Karl Schwarzschild: astronomi, artilleri, svarta hål. Schwarzschilds rum-tid Schwarzschilds ekvation

· Gravitationssingularitet · Svart hål

Utveckling av teorin
Parametriserad post-newtonsk formalism Kaluza-Klein typ teorier Kvantgravitation · Alternativa teorier

Lösningar
Exakta lösningar:

Anmärkningsvärda vetenskapsmän
Einstein Minkowski Schwarzschild Lemaitre Eddington Friedmann Fock Kerr Chandrasekhar Penrose hökning och andra…

Se även: Portal: Fysik

Schwarzschild-metriskär den enda sfäriskt symmetriska exakta lösningen av Einsteins ekvationer utan en kosmologisk konstant i det tomma rummet på grund av Birkhoffs sats. I synnerhet beskriver detta mått noggrant gravitationsfältet för ett ensamt icke-roterande och oladdat svart hål och gravitationsfältet utanför en ensam sfäriskt symmetrisk massiv kropp. Uppkallad efter Karl Schwarzschild, som först upptäckte den 1916.

Denna lösning är nödvändigtvis statisk, så att sfäriska gravitationsvågor är omöjliga.

Metrisk typ

Schwarzschild koordinerar

I de så kallade Schwarzschild-koordinaterna $(t,\backslash ;r,\backslash ;\backslash theta,\backslash ;\backslash varphi)$, varav de sista 3 liknar sfäriska , den metriska tensorn för den mest fysiskt viktiga delen av Schwarzschilds rumtid med topologi $R^2\backslash \; gånger\; S^2$(produkten av en region av ett tvådimensionellt euklidiskt rum och en tvådimensionell sfär) har formen

Samordna $r$är inte längden på radievektorn, utan introduceras så att sfärens yta $t=\backslash mathrm(const),\backslash ;\; r=r\_0$ i detta mått var lika med $4\backslash pi\; r\_0^2$. I det här fallet, "avståndet" mellan två händelser med olika $r$(men med samma andra koordinater) ges av integralen

$\backslash int\backslash limits\_(r\_1)^(r\_2)\backslash frac(dr)(\backslash sqrt(1-\backslash displaystyle\backslash frac(r\_s)(r)))>r\_2-r\_1,\backslash qquad\; r\_2,\backslash ;r\_1>r\_s.$

På $M\backslash till\; 0$ eller $r\backslash to\backslash infty$ Schwarzschild-metriken tenderar (komponentmässigt) till Minkowski-metriken i sfäriska koordinater, så långt ifrån en massiv kropp $M$ rymdtid visar sig vara ungefär en pseudo-euklidisk signatur $(1,3)$. Därför att $g\_(0\; 0)=1-\backslash frac(r\_s)(r)\backslash leqslant\; 1$ på $r>r\_s$ och $g\_(0\; 0)$ökar monotont med $r$, då rätt tid på punkter nära kroppen "flyter långsammare" än långt därifrån, det vill säga en märklig gravitationstidsutvidgning massiva kroppar.

Differentiella egenskaper

Beteckna

$g\_(0\; 0)=e^\backslash nu,\backslash quad\; g\_(1\; 1)=-e^\backslash lambda.$

Då har icke-noll oberoende Christoffel-symboler formen

$\backslash Gamma^1\_(1\; 1)=\backslash frac(\backslash lambda^\backslash prime\_r)(2),\backslash quad\backslash Gamma^0\_(1\; 0)=\backslash frac(\backslash nu^\backslash prime\_r)(2),\backslash quad\backslash Gamma\; ^2\_(3\; 3)\; =\; -\backslash sin\backslash theta\backslash cos\backslash theta,$ $\backslash Gamma^0\_(1\; 1)=\backslash frac(\backslash lambda^\backslash prime\_t)(2)e^(\backslash lambda-\backslash nu),\backslash quad\backslash Gamma^1\_(2\; 2)=-re^(-\backslash lambda)\; ,\backslash quad\backslash Gamma^1\_(0\; 0)=\backslash frac(\backslash nu^\backslash prime\_r)(2)e^(\backslash nu-\backslash lambda),$ $\backslash Gamma^2\_(1\; 2)=\backslash Gamma^3\_(1\; 3)=\backslash frac(1)(r),\backslash quad\backslash Gamma^3\_(2\; 3)=\backslash operatörsnamn(ctg)\backslash ,\backslash theta,\backslash quad\; \backslash Gamma^0\_(0\; 0)=\backslash frac(\backslash nu^\backslash prime\_t)(2),$ $\backslash Gamma^1\_(1\; 0)=\backslash frac(\backslash lambda^\backslash prime\_t)(2),\backslash quad\backslash Gamma^1\_(3\; 3)=-r\backslash sin^2\backslash theta\backslash ,e^(-\backslash lambda)\; .$ $I\_1=\backslash left(\backslash frac(r\_s)(2r^3)\backslash right)^2,\backslash quad\; I\_2=\backslash left(\backslash frac(r\_s)(2r^3)\backslash right)^3.$

Krökningstensorn är av typen $\backslash mathbf(D)$ enligt Petrov.

massdefekt

Om det finns en sfäriskt symmetrisk fördelning av "radie" materia (i termer av koordinater) $a$, då kroppens totala massa kan uttryckas i termer av dess energi-momentum-tensor med formeln

$m\; =\backslash frac(4\backslash pi)(c^2)\backslash int\backslash limits\_0^a\; T\_0^0\; r^2\backslash ,dr.$

I synnerhet för en statisk fördelning av materia $T\_0^0=\backslash varepsilon$, var $\backslash varepsilon$- energitäthet i rymden. Med tanke på att volymen av det sfäriska lagret i de koordinater vi har valt är lika med

$dV=4\backslash pi\; r^2\backslash sqrt(g\_(1\; 1))\backslash ,dr>4\backslash pi\; r^2\backslash ,dr,$

det får vi

Denna skillnad uttrycker gravitationsdefekt i kroppsmassan. Man kan säga att en del av systemets totala energi finns i gravitationsfältets energi, även om det är omöjligt att lokalisera denna energi i rymden.

funktion i metrisk

Vid första anblicken innehåller måttet två funktioner: när $r=0$ och kl $r=r\_s$. Faktum är att i Schwarzschild-koordinater kommer en partikel som faller på en kropp att ta oändligt lång tid $t$ att nå ytan $r=r\_s$ Men övergången till t.ex. Lemaitres koordinater i den kommande referensramen visar att det ur den fallande observatörens synvinkel inte finns något särdrag av rum-tid på denna yta, och både själva ytan och regionen $r\backslash ungefär\; 0$ kommer att nås inom en begränsad tid.

En verklig singularitet av Schwarzschild-måttet observeras endast för $r\backslash till\; 0$, där de skalära invarianterna av krökningstensorn tenderar till oändlighet. Denna egenskap (singularitet) kan inte elimineras genom att ändra koordinatsystemet.

händelsehorisont

Yta $r=r\_s$ kallad händelsehorisont. Med ett bättre val av koordinater, till exempel i Lemaitre eller Kruskal-koordinater, kan det visas att inga signaler kan lämna det svarta hålet genom händelsehorisonten. I denna mening är det inte förvånande att fältet utanför Schwarzschilds svarta hål bara beror på en parameter - kroppens totala massa.

Kruskal koordinater

Man kan försöka införa koordinater som inte ger en singularitet vid $r=r\_s$. Det finns många sådana koordinatsystem kända, och det vanligaste av dem är Kruskal-koordinatsystemet, som med en karta täcker hela det maximalt utsträckta grenröret som uppfyller Einsteins vakuumekvationer (utan den kosmologiska konstanten). Det Mer rum-tid $\backslash tilde(\backslash mathcal\; M)$ brukar kallas det (maximalt utsträckta) Schwarzschild-utrymmet eller (mer sällan) Kruskal-utrymmet (Kruskal-Szekeres-diagram). Metriken i Kruskal-koordinater har formen

$ds^2\; =-F(u,v)^2\; \backslash ,du\backslash ,dv+$

r^2(u,v)(d \theta^2+\sin^2\theta\, d\varphi^2),\qquad\qquad (2)

var $F=\backslash frac(4\; r\_s^3)(r)e^(-r/r\_s)$, och funktionen $r(u,v)$ definieras (implicit) av ekvationen $(1-r/r\_s)e^(r/r\_s)=uv$.

Plats $\backslash tilde(\backslash mathcal\; M)$ maximal, det vill säga det kan inte längre vara isometriskt inbäddat i en större rumtid, och området $r>r\_s$ i Schwarzschild koordinater ( $\backslash mathcal\; M$) är bara en del $\backslash tilde(\backslash mathcal\; M)$(det här är området $v>0,\backslash r>r\_s$- region I i figuren). En kropp som rör sig långsammare än ljus - världslinjen för en sådan kropp kommer att vara en kurva med en lutningsvinkel mot vertikalen mindre än $45^\backslash cirkel$, se kurva $\backslash gamma$ på bilden - kan lämna $\backslash mathcal\; M$. I det här fallet faller det i region II, där

PÅ $\backslash tilde(\backslash mathcal\; M)$ det finns en annan asymptotiskt platt region III, i vilken man också kan införa Schwarzschild-koordinater. Denna region är dock inte kausalt relaterad till region I, vilket gör det omöjligt att erhålla någon information om det, förblir utanför händelsehorisonten. I fallet med en verklig kollaps av ett astronomiskt objekt uppstår helt enkelt inte regionerna IV och III, eftersom den vänstra sidan av det presenterade diagrammet måste ersättas av en icke-tom rymdtid fylld med kollapsande materia.

Vi noterar flera anmärkningsvärda egenskaper hos det maximalt utökade Schwarzschild-utrymmet $\backslash tilde(\backslash mathcal\; M)$:

1. Det är singular: koordinaten $r$ av en observatör som faller under horisonten minskar och tenderar till noll när hans egen tid $\backslash tau$ tenderar till något slutvärde $\backslash tau\_0$. Hans världslinje kan dock inte utvidgas till området $\backslash tau\backslash geqslant\backslash tau\_0$, eftersom pekar med $r=0$ inte i detta utrymme. Sålunda är betraktarens öde känt för oss endast fram till en viss tidpunkt i hans (egen) tid.
2. Även om utrymme $\backslash mathcal\; M$ statiskt (det kan ses att måttet (1) inte beror på tid), utrymmet $\backslash tilde(\backslash mathcal\; M)$ det är det inte. Detta är mer strikt formulerat enligt följande: Killing vector , som är från tidsliknande till $\backslash mathcal\; M$, i regionerna II och IV i det utökade utrymmet $\backslash tilde(\backslash mathcal\; M)$ blir rymdliknande.
3. Region III är också isometrisk $\backslash mathcal\; M$. Således innehåller det maximalt utökade Schwarzschild-utrymmet två "universum" - "vårt" (detta är $\backslash mathcal\; M$) och en annan liknande. Region II inuti det svarta hålet som förbinder dem kallas Einstein-Rosen-bron. En observatör som börjar från I och rör sig långsammare än ljuset kommer inte att kunna ta sig in i det andra universum (se fig. 1), men i tidsintervallet mellan att korsa horisonten och träffa singulariteten kommer han att kunna ser henne. Denna struktur av rum-tid, som består och till och med blir mer komplex när man betraktar mer komplexa svarta hål, har gett upphov till många spekulationer om möjliga "andra" universum och färdas genom svarta hål i dem i både vetenskaplig litteratur och science fiction (se Molecules hålor).

orbital rörelse

Mottagnings- och tolkningshistorik

Schwarzschild-metriken, som fungerar som ett objekt av betydande teoretiskt intresse, är också ett slags verktyg för teoretiker, till synes enkelt, men leder ändå omedelbart till svåra frågor.

I mitten av 1915 publicerade Einstein de preliminära ekvationerna för gravitationsteorin. $R\_(ij)=T\_(ij)$. Dessa var ännu inte Einsteins ekvationer, men de sammanföll redan med de sista i vakuumfallet $T\_(ij)=0$. Schwarzschild integrerade de sfäriskt symmetriska ekvationerna för vakuum under perioden från 18 november 1915 till slutet av året. Den 9 januari 1916 skrev Einstein, som Schwarzschild kontaktade angående publiceringen av hans artikel i Berliner Berichte, till honom att han "läste sitt arbete med stor passion" och "förvånades över att den verkliga lösningen på detta problem kan uttryckas så lätt" - Einstein tvivlade initialt på om det ens var möjligt att få en lösning på sådana komplexa ekvationer.

Schwarzschild avslutade sitt arbete i mars och fick också en sfäriskt symmetrisk statisk intern lösning för en vätska med konstant densitet. Vid denna tid föll en sjukdom (pemphigus) över honom, som förde honom till graven i maj. Sedan maj 1916 har I. Droste, en student till G. A. Lorentz, som bedriver forskning inom ramen för de slutliga Einsteins fältekvationer, fått en lösning på samma problem med en enklare metod än Schwarzschild. Han äger också det första försöket att analysera skillnaden i lösningen eftersom den tenderar mot Schwarzschild-sfären.

Efter Droste började de flesta forskare vara nöjda med olika överväganden som syftade till att bevisa Schwarzschild-sfärens ogenomtränglighet. Samtidigt stöddes överväganden av teoretisk natur av ett fysiskt argument, enligt vilket "detta existerar inte i naturen", eftersom det inte finns några kroppar, atomer, stjärnor vars radie skulle vara mindre än Schwarzschild-radien .

För K. Lanczos, liksom för D. Gilbert, blev Schwarzschild-sfären ett tillfälle att fundera över begreppet ”singularitet”, för P. Painlevé och den franska skolan var det föremål för kontroverser, där Einstein anslöt sig.

Under pariskollokviet 1922, organiserat i samband med Einsteins besök, var inte bara tanken att Schwarzschild-radien inte skulle vara singular, utan också en hypotes som förutsåg det som nu kallas gravitationskollaps.

Den skickliga utvecklingen av Schwarzschild var bara en relativ framgång. Varken hans metod eller hans tolkning antogs. Från hans arbete har nästan ingenting bevarats, förutom det "blotta" resultatet av metriken, som namnet på dess skapare var förknippat med. Men tolkningsfrågorna och framför allt frågan om "Schwarzschilds singularitet" var ännu inte lösta. Synpunkten började utkristallisera sig att denna singularitet inte spelar någon roll. Två vägar ledde till denna synpunkt: å ena sidan den teoretiska, enligt vilken "Schwarzschild singulariteten" är ogenomtränglig, och å andra sidan den empiriska, som består i det faktum att "detta inte existerar i natur." Denna synvinkel spreds och blev dominerande i all dåtidens specialiserade litteratur.

Nästa steg är kopplat till det intensiva studiet av gravitationen i början av relativitetsteorins "guldålder".

Skriv en recension om artikeln "Schwarzschild Metric"

Litteratur

• K. Schwarzschild// Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. - 1916. - 189-196.
  Rus. trans.: Schwarzschild K. Om gravitationsfältet för en punktmassa i Einsteins teori // Albert Einstein och gravitationsteorin. M.: Mir, 1979. S. 199-207.
• Landau, L. D., Lifshitz, E. M. Fältteori. - Upplaga 7:e, korrigerad. - M .: Nauka, 1988. - 512 sid. - ("Teoretisk fysik", volym II). - ISBN 5-02-014420-7.
• Droste J. Het van een enkel centrum i Einsteins teori om zwaartekracht och de rörelser av en stofflig punkt in dat veld // Versl. gev Vergad. Akad. Amsterdam. - 1916. - D.25. - Biz.163-180.
• Einstein A. Till minne av Karl Schwarzschild // Einstein A. Samling av vetenskapliga artiklar. M.: Nauka, 1967. T. 4. S. 33-34.
• S. M. Blinder Hundraårsjubileet för allmän relativitet (1915-2015); Schwarzschild-lösningen och svarta hål. - 2015. - arXiv :1512.02061 .

se även

Länkar

Typer Mått Utbildning Egenskaper Modeller teorier Exakta lösningar i allmän relativitetsteori Relaterade ämnen

Ett utdrag som karakteriserar Schwarzschild Metric

Moskva den 3 oktober 1812.
Napoleon. ]

"Je serais maudit par la posterite si l" on me regardait comme le premier moteur d "un accommodement quelconque. Tel est l "esprit actuel de ma nation", [jag skulle vara förbannad om de såg på mig som den första anstiftaren av någon affär; detta är vårt folks vilja.] - svarade Kutuzov och fortsatte att använda all sin kraft för det för att hindra trupperna från att avancera.
I månaden för rånet av den franska armén i Moskva och den lugna stationeringen av den ryska armén nära Tarutino ägde en förändring rum i förhållande till styrkan hos båda trupperna (anda och antal), vilket resulterade i styrkans fördel. visade sig vara på ryssarnas sida. Trots det faktum att den franska arméns position och dess antal var okända för ryssarna, så snart attityderna förändrades, uttrycktes behovet av en offensiv omedelbart i otaliga tecken. Dessa tecken var: sändningen av Loriston, och överflöd av proviant i Tarutino, och informationen som kom från alla håll om fransmännens passivitet och oordning, och rekryteringen av våra regementen, och bra väder och den långa resten av Ryska soldater, och vanligtvis uppstå i trupperna som ett resultat av vila otålighet att utföra det arbete som alla är samlade för, och nyfikenhet på vad som gjordes i den franska armén, så länge förlorat ur sikte, och det mod med vilket ryska utposter snokade nu omkring fransmännen som var stationerade i Tarutino, och nyheter om lätta segrar över de franska bönderna och partisanerna, och den avundsjuka som väcktes av detta, och den känsla av hämnd som låg i varje människas själ så länge fransmännen var i Moskva, och den (viktigaste) vaga, men som uppstår i varje soldats själ, medvetandet om att styrkan nu har förändrats och fördelen är på vår sida. Den väsentliga kraftbalansen förändrades och en offensiv blev nödvändig. Och omedelbart, lika säkert som klockspelen börjar slå och spela i en klocka, när visaren har gjort en hel cirkel, i de högre sfärerna, i enlighet med en betydande förändring i krafterna, en ökad rörelse, väsande och spelande av klockspel reflekterades.

Den ryska armén kontrollerades av Kutuzov med hans högkvarter och suveränen från St. Petersburg. I St. Petersburg, redan innan nyheten om att Moskva övergavs, upprättades en detaljerad plan för hela kriget och skickades till Kutuzov för vägledning. Trots det faktum att denna plan utarbetades under antagandet att Moskva fortfarande var i våra händer, godkändes denna plan av högkvarteret och accepterades för utförande. Kutuzov skrev bara att långdistanssabotage alltid är svårt att utföra. Och för att lösa svårigheterna skickades nya instruktioner och personer som skulle övervaka hans handlingar och rapportera om dem.
Dessutom har nu hela högkvarteret förvandlats till den ryska armén. Platserna för den mördade Bagration och den kränkte, pensionerade Barclay byttes ut. De övervägde mycket allvarligt vad som vore bättre: att sätta A. i B:s ställe och B. i D:s ställe, eller tvärtom, D. i A:s ställe osv. något annat än A. och B:s nöje, kunde bero på det.
Vid arméhögkvarteret, med anledning av Kutuzovs fientlighet mot sin stabschef Benigsen, och närvaron av suveränens förtrogna och dessa rörelser, pågick ett mer än vanligt komplext partispel: A. undergrävde B., D. under S., etc. ., i alla möjliga förskjutningar och kombinationer. Med alla dessa undergrävningar var ämnet för intriger till största delen den militära affär som alla dessa människor tänkte styra; men denna krigföring fortgick oberoende av dem, precis som den var tänkt att fortgå, det vill säga aldrig sammanfallande med vad folk tänkte på, utan utgående från kärnan i massförhållanden. Alla dessa uppfinningar, korsande, intrasslade, representerade i de högre sfärerna endast en sann återspegling av vad som skulle åstadkommas.
”Prins Mikhail Ilarionovich! - skrev suveränen den 2 oktober i ett brev som mottogs efter slaget vid Tarutino. – Sedan den 2 september har Moskva varit i fiendens händer. Dina senaste rapporter är från den 20:e; och under hela denna tid har inte bara ingenting gjorts för att agera mot fienden och befria huvudstaden, utan även, enligt dina senaste rapporter, har du fortfarande dragit dig tillbaka. Serpukhov är redan ockuperad av en fiendeavdelning, och Tula, med sin berömda och så nödvändiga för arméfabriken, är i fara. Enligt rapporter från general Wintzingerode ser jag att fiendens 10 000:e kår rör sig längs Petersburgsvägen. En annan, flera tusen, serveras också till Dmitrov. Den tredje rörde sig framåt längs Vladimir-vägen. Den fjärde, ganska betydande, står mellan Ruza och Mozhaisk. Napoleon själv var i Moskva fram till den 25:e. Enligt all denna information, när fienden delade upp sina styrkor med starka avdelningar, när Napoleon själv fortfarande var i Moskva, med sina vakter, är det möjligt att fiendens styrkor framför dig var betydande och inte tillät dig att agera offensivt? Med sannolikhet, tvärtom, bör det antas att han förföljer dig med avdelningar, eller åtminstone med en kår, mycket svagare än den armé som anförtrotts dig. Det verkade som om du, med utnyttjande av dessa omständigheter, med fördel kunde attackera en fiende som var svagare än du och utrota honom, eller åtminstone genom att tvinga honom att dra sig tillbaka, hålla i våra händer en anmärkningsvärd del av de provinser som nu är ockuperade av fienden, och därigenom avvärja faran från Tula och våra andra innerstäder. Det kommer att förbli på ditt ansvar om fienden kan skicka en betydande kår till Petersburg för att hota denna huvudstad, där många trupper inte kunde stanna, för med den armé som anförtrotts dig, som agerar med beslutsamhet och aktivitet, har du alla medel för att avvärja denna nya olycka. Kom ihåg att du fortfarande är skyldig ett svar till det kränkta fosterlandet i förlusten av Moskva. Du har upplevt min vilja att belöna dig. Denna beredskap kommer inte att försvagas hos mig, men jag och Ryssland har rätt att förvänta av er all den iver, fasthet och framgång som ert sinne, era militära talanger och modet hos de trupper ni leder, förebådar oss.
Men medan detta brev, som bevisade att det betydande styrkeförhållandet redan återspeglades i St. Petersburg, var på väg, kunde Kutuzov inte längre hålla den armé som beordrades av honom från offensiven, och slaget var redan utspelat.
Den 2 oktober dödade kosacken Shapovalov, medan han var på vägen, en hare med en pistol och sköt en annan. Efter att ha jagat en skjuten hare vandrade Shapovalov långt in i skogen och snubblade över Murats armés vänstra flank och stod utan några försiktighetsåtgärder. Kosacken berättade skrattande för sina kamrater hur han nästan blev fångad av fransmännen. Kornetten, som hörde denna berättelse, informerade sin befälhavare.
Kosacken tillkallades, förhördes; kosackbefälhavarna ville utnyttja denna möjlighet att slå av hästarna, men en av befälhavarna, som var förtrogen med arméns högre led, rapporterade detta faktum till generalstaben. Situationen vid arméns högkvarter har den senaste tiden varit extremt ansträngd. Efter att ha kommit till Bennigsen bad Yermolov honom några dagar tidigare att använda sitt inflytande på överbefälhavaren för att göra en offensiv.
"Om jag inte kände dig, skulle jag tro att du inte vill ha det du ber om. Så fort jag ger råd om en sak kommer den mest lysande förmodligen att göra tvärtom”, svarade Benigsen.
Nyheten om kosackerna, bekräftad av utsända patruller, bevisade händelsens slutliga mognad. Det sträckta snöret hoppade av, och klockan väsnade, och klockspelet började spela. Trots all sin imaginära kraft, hans sinne, erfarenhet, kunskap om människor, Kutuzov, med hänsyn till anteckningen från Bennigsen, som personligen skickade rapporter till suveränen, uttryckt av alla generaler samma önskan, suveränens önskan som han antog och minskningen av kosackerna, kunde inte längre hålla oundviklig rörelse och gav order om vad han ansåg vara värdelöst och skadligt - välsignade det fullbordade faktum.

Anteckningen från Bennigsen om behovet av en offensiv och kosackernas information om fransmännens avtäckta vänstra flank var bara de sista tecknen på behovet av att ge order om offensiven, och offensiven var planerad till oktober 5:a.
På morgonen den 4 oktober undertecknade Kutuzov dispositionen. Tol läste upp det för Yermolov och föreslog att han skulle ta itu med ytterligare order.
"Okej, okej, nu har jag ingen tid", sa Yermolov och lämnade kojan. Den disposition som Tol sammanställt var mycket god. Precis som i Austerlitz-dispositionen skrevs det, men inte på tyska:
"Die erste Colonne marschiert [Den första kolumnen går (tyska)] här och där, die zweite Colonne marschiert [den andra kolumnen går (tyska)] här och där", etc. Och alla dessa kolumner är på papper kom vid utsatt tid till sin plats och förstörde fienden. Allt var, som i alla dispositioner, vackert genomtänkt, och som i alla dispositioner kom inte en enda kolumn i rätt tid och på rätt plats.
När dispositionen var klar i rätt antal exemplar tillkallades en officer och skickades till Yermolov för att ge honom pappren för avrättning. En ung kavalleriofficer, Kutuzovs ordningsman, nöjd med vikten av uppdraget som gavs honom, gick till Yermolovs lägenhet.
"Låt oss gå," svarade Yermolovs ordningsman. Kavallerivaktens officer gick till generalen, som ofta besökte Yermolov.
– Nej, och det är inte generalen.
Kavallerivaktens officer, sittande till häst, red till en annan.
– Nej, de gick.
"Hur kunde jag inte vara ansvarig för förseningen! Det är synd!" tänkte officeren. Han reste över hela lägret. Som sa att de såg Yermolov köra någonstans med andra generaler, som sa att han förmodligen var hemma igen. Officeren, utan middag, sökte fram till klockan sex på kvällen. Yermolov fanns ingenstans och ingen visste var han var. Officeren tog en snabb bit mat med en kamrat och gick tillbaka till förtruppen till Miloradovich. Miloradovich var inte heller hemma, men då fick han veta att Miloradovich var på general Kikins bal, och att Yermolov måste vara där också.
– Ja, var är den?
- Och där borta, i Echkin, - sa kosackofficeren och pekade på en avlägsen markägares hus.
- Men hur är det där, bakom kedjan?
– De skickade två av våra regementen till kedjan, det är en sådan spree nu, problem! Två musiker, tre sångbokskörer.
Officeren gick bakom kedjan till Echkin. På långt håll, när han körde upp till huset, hörde han de vänliga, glada ljuden av en dansande soldatsång.
"I släden och ah ... i slädarna! .." - hörde han med en visselpipa och med en torban, då och då överröstad av röstens rop. Officeren kände sig glad vid ljudet av dessa ljud, men han var samtidigt rädd att han var skyldig att inte överföra den viktiga order som anförtrotts honom så länge. Klockan var redan nio. Han steg av sin häst och gick in på verandan och hallen till ett stort, intakt godsägares hus, beläget mellan ryssarna och fransmännen. I skafferiet och i förkammaren myllrade fotfolket med vin och mat. Det låg sångböcker under fönstren. Officeren leddes genom dörren, och han såg plötsligt alla de viktigaste generalerna i armén tillsammans, inklusive den stora, iögonfallande gestalten Yermolov. Alla generalerna var i uppknäppta rockar, med röda, livliga ansikten, och skrattade högt och stod i en halvcirkel. Mitt i salen stod en stilig kort general med ett rött ansikte piggt och skickligt på att göra en trepak.
– Ha, ha, ha! Åh ja, Nikolai Ivanovich! ha, ha, ha!
Officeren kände att när han gick in i det ögonblicket med en viktig order, var han dubbelt skyldig, och han ville vänta; men en av generalerna såg honom och, efter att ha fått veta varför han var det, berättade han för Yermolov. Yermolov gick med en rynka i ansiktet ut till officeren och efter att ha lyssnat tog han tidningen från honom utan att säga något till honom.
Tror du att han lämnade av misstag? - sa den kvällen personalkamraten till kavallerivaktens officer om Yermolov. – Det här är saker, allt är med flit. Konovnitsyn att rulla upp. Titta, imorgon vilken gröt blir det!

Nästa dag, tidigt på morgonen, reste sig den förfallna Kutuzov, bad till Gud, klädde sig och med det obehagliga medvetandet att han var tvungen att leda striden, som han inte godkände, satte sig i en vagn och körde ut ur Letashevka , fem verst bakom Tarutin, till platsen där de framryckande kolonnerna skulle samlas. Kutuzov red, somnade och vaknade och lyssnade för att se om det fanns skott till höger, började det hända? Men det var fortfarande tyst. Gryningen av en fuktig och molnig höstdag hade precis börjat. När han närmade sig Tarutin lade Kutuzov märke till kavallerimän som ledde hästar till ett vattenhål tvärs över vägen som vagnen färdades längs med. Kutuzov tittade närmare på dem, stannade vagnen och frågade vilket regemente? Kavalleristerna var från den kolonnen, som redan borde ha legat långt fram i bakhållet. ”Ett misstag kanske”, tänkte den gamle överbefälhavaren. Men när han körde ännu längre såg Kutuzov infanteriregementen, vapen i getterna, soldater för gröt och med ved, i kalsonger. De ringde en officer. Officeren rapporterade att det inte fanns någon order att marschera.
- Hur man inte... - började Kutuzov, men tystnade omedelbart och beordrade att den högre officeren skulle kallas till honom. Han klättrade ur vagnen, huvudet ner och andades tungt, tyst väntande, han gick fram och tillbaka. När den efterfrågade officeren från generalstaben Eichen dök upp blev Kutuzov lila inte för att denna officer var felet i misstaget, utan för att han var en värdig subjekt för att uttrycka ilska. Och skakande, flämtande, den gamle mannen, efter att ha kommit in i det tillstånd av raseri som han kunde komma in i när han låg på marken av ilska, attackerade han Eichen, hotande med händerna, ropade och förbannade i offentliga ord. En annan som dök upp, kapten Brozin, som inte var skyldig till någonting, led samma öde.
- Vad är det här för kanal? Skjut jävlarna! skrek han hes, viftade med armarna och vackla. Han upplevde fysisk smärta. Han, överbefälhavaren, hans fridfulla höghet, som alla försäkrar att ingen någonsin haft en sådan makt i Ryssland som han, han är försatt i denna position - skrattade åt inför hela armén. ”Förgäves brydde du dig så mycket om att be för denna dag, förgäves sov inte natten och tänkte på allt! tänkte han för sig själv. "När jag var en pojkeofficer, skulle ingen ha vågat göra narr av mig på det sättet ... Och nu!" Han upplevde fysiskt lidande, som av kroppslig bestraffning, och kunde inte låta bli att uttrycka det med arga och lidande rop; men snart försvagades hans krafter, och när han såg sig omkring och kände att han hade sagt många dåliga saker, steg han in i vagnen och körde tyst tillbaka.

För hundra år sedan skickade Karl Schwarzschild, fullvärdig medlem av Royal Prussian Academy of Sciences, sin akademikollega Albert Einstein en artikel med en matematisk beskrivning av gravitationsfältet utanför och inuti en sfär fylld med en stationär vätska med konstant densitet. Detta arbete var början på teoretiska studier av exotiska föremål, som vi kallar svarta hål.

John Michells insikt

Historien om skapandet av den moderna teorin om svarta hål och deras upptäckt i yttre rymden är för omfattande och komplicerad för att passa in i en artikel av rimlig storlek utan utelämnanden eller förenklingar. Därför kommer jag att föra berättelsen endast till de första exemplen på användningen av Schwarzschilds matematiska modell i verklig astrofysik, som ägde rum nästan ett kvarts sekel efter publiceringen av hans anmärkningsvärda artikel. Men i motsatt riktning kommer jag att klättra in i historien mycket längre - till slutet av 1700-talet. Just då, 1784, dök en artikel upp i Royal Society of Londons officiella tidning med en ovanligt (åtminstone för oss) lång titel: On the Means of Discovering the Distance, Magnitude, &c. av de fasta stjärnorna, som en följd av minskningen av deras ljuss hastighet, i fall en sådan minskning skulle befinnas äga rum i någon av dem, och sådan annan data skulle erhållas från observationer, som skulle vara längre nödvändig för det Ändamål. Av Rev. John Michell, B. D. F. R. S. I ett brev till Henry Cavendish, Esq. F.R.S. och A.S. Dess författare, pastor John Michell, kunde redan beräkna den fysiska kvantitet som nu kallas Schwarzschild-radien. Även om detta verk inte i någon mening kan betraktas som en föregångare till det moderna konceptet med svarta hål, är det för historisk fullständighets skull nödvändigt att börja med det.

Det finns all anledning att kalla John Michell (1724-1793) den mest lysande engelska vetenskapsmannen på 1700-talet som tog examen från University of Cambridge. Han utbildades vid College of the Queens (Queens "College), där han sedan undervisade från 1751 till 1763. Efter att ha gift sig, för en anständig inkomsts skull, började han leta efter en kyrklig tjänst, och från 1767 till sin död han var rektor (rektor) för församlingen St. Michael i byn Thornhill nära Leeds, där han fortsatte att studera naturvetenskap till slutet av sitt liv.

Michell var en anmärkningsvärd och ytterst originell forskare. Han anses välförtjänt vara grundaren till två vetenskaper på en gång - seismologi och stjärnstatistik. Michell var den första som upptäckte att den frånstötande kraften mellan samma poler av permanentmagneter minskar omvänt med kvadraten på avståndet, och långt innan Charles Coulomb (Charles-Augustin de Coulomb) uppfann och gjorde "i järn" en torsionsbalans som han ville, men hade inte tid att använda för gravimetriska experiment. Redan efter Michells död utförde hans vän Henry Cavendish, som fick denna anordning och självständigt byggde en modifierad version av den, precisionsmätningar av gravitationen, vars resultat redan i början av 1800-talet gjorde det möjligt att beräkna gravitationskonstanten med ett fel på endast cirka en procent. (Kanske är det värt att komma ihåg att denna grundläggande fysiska konstant, som man allmänt tror, ​​först dök upp i första volymen av Siméon Denis Poissons berömda monografi Traité de mécanique, och blev allmänt använd av fysiker först under andra hälften av 1800-talet.) Förresten, Michells artikel i fråga skickades till Cavendish, som läste den vid flera möten i Royal Society i slutet av 1783 och i början av 1784. Michell, som själv var aktiv medlem i Society sedan 1760, var då oförmögen eller ovillig att komma till London (varför exakt är inte känt).

Tyvärr var Michell en dålig kommunikatör. Han tog ofta med sina mest anmärkningsvärda resultat i långa tidskriftsartiklar, där beskrivningarna av upptäckterna nästan gick förlorade mot en ganska truistisk bakgrund. På grund av detta fick Michell, varken under sin livstid eller efter sin död, det erkännande som han utan tvekan förtjänade.

I ett inledande brev till Cavendish som föregår huvudartikeln, formulerade Michell mycket tydligt syftet med den nya studien. Han, liksom andra brittiska forskare på den tiden, efter Newton, ansåg ljus vara en ström av små partiklar. Michell föreslog också, efter Joseph Priestley, att dessa partiklar, liksom vanlig materia, lyder mekanikens lagar och i synnerhet måste bromsas av gravitationskrafter. Michell beslutade att denna effekt i princip kunde användas för att mäta stjärnavstånd, magnituder och stjärnmassor (sid. 35). Han uttryckte också en förhoppning om att astronomer på ett fruktbart sätt skulle kunna använda denna ännu oanvända observationsmetod (s. 35-36).

Kärnan i saken är följande. Förutsatt att ljusets hastighet vid tidpunkten för dess emission alltid är densamma, föreslog Michell att man skulle bestämma hastigheten för ljuset som kommer till jorden från olika stjärnor, och att använda himmelmekanikens lagar för att pressa ut information om själva stjärnorna från dessa mätningar . Om vi ​​till exempel antar att alla stjärnor (eller någon grupp av stjärnor) är ungefär lika långt från jorden, kommer sådana mätningar att göra det möjligt för oss att uppskatta förhållandena mellan stjärnmassor: ju tyngre stjärnan är, desto starkare kommer dess gravitation att sakta ner. lätta blodkroppar.

Michell förklarade detaljerna i sin metod i stor detalj, och i andan av Newtons "Mathematical Principles of Natural Philosophy", gav han inte en enda formel - hans presentation är strikt geometrisk. Det finns många kvicka slutsatser i hans artikel, särskilt eftersom han, förutom mekanik, använder optik och astronomi för sina resonemang. Naturligtvis var detta arbete bortkastat: ljusets hastighet i vakuum är konstant. Därför skulle Michells artikel med största sannolikhet ha glömts bort, om inte för en slutsats - förresten, gjord ganska slentrianmässigt. Genom att utveckla sina slutsatser drar han slutsatsen att en mycket massiv stjärna måste sakta ner ljuspartiklarna så mycket att de aldrig kan fly till oändligheten. Allt hennes ljus, under inflytande av hennes egen attraktion, "kommer att tvingas tillbaka till stjärnan" (s. 42). Det följer att en sådan stjärna skulle vara osynlig - åtminstone från mycket stora avstånd. Michell noterade att, enligt hans beräkningar, för att ljuset från en stjärna med samma täthet som solens inte ska gå till oändligheten måste dess diameter vara cirka 500 gånger större än solen. Således, avslutar Michell, om lika (och ännu fler) massiva stjärnor finns väldigt långt borta från oss, kan vi aldrig få någon information om dem genom deras ljus (s. 50). Det är intressant att han använder ordet information, som på den tiden inte alls var i sådan användning som idag.

Det är lätt att se att analogin mellan svarta hål i modern mening och Michells exotiska stjärnor är mycket ytlig och ungefärlig. Ett klassiskt svart hål avger inget ljus alls (Hawkings hypotetiska strålning är en ren kvanteffekt) och är verkligen svart i den meningen. Ljuskroppar i Michells modell lämnar tvärtom stjärnans yta i alla fall, men går inte alltid till oändligheten. Därför har och kan inte Michell ha några absolut svarta stjärnor, de är alla synliga på ett eller annat avstånd. Det finns många andra ganska uppenbara skillnader.

Michell funderade också på om det är möjligt att på något sätt upptäcka en stjärna från jorden om dess ljus inte når vår planet. Och han föreslog (jag kan inte låta bli att beundra hans insikt!) inte bara genomförbar, utan absolut modern lösning. Låt oss anta att en sådan stjärna är en del av ett binärt system, och ljuset från den andra stjärnan är synligt i våra teleskop. Då kommer vi att kunna bedöma närvaron och till och med egenskaperna hos en osynlig stjärna genom att observera sin partners "svängningar". Det är välkänt att denna metod länge har använts i sökandet efter exoplaneter.

Hur rätt hade Michell i sin beräkning av parametrarna för en stjärna som inte kan ses från ett oändligt avstånd? Det är mycket lätt att få motsvarande formel, det här är en uppgift för en student. Det är nödvändigt att ta det välkända matematiska uttrycket för den andra kosmiska hastigheten och ersätta ljusets hastighet i dess ställe. Som ett resultat finner vi att en stjärna med en massa M kommer att skicka ljuskroppar till ändliga avstånd om dess radie R inte överstiger \(R_(cr) = \frac(2GM)(c^2) \), där Gär den Newtonska gravitationskonstanten, och cär ljusets hastighet. För en stjärna med solens massa är detta cirka 3 kilometer. Därför är den kritiska radien för varje stjärna i Michells modell tre kilometer gånger dess massa i solenheter (med andra ord förhållandet mellan dess massa och solens massa). Naturligtvis kunde Michell inte behärska den algebraiska formeln för den kritiska radien, om så bara på grund av frånvaron av begreppet gravitationskonstanten i det dåvarande fysiska språket. Michell (återigen i Newtons anda) uppskattade det med hjälp av geometriska konstruktioner, och mycket geniala sådana.

Låt oss gå tillbaka till Michells exempel. Massan av en stjärna med soltäthet, vars diameter är 500 gånger solens, är 125 miljoner solmassor. Den kritiska radien för en kropp med en sådan massa, enligt ovanstående formel, är 375 miljoner kilometer. Medelradien för solen är cirka 700 tusen kilometer, och om den multipliceras med 500 får vi 350 miljoner. Så Michell hade fel en hel del.

John Michell litade på sin logik och intuition och medgav därför att rymdens djup döljer många stjärnor som inte kan ses från jorden med något teleskop. Tre år efter sin död kom den store franske matematikern, astronomen och fysikern Pierre-Simon Laplace, som vid den tiden ännu inte hade vare sig jarltiteln erhållen av Napoleon eller titeln markis, som han tilldelades av bourbonerna, till samma slutsats. Om lysande men osynliga från jordens kroppar (corps obscurs) nämnde han mycket kort i den första (1796) upplagan av sin populära avhandling Exposition du Système du Monde. På 1800-talet höll detta verk emot många livstidsuttryck som inte längre nämnde denna hypotes. Detta är förståeligt, eftersom majoriteten av fysiker då redan ansåg ljuset vara eterns vibrationer. Förekomsten av "mörka" stjärnor stred mot vågkonceptet med ljus, och Laplace tyckte att det var bäst att glömma dem. I senare tider ansågs denna idé vara en kuriosa, värd att nämnas endast i verk om vetenskapens historia.

Och ytterligare en viktig detalj. Både Michell och Laplace tillskrev osynlighet på långa avstånd endast till de mest gigantiska och automatiskt de mest massiva stjärnorna (vid den tiden trodde man att densiteten för alla stjärnor var ungefär lika med solens densitet). Varken den ena eller den andra märkte att inom ramen för den newtonska ljusteorin kunde en liten lysande kropp med extremt hög densitet ha samma egenskap. Ingen tänkte dock på möjligheten av så kompakta rymdobjekt på den tiden.

Karl Schwarzschild och hans formler

Den 25 november 1915 lämnade Albert Einstein in en skriftlig rapport till Preussiska vetenskapsakademin innehållande ett system av helt samvarierande ekvationer av den relativistiska teorin om gravitationsfältet, även känd som den allmänna relativitetsteorin (GR). En vecka tidigare höll han en föreläsning vid ett möte i Akademien där han i verket demonstrerade en tidigare version av dessa ekvationer som inte hade full kovarians (som han presenterade för Akademien två veckor tidigare). Dessa ekvationer har dock redan gett Einstein möjlighet att, med metoden för successiva approximationer, korrekt beräkna den onormala rotationen av Merkurius bana och förutsäga storleken på vinkelavvikelsen för stjärnljus i solens gravitationsfält (för mer om historien om upptäckten av GR, se nyheterna Centenary of GR, eller årsdagen av den första novemberrevolutionen, "Elements", 2015-11-25).

Detta tal fann en tacksam lyssnare i personen av Einsteins kollega vid akademin, Karl Schwarzschild (Karl Schwarzschild, 1873-1916), som tjänstgjorde i det tyska imperiets armé som artillerielöjtnant och just då kom på semester. När han återvände till sin tjänstestation hittade Schwarzschild i december den exakta lösningen av den första versionen av Einsteins ekvationer, som han publicerade genom honom i "Meeting Reports" ( Sitzungsberichte) Akademin. I februari, efter att ha bekantat sig med den slutliga versionen av GR-ekvationerna, skickade Schwarzschild en andra artikel till Einstein, där gravitationsradien, alias Schwarzschild, för första gången förekom explicit. Den 24 februari skickade Einstein även denna tidning till pressen.

Precis som John Michell var Schwarzschild inte bara briljant utan också en mycket mångsidig vetenskapsman. Han satte djupa spår i observationsastronomin, där han blev en av pionjärerna i att utrusta teleskop med fotografisk utrustning och använda den för fotometriändamål. Han äger djupa och originella verk inom området elektrodynamik, stjärnastronomi, astrofysik och optik. Schwarzschild lyckades till och med ge ett viktigt bidrag till atomskalens kvantmekanik, efter att ha konstruerat teorin om Stark-effekten i sitt senaste vetenskapliga arbete (K. Schwarzschild, 1916. Zur Quantenhypothese). År 1900, femton år före skapandet av den allmänna relativitetsteorien, övervägde han inte bara på allvar möjligheten att universums geometri skiljer sig från euklidisk (det medgavs av Lobatsjovskij), utan uppskattade också de nedre gränserna för krökningsradien för rymden för kosmos sfäriska och pseudosfäriska geometri. Innan han fyllde trettio år blev han professor vid universitetet i Göttingen och chef för universitetets observatorium. 1909 valdes han till medlem av London Astronomical Society och ledde Potsdam Astrophysical Observatory, och fyra år senare blev han medlem av Preussian Academy.

Schwarzschilds vetenskapliga karriär avbröts av första världskriget. Utan värnpliktsplikt efter ålder gick han med i armén som frivillig och hamnade så småningom på den ryska fronten vid högkvarteret för en artillerienhet, där han ägnade sig åt att beräkna banorna för långdistansvapen. Där blev han offer för pemfigus, en mycket svår autoimmun hudsjukdom som han hade en ärftlig tendens till. Denna patologi svarar inte bra på droger i vår tid, men då var den obotlig. I mars 1916 fick Schwarzschild uppdraget och återvände till Potsdam, där han dog den 11 maj. Schwarzschild och den engelske fysikern Henry Gwyn Moseley, som dog i Dardanellerna-operationen, blev de största forskarna vars liv krävdes av första världskriget.

Det berömda rum-tidsmåttet för Schwarzschild blev historiskt den första exakta lösningen av GR-ekvationerna. Den beskriver ett statiskt gravitationsfält, som skapas i vakuum av en orörlig sfäriskt symmetrisk massakropp M. I standardnotation i Schwarzschild-koordinater t, r, θ, φ, och när man väljer signaturen (+, −, −, −) ges den av formeln

\[ \mathrm(d)s^2= \left(1-\frac(r_s)(r)\right)c^2\mathrm(d)t^2- \left(1-\frac(r_s)( r)\höger)^(-1)\mathrm(d)r^2- r^2(\sin^2\theta\,\mathrm(d)\varphi^2 + \mathrm(d)\theta^2 ), \quad\quad\quad \text((1))\]

I slutet av första kvartalet av 1900-talet hade astronomer lärt sig att bestämma intergalaktiska avstånd i närheten av Vintergatan med hyfsad noggrannhet. Efter det stod det klart att några av de nya stjärnorna utstrålar tusentals gånger mer energi än resten. 1925 föreslog den svenske astronomen Knut Emil Lundmark att separera dem i en speciell grupp nya stjärnor av högsta klass, men detta namn slog på något sätt inte rot. I början av 1930-talet började Caltech fysikprofessor Fritz Zwicky, i föreläsningar för doktorander, hänvisa till extremt ljusa blixtar som supernovor. Denna term slog rot, även om den med tiden tappade sitt bindestreck.

I december 1933 presenterade Zwicky och Mount Wilson Observatory-astronomen Walter Baade (båda invandrare från Europa) en artikel "On Supernovae" vid en session av American Physical Society, som snart dök upp i tryck (W.A.Baade och F. Zwicky, 1934 På Super-Novae). Rapporten sågs utanför fysikgemenskapen och presenterades i amerikanska medier. Baade och Zwicky beräknade att under loppet av en månad skickar en typisk supernova lika mycket ljus ut i rymden som vår sol sänder ut på 10 miljoner år. De kom fram till att detta är möjligt endast med en partiell omvandling av stjärnans massa till strålenergi i enlighet med Einsteins formel. Därför föreslog de att en supernovaexplosion är en förvandling av en vanlig stjärna till en ny typ av stjärna, huvudsakligen bestående av neutroner. En neutronstjärna måste ha en mycket liten radie och följaktligen vara sammansatt av materia med extremt hög densitet, många storleksordningar större än densiteten hos vita dvärgar. Denna hypotes formulerades i noten Cosmic Rays from Super-Novae, publicerad i samma nummer Proceedings of the National Academy of Sciences direkt efter första inlägget. I samma verk lägger de fram en verkligt profetisk hypotes: supernovaexplosioner kan vara en källa till kosmiska strålar.

De flesta experter ansåg antagandet om neutronstjärnors födelse i slutskedet av supernovaexplosioner, för att uttrycka det milt, dåligt underbyggt - särskilt eftersom Zwicky och Baade inte kunde erbjuda en fysisk mekanism för födelsen av sådana konstiga rymdobjekt. Till en början accepterade inte ens Chandrasekhar det, även om han 1939, när han talade på en konferens i Paris, ändå medgav att denna hypotes har rätt att existera. Slutligen blev dess giltighet tydlig först efter upptäckten av radiopulsarer 1967. Det är värt att notera att termen "pulsar" i slutet av samma år inte uppfanns av en vetenskapsman, utan av en journalist, en vetenskaplig kolumnist för en tidning Daily Telegraph Anthony Michaelis.

Baade och Zwicky var inte de första som erkände existensen av kosmiska objekt bestående av supertät materia. Tidigare kom Lev Davidovich Landau på en liknande idé, som föreslog att stjärnkärnor som består av sådan materia kan fungera som en källa till gravitationsenergi som stjärnor spenderar på sin strålning. Hans artikel skrevs i början av 1931, det vill säga redan innan upptäckten av neutronen av den biträdande chefen för Cavendish Laboratory, James Chadwick, 1932 (naturligtvis nämns inte denna partikel i Landaus artikel), men publicerade en år senare (L. D. Landau, 1932 On the theory of stars). I den första delen av artikeln återupptäckte Landau inte bara självständigt formeln för Chandrasekhar-gränsen (som han utan tvekan inte hade tid att lära sig om), utan beräknade också för den ett helt acceptabelt värde på 1,5 Fröken. Landau visade sig vara närmare sanningen, eftersom han använde en ganska realistisk uppskattning av massan per elektron, och ansåg att den var lika med två gånger massan av en proton (Chandrasekhar, i sin första artikel, ansåg att den var lika med två och en halv proton massor).

I den andra delen gav Landau på sätt och vis fritt spelrum åt fantasin. Han gjorde ett mycket exotiskt antagande, enligt vilket vanliga stjärnor har kompakta supertäta kärnor, faktiskt gigantiska atomkärnor, som fungerar som deras energikällor. Eftersom det var omöjligt att underbygga denna idé i samband med dåtidens (såväl som dagens) grundläggande fysikaliska teorier, medgav Landau till och med att lagen om energihushållning kunde överträdas i sådana stjärninteriörer. Samtidigt hänvisade han till Niels Bohrs auktoritet, som i samma veva försökte förklara den mystiska spridningen av energier och momenta av beta-sönderfallselektroner (som bekant "räddade" Wolfgang Pauli lagen om energibevarande med hjälp av en hypotetisk neutral partikel, senare kallad neutrinon).

I allmänhet är "neutroniseringen" av stjärnmateria som orsaken till supernovornas fenomenala kraft helt och hållet idén om Baade och Zwicky. Det är sant att Baade inte återvände till henne igen och mest troligt tog hon henne inte på alltför stort allvar. Men Zwicky lanserade ett helt supernovasökprogram med ett 18-tums teleskop med en kamera, förvärvat på bekostnad av Rockefeller Foundation. Redan på hösten 1937, på bara ett år av observationer, upptäckte han tre supernovor. Detta program avbröts efter den japanska attacken mot Pearl Harbor.

I efterhand är det tydligt att Baades och Zwickys hypotes pekade på själva övergången från en degenererad elektrongas till en substans av en annan natur, vilket logiskt följde av Frenkels, Andersons, Stoners och Chandrasekhars arbete. Det är inte förvånande att Landau var mycket intresserad av henne, som återvände till sin modell några år senare och publicerade en modifierad version av den i tidskriften Natur(L. D. Landau, 1938. Stjärnenergins ursprung). I den här anteckningen skrev Landau direkt inte om kärnämne i allmänhet, utan specifikt om neutronmateria, som uppstod under sammansmältningen av elektroner med atomkärnor vid ultrahöga tryck inuti stjärnornas inre (det är intressant att han då inte hänvisade till Baade och atomkärnor. Zwicky, men till en professor vid universitetet i Leipzig Friedrich Hund, som var mycket aktiv inom astrofysik i mitten av 1930-talet). Landau hävdade att normala stjärnor kan ha stabila neutronkärnor med en massa på mer än en tusendel (i andra antaganden, en tjugondel) av solens massa, vars komprimering ger energin som går till deras strålning.

Men i det här fallet förändrades Landau av sin berömda intuition. Hans hypotes tillbakavisades samma år av Julius Robert Oppenheimer och hans postdoc Robert Serber (J.R. Oppenheimer och R. Serber, 1938. On the Stability of Stellar Neutron Cores). De visade att en adekvat redogörelse för kärnkrafter praktiskt taget utesluter möjligheten att det finns neutronkärnor i stjärnor vars massor är jämförbara med solens. Oppenheimer och Serber kom också till den absolut korrekta slutsatsen, som tiden har visat, att ingen neutronkärna kan bildas innan stjärnan helt har uttömt alla kärnenergikällor (och därmed, även om det inte direkt anges i artikeln, kommer huvudsekvensen ). I deras korta kommunikation noteras det också (om än utan bevis) att massan av en sådan kärna i vilket fall som helst inte kan vara mindre än en tiondel av solens massa. Denna uppskattning erhölls enbart på grundval av energiöverväganden och visade sig vara helt korrekt. Enligt moderna koncept, med en kärnmassa på mindre än 0,1 Fröken neutroner skulle börja förvandlas till protoner genom beta-sönderfall. Nyfödda protoner skulle smälta samman med neutroner och bilda starkt neutronrika och därför extremt instabila atomkärnor. Som ett resultat, om en neutronstjärna på något sätt tappade tillräckligt med vikt så att dess massa sjönk under 0,1 Fröken, skulle det försvinna i en kärnvapenexplosion. För denna information är jag mycket tacksam mot Dr. Ph.-M. Sciences A. Yu. Potekhin.

Landau kort efter publiceringen av artikeln i Natur arresterades och tillbringade ett år i fängelse. Han återvände aldrig till sin modell av neutronkärnan som en källa till stjärnenergi, troligen för att när han släpptes i april 1939, var det redan klart att huvudsekvensstjärnor drevs av fusionsenergi. Det är kanske inte överflödigt att påminna om att Serber under krigsåren blev en av huvuddeltagarna i Manhattanprojektet ledd av Oppenheimer, och det var han som kom på namnen på atombomberna "Little Boy" (Little Boy) och "Fat Man" sjönk med 6 och 9 augusti 1945 till Hiroshima och Nagasaki.

Återgå till Schwarzschild: första stegen

Eftersom hypotesen om Zwicky och Baade fortfarande inte har försvunnit, uppstod en naturlig fråga: finns det en övre massagräns för de supernovor som förment lämnar efter sig neutronstjärnor (jag påminner dig om att Landau inte talade om den övre, utan om den nedre gränsen av massan av neutronkärnorna hos vanliga stjärnor)? Med andra ord, finns det en övre gräns för massan av hypotetiska neutronstjärnor, precis som det finns för vita dvärgar? Samtidigt var det tydligt att neutronstjärnor, om de verkligen föds i yttre rymden, omätligt överstiger vita dvärgar i densitet. 1937 uppskattade Georgy Gamow den maximala densiteten för neutronmaterial till 10 17 kg/m masstäthet för en typisk vit dvärg. Hans resultat stod emot testet av observationer: neutronstjärnornas uppmätta tätheter varierar i intervallet (4–6)·10 17 kg/m 3 . I samma monografi noterade Gamow, som påminner om Landaus hypotes publicerad 1932, att neutronkärnor kunde säkerställa det aktiva livet för en stjärna "under mycket lång tid", även om en sådan synvinkel redan vid den tiden var en anakronism.

1939 försökte Robert Oppenheimer och hans kanadensiske doktorand George Michael Volkoff, en muskovit till födseln och i ett tidigare liv, Georgy Mikhailovich, lösa detta problem. Deras gemensamma artikel (J. R. Oppenheimer och G. M. Volkoff, 1939. On Massive Neutron Cores) anses välförtjänt vara en av de mest slående prestationerna inom teoretisk astrofysik under första hälften av 1900-talet. Och detta trots att uppskattningen av den övre gränsen för massan av neutronresterna av massiva stjärnor som erhölls i den visade sig vara kraftigt underskattad.

Man kan förvänta sig att Oppenheimer, genom att ställa detta problem, ville klargöra tillämpligheten av Baade och Zwickys hypotes. Men om han hade en sådan avsikt gjorde han allt för att dölja det. I artikeln i fråga finns det inga referenser till någon av dessa forskares publikationer alls. Vilket inte är förvånande. Oppenheimer var då professor i fysik vid University of California i Berkeley, men han gjorde regelbundna resor till Caltech, där Zwicky arbetade. Det är ingen hemlighet att Oppenheimer inte kunde stå ut med Zwicky som person och inte litade på honom som vetenskapsman (och många samtida delade denna inställning i båda planerna). Så Oppenheimer och Volkov begränsade sig till en neutral fras: "Möjligheten föreslogs att i de centrala regionerna av tillräckligt massiva stjärnor som har utarmat termonukleära energikällor bildas högt komprimerade neutronkärnor" (s. 475). Som en av källorna till denna hypotes citerade de Landaus senaste publikation i Natur, medan Baade och Zwicky bara är i kategorin "och andra" (Ibid). De hänvisade också till ovannämnda rapport av Oppenheimer och Serber, mer exakt, till deras uppskattning av neutronkärnans minimimassa vid 0,1 Fröken.

Och så börjar det roliga. Oppenheimer och Volkov arbetade med en modell av en degenererad kall neutron Fermi-gas med en sfäriskt symmetrisk fördelning av partiklar. I detta avseende är deras tillvägagångssätt ganska likt Anderson, Stoner, Chandrasekhar och Landau, som utförde beräkningar baserade på den degenererade relativistiska elektrongasmodellen. Oppenheimer och Volkov betonade specifikt att om vi direkt från Landaus artikel från 1932 tar formeln för den maximala massan av en stjärna som består av en sådan gas (jag påminner er om att detta är en exakt analog till Chandrasekhar-formeln) och helt enkelt ersätter elektroner med neutroner där , kommer den övre gränsen för massan av en stjärna att vara ungefär 6 solmassor, vilket faktiskt beräknas ganska elementärt. Medförfattarna fortsätter dock att påpeka att ett sådant tillvägagångssätt skulle vara felaktigt, och det av två skäl. För att erhålla ett korrekt resultat är det nödvändigt att ta hänsyn till den icke-newtonska naturen hos gravitationen hos en hypotetisk neutronkärna med dess gigantiska gravitation. Dessutom kan man inte på förhand anta att neutrongasen kommer att vara relativistiskt degenererad genom hela stjärnans volym. "Den här studien syftar till att ta reda på vilken skillnad resultaten av beräkningar kommer att göra med användning av både den allmänna relativitetsteorin istället för den Newtonska gravitationsteorin, och den mer exakta tillståndsekvationen" (s. 575).

För att lösa detta problem utförde Oppenheimer och Volkov beräkningar baserade på den allmänna statiska lösningen av Einsteins fältekvationer för en sfäriskt symmetrisk fördelning av materia och, i synnerhet, Schwarzschild-lösningen, som beskriver metriken för det tomma utrymmet som omger denna materia. De föreslog också att materia är sammansatt av kvantpartiklar som följer Fermi-Dirac-statistik, vars termiska energi och icke-gravitationella interaktioner kan försummas. Genom att likställa massan av partiklar av denna kalla Fermi-gas med massan av neutroner och genomföra en ungefärlig numerisk integration av de resulterande ekvationerna, drog Oppenheimer och Volkov slutsatsen att massorna av neutronkärnorna hos stjärnor som fullt ut har utnyttjat sina termonukleära energiresurser inte kan överstiga 70 % av solmassan.

Det har länge varit känt att denna första uppskattning av neutronkärnornas maximala massa visade sig vara kraftigt underskattad. Senare modellering visade att massorna av neutronstjärnor borde ligga i intervallet (1,5–3) Fröken; massorna av faktiskt observerade neutronstjärnor varierar från en och en halv till två solmassor. Orsaken till detta fel är också tydlig. I slutet av 1930-talet fanns det fortfarande ingen utvecklad teori om kärnkrafter som skulle göra det möjligt att skriva åtminstone ungefärliga ekvationer av materiens tillstånd vid ultrahöga densiteter och tryck. Det är nu känt att kraftfulla kärnrepulsiva krafter verkar i denna region, vilket ökar den nedre gränsen för neutronstjärnmassorna i jämförelse med Oppenheimer-Volkov-modellen.

Att jämföra Oppenheimer-Volkovs uppskattning med Chandraxekhar-gränsen skapade uppenbarligen ett obehagligt problem, som de själva perfekt förstod och kommenterade. Om trycket från en degenererad relativistisk elektrongas kan motstå gravitationskollaps av stjärnor med massor av upp till nästan en och en halv solmassa, då är det helt obegripligt hur en neutronstjärna kan uppstå, eftersom dess massa inte kan överstiga 0,7 Fröken. Oppenheimer och Volkov kom runt denna svårighet genom att anta att neutronkärnor kan vara godtyckligt massiva om skillnaden mellan materiens densitet och dess tredubbla tryck får stora negativa värden (s. 381). Nu vet vi att detta antagande inte var motiverat, och den övre gränsen för massorna av neutronstjärnor existerar fortfarande. Oppenheimer och Volkov uttryckte också nästan visshet om att om man tar hänsyn till kärnkrafterna för ömsesidig repulsion inte nämnvärt skulle öka den övre gränsen för de massor av neutronkärnor som de hade beräknat – och i detta visade sig de också ha fel.

Allt detta minskar naturligtvis inte på något sätt betydelsen av Oppenheimers och Volkovs arbete. De verkade på helt okänt territorium, och nästan ensamma, förutom den informella hjälpen från Caltech-professorn Richard Tolman (Richard Tolman). Demonstrationen, om än på en förenklad modell, av förekomsten av en övre gräns för massorna av neutronstjärnor var ett resultat av största vikt. Detta resultat antydde att de mest massiva ättlingarna till supernovor inte blir neutronstjärnor, utan går in i något annat tillstånd.

Det är värt att uppehålla sig vid detta mer i detalj. Oppenheimer, Volkov och Tolman härledde en ekvation för den radiella tryckgradienten av materia inuti en kollapsande stjärna. Bildligt talat visar den hur stjärnan motstår sammandragning genom att öka det inre trycket. Men i den allmänna relativitetsteorien, i motsats till den newtonska mekaniken, tjänar själva trycket som en faktor i krökningen av rum-tiden och därmed källan till gravitationsfältet. Därför kan gravitationen inuti stjärnan öka så snabbt att kollapsen blir irreversibel. Denna konsekvens av Tolman-Oppenheimer-Volkov-ekvationen verkar nu mycket transparent, men författarna spårade den inte.

Samma 1939 kom Oppenheimer och en annan av hans doktorander Hartland Snyder (Hartland Snyder) nära att beskriva en sådan final (J. R. Oppenheimer och H. Snyder, 1939. On Continued Gravitational Contraction). De övervägde processen med gravitationskompression av ett strikt sfäriskt icke-roterande dammmoln med konstant densitet - återigen, med den explicita användningen av Schwarzschild-metriken. Naturligtvis var detta den mest förenklade modellen av kosmisk materia. Partiklar av dammig materia interagerar per definition med varandra uteslutande genom ömsesidig attraktion (därav är trycket i ett sådant moln noll) och rör sig därför längs geodetiska världslinjer; dessutom har ett sådant system inga termodynamiska egenskaper. Men mer realistiska beräkningar på grundval av den allmänna relativitetsteorin kunde då helt enkelt inte dras, vilket artikelförfattarna medgav. De noterade dock att lösningen de hittade, med största sannolikhet, ungefär återspeglar huvuddragen i gravför en riktig stjärna med tillräckligt stor massa, som helt har bränt sitt termonukleära bränsle (s. 457).

För att erhålla en analytisk lösning av GR-ekvationerna bytte Oppenheimer och Snyder till kommande koordinater, där energimoment-tensorn i detta fall har en enda icke-nollkomponent \(T_4^4 \), lika med materiens densitet. På grundval av deras - jag upprepar, mycket idealiserade - modell kom de till slutsatsen att en ganska massiv stjärna, som hade tid att bränna termonukleärt bränsle, drar ihop sig till sin gravitationsradie under efterföljande kompression. Denna process tar oändligt lång tid från en avlägsen observatörs synvinkel, men kan vara mycket kort för en observatör som rör sig tillsammans med den kollapsande stjärnmaterian. Till exempel, enligt deras beräkningar, gravitationskollapsen av ett moln med en initial densitet på 1 g/cm 3 och en total massa på 10 33 g (därav med en radie av storleksordningen en miljon kilometer) från punkten för synen på en sådan observatör tar bara en jorddag. När man närmar sig gravitationsradien, "isolerar stjärnan sig fullständigt från all kontakt med en avlägsen observatör; endast dess gravitationsfält är bevarat” (s. 456).

Av ekvationerna av Oppenheimer och Snyder följer nästan entydigt att stjärnan inte stannar när den når gravitationsradien och fortsätter att krympa till ett tillstånd med en oändligt liten volym och en oändligt hög densitet. Medförfattarna avstod ändå från en så radikal slutsats och angav den inte ens som en hypotes. Tyvärr väckte deras anmärkningsvärda arbete vid den tiden inte så mycket intresse - kanske delvis för att dess publicering sammanföll exakt med början av andra världskriget (1 september 1939). Dessutom hade fysiker och astronomer vid den tiden litet intresse för generell relativitetsteori och kunde den dåligt. Det verkar som om den enda utomklassiga teoretiska fysikern som utan dröjsmål uppskattade det var Landau.

Lite tidigare än Oppenheimer och Snyder uppmärksammade Einstein själv problemet med gravitationskollaps av ett sfäriskt symmetriskt system av icke-interagerande partiklar (Albert Einstein, 1939. Stationary System with Spherical Symmetry Consisting of Many Gravitating Masses). Denna artikel, som han hade lämnat in för publicering två månader tidigare, misslyckades. Einstein trodde inte på Schwarzschild-singulariteten, som förekommer nära gravitationsradien, och försökte därför bevisa att den är fysiskt ouppnåelig. Han använde Schwarzschild-metriken (om än i en icke-standardiserad notation), men gjorde ett helt artificiellt antagande att alla partiklar rör sig runt symmetricentrum i cirkulära banor. Hans beräkningar visade att tillväxten av massan hos ett sådant system leder till en ökning av centrifugalkrafterna, och detta tillåter inte att den krymper utöver en viss gräns. Som ett resultat konstaterade Einstein med uppenbar tillfredsställelse att "Schwarzschild-singulariteten existerar inte i den fysiska verkligheten" (s. 936). Han trodde att denna slutsats var av allmän karaktär, inte begränsad av modellens särdrag, där han hade mycket fel. Vissa vetenskapshistoriker anser generellt att denna artikel är den sämsta av Einsteins vetenskapliga artiklar. Så vitt jag vet är historien tyst om huruvida Einstein var bekant med Oppenheimer-Snyder-modellen, och i så fall hur han bedömde den.

De anmärkningsvärda undersökningarna av Oppenheimer-Volkov och Oppenheimer-Snyder står i början av en lång och strålande historia av tillämpningen av Schwarzschild-lösningen av GR-ekvationer för analys av specifika astrofysiska modeller. Nya steg i denna riktning togs redan under efterkrigstiden, och deras beskrivning ligger utanför ramen för min artikel.

Därför ska jag begränsa mig till en extremt kort sammanfattning. Den fysiska verkligheten av svarta hål började gradvis erkännas efter upptäckten av kvasarer i slutet av 1950-talet och början av 1960-talet. Den slutliga lösningen på problemet med den totala kollapsen av mycket massiva stjärnor som hade tömt sitt kärnbränsle hittades under andra hälften av 1900-talet genom ansträngningar från en galax av lysande teoretiska fysiker, inklusive sovjetiska, främst från gruppen av Ja. B. Zeldovich. Det visade sig att en sådan kollaps alltid komprimerar stjärnan "till stopp", förstör dess substans fullständigt och ger upphov till ett svart hål. En singularitet uppstår inuti hålet, ett "superkoncentrat" ​​av gravitationsfältet, stängt i en oändligt liten volym. För ett statiskt hål är detta en spets, för ett roterande hål är det en ring. Krökningen av rum-tid och följaktligen tyngdkraften nära singulariteten tenderar till oändlighet (naturligtvis talar vi om en beskrivning baserad på allmän relativitet, som inte tar hänsyn till kvanteffekter). Den matematiska teorin om svarta hål är välutvecklad och mycket vacker - och allt går historiskt tillbaka till Schwarzschild-lösningen.

Tillägg: författare, författare!

Den officiella fadern till termen "svart hål" är Princeton University professor John Archibald Wheeler. I början av 1950-talet bytte han från kärnfysik till allmän relativitetsteori och gjorde mycket för att göra denna forskning till ett seriöst och snabbt växande område i skärningspunkten mellan fundamental fysik, astrofysik och kosmologi. Det är autentiskt känt att han talade om svarta hål den 29 december 1967, när han talade vid den årliga konferensen för American Association for the Support of Science (det är möjligt att detta uttryck halkade in i hans offentliga föreläsningar flera gånger tidigare). Snart dök hans tal upp i tryck (John Archibald Wheeler, 1968. Our Universe: The Known and the Unknown). Det spektakulära och minnesvärda namnet uppstod precis i tid, eftersom det nästan sammanföll i tid med den första rapporten om upptäckten av radiopulsarer (A. Hewish et al.,). Den blev kär i fysiker och glada journalister som slog sönder den runt om i världen.

Medan Wheeler onekligen introducerade termen "svart hål" både i fysikens språk och i folkcirkulationen, var det fortfarande andra som uppfann det. Dess etymologi diskuteras i detalj i en ny bok av MIT-professorn Marcia Bartusiak (Marcia Bartusiak, 2015. Black Hole: How an Idea Abandoned by Newtonians, Hated by Einstein, and Gambled on by Hawking Became Loved, s. 137-141). Enligt hennes forskning talade Wheelers kollega på fysikavdelningen vid Princeton University, Robert Dicke, som också tog upp gravitationen i början av andra hälften av förra seklet, redan 1960 vid ett kollokvium vid Institute for Advanced Study , jämförde på skämt kollapsen av en massiv stjärna med "Calcutta svarta hålet" (Black Hole of Calcutta). I mitten av 1700-talet var detta namnet på den lilla fängelsecellen vid Fort William, som byggdes i Calcutta av Brittiska Ostindiska kompaniet. I juni 1756 tog den nya härskaren över Bengalen, Bihar och Orissa, Siraj-ud-Dauda, ​​Fort William och dödade flera dussin brittiska fångar i denna cell, som dog av kvävning eller värmeslag. Sedan dess har uttrycket svart hål fastnat i det engelska språket som en symbol för något som det inte finns någon återvändo ifrån. I denna mening användes den av Robert Dicke.

Som de säger, käcka problem är början. Dickes skämtsamma uttryck var ämnat för ett långt och hedervärt liv i en helt ny innebörd. Namnet "svart hål" användes flera gånger vid sidan av First Texas Symposium on Relativistic Astrophysics, som hölls i Dallas i december 1963. Snart användes den av tidskriftens vetenskapliga redaktör liv Albert Rosenfeld, som publicerade en rapport om detta möte. Hans första framträdande i den vetenskapliga pressen ägde rum den 18 januari 1964, då Vetenskapsnyhetsbrev en lapp postades om mötet för astronomer vid den årliga sessionen för American Association for the Support of Science, som hölls i slutet av december i Cleveland. Enligt Ann Ewing, författaren till anteckningen, användes detta uttryck mer än en gång av Hong-Yee Chiu, en fysiker från Goddard Institute, som medgav att han först hade hört det från Dicke ett par år tidigare. Så handflatan i att namnge helt kollapsade stjärnor som svarta hål tillhör med största sannolikhet Robert Dicke. Intressant nog, 1964 myntade Chiu själv en ny astrofysisk term, nämligen "quasar".

I allmänhet användes uttrycket "svart hål" som namnet på slutskedet av gravitationskollapsen för de mest massiva stjärnorna sporadiskt även före Wheeler. Det här är den verkliga historien.

Tillägg: postsolar dvärg

Om vår galax var dömd till en ensamresa genom kosmos, skulle denna prognos ha 100% säkerhet. Men efter 4 miljarder år kommer Vintergatan att mötas och smälta samman med grannlandet Andromeda och bilda en ny jättegalax. I en ännu mer avlägsen framtid är hon avsedd att förenas med M33-galaxen, även känd som Triangulum-galaxen. Det kan inte på förhand uteslutas att solen, som har blivit en vit dvärg, i denna stjärnsammanslutning kommer att visa sig vara medlem i ett nära binärt system, med en huvudsekvensstjärna eller en röd jätte som partner. Om dess material börjar rinna ut på solens yta kan det hända att solen antingen blir en ny stjärna, eller till och med förvandlas till en typ Ia-supernova och helt försvinner i en monstruös explosion. Men så vitt man kan bedöma är sannolikheten för ett sådant utfall mycket liten, så att standardscenariot har alla möjligheter att förverkligas.

Alexey Levin

SCHWARZSCHILD SPACE-TIME-rum-tid utanför en massiv icke-roterande kropp i (Ricci tensor Rik= 0). Längdelement ds definieras av uttrycket

var r, q, f - sfäriska koordinater centrerade i centrum av den massiva kroppen, M- kroppsmassa. Detta är lösningen av Einsteins ekvationer allmän relativitetsteori hittades av K. Schwarzschild (K. Schwarzschild, 1916). Värde r q = 2GM/s 2 naz. Schwarzschild radie eller gravitationsradie. Sh. p--v. är asymptotiskt platt för r och har den korrekta Newtonska asymptotiken där: , var är den Newtonska gravitationspotentialen.

På ytan av en massiv kropp kan metriken för Sh.p. (1) måste kontinuerligt kopplas till måttet som beskriver rum-tiden inuti kroppen. I detta fall den radiella koordinaten för kroppsytan i W. p--in. borde vara mer rq, annars är balansen i kroppen omöjlig. Sh. p--v. är vettigt även i frånvaro av en central instans. Sedan kan den analytiskt fortsätta under gravitationsradien, till regionen r , med användning av andra referenssystem [D. Finkelstein (D. Finkelstein), 1958]. Yta r = rqär isotropisk, så att alla massiva eller masslösa partiklar bara kan korsa den i en riktning (på grund av detta kallas den även horisonten). Om gränsvillkoren kl r = rqär sådana att partiklarna korsar gravitationsradien i den minskande riktningen r, sedan Sh.p--v. beskriver svart hål, bildad som ett resultat av kollapsen av den initialt regelbundna fördelningen av materia (till exempel stjärnor), och sedan ytan r = rqär händelsehorisonten. Annars Sh.p - in. innehåller vitt hål. I området under gravitationsradien kan partiklar röra sig antingen endast i riktning mot att minska r i fallet med ett svart hål, eller endast i motsatt riktning i fallet med ett vitt hål. Den maximala analytiska fortsättningen av Sh.p--c. i frånvaro av materia innehåller den både svarta och vita hål (inuti var och en av dem finns en yta r= 0) ,

samt två obesläktade rumsliga asymptotiskt platta oändligheter r. En sådan maximal förlängning av Sh. är inte fysisk i den meningen att den inte kan uppstå som ett resultat av den dynamiska utvecklingen av en regelbunden fördelning av materia. Dess krökningstensor är ändlig och regelbunden vid r 0. Två osammanhängande ytor r= 0, på vilken den divergerar, finns det 3-dimensionella rymdliknande hyperytor. Därför kan man inte säga det r= 0 är "centrum" för Sh. p--v., i motsats till fallet med en central kropp med en radie r 0 >rq.

Det kan bevisas att Sh.p.--v är den enda statiska vakuum asymptotiskt platta lösningen på den allmänna relativitetstekvationen. W. p--e. som beskriver ett svart hål är stabilt: små störningar av metriska (1) av en allmän form sönderfall enligt en maktlag vid t(exponenten bestäms av störningens multipolkaraktär). Gravitationsbindande energi för kroppar i massa t<<М , som rör sig i stabila cirkulära banor i Sh.p.--e., kan nå 6% av (S. A. Kaplan, 1949). Partiklar som faller in i ett svart hål når ytan av händelsehorisonten på en begränsad tid ~r q /s, men under ett oändligt tidsintervall t från någon extern synvinkel en observatör som inte faller i ett svart hål. Detta påstående förblir sant i fallet med ett icke-stationärt svart hål, vars massa växer på grund av absorption ( tillskott) av den omgivande materien [i detta fall bör man dock komma ihåg att i fallet med ackretion på ett svart hål, radien på ytan av händelsehorisonten r h ,(t) är alltid något större än den nuvarande gravitationsradien r q (t)]. Efter att ha korsat händelsehorisonten når partiklar en singularitet r= 0 även för ett ändligt tidsintervall. Ext. betraktaren kommer aldrig att se det.

Belyst.: Landau L. D., Lifshitz E. M., Field Theory, 7:e upplagan, M., 1988; Hawking S., Ellis J., Storskalig struktur av rum-tid, trans. från English, M., 1977.

A. A. Starobinsky.

1916, bara några månader efter att Einstein publicerade sina ekvationer för gravitationsfältet i den allmänna relativitetsteorien, hittade den tyske astronomen Karl Schwarzschild en lösning på dessa ekvationer som beskrev det enklaste svarta hålet. Ett svart hål från Schwarzschild är "enkelt" i den meningen att det är sfäriskt symmetriskt (dvs det har ingen "föredragen" riktning, säg en rotationsaxel) och kännetecknas endast av massa. Därför tas inte hänsyn till de komplikationer som införs av rotation, elektrisk laddning och magnetfält här.

Från och med 1924 började fysiker och matematiker inse att det var något ovanligt med Schwarzschilds lösning av gravitationsfältsekvationerna. I synnerhet har denna lösning en matematisk singularitet vid händelsehorisonten. Sir Arthur Eddington var den första som kom med ett nytt koordinatsystem som inte har denna effekt. 1933 tog Georges Lemaître denna forskning vidare. Men bara John Lighton Sing avslöjade (1950) den sanna essensen av geometrin i det svarta hålet i Schwarzschild, vilket öppnade vägen för efterföljande viktiga arbeten av M. D. Kruskal och G. Szekeres 1960.

För att förstå detaljerna, låt oss först och främst välja tre killar - Borya, Vasya och Masha - och föreställa oss att de svävar i rymden (Fig. 9.1). Du kan alltid ta en godtycklig punkt i rymden och bestämma positionerna för alla tre genom att mäta avstånden från dem till denna punkt. Borya är till exempel 1 km från denna godtyckliga startpunkt, Vasya ligger 2 km bort och Masha ligger 4 km bort. Karakteristiken för positionen i detta fall betecknas vanligtvis med bokstaven r och kallas det radiella avståndet. På så sätt kan du uttrycka avståndet till vilket objekt som helst i universum.

Notera nu att våra tre vänner är orörliga i rymden, men "rör på sig" i tiden, eftersom de blir äldre och äldre. Denna funktion kan avbildas på rum-tidsdiagrammet (fig. 9.2). Avståndet från en godtycklig referenspunkt ("början") till en annan punkt i rymden plottas här längs den horisontella axeln och tiden längs den vertikala. Dessutom, som i den speciella relativitetsteorin, är det bekvämt att ta sådana skalor på koordinataxlarna i denna graf att ljusstrålarna beskrivs av en rak linje med en lutning på 45°. På ett sådant rum-tidsdiagram går världslinjerna för alla tre killarna vertikalt uppåt. De förblir alltid på samma avstånd från startpunkten ( r= 0), men blir gradvis äldre och äldre.

Det är viktigt att inse det till vänster om punkten r= 0 i fig. 9.2 är ingenting alls. Detta område motsvarar något som kan kallas "negativt utrymme". Eftersom det är omöjligt att befinna sig "på ett avstånd minus 3 m" från någon punkt (origo), uttrycks avstånden från origo alltid som positiva tal.

Låt oss nu övergå till det svarta hålet i Schwarzschild. Som diskuterats i föregående kapitel består ett sådant hål av en singularitet omgiven av en händelsehorisont på ett avstånd av 1 Schwarzschild-radie. En bild av ett sådant svart hål i rymden ges i fig. 9,3 kvar. När man avbildar ett svart hål på ett rum-tidsdiagram, är en godtycklig ursprungspunkt för koordinater kompatibel med en singularitet för bekvämlighets skull. Därefter mäts avstånden direkt från singulariteten längs radien. Det resulterande rum-tidsdiagrammet visas i fig. 9.3 till höger. Precis som våra vänner Borya, Vasya och Masha är avbildade i fig. 9.2 av vertikala världslinjer går händelsehorisontens världslinje vertikalt upp exakt 1 Schwarzschild-radie till höger om singularitetsvärldslinjen, som i fig. 9.3 avbildas med en sågtandslinje.

Även om i fig. 9.3, som visar ett svart hål från Schwarzschild i rymdtiden som om ingenting var mystiskt, i början av 1950-talet började fysiker inse att detta diagram inte var hela historien. Ett svart hål har olika regioner av rum-tid: det första är mellan singulariteten och händelsehorisonten, och det andra är utanför händelsehorisonten. Vi misslyckades helt uttryckt på höger sida av fig. 9.3, exakt hur dessa områden är sammanlänkade.

För att förstå förhållandet mellan rum-tidens regioner inom och utanför händelsehorisonten, föreställ dig ett svart hål med en massa på 10 solmassor. Låt en astronom flyga ut ur singulariteten, flyga genom händelsehorisonten utåt, stiga till en maximal höjd av 1 miljon kilometer över det svarta hålet och sedan falla tillbaka genom händelsehorisonten och falla tillbaka in i singulariteten. Astronomens flygning visas i fig. 9.4.

För en uppmärksam läsare kan detta tyckas omöjligt – trots allt går det inte att hoppa ur singulariteten alls! Vi begränsar oss till att hänvisa till rent matematisk möjlighet till en sådan resa. Som kommer att framgå av det följande innehåller den kompletta Schwarzschild-lösningen både svart, Så och ett vitt hål. Därför kommer läsaren att behöva tålamod och uppmärksamhet under de kommande avsnitten. Här och i efterföljande kapitel kommer vi att illustrera presentationen med hjälp av astronomers eller astronauters resor till svarta hål. För enkelhetens skull kommer vi helt enkelt att referera till astronauten som "han".

Den resande astronomen har en klocka med sig för att mäta sin egen tid. De hemkroppsforskare som övervakar dess flygning från ett avstånd av 1 miljon kilometer från det svarta hålet har också klockor. Utrymmet där är platt och klockan mäter koordinattiden. När man når banans högsta punkt (på ett avstånd av en miljon kilometer från det svarta hålet) Allt klockan är inställd på samma ögonblick (synkroniserad) och visar nu 12.00. Sedan är det möjligt att beräkna i vilket ögonblick (både i resenärens egen tid och i koordinerad tid) astronomen kommer att anlända till varje punkt i sin bana av intresse för oss.

Kom ihåg att en astronoms klocka mäter sin egen tid. Därför är det omöjligt att märka "tidsavmattning" på grund av effekten av gravitationsrödförskjutning på dem. För givna värden på massan av det svarta hålet och höjden över det på banans högsta punkt leder beräkningarna till följande resultat:

På astronomens egen tid

1. Astronomen lyfter från singulariteten klockan 11:40 (enligt hans klocka).
2. 1/10 000 s efter 11:40 flyger den över händelsehorisonten till omvärlden.
3. Vid 12-tiden når den sin maximala höjd på 1 miljon kilometer över det svarta hålet.
4. På en 1/10 000 s till 12:20 korsar den händelsehorisonten och rör sig inåt.
5. Astronomen återvänder till singulariteten klockan 12:20.

Med andra ord behöver den samma tid för att förflytta sig från singulariteten till händelsehorisonten och tillbaka - 1/10 000 s, medan det tar 20 minuter att förflytta sig från händelsehorisonten till den högsta punkten i dess bana och vice versa (för 20 minuter färdas den 1 miljon kilometer). Man bör komma ihåg att korrekt tid under flygningen flyter på ett vanligt sätt.

Genom att observera på långt håll använder forskare sina klockor för att mäta koordinattiden; deras beräkningar ger följande resultat:

I koordinerad tid

Alla är förstås överens om att astronom-resenären når sin maximala flyghöjd vid 12-tiden, d.v.s. vid den punkt där alla klockor är synkroniserade. Alla kommer också överens om när astronomen flyger ut ur singulariteten och när han återvänder till den. Men annars är Schwarzschild-geometrin helt klart onormal. Efter att ha avvikit från singulariteten, rör sig astronomen i koordinerad tid bakåt i tiden upp till ett år. Den rusar sedan framåt igen i tiden, når sin maximala flyghöjd vid middagstid och sjunker under händelsehorisonten vid ett år. Efter det rör sig den igen bakåt i tiden och träffar singulariteten klockan 12:20. På rum-tidsdiagrammet har dess världslinje den form som visas i fig. 9.5.

Vissa av dessa konstiga slutsatser kan förstås intuitivt. Kom ihåg att från en avlägsen observatörs synvinkel (vars klocka mäter koordinattiden) stannar tiden vid händelsehorisonten. Kom också ihåg att en sten eller något annat föremål som faller in i händelsehorisonten aldrig kommer inte att nå punkten med höjden av Schwarzschild-radien i representationen av en avlägsen observatör. Därför kan en astronom som faller i ett svart hål inte passera händelsehorisonten upp till ett år, det vill säga i en oändligt avlägsen framtid. Eftersom hela resan är symmetrisk med avseende på ögonblicket kl. 12.00 (dvs start och fall tar samma tid) måste observera att astronomen har rest sig, rört sig mot dem, i miljarder år. Det bör röra sig utanför evenemangshorisonten om ett år.

Ännu mer förbryllande är det faktum att avlägsna observatörer ser två rörliga astronomer. Så, till exempel, klockan 15.00 ser de en astronom falla in i händelsehorisonten (gå framåt i tiden). Men enligt deras beräkningar, måste det finns också en annan astronom inne i händelsehorisonten, som faller in i singulariteten (och går tillbaka i tiden).

Naturligtvis är detta nonsens. Närmare bestämt betyder ett sådant konstigt beteende av koordinattiden att den som visas i fig. 9.3 bilden av ett svart hål från Schwarzschild kan helt enkelt inte vara korrekt. Vi måste leta efter andra - och det kan finnas många - sanna diagram över rum-tid för ett svart hål. I det enkla diagrammet som visas i fig. 9.5 visar sig samma regioner av rum-tid vara överlappade två gånger, och därför observeras två astronomer samtidigt, medan det faktiskt bara finns en. Så du måste expandera eller omvandla denna enkla bild på ett sådant sätt att den avslöjar det sanna, eller global strukturen av hela rum-tiden förknippad med det svarta hålet i Schwarzschild.

För att bättre förstå hur den här globala bilden ska se ut, överväg händelsehorisonten. I ett förenklat tvådimensionellt rum-tidsdiagram (se den högra sidan av figur 9.3) är händelsehorisonten en linje från ett ögonblick (det avlägsna förflutna) till ett ögonblick (den avlägsna framtiden) och är exakt 1 Schwarzschild-radie från säregenhet. En sådan linje skildrar naturligtvis korrekt platsen för sfärens yta i det vanliga tredimensionella rummet. Men när fysiker försökte beräkna volymen av denna sfär fann de, till sin förvåning, att den är lika med noll. Om volymen av någon sfär är noll, så är det naturligtvis bara en punkt. Med andra ord började fysiker misstänka att denna "linje" i det förenklade diagrammet faktiskt borde vara en punkt i den globala bilden av ett svart hål!

Föreställ dig också ett godtyckligt antal astronomer som hoppar ut ur singulariteten, lyfter till olika maximala höjder över händelsehorisonten och faller tillbaka igen. Oavsett när exakt de kastades ut ur singulariteten, och oavsett vilken höjd över händelsehorisonten de lyfte, Allihopa kommer att korsa händelsehorisonten vid koordinerad tid (på väg ut) och (på väg tillbaka). Som ett resultat kommer skarpsinniga fysiker också att misstänka att dessa två "punkter", och , nödvändigtvis måste representeras i den globala bilden av ett svart hål i form av två segment av världslinjer!

För att gå från en förenklad bild av ett svart hål till dess globala bild måste vi göra om vår förenklade bild till ett mycket mer komplext rum-tidsdiagram. Ändå kommer vårt slutresultat att bli ett nytt rum-tidsdiagram! I det här diagrammet kommer rymdliknande kvantiteter att riktas horisontellt (från vänster till höger), och tidsliknande kvantiteter kommer att riktas vertikalt (från botten till toppen). Förvandlingen måste med andra ord fungera så att gammal rumsliga och tidsmässiga koordinater har ersatts av ny rumsliga och tidsmässiga koordinater som skulle återspegla det svarta hålets fulla sanna natur.

För att försöka förstå hur de gamla och nya koordinatsystemen kan relateras, överväg en observatör nära ett svart hål. För att undvika att falla i ett svart hål och hålla sig på ett konstant avstånd från det, måste det ha kraftfulla raketmotorer som kastar gasströmmar nedåt. I platt rymdtid, långt ifrån graviterande massor, skulle en rymdfarkost med motorer igång förvärva acceleration och skulle röra sig snabbare och snabbare, eftersom dragkraften från raketmotorer skulle ge honom en konstant ökning i hastighet. Världslinjen för ett sådant skepp är avbildad i rum-tidsdiagrammet i fig. 9.6. Denna linje konvergerar gradvis med en rak linje med en lutning på 45 grader, eftersom fartygets hastighet närmar sig ljusets hastighet på grund av motorernas kontinuerliga drift. En kurva som representerar en sådan världslinje kallas överdrift. En observatör som är nära ett svart hål och försöker hålla sig på ett konstant avstånd från det kommer ständigt att uppleva acceleration orsakad av arbetet med fartygets raketmotorer. Insiktsfulla fysiker kommer därför att misstänka att linjerna med "konstant höjd" i det reviderade och förbättrade rum-tidsdiagrammet nära ett svart hål kommer att vara grenar av hyperboler.

Slutligen måste observatören som försöker hålla sig vid händelsehorisonten ha otroligt kraftfulla raketmotorer. För att den inte ska falla ner i det svarta hålet måste dessa motorer arbeta med sådan kraft att betraktaren, om han befann sig i en platt värld, skulle röra sig med ljusets hastighet. Så händelsehorisontens världslinjer måste lutas med exakt 45° i det reviderade och förbättrade rum-tidsdiagrammet.

År 1960, oberoende av varandra, hittade Kruskal och Székeres de nödvändiga transformationerna, och översatte det gamla rum-tidsdiagrammet för ett svart hål från Schwarzschild till ett nytt diagram - reviderat och förbättrat. Den här nya Kruskal-Szekeres diagram täcker korrekt all rum-tid och avslöjar helt den globala strukturen av ett svart hål. Samtidigt bekräftas alla tidigare noterade misstankar och några nya överraskande och oväntade detaljer upptäcks. Men även om transformationerna av Kruskal och Sekeres omedelbart översätter den gamla bilden till en ny, är det bättre att visualisera dem i form av en sekvens av transformationer, schematiskt avbildade i fig. 9.7. Slutresultatet är återigen ett rum-tidsdiagram (spatialt är horisontellt och temporalt är vertikalt), där ljusstrålarna som går till och från det svarta hålet ritas, som vanligt, raka linjer med en lutning på 45°.

Slutresultatet av förvandlingen är slående och till en början otroligt: ​​du ser att det faktiskt finns två särdrag avbildade där, den ena i det förflutna och den andra i framtiden; utöver detta, långt från det svarta hålet, finns det två yttre universum.

Men i själva verket är Kruskal-Szekeres-diagrammet korrekt, och för att förstå detta kommer vi att ompröva flygningen av en astronom, kastad ut ur en singularitet, korsar händelsehorisonten och faller tillbaka igen. Vi vet redan att hans världslinje på ett förenklat rum-tidsdiagram är ovanligt. Denna linje visas igen till vänster i fig. 9.8. På Kruskal-Szekeres-diagrammet (fig. 9.8, höger) ser en sådan linje mycket mer meningsfull ut. Observatören hoppar faktiskt ut ur en singularitet i det förflutna och träffar så småningom en singularitet i framtiden. Därför inkluderar en sådan "analytiskt fullständig" beskrivning av Schwarzschild-lösningen hur svart, Så och ett vitt hål. Vår astronom flyger faktiskt ut ur det vita hålet och faller så småningom ner i det svarta hålet. Observera att hans världslinje lutar mot vertikalen med mindre än 45° överallt, dvs. denna linje är överallt tidslik och därför tillåten. Att jämföra de vänstra och högra delarna av fig. I figur 9.8 kommer du att upptäcka att "tidpunkterna" och på händelsehorisonten nu sträcker sig i två raka linjer med en lutning på 45°, vilket bekräftar våra tidigare misstankar.

När man går över till Kruskal-Szekeres-diagrammet avslöjas den sanna naturen för hela rumtiden nära Schwarzschilds svarta hål. I det förenklade diagrammet överlappade olika sektioner av rum-tid varandra. Det är därför avlägsna forskare, som observerade en astronoms fall in i ett svart hål (eller hans flykt ut ur det), felaktigt antog att det finns två astronom. I Kruskal-Szekeres-diagrammet är dessa överlappande områden korrekt uppradade. På fig. Figur 9.9 visar hur dessa olika områden är relaterade till varandra i båda typerna av diagram. Det finns faktiskt två yttre universum (regionerna I och III), såväl som de inre delarna av ett svart hål (regionerna II och IV) mellan singulariteterna och händelsehorisonten.

Det är också användbart att analysera hur enskilda delar av rum-tid-rutnätet transformeras när man går från ett förenklat diagram till ett Kruskal-Szekeres-diagram. I en förenklad representation (Figur 9.10) är de streckade linjerna med konstant höjd ovanför singulariteten helt enkelt raka linjer som pekar vertikalt. De streckade linjerna med konstant koordinattid är också raka, men horisontella. Rum-tid-rutnätet ser ut som en bit vanligt millimeterpapper.

I Kruskal-Szekeres-diagrammet (Figur 9.11) förblev linjerna med konstant tid (streckade) raka, men nu divergerar de i olika vinklar. Linjer med konstant avstånd från det svarta hålet (streckade linjer) är hyperboler, som vi misstänkte tidigare.

Analys av fig. I figur 9.11 kan man förstå varför rum och tid byter roller när man korsar händelsehorisonten, vilket diskuterades i föregående kapitel. Kom ihåg att i det förenklade diagrammet (se figur 9.10) är linjerna med konstant avstånd vertikala. Så en viss streckad linje kan representera en punkt som konstant är på en höjd av 10 km ovanför det svarta hålet. En sådan linje bör vara parallell med händelsehorisonten i det förenklade diagrammet, d.v.s. den måste vara vertikal; eftersom det hela tiden visar något stationärt måste linjen med konstant avstånd ha en tidsliknande riktning (med andra ord uppåt) i detta förenklade diagram.

På fig. 9.11 visar Kruskal-Szekeres-diagrammet; här pekar de streckade linjerna med konstant avstånd i allmänhet uppåt när de tas tillräckligt långt från det svarta hålet. Där är de fortfarande tillfälliga. Men inom händelsehorisonten är de streckade linjerna med konstant avstånd generellt orienterade horisontellt. Så under händelsehorisonten har linjer med konstant avstånd en rymdliknande riktning! Därför beter sig det som vanligtvis (i det yttre universum) förknippas med avstånd som tid inne i händelsehorisonten.

På liknande sätt, i det förenklade diagrammet (se figur 9.10), är linjerna för konstant tid horisontella och har en rymdliknande riktning. Till exempel kan en viss prickad linje betyda "klockan 3 på eftermiddagen för alla punkter i rymden". En sådan linje bör vara parallell med den rumsliga axeln i det förenklade diagrammet, dvs. den måste vara horisontell.

På fig. I figur 9.11, där Kruskal-Szekeres-diagrammet visas, har de streckade linjerna med konstant tid i allmänhet en rymdliknande riktning när de tas långt från det svarta hålet, dvs. de är nästan horisontella. Men inne i händelsehorisonten är de streckade linjerna av konstant tid riktade i allmänhet från botten till toppen, d.v.s. orienterad i en tidsliknande riktning. Så under händelsehorisonten har linjerna i konstant tid en tidsliknande riktning! Därför beter sig det som vanligtvis (i det yttre universum) förknippas med tid som avstånd inne i händelsehorisonten. När man korsar händelsehorisonten byter rum och tid roller.

I samband med diskussionen om rummets och tidens egenskaper är det viktigt att notera att i Kruskal-Szekeres-diagrammet (Fig. 9.11) är båda singulariteterna (både i det förflutna och i framtiden) horisontellt orienterade. Båda hyperbolerna som visar en "prick" r= 0, har en lutning överallt mindre än 45º till vertikal. Dessa linjer är rymdliknande, och därför sägs Schwarzschild-singulariteten vara rymdliknande.

Det faktum att Schwarzschild-singulariteten är rymdlik leder till viktiga slutsatser. Liksom i den privata relativitetsteorin (se fig. 1.9) är det här omöjligt att röra sig med superluminal hastighet, så att rymdliknande världslinjer som "vägar" för rörelse är förbjudna. Det är omöjligt att röra sig längs världslinjer med en lutning på mer än 45° mot den vertikala (tidsliknande) riktningen. Därför är det omöjligt att ta sig från vårt universum (på Kruskal-Szekeres-diagrammet till höger) till ett annat universum (på samma diagram till vänster). Varje väg som förbinder de två universum med varandra måste vara rymdliknande på minst ett ställe, och sådana vägar är förbjudna för rörelse. Dessutom, eftersom händelsehorisonten lutar exakt 45°, kommer en astronom från vårt universum som sjunker under denna horisont aldrig att kunna ta sig ut under den igen. Till exempel, om någon bryter sig in i område II i fig. 9,9 alltså Allt tillåtna tidsliknande världslinjer kommer att leda honom rakt in i singulariteten. Ett svart hål från Schwarzschild är en fälla utan utväg.

För att bättre uppskatta naturen hos Kruskal-Szekeres geometri, är det lärorikt att överväga de rymdliknande snitten av rum-tidsdiagrammet som gjorts av dessa författare. Det kommer häckningsdiagram krökt utrymme nära ett svart hål. Denna metod för att erhålla skivor av rum-tid från rymdliknande hyperytor användes av oss tidigare (se fig. 5.9, 5.10 och 5.11) och underlättade förståelsen av egenskaperna hos rymden i närheten av solen.

På fig. Figur 9.12 visar ett Kruskal-Szekeres-diagram "skivat" längs karakteristiska rymdliknande hyperytor. skiva MEN hänvisar till en tidig tidpunkt. Inledningsvis är de två universum utanför det svarta hålet inte anslutna på något sätt. På vägen från ett universum till ett annat möter den rymdliknande skivan en singularitet. Därför kapslingsdiagrammet för skivan MEN beskriver två separata universum (avbildade som två asymptotiskt platta ark parallella med varandra), som vart och ett har en singularitet. Senare, under den fortsatta utvecklingen av dessa universum, förenas singulariteterna och en bro uppstår, i vilken det inte finns fler singulariteter. Den matchar snittet B, där singulariteten inte inträder. Med tiden har denna bro, eller "mullvad hål", expanderar och når den största diametern lika med två Schwarzschild-radier (momentet som motsvarar snittet PÅ). Senare börjar bron dra ihop sig igen (klipp G) och slutligen går sönder (skiva D), så att vi återigen har två separata universum. Denna utveckling av ett maskhål (fig. 9.12) tar mindre än 1/10 000 s om det svarta hålet har solens massa.

Upptäckten av Kruskal och Szekeres av en sådan global struktur av rum-tid runt ett svart hål var ett avgörande genombrott på framsidan av teoretisk astrofysik. För första gången var det möjligt att konstruera diagram som helt skildrar alla områden av rum och tid. Men efter 1960 nåddes också nya framgångar, främst av Roger Penrose. Även om Kruskal-Szekeres-diagrammet representerar hela historien, sträcker sig detta diagram till höger och till vänster på obestämd tid. Till exempel sträcker sig vårt universum oändligt åt höger i Kruskal-Szekeres-diagrammet, medan rumtiden för det "andra" asymptotiskt platta universum som är parallellt med vårt går till vänster i samma diagram till oändlighet. Penrose var den första som insåg hur användbart och lärorikt det skulle vara att använda en "karta" som kartlägger dessa ändlösa vidder till några ändliga områden, från vilka det skulle vara möjligt att exakt bedöma vad som händer långt från det svarta hålet. För att genomföra denna idé använde Penrose de så kallade metoderna konform display, med vars hjälp hela rum-tiden, inklusive hela och båda universum, avbildas på ett ändligt diagram.

För att introducera dig till Penroses metoder, låt oss vända oss till en vanlig platt rymdtid som den som visas i Fig. 9.2. All rumtid där är koncentrerad till höger sida av diagrammet, helt enkelt för att det är omöjligt att vara på ett negativt avstånd från ett godtyckligt ursprung. Du kan vara från det, säg, 2 m, men absolut inte minus 2 m. Låt oss återgå till fig. 9.2. Världslinjerna för Borya, Vasya och Masha avbildas där endast på ett begränsat område av rum-tid på grund av sidans begränsade storlek. Om du vill se var Borya, Vasya och Masha kommer att vara om tusen år, eller var de var för en miljard år sedan, behöver du ett mycket större papper. Det skulle vara mycket bekvämare att skildra alla dessa långt från "här och nu"-positionerna (händelser) på ett kompakt, litet diagram.

Vi har redan mött det faktum att de "mest avlägsna" regionerna i rum-tiden kallas oändlighet. Dessa områden är extremt långt ifrån "här och nu" i rum eller tid (det senare betyder att de kan vara i mycket avlägsen, framtid eller mycket avlägsen förflutna). Som framgår av fig. 9.13, det kan finnas fem typer av oändlighet. Först och främst detta jag- -tidlig oändlighet i det förflutna. Det är "platsen" från vilken alla materiella objekt har sitt ursprung (Borya, Vasya, Masha, jorden, galaxer och allt annat). Alla sådana föremål rör sig längs tidsliknande världslinjer och måste gå in I+ - framtidens tidsliknande oändlighet, någonstans i miljarder år efter "nu". Dessutom finns det jag 0 - rymdliknande oändlighet, och eftersom ingenting kan röra sig snabbare än ljus, kan ingenting (förutom kanske tachyoner) någonsin komma in i jag 0 . Om inga föremål som är kända för fysiken rör sig snabbare än ljuset, så rör sig fotoner exakt med ljusets hastighet längs världslinjer som lutar 45° på rymd-tidsdiagrammet. Detta gör det möjligt att ange " - ljus oändlighet av det förflutna, varifrån alla ljusstrålar kommer. Äntligen finns det och - framtidens ljus oändlighet(där alla "ljusstrålar" går.) Varje avlägset område av rum-tid tillhör en av dessa fem oändligheter; jag-, , jag 0 , eller I+.

Ris. 9.13. Oändlighet. De mest avlägsna "utkanterna" av rumtiden (oändligheten) är indelade i fem typer. Tidsliknande oändlighet av det förflutna ( jag-) är regionen från vilken alla materiella kroppar kommer, och framtidens tidsliknande oändlighet ( I+) är området där de alla går. Det förflutnas ljusoändlighet () är området där ljusstrålarna kommer ifrån, och framtidens ljusoändlighet är området ( I+) vart de går. Ingenting (förutom tachyoner) kan falla i rymdliknande oändlighet ( jag 0).

Ris. 9.14. Penrose konform kartläggning. Det finns ett matematiskt trick, med vars hjälp det är möjligt att "dra" de mest avlägsna utkanterna av rumtiden (alla fem oändligheter) till ett helt synligt ändligt område.

Penrosemetoden kokar ner till det matematiska tricket att dra ihop alla dessa oändligheter på samma papper. Transformationerna som utför denna sammandragning fungerar som bulldozrar (se den figurativa representationen av dessa transformationer i Fig. 9.14), och öser upp de mest avlägsna delarna av rum-tiden där de kan ses bättre. Resultatet av en sådan transformation visas i fig. 9.15. Tänk på att linjer med konstant avstånd från ett godtyckligt datum mestadels är vertikala och alltid indikerar en tidsliknande riktning. Linjer med konstant tid är mestadels horisontella och indikerar alltid en rymdliknande riktning.

På konform karta över hela den platta rumtiden (fig. 9.15), rymdtiden som helhet passar in i en triangel. All tidsliknande oändlighet i det förflutna ( jag-) samlas i en enda punkt längst ner i diagrammet. Alla tidsliknande världslinjer för alla materiella föremål härstammar från denna punkt och representerar det extremt avlägset förflutna. All tidsliknande oändlighet i framtiden ( I+) samlas i en enda punkt överst i diagrammet. De tidsliknande världslinjerna för alla materiella objekt i universum hamnar så småningom vid denna punkt, som representerar den avlägsna framtiden. Rymdliknande oändlighet ( jag 0) samlas vid punkten till höger i diagrammet. Ingenting (förutom tachyoner) kan någonsin träffa jag 0 . Ljus oändligheter i det förflutna och i framtiden och förvandlas till raka linjer med en lutning på 45°, vilket begränsar diagrammet längst upp till höger och längst ner till höger längs diagonalerna. Ljusstrålar färdas alltid längs världslinjer med 45 graders lutning, så ljus som kommer från det avlägsna förflutna börjar sin resa någonstans på , och en som går in i en avlägsen framtid avslutar sin resa någonstans . Den vertikala linjen som avgränsar diagrammet till vänster är bara en tidsliknande världslinje för vår godtyckliga referenspunkt ( r = 0).

Ris. 9.15. Penrose-diagram för platt rum-tid. All rum-tid är samlad inuti en triangel med hjälp av Penroses metod för konform kartläggning. Av de fem oändligheterna, tre ( jag-, jag 0 , I+ ) komprimeras till individuella punkter, och två är ljusa oändligheter och- blev raka linjer med en lutning på 45º.	Ris. 9.16. Ett exempel på ett konformt Penrose-diagram. Detta diagram är i huvudsak detsamma som i fig. 9.2. Men i det konforma diagrammet representeras objektens världslinjer fullständigt (från det avlägsna förflutna jag- till en avlägsen framtid I+).

För att avsluta med beskrivningen av det konforma Penrose-diagrammet för en platt rum-tid, љљљ vi љљљ avbildad i fig. 9.16 helt världslinjer av Borya, Vasya och Masha. Jämför detta diagram med fig. 9.2 - det här är trots allt samma sak, bara på det konforma diagrammet spåras världslinjerna längs hela sin längd (från det avlägsna förflutna jag-љ till en avlägsen framtid I+)

Bilden av den vanliga platta rumtiden enligt Penrosemetoden ger inget sensationellt. Penroses metod gäller dock även för svarta hål! Speciellt kan Kruskal-Szekeres-diagrammet (se fig. 9.11) visas konformt på ett sådant sätt att fysikern kommer att se Allt rum-tid för alla universum avbildad på ett enda papper. Som det tydligt framgår av fig. 9.17 fungerar de konforma Penrose-transformerna här igen som bulldozrar som "räcker" rum-tid. Det slutliga resultatet visas i fig. 9.18.

I Penrose-diagrammet för ett svart hål från Schwarzschild (fig. 9.18) lägger vi återigen märke till att linjerna med konstant tid och linjer med konstant avstånd beter sig på i huvudsak samma sätt som i Kruskal-Szekeres-diagrammet. Händelsehorisonten behåller sin lutning på 45°, och singulariteter (både i det förflutna och i framtiden) förblir rymdliknande. Utbytet av roller mellan rum och tid, som tidigare, sker när man korsar händelsehorisonten. Men nu är de mest avlägsna delarna av båda universum kopplade till det svarta hålet framför våra ögon. Alla fem oändligheterna i vårt universum ( jag-, , jag 0 , , I+ ) är synliga till höger i diagrammet, och till vänster om det kan du se alla fem oändligheterna i ett annat universum ( jag-, , jag 0 , , I+ ).

Vi kan nu gå vidare till den sista övningen med det svarta hålet Schwarzschild - för att ta reda på vad de desperat nyfikna kamikazeastronomerna kommer att se falla in i det svarta hålet och korsning händelsehorisont.

Dessa astronomers rymdskepp visas i fig. 9.19. Bogfönstret är alltid riktat direkt mot singulariteten, och akterfönstret är alltid riktat i motsatt riktning, d.v.s. mot vårt yttre universum. Observera att rymdfarkosten inte längre har raketmotorer för att bromsa dess fall. Från en stor höjd över det svarta hålet faller astronomer helt enkelt vertikalt med en ständigt ökande (enligt deras mått) hastighet. Deras världslinje (fig. 9.20) går först genom händelsehorisonten och leder sedan in i en singularitet. Eftersom deras hastighet alltid är mindre än ljusets hastighet, måste fartygets världslinje på Penrose-diagrammet vara tidsliknande, dvs. överallt ha en lutning mot vertikalen på mindre än 45°. Under resan tar astronomer fyra par fotografier i olika skeden av resan – ett från varje hyttventil. Första paret (bilder MEN) tagna när de fortfarande var väldigt långt från det svarta hålet. På fig. 9.21, MEN det svarta hålet ses som en liten fläck i mitten av näsventilen. Även om synen på himlen är förvriden i omedelbar närhet av det svarta hålet, ser resten av det helt normalt ut. När hastigheten för astronomer som faller in i det svarta hålet ökar, upplever ljuset från föremål från det avlägsna universum, observerat genom den aktre hyttventilen, mer och mer kraftig rödförskjutning.

Ris. 9.21. Foto A. Långt från det svarta hålet. På långt avstånd ser ett svart hål ut som en liten svart fläck i mitten av nosfönstrets synfält. Astronomer som faller i hålet ser genom akterventilen en oförvriden vy av universum från vilket de flög. Foto B. Ej i händelsehorisonten. På grund av effekten av aberration komprimeras bilden av det svarta hålet mot mitten av synfältet på nosfönstret. En astronom som observerar genom akterfönstret ser bara universum från vilket skeppet kom. Foto V. Mellan händelsehorisonten och singulariteten. Genom att sjunka under händelsehorisonten kan en astronom som tittar genom pilbågsfönstret se ett annat universum. Ljus som kommer från en region i ett annat universum fyller den centrala delen av hans synfält. Foto G. Direkt ovanför singulariteten. När astronomerna kommer närmare singulariteten blir det andra universum bättre och bättre genom näsventilen. Bilden av själva det svarta hålet (som har formen av en ring) blir tunnare och tunnare och närmar sig snabbt kanten av synfältet för näsfönstret.

Även om rymdfarkostens fall enligt avlägsna observatörer saktar ner till ett helt stopp vid händelsehorisonten, har astronomer kl. han själv rymdfarkosten kommer inte att märka något sådant. Enligt deras åsikt ökar fartygets hastighet hela tiden och när man korsar händelsehorisonten är det en betydande bråkdel av ljusets hastighet. Detta är betydelsefullt av den anledningen att fallande astronomer som ett resultat observerar fenomenet av aberration av stjärnljus, mycket likt det som betraktas av oss i kap. 3 (se fig. 3.9, 3.11). Kom ihåg att när du rör dig med nästan ljushastighet kommer du att märka en stark förvrängning av himmelmönstret. Framför allt verkar bilder av himlakroppar samlas framför en rörlig observatör. Som ett resultat av denna effekt koncentreras bilden av det svarta hålet närmare mitten av nosfönstret på den fallande rymdfarkosten.

Bilden som observerats av fallande astronomer från händelsehorisonten visas i fig. 9.21, B. Denna och efterföljande ritningar är baserade på beräkningar gjorda av Cunningham vid California Institute of Technology 1975. Om astronomer var i vila, skulle bilden av ett svart hål uppta hela synfältet för pilbågen (Fig. 8.15, D). Men eftersom de rör sig i hög hastighet koncentreras bilden till mitten av nosfönstret. Dess vinkeldiameter är ungefär lika med 80º. Synen på himlen bredvid det svarta hålet är mycket förvrängd, och en astronom som observerar genom akterfönstret ser bara universum från vilket de flög.

För att förstå vad som kommer att ses när fartyget är inuti händelsehorisont, återgår vi till Penrose-diagrammet för ett svart hål från Schwarzschild (se fig. 9.18 eller 9.20). Kom ihåg att ljusstrålar som kommer in i ett svart hål har en lutning på 45° i detta diagram. En gång under händelsehorisonten kommer astronomer därför att kunna se ett annat universum. Ljusstrålar från avlägsna delar av ett annat universum (dvs från dess oändlighet på vänster sida av Penrose-diagrammet) kan nu nå astronomer. Såsom visas i fig. 9.21, PÅ, i mitten av synfältet av rymdfarkostens nosfönster, beläget mellan händelsehorisonten och singulariteten, är ett annat universum synligt. Den svarta delen av hålet representeras nu som ringar, skiljer bilden av vårt universum från bilden av ett annat universum. När fallande observatörer närmar sig singulariteten blir den svarta ringen tunnare och tunnare och trycker mot själva kanten av nosfönstrets synfält. Vyn av himlen från en punkt direkt ovanför singulariteten visas i fig. 9.21, G. Utsikten över det andra universum blir bättre och bättre genom den främre hyttventilen, och precis vid singulariteten fyller dess syn fullständigt synfältet för fören. Astronomen som observerar genom akterfönstret ser bara vårt yttre universum under hela flygningen, även om dess bild blir mer och mer förvrängd.

Fallande astronomer kommer att notera en annan viktig effekt som inte återspeglas i "bilderna" av 9.21, A-G. Kom ihåg att ljuset som lämnar närheten av händelsehorisonten in i det avlägsna universum genomgår en kraftig rödförskjutning. Detta fenomen kallas gravitationell rödförskjutning, vi diskuterade i kap. 5 och 8. Rödförskjutningen av ljus som kommer från ett område med ett starkt gravitationsfält motsvarar förlusten av energi genom det. Omvänt, när ljus "faller" på ett svart hål, upplever det lila skift och få energi. Svaga radiovågor som kommer från ett avlägset universum där omvandlas till exempel till kraftfulla röntgenstrålar eller gammastrålar direkt ovanför händelsehorisonten. Om det beskrivs av Penrose-diagram av den typ som visas i Fig. 9.18 svarta hål verkligen existerar i naturen, då ackumuleras ljuset som faller på dem under miljarder år nära händelsehorisonten. Detta infallande ljus tar på sig enorm energi, och när astronomer sjunker under händelsehorisonten möts de därför av en plötslig, skarp explosion av röntgenstrålar och gammastrålar. Ljuset som kommer från regionen - Schwarzschild-lösning - Kerr-lösning - vitt hål - singularitet

Se även: Alla publikationer om samma ämne >>

Detta mått skrivs som

d s 2 = (1 − r s r) c 2 d t 2 − d r 2 (1 − r s r) − r 2 (sin 2 ⁡ θ d φ 2 + d θ 2) , (\displaystyle ds^(2)=\left(1) -(\frac (r_(s))(r))\right)c^(2)dt^(2)-(\frac (dr^(2))(\left(1-\displaystyle (\frac ( r_(s))(r))\höger)))-r^(2)\vänster(\sin ^(2)\theta \,d\varphi ^(2)+d\theta ^(2)\höger ))

var r s = 2 G M c 2 (\displaystyle r_(s)=(\frac (2GM)(c^(2))))- så kallade Schwarzschild radie, eller gravitationsradie, M (\displaystyle M)- massan som skapar gravitationsfältet (särskilt massan av ett svart hål), G (\displaystyle G)- gravitationskonstant, c (\displaystyle c)- ljusets hastighet. I det här fallet området för förändring av koordinater − ∞ < t < ∞ , r s < r < ∞ , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2 π {\displaystyle -\infty med identifiering av punkter (t , r , θ , φ = 0) (\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi =0)) och (t , r , θ , φ = 2 π) (\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi =2\pi)), som i vanliga sfäriska koordinater.

Samordna r (\displaystyle r)är inte längden på radievektorn, utan introduceras så att sfärens yta t = c o n s t , r = r 0 (\displaystyle t=\mathrm (const) ,\;r=r_(0)) i detta mått var lika med 4 π r 0 2 (\displaystyle 4\pi r_(0)^(2)). I det här fallet, "avståndet" mellan två händelser med olika r (\displaystyle r)(men med samma andra koordinater) ges av integralen

∫ r 1 r 2 d r 1 − r s r > r 2 − r 1 , r 2 , r 1 > r s . (\displaystyle \int \limits _(r_(1))^(r_(2))(\frac (dr)(\sqrt (1-\displaystyle (\frac (r_(s))(r)))) )>r_(2)-r_(1),\qquad r_(2),\;r_(1)>r_(s).)

På M → 0 (\displaystyle M\to 0) eller r → ∞ (\displaystyle r\to \infty ) Schwarzschild-metriken tenderar (komponentmässigt) till Minkowski-metriken i sfäriska koordinater, så långt ifrån en massiv kropp M (\displaystyle M) rymdtid visar sig vara ungefär en pseudo-euklidisk signatur (1 , 3) ​​​​(\displaystyle (1,3)). Därför att g 00 = 1 − r s r ≤ 1 (\displaystyle g_(00)=1-(\frac (r_(s))(r))\leqslant 1) på r > r s (\displaystyle r>r_(s)) och g 00 (\displaystyle g_(00))ökar monotont med r (\displaystyle r), då rätt tid på punkter nära kroppen "flyter långsammare" än långt ifrån den, det vill säga det inträffar gravitationstidsutvidgning massiva kroppar.

Differentiella egenskaper

För ett centralt symmetriskt gravitationsfält i ett vakuum (och detta är fallet med Schwarzschild-metriken), kan vi sätta:

g 00 = e ν , g 11 = − e λ ; λ + ν = 0 , e − λ = e ν = 1 − r s r . (\displaystyle g_(00)=e^(\nu ),\quad g_(11)=-e^(\lambda );\quad \lambda +\nu =0,\quad e^(-\lambda )= e^(\nu )=1-(\frac (r_(s))(r)).)

Då har icke-noll oberoende Christoffel-symboler formen

Γ 11 1 = λ r ′ 2 , Γ 10 0 = ν r ′ 2 , Γ 33 2 = − sin ⁡ θ cos ⁡ θ , (\displaystyle \Gamma _(11)^(1)=(\bdafrac (\lamfrac) _(r)^(\prime ))(2)),\quad \Gamma _(10)^(0)=(\frac (\nu _(r)^(\prime ))(2)),\ quad \Gamma _(33)^(2)=-\sin \theta \cos \theta ,) Γ 11 0 = λ t ′ 2 e λ − ν , Γ 22 1 = − r e − λ , Γ 00 1 = ν r ′ 2 e ν − λ , (\displaystyle \(Gamma _(01)=1)^(_(01) \frac (\lambda _(t)^(\prime ))(2))e^(\lambda -\nu ),\quad \Gamma _(22)^(1)=-re^(-\lambda ) ,\quad \Gamma _(00)^(1)=(\frac (\nu _(r)^(\prime ))(2))e^(\nu -\lambda ),) Γ 12 2 = Γ 13 3 = 1 r , Γ 23 3 = ctg θ , Γ 00 0 = ν t ′ 2 , (\displaystyle \Gamma _(12)^(2)=\Gamma _(13)^(3 )=(\frac (1)(r)),\quad \Gamma _(23)^(3)=\operatörsnamn (ctg) \,\theta ,\quad \Gamma _(00)^(0)=( \frac (\nu _(t)^(\prime ))(2)),) Γ 10 1 = λ t ′ 2 , Γ 33 1 = − r sin 2 ⁡ θ e − λ . (\displaystyle \Gamma _(10)^(1)=(\frac (\lambda _(t)^(\prime ))(2)),\quad \Gamma _(33)^(1)=-r \sin ^(2)\theta \,e^(-\lambda ).) I 1 = (r s 2 r 3) 2, I 2 = ( r s 2 r 3) 3 . (\displaystyle I_(1)=\left((\frac (r_(s))(2r^(3)))\right)^(2),\quad I_(2)=\left((\frac ( r_(s))(2r^(3)))\höger)^(3).)

Krökningstensorn är av typen D (\displaystyle \mathbf (D) ) enligt Petrov.

massdefekt

Om det finns en sfäriskt symmetrisk fördelning av "radie" materia (i termer av koordinater) a (\displaystyle a), då kroppens totala massa kan uttryckas i termer av dess energi-momentum-tensor med formeln

m = 4 π c 2 ∫ 0 a T 0 0 r 2 d r . (\displaystyle m=(\frac (4\pi )(c^(2)))\int \limits _(0)^(a)T_(0)^(0)r^(2)\,dr. )

I synnerhet för en statisk fördelning av materia T 0 0 = ε (\displaystyle T_(0)^(0)=\varepsilon ), var ε (\displaystyle \varepsilon )- energitäthet i rymden. Med tanke på att volymen av det sfäriska lagret i de koordinater vi har valt är lika med

d V = 4 π r 2 g 11 d r > 4 π r 2 d r , (\displaystyle dV=4\pi r^(2)(\sqrt (g_(11)))\,dr>4\pi r^( 2)\,dr,)

det får vi

m = ∫ 0 a ε c 2 4 π r 2 d r< ∫ V ε c 2 d V . {\displaystyle m=\int \limits _{0}^{a}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}4\pi r^{2}\,dr<\int \limits _{V}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\,dV.}

Denna skillnad uttrycker gravitationsdefekt i kroppsmassan. Man kan säga att en del av systemets totala energi finns i gravitationsfältets energi, även om det är omöjligt att lokalisera denna energi i rymden.

funktion i metrisk

Vid första anblicken innehåller måttet två funktioner: när r = 0 (\displaystyle r=0) och kl. Faktum är att i Schwarzschild-koordinater kommer en partikel som faller på en kropp att ta oändligt lång tid t (\displaystyle t) att nå ytan r = r s (\displaystyle r=r_(s)) Men övergången till t.ex. Lemaitres koordinater i den kommande referensramen visar att det ur den fallande observatörens synvinkel inte finns något särdrag av rum-tid på denna yta, och både själva ytan och regionen r ≈ 0 (\displaystyle r\approx 0) kommer att nås inom en begränsad tid.

En verklig singularitet av Schwarzschild-måttet observeras endast för r → 0 (\displaystyle r\to 0), där de skalära invarianterna av krökningstensorn tenderar till oändlighet. Denna egenskap (singularitet) kan inte elimineras genom att ändra koordinatsystemet.

händelsehorisont

Yta r = r s (\displaystyle r=r_(s)) kallad händelsehorisont. Med ett bättre val av koordinater, till exempel i Lemaitre eller Kruskal-koordinater, kan det visas att inga signaler kan lämna det svarta hålet genom händelsehorisonten. I denna mening är det inte förvånande att fältet utanför Schwarzschilds svarta hål bara beror på en parameter - kroppens totala massa.

Kruskal koordinater

Man kan försöka införa koordinater som inte ger en singularitet vid r = r s (\displaystyle r=r_(s)). Det finns många sådana koordinatsystem kända, och det vanligaste av dem är Kruskal-koordinatsystemet, som med en karta täcker hela det maximalt utsträckta grenröret som uppfyller Einsteins vakuumekvationer (utan den kosmologiska konstanten). Det Mer rum-tid M ~ (\displaystyle (\tilde (\mathcal (M)))) brukar kallas det (maximalt utsträckta) Schwarzschild-utrymmet eller (mer sällan) Kruskal-utrymmet (Kruskal-Szekeres-diagram). Metriken i Kruskal-koordinater har formen

d s 2 = − F (u , v) 2 d u d v + r 2 (u , v) (d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d φ 2) , (2) (\displaystyle ds^(2)=-F(u ,v)^(2)\,du\,dv+r^(2)(u,v)(d\theta ^(2)+\sin ^(2)\theta \,d\varphi ^(2) ),\qquad \qquad(2))

var F = 4 r s 3 r e − r / r s (\displaystyle F=(\frac (4r_(s)^(3))(r))e^(-r/r_(s))), och funktionen r (u, v) (\displaystyle r(u,v)) definieras (implicit) av ekvationen (1 − r / r s) e r / r s = u v (\displaystyle (1-r/r_(s))e^(r/r_(s))=uv).

Den skickliga utvecklingen av Schwarzschild var bara en relativ framgång. Varken hans metod eller hans tolkning antogs. Från hans arbete har nästan ingenting bevarats, förutom det "blotta" resultatet av metriken, som namnet på dess skapare var förknippat med. Men tolkningsfrågorna och framför allt frågan om "Schwarzschilds singularitet" var ännu inte lösta. Synpunkten började utkristallisera sig att denna singularitet inte spelar någon roll. Två vägar ledde till denna synpunkt: å ena sidan den teoretiska, enligt vilken "Schwarzschild singulariteten" är ogenomtränglig, och å andra sidan den empiriska, som består i det faktum att "detta inte existerar i natur." Denna synvinkel spreds och blev dominerande i all dåtidens specialiserade litteratur.

Nästa steg är kopplat till det intensiva studiet av gravitationen i början av relativitetsteorins "guldålder".