गणित में स्कूली बच्चों के लिए अखिल रूसी ओलंपियाड के नगरपालिका चरण की ओलंपियाड समस्याएं

कार्य 1:

गैर-शून्य संख्याओं a, b और c के सभी त्रिगुणों को खोजें जो एक अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं और जैसे कि संख्याएँ, , भी बनाई जा सकती हैं अंकगणितीय प्रगति.

समाधान:अंकगणितीय प्रगति के गुण के अनुसार, हमारे पास a + c = 2b और निम्नलिखित समीकरणों में से एक है

पहला मामला समीकरण b² = 2ac की ओर ले जाता है, जिसका a + c = 2b के लिए कोई समाधान नहीं है; अन्य दो एक ही उत्तर की ओर ले जाते हैं: प्रपत्र के सभी त्रिक - 2t, - 0.5t, t, जहाँ t ≠ 0।

उत्तर: - 2t, - 0.5t और t t≠ 0 पर।

टास्क 2:

संख्या ए, बी और सी के त्रिगुणों को खोजें, जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक एक्सपोनेंट के साथ पांच की शक्तियां हैं, जैसे कि उनमें से एक के दशमलव अंकन को दूसरे के दशमलव अंकन में निर्दिष्ट करके, हमें तीसरी संख्या मिलती है।

समाधान:मान लीजिए a = 5 n ,b = 5 m ,c = 5 k और b में बिल्कुल t दशमलव स्थान हैं। हमारे पास समीकरण है: 5 n 10 t + 5 m = 5 k । जाहिर तौर पर एम< k. Сократив уравнение на 5 в наибольшей степени, получим либо 2 t + 5 m - n - t = 5 k - t , либо 5 n - m + t • 2 t + 1 = 5 k - m . Первое уравнение имеет केवल निर्णयपूर्णांकों में t = 2, m - n - t = 0, k - t = 1, जहाँ से b = 25, m = 2, n = 0, k = 3 और वांछित संख्याएँ 1, 25, 125 हैं। दूसरा समीकरण केवल n - m + t = 0 के लिए पूरा होता है, जो पिछले मामले की ओर ले जाता है।

उत्तर: 1, 25 और 125।

टास्क 3:

शून्य एक नियमित पेंटागन के विकर्णों के शीर्षों और प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर लिखे जाते हैं। एक चाल में, पेंटागन के किसी भी विकर्ण पर स्थित सभी संख्याओं में एक साथ + 1 या - 1 जोड़ने की अनुमति है। चित्रों में दर्शाए गए कौन से पंचकोणों को कई चालों के बाद प्राप्त किया जा सकता है?

0.5 मिमी ईएम: लाइनविड्थ 0.4pt 0.4pt

((एसई नोखरीन द्वारा सुझाया गया।))

समाधान:हम 1 से 5 तक की संख्या के साथ पेंटागन के विकर्णों की गणना करते हैं, और x i को i-वें विकर्ण में जोड़ी गई इकाइयों की संख्या होने दें। किसी भी शीर्ष पर संख्या (विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु) सभी i पर संख्या x i के योग के बराबर है जैसे कि i-वां विकर्ण इस शीर्ष (विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु) से होकर गुजरता है। हमारे पास पाँच अज्ञात के साथ दस समीकरणों की एक प्रणाली है, जो आंकड़ों में दिखाए गए सभी मामलों में असंगत है।

उत्तर: कोई पंचभुज प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

टास्क 4:

एक तीव्र त्रिभुज ABC में ऊँचाई AH, BK और CL खींची गई है। यदि ऊँचाई AH = h और कोण ∠ BAC = α ज्ञात हो, तो त्रिभुज HKL का परिमाप ज्ञात कीजिए।

((वी.एन. उषाकोव द्वारा सुझाया गया।))

समाधान:रेखाएँ KL, KH और HL (आकृति देखें) ∆ABC के समरूप त्रिभुजों को ∆ABC से काटती हैं। वास्तव में त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी I के अनुसार ∆CHA ∽ ∆CKB (2 बराबर कोण). यहाँ से। लेकिन फिर ∆ केएचसी ∽ ∆ बीएसी त्रिकोण की समानता के दूसरे संकेत के अनुसार (पक्षों की आनुपातिकता और इन पक्षों के बीच कोणों की समानता)। इसी प्रकार यह सिद्ध किया जा सकता है कि ∆AKL ∽ ∆ABC और ∆BHL ∽ ∆ABC. इस प्रकार, हमारे पास ∠ HLB = ∠ ALK = ∠ C, ∠ AKL = ∠ CKH = ∠ B. फिर बिंदु H′ और H″, जो रेखा AB और AC के संबंध में बिंदु H के सममित हैं, क्रमशः झूठ बोलते हैं। लाइन पर के.एल. वास्तव में, ∠HLB = ∠H′LB (क्योंकि ∆HLO′ = ∆H′LO′), लेकिन ∠HLB = ∠ALK, इसलिए ∠ALK = ∠H′LB, और इसलिए बिंदु K, L, H′ पर स्थित हैं एक ही पंक्ति। इसी प्रकार यह सिद्ध होता है कि H″, K, L एक ही सरल रेखा पर स्थित हैं। खंड H″H′ परिधि ∆KLH (KH = KH″, और LH = LH′) के बराबर है। अब ∆ H″AH' पर विचार करें। यह समद्विबाहु है, क्योंकि AH' = AH = AH", और ∠ H″AH' = 2 (∠CAH + ∠BAH) = \ = 2 α। अत: H″H′ = 2AH′ sin \, α। अतः, परिमाप ∆ KLH बराबर है से 2h sin \, α।

1. संख्यात्मक पहेली को हल करें।

2. इग्नाट अब चार गुना है अधिक वर्षउसकी बहन की तुलना में जब वह उससे आधी उम्र की थी। इग्नाट की उम्र अब कितनी है, अगर 15 साल में वह और उसकी बहन 100 साल तक साथ रहेंगे?

3. बच्चे जंगल से जोड़े में निकलते हैं, जहाँ वे मेवे इकट्ठा करते हैं। प्रत्येक जोड़ी में एक लड़का और एक लड़की है, और लड़के के पास या तो दोगुने हैं या लड़की की तुलना में आधे हैं। क्या ऐसा हो सकता है कि सभी के पास 2011 नट्स एक साथ हों?

4. 4 और 9 भुजाओं वाले एक आयत को सबसे छोटे टुकड़ों में काटें ताकि उनमें से एक वर्ग बन सके।

5. ओ द्वीप शूरवीरों का निवास है जो हमेशा सच और झूठ बोलते हैं जो हमेशा झूठ बोलते हैं। यात्री दो मूल निवासी - ए और बी से मिला। मूल निवासी ए ने मुहावरा बोला:

द्वारा कम से कमहम में से एक (ए या बी) झूठा है।

क्या यह बताना संभव है कि ए कौन है और बी कौन है (एक शूरवीर या दास)?

ओलंपियाड कार्य नगरपालिका मंच अंक शास्त्र

1. तीन अंकों की ऐसी सभी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनके अंकों का योग उसी संख्या से 11 गुना कम हो https://pandia.ru/text/78/035/images/image003_105.gif" width="27 "ऊंचाई = "17"> बिंदु लिए जाते हैं ताकि रेखा बिंदु पर पक्ष को काटती है, रेखा बिंदु पर पक्ष को काटती है और

https://pandia.ru/text/78/035/images/image015_30.gif" width="96" height="24">

5. झूठे और शूरवीरों के द्वीप के सैनिकों की समीक्षा में (झूठे हमेशा झूठ बोलते हैं, शूरवीर हमेशा सच कहते हैं), नेता ने सभी सैनिकों को खड़ा किया। पंक्ति में खड़े प्रत्येक सैनिक ने कहा: "पंक्ति में मेरे पड़ोसी झूठे हैं।" (पंक्ति के सिरों पर खड़े योद्धाओं ने कहा: "पंक्ति में मेरा पड़ोसी झूठा है।") क्या सबसे बड़ी संख्यायदि 2011 के योद्धा समीक्षा के लिए आए तो नाइट रैंक में हो सकते हैं?

ओलंपियाड कार्य नगरपालिका मंच अखिल रूसी ओलंपियाडस्कूली बच्चों अंक शास्त्र

1. वस्या ने बोर्ड पर कई पूर्णांक लिखे। पेट्या ने वास्या की प्रत्येक संख्या के तहत अपने वर्ग पर हस्ताक्षर किए। उसके बाद, माशा ने बोर्ड पर लिखे सभी नंबरों को जोड़ा और 2011 प्राप्त किया। साबित करें कि लड़कों में से एक गलत था।

2. सहकारी एक ही डिब्बे में सेब और अंगूर का रस प्राप्त करता है और उसी डिब्बे में एक सेब-अंगूर पेय का उत्पादन करता है। कर सकते हैं सेब का रसपेय के ठीक 6 कैन के लिए पर्याप्त है, और अंगूर का एक कैन ठीक 10 के लिए। अब कितने कैन पीने के लिए पर्याप्त है अंगूर का रस? (पेय पानी से पतला नहीं है।)

3..gif" चौड़ाई="43" ऊंचाई="21 src=">.gif" चौड़ाई="64" ऊंचाई="21 src=">.gif" चौड़ाई="37" ऊंचाई="19 src="> समद्विबाहु।

4. साबित करें कि सभी सकारात्मक के लिए 3 के बराबर?

3. डेन पीबिंदु, जिनमें से कोई भी चार एक ही तल के नहीं हैं। इन बिन्दुओं के विभिन्न त्रिगुणों से होकर कितने तल खींचे जा सकते हैं?

4..gif" चौड़ाई = "12" ऊंचाई = "15 src = ">, एक अंकगणितीय प्रगति बनाना और ऐसा कि संख्याओं से और आप एक अंकगणितीय प्रगति भी कर सकते हैं।

5. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। हलकों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को होने दें, जिनमें से एक https://pandia.ru/text/78/035/images/image031_14.gif" width="16" height="17 src="> बिंदुओं से होकर गुजरता है , और अन्य के माध्यम से और https://pandia.ru/text/78/035/images/image002_138.gif" width="19" height="19"> यदि बिंदु खंड पर स्थित है और इसके साथ मेल नहीं खाता है समाप्त होता है।

ओलंपियाड कार्यनगरपालिका मंचअंक शास्त्र

7 वीं कक्षा

हममें से कम से कम एक (ए या बी) झूठा है।

क्या यह बताना संभव है कि ए कौन है और बी कौन है (एक शूरवीर या दास)?

ओलंपियाड कार्यनगरपालिका मंचस्कूली बच्चों के लिए अखिल रूसी ओलंपियाडअंक शास्त्र

8 वीं कक्षा

ओलंपियाड कार्यनगरपालिका मंचस्कूली बच्चों के लिए अखिल रूसी ओलंपियाडअंक शास्त्र

श्रेणी 9

1. कौन सी पाँच अंकों की संख्याएँ अधिक हैं: वे जिनकी संख्याएँ सख्ती से बढ़ते क्रम में हैं, या वे जिनकी संख्याएँ सख्ती से घटते क्रम में हैं? (उदाहरण के लिए, पहले समूह में संख्या 12459 शामिल है, लेकिन संख्या 12495 और 12259 शामिल नहीं है)।

ओलंपियाड कार्यनगरपालिका मंचस्कूली बच्चों के लिए अखिल रूसी ओलंपियाडअंक शास्त्र

ग्रेड 10

1. 21 से 30 तक की संख्याएँ एक पंक्ति में लिखी जाती हैं। क्या उनके बीच "+" और "-" चिह्न लगाना संभव है ताकि परिणामी अभिव्यक्ति का मान शून्य के बराबर हो?
2. किस मूल्य परसमीकरण की जड़ों का अंतर 3 के बराबर?
3. दाना एन बिंदु, जिनमें से कोई भी चार एक ही तल के नहीं हैं। इन बिन्दुओं के विभिन्न त्रिगुणों से होकर कितने तल खींचे जा सकते हैं?
4. गैर-शून्य संख्याओं के सभी त्रिगुण ज्ञात कीजिएतथा , एक अंकगणितीय प्रगति और इस तरह की संख्याओं सेतथा आप एक अंकगणितीय प्रगति भी कर सकते हैं।
5. समांतर चतुर्भुज विकर्णएक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना. चलो और - मंडलियों के प्रतिच्छेदन बिंदु, जिनमें से एक बिंदुओं से होकर गुजरता हैऔर , और दूसरा और के माध्यम से . बिंदुओं का स्थान ज्ञात कीजिएअगर बिंदु लाइन पर पड़ा हैऔर उसके सिरों से मेल नहीं खाता।

ओलंपियाड कार्यनगरपालिका मंचस्कूली बच्चों के लिए अखिल रूसी ओलंपियाडअंक शास्त्र

ग्रेड 11

1. सबसे छोटा प्राकृतिक क्या हैक्या वह 770 से विभाज्य है?
2. साबित करें कि अगर, फिर समीकरण
3. अगर खोजें; ; , , .
4. बेस पर सही पिरामिडभुजाओं की विषम संख्या वाला बहुभुज है। क्या इस पिरामिड के किनारों पर तीर लगाना संभव है (प्रत्येक किनारे पर एक) ताकि परिणामी वैक्टर का योग बराबर हो?

1. कक्षा में 20 छात्र हैं। हर कोई कम से कम 10 अन्य लोगों का दोस्त है। सिद्ध करें कि इस कक्षा में दो त्रिगुणों का चयन करना संभव है ताकि एक त्रिगुण में से कोई भी विद्यार्थी दूसरे त्रिगुण में से किसी विद्यार्थी का मित्र हो।

पूर्वावलोकन:

ग्रेड 7 (समाधान और उत्तर)

उत्तर और समस्या समाधाननगरपालिका मंचस्कूली बच्चों के लिए अखिल रूसी ओलंपियाडअंक शास्त्र

1. उत्तर: 2222 – 999 + 11 – 0 = 1234.
2. उत्तर: 40 वर्ष।

समाधान: आइए समस्या को हल करने के लिए तालिका का उपयोग करें।

समीकरण: . अब इग्नाट 40 साल की हैं।

1. उत्तर: यह नहीं हो सका।

समाधान: ध्यान दें कि बच्चों की प्रत्येक जोड़ी के लिए नट्स की संख्या 3 से विभाज्य है। इसका मतलब है कि नट्स की कुल संख्या 3 से विभाज्य होनी चाहिए। हालांकि, 2011 3 से विभाज्य नहीं है।

1. समाधान:

1. उत्तर: A शूरवीर है, B दास है।

समाधान: यदि A गुलाम है, तो उसका कथन असत्य है, अर्थात् दोनों शूरवीर होने चाहिए। अंतर्विरोध। तो ए एक नाइट है। तब उसका कथन सत्य है और B एक ग़ुलाम है।

ग्रेड 8 (समाधान और उत्तर)

उत्तर और समस्या समाधाननगरपालिका मंचस्कूली बच्चों के लिए अखिल रूसी ओलंपियाडअंक शास्त्र

1. उत्तर : 198.

समाधान: तीन अंकों की संख्यारूप में लिखा जा सकता है. हालत से उसका अनुसरण करता है . दाईं ओर एक दो-अंकीय (एकल-अंक यदि c \u003d 0) संख्या है जो 89 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि. परन्तु फिर

1. उत्तर: एक व्यास के साथ एक वृत्त का हिस्सासेशन

हल: माना O वृत्त का केंद्र है,एम - जीवा का मध्य बिंदु वृत्त से बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा से कट जाता हैपी। फिर पीएमओ = 90o . इसलिए, आवश्यक सेट एक व्यास के साथ एक वृत्त का एक हिस्सा हैसेशन दिए गए सर्कल के अंदर झूठ बोल रहा है।

समाधान: स्थिति से त्रिभुजों की समानता का अनुसरण होता है), कहाँ पे . अलावा, . इसलिए त्रिकोणबराबर हैं, जिसका अर्थ है.

1. उत्तर: 31 11 14

समाधान:

1. उत्तर: 1006 शूरवीर

समाधान: ध्यान दें कि अगल-बगल खड़े दो योद्धा शूरवीर नहीं हो सकते। वास्तव में, यदि वे दोनों शूरवीर होते, तो वे दोनों झूठ बोल रहे होते। आइए बाईं ओर खड़े योद्धा को चुनें और शेष 2010 के योद्धाओं की पंक्ति को अगल-बगल खड़े दो योद्धाओं के 1005 समूहों में विभाजित करें। ऐसे प्रत्येक समूह में अधिकतम एक शूरवीर होता है, अर्थात। 2010 के विचाराधीन योद्धाओं में 1005 शूरवीरों से अधिक नहीं हैं, अर्थात कुल मिलाकर लाइन में 1005 + 1 = 1006 शूरवीरों से अधिक नहीं हैं।

रेखा RLRLR ... RLRLR पर विचार करें। ऐसी पंक्ति में ठीक 1006 शूरवीर हैं।

9 वर्ग (समाधान और उत्तर)

उत्तर और समस्या समाधाननगरपालिका मंचस्कूली बच्चों के लिए अखिल रूसी ओलंपियाडअंक शास्त्र

1. उत्तर: उन लोगों से अधिक जिनकी संख्या अवरोही क्रम में है।

हल: 1) हम पहले समूह की संख्या लिखते हैं उल्टे क्रम. हम दूसरे समूह की संख्या प्राप्त करेंगे, और पहले समूह की विभिन्न संख्याओं से हमें प्राप्त करेंगे अलग संख्यादूसरा समूह। उसी समय, 0 में समाप्त होने वाले दूसरे समूह की संख्या, उदाहरण के लिए 98 760, पहले समूह की संख्या से "युग्मन" द्वारा प्राप्त नहीं की जा सकती (संख्या 06789 = 6789 पांच अंकों की नहीं है)। अतः दूसरे समूह में संख्या अधिक है।

2) पहले समूह की संख्याएँ 123 456 789 संख्या से चार अंकों को काटकर प्राप्त की जाती हैं, अर्थात् उन्हें, और दूसरे समूह की संख्याएँ - संख्या 9 876 543 210 से पाँच अंकों को हटाकर, अर्थात। उन्हें.

ग्रेड 10 (समाधान और उत्तर)

उत्तर और समस्या समाधाननगरपालिका मंचस्कूली बच्चों के लिए अखिल रूसी ओलंपियाडअंक शास्त्र

व्यक्त करना और समीकरण (1) और (3) से और समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम समीकरण को सरल करने के बाद प्राप्त करते हैं. इसे हल करते हुए, हम पाते हैं.

1. उत्तर : , , जहां . समाधान: शर्त के अनुसार और निम्न समीकरणों में से एक धारण करता है:, या . पहले मामले में, सिस्टम को हल करके, , हम पाते हैं . दूसरे मामले में, हम प्राप्त करते हैंया , . तीसरा मामला दूसरे के समान है।
2. उत्तर: कट इसके सिरों के बिना, बिंदु कहाँ हैबीम पर स्थित है और।

हल: चलो - बिंदुओं से होकर गुजरने वाला वृत्तऔर एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है . फिर खुदा कोणों की संपत्ति के अनुसार, तो अंक , , , एक ही घेरे पर लेट जाओ; यदिलाइन पर पड़ा है, तो अगर इस खंड के बाहर स्थित है (बिंदुछवि पर)। इस तरह,, क्योंकि और , अर्थात। बिन्दुओं से होकर जाने वाला वृत्ततथा . तो हमने दिखाया है कि बिंदुलाइन पर लेटना चाहिए. आइए अब हम दिखाते हैं कि इस खंड के किसी भी बिंदु को छोड़करतथा , बिंदुओं के वांछित स्थान में शामिल है। वास्तव में, चलो. फिर, एक बिंदु चुननाताकि, हम वह प्राप्त करें और।

ग्रेड 11 (समाधान और उत्तर)

उत्तर और समस्या समाधाननगरपालिका मंचस्कूली बच्चों के लिए अखिल रूसी ओलंपियाडअंक शास्त्र

आइए पहले मामले पर विचार करें। इसलिये, फिर सूत्र द्वारा दी गई परवलय की शाखाएँ, ऊपर की ओर निर्देशित। और तबसे, तो अक्ष के नीचे परवलय के बिंदु हैं. अतः परवलय अक्ष को प्रतिच्छेद करता है2 बिंदुओं पर। इसलिए, समीकरणदो वास्तविक जड़ें हैं।

दूसरे मामले में, परवलय की शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है, और, इसलिए परवलय अक्ष को काटता है2 बिंदुओं पर। फिर समीकरणफिर से दो वास्तविक मूल होते हैं।

2 रास्ते। असमानता पर विचार करें. असमानता को -4 से गुणा करके, असमानता के दोनों पक्षों को जोड़कर, बाईं ओर कोष्ठकों का विस्तार करना, हम पाते हैं: . कायापलट करते हैं दी गई असमानतादेखने के लिए:. तब से . इसलिए, समीकरण2 वास्तविक जड़ें हैं।

समाधान: स्पष्ट समाधान, , . यह स्पष्ट है कि शून्य घटकों वाली संख्याओं के अन्य त्रिक इस प्रणाली के समाधान नहीं हैं। यह मामले पर विचार करने के लिए बनी हुई है. फिर जाहिर है- पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज के कोने (- प्राकृतिक)। इसलिए त्रिगुणएक अन्य उपाय है।

4. उत्तर: आप नहीं कर सकते।

समाधान: तीरों को किसी तरह रखा जाए। हम सभी प्राप्त वैक्टरों को ऊंचाई वाली सीधी रेखा पर प्रोजेक्ट करते हैंइसलिए पिरामिड। आधार के तल में स्थित सदिशों के प्रक्षेप हैं, और पार्श्व किनारों पर स्थित सदिशों के अनुमान हैंया - . चूंकि पार्श्व किनारों पर स्थित सदिशों की संख्या विषम है, यह इस प्रकार है कि उनके अनुमानों का योग बराबर नहीं हो सकता है, इसलिए यह बराबरी नहीं कर सकताऔर सभी प्राप्त वैक्टरों का योग।

5 . आइए कक्षा में सभी छात्रों को नंबर दें प्राकृतिक संख्या 1 से 20 तक और द्वारा निरूपित करेंपरस्पर मित्रों की संख्यातथा वें छात्र, और ऐसी सभी संख्याओं का योगके माध्यम से . फिर, समस्या के दावे को साबित करने के लिए, कुछ के लिए यह दिखाना काफी हैतथा असमानता.

कुल संख्या होगी . चूंकि संख्या गिनते समय प्रत्येक छात्र के कक्षा में कम से कम 10 मित्र होते हैंप्रत्येक छात्र को हम कम से कम ध्यान में रखते हैंबार, इसलिए।

इस प्रकार, 1140 पूर्णांकों का योग कम से कम 2400 है, इसलिए संख्याओं में से एककम से कम 3, जिसे सिद्ध किया जाना था।