Hem Rosor Utforska funktioner med hjälp av grafer. Komplett exempel på att undersöka en funktion online

Rosor

Utforska funktioner med hjälp av grafer. Komplett exempel på att undersöka en funktion online

För en fullständig studie av funktionen och plottning av dess graf, rekommenderas det att använda följande schema:

1) hitta domänen för funktionen;

2) hitta diskontinuitetspunkterna för funktionen och vertikala asymptoter (om de finns);

3) undersöka funktionens beteende i oändligheten, hitta horisontella och sneda asymptoter;

4) undersöka funktionen för jämnhet (udda) och periodicitet (för trigonometriska funktioner);

5) hitta extrema och intervall för monotoni för funktionen;

6) bestäm intervallen för konvexitet och böjningspunkter;

7) hitta skärningspunkterna med koordinataxlarna, om möjligt, och några ytterligare punkter som förfinar grafen.

Studiet av funktionen utförs samtidigt med konstruktionen av dess graf.

Exempel 9 Utforska funktionen och rita grafen.

1. Definitionens omfattning:;

2. Funktionen är trasig vid punkter
,
;

Låt oss undersöka funktionen för närvaron av vertikala asymptoter.

;
,
─ vertikal asymptot.

3. Låt oss undersöka funktionen för förekomsten av sneda och horisontella asymptoter.

Hetero
─ sned asymptot om
,
.

,
.

Hetero
─ horisontell asymptot.

4. Funktionen är även eftersom
... Funktionens paritet indikerar grafens symmetri kring ordinataaxeln.

5. Hitta intervallen för monotoni och extrema för funktionen.

Låt oss hitta de kritiska punkterna, dvs. punkter där derivatan är 0 eller inte existerar:
;
... Vi har tre poäng
;

... Dessa punkter delar upp hela den giltiga axeln i fyra utrymmen. Låt oss definiera tecknen på var och en av dem.

På intervallen (-∞; -1) och (-1; 0) ökar funktionen, på intervallen (0; 1) och (1; + ∞) ─ minskar. När du korsar en punkt
derivatan ändrar tecken från plus till minus, därför har funktionen vid denna tidpunkt ett maximum
.

6. Hitta konvexitetsintervallen, böjningspunkter.

Hitta de punkter där är 0 eller existerar inte.

har inga giltiga rötter.
,
,

Poäng
och
dela upp den verkliga axeln i tre intervall. Låt oss definiera tecknet vid varje intervall.

Alltså kurvan i intervaller
och
konvex nedåt, på intervallet (-1; 1) konvex uppåt; det finns inga böjningspunkter, eftersom funktionen vid punkterna
och
ospecificerad.

7. Hitta skärningspunkterna med axlarna.

Med axel
grafen för funktionen skär i punkten (0; -1) och med axeln
grafen överlappar inte, eftersom täljaren för denna funktion har inga riktiga rötter.

Grafen för den givna funktionen visas i figur 1.

Figur 1 ─ Funktionsdiagram

Tillämpning av begreppet derivat inom ekonomi. Funktionens elasticitet

För att studera ekonomiska processer och lösa andra tillämpade problem används ofta begreppet elasticitet hos en funktion.

Definition. Funktionens elasticitet
kallas gränsen för förhållandet mellan funktionens relativa ökning till variabelns relativa ökning på
,. (Vii)

En funktions elasticitet visar en ungefärlig procentandel av förändringen i funktionen
när du ändrar den oberoende variabeln med 1 %.

Funktionens elasticitet tillämpas i analysen av efterfrågan och konsumtion. Om efterfrågans elasticitet (i absolut värde)
, då anses efterfrågan vara elastisk om
─ neutral om
─ oelastisk med avseende på pris (eller inkomst).

Exempel 10 Beräkna elasticiteten för en funktion
och hitta värdet på elasticitetsindexet för = 3.

Lösning: enligt formel (VII) funktion elasticitet:

Låt då x = 3
Det betyder att om förklaringsvariabeln ökar med 1 % så ökar värdet på den beroende variabeln med 1,42 %.

Exempel 11 Låt efterfrågan fungera angående priset har formen
, var ─ konstant koefficient. Hitta värdet på efterfrågefunktionens elasticitetsindex vid ett pris x = 3 den. enheter

Lösning: beräkna elasticiteten för efterfrågefunktionen med formeln (VII)

Förutsatt
monetära enheter, får vi
... Det betyder att till ett pris
monetära enheter en 1% prisökning kommer att orsaka en 6% minskning av efterfrågan, dvs. efterfrågan är elastisk.

Idag inbjuder vi dig att utforska och rita funktionen med oss. Efter att noggrant studerat den här artikeln behöver du inte svettas på länge för att slutföra denna typ av uppgift. Att utforska och rita en funktion är inte lätt, arbetet är omfattande och kräver maximal uppmärksamhet och noggrannhet i beräkningarna. För att underlätta uppfattningen av materialet kommer vi att studera samma funktion steg för steg, förklara alla våra handlingar och beräkningar. Välkommen till matematikens fantastiska och spännande värld! Gå!

Domän

För att utforska och rita en funktion behöver du känna till flera definitioner. Funktion är ett av de grundläggande (grundläggande) begreppen i matematik. Det återspeglar sambandet mellan flera variabler (två, tre eller fler) med förändringar. Funktionen visar även uppsättningarnas beroende.

Föreställ dig att vi har två variabler som har visst intervalländringar. Så y är en funktion av x, förutsatt att varje värde av den andra variabeln motsvarar ett värde av den andra. I det här fallet är variabeln y beroende, och den kallas en funktion. Det är vanligt att säga att variablerna x och y är i. För att göra detta beroende tydligare ritas en funktionsgraf. Vad är en funktionsgraf? Denna uppsättning punkter på koordinatplan, där varje värde på x motsvarar ett värde på y. Grafer kan vara olika - rak linje, hyperbel, parabel, sinusform och så vidare.

Det är omöjligt att rita en funktionsgraf utan forskning. Idag ska vi lära oss hur man gör forskning och ritar en funktionsgraf. Det är mycket viktigt att göra anteckningar under forskningen. Detta kommer att göra uppgiften mycket lättare. Den mest bekväma forskningsplanen:

Domän.
Kontinuitet.
Jämn eller udda paritet.
Periodicitet.
Asymptoter.
Nollor.
Konstans av tecken.
Ökar och minskar.
Extremer.
Konvexitet och konkavitet.

Låt oss börja med den första punkten. Låt oss hitta definitionsdomänen, det vill säga på vilka intervall vår funktion finns: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). I vårt fall finns funktionen för alla värden på x, det vill säga domänen är lika med R. Den kan skrivas på följande sätt xÎR.

Kontinuitet

Nu ska vi undersöka pausfunktionen. Inom matematiken dök termen "kontinuitet" upp som ett resultat av studiet av rörelselagarna. Vad är oändligt? Utrymme, tid, vissa beroenden (ett exempel är beroendet av variablerna S och t i rörelseproblem), temperaturen på det uppvärmda föremålet (vatten, stekpanna, termometer, etc.), en kontinuerlig linje (det vill säga en som kan ritas utan att den slits av pennan).

Ett diagram anses vara kontinuerligt om det inte går sönder någon gång. En av de mest belysande exempel en sådan graf är en sinusform, som du kan se på bilden i det här avsnittet. Funktionen är kontinuerlig vid någon punkt x0 om ett antal villkor är uppfyllda:

en funktion definieras vid denna punkt;
höger och vänster gränser vid punkten är lika;
gränsen är lika med värdet på funktionen vid punkten x0.

Om minst ett villkor inte är uppfyllt sägs funktionen vara trasig. Och de punkter där funktionen är diskontinuerlig brukar kallas för diskontinuitetspunkter. Ett exempel på en funktion som kommer att "bryta" när den visas grafiskt är: y = (x + 4) / (x-3). Dessutom finns inte y i punkten x = 3 (eftersom det är omöjligt att dividera med noll).

I funktionen som vi undersöker (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) visade sig allt vara enkelt, eftersom grafen kommer att vara kontinuerlig.

Jämnt, udda

Undersök nu funktionen för paritet. Först lite teori. En jämn funktion är en som uppfyller villkoret f (-x) = f (x) för vilket värde som helst av variabeln x (från värdeintervallet). Exempel inkluderar:

modul x (grafen ser ut som en daw, halveringslinjen för den första och andra fjärdedelen av grafen);
x i kvadrat (parabel);
cosinus x (cosinus).

Observera att alla dessa plotter är symmetriska när de ses i förhållande till ordinatan (dvs. y).

Vad kallas då en udda funktion? Det här är de funktioner som uppfyller villkoret: f (-x) = - f (x) för valfritt värde på variabeln x. Exempel:

hyperbel;
kubisk parabel;
sinusoid;
tangentoid och så vidare.

Observera att dessa funktioner är symmetriska kring punkten (0:0), det vill säga origo. Baserat på vad som sades i detta avsnitt av artikeln, även och udda funktion måste ha egenskapen: x tillhör definitionsuppsättningen och -x också.

Låt oss undersöka funktionen för paritet. Vi kan se att det inte passar in på någon av beskrivningarna. Därför är vår funktion varken jämn eller udda.

Asymptoter

Låt oss börja med definitionen. En asymptot är en kurva som är så nära grafen som möjligt, det vill säga avståndet från en punkt tenderar mot noll. Totalt finns det tre typer av asymptoter:

vertikal, det vill säga parallellt med y-axeln;
horisontell, det vill säga parallellt med x-axeln;
lutande.

När det gäller den första typen bör dataräta linjer letas efter vid vissa punkter:

ha sönder;
änden av definitionsdomänen.

I vårt fall är funktionen kontinuerlig, och domänen är lika med R. Därför finns det inga vertikala asymptoter.

Grafen för en funktion har en horisontell asymptot, som uppfyller följande krav: om x tenderar till oändlighet eller minus oändlighet, och gränsen är lika med ett visst tal (till exempel a). V I detta fall y = a - detta är den horisontella asymptoten. I funktionen vi undersöker finns inga horisontella asymptoter.

Den sneda asymptoten existerar endast om två villkor är uppfyllda:

lim (f (x)) / x = k;
lim f (x) -kx = b.

Då kan den hittas med formeln: y = kx + b. Återigen, i vårt fall finns det inga sneda asymptoter.

Funktion nollor

Nästa steg är att undersöka grafen för funktionen vid nollor. Det är också mycket viktigt att notera att uppgiften förknippad med att hitta nollorna för en funktion inte bara sker när man studerar och ritar en funktions graf, utan också hur självständig uppgift, och som ett sätt att lösa ojämlikheter. Du kan behöva hitta nollorna för en funktion i en graf eller använda matematisk notation.

Att hitta dessa värden hjälper dig att rita funktionen mer exakt. Om vi pratar enkelt språk, då är funktionens nolla värdet på variabeln x för vilken y = 0. Om du letar efter nollorna för en funktion i en graf, bör du vara uppmärksam på de punkter där grafen korsar abskissaxeln.

För att hitta nollorna för en funktion måste du lösa följande ekvation: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. Efter att ha utfört de nödvändiga beräkningarna får vi följande svar:

Beständighet

Nästa steg i forskning och konstruktion av en funktion (graf) är att hitta konstanthetsintervall. Det betyder att vi måste bestämma med vilka intervaller funktionen tar positivt värde, och på vilken - negativ. Funktionsnollorna i föregående avsnitt hjälper oss att göra detta. Så vi måste rita en rak linje (separat från grafen) och in rätt ordning fördela funktionens nollor över den från minsta till största. Nu måste du bestämma vilket av de resulterande intervallen som har ett "+"-tecken och vilket "-".

I vårt fall tar funktionen ett positivt värde i intervallen:

från 1 till 4;
från 9 till oändligt.

Negativ betydelse:

från minus oändlighet till 1;
4 till 9.

Detta är lätt att definiera. Koppla in valfritt tal från intervallet i funktionen och se vilket tecken svaret är (minus eller plus).

Ökar och minskar funktioner

För att utforska och bygga en funktion måste vi ta reda på var grafen kommer att öka (gå upp längs Oy), och var den kommer att falla (krypa ner längs ordinatan).

Funktionen ökar endast om det större värdet av variabeln x motsvarar större betydelse på. Det vill säga, x2 är större än x1 och f (x2) är större än f (x1). Och vi observerar ett helt motsatt fenomen i en minskande funktion (ju fler x, desto mindre y). För att bestämma intervallen för ökning och minskning måste du hitta följande:

omfattning (vi har det redan);
derivata (i vårt fall: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
Lös ekvationen 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.

Efter beräkningarna får vi resultatet:

Vi får: funktionen ökar i intervallen från minus oändlighet till 7/3 och från 7 till oändlighet, och minskar i intervallet från 7/3 till 7.

Extremer

Den undersökta funktionen y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) är kontinuerlig och existerar för alla värden på variabeln x. Extremumpunkten visar max och minimum för denna funktion. I vårt fall finns det inga, vilket avsevärt förenklar bygguppgiften. Annars hittas de också med hjälp av derivatan av funktionen. Efter att ha hittat, glöm inte att markera dem på diagrammet.

Konvexitet och konkavitet

Vi fortsätter att undersöka funktionen y (x) ytterligare. Nu måste vi kontrollera det för konvexitet och konkavitet. Definitionerna av dessa begrepp är ganska svåra att uppfatta, det är bättre att analysera allt med exempel. För testet: funktionen är konvex om den är en icke-minskande funktion. Håller med, detta är obegripligt!

Vi måste hitta derivatan av en andra ordningens funktion. Vi får: y = 1/3 (6x-28). Låt oss nu nollställa högersidan och lösa ekvationen. Svar: x = 14/3. Vi hittade böjningspunkten, det vill säga platsen där grafen ändras från konvexitet till konkavitet, eller vice versa. I intervallet från minus oändlighet till 14/3 är funktionen konvex och från 14/3 till plus oändlighet är den konkav. Det är också mycket viktigt att notera att böjningspunkten på grafen ska vara jämn och mjuk, nej skarpa hörn bör inte vara närvarande.

Definition av ytterligare poäng

Vår uppgift är att utreda och rita funktionen. Vi är klara med forskningen, det blir inte svårt att plotta funktionen nu. För mer exakt och detaljerad återgivning av en kurva eller rät linje på koordinatplanet kan du hitta flera hjälppunkter. Det är ganska lätt att beräkna dem. Till exempel tar vi x = 3, löser den resulterande ekvationen och finner y = 4. Eller x = 5 och y = -5 och så vidare. Du kan ta så många ytterligare poäng som du behöver för att bygga. Minst 3-5 av dem finns.

Rita en graf

Vi behövde undersöka funktionen (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. Alla nödvändiga anteckningar under beräkningarna gjordes på koordinatplanet. Allt som återstår att göra är att bygga en graf, det vill säga att koppla alla punkter till varandra. Att koppla ihop prickarna ska vara smidigt och snyggt, det är en fråga om skicklighet - lite övning och ditt schema blir perfekt.

För en fullständig studie av funktionen och plottning av dess graf rekommenderas följande schema:
A) hitta definitionsområdet, brytpunkter; undersöka funktionens beteende nära diskontinuitetspunkterna (hitta gränserna för funktionen till vänster och höger vid dessa punkter). Ange vertikala asymptoter.
B) bestämma funktionens jämnhet eller uddahet och dra en slutsats om förekomsten av symmetri. Om funktionen är jämn, symmetrisk kring OY-axeln; när funktionen är udda, symmetrisk kring ursprunget; och om - funktion allmän syn.
C) hitta skärningspunkterna för funktionen med koordinataxlarna OY och OX (om möjligt), bestäm intervallen för konstanttecken för funktionen. Gränserna för intervallen med konstant tecken för funktionen bestäms av punkterna där funktionen är lika med noll (nollor av funktionen) eller inte existerar och av gränserna för denna funktions domän. I de intervaller där grafen för funktionen är placerad ovanför OX-axeln, och där - under denna axel.
D) hitta den första derivatan av funktionen, bestäm dess nollor och konstansintervall. I de intervaller där funktionen ökar och där den minskar. Gör en slutsats om förekomsten av extrema (punkter där funktionen och derivatan finns och när de passerar vilka ändrar tecken. Om det ändrar tecken från plus till minus, så har funktionen vid denna punkt ett maximum, och om från minus till plus , sedan ett minimum). Hitta funktionens värden vid extrempunkterna.
E) hitta andraderivatan, dess nollor och konstansintervall. I intervaller var< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) hitta sneda (horisontella) asymptoter, vars ekvationer har formen ; var
.
På grafen för funktionen kommer att ha två sneda asymptoter, och varje värde på x vid och kan motsvara två värden på b.
G) hitta ytterligare punkter för att förtydliga schemat (om nödvändigt) och bygga en graf.

Exempel 1 Undersök funktionen och rita av den. Lösning: A) definitionens omfattning; funktionen är kontinuerlig i definitionsdomänen; - brytpunkt, eftersom ; ... Sedan är den vertikala asymptoten.
B)
de där. y (x) är en allmän funktion.
C) Hitta skärningspunkterna för grafen med OY-axeln: vi sätter x = 0; då y (0) = -1, dvs. grafen för funktionen korsar axeln i punkten (0; -1). Nollor för funktionen (skärningspunkter för grafen med OX-axeln): vi sätter y = 0; sedan
.
Diskriminerande andragradsekvation mindre än noll, då existerar inte nollor. Då är gränsen för konstansintervallen punkten x = 1, där funktionen inte existerar.
Funktionens tecken i vart och ett av intervallen bestäms av metoden för särskilda värden:

Det kan ses från diagrammet att i intervallet är grafen för funktionen placerad under OX-axeln och i intervallet - över OX-axeln.
D) Ta reda på förekomsten av kritiska punkter.
.
De kritiska punkterna (där eller inte finns) finns från jämlikheterna och.

Vi får: x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2. Låt oss komponera hjälpbord

bord 1

(Den första raden innehåller de kritiska punkterna och intervallen i vilka dessa punkter delas av OX-axeln; den andra raden anger värdena för derivatan vid de kritiska punkterna och tecknen på intervallen. Tecknen bestäms av metod för delvärden. Den tredje raden indikerar värdena för funktionen y (x) vid de kritiska punkterna och funktionens beteende visas - ökar eller minskar på motsvarande intervall på den numeriska axeln.
E) Hitta intervallen för konvexitet och konkavitet för funktionen.
; bygga en tabell som i stycke D); endast på den andra raden skriver vi ner tecknen, och i den tredje anger vi typen av konvexitet. Eftersom ; då finns det bara en kritisk punkt x = 1.
Tabell 2

Punkt x = 1 är böjningspunkten.
E) Hitta sneda och horisontella asymptoter

Då är y = x en sned asymptot.
G) Med hjälp av erhållen data bygger vi en graf över funktionen

Exempel 2 Gör en fullständig studie av funktionen och rita dess graf. Lösning.

1). Område för funktionsdefinition.
Uppenbarligen är denna funktion definierad på hela tallinjen, förutom punkterna "" och "", sedan vid dessa punkter är nämnaren noll och därför existerar inte funktionen, och de räta linjerna och är de vertikala asymptoterna.

2). En funktions beteende när argumentet tenderar till oändlighet, förekomsten av diskontinuitetspunkter och kontrollen av förekomsten av sneda asymptoter.
Låt oss först kontrollera hur funktionen beter sig när vi närmar oss oändligheten till vänster och till höger.

Således tenderar funktionen till 1, dvs. - horisontell asymptot.
I närheten av diskontinuitetspunkterna definieras funktionens beteende enligt följande:

De där. när man närmar sig diskontinuitetspunkterna till vänster minskar funktionen oändligt och till höger ökar den oändligt.
Närvaron av en sned asymptot bestäms genom att beakta likheten:

Det finns inga sneda asymptoter.

3). Skärningspunkter med koordinataxlar.
Här är det nödvändigt att överväga två situationer: hitta skärningspunkten med Ox-axeln och med Oy-axeln. Tecknet för skärningspunkten med Ox-axeln är funktionens nollvärde, dvs. det är nödvändigt att lösa ekvationen:

Denna ekvation har inga rötter, därför har grafen för denna funktion inte skärningspunkter med Ox-axeln.
Tecknet för skärningspunkten med Oy-axeln är värdet x = 0. I detta fall,
,
de där. - skärningspunkten för funktionens graf med axeln Oy.

4).Bestämning av extrema punkter och intervall för ökning och minskning.
För att undersöka denna fråga definierar vi den första derivatan:
.
Låt oss likställa värdet av den första derivatan med noll.
.
Ett bråk är lika med noll när dess täljare är lika med noll, dvs. ...
Låt oss definiera intervallen för ökning och minskning av funktionen.

Funktionen har alltså en extrempunkt och existerar inte på två punkter.
Således ökar funktionen i intervallen och och minskar i intervallen och.

5). Böjningspunkter och områden med konvexitet och konkavitet.
Denna egenskap hos funktionens beteende bestäms med hjälp av andraderivatan. Låt oss först bestämma närvaron av böjningspunkter. Den andra derivatan av funktionen är

At och funktionen är konkav;

för och funktionen är konvex.

6). Rita en funktion.
Med hjälp av de hittade värdena i poäng konstruerar vi en schematisk graf av funktionen:

Exempel 3 Utforska funktion

och skapa en graf över det.

Lösning
Den givna funktionen är en allmän icke-periodisk funktion. Dess graf går genom ursprunget, sedan.
Domänen för den givna funktionen är alla värden på variabeln, förutom och, där bråkdelens nämnare försvinner.
Följaktligen är punkterna och punkterna för diskontinuitet för funktionen.
Eftersom ,

Eftersom ,
, då är punkten en brytpunkt av det andra slaget.
Raka linjer och är de vertikala asymptoterna i grafen för funktionen.
Ekvationer för sneda asymptoter, där, .
På ,
.
Således har för och grafen för funktionen en asymptot.
Låt oss hitta intervallen för ökning och minskning av funktionen och extremumpunkterna.
.
Den första derivatan av funktionen vid och, därför, vid och, funktionen ökar.
När, alltså, när, minskar funktionen.
finns inte för,.
därför för grafen för funktionen är konkav.
På därför för grafen för funktionen är konvex.

När du passerar genom punkterna, byter tecken. När funktionen inte är definierad har funktionsgrafen därför en böjningspunkt.
Låt oss plotta funktionen.

Referenspunkterna i studiet av funktioner och konstruktionen av deras grafer är karakteristiska punkter - punkter med diskontinuitet, extremum, böjning, skärning med koordinataxlarna. Differentialkalkyl kan användas för att fastställa egenskaper förändringar i funktioner: ökande och minskande, maxima och minima, riktning av konvexitet och konkavitet av grafen, närvaron av asymptoter.

Skissen av grafen för funktionen kan (och bör) skissas ut efter att man har hittat asymptoter och extrempunkter, och det är bekvämt att fylla i pivottabellen för att studera funktionen under studien.

Vanligtvis används följande funktionsstudieschema.

1.Hitta funktionens domän, kontinuitetsintervall och brytpunkter.

2.Undersök funktionen för jämnhet eller udda (axiell eller central symmetri grafik.

3.Hitta asymptoter (vertikal, horisontell eller sned).

4.Hitta och undersök intervallen för ökning och minskning av funktionen, punkterna för dess extremum.

5.Hitta intervallen för konvexitet och konkavitet för kurvan, punkterna för dess böjning.

6.Hitta skärningspunkterna för kurvan med koordinataxlarna, om de finns.

7.Förbered en sammanfattning av studien.

8.Bygg en graf, med hänsyn till studien av funktionen, utförd på ovanstående punkter.

Exempel. Utforska funktion

och skapa en graf över det.

7. Låt oss sammanställa en sammanfattande tabell över studien av funktionen, där vi kommer att ange alla karakteristiska punkter och intervallen mellan dem. Med tanke på funktionens paritet får vi följande tabell:

		Funktioner i schemat
[-1, 0[	Ökande	Konvex
		(0; 1) - maximal poäng
]0, 1[	Minskar	Konvex
		Böjningspunkt, former med axel Oxe trubbig vinkel

En av kritiska uppgifter differentialkalkyl är utvecklingen vanliga exempel studier av funktioners beteende.

Om funktionen y = f (x) är kontinuerlig på ett intervall, och dess derivata är positiv eller lika med 0 på intervallet (a, b), så ökar y = f (x) med (f "(x) 0) Om funktionen y = f (x) är kontinuerlig på intervallet, och dess derivata är negativ eller lika med 0 på intervallet (a, b), så minskar y = f (x) med (f "(x) 0 )

De intervall där funktionen inte minskar eller inte ökar kallas funktionens monotonisintervall. Arten av monotoniteten hos en funktion kan endast ändras vid de punkter i dess definitionsdomän, där den första derivatans tecken ändras. Punkterna där den första derivatan av en funktion försvinner eller har en diskontinuitet kallas kritiska.

Sats 1 (1:a tillräckliga villkoret för existensen av ett extremum).

Låt funktionen y = f (x) definieras vid punkten x 0 och låt det existera en grannskap δ> 0 så att funktionen är kontinuerlig på ett intervall, differentierbar på intervallet (x 0 -δ, x 0) u ( x 0, x 0 + δ), och dess derivata behåller ett konstant tecken på vart och ett av dessa intervall. Sedan om på x 0 -δ, x 0) och (x 0, x 0 + δ) tecknen för derivatan är olika, så är x 0 en extrempunkt, och om de sammanfaller, är x 0 inte en extrempunkt . Dessutom, om, när den passerar genom punkten x0, derivatan ändrar tecken från plus till minus (till vänster om x 0 utförs f "(x)> 0, då är x 0 en maximipunkt; om derivatan ändrar tecken från minus till plus (till höger om x 0 kör f "(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Max- och minimapunkterna kallas för funktionens extrema punkter och funktionens maxima och minima kallas dess extrema värden.

Sats 2 (ett nödvändigt kriterium för ett lokalt extremum).

Om funktionen y = f (x) har ett extremum i nuvarande x = x 0, så existerar inte antingen f ’(x 0) = 0, eller f’ (x 0).
Vid ytterpunkterna för den differentierbara funktionen är tangenten till dess graf parallell med Ox-axeln.

Algoritm för att studera en funktion för ett extremum:

1) Hitta derivatan av funktionen.
2) Hitta kritiska punkter, d.v.s. punkter där funktionen är kontinuerlig och derivatan är noll eller inte existerar.
3) Betrakta grannskapet för var och en av punkterna och undersök tecknet för derivatan till vänster och höger om denna punkt.
4) Bestäm koordinaterna för extrempunkterna, för detta ersätts värdena för de kritiska punkterna i denna funktion. Använd tillräckliga förhållanden för ett extremum, dra lämpliga slutsatser.

Exempel 18. Undersök extremumfunktionen y = x 3 -9x 2 + 24x

Lösning.
1) y "= 3x 2 -18x + 24 = 3 (x-2) (x-4).
2) Genom att likställa derivatan med noll finner vi x 1 = 2, x 2 = 4. I detta fall definieras derivatan överallt; därför, förutom de två hittade punkterna, finns det inga andra kritiska punkter.
3) Tecknet för derivatan y "= 3 (x-2) (x-4) ändras beroende på intervallet som visas i figur 1. När man passerar genom punkten x = 2 ändrar derivatan tecken från plus till minus, och när du passerar genom punkten x = 4 - från minus till plus.
4) Vid punkten x = 2 har funktionen ett maximum y max = 20, och i punkten x = 4 - ett minimum y min = 16.

Sats 3. (2:a tillräckligt villkor för existensen av ett extremum).

Låt f "(x 0) och vid punkten x 0 finns f" "(x 0). Om f" "(x 0)> 0, då är x 0 en minimipunkt, och om f" "(x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

På ett segment kan funktionen y = f (x) nå de minsta (y naim) eller största (y naib) värdena antingen vid de kritiska punkterna för funktionen som ligger i intervallet (a; b), eller vid ändarna av segmentet.

Algoritm för att hitta de största och minsta värdena av en kontinuerlig funktion y = f (x) på ett segment:

1) Hitta f "(x).
2) Hitta de punkter där f "(x) = 0 eller f" (x) - inte finns, och välj från dem de som ligger inuti segmentet.
3) Beräkna värdet av funktionen y = f (x) vid de punkter som erhölls i steg 2), såväl som i ändarna av segmentet och välj den största och minsta av dem: de är respektive störst (y naib) och den minsta (y naim) värdena för funktionen på segmentet.

Exempel 19. Hitta det största värdet på den kontinuerliga funktionen y = x 3 -3x 2 -45 + 225 på segmentet.

1) Vi har y "= 3x 2 -6x-45 på segmentet
2) Derivatan y "finns för alla x. Hitta de punkter där y" = 0; vi får:
3x 2 -6x-45 = 0
x 2 -2x-15 = 0
xl = -3; x 2 = 5
3) Beräkna värdet på funktionen i punkterna x = 0 y = 225, x = 5 y = 50, x = 6 y = 63
Endast punkten x = 5 hör till segmentet. Det största av de funna värdena för funktionen är 225, och det minsta är talet 50. Så, y naib = 225, y naim = 50.

Undersöker en funktion på en konvexitet

Figuren visar grafer för två funktioner. Den första av dem är konvex uppåt, den andra - konvex nedåt.

Funktionen y = f (x) är kontinuerlig på segmentet och differentierbar i intervallet (a; b), kallas konvex upp (ner) på detta segment, om dess graf för axb inte ligger över (inte under) den ritade tangenten vid vilken punkt som helst M 0 (x 0; f (x 0)), där axb.

Sats 4. Låt funktionen y = f (x) ha andraderivatan vid valfri inre punkt x i segmentet och är kontinuerlig i ändarna av detta segment. Om sedan på intervallet (a; b) olikheten f "" (x) 0 är uppfylld, så är funktionen konvex nedåt på segmentet; om olikheten f "" (x) 0 är uppfylld på intervallet (a; b), då är funktionen konvex uppåt med.

Sats 5. Om funktionen y = f (x) har en andraderivata på intervallet (a; b) och om den ändrar tecken när den passerar genom punkten x 0, så är M (x 0; f (x 0)) en böjningspunkt.

Regeln för att hitta böjningspunkter:

1) Hitta de punkter där f "" (x) inte finns eller försvinner.
2) Undersök tecknet f "" (x) till vänster och höger om varje punkt som hittas i det första steget.
3) Dra en slutsats utifrån sats 4.

Exempel 20. Hitta extremum och inflexionspunkter för grafen för funktionen y = 3x 4 -8x 3 + 6x 2 +12.

Vi har f "(x) = 12x 3 -24x 2 + 12x = 12x (x-1) 2. Uppenbarligen är f" (x) = 0 för x 1 = 0, x 2 = 1. Derivatan när den passerar genom punkten x = 0 ändrar tecken från minus till plus, och när den passerar genom punkten ändrar x = 1 inte tecken. Därför är x = 0 en minimipunkt (vid min = 12), och det finns inget extremum vid punkten x = 1. Vidare finner vi ... Den andra derivatan försvinner vid punkterna x 1 = 1, x 2 = 1/3. Andraderivatans tecken ändras enligt följande: På strålen (-∞;) har vi f "" (x)> 0, på intervallet (; 1) har vi f "" (x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Därför är x = böjningspunkten för funktionens graf (övergång från nedåtriktad konvexitet till uppåtriktad konvexitet) och x = 1 är också inflexionspunkten (övergång från konvexitet uppåt till nedåtriktad konvexitet). Om x =, då y =; om, då x = 1, y = 13.

Algoritm för att hitta grafasymptoten

I. Om y = f (x) som x → a, så är x = a en vertikal asymptot.
II. Om y = f (x) som x → ∞ eller x → -∞, så är y = A en horisontell asymptot.
III. För att hitta den sneda asymptoten använder vi följande algoritm:
1) Beräkna. Om gränsen finns och är lika med b, så är y = b den horisontella asymptoten; om, gå sedan till det andra steget.
2) Beräkna. Om denna gräns inte finns, så finns det ingen asymptot; om det finns och är lika med k, gå sedan till det tredje steget.
3) Beräkna. Om denna gräns inte finns, så finns det ingen asymptot; om det finns och är lika med b, gå sedan till det fjärde steget.
4) Skriv ner ekvationen för den sneda asymptoten y = kx + b.

Exempel 21: Hitta asymptoten för en funktion

1)
2)
3)
4) Den sneda asymptotekvationen har formen

Schema för studien av en funktion och konstruktionen av dess graf

I. Hitta definitionsdomänen för funktionen.
II. Hitta skärningspunkterna för funktionens graf med koordinataxlarna.
III. Hitta asymptoterna.
IV. Hitta punkter av möjliga extremum.
V. Hitta kritiska punkter.
Vi. Med hjälp av hjälpfiguren, undersök tecknet för första och andra derivatan. Bestäm områdena för ökning och minskning av funktionen, hitta riktningen för grafens konvexitet, extrempunkterna och böjningspunkterna.
Vii. Bygg en graf med hänsyn till den forskning som utförs i punkterna 1-6.

Exempel 22: Rita en funktionsgraf enligt ovanstående schema

Lösning.
I. En funktions domän är mängden av alla reella tal, förutom x = 1.
II. Så ekvationen x 2 + 1 = 0 har inga reella rötter, då har grafen för funktionen inte skärningspunkter med Ox-axeln, utan skär Oy-axeln i punkten (0; -1).
III. Låt oss klargöra frågan om förekomsten av asymptoter. Låt oss undersöka funktionens beteende nära diskontinuitetspunkten x = 1. Eftersom y → ∞ som x → -∞, y → + ∞ som x → 1+, är linjen x = 1 den vertikala asymptoten i grafen för funktionen.
Om x → + ∞ (x → -∞), då y → + ∞ (y → -∞); därför har grafen ingen horisontell asymptot. Vidare, från existensen av gränserna

När vi löser ekvationen x 2 -2x-1 = 0 får vi två punkter med möjligt extremum:
x 1 = 1-√2 och x 2 = 1 + √2

V. För att hitta de kritiska punkterna, beräknar vi den andra derivatan:

Eftersom f "" (x) inte försvinner, finns det inga kritiska punkter.
Vi. Låt oss undersöka tecknet för första och andra derivatan. Potentiella extrema punkter som ska beaktas: x 1 = 1-√2 och x 2 = 1 + √2, dela upp funktionens existensdomän i intervall (-∞; 1-√2), (1-√2; 1 + √2) och (1 + √2; + ∞).

I vart och ett av dessa intervall behåller derivatan sitt tecken: i det första - plus, i det andra - minus, i det tredje - plus. Teckensekvensen för den första derivatan kommer att skrivas enligt följande: +, -, +.
Vi ser att funktionen ökar på (-∞; 1-√2), minskar på (1-√2; 1 + √2), och ökar igen på (1 + √2; + ∞). Extremumpunkter: maximum vid x = 1-√2, och f (1-√2) = 2-2√2 minimum vid x = 1 + √2, och f (1 + √2) = 2 + 2√2. Vid (-∞; 1) är grafen konvex uppåt och på (1; + ∞) - nedåt.
VII Låt oss sammanställa en tabell över de erhållna värdena