El problema de calcular el número de boletos afortunados se conoce desde hace mucho tiempo. Fue preguntado por casi cualquier estudiante de aprendizaje de programación. En Internet puedes encontrar muchas de sus soluciones en diferentes lenguajes de programación. Todas estas opciones se reducen a clasificar todos los boletos existentes y verificar su "felicidad". Hay un millón de opciones.
Pero este problema se puede resolver de otra manera, pasando por solo mil opciones.
Permítanme recordarles que los boletos son de suerte, la suma de los primeros tres dígitos del número es igual a la suma de los últimos tres dígitos del número. Por ejemplo, el billete número "546780" tiene suerte porque la suma de los primeros tres dígitos (5+4+6) es igual a la suma de los últimos tres dígitos (7+8+0). El problema es determinar cuántos billetes de la suerte hay.
En todos los ejemplos se resuelve de frente, pero ¿y si vamos por el otro lado? Respondamos primero a otra pregunta. ¿Cuántas combinaciones diferentes de tres dígitos (tres) hay que suman norte? Para responder a esta pregunta, debe pasar por todos los triples posibles (mil opciones).
La suma de cualquier triplete está entre cero (0+0+0) y 27 (9+9+9). Por lo tanto, puede preparar una matriz de sumas:
{n_0, n_1, n_2, n_3, …., n_25, n_26, n_27}
donde norte _ I- el número de trillizos que suman I. En este caso, la suma de los dígitos es igual al índice de este elemento en la matriz.
Está bien, prepararemos tal conjunto, pero ¿qué tiene esto que ver con las entradas? Consideremos un caso especial. total existe n_25 triples que suman 25. Para cada uno de esos triples, existe n_25 triples, cuando se combinan con cada uno de los cuales dará como resultado un número de la suerte. Por lo tanto, hay n_25*n_25 boletos de la suerte, cuya suma de los tres primeros dígitos es 25. Lo mismo ocurre con otras cantidades. Por lo tanto, el número total de billetes de la suerte es igual a:
n_0*n_0 + n_1*n_1 + …. + n_26*n_26 + n_27*n_27
A continuación se muestra el código fuente completo de la aplicación que implementa este algoritmo.
#incluir
El código está bien comentado, por lo que no deberían surgir dudas.
Mirando la matriz de sumas, podemos hacer dos observaciones.
1. Es simétrico:
n_13 = n_14,
n_12 = n_15,
n_11 = n_16,
n_10 = n_17,
………………
n_1 = n_26,
n_0 = n_27.
2. Sobre todo hay boletos, la suma de los primeros tres dígitos de los cuales es 13 y 14 (hay 75 de ellos).
Se prepara una matriz de sumas de 28 elementos en una pasada de triples. Por lo tanto, para calcular el número de boletos de la suerte, basta con clasificar 1000 opciones.
La mayoría de los estudiantes son muy conscientes de lo que es un "boleto de la suerte". Sí, y los escolares a menudo también. Es cierto, qué son exactamente y qué hacer con ellos; aquí las opiniones difieren con mayor frecuencia.
Ante todo, "estudiante feliz" se considera un boleto, cuyas respuestas conoce. Ni siquiera vayas con tu abuela aquí: tuviste suerte en el examen, sacaste un boleto de la suerte y lo aprobaste la primera vez, aunque de cien preguntas, solo estos dos lograron aprender. Sí, respondió tan rápido que el maestro, cansado de "ser-canning y me-canning", ni siquiera te escuchó hasta el final, te envió con un cinco en el libro de registro y con instrucciones para los restantes: "¡Aquí! ¡Mira y aprende cómo pasar la materia! ¡Toma un ejemplo de este buen hombre!"
Esto es lo que entiendo - "boleto feliz"!
Pero hay boletos, también son cupones de viaje, que se consideran felices o hermosos. El segundo es extremadamente raro. ¡La mayoría de las veces se les llama precisamente "felices"! ¿Qué tipo de entradas se consideran como tales?
En primer lugar, y este es un caso extremadamente raro, un boleto se considera afortunado si los dígitos del número son iguales o simétricos.
Por ejemplo: 555555
o 252252
. Hay una simetría completa.
Pero a veces la simetría es incompleta o especular. Por ejemplo como este: 251251
- los números están dispuestos simétricamente aquí, pero los números no lo están.
En cualquier caso, los ejemplos anteriores son realmente "contento" Entradas. ¿Hay muchos de ellos? Bueno, creo que puedes calcular fácilmente eso muy, muy poco: mil por millón, o cada milésima entrada. La probabilidad de que dicho billete caiga en manos de un pasajero es extremadamente pequeña. Hasta ahora, solo he recibido dos boletos de este tipo en mi vida, aunque viajo en transporte público con bastante frecuencia,
¿Quieres felicidad? Por lo tanto, los pasajeros dudosos e ingeniosos en el aburrimiento del camino inmediatamente encontraron otras opciones para la "felicidad". Por ejemplo, solo los mismos números en el número, dispuestos en orden aleatorio: 251521
, por ejemplo. Aquí no hay simetría, pero todos los números están presentes. Es más. Se consideraba afortunado un billete cuya suma de los tripletes de dígitos es la misma. Por ejemplo, 474195:
4+7+4=15= 1+9+5
1. Ejemplos de billetes, "feliz en suma":
Nuevamente, todos saben que se encuentran tales boletos, aunque no todos los días, pero con bastante frecuencia. Aproximadamente cada boleto número 18 es "feliz en términos de cantidad". Y si viaja constantemente, entonces se reúnen al menos una vez a la semana. De alguna manera realicé un pequeño experimento: no lo tiré, sino que puse estos boletos en el bolsillo de mi bolso para contarlos al final del mes. Fue hace mucho tiempo, no recuerdo exactamente cuántos, pero en un mes tenía al menos diez. Teniendo en cuenta que viajo en transporte municipal en promedio dos o tres veces al día (el resto del tiempo son minibuses, y por alguna razón no se acostumbra a emitir boletos allí), resulta que cada 6-9 viajes son "recompensados". "con una felicidad tan simple. Bueno, o un boleto en tres días. Pero esto, verá, acabo de tener un buen mes, porque cada boleto número 18 debería aparecer como si fuera menos frecuente.
De hecho, hay momentos en que no se captura ni uno solo en un mes. ¿Entonces lo que hay que hacer? Y la necesidad de inventos es astuta. Por ejemplo, hay boletos "feliz en Moscú"(ellos son - "en Leningrado") es cuando no se cuentan los triples de los números, sino sus pares. Por ejemplo, la suma de todos los números pares con impares: 6 3
49
86
.
Aquí:
3+9+6= 18= 6+4+8
¿Qué opinas, es posible, además de además, aplicar la operación sustracción? ¡Por supuesto que puede! Lo principal es decidir por sí mismo cómo restar, en orden o de mayor a menor: 720821 . Aquí:
7-2-0=5= 8-2-1
Pero… no es costumbre que “sustraigamos la felicidad” de alguna manera. ¡Es mejor cuando se suma o incluso se multiplica!
Así que se me ocurrió otro tipo de boletos de la suerte para mí: "suerte por multiplicación"!
Es suficiente multiplicar los números en trillizos para obtener un adicional "multiplicador" alegría. Por ejemplo: 338924.
Aquí:
3*3*8=72= 9*2*4
¡Úsalo en la salud! Pero, ¿por qué sumas todo y lo sumas? ¡También puedes multiplicar!
Upd: ¡Además, no puedes simplemente multiplicar! Aquí en los comentarios docbrowns ¡Me di cuenta de que también puedes elevar a una potencia! Por ejemplo 261812 :
(2^6)^1 = 64 = (8^1)^2
Y esto todavía muchas veces aumenta tanto las posibilidades de "encontrar la felicidad" como el entretenimiento del viaje.
2. Ejemplo de billete, "suerte por multiplicación" a la: 
Si utiliza el transporte público, eche un vistazo más de cerca a los pasajeros. Muy, muy a menudo se puede ver cómo, cuando reciben un billete, empiezan a estudiar sus números. Todo el mundo busca la felicidad... ¿Y entonces qué hacer con ella? Una vez escuché una conversación entre dos chicas que iban a la prueba: "¡Vaya! ¡Tengo un boleto de la suerte!" exclamó uno. "¡Cómelo! ¡Entonces pasarás la prueba!" - respondió inmediatamente el segundo. Cierto, me reí. Mejor esperaban que feliz "estudiante" el billete que mencioné al principio. Y aún mejor, para que las cincuenta entradas del curso sean felices para ellos. Pero... prefieren comer trolebuses que dar conferencias.
¡Tipo! No hay necesidad de comer cupones! Ni siquiera es útil en absoluto. Y no te traerá felicidad. Trate a los boletos de la suerte más fácilmente: tiempo se enamoró de ti, entonces la felicidad no vendrá, no - tú ya feliz o, más simplemente, afortunado¡humano! Eso es todo. Esto es solo una excusa para mejorar un poco tu estado de ánimo. No crea en las señales: no siempre se basan en hechos y, a menudo, también pueden causar daño, ¡especialmente si comienza a comer flores de cuatro hojas del suelo o cupones de papel reciclado en el autobús! Como en ese chiste: comió un boleto de la suerte, y luego llegó la felicidad: ¡entró el controlador!
Trate los "boletos de la suerte" como una forma de pasar un poco el tiempo del viaje con ejercicios aritméticos, y como una razón adicional para regocijarse en él.
Por cierto, nota para papás y mamás: es muy útil informar a los niños sobre tales ejercicios. No les gusta mucho contar mentalmente en la escuela, así que al menos déjalos divertirse en los trolebuses, sumando o multiplicando números. Y a los adultos tampoco les vendrá mal: tanto en fila como a través de uno, asimilando los conceptos de paridad, simetría, multiplicidad… Y tampoco te puedes olvidar de la resta con división. En cualquier caso, para el desarrollo del niño, estos divertidos rompecabezas no harán daño.
Y si no tiene suerte con un boleto, ¡no se desanime! ¡Hay tantos autos con "números de la suerte" conduciendo por la calle!
¡Buena suerte para ti y felicidad!
"Boleto feliz"
Estamos todos en el transporte. De camino al trabajo, a casa, a un lugar de descanso y
etc. Y muy a menudo compramos un billete, que tiene en la mayoría
casos número de seis dígitos. Al sumar los primeros tres dígitos del número de boleto y
comparándolos con la suma del segundo triple de números, determinamos “felicidad”
este boleto Con un número de la "suerte", todo está más o menos claro y
la mayoría sabe ¿Qué pasa con otros números distintos de cero? Está claro que
la diferencia de números varía de 0 a 27. Así nació esta tableta...
La acción del boleto es trivial (por cierto, ¡no es necesario comerlo en absoluto!) -
el billete es válido durante 24 horas desde el momento de la activación o hasta la compra
siguiente billete con un número sin sentido. Activación de boletos
ocurre después de contar el número y darse cuenta de su significado, por lo que
digamos, un ritual mágico.
(Nota: Si el próximo boleto tiene un valor independiente, y
el anterior aún no se ha extinguido: un valor se superpone a otro. Bien,
por ejemplo, tomó un boleto con una diferencia de números = 1 = - lo que significa
fecha. Transferido a otro transporte, sin encontrarse con nadie familiar -
es decir, el ticket sigue activo y no ha "funcionado". Cogieron un billete nuevo y
él la diferencia de dígitos = 7 = - que es cal. entonces que o puede pasar
dos eventos, o se fusionan en uno - en una fecha todavía obtendrá
noticias ("¡Estoy embarazada!" - una broma ...). Bueno, y así sucesivamente. combinaciones de
secuencias de tres números no fueron probadas por los autores - no hay grandes
datos estadísticos al conducir con tres transferencias: una rareza,
comprender).
Este esquema se determina empíricamente. Como en cualquier experimento.
De hecho, los errores son posibles. Envíe sus observaciones y se
en cuenta la próxima vez.
Dígito Diferencia Significado Interpretación
0 Suerte Cualquier negocio concebido terminará con éxito o usted
algo es obviamente bueno.
1 Fecha Conocerás a una persona a la que te alegrará ver (reunión
personal, no laboral).
2 Reunión Tendrá una reunión de negocios.
3 Repetición Habrá que repetir algo, de lo contrario no funcionará.
4 Advertencia ¡Cuidado! Hoy puede que llegues tarde al grano
¡destino! No te relajes y todo estará bien. Pero si te quedas boquiabierto -
¡tarde garantizado!
5 Placer ¡Una reunión o evento agradable mejorará su estado de ánimo!
6 Problemas Una reunión o evento desagradable puede estropearte
estado animico. ¡No te preocupes demasiado!
7 Mensaje ¡Recibirás noticias de alguien!
8 Caos Algo hoy no podrá crecer junto, atracar, completar...
9 Finalización Algunos negocios iniciados hoy se cerrarán por completo.
10 Empieza Hoy empezarás un nuevo proyecto o se te ocurrirá un nuevo pensamiento,
idea.
11 Andar Bueno, o un atasco, o simplemente tienes que dar un paseo...
12 Docenas Posibilidad de beber alcohol...
13 La docena del diablo
estados…
14 No significa nada
15 no significan nada
16 No significan nada
17 No significa nada
18 No significan nada
19 No significa nada
20 No significa nada
21 No significa nada
22 No significa nada
23 No significa nada
24 no significa nada
25 Repetición Habrá que repetir algo, de lo contrario no funcionará.
26 Reunión Tiene una reunión de negocios.
27 Fecha Conocerás a una persona a la que te alegrarás de ver
(reunión personal, no en el trabajo).
¿Cuántas formas hay de pagar 50 centavos? Creemos que puede pagar en 1 centavo, 5 centavos, 10 centavos, 25 cuartos y 50 medios dólares. György Pólya popularizó este problema al demostrar una forma instructiva de resolverlo usando funciones generadoras.
Escribamos una suma infinita que represente todas las formas posibles de intercambio. Es más fácil comenzar con el caso en el que hay menos variedades de monedas, así que comencemos diciendo que no tenemos más monedas que un centavo. La suma de todas las formas de pagar una cierta cantidad de centavos (y solo centavos) se puede escribir como
ya que cada opción de pago incluye algunos centavos elegidos del primer multiplicador y algunos centavos elegidos de PAGS. (Tenga en cuenta que norte no es igual 1 + 1 + 5 + (1 + 5 ) 2 + (1 + 5 ) 3 + ..., ya que esta cantidad incluye muchos tipos de pagos más de una vez. Por ejemplo, el término (1 + 5 ) 2 = 1 1 + 1 5 + 5 1 + 5 5 trata a 1 5 y 5 1 como si fueran distintos, pero queremos enumerar todos los conjuntos de monedas una vez, independientemente de su orden. )
De manera similar, si también permitimos las monedas de diez centavos, obtenemos una suma infinita
Nuestra tarea es encontrar cuántos términos en C cuesta exactamente 50 centavos.
El problema se resuelve con un simple truco. Reemplacemos 1 con z, 5 por z 5, 10 en adelante z 10, 25 en adelante z 25 y 50 en z cincuenta . Luego, cada término se reemplaza por zn, donde norte es el valor del término original en centavos. Por ejemplo, el término 50 10 5 5 1 se convertirá en z 50+10+5+5+1 = z 71 . Cada una de las cuatro formas posibles de pagar 13 centavos, a saber, 10 1 3 , 5 1 8 , 5 2 1 3 y 1 13 , se reduce a z 13; por lo tanto, el coeficiente en z 13 después z-las sustituciones serán 4.
Permitir PAGS norte norte norte D norte q n y C n indica el número de formas de pagar la cantidad en norte céntimos, si se pueden utilizar monedas no mayores, respectivamente, de 1, 5, 10, 25 y 50 céntimos. Nuestro análisis ha demostrado que estos números son coeficientes en zn en la serie de potencias correspondiente
| PAGS = | 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + ... , |
| norte = | (1 + z 5 + z 10 + z 15 + z 20 + ...)PAGS, |
| D = | (1 + z 10 + z 20 + z 30 + z 40 + ...)norte, |
| q = | (1 + z 25 + z 50 + z 75 + z 100 + ...)D, |
| C = | (1 + z 50 + z 100 + z 150 + z 200 + ...)q. |
Es obvio que PAGS norte= 1 para todos norte≥0 . Con una breve reflexión es fácil probar que norte norte = [norte/5] + 1: para sumar norte centavos de centavos y cincos, debemos tomar 0, o 1, o..., o [ norte/5] monedas de cinco centavos, después de lo cual solo hay una forma de elegir la cantidad requerida de centavos. Entonces los valores PAGS norte Y norte norte Fácil de calcular, pero D norte , q norte Y C norte el asunto es mucho más complicado.
Uno de los enfoques para el estudio de estas fórmulas se basa en la observación de que 1 + z m + z 2metro+ ... es solo 1/(1 - z m). Por lo tanto, podemos escribir
Ahora, igualando los coeficientes en zn en estas ecuaciones obtenemos relaciones recurrentes, a partir de las cuales se calculan fácilmente los coeficientes deseados:
Por ejemplo, el coeficiente en zn en D= (1 - z 25)q es igual q norte q norte-25; así debería ser q norte q norte-25 = D norte, como está escrito arriba.
Sería posible descubrir estas relaciones y expresar q norte, por ejemplo, en la forma q norte = D norte + D norte–25+ D norte-50+ D norte–75 + ..., donde la suma termina cuando los índices se vuelven negativos. Sin embargo, la forma original, no iterativa, es conveniente porque cada coeficiente se calcula usando solo una suma, como en el triángulo de Pascal.
Usamos estas relaciones para encontrar C cincuenta . En primer lugar, C 50 = C 0 + q 50 entonces necesitamos saber q cincuenta . Más, q 50 = q 25 + D 50 y q 25 = q 0 + D 25; así que también estamos interesados D 50 y D 25 . Estos valores D norte depende a su vez de D 40 , D 30 , D 20 , D 15 , D 10 y D 5 y desde norte 50 , norte 45 , ..., norte cinco . Por lo tanto, para determinar todos los coeficientes necesarios, basta con realizar cálculos simples:
| norte | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| Pn | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| norte norte | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| Dn | 1 | 2 | 4 | 6 | 9 | 12 | 16 | 25 | 36 | ||
| qn | 1 | 13 | 49 | ||||||||
| C norte | 1 | 50 | |||||||||
La respuesta está en la parte inferior de la tabla. C 50: Hay exactamente 50 formas de dar una propina de 50 centavos.
¿Qué se puede decir sobre la forma cerrada para C norte? Multiplicar todas las ecuaciones nos da una expresión compacta para la función generadora
que es una función racional de z, cuyo denominador tiene una potencia de 91. Así, podemos factorizar el denominador en 91 factores y expresar C norte en una "forma cerrada", que consta de 91 términos. Pero una expresión tan terrible no se sube a ninguna puerta. ¿Es posible encontrar algo mejor en este caso particular, en lugar de aplicar el método general?
Y aquí está el primer rayo de esperanza: si en C(z) reemplaza 1/(1 – z) a (1 + z + z 2 + z 3 + z 4)/(1 - z 5):
entonces el grado del denominador de la función "comprimida" Č (z) ya tiene solo 19 años, por lo que esta función es mucho mejor que la original. Nueva expresión para C(z) muestra, en particular, que C 5norte = C 5norte+1 = C 5norte+2 = C 5norte+3 = C 5norte+4 ; de hecho, la proporción es fácil de explicar: hay exactamente tantas formas de dar una propina de 53 centavos como de dar una propina de 50 centavos, ya que el número de centavos módulo 5 se conoce de antemano.
Sin embargo, incluso para Č (z) no existe una expresión simple basada en las raíces del denominador. Probablemente la forma más sencilla de calcular coeficientes. Č (z) se obtendrá si notamos que cada factor en el denominador es un divisor de 1 - z 10 Por lo tanto, podemos escribir
Aquí, en aras de la exhaustividad, es una expresión ampliada para A(z):
(1 + z + ... + z 9) 2 (1 + z 2 + ... + z 8)(1 + z 5) =
= 1 + 2z + 4z 2 + 6z 3 + 9z 4 + 13z 5 + 18z 6 + 24z 7 +
+ 31z 8 + 39z 9 + 45z 10 + 52z 11 +57z 12 + 63z 13 + 67z 14 + 69z 15 +
+ 69z 16 + 67z 17 + 63z 18 + 57z 19 + 52z 20 + 45z 21 + 39z 22 + 31z 23 +
+ 24z 24 + 18z 25 + 13z 26 + 9z 27 + 6z 28 + 4z 29 + 2z 30 + z 31 .
Y finalmente, usando el hecho de que
obtenemos la siguiente expresión para los coeficientes Č norte en grados zn en la expansión de la función Č (z), en el cual norte = 10q + r y 0≤ r<1 0:
| Č 10q+r = | ∑ | A j | ( | k + 4 k |
) | = | ||||||||||||||||
| j, k 10k+j=norte |
||||||||||||||||||||||
| = A r | ( | q + 4 q |
) | + A r+10 | ( | q + 3 q |
) | + A r+20 | ( | q + 2 q |
) | + A r+30 | ( | q + 1 q |
) | . |
Esto en realidad contiene 10 casos diferentes, uno para cada valor r; pero sigue siendo una buena fórmula cerrada en comparación con las alternativas que involucran potencias de números complejos.
Usando esta expresión, podemos averiguar, por ejemplo, el valor C 50q = Č 10q. Aquí r=0 y tenemos
por una cantidad de 1 dólar, resulta
| ( | 6 4 |
) | + 45 | ( | 5 4 |
) | + 52 | ( | 4 4 |
) | = 292 vías; |
y por un millon de dolares este numero sera
| ( | 2000004 4 |
) | + 45 | ( | 2000003 4 |
) | + 52 | ( | 2000002 4 |
) | + 2 | ( | 2000001 4 |
) | = |
= 66666793333412666685000001.
