Hoy aprenderemos cómo cuadrar rápidamente expresiones grandes sin calculadora. Por grande me refiero a números que van del diez al cien. Las expresiones grandes son extremadamente raras en problemas reales y ya sabes cómo contar valores menores a diez, porque esta es una tabla de multiplicar normal. El material de la lección de hoy será útil para estudiantes bastante experimentados, porque los principiantes simplemente no apreciarán la velocidad y efectividad de esta técnica.
Primero, averigüemos de qué estamos hablando en general. Como ejemplo, propongo construir una expresión numérica arbitraria, como hacemos habitualmente. Digamos 34. Lo subimos multiplicándolo por sí mismo con una columna:
\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]
1156 es el cuadrado 34.
El problema con este método se puede describir en dos puntos:
1) requiere documentación escrita;
2) es muy fácil cometer un error durante el proceso de cálculo.
Hoy aprenderemos a multiplicar rápidamente sin calculadora, de forma oral y prácticamente sin errores.
Entonces empecemos. Para trabajar, necesitamos la fórmula para el cuadrado de la suma y la diferencia. Anotémoslos:
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
¿Qué nos aporta esto? El hecho es que cualquier valor en el rango de 10 a 100 se puede representar como el número $a$, que es divisible por 10, y el número $b$, que es el resto de la división entre 10.
Por ejemplo, 28 se puede representar de la siguiente manera:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]
Presentamos los ejemplos restantes de la misma manera:
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]
¿Qué nos dice esta idea? El caso es que con una suma o una diferencia podemos aplicar los cálculos descritos anteriormente. Por supuesto, para acortar los cálculos, para cada elemento debes elegir la expresión con el segundo término más pequeño. Por ejemplo, de las opciones $20+8$ y $30-2$, debes elegir la opción $30-2$.
De manera similar seleccionamos opciones para los ejemplos restantes:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]
¿Por qué deberíamos esforzarnos por reducir el segundo término al multiplicar rápidamente? Se trata de los cálculos iniciales del cuadrado de la suma y la diferencia. El hecho es que el término $2ab$ con más o menos es el más difícil de calcular al resolver problemas reales. Y si el factor $a$, múltiplo de 10, siempre se multiplica fácilmente, entonces con el factor $b$, que es un número que va del uno al diez, muchos estudiantes suelen tener dificultades.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Entonces en tres minutos hicimos la multiplicación de ocho ejemplos. Eso es menos de 25 segundos por expresión. En realidad, después de un poco de práctica, contarás aún más rápido. No le llevará más de cinco a seis segundos calcular cualquier expresión de dos dígitos.
Pero eso no es todo. Para aquellos a quienes la técnica mostrada no les parece lo suficientemente rápida y genial, les propongo un método de multiplicación aún más rápido, que, sin embargo, no funciona para todas las tareas, sino solo para aquellas que difieren en uno de los múltiplos de 10. En nuestra lección hay cuatro valores de este tipo: 51, 21, 81 y 39.
Parecería mucho más rápido, ya los contamos literalmente en un par de líneas. Pero, de hecho, es posible acelerar y se hace de la siguiente manera. Anotamos el valor que sea múltiplo de diez, que se acerque más a lo que necesitamos. Por ejemplo, tomemos 51. Por lo tanto, para empezar, construyamos cincuenta:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Los múltiplos de diez son mucho más fáciles de elevar al cuadrado. Y ahora simplemente sumamos a la expresión original cincuenta y 51. La respuesta será la misma:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
Y así con todos los números que difieren en uno.
Si el valor que buscamos es mayor que el que estamos contando, entonces sumamos números al cuadrado resultante. Si el número deseado es menor, como en el caso de 39, al realizar la acción es necesario restar el valor del cuadrado. Practiquemos sin usar calculadora:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Como puedes ver, en todos los casos las respuestas son las mismas. Además, esta técnica es aplicable a cualquier valor adyacente. Por ejemplo:
\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]
Al mismo tiempo, no necesitamos recordar los cálculos de los cuadrados de la suma y la diferencia y usar una calculadora. La velocidad del trabajo está más allá de cualquier elogio. Por lo tanto, recuerde, practique y utilice en la práctica.
Puntos clave
Con esta técnica, puedes multiplicar fácilmente cualquier número natural entre 10 y 100. Además, todos los cálculos se realizan de forma oral, sin calculadora e incluso sin papel.
Primero, recuerda los cuadrados de los valores que son múltiplos de 10:
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(alinear)\]
\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(alinear)\]
\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(alinear)\]
Cómo contar aún más rápido
¡Pero eso no es todo! Usando estas expresiones, puedes elevar instantáneamente números "adyacentes" a los de referencia. Por ejemplo, conocemos 152 (valor de referencia), pero necesitamos encontrar 142 (un número adyacente que es uno menos que el valor de referencia). Anotémoslo:
\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(alinear)\]
Tenga en cuenta: ¡sin misticismo! Los cuadrados de números que difieren en 1 en realidad se obtienen multiplicando los números de referencia por sí mismos restando o sumando dos valores:
\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(alinear)\]
¿Por qué está pasando esto? Escribamos la fórmula para el cuadrado de la suma (y la diferencia). Sea $n$ nuestro valor de referencia. Luego se calculan así:
\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]
- esta es la fórmula.
\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]
- una fórmula similar para números mayores que 1.
Espero que esta técnica le ahorre tiempo en todas sus pruebas y exámenes de matemáticas de alto riesgo. Y eso es todo para mí. ¡Nos vemos!
El cuadrado de un número es el resultado de una operación matemática que eleva este número a la segunda potencia, es decir, multiplica este número por sí mismo una vez. Se acostumbra designar dicha operación de la siguiente manera: Z2, donde Z es nuestro número, 2 es el grado de "cuadrado". Nuestro artículo te dirá cómo calcular el cuadrado de un número.
calcular el cuadrado
Si el número es simple y pequeño, entonces es fácil hacerlo mentalmente o usando la tabla de multiplicar, que todos conocemos bien. Por ejemplo:
42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.
Si el número es grande o "enorme", entonces puedes usar la tabla de cuadrados que todos aprendieron en la escuela o una calculadora. Por ejemplo:
122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.
Además, para obtener el resultado requerido para los dos ejemplos anteriores, puedes multiplicar estos números en una columna.
Para obtener el cuadrado de cualquier fracción debes:
- Convierte una fracción (si la fracción tiene una parte entera o es decimal) en una fracción impropia. Si la fracción es correcta, entonces no es necesario convertir nada.
- Multiplica el denominador por el denominador y el numerador por el numerador de la fracción.
Por ejemplo:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17)2 = (14x14)/(17x17) = 196/289.
En cualquiera de estas opciones, la forma más sencilla es utilizar una calculadora. Para hacer esto necesitas:
- Escribe un número en el teclado
- Haga clic en el botón con el signo “multiplicar”
- Pulsa el botón con el signo igual.
También puedes utilizar siempre motores de búsqueda de Internet, como Google. Para hacer esto, simplemente ingrese la consulta correspondiente en el campo del motor de búsqueda y obtenga un resultado listo.
Por ejemplo: para calcular el cuadrado del número 9,17, debes escribir 9,17*9,17, o 9,17^2, o “9,17 al cuadrado” en el motor de búsqueda. En cualquiera de estas opciones, el motor de búsqueda le dará el resultado correcto: 84.0889.
¡Ahora ya sabes cómo calcular el cuadrado de cualquier número que te interese, ya sea un número entero o una fracción, ya sea grande o pequeño!
Fórmulas de multiplicación abreviadas.
Estudiar fórmulas de multiplicación abreviadas: el cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia de dos expresiones; diferencia de cuadrados de dos expresiones; cubo de la suma y cubo de la diferencia de dos expresiones; sumas y diferencias de cubos de dos expresiones.
Aplicación de fórmulas de multiplicación abreviadas en la resolución de ejemplos.
Para simplificar expresiones, factorizar polinomios y reducir polinomios a su forma estándar, se utilizan fórmulas de multiplicación abreviadas. Las fórmulas de multiplicación abreviadas deben saberse de memoria.
Sea a, b R. Entonces:
1. El cuadrado de la suma de dos expresiones es igual a el cuadrado de la primera expresión más el doble del producto de la primera expresión y el segundo más el cuadrado de la segunda expresión.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. El cuadrado de la diferencia de dos expresiones es igual a el cuadrado de la primera expresión menos el doble del producto de la primera expresión y el segundo más el cuadrado de la segunda expresión.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. diferencia de cuadrados dos expresiones es igual al producto de la diferencia de estas expresiones y su suma.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. cubo de suma dos expresiones es igual al cubo de la primera expresión más el triple del producto del cuadrado de la primera expresión y la segunda más el triple del producto de la primera expresión y el cuadrado de la segunda más el cubo de la segunda expresión.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. cubo de diferencia dos expresiones es igual al cubo de la primera expresión menos el triple del producto del cuadrado de la primera expresión y la segunda más el triple del producto de la primera expresión y el cuadrado de la segunda menos el cubo de la segunda expresión.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. suma de cubos dos expresiones es igual al producto de la suma de la primera y segunda expresiones y el cuadrado incompleto de la diferencia de estas expresiones.
un 3 + segundo 3 = (a + segundo) (un 2 - ab + segundo 2)
7. diferencia de cubos dos expresiones es igual al producto de la diferencia de la primera y segunda expresión por el cuadrado incompleto de la suma de estas expresiones.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Aplicación de fórmulas de multiplicación abreviadas en la resolución de ejemplos.
Ejemplo 1.
Calcular
a) Usando la fórmula para el cuadrado de la suma de dos expresiones, tenemos
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Usando la fórmula del cuadrado de la diferencia de dos expresiones, obtenemos
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Ejemplo 2.
Calcular
Usando la fórmula para la diferencia de los cuadrados de dos expresiones, obtenemos
Ejemplo 3.
Simplificar una expresión
(x - y) 2 + (x + y) 2
Usemos las fórmulas para el cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia de dos expresiones.
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Fórmulas de multiplicación abreviadas en una tabla:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
un 3 + segundo 3 = (a + segundo) (un 2 - ab + segundo 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
