Учениците се натъкват на концепцията за пирамида много преди да изучават геометрия. Виновни са известните велики египетски чудеса на света. Следователно, започвайки изучаването на този прекрасен полиедър, повечето студенти вече ясно си го представят. Всички горепосочени мерници са в правилната форма. Какво стана дясна пирамида, и какви свойства има и ще бъдат обсъдени по-нататък.
Във връзка с
Определение
Има много дефиниции за пирамида. От древни времена е много популярен.
Например, Евклид го определя като твърда фигура, състояща се от равнини, които, започвайки от една, се събират в определена точка.
Херон предостави по-точна формулировка. Той настоя, че това е фигура, която има основа и равнини под формата на триъгълници,сближаващи се в една точка.
Разчитайки на съвременна интерпретация, пирамидата е представена като пространствен многоедър, състоящ се от определен k-ъгъл и k плоски фигури триъгълна формаимащи една обща точка.
Нека да разгледаме по-отблизо, От какви елементи се състои?
- k-gon се счита за основа на фигурата;
- 3-ъгълни фигури стърчат като страните на страничната част;
- горната част, от която произлизат страничните елементи, се нарича връх;
- всички сегменти, свързващи върха, се наричат ръбове;
- ако права линия се спусне от върха до равнината на фигурата под ъгъл от 90 градуса, тогава нейната част, затворена във вътрешното пространство, е височината на пирамидата;
- във всеки страничен елемент от страната на нашия полиедър можете да начертаете перпендикуляр, наречен апотема.
Броят на ръбовете се изчислява по формулата 2*k, където k е броят на страните на k-ъгълника. Колко лица има полиедър като пирамида може да се определи от израза k + 1.
Важно!пирамида правилна форманаречена стереометрична фигура, чиято основна равнина е k-ъгъл с равни страни.
Основни свойства
Правилна пирамида има много свойствакоито са уникални за нея. Нека ги изброим:
- Основата е фигура с правилна форма.
- Ръбовете на пирамидата, ограничаващи страничните елементи, имат равни числови стойности.
- Странични елементи - равнобедрени триъгълници.
- Основата на височината на фигурата попада в центъра на многоъгълника, докато е в същото време централна точкавъведени и описани.
- Всички странични ребра са наклонени към основната равнина под същия ъгъл.
- Всички странични повърхности имат еднакъв ъгъл на наклон спрямо основата.
Благодарение на всички изброени свойства, изпълнението на изчисленията на елементите е значително опростено. Въз основа на горните свойства обръщаме внимание на два знака:
- В случай, че многоъгълникът се вписва в кръг, страничните лица ще имат основа равни ъгли.
- Когато се описва кръг около многоъгълник, всички ръбове на пирамидата, излизащи от върха, ще имат еднаква дължина и равни ъгли с основата.
Квадратът се основава
Правилна четириъгълна пирамида - полиедър, базиран на квадрат.
Има четири странични лица, които на вид са равнобедрени.
На равнина е изобразен квадрат, но те се основават на всички свойства на правилния четириъгълник.
Например, ако трябва да свържете страната на квадрат с неговия диагонал, използвайте следната формула: диагоналът е равен на произведението на страната на квадрата и квадратния корен от две.
Въз основа на правилен триъгълник
Правилната триъгълна пирамида е полиедър, чиято основа е правилен 3-ъгълник.
Ако основата е правилен триъгълник, а страничните ръбове са равни на ръбовете на основата, тогава такава фигура наречен тетраедър.
Всички лица на тетраедър са равностранни 3-ъгълници. V този случайтрябва да знаете някои точки и да не губите време за тях, когато изчислявате:
- ъгълът на наклон на ребрата към всяка основа е 60 градуса;
- стойността на всички вътрешни лица също е 60 градуса;
- всяко лице може да действа като основа;
- начертани вътре във фигурата са равни елементи.
Сечения на полиедър
Във всеки полиедър има няколко вида секциисамолет. Често в училищен курсгеометрии работят с две:
- аксиален;
- паралелна основа.
Аксиално сечение се получава чрез пресичане на полиедър с равнина, която минава през върха, страничните ръбове и оста. В този случай оста е височината, изтеглена от върха. Режещата равнина е ограничена от пресечните линии с всички лица, което води до триъгълник.
Внимание!В правилната пирамида аксиалното сечение е равнобедрен триъгълник.
Ако режещата равнина върви успоредно на основата, тогава резултатът е вторият вариант. В този случай имаме в контекста фигура, подобна на основата.
Например, ако основата е квадрат, тогава секцията, успоредна на основата, също ще бъде квадрат, само с по-малък размер.
При решаване на задачи при това условие се използват знаци и свойства на подобие на фигурите, въз основа на теоремата на Талес. На първо място е необходимо да се определи коефициентът на подобие.
Ако равнината е начертана успоредно на основата и тя се отрязва Горна частполиедър, тогава в долната част се получава правилна пресечена пирамида. Тогава се казва, че основите на пресечения многоъгълник са подобни многоъгълници. В този случай страничните повърхности са равнобедрени трапеци. Аксиалният разрез също е равнобедрен.
За да се определи височината на пресечен полиедър, е необходимо да се начертае височината в аксиално сечение, тоест в трапец.
Повърхностни площи
Основните геометрични задачи, които трябва да се решават в училищния курс по геометрия са намиране на повърхността и обема на пирамида.
Има два вида повърхностна площ:
- площ на страничните елементи;
- цялата повърхностна площ.
От самото заглавие става ясно за какво става дума. Страничната повърхност включва само страничните елементи. От това следва, че за да го намерите, просто трябва да съберете площите на страничните равнини, тоест площите на равнобедрените 3-ъгълници. Нека се опитаме да извлечем формулата за площта на страничните елементи:
- Площта на равнобедрен 3-ъгълник е Str=1/2(aL), където a е страната на основата, L е апотема.
- Броят на страничните равнини зависи от вида на k-ъгълника в основата. Например, правилната четириъгълна пирамида има четири странични равнини. Следователно е необходимо да се сумират площите на четири цифри Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Изразът е опростен по този начин, тъй като стойността 4a=POS, където POS е периметърът на основата. А изразът 1/2 * Rosn е неговият полупериметър.
- И така, заключаваме, че площта на страничните елементи на правилна пирамида е равна на произведението на полупериметъра на основата и апотема: Sside = Rosn * L.
Площта на пълната повърхност на пирамидата се състои от сбора от площите на страничните равнини и основата: Sp.p. = Sside + Sbase.
Що се отнася до площта на основата, тук формулата се използва според вида на многоъгълника.
Обем на правилна пирамидае равно на произведението на площта на основната равнина и височината, разделена на три: V=1/3*Sbase*H, където H е височината на полиедъра.
Какво е правилна пирамида в геометрията
Свойства на правилна четириъгълна пирамида
Пирамидата е полиедър с многоъгълник в основата си. Всички лица от своя страна образуват триъгълници, които се събират в един връх. Пирамидите са триъгълни, четириъгълни и т.н. За да определите коя пирамида е пред вас, достатъчно е да преброите броя на ъглите в основата й. Определението за "височина на пирамидата" много често се среща в геометричните задачи в училищна програма. В статията ще се опитаме да разгледаме различни начининейното местоположение.
Части от пирамидата
Всяка пирамида се състои от следните елементи:
- странични лица, които имат три ъгъла и се събират в горната част;
- апотемът представлява височината, която се спуска от върха му;
- върхът на пирамидата е точка, която свързва страничните ръбове, но не лежи в равнината на основата;
- основа е многоъгълник, който не съдържа връх;
- височината на пирамидата е сегмент, който пресича върха на пирамидата и образува прав ъгъл с основата си.
Как да намерим височината на пирамида, ако е известен нейният обем
Чрез формулата V \u003d (S * h) / 3 (във формулата V е обемът, S е основната площ, h е височината на пирамидата), откриваме, че h = (3 * V) / S . За да консолидираме материала, нека незабавно да решим проблема. Триъгълната основа е 50 cm 2, а обемът й е 125 cm 3 . неизвестна височина триъгълна пирамида, което трябва да намерим. Тук всичко е просто: вмъкваме данните в нашата формула. Получаваме h = (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 см.
Как да намерим височината на пирамида, ако дължината на диагонала и ръба му са известни
Както си спомняме, височината на пирамидата образува прав ъгъл с основата си. И това означава, че височината, ръбът и половината на диагонала заедно образуват Мнозина, разбира се, помнят питагоровата теорема. Познавайки две измерения, няма да е трудно да се намери третата стойност. Припомнете си добре познатата теорема a² = b² + c², където a е хипотенузата, а в нашия случай ръбът на пирамидата; b - първият крак или половината от диагонала и c - съответно вторият крак или височината на пирамидата. От тази формула c² = a² - b².
Сега проблемът: в обикновена пирамида диагоналът е 20 см, докато дължината на ръба е 30 см. Трябва да намерите височината. Решаваме: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Следователно c = √ 500 = около 22,4.
Как да намерим височината на пресечена пирамида
Това е многоъгълник, който има сечение, успоредно на основата му. Височината на пресечена пирамида е сегментът, който свързва двете й основи. Височината може да се намери при правилна пирамида, ако са известни дължините на диагоналите на двете основи, както и ръба на пирамидата. Нека диагоналът на по-голямата основа е d1, докато диагоналът на по-малката основа е d2, а ръбът има дължина l. За да намерите височината, можете да намалите височините от двете горни противоположни точки на диаграмата до нейната основа. Виждаме, че имаме два правоъгълни триъгълника, остава да намерим дължините на техните крака. За да направите това, извадете по-малкия диагонал от по-големия диагонал и разделете на 2. Така ще намерим един крак: a \u003d (d1-d2) / 2. След това, според Питагоровата теорема, трябва само да намерим втория крак, който е височината на пирамидата.
Сега нека разгледаме цялото това нещо на практика. Имаме задача пред нас. Отсечената пирамида има квадрат в основата, дължината на диагонала на по-голямата основа е 10 см, докато по-малката е 6 см, а ръбът е 4 см. Необходимо е да се намери височината. Като начало намираме един крак: a = (10-6) / 2 = 2 см. Единият крак е 2 см, а хипотенузата е 4 см. Оказва се, че вторият крак или височина ще бъде 16- 4 \u003d 12, тоест h \u003d √12 = около 3,5 cm.
- апотема- височината на страничната страна на правилна пирамида, която е изтеглена от нейния връх (в допълнение, апотемата е дължината на перпендикуляра, който се спуска от средата на правилен многоъгълник до 1 от неговите страни);
- странични лица (ASB, BSC, CSD, DSA) - триъгълници, които се събират в горната част;
- странични ребра ( КАТО , BS , CS , Д.С. ) — общи странистранични лица;
- върха на пирамидата (срещу) - точка, която свързва страничните ръбове и която не лежи в равнината на основата;
- височина ( ТАКА ) - сегмент от перпендикуляра, който се изтегля през върха на пирамидата до равнината на нейната основа (краищата на такъв сегмент ще бъдат върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра);
- диагонално сечение на пирамида- сечение на пирамидата, което минава през върха и диагонала на основата;
- база (ABCD) е многоъгълник, на който върхът на пирамидата не принадлежи.
пирамидални свойства.
1. Когато всички странични ръбове са с еднакъв размер, тогава:
- близо до основата на пирамидата е лесно да се опише кръг, докато върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг;
- страничните ребра образуват равни ъгли с основната равнина;
- освен това е вярно и обратното, т.е. когато страничните ръбове образуват равни ъгли с основната равнина или когато може да се опише кръг близо до основата на пирамидата и върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на тази окръжност, тогава всички странични ръбове на пирамидата имат същия размер.
2. Когато страничните повърхности имат ъгъл на наклон спрямо равнината на основата със същата стойност, тогава:
- близо до основата на пирамидата е лесно да се опише кръг, докато върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг;
- височините на страничните повърхности са с еднаква дължина;
- площта на страничната повърхност е равна на ½ произведението на периметъра на основата и височината на страничната повърхност.
3. В близост до пирамидата може да се опише сфера, ако основата на пирамидата е многоъгълник, около който може да се опише кръг (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнините, които минават през средните точки на ръбовете на пирамидата, перпендикулярни на тях. От тази теорема заключаваме, че една сфера може да бъде описана както около всяка триъгълна, така и около всяка правилна пирамида.
4. Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако ъглополовящите равнини на вътрешните двустранни ъгли на пирамидата се пресичат в 1-ва точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще стане център на сферата.
Най-простата пирамида.
Според броя на ъглите на основата на пирамидата те се делят на триъгълни, четириъгълни и т.н.
Пирамидата ще триъгълна, четириъгълен, и така нататък, когато основата на пирамидата е триъгълник, четириъгълник и т.н. Триъгълна пирамида е тетраедър - тетраедър. Четириъгълен - петоедър и така нататък.
Този видео урок ще помогне на потребителите да получат представа за темата на пирамидата. Правилна пирамида. В този урок ще се запознаем с понятието пирамида, ще му дадем определение. Помислете какво е обикновена пирамида и какви свойства има. След това доказваме теоремата за страничната повърхност на правилна пирамида.
В този урок ще се запознаем с понятието пирамида, ще му дадем определение.
Помислете за многоъгълник А 1 А 2...A n, която лежи в равнината α, и точка П, която не лежи в равнината α (фиг. 1). Нека свържем точката Пс върхове А 1, А 2, А 3, … A n. Вземи нтриъгълници: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rи т.н.
Определение. Полиедър RA 1 A 2 ... A n, съставена от н-гон А 1 А 2...A nи нтриъгълници RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , наречен н- въглищна пирамида. Ориз. един.
Ориз. един
Помислете за четириъгълна пирамида PABCD(фиг. 2).
Р- върха на пирамидата.
ABCD- основата на пирамидата.
РА- странично ребро.
АБ- основен ръб.
От една точка Рпуснете перпендикуляра RNна земната равнина ABCD. Начертаният перпендикуляр е височината на пирамидата.
Ориз. 2
Общата повърхност на пирамидата се състои от страничната повърхност, тоест площта на всички странични лица, и основната площ:
S пълен \u003d S страна + S основна
Пирамидата се нарича правилна, ако:
- основата му е правилен многоъгълник;
- сегментът, свързващ върха на пирамидата с центъра на основата, е нейната височина.
Обяснение на примера на правилна четириъгълна пирамида
Помислете за правилна четириъгълна пирамида PABCD(фиг. 3).
Р- върха на пирамидата. основата на пирамидата ABCD- правилен четириъгълник, тоест квадрат. точка О, пресечната точка на диагоналите, е центърът на квадрата. означава, ROе височината на пирамидата.
Ориз. 3
Обяснение: вдясно н-gon, центърът на вписаната окръжност и центъра на описаната окръжност съвпадат. Този център се нарича център на многоъгълника. Понякога казват, че горната част е проектирана в центъра.
Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх, се нарича апотемаи означени з а.
1. всички странични ръбове на правилната пирамида са равни;
2. страничните лица са равни равнобедрени триъгълници.
Нека докажем тези свойства с примера на правилна четириъгълна пирамида.
Дадено: RABSD- правилна четириъгълна пирамида,
ABCD- квадрат,
ROе височината на пирамидата.
Докажи:
1. RA = PB = PC = PD
2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Вижте фиг. 4.
Ориз. 4
Доказателство.
ROе височината на пирамидата. Тоест направо ROперпендикулярно на равнината ABC, а оттам и директно AO, VO, SOи НАПРАВЕТЕлежи в него. Така че триъгълниците ROA, ROV, ROS, ROD- правоъгълна.
Помислете за квадрат ABCD. От свойствата на квадрата следва, че AO = BO = CO = НАПРАВЕТЕ.
След това правите триъгълници ROA, ROV, ROS, RODкрак RO- общ и крака AO, VO, SOи НАПРАВЕТЕравни, така че тези триъгълници са равни в два крака. От равенството на триъгълниците следва равенството на сегментите, RA = PB = PC = PD.Точка 1 е доказана.
Сегменти АБи слънцеса равни, защото са страни на един и същ квадрат, RA = RV = PC. Така че триъгълниците AVRи видеорекордер -равнобедрен и равен от три страни.
По същия начин получаваме, че триъгълниците ABP, BCP, CDP, DAPса равнобедрени и равни, което се изискваше да се докаже в т.2.
Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотема:
За доказателство избираме правилна триъгълна пирамида.
Дадено: RAVSе правилна триъгълна пирамида.
AB = BC = AC.
RO- височина.
Докажи: 
. Вижте фиг. 5.
Ориз. 5
Доказателство.
RAVSе правилна триъгълна пирамида. Това е АБ= AC = BC. Позволявам О- центърът на триъгълника ABC, тогава ROе височината на пирамидата. Основата на пирамидата е равностранен триъгълник. ABC. забележи това 
.
триъгълници RAV, RVS, RSA- равни равнобедрени триъгълници (по свойство). Триъгълната пирамида има три странични лица: RAV, RVS, RSA. И така, площта на страничната повърхност на пирамидата е:
S страна = 3S RAB
Теоремата е доказана.
Радиусът на окръжност, вписана в основата на правилна четириъгълна пирамида, е 3 м, височината на пирамидата е 4 м. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
Дадено: правилна четириъгълна пирамида ABCD,
ABCD- квадрат,
r= 3 м,
RO- височината на пирамидата,
RO= 4 м.
намирам: S страна. Вижте фиг. 6.
Ориз. 6
Решение.
Според доказаната теорема, .
Намерете първо страната на основата АБ. Знаем, че радиусът на окръжност, вписана в основата на правилна четириъгълна пирамида, е 3 m.
Тогава, м.
Намерете периметъра на квадрата ABCDсъс страна 6 м:
Помислете за триъгълник BCD. Позволявам М- средна страна DC. Защото О- среден BD, тогава 
(m).
триъгълник DPC- равнобедрен. М- среден DC. Това е, RM- медианата, а оттам и височината в триъгълника DPC. Тогава RM- апотема на пирамидата.
ROе височината на пирамидата. След това направо ROперпендикулярно на равнината ABC, а оттам и пряката ОМлежа в него. Да намерим апотема RMот правоъгълен триъгълник ROM.
Сега можем да намерим странична повърхностпирамиди:
Отговор: 60 м2.
Радиусът на окръжност, описана близо до основата на правилна триъгълна пирамида, е m. Площта на страничната повърхност е 18 m 2. Намерете дължината на апотема.
Дадено: ABCP- правилна триъгълна пирамида,
AB = BC = SA,
Р= m,
S страна = 18 m 2.
намирам: . Вижте фиг. 7.
Ориз. 7
Решение.
В правоъгълен триъгълник ABCпредвид радиуса на описаната окръжност. Да намерим страна АБтози триъгълник, използвайки теоремата за синусите.
Познавайки страната правоъгълен триъгълник(m), намерете периметъра му.
Според теоремата за площта на страничната повърхност на правилна пирамида, където з а- апотема на пирамидата. Тогава:
Отговор: 4 м.
И така, ние разгледахме какво е пирамида, какво е правилна пирамида, доказахме теоремата за страничната повърхност на правилната пирамида. В следващия урок ще се запознаем с пресечената пирамида.
Библиография
- Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от образователни институции (основни и профилни нива) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то изд., Rev. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
- Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общо образование образователни институции/ Шаригин И.Ф. - М.: Дропла, 1999. - 208 с.: ил.
- Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователни институции със задълбочено и профилно изучаване на математика / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то изд., стереотип. - М.: Дропла, 008. - 233 с.: ил.
- Интернет портал "Яклас" ()
- Интернет портал „Фестивал педагогически идеи"Първи септември" ()
- Интернет портал "Slideshare.net" ()
Домашна работа
- Може ли правилен многоъгълник да бъде основата на неправилна пирамида?
- Докажете, че непресичащите се ръбове на правилна пирамида са перпендикулярни.
- Намерете стойността на двугранния ъгъл на страната на основата на правилна четириъгълна пирамида, ако апотемът на пирамидата е равен на страната на основата й.
- RAVSе правилна триъгълна пирамида. Построете линейния ъгъл на двугранния ъгъл в основата на пирамидата.
Концепция за пирамида
Определение 1
Геометрична фигура, образувана от многоъгълник и точка, която не лежи в равнината, съдържаща този многоъгълник, свързана с всички върхове на многоъгълника, се нарича пирамида (фиг. 1).
Многоъгълникът, от който е съставена пирамидата, се нарича основа на пирамидата, триъгълниците, получени чрез свързване с точката, са страничните лица на пирамидата, страните на триъгълниците са страните на пирамидата, а точката е обща за всички триъгълници е върхът на пирамидата.
Видове пирамиди
В зависимост от броя на ъглите в основата на пирамидата тя може да се нарече триъгълна, четириъгълна и т.н. (фиг. 2).
Фигура 2.
Друг вид пирамида е обикновена пирамида.
Нека представим и докажем свойството на правилната пирамида.
Теорема 1
Всички странични лица на правилната пирамида са равнобедрени триъгълници, които са равни една на друга.
Доказателство.
Да разгледаме правилна $n-$ъгълна пирамида с връх $S$ на височина $h=SO$. Нека опишем кръг около основата (фиг. 4).
Фигура 4
Помислете за триъгълник $SOA$. По теоремата на Питагор получаваме
Очевидно всеки страничен ръб ще бъде дефиниран по този начин. Следователно всички странични ръбове са равни един на друг, тоест всички странични лица са равнобедрени триъгълници. Нека докажем, че те са равни помежду си. Тъй като основата е правилен многоъгълник, основите на всички странични лица са равни една на друга. Следователно всички странични лица са равни според III знак за равенство на триъгълниците.
Теоремата е доказана.
Сега въвеждаме следната дефиниция, свързана с концепцията за правилна пирамида.
Определение 3
Апотемата на правилната пирамида е височината на нейната странична повърхност.
Очевидно според теорема 1 всички апотеми са равни.
Теорема 2
Площта на страничната повърхност на правилна пирамида се определя като произведението на полупериметъра на основата и апотема.
Доказателство.
Нека означим страната на основата на $n-$въглищната пирамида като $a$, а апотема като $d$. Следователно площта на страничната повърхност е равна на
Тъй като според теорема 1 всички страни са равни
Теоремата е доказана.
Друг вид пирамида е пресечена пирамида.
Определение 4
Ако през обикновена пирамида се начертае равнина, успоредна на основата й, тогава фигурата, образувана между тази равнина и равнината на основата, се нарича пресечена пирамида (фиг. 5).
Фигура 5. Пресечена пирамида
Страничните лица на пресечената пирамида са трапецоиди.
Теорема 3
Площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида се определя като произведението на сбора от полупериметрите на основите и апотема.
Доказателство.
Нека означим страните на основите на $n-$въглищната пирамида съответно с $a\ и\ b$, а апотема с $d$. Следователно площта на страничната повърхност е равна на
Тъй като всички страни са равни, значи
Теоремата е доказана.
Пример за задача
Пример 1
Намерете площта на страничната повърхност на пресечена триъгълна пирамида, ако е получена от правилна пирамида с основна страна 4 и апотема 5 чрез отрязване от равнина, минаваща през средната линия на страничните лица.
Решение.
Съгласно теоремата за средната линия получаваме, че горната основа на пресечената пирамида е равна на $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апотемът е равен на $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5$.
Тогава по теорема 3 получаваме
