En esta lección, consideraremos en detalle la función y \u003d sen x, sus principales propiedades y gráfico. Al comienzo de la lección, definiremos Funcion trigonometrica y \u003d pecado en círculo de coordenadas y considere la gráfica de una función en un círculo y una línea recta. Mostremos la periodicidad de esta función en el gráfico y consideremos las principales propiedades de la función. Al final de la lección, resolveremos algunos problemas simples usando la gráfica de la función y sus propiedades.
Tema: Funciones trigonométricas
Lección: Función y=senx, sus principales propiedades y gráfica
Al considerar una función, es importante asociar un solo valor de la función con cada valor del argumento. Esta ley de correspondencia y se llama función.
Definamos la ley de correspondencia para .
Cualquier número real corresponde a un solo punto en el círculo unitario.El punto tiene una sola ordenada, que se llama el seno del número (Fig. 1).
A cada valor de argumento se le asigna un único valor de función.
Las propiedades obvias se derivan de la definición del seno.
La figura muestra que 
porque es la ordenada de un punto en el círculo unitario.
Considere la función gráfica. Recordemos la interpretación geométrica del argumento. El argumento es el ángulo central medido en radianes. Sobre el eje trazaremos números reales o ángulos en radianes, sobre el eje los valores de la función correspondiente.
Por ejemplo, el ángulo en el círculo unitario corresponde a un punto en el gráfico (Fig. 2)
Obtuvimos el gráfico de la función en el sitio, pero conociendo el período del seno, podemos representar el gráfico de la función en todo el dominio de definición (Fig. 3).
El período principal de la función es Esto significa que la gráfica se puede obtener en un segmento y luego continuar en todo el dominio de definición.
Considere las propiedades de la función:
1) Dominio de definición:
2) Rango de valores: 
3) Función impar:
4) El período positivo más pequeño:
5) Coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica con el eje x: 
6) Coordenadas del punto de intersección de la gráfica con el eje y:
7) Intervalos en los que la función toma valores positivos:
8) Intervalos en los que la función toma valores negativos:
9) Intervalos crecientes:
10) Intervalos descendentes:
11) Puntos bajos: 
12) Características mínimas:
13) Puntos altos: 
14) Características máximas:
Hemos considerado las propiedades de una función y su gráfica. Las propiedades se utilizarán repetidamente para resolver problemas.
Bibliografía
1. Álgebra y el comienzo del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de texto para instituciones educativas ( nivel de perfil) ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2009.
2. Álgebra y el comienzo del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de tareas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartburd S.I. Álgebra y análisis matemático para el grado 10 ( tutorial para estudiantes de colegios y clases con profundización en matemáticas).-M.: Educación, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Aprendizaje profundoálgebra y análisis matemático.-M.: Educación, 1997.
5. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades técnicas (bajo la dirección de M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Entrenador algebraico.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Tareas en álgebra y principios de análisis (un manual para estudiantes en los grados 10-11 de instituciones de educación general).-M .: Educación, 2003.
8. Karp AP Colección de problemas de álgebra y principios de análisis: libro de texto. Asignación para 10-11 celdas. con un profundo estudio matemáticas.-M.: Educación, 2006.
Tarea
Álgebra y los Principios del Análisis, Grado 10 (en dos partes). Libro de tareas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed.
A.G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Recursos web adicionales
3. portal educativo para prepararse para los exámenes ().
En esta lección, consideraremos en detalle la función y \u003d sen x, sus principales propiedades y gráfico. Al comienzo de la lección, daremos la definición de la función trigonométrica y \u003d sin t en el círculo de coordenadas y consideraremos el gráfico de la función en el círculo y la línea. Mostremos la periodicidad de esta función en el gráfico y consideremos las principales propiedades de la función. Al final de la lección, resolveremos algunos problemas simples usando la gráfica de la función y sus propiedades.
Tema: Funciones trigonométricas
Lección: Función y=senx, sus principales propiedades y gráfica
Al considerar una función, es importante asociar un solo valor de la función con cada valor del argumento. Esta ley de correspondencia y se llama función.
Definamos la ley de correspondencia para .
Cualquier número real corresponde a un solo punto en el círculo unitario.El punto tiene una sola ordenada, que se llama el seno del número (Fig. 1).
A cada valor de argumento se le asigna un único valor de función.
Las propiedades obvias se derivan de la definición del seno.
La figura muestra que porque es la ordenada de un punto en el círculo unitario.
Considere la función gráfica. Recordemos la interpretación geométrica del argumento. El argumento es el ángulo central medido en radianes. Sobre el eje trazaremos números reales o ángulos en radianes, sobre el eje los valores de la función correspondiente.
Por ejemplo, el ángulo en el círculo unitario corresponde a un punto en el gráfico (Fig. 2)
Obtuvimos el gráfico de la función en el sitio, pero conociendo el período del seno, podemos representar el gráfico de la función en todo el dominio de definición (Fig. 3).
El período principal de la función es Esto significa que la gráfica se puede obtener en un segmento y luego continuar en todo el dominio de definición.
Considere las propiedades de la función:
1) Dominio de definición:
2) Rango de valores:
3) Función impar:
4) El período positivo más pequeño:
5) Coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica con el eje x:
6) Coordenadas del punto de intersección de la gráfica con el eje y:
7) Intervalos en los que la función toma valores positivos:
8) Intervalos en los que la función toma valores negativos:
9) Intervalos crecientes:
10) Intervalos descendentes:
11) Puntos bajos:
12) Características mínimas:
13) Puntos altos:
14) Características máximas:
Hemos considerado las propiedades de una función y su gráfica. Las propiedades se utilizarán repetidamente para resolver problemas.
Bibliografía
1. Álgebra y el comienzo del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de texto para instituciones educativas (nivel de perfil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2009.
2. Álgebra y el comienzo del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de tareas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartburd S.I. Álgebra y análisis matemático para el grado 10 (libro de texto para estudiantes de escuelas y clases con un estudio profundo de las matemáticas).- M .: Educación, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Un estudio en profundidad de álgebra y análisis matemático.-M.: Educación, 1997.
5. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades técnicas (bajo la dirección de M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Entrenador algebraico.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Tareas en álgebra y principios de análisis (un manual para estudiantes en los grados 10-11 de instituciones de educación general).-M .: Educación, 2003.
8. Karp AP Colección de problemas de álgebra y principios de análisis: libro de texto. Asignación para 10-11 celdas. con un profundo estudio matemáticas.-M.: Educación, 2006.
Tarea
Álgebra y los Principios del Análisis, Grado 10 (en dos partes). Libro de tareas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed.
A.G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
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De vuelta atras
¡Atención! Avance Las diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen la totalidad de la presentación. Si estás interesado este trabajo por favor descargue la versión completa.
El hierro se oxida, no encontrando un uso para sí mismo,
el agua estancada se pudre o se congela con el frío,
y la mente humana, al no encontrar un uso para sí misma, languidece.
leonardo da vinci
Tecnologías utilizadas: aprendizaje basado en problemas, pensamiento crítico, comunicación comunicativa.
Objetivos:
- Desarrollo interés cognitivo al aprendizaje
- Estudiando las propiedades de la función y \u003d sin x.
- Formación de habilidades prácticas para construir un gráfico de la función y \u003d sen x basado en el material teórico estudiado.
Tareas:
1. Utilice el potencial de conocimiento existente sobre las propiedades de la función y \u003d sen x en situaciones específicas.
2. Aplicar el establecimiento consciente de vínculos entre los modelos analítico y geométrico de la función y \u003d sen x.
Desarrollar iniciativa, cierta disposición e interés por encontrar una solución; la capacidad de tomar decisiones, de no quedarse ahí, de defender el punto de vista.
Educar a los estudiantes en la actividad cognitiva, el sentido de la responsabilidad, el respeto mutuo, la comprensión mutua, el apoyo mutuo, la confianza en sí mismos; cultura de la comunicación.
durante las clases
Nivel 1. Actualización de conocimientos básicos, motivación para aprender nuevo material.
"Entrada de lección"
Hay 3 afirmaciones escritas en la pizarra:
- La ecuación trigonométrica sen t = a siempre tiene soluciones.
- Calendario Función impar se puede construir usando una transformación de simetría sobre el eje y.
- Una función trigonométrica se puede graficar usando una media onda principal.
Los estudiantes discuten en parejas: ¿Son verdaderas las afirmaciones? (1 minuto). Los resultados de la discusión inicial (sí, no) luego se ingresan en la tabla en la columna "Antes".
El maestro establece las metas y objetivos de la lección.
2. Actualización de conocimientos (frontalmente en el modelo del círculo trigonométrico).
Ya nos hemos encontrado con la función s = sen t.
1) Que valores puede tomar la variable t. ¿Cuál es el alcance de esta función?
2) En qué intervalo se encuentran los valores de la expresión sen t. Encuentra los valores mayor y menor de la función s = sen t.
3) Resuelve la ecuación sen t = 0.
4) ¿Qué le sucede a la ordenada del punto cuando se mueve a lo largo del primer cuarto? (la ordenada aumenta). ¿Qué le sucede a la ordenada de un punto cuando se mueve a lo largo del segundo cuarto? (la ordenada disminuye gradualmente). ¿Cómo se relaciona esto con la monotonicidad de la función? (la función s = sen t crece en el segmento y decrece en el segmento ).
5) Escribamos la función s = sin t en la forma habitual para nosotros y = sin x (construiremos en el sistema de coordenadas xOy habitual) y compilaremos una tabla de valores para esta función.
| X | 0 | ||||||
| en | 0 | 1 | 0 |
Etapa 2. Percepción, comprensión, consolidación primaria, memorización involuntaria
Etapa 4. Sistematización primaria de conocimientos y métodos de actividad, su transferencia y aplicación en nuevas situaciones.
6. Núm. 10.18 (b, c)
Etapa 5 Control final, corrección, evaluación y autoevaluación
7. Regresamos a las declaraciones (el comienzo de la lección), discutimos el uso de las propiedades de la función trigonométrica y \u003d sin x, y completamos la columna "Después" en la tabla.
8. D / z: ítem 10, Nos. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)
>>Matemáticas: funciones y \u003d sin x, y \u003d cos x, sus propiedades y gráficos
Funciones y \u003d sen x, y \u003d cos x, sus propiedades y gráficos
En esta sección discutimos algunas propiedades de las funciones y = sen x, y= cos x y trace sus gráficas.
1. Función y \u003d sin X.
Más arriba, en el § 20, formulamos una regla que permite asociar cada número t con el número cos t, es decir caracterizó la función y = sen t. Anotamos algunas de sus propiedades.
Propiedades de la función u = sint.
El dominio de definición es el conjunto K de números reales.
Esto se sigue del hecho de que cualquier número 2 corresponde a un punto M(1) en el círculo numérico, que tiene una ordenada bien definida; esta ordenada es cos t.
u = sen t es una función impar.
Esto se sigue del hecho de que, como se probó en el § 19, para cualquier t la igualdad
Esto significa que la gráfica de la función u \u003d sin t, como la gráfica de cualquier función impar, es simétrica con respecto al origen en el sistema de coordenadas rectangulares tOi.
La función u = sen t crece en el segmento 
Esto se sigue del hecho de que cuando el punto se mueve a lo largo del primer cuarto círculo numérico la ordenada aumenta gradualmente (de 0 a 1 - ver Fig. 115), y cuando el punto se mueve a lo largo del segundo cuarto del círculo numérico, la ordenada disminuye gradualmente (de 1 a 0 - ver Fig. 116).
La función u = sen t está acotada tanto por abajo como por arriba. Esto se sigue del hecho de que, como vimos en § 19, para cualquier t la desigualdad
(la función alcanza este valor en cualquier punto de la forma 
(la función alcanza este valor en cualquier punto de la forma
Usando las propiedades obtenidas, construimos un gráfico de la función que nos interesa. Pero (¡atención!) en lugar de u - sin t, escribiremos y \u003d sin x (después de todo, estamos más acostumbrados a escribir y \u003d f (x), y no u \u003d f (t)). Esto significa que construiremos un gráfico en el sistema de coordenadas habitual хОу (y no tOy).
Hagamos una tabla de valores de función por - sen x:
Comentario.
Aquí está una de las versiones del origen del término "seno". En latín, seno significa curva (cuerda de arco).
El gráfico construido hasta cierto punto justifica esta terminología. 
La línea que sirve como gráfico de la función y \u003d sen x se llama sinusoide. Esa parte de la sinusoide, que se muestra en la Fig. 118 o 119, se llama onda sinusoidal, y esa parte de la sinusoide, que se muestra en la fig. 117 se llama media onda o arco de una onda sinusoidal.
2. Función y = cos x.
El estudio de la función y \u003d cos x podría llevarse a cabo aproximadamente de acuerdo con el mismo esquema que se usó anteriormente para la función y \u003d sin x. Pero elegiremos el camino que conduce a la meta más rápido. Primero, probaremos dos fórmulas que son importantes en sí mismas (verás esto en la escuela secundaria), pero hasta ahora solo tienen un valor auxiliar para nuestros propósitos.
Para cualquier valor de t, las igualdades
Prueba. Deje que el número t corresponda al punto M del círculo numérico n, y el número * + - al punto P (Fig. 124; por simplicidad, tomamos el punto M en el primer cuarto). Los arcos AM y BP son iguales, respectivamente, y los triángulos rectángulos OKM y OBP también son iguales. Por lo tanto, O K = Ob, MK = Pb. De estas igualdades y de la ubicación de los triángulos OKM y OLR en el sistema de coordenadas, sacamos dos conclusiones:
1) la ordenada del punto P tanto en valor absoluto como en signo coincide con la abscisa del punto M; esto significa que
2) la abscisa del punto P es igual en valor absoluto a la ordenada del punto M, pero difiere de ella en signo; esto significa que
Aproximadamente el mismo razonamiento se lleva a cabo en los casos en que el punto M no pertenece al primer cuarto.
Usemos la fórmula 
(esta es la fórmula demostrada arriba, solo que en lugar de la variable t usamos la variable x). ¿Qué nos da esta fórmula? Nos permite afirmar que las funciones
son idénticos, por lo que sus gráficos son iguales.
Grafiquemos la función 
Para ello, pasemos a un sistema de coordenadas auxiliar con origen en un punto (la línea de puntos se dibuja en la Fig. 125). Asocie la función y \u003d sen x a nuevo sistema coordenadas - esta será la gráfica de la función 
(Fig. 125), es decir gráfica de la función y - cos x. Al igual que el gráfico de la función y \u003d sen x, se llama sinusoide (que es bastante natural).
Propiedades de la función y = cos x.
y = cos x es una función par.
Las etapas de construcción se muestran en la fig. 126:
1) construimos un gráfico de la función y \u003d cos x (más precisamente, una media onda);
2) estirando el gráfico construido desde el eje x con un coeficiente de 0,5, obtenemos una media onda del gráfico requerido;
3) usando la media onda resultante, construimos el gráfico completo de la función y \u003d 0.5 cos x.
En esta lección, consideraremos en detalle la función y \u003d sen x, sus principales propiedades y gráfico. Al comienzo de la lección, daremos la definición de la función trigonométrica y \u003d sin t en el círculo de coordenadas y consideraremos el gráfico de la función en el círculo y la línea. Mostremos la periodicidad de esta función en el gráfico y consideremos las principales propiedades de la función. Al final de la lección, resolveremos algunos problemas simples usando la gráfica de la función y sus propiedades.
Tema: Funciones trigonométricas
Lección: Función y=senx, sus principales propiedades y gráfica
Al considerar una función, es importante asociar un solo valor de la función con cada valor del argumento. Esta ley de correspondencia y se llama función.
Definamos la ley de correspondencia para .
Cualquier número real corresponde a un solo punto en el círculo unitario.El punto tiene una sola ordenada, que se llama el seno del número (Fig. 1).
A cada valor de argumento se le asigna un único valor de función.
Las propiedades obvias se derivan de la definición del seno.
La figura muestra que porque es la ordenada de un punto en el círculo unitario.
Considere la función gráfica. Recordemos la interpretación geométrica del argumento. El argumento es el ángulo central medido en radianes. Sobre el eje trazaremos números reales o ángulos en radianes, sobre el eje los valores de la función correspondiente.
Por ejemplo, el ángulo en el círculo unitario corresponde a un punto en el gráfico (Fig. 2)
Obtuvimos el gráfico de la función en el sitio, pero conociendo el período del seno, podemos representar el gráfico de la función en todo el dominio de definición (Fig. 3).
El período principal de la función es Esto significa que la gráfica se puede obtener en un segmento y luego continuar en todo el dominio de definición.
Considere las propiedades de la función:
1) Dominio de definición:
2) Rango de valores:
3) Función impar:
4) El período positivo más pequeño:
5) Coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica con el eje x:
6) Coordenadas del punto de intersección de la gráfica con el eje y:
7) Intervalos en los que la función toma valores positivos:
8) Intervalos en los que la función toma valores negativos:
9) Intervalos crecientes:
10) Intervalos descendentes:
11) Puntos bajos:
12) Características mínimas:
13) Puntos altos:
14) Características máximas:
Hemos considerado las propiedades de una función y su gráfica. Las propiedades se utilizarán repetidamente para resolver problemas.
Bibliografía
1. Álgebra y el comienzo del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de texto para instituciones educativas (nivel de perfil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2009.
2. Álgebra y el comienzo del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de tareas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartburd S.I. Álgebra y análisis matemático para el grado 10 (libro de texto para estudiantes de escuelas y clases con un estudio profundo de las matemáticas).- M .: Educación, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Un estudio en profundidad de álgebra y análisis matemático.-M.: Educación, 1997.
5. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades técnicas (bajo la dirección de M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Entrenador algebraico.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Tareas en álgebra y principios de análisis (un manual para estudiantes en los grados 10-11 de instituciones de educación general).-M .: Educación, 2003.
8. Karp AP Colección de problemas de álgebra y principios de análisis: libro de texto. Asignación para 10-11 celdas. con un profundo estudio matemáticas.-M.: Educación, 2006.
Tarea
Álgebra y los Principios del Análisis, Grado 10 (en dos partes). Libro de tareas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed.
A.G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Recursos web adicionales
3. Portal educativo para la preparación de exámenes ().
