Hem Inomhus blommor Addition av vektorer enligt parallellogramregeln. Tillsatsen av krafter. Regel för parallellogram och polygonkrafter

Inomhus blommor

Addition av vektorer enligt parallellogramregeln. Tillsatsen av krafter. Regel för parallellogram och polygonkrafter

7. Parallellogramregel för elementarpartiklar och för olika typer av krafter

Världen omkring oss är vävd av krafter, eftersom kraften är eter och eter finns överallt i universum. Styrka är det som försöker vika.

En av skillnaderna mellan kropparnas mekanik och stabila elementarpartiklars mekanik är att stabila partiklar under inverkan av krafter bara kan röra sig. De kan inte deformeras och kollapsa av en uppenbar anledning - de är odelbara. Medan en kropp (eller till och med en instabil partikel - ett konglomerat), när kraften (eller krafterna) verkar på den, kan röra sig och deformeras och kollapsa.

I kropparnas mekanik (i klassisk mekanik) finns det ett underbart sätt som hjälper till att ta reda på i vilken riktning kroppen kommer att tendera att röra sig under inflytande av alla de krafter som verkar på den. Och beräkna även värdet på den resulterande kraften. Denna metod är välkänd som Parallelogram Forces Regel.

Öppnade den Galileo Galilei, a exakt definition gav denna regel Pierre Varignon 1687.

Regeln för parallellogrammet av krafter är att vektorn för den resulterande kraften är diagonalen av parallellogrammet byggt på vektorerna för de två termerna av krafterna som på sidorna.

Denna regel är förvånansvärt bra för att hjälpa till att exakt beräkna i vilken riktning kroppen kommer att röra sig (eller tenderar att röra sig) om mer än en kraft verkar på den. Och i vår värld påverkas alla kroppar alltid samtidigt av en enorm uppsättning av yttre krafter(eftersom vilken partikel som helst i sammansättningen av ett kemiskt element är en kraftkälla).

Dessutom är denna parallellogramregel perfekt för elementära partiklar. Med hjälp av den kan vi ta reda på exakt i vilken riktning en elementarpartikel kommer att förskjutas vid varje tidpunkt, om två eller flera krafter verkar på den samtidigt. Och vi kommer också att ta reda på förhållandet mellan krafternas värden - den initiala och den resulterande. Dessutom kan typen av var och en av styrkorna vara vilken som helst. Diagonal parallellogram - detta är riktningsindikatorn, såväl som indikatorn för storleken på den resulterande kraften. Var dock uppmärksam på en viktig detalj - ett nytt Parallelogram of Forces bör byggas för varje nästa ögonblick av partikelns rörelse.

Låt oss ta en närmare titt på kärnan i Parallelogram-regeln. Och under den här analysen kommer vi att ge det ett lite annat namn - Regel för underkastelse till den dominerande kraften... Detta kommer att tillåta oss att bättre förstå särdragen i beteendet hos elementarpartiklar (och eventuella konglomerat av partiklar), eftersom parallellogramregeln i den form som den existerar nu inte helt avslöjar innebörden av vad som händer med en partikel när mer än en kraft verkar på den. Det säger till exempel inget om förekomsten av olika typer av styrkor.

Den dominerande makten är den makt som är störst i omfattning. Som vi sa tidigare, är styrkans storlek hastigheten på det eteriska flödet som bär partikeln. Dessutom, i rollen som eterflödet, kan helt enkelt eter verka och fylla partikeln (som i fallet med tryckkraften på partikelytan).

Regeln för underkastelse till den dominerande kraften (parallelografiregeln) reduceras till det faktum att en partikel på vilken mer än en kraft verkar i största utsträckning kommer att lyda den största av dem. Vad betyder det? Detta betyder att vektorn för resultanten av alla krafter vid varje tidpunkt kommer att vara mer förskjuten mot kraftvektorn, som är den största i storlek. Det vill säga den största kraften dominerar, men resten av krafterna utövar också sitt inflytande på positionen för vektorn för den resulterande kraften. Du kan ytterligare förtydliga namnet på regeln - Underkastelse till den dominerande styrkan, med hänsyn till de andra styrkornas handlingar.

Den dominerande kraften flyttar vektorn för den resulterande kraften mer än andra i dess riktning. Och andra, mindre, krafter tillåter inte denna vektor att fullständigt lyda denna största makt. De sträcker vektorn i sin riktning proportionellt mot sin storlek.

I allmänhet, när man analyserar en situation där en elementarpartikel påverkas av mer än en kraft, är det nödvändigt att ta hänsyn till ett antal faktorer. för det första , måste du ta reda på hur många krafter som verkar på partikeln och storleken på var och en av dem... För det andra, du måste ta reda på i vilken vinkel kraftvektorerna är placerade i förhållande till varandra. Och för det tredje, det är nödvändigt att ta hänsyn till typen av var och en av styrkorna... Endast genom att utvärdera alla dessa faktorer kan man försöka beräkna vilken riktning och hastighet partikeln kommer att vara vid varje tidpunkt. Låt oss ta en närmare titt på dessa faktorer.

1) Kvantiteten och Totala numret De krafter som verkar på en partikel bör utvärderas från fall till fall.

I händelse av att antalet krafter som verkar på en partikel överstiger två, bör samma göras som i fallet med kroppar. Vi bygger ett parallellogram för två krafter. Sedan bygger vi nästa parallellogram med hjälp av den resulterande vektorn för resultanten och nästa från krafterna. Och så vidare, tills alla krafter har tagits i beaktande.

2) Vinkeln mellan vektorerna för de krafter som verkar på partikeln är mycket viktig för att bestämma storleken och riktningen för den resulterande kraften.

A) Vinkeln mellan krafternas vektorer från 0? upp till 90?.

I det här fallet finns det en sorts summering av de krafter som verkar på partikeln. Naturligtvis kommer den resulterande kraften inte att vara exakt lika med summan av båda krafterna som verkar på partikeln. Men i alla fall kommer det att visa sig vara större än någon av de två krafterna, från vektorerna som vi konstruerar ett parallellogram av. Du kan se detta genom storleken på parallellogramdiagonalen. Och ju skarpare vinkeln är, desto större blir värdet på den resulterande kraften.

Extremfall spetsig vinkel- 0?, dvs ingen vinkel. Krafternas vektorer är på samma räta linje, och deras riktning är densamma. V I detta fall det är omöjligt att bygga ett parallellogram. Istället finns det en rak linje, på den lägger vi av två segment, som var och en är lika med värdet av en av operativa krafter... Vid 0? det finns en fullständig summering av krafternas vektorer.

B) Vinkeln mellan krafternas vektorer är mer än 90°.

I det här fallet, om du kan se från bilden, finns det ett slags subtraktion av krafter. Den resulterande kraften visar sig alltid vara större än den mindre av de två krafterna och mindre än den större. Bekräftelse på detta är storleken på diagonalen. Och ju större vinkeln är, desto mindre är värdet på den resulterande kraften.

Extremfallet med en trubbig vinkel är 180 grader. Krafternas vektorer ligger på en rät linje. Men i motsats till vinkeln lika med 0θ är vektorerna motsatt riktade. I detta extrema fall sker subtraktionen från vektorn av den större kraften hos vektorn för den mindre. Den resulterande skillnaden motsvarar exakt värdet av den resulterande kraften.

I vilket fall som helst, för vilket värde som helst på vinkeln, är vektorn för den resulterande kraften alltid mer förskjuten till vektorn för den största av de två krafterna. Det vill säga, en stor kraft gör att partikeln rör sig mer i sin riktning.

3) Och slutligen ger vi information om hur hur mycket parallellogramregeln beror på vilken typ av krafter som verkar på partikeln.

A)Även om källorna till alla typer av kraft är olika, kan deras effekt på en partikel jämföras, eftersom vilken som helst av krafterna tenderar att sätta partikeln i rörelse. Och därför, även om Krafterna verkar på partikeln olika typer, kan du bygga ett parallellogram av krafter på vektorer, och dess diagonal kommer att vara en indikation på i vilken riktning partikeln kommer att röra sig.

Storleken på kraftvektorn är ju större, desto större kraft. Och Kraften är desto större, desto högre hastighet med vilken partikeln skulle röra sig in denna riktning, agera inte på det ännu en kraft (eller andra krafter).

Längden på vektorn för den resulterande (resultanta) kraften - diagonalen - motsvarar den hastighet med vilken partikeln kommer att röra sig under verkan av båda krafterna som appliceras på den.

B) Vi fastställde tidigare att det bara finns fyra huvudtyper av makt. När Galileo härledde regeln om parallellogram, är det uppenbart att han gjorde det i förhållande till de krafter med vilka vissa kroppar trycker på andra eller drar dem, vilket tvingar dem att röra sig på detta sätt. Liknande typ Krafter kallas i denna bok för kraften hos partikelyttrycket. Vi har hört lite om att parallellogramregeln också används för gravitation. Dessutom hänvisar denna begränsning till avstötningskraften och tröghetskraften, av vilka den förra nästan inte är erkänd av vetenskapen, och den senare inte alls är känd för den.

Men på något sätt, denna regel har en universell karaktär och kan användas för någon av de fyra typerna av kraft - partikelyta, attraktion, repulsion och tröghet. Men i sin oförändrade form kan den endast tillämpas för partikelytans tryckkraft, det vill säga för samma fall som beskrivits av Galileo för kroppar.

Två kroppar verkar på kroppen från båda sidor - antingen tryck på den eller dra den. I vårt fall kommer två partiklar att trycka på partikeln (de kan inte mekaniskt dra partikeln).

Taget separat kommer en fri partikel aldrig att utöva ett långvarigt tryck på en annan partikel, om inte attraktionskraften från denna partikel verkar på den. Eller om partiklarna är en del av kropparna, och kropparna, som klämmer varandra, också trycker på någon partikel mellan dem. Därför, i vårt fall, talar vi om det samtidiga trycket på en partikel av två partiklar som ett resultat av deras kollision med den. Efter att två andra partiklar kolliderar med en partikel börjar den röra sig genom tröghet exakt i enlighet med parallellogramregeln. Diagonalen (vektorn för den resulterande kraften) visar i vilken riktning partikeln kommer att röra sig. Hur länge tröghetsrörelsen kommer att pågå beror på hastigheten med vilken partiklarna rörde sig vid kollisionsögonblicket med den, på vinkeln mellan krafternas vektorer och även på partikelns kvalitet.

V) Den enda svårigheten som vi kommer att möta när vi konstruerar Parallelogram of Forces är relaterad till Forces of Attraktion och Repulsion. Här i fråga till och med inte om komplexitet, utan om ovana. Källor till krafterna för attraktion eller avstötning är åtskilda från partikeln på ett eller annat avstånd. Men effekten av dessa krafter känns direkt av partikeln. Detta är inte förvånande, eftersom gravitations- eller antigravitationsinteraktionen fortplantar sig omedelbart. Denna momentana spridning förklaras av det faktum att den eteriska "duken" är en sorts monolit som enhetligt fyller hela universum. Och utseendet i denna duk av överskott eller brist på eter känns omedelbart på vilket avstånd som helst.

I det här fallet, när de typer av kraft som verkar på partikeln är olika, bör kraftvektorn indikera i vilken riktning kraften tenderar att förskjuta partikeln. Så, till exempel, om attraktionskraften verkar på en partikel, kommer vektorn att riktas till objektet, källan till denna kraft, och inte från den. Men i fallet med Repulsion Force är det motsatta. Vektorn kommer att styras från källan till den givna kraften.

När det gäller tryckkraften på partikelytan, här är allt detsamma som i kropparnas mekanik. I detta fall kommer kraftkällan direkt i kontakt med partikeln - kolliderar med den. Och vektorn för denna kraft är riktad i samma riktning som rörelsevektorn för partikeln, vars yta utövar tryck.

Och slutligen, den sista av krafterna - Tröghet. Man kan tala om närvaron av denna kraft endast om partikeln rör sig trögt. Om partikeln inte rör sig genom tröghet, så finns det ingen tröghetskraft heller. Vektorn för tröghetskraften sammanfaller alltid med partikelns rörelsevektor det här ögonblicket... Källan till tröghetskraften är etern som emitteras av partikelns bakre halvklot.

G) Det kommer aldrig att hända att båda krafterna som verkar på en partikel är tröga, eftersom en partikel kan röra sig med tröghet åt gången i endast en riktning.

D) Om en eller båda krafterna som verkar på en partikel är av typen antingen attraktion eller repulsion, partikeln kommer att röra sig i en parabel, gradvis skiftande under inflytande av den större av styrkorna.

Om en av krafterna som verkar på partikeln tillhör typen av attraktion eller repulsion, och den andra är tröghetskraften, så är partikelns bana också parabolisk.

E) Det händer aldrig att Attraktionskraften och Repulsionskraften samtidigt verkar på en partikel, och samtidigt ligger deras vektorer på samma räta linje och skulle vara motsatt riktade. Detta förklaras av det faktum att attraktionskraften och avstötningskraften är antipodiska krafter. Vektorn för attraktionskraften är riktad mot kraftens källa. Och avstötningskraftens vektor är från den. Därför, om källorna till Forces of Attraktion och Repulsion ligger längs olika sidor från partikeln kommer vektorerna för deras krafter att summeras. Om kraftkällorna finns på ena sidan av partikeln, kommer partikeln att känna endast en av krafterna - antingen attraktion eller avstötning. Och allt för att Fields of Attraction och Fields of Repulsion skärmar och påverkar storleken på varandra.

Men i alla fall kan du tillämpa parallellogramregeln på vilken partikel som helst och använda den för att bestämma riktningen och storleken på vektorn för den resulterande kraften. I enlighet med storleken och riktningen för denna vektor kommer partikeln att röra sig vid en given tidpunkt.

Allt som just har sagts om Parallelogramregeln för partiklar kan användas fullt ut för kroppar.

Ur boken Magi i teori och praktik av Crowley Aleister

Kapitel XXI. OM SVART MAGI; OM DE GRUNDLÄGGANDE TYPERNA AV MAGISK KONSTVERK; OCH OM SFINXENS KRAFT? I Som det redan sades i början av det första kapitlet, är den enda och högsta ritualen uppnåendet av kunskap och samtal med den helige skyddsängeln. "Det här är en rak vertikal start

Från boken Termodynamik författaren Danina Tatiana

02. Elementarpartiklars temperatur I fysiken syftar begreppet "temperatur" på materia (kropp, miljö - dessa är synonymer) som helhet. Faktum är att "temperatur" kännetecknar, först och främst, separat taget elementarpartiklar, såväl som komplex av elementarpartiklar -

Från boken Biology (inklusive Pranoology) författaren Danina Tatiana

13. Förökning i materia av den andra komponenten av värme - elementära partiklar. Så inte varje kemiskt element under uppvärmningsprocessen förvärvar den ett repulsionsfält (förutom de element som redan hade ett repulsionsfält). Och följaktligen inte alla uppvärmda

Från boken Ethereal Mechanics författaren Danina Tatiana

07. Kemiska grundämnen i cellkärnornas DNA - bärare av partiklar i astralplanet Ett kemiskt grundämne är ett konglomerat av partiklar av olika kvalitet... Beroende på det kemiska elementet i kroppen av representanten för vilket rike, har den en eller annan

Från boken Grundläggande ockulta lagar och begrepp författaren Danina Tatiana

8. Mekaniska processer och fenomen avslöjar mekaniska egenskaper elementarpartiklar Mekanisk process och mekaniska fenomen är specialfall fysisk process och ett fysiskt fenomen En process är en händelse som inträffar i tiden.

Från boken Palmistry and Numerology. Hemlig kunskap författaren Nadezhdina Vera

26. Tröghet hos partiklar under verkliga förhållanden. De huvudsakliga egenskaperna hos elementarpartiklarnas tröghetsrörelse som vi betraktade lite tidigare utan några ytterligare förhållanden är endast tillämpliga på idealiska förhållanden. Ja, bara i idealiska förhållanden rörelsebanan

Från boken The Secret Meaning of Life. Volym 3 författaren Livraga Jorge Angel

28. Allmän information om kollision av partiklar Låt oss analysera varför det finns ett sådant mekaniskt fenomen som "kollision" av elementarpartiklar. Låt oss först ta reda på vad vi kommer att kalla "kollision". Kollision är ögonblicket för kontakt mellan två partiklar, även om

Från författarens bok

30. Kollision av fria partiklar som rör sig genom tröghet Och låt oss nu överväga fallet med kollision av fria partiklar, som båda var i process av tröghetsrörelse före kontaktögonblicket Vad händer med var och en av partiklarna efter att de kolliderar? Mycket

Från författarens bok

09. Strukturen och kvaliteten hos elementarpartiklar (Själar). Yin och Yang Bland alla tidigare nämnda synonymer till den ockulta termen "Själ" bör den mest vetenskapliga betraktas som begreppet "elementarpartikel".

Från författarens bok

11. Attraktionsfält och repulsion - en yttre manifestation av kvaliteten på elementarpartiklar Om i partiklarna eter bara förstördes och inte uppstod, skulle exakt lika mycket komma till dem från det omgivande utrymmet som borde förstöras.

Från författarens bok

15. De sju planen är ett aggregat av elementarpartiklar I esoterisk litteratur, i synnerhet i E. Blavatskys och A. Baileys böcker, nämns ofta ett sådant begrepp som "Planer". Vad är de, vad är de och hur många finns det totalt? Planen är hela själars helhet

Från författarens bok

16. Sju strålar, Sju bröder, Sju Sephiroth, Sju Rishis, Sju Söner, Sju Andar, Sju Principer - alla dessa är sju typer av själar (elementarpartiklar) Sju Strålar, Sju Bröder, Sju Sephiroth, Sju Rishis, Sju Söner, Sju Andar, sju principer ... Den här listan är ännu längre, och i framtiden kommer vi

Från författarens bok

19. Klassificering av partiklar efter "element" ("element") "Forntida grekiska filosofer trodde att jorden byggdes av endast ett fåtal" primära element ". Empedocles av Akragant, som levde omkring 430 f.Kr., identifierade fyra sådana elementära element: jord, luft, vatten och

Från författarens bok

31. Eter är orsaken till hårdheten hos elementarpartiklar. Elementarpartiklarna själva, utan kvalitet - det vill säga de absorberar inte och skapar inte eter - är "flyktiga" i förhållande till varandra - som om de inte existerar Detta innebär att alla elementarpartiklar

Från författarens bok

Hemligheter för elementära siffror Nummer "0" "O" representerar oändlighet, oändligt gränslöst väsen, grundorsaken till allt som existerar, Brahmanda eller universums ägg, Solsystem i sin helhet. Således definierar noll universalitet, kosmopolitism. han

Från författarens bok

X. A. Livraga. O olika typer människor Jorge A. Livraga: Du frågade mig om olika typer av människor, om deras inre natur. Som du vet är det vi kallar en person inte början eller slutet, utan bara ett ögonblick i monadens (zon) utveckling. , som kommer från djupet

Hur vektorer läggs till är inte alltid klart för eleverna. Barn har ingen aning om vad som döljer sig bakom dem. Du måste bara memorera reglerna och inte fundera över essensen. Därför handlar det om principerna för addition och subtraktion av vektorstorheter som det krävs mycket kunskap.

Som ett resultat av att lägga till två eller flera vektorer får du alltid en till. Dessutom kommer han alltid nödvändigtvis att vara densamma, oavsett mottagandet av hans fynd.

Oftast i skolkurs geometri övervägs tillägget av två vektorer. Det kan utföras enligt regeln för en triangel eller ett parallellogram. Dessa bilder ser olika ut, men resultatet från handlingen är detsamma.

Hur fungerar triangeladdition?

Det används när vektorer är icke-kollinjära. Det vill säga att de inte ligger på en rak linje eller på parallella.

I det här fallet är det nödvändigt att skjuta upp den första vektorn från någon godtycklig punkt. Från dess ände är det nödvändigt att dra en parallell och lika med den andra. Resultatet är en vektor som börjar i början av den första och slutar i slutet av den andra. Ritningen liknar en triangel. Därav namnet på regeln.

Om vektorerna är kolinjära kan denna regel också tillämpas. Endast ritningen kommer att placeras längs en linje.

Hur går parallellogramaddition till?

Återigen? gäller endast icke-kollinjära vektorer. Konstruktionen utförs enligt en annan princip. Även om början är densamma. Det är nödvändigt att skjuta upp den första vektorn. Och från dess början - den andra. På grundval av dem, fyll i ett parallellogram och rita en diagonal från början av båda vektorerna. Det blir resultatet. Så läggs vektorer till enligt parallellogramregeln.

Hittills har det blivit två av dem. Men vad händer om det finns 3 eller 10 av dem? Använd följande teknik.

Hur och när gäller polygonregeln?

Om du behöver lägga till vektorer, vars antal är fler än två, bör du inte skrämmas. Det räcker att skjuta upp dem alla sekventiellt och ansluta början av kedjan med dess ände. Denna vektor kommer att vara den erforderliga summan.

Vilka egenskaper är giltiga för åtgärder på vektorer?

Om nollvektorn. Som hävdar att när den läggs till den så erhålls originalet.

Om den motsatta vektorn. Det vill säga ungefär en som har motsatt riktning och värde lika stor. Deras summa blir noll.

Om kommutativitet av addition. Vad är känt sedan dess grundskola... Att byta plats för villkoren ändrar inte resultatet. Det spelar med andra ord ingen roll vilken vektor som ska skjutas upp först. Svaret kommer fortfarande att vara korrekt och det enda.

Om additionens associativitet. Denna lag tillåter dig att lägga till i par alla vektorer från trippeln och lägga till en tredje till dem. Om du skriver detta med tecken får du följande:

första + (andra + tredje) = andra + (första + tredje) = tredje + (första + andra).

Vad är känt om vektorskillnaden?

Det finns ingen separat subtraktionsoperation. Detta beror på att det i huvudsak är ett tillägg. Endast den andra av dem ges motsatt riktning. Och sedan görs allt som om tillägget av vektorer övervägdes. Därför pratar de praktiskt taget inte om sin skillnad.

För att förenkla arbetet med deras subtraktion har triangelregeln modifierats. Nu (vid subtrahering) måste den andra vektorn skjutas upp från början av den första. Svaret kommer att vara det som kopplar slutpunkten för det subtraherade till det. Även om du kan skjuta upp som beskrivits tidigare, helt enkelt genom att ändra riktning på den andra.

Hur hittar man summan och skillnaden mellan vektorer i koordinater?

I problemet ges koordinaterna för vektorerna och du måste ta reda på deras värden för den sista. I detta fall behöver konstruktioner inte utföras. Det vill säga du kan använda enkla formler som beskriver regeln för att lägga till vektorer. De ser ut så här:

a (x, y, z) + b (k, 1, m) = c (x + k, y + 1, z + m);

a (x, y, z) -b (k, 1, m) = c (x-k, y-l, z-m).

Det är lätt att se att koordinaterna bara behöver läggas till eller subtraheras, beroende på den specifika uppgiften.

Första exemplet med lösning

Skick. Givet en rektangel AVSD. Dess sidor är 6 och 8 cm. Skärningspunkten för diagonalerna betecknas med bokstaven O. Det krävs att man beräknar skillnaden mellan vektorerna AO och BO.

Lösning. Först måste du rita dessa vektorer. De är riktade från rektangelns hörn till skärningspunkten mellan diagonalerna.

Om du tittar noga på ritningen kan du se att vektorerna redan är justerade så att den andra av dem rör vid slutet av den första. Men dess riktning är fel. Det bör börja från denna punkt. Detta är om vektorerna adderas, och i problemet - subtraktion. Sluta. Denna åtgärd innebär att du måste lägga till vektorn i motsatt riktning. Detta innebär att VO behöver ersättas med OV. Och det visar sig att de två vektorerna redan har bildat ett par sidor från triangelregeln. Därför är resultatet av deras tillägg, det vill säga den önskade skillnaden, vektorn AB.

Och det sammanfaller med sidan av rektangeln. För att skriva ner det numeriska svaret behöver du följande. Rita en rektangel på längden så att den större sidan löper horisontellt. Börja numrera hörnen nere till vänster och gå moturs. Då blir längden på vektorn AB 8 cm.

Svar. Skillnaden mellan AO och AO är 8 cm.

Andra exemplet och dess detaljerade lösning

Skick. I romben AVSD är diagonalerna 12 och 16 cm.Skärningspunkten betecknas med bokstaven O. Beräkna längden på vektorn som bildas av skillnaden mellan vektorerna AO och BO.

Lösning. Låt beteckningen på rhombus hörn vara densamma som i föregående uppgift. På samma sätt som lösningen i det första exemplet visar det sig att den önskade skillnaden är lika med vektorn AB. Och dess längd är okänd. Lösningen på problemet reducerades till att beräkna en av sidorna av romben.

För detta ändamål måste du överväga ABO-triangeln. Den är rektangulär eftersom rombens diagonaler skär varandra i 90 grader. Och hans ben är lika med hälften av diagonalerna. Det vill säga 6 och 8 cm.Siden som söks i problemet sammanfaller med hypotenusan i denna triangel.

För att hitta det krävs Pythagoras sats. Kvadraten på hypotenusan blir lika med summan av talen 6 2 och 8 2. Efter kvadrering får du värdena: 36 och 64. Deras summa är 100. Därav följer att hypotenusan är 10 cm.

Svar. Skillnaden mellan vektorerna AO och VO är 10 cm.

Tredje exemplet med detaljerad lösning

Skick. Beräkna skillnaden och summan av två vektorer. Deras koordinater är kända: den första har 1 och 2, den andra har 4 och 8.

Lösning. För att hitta summan måste du lägga till den första och andra koordinaten i par. Resultatet blir siffrorna 5 och 10. Svaret blir en vektor med koordinater (5; 10).

För skillnaden måste du subtrahera koordinater. Efter att ha slutfört denna åtgärd kommer siffrorna -3 och -6 att erhållas. De kommer att vara koordinaterna för den önskade vektorn.

Svar. Summan av vektorerna är (5; 10), deras skillnad är (-3; -6).

Fjärde exemplet

Skick. Längden på AB-vektorn är 6 cm, BC - 8 cm. Den andra är avsatt från slutet av den första i en vinkel på 90 grader. Beräkna: a) skillnaden mellan modulerna för vektorerna BA och BC och modulen för skillnaden mellan BA och BC; b) summan av samma moduler och modulen för summan.

Lösning: a) Längden på vektorerna är redan givna i problemet. Därför är det inte svårt att beräkna deras skillnad. 6 - 8 = -2. Situationen med skillnadsmodulen är något mer komplicerad. Först måste du ta reda på vilken vektor som blir resultatet av subtraktionen. För detta ändamål bör VA-vektorn, som är riktad i motsatt riktning av AB, skjutas upp. Rita sedan BC-vektorn från dess ände och rikta den i motsatt riktning mot den ursprungliga. Resultatet av subtraktionen är CA-vektorn. Dess modul kan beräknas med Pythagoras sats. Enkla beräkningar leder till ett värde på 10 cm.

b) Summan av vektorernas moduler är lika med 14 cm För att hitta det andra svaret krävs en viss transformation. Vektor BA är motsatt riktad till det som ges - AB. Båda vektorerna är riktade från samma punkt. I den här situationen kan du använda parallellogramregeln. Resultatet av tillägget blir en diagonal, och inte bara ett parallellogram, utan en rektangel. Dess diagonaler är lika, vilket betyder att summans modul är densamma som i föregående stycke.

Svar: a) -2 och 10 cm; b) 14 och 10 cm.

vektor från en given punkt.

Definition 1

Om punkten $ A $ är början på någon vektor $ \ högerpil (a) $, så sägs vektorn $ \ högerpil (a) $ vara uppskjuten från punkten $ A $ (fig. 1).

Figur 1. $ \ högerpil (a) $ uppskjuten från punkt $ A $

Låt oss presentera följande teorem:

Sats 1

Från vilken punkt som helst $ K $ kan du skjuta upp vektorn $ \ högerpil (a) $ och dessutom bara en.

Bevis.

Existens: Det finns två fall att överväga här:

Vektorn $ \ högerpil (a) $ är null.

I det här fallet är det uppenbart att den nödvändiga vektorn är vektorn $ \ högerpil (KK) $.

Vektorn $ \ högerpil (a) $ är icke-noll.

Låt oss beteckna med punkten $ A $ början av vektorn $ \ högerpil (a) $, och med punkten $ B $ - slutet av vektorn $ \ högerpil (a) $. Rita en rät linje $ b $ genom punkten $ K $ parallellt med vektorn $ \ högerpil (a) $. Sätt segmenten $ \ vänster | KL \ höger | = | AB | $ och $ \ vänster | KM \ höger | = | AB | $ på denna rad. Betrakta vektorerna $ \ högerpil (KL) $ och $ \ högerpil (KM) $. Av dessa två vektorer kommer den önskade att vara den som kommer att vara samriktad med vektorn $ \ högerpil (a) $ (Fig. 2)

Figur 2. Illustration av sats 1

Unikhet: unikhet följer omedelbart av den konstruktion som utförs i "existens"-klausulen.

Teoremet är bevisat.

Tillägg av vektorer. Triangelregel

Låt oss ges vektorerna $ \ högerpil (a) $ och $ \ högerpil (b) $.

Definition 2

Summan av vektorerna $ \ högerpil (a) + \ högerpil (b) $ är en vektor $ \ högerpil (c) = \ högerpil (AC) $, konstruerad enligt följande: Vektor $ \ högerpil (AB) = \ högerpil (a) ) $, sedan plottas vektorn $ \ överhögerpil (BC) = \ överhögerpil (b) $ från den erhållna punkten $ B $ och koppla ihop punkten $ A $ med punkten $ C $ (Fig. 3).

Figur 3. Summan av vektorer

Anmärkning 1

Annars kallas också definition 2 triangelregel för att lägga till två vektorer.

Flera egenskaper för tillägg av två vektorer följer av denna regel:

För varje vektor $ \ högerpil (a) $, är likheten

\ [\ överhögerpil (a) + \ överhögerpil (0) = \ överhögerpil (a) \]

För alla godtyckliga punkter $ A, \ B \ och \ C $, är likheten

\ [\ överhögerpil (AB) + \ överhögerpil (BC) = \ överhögerpil (AC) \]

Anmärkning 2

På samma sätt som triangelregeln kan du konstruera summan av valfritt antal vektorer. Denna additionsregel kallas polygonregeln.

Parallelogramregel

Utöver triangelregeln för att addera två vektorer, finns det även en parallellogramregel för att addera två vektorer. Först formulerar och bevisar vi följande sats.

Sats 2

För tre vektorer $ \ överhögerpil (a), \ \ överhögerpil (b) \ och \ \ överhögerpil (c) $ är följande två lagar sanna:

Reselag:

\ [\ högerpil (a) + \ högerpil (b) = \ högerpil (b) + \ högerpil (a) \]

Kombinationslag:

\ [\ vänster (\ högerpil (a) + \ högerpil (b) \ höger) + \ högerpil (c) = \ högerpil (a) + \ vänster (\ högerpil (b) + \ högerpil (c) \ höger) \ ]

Bevis.

Reselag:

Kombinationslag:

Låt oss konstruera följande figur: Låt oss lägga åt sidan vektorn $ \ högerpil (AB) = \ högerpil (a) $ från en godtycklig punkt $ A $, från den resulterande punkten $ B $ - vektor $ \ högerpil (BC) = \ högerpil (b) $ och från punkterna $ C $ - vektor $ \ högerpil (CD) = \ högerpil (c) $ (fig. 5).

Figur 5. Illustration av kombinationslagen

Från egenskapen för triangelregeln $ \ högerpil (AB) + \ högerpil (BC) = \ högerpil (AC) $, får vi:

Därför $ \ vänster (\ högerpil (a) + \ högerpil (b) \ höger) + \ högerpil (c) = \ högerpil (a) + \ vänster (\ högerpil (b) + \ högerpil (c) \ höger) $.

Teoremet är bevisat.

Från denna sats kan vi nu extrahera parallellogramregeln för summan av två icke-kolinjära vektorer: för att lägga till två icke-kolinjära vektorer $ \ högerpil (a) $ och $ \ högerpil (b) $, måste du skjuta upp vektorerna $ \ högerpil (AB ) = \ högerpil (a) $ och $ \ högerpil (AD) = \ högerpil (b) $ och bygg ett parallellogram $ ABCD $. Sedan $ \ högerpil (a) + \ högerpil (b) = \ högerpil (AC) $.

Ett exempel på ett vektoradditionsproblem

Exempel 1

Givet en fyrhörning $ ABCD $. Bevisa att $ \ högerpil (AB) + \ högerpil (BC) + \ högerpil (CD) = \ högerpil (AD) $

Bild 6.

Bevis.

Låt oss använda egenskapen för triangelregeln $ \ högerpil (AB) + \ högerpil (BC) = \ högerpil (AC) $, vi får:

\ [\ högerpil (AB) + \ högerpil (BC) + \ högerpil (CD) = \ högerpil (AC) + \ högerpil (CD) = \ högerpil (AD) \]

Som ett resultat av att lägga till två eller flera vektorer får du alltid en till. Dessutom kommer han alltid nödvändigtvis att vara densamma, oavsett mottagandet av hans fynd.

Oftast i skolans geometrikurs övervägs tillägg av två vektorer. Det kan utföras enligt regeln för en triangel eller ett parallellogram. Dessa bilder ser olika ut, men resultatet från handlingen är detsamma.

Hur fungerar triangeladdition?

Det används när vektorer är icke-kollinjära. Det vill säga att de inte ligger på en rak linje eller på parallella.

Om vektorerna är kolinjära kan denna regel också tillämpas. Endast ritningen kommer att placeras längs en linje.

Hur går parallellogramaddition till?

Hittills har det blivit två av dem. Men vad händer om det finns 3 eller 10 av dem? Använd följande teknik.

Hur och när gäller polygonregeln?

Vilka egenskaper är giltiga för åtgärder på vektorer?

Om nollvektorn. Som hävdar att när den läggs till den så erhålls originalet.

Om den motsatta vektorn. Det vill säga ungefär en som har motsatt riktning och värde lika stor. Deras summa blir noll.

Om kommutativitet av addition. Det som varit känt sedan grundskolan. Att byta plats för villkoren ändrar inte resultatet. Det spelar med andra ord ingen roll vilken vektor som ska skjutas upp först. Svaret kommer fortfarande att vara korrekt och det enda.

Om additionens associativitet. Denna lag tillåter dig att lägga till i par alla vektorer från trippeln och lägga till en tredje till dem. Om du skriver detta med tecken får du följande:

första + (andra + tredje) = andra + (första + tredje) = tredje + (första + andra).

Vad är känt om vektorskillnaden?

Hur hittar man summan och skillnaden mellan vektorer i koordinater?

a (x, y, z) + b (k, 1, m) = c (x + k, y + 1, z + m);

a (x, y, z) -b (k, 1, m) = c (x-k, y-l, z-m).

Det är lätt att se att koordinaterna bara behöver läggas till eller subtraheras, beroende på den specifika uppgiften.

Första exemplet med lösning

Skick. Givet en rektangel AVSD. Dess sidor är 6 och 8 cm. Skärningspunkten för diagonalerna betecknas med bokstaven O. Det krävs att man beräknar skillnaden mellan vektorerna AO och BO.

Lösning. Först måste du rita dessa vektorer. De är riktade från rektangelns hörn till skärningspunkten mellan diagonalerna.

Svar. Skillnaden mellan AO och AO är 8 cm.

Andra exemplet och dess detaljerade lösning

Skick. I romben AVSD är diagonalerna 12 och 16 cm.Skärningspunkten betecknas med bokstaven O. Beräkna längden på vektorn som bildas av skillnaden mellan vektorerna AO och BO.

Svar. Skillnaden mellan vektorerna AO och VO är 10 cm.

Tredje exemplet med detaljerad lösning

Skick. Beräkna skillnaden och summan av två vektorer. Deras koordinater är kända: den första har 1 och 2, den andra har 4 och 8.

Lösning. För att hitta summan måste du lägga till den första och andra koordinaten i par. Resultatet blir siffrorna 5 och 10. Svaret blir en vektor med koordinater (5; 10).

För skillnaden måste du subtrahera koordinater. Efter att ha slutfört denna åtgärd kommer siffrorna -3 och -6 att erhållas. De kommer att vara koordinaterna för den önskade vektorn.

Svar. Summan av vektorerna är (5; 10), deras skillnad är (-3; -6).

Fjärde exemplet

Svar: a) -2 och 10 cm; b) 14 och 10 cm.

Adderingen av krafter utförs med hjälp av vektoradditionsregeln. Eller den så kallade parallellogramregeln. Eftersom kraften är avbildad som en vektor, det vill säga det är ett segment vars längd visar numeriskt värde kraft och riktning anger kraftens riktning. Det vill säga addera krafter, det vill säga vektorer, med hjälp av geometrisk summering av vektorer.

Å andra sidan är tillägget av krafter att hitta resultatet av flera krafter. Det vill säga när kroppen påverkas av flera olika krafter... Olika både i storlek och riktning. Det är nödvändigt att hitta den resulterande kraften som kommer att verka på kroppen som helhet. I detta fall kan krafterna adderas i par med hjälp av parallellogramregeln. Lägg först ihop de två krafterna. Vi lägger till ytterligare en till resultatet. Och så vidare tills alla krafter lägger sig.

Figur 1 - Regel för parallellogram.

Parallellogramregeln kan beskrivas på följande sätt. För två krafter som kommer från en punkt och som har en vinkel mellan dem som inte är noll eller 180 grader. Du kan bygga ett parallellogram. Genom att överföra början av en vektor till slutet av en annan. Diagonalen för detta parallellogram kommer att vara resultanten av dessa krafter.

Men du kan också använda kraftpolygonregeln. I detta fall väljs startpunkten. Den första vektorn av kraften som verkar på kroppen lämnar denna punkt, sedan läggs nästa vektor till dess ände, med hjälp av metoden parallell överföring... Och så vidare tills en kraftpolygon erhålls. I slutändan kommer resultanten av alla krafter i ett sådant system att vara en vektor ritad från startpunkten till slutet av den sista vektorn.

Figur 2 - Krafternas polygon.

Om kroppen rör sig under inverkan av flera krafter som appliceras på olika punkter i kroppen. Det kan anses att det rör sig under verkan av den resulterande kraften som appliceras på den givna kroppens masscentrum.

Tillsammans med tillägg av krafter, för att förenkla beräkningarna av rörelse, används också metoden för nedbrytning av krafter. Som namnet antyder, är essensen av metoden att en kraft som verkar på kroppen bryts ner i de ingående krafterna. I detta fall har de ingående krafterna samma effekt på kroppen som den ursprungliga kraften.

Nedbrytningen av krafter utförs också enligt parallellogramregeln. De måste komma ur samma punkt. Från samma punkt varifrån den sönderfallande kraften kommer fram. Som regel representeras den nedbrutna kraften i form av projektioner på vinkelräta axlar. Till exempel hur tyngdkraften och friktionskraften verkar på en stång som ligger på ett lutande plan.