Равнобедрена триъгълна пирамида. Пирамида. Пресечена пирамида

Хипотеза:ние вярваме, че съвършенството на формата на пирамидата се дължи на математическите закони, присъщи на нейната форма.

Мишена:След като сте изучили пирамидата като геометрично тяло, обяснете съвършенството на нейната форма.

Задачи:

1. Дайте математическа дефиниция на пирамида.

2. Изучаване на пирамидата като геометрично тяло.

3. Разберете какво математическо знание са включили египтяните в своите пирамиди.

Лични въпроси:

1. Какво представлява пирамидата като геометрично тяло?

2. Как може да се обясни уникалната форма на пирамидата от математическа гледна точка?

3. Какво обяснява геометричните чудеса на пирамидата?

4. Какво обяснява съвършенството на формата на пирамидата?

Определение за пирамида.

ПИРАМИДА (от гръцки pyramis, gen. pyramidos) - многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх (чертеж). Въз основа на броя на ъглите на основата пирамидите се класифицират като триъгълни, четириъгълни и др.

ПИРАМИДА - монументална структура, която има геометрична форма на пирамида (понякога също стъпаловидна или кулообразна). Пирамидите са името, дадено на гигантските гробници на древните египетски фараони от 3-то-2-ро хилядолетие пр.н.е. д., както и древни американски храмови постаменти (в Мексико, Гватемала, Хондурас, Перу), свързани с космологични култове.

Възможно е гръцката дума „пирамида“ да произлиза от египетския израз per-em-us, т.е. от термин, означаващ височината на пирамидата. Изключителният руски египтолог В. Струве смята, че гръцкото "puram...j" идва от древноегипетското "p"-mr".

От историята. След изучаване на материала в учебника „Геометрия” на авторите на Атанасян. Бутузов и други, научихме, че: Многостен, съставен от n-ъгълник A1A2A3 ... An и n триъгълника PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1, се нарича пирамида. Многоъгълник A1A2A3...An е основата на пирамидата, а триъгълниците PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 са страничните стени на пирамидата, P е върха на пирамидата, отсечки PA1, PA2,..., PAn са страничните ръбове.

Това определение за пирамида обаче не винаги е съществувало. Например древногръцкият математик, автор на теоретични трактати по математика, достигнал до нас, Евклид, определя пирамидата като твърда фигура, ограничена от равнини, които се събират от една равнина в една точка.

Но това определение беше критикувано още в древността. Така Херон предложи следното определение за пирамида: „Това е фигура, ограничена от триъгълници, събиращи се в една точка и чиято основа е многоъгълник.“

Нашата група, сравнявайки тези определения, стигна до извода, че те нямат ясна формулировка на понятието „фондация“.

Разгледахме тези дефиниции и открихме дефиницията на Адриен Мари Лежандр, който през 1794 г. в своя труд „Елементи на геометрията“ дефинира пирамидата по следния начин: „Пирамидата е телесна фигура, образувани от триъгълници, събиращи се в една точка и завършващи от различни страни на плоска основа.“

Струва ни се, че последното определение дава ясна представа за пирамидата, тъй като тя ние говорим заче основата е плоска. Друго определение за пирамида се появява в учебник от 19-ти век: „пирамидата е плътен ъгъл, пресечен от равнина“.

Пирамидата като геометрично тяло.

Че. Пирамидата е многостен, едно от чиито лица (основа) е многоъгълник, останалите лица (страни) са триъгълници, които имат един общ връх (върхът на пирамидата).

Перпендикулярът, прекаран от върха на пирамидата към равнината на основата, се нарича височиначпирамиди.

В допълнение към произволната пирамида има правилна пирамидав основата на който е правилен многоъгълник и пресечена пирамида.

На фигурата има пирамида PABCD, ABCD е нейната основа, PO е нейната височина.

Обща площ на пирамида е сумата от площите на всичките й лица.

Пълен = Sside + Smain,Където отстрани– сумата от площите на страничните лица.

Обем на пирамидата се намира по формулата:

V=1/3Sбас. ч, където Сбас. - основна площ, ч- височина.

Оста на правилната пирамида е правата линия, съдържаща нейната височина.
Апотема ST е височината на страничната повърхност на правилна пирамида.

Площта на страничната страна на правилна пирамида се изразява, както следва: Sстрана. =1/2P ч, където P е периметърът на основата, ч- височина на страничното лице (апотема на правилна пирамида). Ако пирамидата е пресечена от равнина A’B’C’D’, успоредна на основата, тогава:

1) страничните ребра и височината са разделени от тази равнина на пропорционални части;

2) в напречно сечение се получава многоъгълник A’B’C’D’, подобен на основата;

DIV_ADBLOCK914">

Правилна триъгълна пирамида се нарича тетраедър .

Пресечена пирамида се получава чрез отрязване на горната му част от пирамидата с равнина, успоредна на основата (фигура ABCDD’C’B’A’).

Основи на пресечена пирамида– подобни многоъгълници ABCD и A`B`C`D`, страничните лица са трапеци.

Височинапресечена пирамида - разстоянието между основите.

Съкратен обемпирамида се намира по формулата:

V=1/3 ч(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида се изразява по следния начин: Sside = ½(P+P'). ч, където P и P’ са периметрите на основите, ч- височина на страничната повърхност (апотема на правилен пресечен кей

Сечения на пирамида.

Сеченията на пирамида с равнини, минаващи през нейния връх, са триъгълници.

Нарича се сечение, минаващо през два несъседни странични ръба на пирамида диагонално сечение.

Ако сечението минава през точка от страничния ръб и страната на основата, тогава неговата следа към равнината на основата на пирамидата ще бъде тази страна.

Разрез, минаващ през точка, разположена на лицето на пирамидата и дадена следа на сечението върху основната равнина, тогава конструкцията трябва да се извърши, както следва:

· намира пресечната точка на равнината на дадено лице и следата от сечението на пирамидата и я обозначава;

постройте права линия, минаваща през дадена точкаи получената пресечна точка;

· повторете тези стъпки за следващите лица.

, което съответства на съотношението на катетите на правоъгълен триъгълник 4:3. Това съотношение на краката съответства на добре познатия правоъгълен триъгълник със страни 3:4:5, който се нарича "перфектен", "свещен" или "египетски" триъгълник. Според историците на „египетския“ триъгълник е придаден магически смисъл. Плутарх пише, че египтяните сравняват природата на Вселената със „свещен“ триъгълник; те символично оприличиха вертикалния катет на съпруга, основата на съпругата и хипотенузата на това, което се ражда от двете.

За триъгълник 3:4:5 е вярно равенството: 32 + 42 = 52, което изразява Питагоровата теорема. Не беше ли тази теорема, която египетските свещеници искаха да увековечат, като издигнаха пирамида, базирана на триъгълника 3:4:5? Трудно е да се намери повече добър примерза да илюстрира Питагоровата теорема, която е била известна на египтяните много преди откриването й от Питагор.

Така гениалните създатели на египетските пирамиди се стремяха да удивят далечните потомци с дълбочината на познанията си и постигнаха това, като избраха „златния“ правоъгълен триъгълник като „основна геометрична идея“ за пирамидата на Хеопс, а „свещеното“ или „египетски“ за пирамидата на Хефрен.

Много често в своите изследвания учените използват свойствата на пирамидите със златни пропорции.

Математическият енциклопедичен речник дава следната дефиниция на златното сечение - това е хармонично деление, деление в екстремни и средни съотношения - разделяне на отсечката AB на две части по такъв начин, че по-голямата му част AC е средната пропорционална между цялата отсечка AB и неговата по-малка част NE.

Алгебрично определяне на златното сечение на отсечка AB = aсвежда до решаване на уравнението a: x = x: (a – x), от което x е приблизително равно на 0,62a. Съотношението x може да бъде изразено като дроби 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, където 2, 3, 5, 8, 13, 21 са числата на Фибоначи.

Геометричната конструкция на златното сечение на сегмента AB се извършва по следния начин: в точка B се възстановява перпендикуляр на AB, върху него се поставя сегментът BE = 1/2 AB, A и E са свързани, DE = BE се съкращава и накрая AC = AD, тогава равенството AB е изпълнено: CB = 2:3.

Златното сечение често се използва в произведения на изкуството, архитектурата и се среща в природата. Ярки примериса скулптурата на Аполон Белведере, Партенона. При изграждането на Партенона е използвано отношението на височината на сградата към нейната дължина и това съотношение е 0,618. Обектите около нас също дават примери за златното сечение, например подвързиите на много книги имат съотношение ширина към дължина, близко до 0,618. Като се има предвид разположението на листата на общото стъбло на растенията, можете да забележите, че между всеки два чифта листа третият се намира в златното сечение (слайдове). Всеки от нас „носи“ златното съотношение със себе си „в ръцете си“ - това е съотношението на фалангите на пръстите.

Благодарение на откриването на няколко математически папируса, египтолозите са научили нещо за древните египетски системи за изчисление и измерване. Задачите, съдържащи се в тях, са решавани от писари. Един от най-известните е математическият папирус на Райнд. Изучавайки тези проблеми, египтолозите научиха как са се справяли древните египтяни в различни количества, които възникват при изчисляването на мерки за тегло, дължина и обем, които често използват дроби и как се справят с ъглите.

Древните египтяни са използвали метод за изчисляване на ъгли въз основа на съотношението на височината към основата на правоъгълен триъгълник. Те изразяват всеки ъгъл на езика на градиента. Градиентът на наклона беше изразен като съотношение на цяло число, наречено "отсечено". В „Математиката през епохата на фараоните“ Ричард Пилинс обяснява: „Секедът на правилна пирамида е наклонът на което и да е от четирите триъгълни лица спрямо равнината на основата, измерен чрез n-тия брой хоризонтални единици на вертикална единица издигане . Така тази мерна единица е еквивалентна на съвременния ни котангенс на ъгъла на наклон. Следователно египетската дума "сецед" е свързана с нашата модерна дума"градиент"".

Цифровият ключ към пирамидите се крие в съотношението на тяхната височина към основата. От практическа гледна точка това е най-лесният начин да направите шаблоните, необходими за постоянна проверка на правилния ъгъл на наклон по време на конструкцията на пирамидата.

Египтолозите биха се радвали да ни убедят, че всеки фараон е копнеел да изрази своята индивидуалност, оттук и разликите в ъглите на наклона на всяка пирамида. Но може да има и друга причина. Може би всички те са искали да въплъщават различни символични асоциации, скрити в различни пропорции. Въпреки това, ъгълът на пирамидата на Хефрен (базиран на триъгълника (3:4:5) се появява в трите проблема, представени от пирамидите в математическия папирус на Райнд). Така че това отношение е било добре известно на древните египтяни.

За да бъдем честни към египтолозите, които твърдят, че древните египтяни не са знаели за триъгълника 3:4:5, дължината на хипотенузата 5 никога не е била споменавана. Но задачи по математикавъпросите относно пирамидите винаги се решават въз основа на втория ъгъл - съотношението на височината към основата. Тъй като дължината на хипотенузата никога не се споменава, се стигна до заключението, че египтяните никога не са изчислявали дължината на третата страна.

Съотношенията височина към основа, използвани в пирамидите в Гиза, несъмнено са били известни на древните египтяни. Възможно е тези отношения за всяка пирамида да са избрани произволно. Това обаче противоречи на значението, придавано на числовата символика във всички видове египетски визуални изкуства. Много е вероятно подобни връзки да са били значими, защото са изразявали специфични религиозни идеи. С други думи, целият комплекс в Гиза беше подчинен на последователен дизайн, предназначен да отразява определена божествена тема. Това би обяснило защо дизайнерите са избрали различни ъгли за трите пирамиди.

В „Мистерията на Орион“ Баувал и Гилбърт представиха убедителни доказателства, свързващи пирамидите в Гиза със съзвездието Орион, по-специално със звездите от пояса на Орион. Същото съзвездие присъства в мита за Изида и Озирис и има причина да се гледа всяка пирамида като представяне на едно от трите основни божества - Озирис, Изида и Хор.

„ГЕОМЕТРИЧНИ“ ЧУДЕСА.

Сред грандиозните пирамиди на Египет, специално място заема Голямата пирамида на фараона Хеопс (Хуфу). Преди да започнем да анализираме формата и размера на Хеопсовата пирамида, трябва да си припомним каква система от мерки са използвали египтяните. Египтяните имали три единици за дължина: „лакът“ (466 мм), който се равнявал на седем „длани“ (66,5 мм), което от своя страна било равно на четири „пръста“ (16,6 мм).

Нека анализираме размерите на Хеопсовата пирамида (фиг. 2), следвайки аргументите, дадени в прекрасната книга на украинския учен Николай Васютински " Златно сечение“ (1990).

Повечето изследователи са съгласни, че дължината на страната на основата на пирамидата, напр. GFравна на Л= 233,16 m Тази стойност съответства почти точно на 500 „колена“. Пълно съответствие с 500 „лакътя“ ще настъпи, ако дължината на „лакътя“ се счита за равна на 0,4663 m.

Височина на пирамидата ( з) се оценява от изследователите различно от 146,6 до 148,2 m и в зависимост от приетата височина на пирамидата, всички отношения на нейните геометрични елементи се променят. Каква е причината за разликите в оценките за височината на пирамидата? Факт е, че строго погледнато пирамидата на Хеопс е ​​пресечена. Горната му платформа днес е с размери приблизително 10 ´ 10 m, но преди век е била 6 ´ 6 m. Очевидно върхът на пирамидата е бил разглобен и не отговаря на оригиналния.

При оценката на височината на пирамидата е необходимо да се вземе предвид това физически фактор, като „чернова” структура. Отзад дълго времепод въздействието на колосално налягане (достигащо 500 тона на 1 m2 долна повърхност) височината на пирамидата е намаляла в сравнение с първоначалната й височина.

Каква е била първоначалната височина на пирамидата? Тази височина може да бъде пресъздадена чрез намиране на основната "геометрична идея" на пирамидата.

Фигура 2.

През 1837 г. английският полковник Г. Уайз измерва ъгъла на наклона на стените на пирамидата: той се оказва равен а= 51°51". Тази стойност все още се признава от повечето изследователи днес. Посочената стойност на ъгъла съответства на тангентата (tg а), равно на 1,27306. Тази стойност съответства на съотношението на височината на пирамидата ACдо половината от основата си C.B.(фиг.2), т.е A.C. / C.B. = з / (Л / 2) = 2з / Л.

И тук изследователите бяха за голяма изненада!.png" width="25" height="24">= 1,272. Сравнявайки тази стойност със стойността на tg а= 1.27306, виждаме, че тези стойности са много близки една до друга. Ако вземем ъгъла а= 51°50", т.е. намалете го само с една дъгова минута, след това стойността аще стане равно на 1,272, тоест ще съвпадне със стойността. Трябва да се отбележи, че през 1840 г. Г. Уайз повтаря своите измервания и изяснява, че стойността на ъгъла а=51°50".

Тези измервания доведоха изследователите до следната много интересна хипотеза: триъгълникът ACB на Хеопсовата пирамида се основава на отношението AC / C.B. = = 1,272!

Помислете сега за правоъгълния триъгълник ABC, при което съотношението на крака A.C. / C.B.= (фиг. 2). Ако сега дължините на страните на правоъгълника ABCопределям от х, г, z, а също така вземете предвид, че съотношението г/х= , тогава, в съответствие с Питагоровата теорема, дължината zможе да се изчисли по формулата:

Ако приемем х = 1, г= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Фигура 3."Златен" правоъгълен триъгълник.

Правоъгълен триъгълник, в който страните са свързани като T:golden" правоъгълен триъгълник.

След това, ако вземем за основа хипотезата, че основната „геометрична идея“ на Хеопсовата пирамида е „златен“ правоъгълен триъгълник, тогава от тук лесно можем да изчислим „проектната“ височина на Хеопсовата пирамида. То е равно на:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Нека сега изведем някои други отношения за Хеопсовата пирамида, които следват от „златната“ хипотеза. По-специално ще намерим съотношението на външната площ на пирамидата към площта на нейната основа. За да направите това, вземаме дължината на крака C.B.на единица, тоест: C.B.= 1. Но тогава дължината на страната на основата на пирамидата GF= 2, и площта на основата EFGHще бъдат равни SEFGH = 4.

Нека сега изчислим площта на страничната повърхност на Хеопсовата пирамида SD. Тъй като височината ABтриъгълник AEFравна на T, тогава площта на страничната повърхност ще бъде равна на SD = T. Тогава общата площ на четирите странични стени на пирамидата ще бъде равна на 4 T, а съотношението на общата външна площ на пирамидата към площта на основата ще бъде равно на златното сечение! Ето какво е - основната геометрична мистерия на Хеопсовата пирамида!

Групата на „геометричните чудеса” на Хеопсовата пирамида включва реални и пресилени свойства на връзките между различните измерения в пирамидата.

По правило те се получават в търсене на определени „константи“, по-специално числото „пи“ (числото на Лудолфо), равно на 3,14159...; основата на естествените логаритми "e" (число на Неперово), равна на 2,71828...; числото "F", числото на "златното сечение", равно на например 0,618... и т.н.

Можете да посочите например: 1) Собственост на Херодот: (Височина)2 = 0,5 ст. основен x Апотема; 2) Собственост на В. Цена: Височина: 0,5 чл. база = корен квадратен от "F"; 3) Свойство на M. Eist: Периметър на основата: 2 Височина = "Pi"; в различна интерпретация - 2 супени лъжици. основен : Височина = "Pi"; 4) Свойство на G. Edge: Радиус на вписаната окръжност: 0,5 чл. основен = "F"; 5) Собственост на K. Kleppisch: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothem) : ((2 art. .основен X апотема) + (v. основен)2). и т.н. Можете да измислите много такива свойства, особено ако свържете две съседни пирамиди. Например като „Свойства на А. Арефьев” може да се посочи, че разликата в обемите на пирамидата на Хеопс и пирамидата на Хефрен е равна на удвоения обем на пирамидата на Микерин...

много интересни разпоредбиПо-специално, изграждането на пирамиди според „златното съотношение“ е описано в книгите на Д. Хамбидж „Динамична симетрия в архитектурата“ и М. Гик „Естетика на пропорцията в природата и изкуството“. Нека си припомним, че "златното сечение" е разделянето на сегмент в такова съотношение, че част А е толкова пъти по-голяма от част Б, колкото пъти А е по-малка от цялата отсечка А + В. Съотношението A/B е равно на числото “F” == 1.618. Използването на “златното сечение” е посочено не само в отделните пирамиди, но и в целия комплекс от пирамиди в Гиза.

Най-любопитното обаче е, че една и съща Хеопсова пирамида просто „не може“ да съдържа толкова много чудесни свойства. Вземайки определено свойство едно по едно, то може да бъде „напаснато“, но всички те не се вписват наведнъж - те не съвпадат, те си противоречат. Следователно, ако, например, когато проверяваме всички свойства, първоначално вземем една и съща страна на основата на пирамидата (233 m), тогава височините на пирамидите с различни свойства също ще бъдат различни. С други думи, има определено „семейство“ от пирамиди, които външно са подобни на Хеопс, но имат различни свойства. Обърнете внимание, че няма нищо особено чудотворно в „геометричните“ свойства - много възниква чисто автоматично, от свойствата на самата фигура. За „чудо“ трябва да се счита само нещо, което е било очевидно невъзможно за древните египтяни. Това, по-специално, включва „космически“ чудеса, при които измерванията на Хеопсовата пирамида или пирамидния комплекс в Гиза се сравняват с някои астрономически измервания и се посочват „четни“ числа: милион пъти по-малко, милиард пъти по-малко и скоро. Нека разгледаме някои "космически" взаимоотношения.

Едно от твърденията е: „ако разделите страната на основата на пирамидата на точната дължина на годината, ще получите точно 10 милионни от земната ос.“ Изчислете: разделете 233 на 365, получаваме 0,638. Радиусът на Земята е 6378 км.

Друго твърдение всъщност е обратното на предишното. Ф. Ноетлинг посочи, че ако използвате „египетския лакът“, който той самият е изобретил, тогава страната на пирамидата ще съответства на „най-точната продължителност слънчева година, изразено до най-близката милиардна част от деня" - 365.540.903.777.

Твърдението на П. Смит: „Височината на пирамидата е точно една милиардна част от разстоянието от Земята до Слънцето“. Въпреки че обикновено приеманата височина е 146,6 m, Смит я приема за 148,2 m. Според съвременните радарни измервания голямата полуос на земната орбита е 149 597 870 + 1,6 km. Това е средното разстояние от Земята до Слънцето, но в перихелий то е с 5 000 000 километра по-малко, отколкото в афелий.

Едно последно интересно твърдение:

„Как можем да обясним, че масите на пирамидите на Хеопс, Хефрен и Микерин са свързани една с друга, както масите на планетите Земя, Венера, Марс?“ Нека изчислим. Масите на трите пирамиди са: Хефрен - 0,835; Хеопс - 1000; Микерин - 0,0915. Съотношенията на масите на трите планети: Венера - 0,815; Земя - 1000; Марс - 0,108.

И така, въпреки скептицизма, отбелязваме добре известната хармония на конструкцията на твърденията: 1) височината на пирамидата, като линия, „отиваща в космоса“, съответства на разстоянието от Земята до Слънцето; 2) страната на основата на пирамидата, най-близо „до субстрата“, тоест до Земята, отговаря за земния радиус и земната циркулация; 3) обемите на пирамидата (четете - масите) съответстват на съотношението на масите на най-близките до Земята планети. Подобен „шифър“ може да бъде проследен например в езика на пчелите, анализиран от Карл фон Фриш. Засега обаче ще се въздържим от коментар по темата.

ФОРМА НА ПИРАМИДА

Известната тетраедрична форма на пирамидите не възниква веднага. Скитите са правили погребения под формата на земни хълмове - могили. Египтяните са строили "хълмове" от камък - пирамиди. Това се случи за първи път след обединението на Горен и Долен Египет, през 28 век пр.н.е., когато преди основателя III династияФараонът Джосер (Зосер) беше натоварен със задачата да укрепи единството на страната.

И тук, според историците, важна роляпри укрепване централно правителствоизигран от „новата концепция за обожествяване“ на краля. Въпреки че кралските погребения се отличаваха с по-голям блясък, те по принцип не се различаваха от гробниците на придворните благородници; те бяха същите структури - мастаби. Над камерата със саркофага, съдържащ мумията, има правоъгълна могила от малки камъчета, където тогава е издигната малка постройка от големи каменни блокове – „мастаба” (на арабски – „пейка”). Фараонът Джосер издига първата пирамида на мястото на мастаба на своя предшественик Санахт. Тя беше стъпаловидна и представляваше видимо преходно стъпало от една архитектурна форма към друга, от мастаба към пирамида.

По този начин мъдрецът и архитект Имхотеп, който по-късно е смятан за магьосник и идентифициран от гърците с бог Асклепий, „възкресява“ фараона. Сякаш шест мастаби бяха издигнати в редица. Освен това първата пирамида е заемала площ от 1125 х 115 метра, с приблизителна височина от 66 метра (според египетските стандарти - 1000 "палми"). Първоначално архитектът планира да построи мастаба, но не продълговата, а квадратна в план. По-късно тя беше разширена, но тъй като разширението беше направено по-ниско, изглеждаше, че има две стъпала.

Тази ситуация не задоволи архитекта и на горната платформа на огромната плоска мастаба Имхотеп постави още три, като постепенно намаляваше към върха. Гробницата се е намирала под пирамидата.

Известни са още няколко стъпаловидни пирамиди, но по-късно строителите преминаха към изграждането на тетраедрични пирамиди, които са ни по-познати. Защо обаче не триъгълна или, да речем, осмоъгълна? Косвен отговор дава фактът, че почти всички пирамиди са идеално ориентирани по четирите основни посоки и следователно имат четири страни. Освен това пирамидата е била „къща“, обвивка на четириъгълна гробна камера.

Но какво определя ъгъла на наклона на лицата? В книгата „Принципът на пропорциите“ цяла глава е посветена на това: „Какво би могло да определи ъглите на наклона на пирамидите“. По-специално се посочва, че „изображението, към което гравитират големите пирамиди от Старото царство, е триъгълник с прав ъгъл на върха.

В пространството това е полуоктаедър: пирамида, в която ръбовете и страните на основата са равни, ръбовете са равностранни триъгълници." Някои съображения са дадени по този въпрос в книгите на Хамбидж, Гик и други.

Какво е предимството на ъгъла полуоктаедър? Според описания на археолози и историци някои пирамиди са се срутили под собствената си тежест. Това, което беше необходимо, беше „ъгъл на издръжливост“, ъгъл, който е най-енергийно надежден. Чисто емпирично, този ъгъл може да бъде взет от ъгъла на върха в купчина разпадащ се сух пясък. Но за да получите точни данни, трябва да използвате модел. Вземете четири здраво фиксирани топки, трябва да поставите пета върху тях и да измерите ъглите на наклона. Тук обаче можете да направите грешка, така че теоретичното изчисление помага: трябва да свържете центровете на топките с линии (мислено). Основата ще бъде квадрат със страна, равна на два пъти радиуса. Квадратът ще бъде само основата на пирамидата, дължината на ръбовете на която също ще бъде равна на два пъти радиуса.

По този начин, плътно опаковане на топчета като 1:4 ще ни даде правилен полуоктаедър.

Но защо много пирамиди, гравитиращи към подобна форма, въпреки това не я запазват? Пирамидите вероятно остаряват. Противно на известната поговорка:

„Всичко в света се страхува от времето, а времето се страхува от пирамидите“, сградите на пирамидите трябва да стареят, в тях могат и трябва да се случват не само процеси на външно изветряне, но и процеси на вътрешно „свиване“, което може карат пирамидите да стават по-ниски. Свиването също е възможно, тъй като, както се разкрива от работата на Д. Давидовиц, древните египтяни са използвали технологията за производство на блокове от варовик, с други думи, от „бетон“. Именно подобни процеси биха могли да обяснят причината за разрушаването на пирамидата Медум, намираща се на 50 км южно от Кайро. Той е на 4600 години, размерите на основата са 146 х 146 м, височината е 118 м. „Защо е толкова обезобразен?“ – пита В. Замаровски.

В края на краищата повечето от неговите блокове и облицовъчни плочи са останали на мястото си до ден днешен, в руини в подножието му." Както ще видим, редица разпоредби дори ни карат да мислим, че известната пирамида на Хеопс също е „сбръчкана". във всеки случай, във всички древни изображения пирамидите са заострени ...

Формата на пирамидите също може да бъде генерирана чрез имитация: някои природни образци, „чудо съвършенство“, да речем, някои кристали под формата на октаедър.

Подобни кристали могат да бъдат диамантени и златни кристали. Характеристика голям брой"припокриващи се" знаци за понятия като фараон, слънце, злато, диамант. Навсякъде - благороден, блестящ (блестящ), велик, безупречен и т.н. Приликите не са случайни.

Слънчевият култ, както е известно, формира важна част от религията Древен Египет. „Без значение как превеждаме името на най-голямата от пирамидите“, отбелязва едно от съвременните наръчници „Небето на Хуфу“ или „Куфу към небето“, това означаваше, че царят е слънцето. Ако Хуфу, в блясъка на своята сила, си въобразяваше, че е второто слънце, тогава неговият син Джедеф-Ра стана първият от египетските царе, който се нарече „син на Ра“, тоест син на Слънцето. Слънцето в почти всички народи е било символизирано от „слънчевия метал“, златото. „Голям диск от ярко злато“ - така египтяните наричаха нашата дневна светлина. Египтяните познаваха перфектно златото, познаваха местните му форми, където златните кристали могат да се появят под формата на октаедри.

„Слънчевият камък“ – диамантът – също е интересен тук като „извадка от форми“. Името на диаманта идва именно от арабския свят, "алмас" - най-твърдият, най-твърдият, неразрушим. Древните египтяни са познавали доста добре диаманта и неговите свойства. Според някои автори дори са използвали бронзови тръби с диамантени резци за пробиване.

В момента основният доставчик на диаманти е Южна Африка, но Западна Африка също е богата на диаманти. Територията на Република Мали дори се нарича „Диамантената земя“. Междувременно на територията на Мали живеят догоните, с които привържениците на хипотезата за палео-посещението възлагат много надежди (виж по-долу). Диамантите не биха могли да са причината за контактите на древните египтяни с този регион. Въпреки това, по един или друг начин, е възможно точно чрез копиране на октаедрите на диамантени и златни кристали, древните египтяни по този начин обожествяват фараоните, „неразрушими“ като диамант и „блестящи“ като злато, синовете на Слънцето, сравними само към най-прекрасните творения на природата.

Заключение:

Изучавайки пирамидата като геометрично тяло, запознавайки се с нейните елементи и свойства, ние се убедихме в основателността на мнението за красотата на формата на пирамидата.

В резултат на нашите изследвания стигнахме до извода, че египтяните, след като са събрали най-ценните математически знания, са ги въплътили в пирамида. Следователно пирамидата наистина е най-съвършеното творение на природата и човека.

БИБЛИОГРАФИЯ

„Геометрия: Учебник. за 7-9 клас. общо образование институции\ и др. - 9-то изд.: Образование, 1999г

История на математиката в училище, М: "Просвещение", 1982 г.

Геометрия 10-11 клас, М: “Просвещение”, 2000г

Питър Томпкинс "Тайни" велика пирамидаХеопс", М: "Центрополиграф", 2005 г.

Интернет ресурси

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Инструкции

В случай, че в основата пирамидилежи квадрат, известна е дължината на неговия диагонал, както и дължината на ръба на този пирамиди, Че височинатова пирамидиможе да се изрази от Питагоровата теорема, тъй като триъгълник, образуван от ръб пирамиди, а половината от диагонала в основата е правоъгълен триъгълник.
Питагоровата теорема гласи, че квадратът на хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равен по размер на сумата от квадратите на неговите катети (a² = b² + c²). Ръб, край пирамиди- хипотенуза, един от краката е половината от диагонала на квадрата. Тогава дължината на неизвестния крак (височина) се намира с помощта на формулите:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².

За да направите и двете ситуации възможно най-ясни и разбираеми, можете да помислите за чифт.
Пример 1: Основна площ пирамиди 46 cm², обемът му е 120 cm³. Въз основа на тези данни височината пирамидисе намира така:
h = 3*120/46 = 7,83 см
Отговор: височината на това пирамидище бъде приблизително 7,83 cm
Пример 2: U пирамиди, в основата на който лежи многоъгълник - квадрат, диагоналът му е 14 см, дължината на ръба е 15 см, за да намерите височина пирамиди, трябва да използвате следната формула(което е следствие от Питагоровата теорема):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29 cm
Отговор: височината на това пирамидие √29 cm или приблизително 5,4 cm

Забележка

Ако в основата на пирамидата има квадрат или друг правилен многоъгълник, тогава тази пирамида може да се нарече правилна. Такава пирамида има редица свойства:
страничните му ребра са равни;
ръбовете му - равнобедрени триъгълници, които са равни помежду си;
около такава пирамида може да се опише сфера, а също и да се впише в нея.

източници:

• Правилна пирамида

Пирамидата е фигура, чиято основа е многоъгълник, а лицата й са триъгълници с общ връх за всички. В типичните задачи често е необходимо да се конструира и определи дължината на перпендикуляр, изтеглен от връх пирамидикъм равнината на нейната основа. Дължината на този сегмент се нарича височина пирамиди.

Ще имаш нужда

• - владетел
• - молив
• - компас

Инструкции

За да завършите, изградете пирамида в съответствие с условията на задачата. Например, за да изградите правилен тетраедър, трябва да начертаете фигура, така че всичките 6 ръба да са равни един на друг. Ако имате нужда от изграждане височиначетириъгълна, тогава само 4 ръба на основата трябва да са равни. След това можете да изградите ръбовете на страничните лица, които не са равни на ръбовете на многоъгълника. Назовете пирамидата, като обозначите всички върхове с латински букви. Например за пирамидис триъгълник в основата можете да изберете A, B, C (за основата), S (за върха). Ако условието определя конкретни размери на ребрата, тогава при конструирането на фигурата изхождайте от тези стойности.

За да започнете, изберете условно, като използвате компас, допирателна отвътре към всички ръбове на многоъгълника. Ако пирамида, тогава точката (наречете я, например, H) на основата пирамиди, в която се спуска височината, трябва да съответства на центъра на окръжността, вписана в правилната основа пирамиди. Центърът ще съответства на точка, еднакво отдалечена от всяка друга точка на кръга. Ако свържете върха пирамиди S с центъра на окръжността H, тогава отсечката SH ще бъде височината пирамиди. Не забравяйте, че в четириъгълник, чиито срещуположни страни имат равни суми, може да се впише окръжност. Това важи за квадрата и ромба. В този случай точка H ще лежи върху четириъгълника. За всеки триъгълник е възможно да се впише и опише окръжност.

Да строиш височина пирамиди, използвайте пергел, за да начертаете окръжност и след това използвайте линийка, за да свържете центъра й H с върха S. SH е желаната височина. Ако в основата пирамиди SABC е неправилна фигура, тогава височината ще свързва върха пирамидис центъра на окръжността, в която е вписан основният многоъгълник. Всички върхове на многоъгълника лежат на такава окръжност. В този случай този сегмент ще бъде перпендикулярен на равнината на основата пирамиди. Можете да опишете окръжност около четириъгълник, ако сборът от противоположните ъгли е 180°. Тогава центърът на такъв кръг ще лежи в пресечната точка на диагоналите на съответния

Как можете да построите пирамида? На повърхността РНека построим някакъв многоъгълник, например петоъгълника ABCDE. Извън самолета РДа вземем точка S. Като свържем точка S с отсечки към всички точки на многоъгълника, получаваме пирамидата SABCDE (фиг.).

Точка S се нарича Горна част, а многоъгълникът ABCDE е базатази пирамида. Така пирамида с връх S и основа ABCDE е обединението на всички сегменти, където M ∈ ABCDE.

Триъгълниците SAB, SBC, SCD, SDE, SEA се наричат странични лицапирамиди, общи аспектистранични лица SA, SB, SC, SD, SE - странични ребра.

Пирамидите се наричат триъгълен, четириъгълен, п-ъгъленв зависимост от броя на страните на основата. На фиг. Дадени са изображения на триъгълни, четириъгълни и шестоъгълни пирамиди.

Равнината, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата, се нарича диагонал, а получената секция е диагонал.На фиг. 186 едно от диагоналните сечения на шестоъгълната пирамида е защриховано.

Перпендикулярът, прекаран през върха на пирамидата към равнината на нейната основа, се нарича височина на пирамидата (краищата на този сегмент са върха на пирамидата и основата на перпендикуляра).

Пирамидата се нарича правилно, ако основата на пирамидата е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в нейния център.

Всички странични стени на правилна пирамида са еднакви равнобедрени триъгълници. В правилната пирамида всички странични ръбове са еднакви.

Височината на страничната страна на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх, се нарича апотемапирамиди. Всички апотеми на правилната пирамида са еднакви.

Ако обозначим страната на основата като А, и апотемата през ч, тогава площта на едната странична повърхност на пирамидата е 1/2 ах

Сумата от площите на всички странични стени на пирамидата се нарича площ на страничната повърхностпирамида и е обозначена със страна S.

защото странична повърхностправилната пирамида се състои от нтогава конгруентни лица

S страна = 1/2 ан= П ч / 2 ,

където P е периметърът на основата на пирамидата. следователно

S страна = П ч / 2

т.е. Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата.

Общата повърхност на пирамидата се изчислява по формулата

S = S ocn. + S страна. .

Обемът на пирамидата е равен на една трета от произведението на площта на нейната основа Socn. до височина H:

V = 1/3 S основно. Н.

Извеждането на тази и някои други формули ще бъде дадено в една от следващите глави.

Нека сега да изградим пирамида по различен начин. Нека е даден полиедърен ъгъл, например пентаедър, с връх S (фиг.).

Нека начертаем самолет Ртака че да пресича всички ръбове на даден полиедърен ъгъл в различни точки A, B, C, D, E (фиг.). Тогава пирамидата SABCDE може да се разглежда като пресечна точка на многостенен ъгъл и полупространство с границата Р, в който лежи върхът S.

Очевидно броят на всички лица на пирамидата може да бъде произволен, но не по-малко от четири. При пресичане на тристенен ъгъл с равнина се получава триъгълна пирамида, която има четири страни. Всяка триъгълна пирамида понякога се нарича тетраедър, което означава тетраедър.

Пресечена пирамидаможе да се получи, ако пирамидата се пресече с равнина, успоредна на равнината на основата.

На фиг. Дадено е изображение на четириъгълна пресечена пирамида.

Нар. пресечени пирамиди триъгълна, четириъгълна, n-ъгълнав зависимост от броя на страните на основата. От конструкцията на пресечена пирамида следва, че тя има две основи: горна и долна. Основите на пресечена пирамида са два многоъгълника, чиито страни са успоредни по двойки. Страничните стени на пресечената пирамида са трапецовидни.

Височинапресечена пирамида е перпендикулярен сегмент, изтеглен от всяка точка на горната основа към равнината на долната.

Правилна пресечена пирамиданаречена част от правилна пирамида, затворена между основата и равнина на сечение, успоредна на основата. Височината на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида (трапец) се нарича апотема.

Може да се докаже, че правилната пресечена пирамида има еднакви странични ръбове, всички странични лица са еднакви и всички апотеми са еднакви.

Ако е в правилно съкратено н-въглищна пирамида през АИ b nпосочете дължините на страните на горната и долната основа и през че дължината на апотемата, тогава площта на всяка странична повърхност на пирамидата е равна на

1 / 2 (А + b n) ч

Сумата от площите на всички странични лица на пирамидата се нарича площта на нейната странична повърхност и се обозначава като S страна. . Очевидно, за правилно съкратено н- въглищна пирамида

S страна = н 1 / 2 (А + b n) ч.

защото па= P и nb n= P 1 - периметрите на основите на пресечената пирамида, тогава

S страна = 1/2 (P + P 1) ч,

това означава, че площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида е равна на половината от произведението на сумата от периметрите на нейните основи и апотемата.

Разрез, успореден на основата на пирамидата

Теорема. Ако пирамидата е пресечена от равнина, успоредна на основата, тогава:

1) страничните ребра и височината ще бъдат разделени на пропорционални части;

2) в напречно сечение ще получите многоъгълник, подобен на основата;

3) площите на напречните сечения и основите са свързани като квадратите на техните разстояния от върха.

Достатъчно е да докажем теоремата за триъгълна пирамида.

Тъй като успоредните равнини се пресичат от трета равнина по успоредни прави, тогава (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (фиг.).

Успоредните линии нарязват страните на ъгъла на пропорционални части и следователно

$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Следователно ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 и

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 и

$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

По този начин,

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$

Съответните ъгли на триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1 са еднакви, като ъгли с успоредни и еднакви страни. Ето защо

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Площите на подобни триъгълници се отнасят като квадратите на съответните страни:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1 )\right|) $$

следователно

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Теорема. Ако две пирамиди с еднакви височини се изрежат на еднакво разстояние от върха с равнини, успоредни на основите, тогава площите на сеченията са пропорционални на площите на основите.

Нека (фиг. 84) B и B 1 са площите на основите на две пирамиди, H е височината на всяка от тях, bИ b 1 - зони на сечение по равнини, успоредни на основите и отстранени от върховете на същото разстояние ч.

Според предишната теорема ще имаме:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: и \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
където
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: или \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Последица.Ако B = B 1, тогава b = b 1, т.е. Ако две пирамиди с еднаква височина имат еднакви основи, то сеченията, разположени на еднакво разстояние от върха, също са равни.

Други материали

Текстът на работата е публикуван без изображения и формули.
Пълната версия на произведението е достъпна в раздела "Работни файлове" в PDF формат

Въведение

Когато срещнем думата „пирамида“, асоциативната ни памет ни отвежда в Египет. Ако говорим за ранни архитектурни паметници, можем да кажем, че техният брой е поне няколкостотин. Арабски писател от 13-ти век е казал: „Всичко в света се страхува от времето, а времето се страхува от пирамидите“. Пирамидите са единственото чудо от седемте чудеса на света, оцеляло до нашето време, до епохата компютърна технология. Изследователите обаче все още не са успели да намерят ключовете към всичките им мистерии. Колкото повече научаваме за пирамидите, толкова повече въпроси имаме. Пирамидите представляват интерес за историци, физици, биолози, лекари, философи и др. Те предизвикват голям интерес и насърчават по-задълбочено изследване на техните свойства, както от математическа, така и от друга гледна точка (историческа, географска и др.).

Ето защо предназначениеНашето изследване беше да проучим свойствата на пирамидата от различни гледни точки. Като междинни цели сме определили: разглеждане на свойствата на пирамидата от гледна точка на математиката, изследване на хипотези за съществуването на тайни и мистерии на пирамидата, както и възможностите за нейното приложение.

ОбектИзследването в тази работа е пирамида.

Вещизследване: характеристики и свойства на пирамидата.

Задачиизследване:

Проучване на научно-популярна литература по темата на изследването.

Разгледайте пирамидата като геометрично тяло.

Определете свойствата и характеристиките на пирамидата.

Намерете материал, потвърждаващ приложението на свойствата на пирамидата в различни областинауката и технологиите.

Методиизследване: анализ, синтез, аналогия, мислено моделиране.

Очакван резултат от работататрябва да има структурирана информация за пирамидата, нейните свойства и възможности за приложение.

Етапи на подготовка на проекта:

Определяне на темата, целите и задачите на проекта.

Проучване и събиране на материали.

Изготвяне на проектен план.

Формулиране на очаквания резултат от дейността по проекта, включително усвояването на нов материал, формирането на знания, умения и способности в предметната дейност.

Представяне на резултатите от изследването.

Отражение

Пирамидата като геометрично тяло

Нека разгледаме произхода на думата и термина „ пирамида" Веднага си струва да се отбележи, че „пирамидата“ или „ пирамида"(Английски), " пирамида"(френски, испански и славянски езици), "пирамида"(немски) е западен термин с произход от древна Гърция. На старогръцки πύραμίς („П ирамис"и много други. ч. Πύραμίδες « пирамиди") има няколко значения. Древните гърци са наричали пирамида» пшеничен кейк, наподобяващ формата на египетски сгради. По-късно думата започва да означава „монументална структура с квадратна площ в основата и наклонени страни, срещащи се на върха. Етимологичен речникпоказва, че гръцката "пирамида" идва от египетската " пимар."Първо писмено тълкуване на думата "пирамида"открит в Европа през 1555 г. и означава: „един от видовете древни структури на кралете“. След откриването на пирамидите в Мексико и с развитието на науката през 18 век пирамидата се превръща не просто в древен архитектурен паметник, но и в правилна геометрична фигура с четири симетрични страни (1716 г.). Началото на геометрията на пирамидата обаче е поставено в Древен Египет и Вавилон активно развитиеполучени в Древна Гърция. Първият, който установява обема на пирамидата, е Демокрит и го доказва Евдокс от Книд.

Първото определение принадлежи на древногръцкия математик, автор на теоретични трактати по математика, достигнали до нас, Евклид. В XII том на своите "Принципи" той определя пирамидата като плътна фигура, ограничена от равнини, които от една равнина (основа) се събират в една точка (връх). Но това определение беше критикувано още в древността. Така Херон предложи следното определение за пирамида: „Това е фигура, ограничена от триъгълници, събиращи се в една точка и чиято основа е многоъгълник.“

Има определение френски математикАдриен Мари Лежандр, който през 1794 г. в своята работа „Елементи на геометрията“ дефинира пирамидата по следния начин: „Пирамидата е плътна фигура, образувана от триъгълници, събиращи се в една точка и завършващи от различни страни на плоска основа.“

Съвременните речници тълкуват термина "пирамида" по следния начин:

	Полиедър, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници, които имат общ връх	Обяснителен речник на руския език, изд. Д. Н. Ушакова
	Тяло, ограничено от равни триъгълници, чиито върхове образуват една точка и образуват квадрат с основите си	Обяснителен речник на V.I. Dahl
	Многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх	Тълковен речник, изд. С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведова
	Многостен, чиято основа е многоъгълник и чиито странични лица са триъгълници, които имат общ връх	Т. Ф. Ефремов. Нов обяснителен и словообразуващ речник на руския език.
	Многостен, едното лице на който е многоъгълник, а другите лица са триъгълници с общ връх	Речник чужди думи
	Геометрично тяло, чиято основа е многоъгълник, а страните са толкова триъгълници, колкото страни има основата, събиращи се във върховете си в една точка.	Речник на чуждите думи на руския език
	Многостен, едно лице на който е плосък многоъгълник, а всички други лица са триъгълници, чиито основи са страните на основата на многоъгълника, а върховете се събират в една точка	Е. Brockhaus, I.A. Ефрон. енциклопедичен речник
	Полиедър, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници, които имат общ връх	Модерен Речник
	Многостен, едно от лицата на което е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх	Математически енциклопедичен речник

Анализирайки дефинициите на пирамидата, можем да заключим, че всички източници имат подобни формулировки:

Пирамидата е многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници, които имат общ връх. Въз основа на броя на ъглите на основата пирамидите се класифицират като триъгълни, четириъгълни и др.

Многоъгълник A 1 A 2 A 3 ... An е основата на пирамидата, а триъгълниците RA 1 A 2 , RA 2 A 3 , ..., RANA 1 са страничните стени на пирамидата, P е върхът на пирамида, сегменти RA 1 , RA 2 , ..., RAN - странични ребра.

Перпендикулярът, прекаран от върха на пирамидата към равнината на основата, се нарича височинапирамиди.

В допълнение към произволна пирамида има правилна пирамида, в основата на която има правилен многоъгълник и пресечена пирамида.

■ площОбщата повърхност на пирамида е сумата от площите на всички нейни лица. Sпълна = S страна + S основна, където S страна е сумата от площите на страничните повърхности.

Сила на звукапирамида се намира по формулата: V=1/3S main.h, където S main. - площ на основата, h - височина.

ДА СЕ свойства на пирамидатаотнасям се:

Когато всички странични ръбове са с еднакъв размер, тогава е лесно да се опише кръг около основата на пирамидата, като върхът на пирамидата е проектиран към центъра на този кръг; страничните ребра образуват равни ъгли с равнината на основата; Освен това е вярно и обратното, т.е. когато страничните ребра се образуват с равнината на основата равни ъгли, или когато кръг може да бъде описан близо до основата на пирамидата и върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг, което означава, че всички странични ръбове на пирамидата са с еднакъв размер.

Когато страничните стени имат ъгъл на наклон към равнината на основата със същата величина, тогава е лесно да се опише кръг около основата на пирамидата и върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг ; височините на страничните лица са с еднаква дължина; Площта на страничната повърхност е равна на половината от произведението на периметъра на основата и височината на страничната повърхност.

Пирамидата се нарича правилно, ако основата му е правилен многоъгълник, а върхът му е проектиран в центъра на основата. Страничните стени на правилна пирамида са равни, равнобедрени триъгълници (фиг. 2а). осна правилна пирамида е линията, съдържаща нейната височина. апотема -височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх.

Квадратстранично лице на правилна пирамида се изразява по следния начин: Sстрана. =1/2P h, където P е периметърът на основата, h е височината на страничната стена (апотема на правилна пирамида). Ако пирамидата е пресечена от равнината A’B’C’D’, успоредна на основата, тогава страничните ръбове и височината се разделят от тази равнина на пропорционални части; в напречно сечение се получава многоъгълник A’B’C’D’, подобен на основата; Площите на напречните сечения и основите са свързани като квадратите на техните разстояния от върха.

Пресечена пирамидасе получава чрез отрязване на горната му част от пирамидата с равнина, успоредна на основата (фиг. 2б). Основите на пресечената пирамида са подобни многоъгълници ABCD и A`B`C`D`, страничните стени са трапеци. Височината на пресечена пирамида е разстоянието между основите. Обемът на пресечена пирамида се намира по формулата: V = 1/3 h (S + + S'), където S и S' са площите на основите ABCD и A'B'C'D', h е височината.

Основите на правилната пресечена n-ъгълна пирамида са правилни n-ъгълници. Площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида се изразява, както следва: Sстрана. = ½(P+P’)h, където P и P’ са периметрите на основите, h е височината на страничната повърхност (апотема на правилна пресечена пирамида)

Сеченията на пирамида с равнини, минаващи през нейния връх, са триъгълници. Сечението, минаващо през два несъседни странични ръба на пирамидата, се нарича диагонално сечение. Ако сечението минава през точка от страничния ръб и страната на основата, тогава неговата следа към равнината на основата на пирамидата ще бъде тази страна. Разрез, минаващ през точка, лежаща върху лицето на пирамидата и дадена следа от сечение върху основната равнина, тогава конструкцията трябва да се извърши по следния начин: намерете точката на пресичане на равнината на даденото лице и следата от сечение на пирамидата и я обозначете; построяват права, минаваща през дадена точка и получената пресечна точка; повторете тези стъпки за следващите лица.

Правоъгълна пирамида -Това е пирамида, в която един от страничните ръбове е перпендикулярен на основата. В този случай този ръб ще бъде височината на пирамидата (фиг. 2в).

Правилна триъгълна пирамидае пирамида, чиято основа е правилен триъгълник, а горната част се проектира към центъра на основата. Частен случай на правилна триъгълна пирамида е тетраедър. (фиг. 2а)

Нека разгледаме теореми, свързващи пирамидата с други геометрични тела.

Сфера

Сфера може да бъде описана около пирамида, когато в основата на пирамидата има многоъгълник, около който може да се опише окръжност (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде пресечната точка на равнините, минаващи през средните точки на ръбовете на пирамидата, перпендикулярни на тях. От тази теорема следва, че една сфера може да бъде описана както около всяка триъгълна, така и около всяка правилна пирамида; Сфера може да бъде вписана в пирамида, когато ъглополовящите равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.

Конус

Конусът се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата му е вписана в основата на пирамидата. Освен това е възможно да се постави конус в пирамида само когато апотемите на пирамидата са равни една на друга (необходимо и достатъчно условие); Казва се, че конус е описан близо до пирамида, когато върховете им съвпадат и основата му е описана близо до основата на пирамидата. Освен това е възможно да се опише конус в близост до пирамида само когато всички странични ръбове на пирамидата са равни един на друг (необходимо и достатъчно условие); Височините на такива конуси и пирамиди са равни една на друга.

Цилиндър

Цилиндърът се нарича вписан в пирамида, ако едната му основа съвпада с окръжност, вписана в сечението на пирамидата от равнина, успоредна на основата, а другата основа принадлежи на основата на пирамидата. Казва се, че цилиндър е описан близо до пирамида, ако върхът на пирамидата принадлежи на една от нейните основи, а другата му основа е описана близо до основата на пирамидата. Освен това е възможно да се опише цилиндър близо до пирамида само ако в основата на пирамидата има вписан многоъгълник (необходимо и достатъчно условие).

Много често в своите изследвания учените използват свойствата на пирамидата със златни пропорции. Ще разгледаме как са използвани съотношенията на златното сечение при изграждането на пирамиди в следващия параграф, а тук ще се спрем на дефиницията на златното сечение.

Математическият енциклопедичен речник дава следното определение Златно сечение- това е разделянето на отсечката AB на две части по такъв начин, че по-голямата му част AC е средната пропорционална между цялата отсечка AB и по-малката му част CD.

Алгебричното определяне на златното сечение на сегмента AB = a се свежда до решаване на уравнението a:x = x:(a-x), от което x е приблизително равно на 0,62a. Съотношението x може да се изрази като дроби n/n+1= 0,618, където n е числото на Фибоначи, номерирано с n.

Златното сечение често се използва в произведения на изкуството, архитектурата и се среща в природата. Ярки примери са скулптурата на Аполон Белведере и Партенона. При изграждането на Партенона е използвано отношението на височината на сградата към нейната дължина и това съотношение е 0,618. Обектите около нас също дават примери за златното сечение, например подвързиите на много книги също имат съотношение на ширина към дължина, близко до 0,618.

Така, след като проучихме популярната научна литература по изследователския проблем, стигнахме до извода, че пирамидата е многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх. Разгледахме елементите и свойствата на пирамидата, нейните видове и връзката с пропорциите на златното сечение.

2. Характеристики на пирамидата

Така че в Големия енциклопедичен речник е написано, че пирамидата е монументална структура, която има геометрична форма на пирамида (понякога стъпаловидна или с форма на кула). Пирамидите са били името, дадено на гробниците на древните египетски фараони от 3-то - 2-ро хилядолетие пр.н.е. д., както и пиедестали на храмове в Централна и Южна Америка, свързани с космологични култове. Сред грандиозните пирамиди на Египет Голямата пирамида на фараона Хеопс заема специално място. Преди да започнем да анализираме формата и размера на Хеопсовата пирамида, трябва да си припомним каква система от мерки са използвали египтяните. Египтяните имали три единици за дължина: „лакът“ (466 мм), който се равнявал на седем „длани“ (66,5 мм), което от своя страна било равно на четири „пръста“ (16,6 мм).

Повечето изследователи са съгласни, че дължината на страната на основата на пирамидата, например GF, е равна на L = 233,16 m. Тази стойност съответства почти точно на 500 "лакти". Пълно съответствие с 500 „лакътя“ ще настъпи, ако дължината на „лакътя“ се счита за равна на 0,4663 m.

Височината на пирамидата (H) се оценява от изследователите различно от 146,6 до 148,2 m и в зависимост от приетата височина на пирамидата, всички отношения на нейните геометрични елементи се променят. Каква е причината за разликите в оценките за височината на пирамидата? Факт е, че Хеопсовата пирамида е пресечена. Горната му площадка днес е с размери приблизително 10х10 м, но преди век е била 6х6 м. Очевидно върхът на пирамидата е разглобен и не отговаря на оригиналния. При оценката на височината на пирамидата е необходимо да се вземе предвид такъв физически фактор като утаяването на конструкцията. За дълъг период от време, под въздействието на колосално налягане (достигащо 500 тона на 1 m 2 от долната повърхност), височината на пирамидата намалява в сравнение с първоначалната си височина. Оригиналната височина на пирамидата може да бъде пресъздадена чрез намиране на основна геометрична идея.

През 1837 г. английският полковник Г. Уайз измерва ъгъла на наклона на стените на пирамидата: той се оказва равен на a = 51°51". Тази стойност все още се признава от повечето изследователи днес. Посочената стойност на ъгълът съответства на тангенса (tg a), равна на 1,27306. Тази стойност съответства на съотношението на височината на пирамидата AC към половината от нейната основа CB, тоест AC / CB = H / (L / 2) = 2H /. Л.

И тук изследователите бяха за голяма изненада! Факт е, че ако вземем корен квадратен от златното сечение, получаваме следния резултат = 1,272. Сравнявайки тази стойност със стойността tg a = 1.27306, виждаме, че тези стойности са много близки една до друга. Ако вземем ъгъл a = 51°50", т.е. намалим го само с една дъгова минута, тогава стойността на a ще стане равна на 1,272, т.е. ще съвпадне със стойността. Трябва да се отбележи, че в 1840 Г. Уайз повтори измерванията си и изясни, че стойността на ъгъл a = 51°50".

Тези измервания доведоха изследователите до следната интересна хипотеза: основата на триъгълника ACB на пирамидата на Хеопс беше съотношението AC / CB = 1,272.

Нека сега разгледаме правоъгълен триъгълник ABC, в който отношението на катетите AC / CB = . Ако сега означим дължините на страните на правоъгълника ABC с x, y, z и също така вземем предвид, че съотношението y/x =, тогава в съответствие с Питагоровата теорема дължината z може да се изчисли по формулата:

Ако вземем x = 1, y = , тогава:

Правоъгълен триъгълник, в който страните са в съотношение t::1, се нарича "златен" правоъгълен триъгълник.

След това, ако вземем за основа хипотезата, че основната „геометрична идея“ на Хеопсовата пирамида е „златен“ правоъгълен триъгълник, тогава от тук лесно можем да изчислим „проектната“ височина на Хеопсовата пирамида. То е равно на:

H = (L/2)/= 148,28 m.

Нека сега изведем някои други отношения за Хеопсовата пирамида, произтичащи от „златната“ хипотеза. По-специално ще намерим съотношението на външната площ на пирамидата към площта на нейната основа. За да направим това, ние приемаме дължината на крака CB като едно, тоест: CB = 1. Но тогава дължината на страната на основата на пирамидата е GF = 2, а площта на основата EFGH ще е равно на S EFGH = 4.

Нека сега изчислим площта на страничната стена на Хеопсовата пирамида S D . Тъй като височината AB на триъгълник AEF е равна на t, площта на страничната повърхност ще бъде равна на S D = t. Тогава общата площ на всичките четири странични стени на пирамидата ще бъде равна на 4t, и съотношението на общата външна площ на пирамидата към площта на основата ще бъде равно на златното сечение. Това е основната геометрична загадка на Хеопсовата пирамида.

И също така, по време на строежа на египетските пирамиди беше установено, че квадрат, построен на височината на пирамидата, е точно равна на площвсеки от страничните триъгълници. Това се потвърждава от последните измервания.

Знаем, че връзката между дължината на окръжност и нейния диаметър е постоянна величина, добре позната на съвременните математици и ученици – това е числото „Пи” = 3,1416... Но ако съберем четирите страни на основата, на Хеопсовата пирамида, получаваме 931,22 м. Разделяйки това число на удвоената височина на пирамидата (2x148,208), получаваме 3,1416..., тоест числото „Пи”. Следователно пирамидата на Хеопс е ​​единствен по рода си паметник, който представлява материалното въплъщение на числото „Пи“, което играе важна роля в математиката.

По този начин наличието на златното сечение в размерите на пирамидата - отношението на двойната страна на пирамидата към нейната височина - е число, много близко по стойност до числото π.Това несъмнено също е функция. Въпреки че много автори смятат, че това съвпадение е случайно, тъй като частта 14/11 е „добро приближение за корен квадратенот съотношението на златното сечение и за съотношението на площите на вписаните в него квадрат и кръг."

Тук обаче е некоректно да се говори само за египетските пирамиди. Има не само египетски пирамиди, на Земята има цяла мрежа от пирамиди. Основните паметници (египетските и мексиканските пирамиди, Великденският остров и комплексът Стоунхендж в Англия) на пръв поглед са разпръснати хаотично из нашата планета. Но ако в изследването бъде включен тибетският комплекс от пирамиди, тогава се появява строга математическа система за тяхното местоположение на повърхността на Земята. На фона на Хималайската верига ясно се откроява пирамидална формация - връх Кайлаш. Много интересно е разположението на град Кайлаш, египетските и мексиканските пирамиди, а именно – ако свържете град Кайлаш с мексиканските пирамиди, то линията, която ги свързва, отива към Великденския остров. Ако свържете град Кайлаш с египетските пирамиди, тогава линията на връзката им отново минава към Великденския остров. Очертана точно една четвърт глобус. Ако обединим мексиканската и египетската пирамида, ще видим две равен триъгълник. Ако намерите техните площи, тогава сумата им е равна на една четвърт от площта на земното кълбо.

Разкрита е безспорна връзка между тибетския пирамиден комплекс с други структуриантичност – египетските и мексиканските пирамиди, колосите на Великденския остров и комплексът Стоунхендж в Англия. Височината на главната пирамида на Тибет - планината Кайлаш - е 6714 метра. Разстояние Кайлаш до Северен полюсравно на 6714 километра, разстоянието от Кайлаш до Стоунхендж е 6714 километри Ако поставим тези на земното кълбо от Северния полюс 6714 километра, след което ще стигнем до така наречената Дяволска кула, която прилича на пресечена пирамида. И накрая точно 6714 километра от Стоунхендж до Бермудския триъгълник.

В резултат на тези изследвания можем да заключим, че на Земята съществува пирамидално-географска система.

По този начин функциите включват съотношението на общата външна площ на пирамидата към площта на основата ще бъде равно на златното сечение;наличието в размерите на пирамидата на златното сечение - отношението на двойната страна на пирамидата към нейната височина - е число, много близко по стойност до числото π, т.е. пирамидата на Хеопс е ​​единствен по рода си паметник, който представлява материалното въплъщение на числото „Пи”; съществуването на пирамидално-географска система.

3. Други свойства и приложения на пирамидата.

Нека разгледаме практическото приложение на тази геометрична фигура. Например, холограма.Първо, нека да разгледаме какво е холография. Холография -набор от технологии за точно записване, възпроизвеждане и преоформяне на оптични вълнови полета електромагнитно излъчване, специална фотографска техника, при която се използва лазер за записване и след това реконструиране на изображения на триизмерни обекти, които са много подобни на истинските. Холограмата е продукт на холографията, триизмерно изображение, създадено с помощта на лазер, който възпроизвежда изображение на триизмерен обект. С помощта на правилна пресечена тетраедрична пирамида можете да пресъздадете изображение - холограма. Създаден е фотофайл и правилна пресечена тетраедрична пирамида от полупрозрачен материал. Прави се малка вдлъбнатина от най-долния пиксел и средния спрямо ординатната ос. Тази точка ще бъде средата на страната на квадрата, образуван от сечението. Снимката се мултиплицира, като нейните копия се позиционират по същия начин спрямо останалите три страни. Поставете пирамидата върху квадрата със сечението надолу, така че да съвпада с квадрата. Мониторът генерира светлинна вълна, всяка от четири еднакви снимки, намирайки се в равнина, която е проекция на лицето на пирамидата, попада върху самото лице. В резултат на всяко от четирите лица имаме идентични изображения и тъй като материалът, от който е направена пирамидата, има свойството прозрачност, вълните сякаш се пречупват, срещайки се в центъра. В резултат на това получаваме същия модел на смущения стояща вълна, чиято централна ос или оста на въртене е височината на правилна пресечена пирамида. Този метод работи и с видео изображения, тъй като принципът на работа остава непроменен.

Имайки предвид специални случаи, можете да видите, че пирамидата се използва широко в ежедневието, дори в домакинство. Пирамидалната форма се среща често, предимно в природата: растения, кристали, молекулата на метана има формата на правилна триъгълна пирамида - тетраедър,Единичната клетка на диамантен кристал също е тетраедър, с въглеродни атоми, разположени в центъра и четири върха. Пирамидите се намират у дома и в детските играчки. Бутоните и компютърните клавиатури често приличат на четириъгълна пресечена пирамида. Те могат да се видят под формата на елементи на сгради или самите архитектурни конструкции, като полупрозрачни покривни конструкции.

Нека да разгледаме още няколко примера за използването на термина "пирамида"

Екологични пирамиди- това са графични модели (обикновено под формата на триъгълници), отразяващи броя на индивидите (пирамида от числа), количеството на тяхната биомаса (пирамида от биомаса) или енергията, съдържаща се в тях (пирамида от енергия) на всеки трофично нивои показва намаляване на всички показатели с повишаване на трофичното ниво

Информационна пирамида.Той отразява йерархията на различните видове информация. Предоставянето на информация е структурирано съгласно следната пирамидална схема: на върха са основните индикатори, чрез които можете ясно да проследите темпото на движение на предприятието към избраната цел. Ако нещо не е наред, тогава можете да отидете на средното ниво на пирамидата - обобщени данни. Те изясняват картината за всеки показател поотделно или в комбинация един с друг. Използвайки тези данни, можете да определите възможното местоположение на повреда или проблем. За още пълна информациятрябва да отидете до основата на пирамидата - Подробно описаниесъстояния на всички процеси в числова форма. Тези данни помагат да се идентифицира причината за проблема, така че той да може да бъде коригиран и избегнат в бъдеще.

Таксономия на Блум.Таксономията на Блум предлага класификация на задачите под формата на пирамида, която учителите поставят на учениците, и съответно целите на обучението. Тя разделя образователни целив три области: когнитивна, афективна и психомоторна. Във всяка отделна сфера, за да се премине към по-високо ниво, е необходим опит от предишните нива, обособени в тази сфера.

Финансова пирамида- специфично явление икономическо развитие. Името "пирамида" ясно илюстрира ситуацията, когато хората "в дъното" на пирамидата дават пари на малкия връх. Освен това всеки нов участник плаща, за да увеличи възможността за издигане до върха на пирамидата

Пирамида на нуждитеМаслоу отразява един от най-популярните и известни теориимотивация - йерархична теория потребности. Нуждите на Маслоуразпределени, докато се увеличават, обяснявайки тази конструкция с факта, че човек не може да изпитва нужди високо ниво, засега има нужда от по-примитивни неща. Тъй като нуждите от по-ниско ниво се задоволяват, потребностите от по-високо ниво стават все по-актуални, но това не означава, че мястото на предишната потребност се заема от нова само когато предишната е напълно удовлетворена.

Друг пример за използването на термина „пирамида“ е хранителна пирамида -схематично представяне на принципите здравословно храненеразработена от специалисти по хранене. Храните в основата на пирамидата трябва да се консумират възможно най-често, докато храните на върха на пирамидата трябва да се избягват или да се консумират в ограничени количества.

По този начин всичко по-горе показва разнообразието от приложения на пирамидата в живота ни. Може би пирамидата има много повече висока цел, и е предназначен за нещо повече от практическите употреби, които в момента са отворени.

Заключение

Постоянно срещаме пирамиди в живота си – това са древноегипетски пирамиди и играчки, с които си играят децата; обекти на архитектурата и дизайна, естествени кристали; вируси, които могат да се видят само с електронен микроскоп. През многото хилядолетия на своето съществуване пирамидите са се превърнали в своеобразен символ, олицетворяващ желанието на човека да достигне върха на знанието.

По време на проучването установихме, че пирамидите са доста често срещано явление по целия свят.

Проучихме популярна научна литература по темата на изследването, разгледахме различни тълкувания на термина „пирамида“, установихме, че в геометричен смисъл пирамидата е многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх. Изследвахме видовете пирамиди (правилна, пресечена, правоъгълна), елементи (апотема, странични лица, странични ръбове, връх, височина, основа, диагонално сечение) и свойствата на геометричните пирамиди, когато страничните ръбове са равни и когато страничните лица са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл. Разгледахме теореми, свързващи пирамидата с други геометрични тела (сфера, конус, цилиндър).

Включихме следните характеристики на пирамидата:

съотношението на общата външна площ на пирамидата към площта на основата ще бъде равно на златното сечение;

наличието в размерите на пирамидата на златното сечение - отношението на двойната страна на пирамидата към нейната височина - е число, много близко по стойност до числото π, т.е. пирамидата на Хеопс е ​​единствен по рода си паметник, който представлява материалното въплъщение на числото „Пи”;

съществуването на пирамидално-географска система.

Проучихме съвременната употреба на тази геометрична фигура. Разгледахме как са свързани пирамидата и холограмата и забелязахме, че пирамидалната форма най-често се среща в природата (растения, кристали, молекули метан, структурата на диамантената решетка и др.). По време на проучването се натъкнахме на материали, потвърждаващи използването на свойствата на пирамидата в различни области на науката и технологиите, в ежедневието на хората, в анализа на информацията, в икономиката и в много други области. И те стигнаха до заключението, че може би пирамидите имат много по-висока цел и са предназначени за нещо по-голямо от практическите начини за тяхното използване, които сега са открити.

Библиография.

Ван дер Ваерден, Бартел Леендърт. Пробуждане на науката. Математиката на Древен Египет, Вавилон и Гърция. [Текст]/ Б. Л. Ван дер Ваерден - КомКнига, 2007г

Волошинов А.В. Математика и изкуство. [Текст]/ А.В.Волошинов - Москва: “Просвещение” 2000г.

Световната история(енциклопедия за деца). [Текст]/ - М.: “Аванта+”, 1993г.

Халограма . [Електронен ресурс] - https://hi-news.ru/tag/hologramma - статия в Интернет

Геометрия [Текст]: Учебник. 10-11 клас за учебни заведения Атанасян Л.С., В.Ф.Бутузов и др. - 22-ро издание. - М.: Образование, 2013.

Копенс Ф. Нова ерапирамиди [Текст]/ Ф. Копенс - Смоленск: Русич, 2010

Математически енциклопедичен речник. [Текст]/ А. М. Прохоров и др. - М.: Съветска енциклопедия, 1988.

Мулдашев Е. Р. Световна системапирамидите и паметниците на древността ни спасиха от края на света, но ... [Текст] / Е. Р. Мулдашев - М.: “AiF-Print”; М.: “ОЛМА-ПРЕС”; Санкт Петербург: Издателство "Нева"; 2003 г.

Перелман Я. И. Занимателна аритметика. [Текст]/ Я. И. Перелман - М.: Центрполиграф, 2017

Райхард Г. Пирамиди. [Текст]/ Ханс Райхард – М.: Слово, 1978г

Тера-лексикон. Илюстрован енциклопедичен речник. [Текст]/ - М.: ТЕРРА, 1998.

Томпкинс П. Тайните на Великата пирамида на Хеопс. [Текст]/ Питър Томпкинс. - М.: "Центрополиграф", 2008 г

Уваров В. Магически свойства на пирамидите. [Текст]/ В. Уваров - Лениздат, 2006г.

Sharygin I.F.. Геометрия 10-11 клас. [Текст]/ И.Ф. Шаригин:. - М: "Просвещение", 2000 г

Яковенко М. Ключът към разбирането на пирамидата [Електронен ресурс] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html - статия в Интернет.