Տրված ուղղանկյունը կտրիր նշված պատկերներով։ Մաթեմատիկական օլիմպիադաներ և օլիմպիադայի խնդիրներ

Ուսուցչի ներածական խոսքը.

Մի փոքր պատմական նախապատմություն. շատ գիտնականներ հնագույն ժամանակներից ի վեր սիրում էին խնդիրները կտրել: Կտրման շատ պարզ խնդիրների լուծումներ գտել են հին հույները, չինացիները, սակայն այս թեմայով առաջին համակարգված տրակտատը պատկանում է Աբուլ-Վեֆի գրչին: Երկրաչափերը սկսեցին լրջորեն զբաղվել 20-րդ դարասկզբին թվերը ամենափոքր կտորներով կտրելու և այնուհետև 20-րդ դարասկզբին մեկ այլ պատկեր կառուցելու խնդրին: Այս բաժնի հիմնադիրներից էր հայտնի փազլների հիմնադիր Հենրի Դուդենին։

Այսօր գլուխկոտրուկների սիրահարները սիրում են առաջին հերթին լուծել խնդիրները, քանի որ նման խնդիրների լուծման ունիվերսալ մեթոդ գոյություն չունի, և յուրաքանչյուր ոք, ով հանձն է առնում լուծել դրանք, կարող է լիովին ցուցադրել իր հնարամտությունը, ինտուիցիան և ստեղծագործ մտածելու ունակությունը: (Դասում կնշենք կտրելու հնարավոր օրինակներից միայն մեկը: Հնարավոր է, որ աշակերտները ստանան որևէ այլ ճիշտ համադրություն. մի վախեցեք դրանից):

Ենթադրվում է, որ այս դասը պետք է իրականացվի գործնական պարապմունքի տեսքով։ Շրջանակի մասնակիցներին բաժանեք 2-3 հոգանոց խմբերի: Յուրաքանչյուր խմբին տրամադրեք ուսուցչի կողմից նախապես պատրաստված թվեր: Ուսանողները ունեն քանոն (բաժանումներով), մատիտ, մկրատ: Մկրատով թույլատրվում են միայն ուղիղ կտրվածքներ: Որոշ գործիչ մասերի կտրելով՝ անհրաժեշտ է նույն մասերից մեկ այլ պատկեր կազմել։

Կտրման առաջադրանքներ.

1). Փորձեք նկարում պատկերված պատկերը կտրել 3 հավասար մասերի.

Հուշում. Փոքր ձևերը շատ նման են T տառին:

2). Այժմ այս ցուցանիշը կտրեք 4 հավասար մասերի.

Հուշում. Հեշտ է կռահել, որ փոքր թվերը բաղկացած են լինելու 3 բջիջից, իսկ երեք բջիջների թվերն այնքան էլ շատ չեն: Կան միայն երկու տեսակ ՝ անկյուն և ուղղանկյուն:

3). Ֆիգուրը բաժանեք երկու նույնական մասերի և ստացված մասերից ծալեք շախմատի տախտակը։

Հուշում՝ Առաջարկեք առաջադրանքը սկսել երկրորդ մասից՝ ինչպես ստանալ շախմատի տախտակ։ Հիշեք, թե ինչ ձև ունի շախմատի տախտակը (քառակուսին): Հաշվեք բջիջների քանակը երկարությամբ, լայնությամբ: (Հիշեցրեք, որ պետք է լինի 8 բջիջ):

4). Փորձեք երեք հարվածով դանակը կտրել պանիրը ութ հավասար մասերի:

Հուշում. փորձեք պանիրը կտրատել երկայնքով:

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

1). Կտրեք թղթե քառակուսին և կատարեք հետևյալը.

· Կտրել այնպիսի 4 մասի, որոնցից կարելի է երկու հավասար փոքր քառակուսիներ պատրաստել։

կտրեք հինգ մասի` չորս հավասարաչափ եռանկյունի և մեկ քառակուսի և ծալեք այնպես, որ ստացվի երեք քառակուսի:

ա) Կտրեք կամայական եռանկյունը մի քանի կտորների, որպեսզի դրանք ծալվեն ուղղանկյունի:
բ) Կտրեք կամայական ուղղանկյունը մի քանի կտորների, որպեսզի դրանք ծալվեն քառակուսի:
գ) Կտրեք երկու կամայական քառակուսիները մի քանի կտորների, որպեսզի դրանցից մեկ մեծ քառակուսի ծալվի:

Հուշում 1

բ) Նախ կամայական ուղղանկյունից կառուցիր այնպիսի ուղղանկյուն, որի ամենամեծ կողմի և փոքր կողմի հարաբերակցությունը չորսից չի գերազանցում։

գ) Օգտագործեք Պյութագորասի թեորեմը:

Հուշում 2

ա) Գծե՛ք բարձրություն կամ միջնագիծ:

բ) Ուղղանկյուն դրեք այն քառակուսու վրա, որը ցանկանում եք ստանալ և գծեք «անկյունագիծ»:

գ) Կցեք քառակուսիները միմյանց, ավելի մեծ քառակուսու կողմում, չափեք ավելի փոքր քառակուսու երկարությանը հավասար հատված, այնուհետև միացրեք այն քառակուսիներից յուրաքանչյուրի «հակառակ» գագաթներին (տե՛ս նկ. 1): .

Լուծում

ա) Թող տրվի կամայական եռանկյուն ABC. Գծեք միջին գիծը MNկողքին զուգահեռ ԱԲ, և ստացված եռանկյունում CMNեկեք իջեցնենք բարձրությունը CD. Բացի այդ, մենք ուղղակիորեն ընկնում ենք MNուղղահայացներ Ա.Կև ԲԼ. Հետո հեշտ է տեսնել, որ ∆ ԱԿՄ = ∆ՄԶՄև ∆ BLN = ∆CDNորպես ուղղանկյուն եռանկյուններ՝ համապատասխան զույգ կողմերով և զույգ անկյուններով հավասար:

Սրանից հետևում է այս եռանկյունը կտրելու և այնուհետև կտորները վերադասավորելու մեթոդը: Մասնավորապես, հատվածների երկայնքով կտրվածքներ ենք գծելու MNև CD. Դրանից հետո եկեք տեղափոխենք եռանկյունները ՄԶՄև CDNեռանկյունների փոխարեն ԱԿՄև BLNհամապատասխանաբար, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 2. Ստացանք ուղղանկյուն ԱԿԼԲ, ինչպես պահանջվում է առաջադրանքում:

Նշենք, որ այս մեթոդը չի աշխատի, եթե անկյուններից մեկը ՏԱՔՍԻկամ ԿԲ- հիմար: Դա պայմանավորված է նրանով, որ այս դեպքում բարձրությունը CDչի ընկած եռանկյունու ներսում CMN. Բայց սա այնքան էլ սարսափելի չէ. եթե միջին գիծը գծենք սկզբնական եռանկյունու ամենաերկար կողմին զուգահեռ, ապա կտրված եռանկյունում մենք կիջեցնենք բարձրությունը բութ անկյան տակից, և այն անպայման ընկած կլինի եռանկյունու ներսում:

բ) Թող տրվի ուղղանկյուն Ա Բ Գ Դ, որի կողմերը ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆև ԱԲհավասար աև բհամապատասխանաբար, և ա > բ. Այնուհետև քառակուսու մակերեսը, որը մենք ցանկանում ենք ստանալ արդյունքում, պետք է հավասար լինի աբ. Այսպիսով, քառակուսու կողմի երկարությունը √ է աբ, որը պակաս է ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ, բայց ավելին, քան ԱԲ.

Եկեք հրապարակ կառուցենք APQR, հավասար է ցանկալիին, որպեսզի կետը Բպառկել եզրին ԱՊ, և կետը Ռ- հատվածի վրա ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ. Թող PDհատում է հատվածները մ.թ.աև QRկետերում Մև Նհամապատասխանաբար. Հետո հեշտ է տեսնել, որ եռանկյունները PBM, ՊԱԴև NRDնմանատիպ, և բացի այդ BP = (√աբ – բ) և RD = (ա – √աբ) Նշանակում է,

Հետևաբար, ∆ PBM = ∆NRDերկու կողմերում և նրանց միջև եղած անկյունը: Հավասարությունները նույնպես հեշտ է դուրս բերել PQ = ԲԿև NQ = CD, ինչը նշանակում է, որ ∆ PQN = ∆MCDնաև երկու կողմերում և նրանց միջև եղած անկյունը:

Վերոնշյալ բոլոր պատճառաբանություններից հետևում է կտրման եղանակը. Դա ճիշտ է, նախ մենք հետաձգում ենք կողմերին ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆև մ.թ.ահատվածներ ԱՌև ՍՄ, որի երկարությունները √ են աբ(ձևի հատվածներ կառուցելու մասին √ աբ, տես «Կանոնավոր բազմանկյուններ» խնդիրը «Լուծում» բաժնում): Հաջորդը, վերականգնեք հատվածին ուղղահայացը ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆկետում Ռ. Այժմ մնում է միայն կտրել եռանկյունները MCDև NRDև դասավորեք դրանք, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 3.

Նշենք, որ այս մեթոդն օգտագործելու համար պահանջվում է, որ կետը Մհատվածի ներսում էր ԲԿ(հակառակ դեպքում ոչ ամբողջ եռանկյունին NRDպարունակվում է ուղղանկյունի մեջ Ա Բ Գ Դ) Այսինքն՝ դա անհրաժեշտ է

Եթե ​​այս պայմանը չի կատարվում, ապա նախ պետք է տրված ուղղանկյունը դարձնել ավելի լայն և ավելի քիչ երկար։ Դա անելու համար պարզապես կտրեք այն կիսով չափ և տեղափոխեք կտորները, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 4. Հասկանալի է, որ նման վիրահատությունից հետո մեծ կողմի և փոքրի հարաբերակցությունը չորս անգամ կնվազի։ Այսպիսով, դա անելով բավականաչափ մեծ քանակությամբ անգամ, վերջում մենք ստանում ենք ուղղանկյուն, որին կտրում է Նկ. 3.

գ) Դիտարկենք տրված երկու քառակուսի Ա Բ Գ Դև DPQR, դրանք միմյանց կցելով այնպես, որ հատվեն կողքի երկայնքով CDավելի փոքր քառակուսի և ուներ ընդհանուր գագաթ Դ. Մենք դա կենթադրենք PD = աև ԱԲ = բև, ինչպես արդեն նշել ենք, ա > բ. Հետո կողքի վրա Դոկտավելի մեծ քառակուսի, մենք կարող ենք դիտարկել նման կետ Մ, ինչ Պրն = ԱԲ. Պյութագորասի թեորեմի համաձայն.

Թող կետերով անցնող գծերը Բև Քուղիղ գծերին զուգահեռ MQև ԲՄհամապատասխանաբար հատվում են կետում Ն. Այնուհետև քառանկյունը BMQNզուգահեռագիծ է, և քանի որ նրա բոլոր կողմերը հավասար են, այն ռոմբ է։ Բայց ∆ ԲԱՄ = ∆MRQերեք կողմերից, որտեղից հետևում է (նկատի ունենալով, որ անկյունները ԲԱՄև MRQուղիղ գծեր) որ . Այս կերպ, BMQN- քառակուսի. Քանի որ նրա տարածքը ( ա 2 + բ 2), ապա սա հենց այն քառակուսին է, որը մենք պետք է ստանանք:

Կտրմանը անցնելու համար մնում է նշել, որ ∆ ԲԱՄ = ∆MRQ = ∆BCN = ∆NPQ. Դրանից հետո ակնհայտ է դառնում այն, ինչ պետք է անել՝ անհրաժեշտ է կտրել եռանկյունները ԲԱՄև MRQև դասավորեք դրանք, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 5.

Հետբառ

Առաջարկված խնդիրները լուծելուց հետո ընթերցողը, հավանաբար, կմտածի հետևյալ հարցի շուրջ. ե՞րբ կարելի է տրված մի բազմանկյունը ուղիղ գծերով կտրել վերջավոր թվով այնպիսի կտորների, որոնք կազմում են մեկ այլ տրված բազմանկյուն: Մի փոքր մտածելուց հետո նա կհասկանա, որ գոնե անհրաժեշտ է, որ այս բազմանկյունների մակերեսները հավասար լինեն։ Այսպիսով, սկզբնական հարցը վերածվում է հետևյալի. ճի՞շտ է, որ եթե երկու բազմանկյուններ ունեն նույն մակերեսը, ապա դրանցից մեկը կարող է կտրվել մասերի, որոնք կազմում են երկրորդը (երկու բազմանկյունների այս հատկությունը կոչվում է համահավասարություն): Պարզվում է, որ դա իսկապես այդպես է, և այս մասին մեզ ասում է 19-րդ դարի 30-ականներին ապացուցված Բոլայ-Գերվինի թեորեմը։ Ավելի ճիշտ՝ դրա ձեւակերպումը հետեւյալն է.

Բոլայ-Գերվինի թեորեմ.Երկու բազմանկյունները հավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանք ունեն հավասար չափեր:

Այս ուշագրավ արդյունքի ապացույցի հիմքում ընկած գաղափարը հետևյալն է. Նախ, մենք կապացուցենք ոչ թե թեորեմի պնդումը, այլ այն փաստը, որ տրված հավասար մակերեսով երկու բազմանկյուններից յուրաքանչյուրը կարող է կտրվել միևնույն տարածքի քառակուսի ձևավորող կտորների։ Դա անելու համար մենք նախ բազմանկյուններից յուրաքանչյուրը բաժանում ենք եռանկյունների (այդպիսի բաժանումը կոչվում է եռանկյունավորում) Եվ հետո մենք յուրաքանչյուր եռանկյունին վերածում ենք քառակուսու (օրինակ՝ օգտագործելով այս խնդրի ա) և բ) պարբերություններում նկարագրված մեթոդը): Մնում է ավելացնել մեկ մեծ քառակուսի մեծ թվով փոքր քառակուսիներից - մենք դա կարող ենք անել շնորհիվ գ կետի):

Նմանատիպ հարցը պոլիեդրայի համար Դեյվիդ Հիլբերտի հայտնի խնդիրներից մեկն է (երրորդը), որը նա ներկայացրել է 1900 թվականին Փարիզում կայացած մաթեմատիկոսների II միջազգային կոնգրեսի զեկույցում։ Հատկանշական է, որ դրա պատասխանը բացասական է ստացվել։ Արդեն երկու այնպիսի պարզագույն բազմաեդրների դիտարկումը, ինչպիսին է խորանարդը և կանոնավոր քառաեդրոնը, ցույց է տալիս, որ դրանցից ոչ մեկը չի կարող կտրվել վերջավոր թվով մասերի, որպեսզի մյուսը կազմված լինի դրանցից: Եվ դա պատահական չէ. նման կտրվածք պարզապես գոյություն չունի:

Հիլբերտի երրորդ խնդրի լուծումը ստացել է նրա ուսանողներից մեկը՝ Մաքս Դենը, արդեն 1901 թ. Դենը հայտնաբերել է անփոփոխ մեծություն, որը չի փոխվել բազմաեզրերը կտորների կտրելիս և դրանք ծալել նոր թվերի մեջ: Այնուամենայնիվ, այս արժեքը տարբեր է որոշ պոլիեդրների համար (մասնավորապես՝ խորանարդի և կանոնավոր քառաեդրոնի համար)։ Վերջին հանգամանքը հստակորեն վկայում է այն փաստի մասին, որ այս բազմանիստները հավասարապես կազմված չեն։

Առաջադրանք 1:Ուղղանկյունը, որի կողմերը ամբողջ թվեր են, կարելի է կտրել ձևի թվերի (նկարի բջիջի կողմը հավասար է մեկի): Ապացուցեք, որ այն կարելի է կտրել 1 × 5 ուղղանկյունների։

(Դ.~ Կարպով)

Լուծում:Այս ուղղանկյունի մակերեսը հավասարապես բաժանվում է նշված գործչի մակերեսին, այսինքն՝ 5-ի։ Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է կողմերի երկարությունների արտադրյալին: Քանի որ կողմերի երկարությունները ամբողջ թվեր են, իսկ 5-ը պարզ թիվ է, կողմերից մեկի երկարությունը պետք է բաժանվի 5-ի: Այս կողմը և հակառակ կողմը բաժանում ենք 5 երկարությամբ հատվածների, իսկ մյուս երկու կողմերը՝ 1 երկարությամբ հատվածների, որից հետո ուղիղ գծերով միացնում ենք հակառակ կողմերի համապատասխան կետերը։ Առաջադրանք 2:Լուծել հավասարումների համակարգը իրական թվերով

(Ա.~Խրաբրով)

Լուծում:Պատասխան. Համակարգն ունի եզակի լուծում՝ a = b = c = d = 0: Համակարգի երկու հավասարումները գումարելով՝ ստանում ենք 8a² + 9b² + 7c² + 4d² = 16ab + 8cd անհավասարություններից 2ab ≤ a² + b²: և 2cd ≤ c² + d² հետևում է, որ այս հավասարման աջ կողմը մեծ չէ ձախից, և հավասարություն կարելի է ձեռք բերել միայն այն դեպքում, եթե b = 0, c = 0, a = b և c = d: Այսպիսով, այս համակարգի միակ հնարավոր լուծումը a = b = c = d = 0 է:

Երկրորդ տարբերակը լուծվում է նույն կերպ.

Առաջադրանք 3: ABCD ռոմբուսում AB և BC կողմերում վերցված են համապատասխանաբար E և F կետերը, որպեսզի CF/BF = BE/AE = 1994 թ. Պարզվեց, որ DE = DF: Գտեք EDF անկյան արժեքը:

Լուծում:Պատասխաններ՝ առաջին տարբերակում՝ 60, երկրորդում՝ 120։

Խնդրի պայմաններից (երկու տարբերակներում էլ) հետևում է, որ BE = CF: AB կողմում դնենք AK հատված, որը հավասար է BE-ին: ADK և CDF եռանկյունները հավասար են երկու կողմերում և անկյան տակ (AD = CD, AK = CF, ∠ DAK = ∠ DCF): Այսպիսով, DK = DF = DE, այսինքն, DKE եռանկյունը հավասարաչափ է: Մասնավորապես, DKE և DEK անկյունները նրա հիմքում հավասար են: Հետևաբար, ADK և BDE եռանկյունները համահունչ են (երկու կողմերում և անկյունում. AK = BE, DK = DE, ∠DKA = ∠DEB): Այսպիսով, AD \u003d BD, այսինքն, ABD եռանկյունը հավասարակողմ է: Հետևաբար, ∠ BAD = 60, ∠ ABC = 120:

Առաջադրանք 4: Sport-ZaRazum ֆեդերացիայի կանոնների համաձայն՝ ֆուտբոլային հանդիպման հաղթողը որոշվում է 129 զույգ տուգանայինների շարքով։ Թիմերը հերթով կատարում են 11 մետրանոցներ: Եթե ​​թիմերից մեկը ժամանակից շուտ հաղթանակ է ապահովում, ապա 11 մետրանոցը դադարեցվում է, իսկ հանդիպումը դադարեցնելու որոշումը կայացվում է այն պահին, երբ թիմերը կատարել են հավասար քանակությամբ հարվածներ։ Քանի՞ գոլ խփեց հաղթող թիմը նման խաղում, եթե բոլոր հարվածների ուղիղ կեսը դիպավ դարպասին:

(Ա.~Խրաբրով)

Լուծում:Թող A թիմը հաղթի B թիմին այս կանոններով խաղում (գուցե ժամանակից շուտ ապահովելով հաղթանակ): Սա նշանակում է, որ մնացած (չիրագործված) 11 մետրանոցների ցանկացած հնարավոր արդյունքի դեպքում A թիմը կունենար ավելի բարձր միավոր, քան B թիմը: Եկեք պատկերացնենք, որ թիմերը շարունակեցին 11 մետրանոցներ իրացնել խաղի ավարտից հետո և իրացրին մնացած բոլոր 11 մետրանոցները. A թիմն այլևս գոլեր չխփեց, և B թիմն այլևս բաց չթողեց: Միևնույն ժամանակ, A-ի խփած գոլերի ընդհանուր թիվը դեռևս կմնա ավելի շատ, քան B-ի խփած գոլերը (հենց դա է նշանակում «վաղ հաղթանակ» բառերը): Որքան ավելին կարող է լինել: Ընդամենը 1-ով կամ 2-ով: Իսկապես, եթե տարբերությունը երկուսից ավելի լիներ, ապա A թիմի հաղթանակն անխուսափելի կդառնար ավելի վաղ՝ մինչև 11 մետրանոցների վերջին զույգը ճեղքելը:

Այնուհետև նշում ենք, որ մեր դիտարկած հանդիպման շարունակության ընթացքում բոլոր հարվածների ուղիղ կեսը դիպել է դարպասին։ Այսպիսով, բոլոր 129 զույգ հարվածներից ուղիղ կեսը դիպավ դարպասին, այսինքն՝ ուղիղ 129-ը։ Այս 129 գոլերը բաժանվում են A-ի և B-ի միջև, որպեսզի A-ն ունենա 1 կամ 2 ևս: Սա եզակիորեն որոշում է A թիմի խփած գոլերի քանակը՝ 65:

Առաջադրանք 5:Լուծե՛ք հավասարումը բնական թվերով.

(Դ.~ Կարպով)

Լուծում:Այս հավասարումն ունի եզակի լուծում՝ x = 2, y = 1, z = 2 (երկու դեպքում էլ): Այն, որ դա լուծում է, բխում է a² + (2a + 1) = (a + 1)²\ ընդհանուր նույնականությունից, որն առաջին տարբերակում կիրառվում է a = 105-ի համար, իսկ երկրորդում՝ a = 201-ի համար:

Այլ լուծումներ չկան, քանի որ եթե z > 2, ապա հավասարման աջ կողմը բաժանվում է 8-ի, իսկ ձախ կողմը` ոչ, քանի որ 105 x-ը կարող է տալ միայն 1 մնացորդը, երբ բաժանվում է 8-ի, իսկ 211 y-ը կարող է տալ միայն: մնացորդները 1 և 3: Մնում է նշել, որ z = 1-ի համար նույնպես լուծումներ չկան, մինչդեռ z = 2-ի համար y = 1 և x = 2 արժեքները եզակիորեն որոշված ​​են:

Մաթեմատիկայի ուսուցիչների և տարբեր ընտրովի առարկաների և շրջանակների ուսուցիչների ուշադրության համար առաջարկվում է զվարճալի և զարգացնող երկրաչափական կտրման առաջադրանքների ընտրություն: Դասընթացավարի կողմից նման առաջադրանքների կիրառման նպատակը ոչ միայն աշակերտին հետաքրքրելն է բջիջների և ձևերի հետաքրքիր և արդյունավետ համակցություններով, այլև նրա մեջ ձևավորել գծերի, անկյունների և ձևերի զգացում: Առաջադրանքների հավաքածուն հիմնականում ուղղված է 4-6-րդ դասարանների երեխաներին, թեև այն հնարավոր է օգտագործել նույնիսկ ավագ դպրոցի աշակերտների հետ։ Զորավարժությունները ուսանողներից պահանջում են ուշադրության բարձր և կայուն կենտրոնացում և հիանալի են տեսողական հիշողությունը զարգացնելու և մարզելու համար: Առաջարկվում է մաթեմատիկայի կրկնուսույցներին, ովքեր պատրաստում են ուսանողներին մաթեմատիկայի դպրոցներում և դասարաններում ընդունելության քննություններին, որոնք հատուկ պահանջներ են դնում երեխայի անկախ մտածողության և ստեղծագործական մակարդակի վրա: Առաջադրանքների մակարդակը համապատասխանում է լիցեյի «երկրորդ դպրոց» (երկրորդ մաթեմատիկական դպրոց) ներածական օլիմպիադաների մակարդակին, Մոսկվայի պետական ​​համալսարանի փոքր Մեխմատին, Կուրչատովի դպրոցին և այլն:

Մաթեմատիկայի դասախոսի նշում.
Որոշ խնդիրների լուծումներում, որոնք կարող եք դիտել՝ սեղմելով համապատասխան ցուցիչի վրա, նշված է միայն կտրման հնարավոր օրինակներից մեկը։ Ես լիովին ընդունում եմ, որ դուք կարող եք ստանալ մեկ այլ ճիշտ համադրություն. մի վախեցեք դրանից: Զգուշորեն ստուգեք ձեր մկնիկի լուծումը և եթե այն բավարարում է պայմանին, ապա ազատ զգալ կատարեք հաջորդ առաջադրանքը:

1) Փորձեք նկարում պատկերված պատկերը կտրել 3 հավասար մասերի.

Փոքր թվերը շատ նման են T տառին

2) Այժմ այս ցուցանիշը կտրեք 4 հավասար մասերի.

Մաթեմատիկայի դաստիարակի հուշումՀեշտ է կռահել, որ փոքր թվերը բաղկացած կլինեն 3 բջիջից, իսկ երեք բջիջների թվերն այնքան էլ շատ չեն: Նրանցից միայն երկու տեսակ կա՝ անկյուն և 1 × 3 ուղղանկյուն։

3) Այս թիվը կտրեք 5 հավասար մասերի.

Գտե՛ք բջիջների քանակը, որոնցից բաղկացած է յուրաքանչյուր նման պատկեր: Այս արձանիկները նման են G տառին:

4) Եվ հիմա դուք պետք է կտրեք տասը բջիջների թիվը 4-ի անհավասարուղղանկյուն (կամ քառակուսի) միմյանց:

Մաթեմատիկայի կրկնուսույցի նշումԸնտրեք ուղղանկյուն, այնուհետև փորձեք մուտքագրել ևս երեքը մնացած բջիջներում: Եթե ​​դա չի աշխատում, ապա փոխեք առաջին ուղղանկյունը և նորից փորձեք:

5) Խնդիրն ավելի է բարդանում. անհրաժեշտ է նկարը կտրել 4-ի տարբեր ձևովթվեր (պարտադիր չէ, որ ուղղանկյուններ լինեն):

Մաթեմատիկայի դաստիարակի հուշումնախ առանձին նկարեք տարբեր ձևերի բոլոր տեսակի ձևերը (դրանցից չորսից ավելի կլինի) և կրկնեք տարբերակների թվարկման եղանակը, ինչպես նախորդ առաջադրանքում:
:

6) Կտրեք այս պատկերը տարբեր ձևերի չորս բջիջների 5 թվերի, որպեսզի դրանցից յուրաքանչյուրում լցվի միայն մեկ կանաչ բջիջ:

Մաթեմատիկայի դասախոսի խորհուրդ.Փորձեք սկսել կտրել այս ձևի վերին եզրից և անմիջապես կհասկանաք, թե ինչպես շարունակել:
:

7) Ելնելով նախորդ խնդրից. Գտեք տարբեր ձևերի քանի՞ ֆիգուր կա՝ բաղկացած ուղիղ չորս բջիջից: Ֆիգուրները կարող են ոլորվել, պտտվել, բայց անհնար է բարձրացնել սոստոլը (իր մակերեսից), որի վրա այն ընկած է։ Այսինքն՝ տրված երկու թվերը հավասար չեն համարվի, քանի որ դրանք իրարից չեն կարող ստացվել ռոտացիայի միջոցով։

Մաթեմատիկայի դասախոսի խորհուրդ.Ուսումնասիրեք նախորդ խնդրի լուծումը և փորձեք պատկերացնել այս գործիչների տարբեր դիրքերը շրջելիս: Հեշտ է կռահել, որ մեր խնդրի պատասխանը կլինի 5 կամ ավելի թիվը։ (Իրականում, նույնիսկ ավելի քան վեց): Ընդհանուր առմամբ կան նկարագրված թվերի 7 տեսակ:

8) 16 բջիջներից բաղկացած քառակուսին կտրեք 4 հավասար մասերի, որպեսզի չորս մասերից յուրաքանչյուրն ունենա ուղիղ մեկ կանաչ բջիջ:

Մաթեմատիկայի դաստիարակի հուշումՓոքր ֆիգուրների տեսքը քառակուսի կամ ուղղանկյուն չէ, և նույնիսկ չորս բջիջների մի անկյուն: Այսպիսով, ի՞նչ ձևեր պետք է փորձենք կտրել:

9) Պատկերված պատկերը կտրեք երկու մասի, որպեսզի ստացված մասերից քառակուսի ծալվի։

Մաթեմատիկայի դաստիարակի հուշումԸնդհանուր առմամբ, նկարում կա 16 բջիջ, ինչը նշանակում է, որ քառակուսին կլինի 4 × 4 չափի: Եվ ինչ-որ կերպ դուք պետք է լրացնեք պատուհանը մեջտեղում: Ինչպե՞ս դա անել: Միգուցե ինչ-որ տեղաշարժ. Այնուհետեւ, քանի որ ուղղանկյունի երկարությունը հավասար է կենտ թվով բջիջների, կտրումը պետք է կատարվի ոչ թե ուղղահայաց կտրվածքով, այլ կոտրված գծով։ Որպեսզի միջին խցերից վերին հատվածը մի կողմից կտրվի, մյուս կողմից՝ ստորին հատվածը։

10) Կտրեք 4×9 ուղղանկյունը երկու մասի, որպեսզի արդյունքում կարողանաք դրանցից քառակուսի ավելացնել։

Մաթեմատիկայի դաստիարակի հուշումՈւղղանկյունում կա 36 բջիջ: Այսպիսով, քառակուսին կլինի 6 × 6 չափս: Քանի որ երկար կողմը բաղկացած է ինը բջիջներից, դրանցից երեքը պետք է կտրվեն: Ինչպե՞ս կանցնի այս կտրվածքը:

11) Նկարում ներկայացված հինգ բջիջների խաչը պետք է կտրել (կարող եք բջիջներն իրենք կտրել) այնպիսի մասերի, որոնցից կարելի է քառակուսի ծալել:

Մաթեմատիկայի դաստիարակի հուշումՀասկանալի է, որ ինչպես էլ կտրենք բջիջների գծերով, մենք քառակուսի չենք ստանա, քանի որ կա ընդամենը 5 բջիջ: Սա միակ խնդիրն է, որում թույլատրվում է կտրել: ոչ բջիջներում. Այնուամենայնիվ, լավ կլինի դրանք թողնել որպես ուղեցույց։ Օրինակ, հարկ է նշել, որ մենք ինչ-որ կերպ պետք է հեռացնենք այն փոսերը, որոնք ունենք, մասնավորապես, մեր խաչի ներքին անկյուններում: Ինչպե՞ս կանեիք դա: Օրինակ՝ խաչի արտաքին անկյուններից մի քանի ցցված եռանկյուններ կտրելով...