priežasčių, pagrindžiančių šią išvadą, ji vargu ar gali būti laikoma patikima. patikimas.

Norėdami pagrįsti savo teiginį, apsvarstykite funkciją

.

Skaičiavimai rodo, kad šios funkcijos reikšmės taškuose -2, -1, 0, 1, 2 yra tiesiog aprašytos aukščiau esančioje lentelėje. Tačiau šios funkcijos grafikas visai nėra tiesi (ji pavaizduota 49 pav.). Kitas pavyzdys yra funkcija y = x + l + sinx; jo reikšmės taip pat aprašytos aukščiau esančioje lentelėje.

Šie pavyzdžiai rodo, kad „gryna“ forma kelių taškų braižymo metodas yra nepatikimas. Todėl, norėdami nubrėžti tam tikrą funkciją, paprastai elkitės taip. Pirmiausia išnagrinėjamos šios funkcijos savybės, kurių pagalba galima sukonstruoti grafiko eskizą. Tada, apskaičiuojant funkcijos reikšmes keliuose taškuose (kurių pasirinkimas priklauso nuo funkcijos nustatytų savybių), surandami atitinkami grafiko taškai. Ir galiausiai per sukonstruotus taškus nubrėžiama kreivė, naudojant šios funkcijos savybes.

Kai kurias (paprasčiausias ir dažniausiai naudojamas) funkcijų, naudojamų ieškant grafiko eskizo, savybes panagrinėsime vėliau, tačiau dabar panagrinėsime keletą dažniausiai naudojamų grafikų braižymo metodų.

Funkcijos y = |f(x)| grafikas.

Dažnai reikia nubrėžti funkciją y = |f(x)|, kur f(x) – suteikta funkcija. Prisiminkite, kaip tai daroma. Pagal skaičiaus absoliučiosios reikšmės apibrėžimą galima rašyti

Tai reiškia, kad funkcijos grafikas y=|f(x)| galima gauti iš grafiko, funkcijų y = f(x) taip: visi funkcijos grafiko taškai y = f(x), kurio ordinatės neneigiamos, palikti nepakeistas; toliau vietoj funkcijos grafiko taškų y = f(x), turint neigiamas koordinates, reikia sukonstruoti atitinkamus funkcijos grafiko taškus y = -f(x)(t. y. funkcijos grafiko dalis
y = f(x), kuris yra žemiau ašies X, turi atsispindėti simetriškai apie ašį X).

2 pavyzdys Nubraižykite funkciją y = |x|.

Imame funkcijos grafiką y = x(50 pav., a) ir dalis šio grafiko su X< 0 (guli po ašimi X) simetriškai atsispindi apie ašį X. Rezultate gauname funkcijos grafiką y = |x|(50 pav., b).

3 pavyzdys. Nubraižykite funkciją y = |x 2 - 2x|.

Pirmiausia pavaizduojame funkciją y = x 2 - 2x.Šios funkcijos grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, parabolės viršūnė turi koordinates (1; -1), jos grafikas kerta abscisių ašį taškuose 0 ir 2. Intervale (0; 2) ) funkcija įgauna neigiamas reikšmes, todėl ši grafiko dalis atspindi simetriškai apie x ašį. 51 paveiksle parodytas funkcijos grafikas y \u003d |x 2 -2x |, remiantis funkcijos grafiku y = x 2 - 2x

Funkcijos y = f(x) + g(x) grafikas

Apsvarstykite funkcijos braižymo problemą y = f(x) + g(x). jei pateikti funkcijų grafikai y = f(x) Ir y = g(x).

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos y sritis = |f(x) + g(х)| yra aibė visų tų x reikšmių, kurioms yra apibrėžtos abi funkcijos y = f(x) ir y = g(x), ty ši apibrėžimo sritis yra apibrėžimo sričių, funkcijų f(x) sankirta. ) ir g(x).

Tegul taškai (x 0, y 1) Ir (x 0, y 2) atitinkamai priklauso funkcijų grafikams y = f(x) Ir y = g(x), t.y. y 1 \u003d f (x 0), y 2 = g (x 0). Tada taškas (x0;. y1 + y2) priklauso funkcijos grafikui y = f(x) + g(x)(dėl f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. ir bet kuris funkcijos grafiko taškas y = f(x) + g(x) galima gauti tokiu būdu. Todėl funkcijos grafikas y = f(x) + g(x) galima gauti iš funkcijų grafikų y = f(x). Ir y = g(x) pakeičiant kiekvieną tašką ( x n, y 1) funkcinė grafika y = f(x) taškas (x n, y 1 + y 2), kur y 2 = g(x n), ty perkeliant kiekvieną tašką ( x n, y 1) funkcijų grafikas y = f(x) palei ašį adresu pagal sumą y 1 \u003d g (x n). Šiuo atveju atsižvelgiama tik į tokius punktus. X n, kuriai apibrėžtos abi funkcijos y = f(x) Ir y = g(x).

Šis funkcijos grafiko braižymo metodas y = f(x) + g(x) vadinamas funkcijų grafikų pridėjimu y = f(x) Ir y = g(x)

4 pavyzdys. Paveiksle grafų sudėjimo būdu sukonstruotas funkcijos grafikas
y = x + sinx.

Braižydami funkciją y = x + sinx mes tai manėme f(x) = x, bet g(x) = sinx. Norėdami sudaryti funkcijų grafiką, pasirenkame taškus su abscisėmis -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Reikšmės f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx skaičiuosime pasirinktuose taškuose ir rezultatus patalpinsime į lentelę.

Pažiūrėkime, kaip ištirti funkciją naudojant grafiką. Pasirodo, pažiūrėję į grafiką galite sužinoti viską, kas mus domina, būtent:

• funkcijos apimtis
• funkcijų diapazonas
• funkcijos nuliai
• didėjimo ir mažėjimo laikotarpiai
• aukšti ir žemi taškai
• didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė segmente.

Paaiškinkime terminologiją:

Abscisė yra taško horizontalioji koordinatė.
Ordinatė- vertikali koordinatė.
abscisė- horizontalioji ašis, dažniausiai vadinama ašimi.
Y ašis- vertikali ašis arba ašis.

Argumentas yra nepriklausomas kintamasis, nuo kurio priklauso funkcijos reikšmės. Dažniausiai nurodoma.
Kitaip tariant, mes patys pasirenkame , pakeičiame funkcijos formulę ir gauname .

Domenas funkcijos - tų (ir tik tų) argumento, kuriam funkcija egzistuoja, reikšmių rinkinys.
Žymima: arba.

Mūsų paveiksle funkcijos sritis yra segmentas. Būtent šiame segmente nubraižytas funkcijos grafikas. Tik čia ši funkcija egzistuoja.

Funkcijų diapazonas yra reikšmių rinkinys, kurį įgauna kintamasis. Mūsų paveiksle tai yra segmentas - nuo mažiausios iki didžiausios vertės.

Funkcijos nuliai- taškai, kuriuose funkcijos reikšmė lygi nuliui, t.y. Mūsų paveiksle tai yra taškai ir .

Funkcijų reikšmės yra teigiamos kur . Mūsų paveiksle tai yra intervalai ir .
Funkcijų reikšmės yra neigiamos kur . Turime šį intervalą (arba intervalą) nuo iki.

Svarbiausios sąvokos - didėjančios ir mažėjančios funkcijos kažkokiame rinkinyje. Kaip rinkinį galite paimti atkarpą, intervalą, intervalų sąjungą arba visą skaičių eilutę.

Funkcija dideja

Kitaip tariant, kuo daugiau , tuo daugiau , tai yra, grafikas eina į dešinę ir į viršų.

Funkcija mažėja aibėje jei kuri nors ir priklausanti aibei nelygybė reiškia nelygybę .

Mažėjančiai funkcijai didesnė reikšmė atitinka mažesnę reikšmę. Grafikas eina į dešinę ir žemyn.

Mūsų paveiksle funkcija didėja intervale ir mažėja intervalais ir .

Apibrėžkime, kas yra maksimalus ir minimalus funkcijos taškai.

Maksimalus taškas- tai vidinis apibrėžimo srities taškas, kuriame funkcijos reikšmė yra didesnė nei visuose pakankamai artimuose taškuose.
Kitaip tariant, maksimalus taškas yra toks taškas, funkcijos reikšmė, kurioje daugiau nei kaimyninėse. Tai vietinė „kalva“ diagramoje.

Mūsų paveiksle - maksimalus taškas.

Žemas taškas- vidinis apibrėžimo srities taškas, kuriame funkcijos reikšmė yra mažesnė nei visuose pakankamai artimuose taškuose.
Tai yra, minimalus taškas yra toks, kad funkcijos reikšmė jame yra mažesnė nei kaimyninėse. Diagramoje tai yra vietinė „skylė“.

Mūsų paveiksle - minimalus taškas.

Esmė yra riba. Tai nėra vidinis apibrėžimo srities taškas ir todėl netinka maksimalaus taško apibrėžimui. Juk kairėje kaimynų ji neturi. Lygiai taip pat mūsų diagramoje negali būti minimalaus taško.

Didžiausias ir minimalus taškai vadinami bendrai funkcijos ekstremalūs taškai. Mūsų atveju tai yra ir .

Bet ką daryti, jei reikia rasti, pvz. funkcijos minimumas ant pjūvio? Šiuo atveju atsakymas yra toks: nes funkcijos minimumas yra jo vertė minimaliame taške.

Panašiai mūsų funkcijos maksimumas yra . Jis pasiekiamas taške.

Galime sakyti, kad funkcijos ekstremumai yra lygūs ir .

Kartais užduotyse reikia rasti didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės tam tikrame segmente. Jie nebūtinai sutampa su kraštutinumais.

Mūsų atveju mažiausia funkcijos reikšmė intervale yra lygus funkcijos minimumui ir sutampa su juo. Tačiau didžiausia jo vertė šiame segmente yra lygi . Jis pasiekiamas kairiajame segmento gale.

Bet kokiu atveju didžiausios ir mažiausios ištisinės funkcijos reikšmės atkarpoje pasiekiamos ekstremaliuose taškuose arba atkarpos galuose.