Ցուցադրումը բազմապատկման հետ սերտորեն կապված գործողություն է, այս գործողությունն ինքնին թվի բազմապատկման արդյունք է։ Ներկայացնենք բանաձևը՝ a1 * a2 * ... * an = an:

Օրինակ՝ a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8:

Ընդհանուր առմամբ, աստիճանականացումը հաճախ օգտագործվում է մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի տարբեր բանաձևերում: Այս ֆունկցիան ավելի գիտական ​​նպատակ ունի, քան չորս հիմնականները՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում։

Թիվը հզորության հասցնելը

Թիվը հզորության հասցնելը դժվար գործ չէ։ Այն կապված է բազմապատկման հետ, ինչպես բազմապատկման և գումարման հարաբերությունները: Արձանագրել an - «a» թվերի n-րդ թվի կարճ գրառում՝ իրարով բազմապատկված։

Դիտարկենք աստիճանը ամենապարզ օրինակների վրա՝ անցնելով բարդ օրինակներին:

Օրինակ, 42. 42 = 4 * 4 = 16: Չորս քառակուսի (երկրորդ հզորության նկատմամբ) հավասար է տասնվեցի: Եթե ​​դուք չեք հասկանում 4 * 4 բազմապատկումը, ապա կարդացեք մեր հոդվածը բազմապատկման մասին:

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ. 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Հինգ խորանարդ (մինչև երրորդ ուժ) հավասար է հարյուր քսանհինգի:

Մեկ այլ օրինակ՝ 9^3։ 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Ինը խորանարդը հավասար է յոթ հարյուր քսանինը:

Ցուցադրման բանաձևեր

Հզորությունը ճիշտ բարձրացնելու համար հարկավոր է հիշել և իմանալ ստորև բերված բանաձևերը: Սրա մեջ բնականից այն կողմ ոչինչ չկա, գլխավորը հասկանալն է էությունը, և այդ ժամանակ դրանք ոչ միայն կհիշվեն, այլև հեշտ կթվան։

Միավորի բարձրացում դեպի իշխանություն

Ի՞նչ է մոնոմինը: Սա ցանկացած քանակի թվերի և փոփոխականների արտադրյալն է: Օրինակ, երկուսը միածին է: Եվ այս հոդվածը նման մենատիրություններն իշխանության հասցնելու մասին է։

Օգտագործելով աստիճանականության բանաձևեր, դժվար չի լինի հաշվարկել մոնոմի աստիճանը դեպի հզորություն։

Օրինակ, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Եթե ​​դուք մոնոմինը բարձրացնում եք հզորության, ապա մոնոմի յուրաքանչյուր բաղադրիչ բարձրացվում է հզորության:

Երբ մեծացնում ենք փոփոխականը, որն արդեն ունի աստիճան մինչև հզորություն, աստիճանները բազմապատկվում են: Օրինակ, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

Բացասական ուժի բարձրացում

Բացասական ցուցանիշը թվի փոխադարձ ցուցանիշն է: Ի՞նչ է փոխադարձությունը: Ցանկացած X թվի համար փոխադարձը 1/X է: Այսինքն X-1=1/X։ Սա է բացասական աստիճանի էությունը։

Դիտարկենք օրինակը (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3):

Ինչո՞ւ է այդպես։ Քանի որ աստիճանի մեջ մինուս կա, մենք ուղղակի այս արտահայտությունը փոխանցում ենք հայտարարին, այնուհետև այն բարձրացնում ենք երրորդ աստիճանի։ Ճիշտ է?

Բարձրացում դեպի կոտորակային ուժ

Սկսենք կոնկրետ օրինակից։ 43/2. Ի՞նչ է նշանակում հզորություն 3/2: 3 - համարիչ, նշանակում է թիվը (այս դեպքում՝ 4) հասցնել խորանարդի։ 2 թիվը հայտարարն է, սա թվի երկրորդ արմատի (այս դեպքում՝ 4) արդյունահանումն է։

Այնուհետև մենք ստանում ենք 43 = 2^3 = 8 քառակուսի արմատը: Պատասխան՝ 8.

Այսպիսով, կոտորակային աստիճանի հայտարարը կարող է լինել կամ 3 կամ 4, իսկ մինչև անսահման ցանկացած թիվ, և այս թիվը որոշում է տրված թվից հանված քառակուսի արմատի աստիճանը: Իհարկե, հայտարարը չի կարող զրո լինել։

Արմատ բարձրացնել դեպի իշխանություն

Եթե ​​արմատը բարձրացվում է բուն արմատի հզորությանը հավասար ուժի, ապա պատասխանը արմատական ​​արտահայտությունն է։ Օրինակ, (√x)2 = x: Եվ այսպես՝ արմատի աստիճանի և արմատի բարձրացման աստիճանի հավասարության դեպքում։

Եթե ​​(√x)^4. Այնուհետև (√x)^4=x^2: Լուծումը ստուգելու համար արտահայտությունը թարգմանում ենք կոտորակային աստիճանով արտահայտության։ Քանի որ արմատը քառակուսի է, հայտարարը 2 է։ Իսկ եթե արմատը բարձրացվում է չորրորդ աստիճանի, ապա համարիչը 4 է։ Ստանում ենք 4/2=2։ Պատասխան՝ x = 2:

Ամեն դեպքում, լավագույն տարբերակը արտահայտությունը պարզապես կոտորակային ցուցիչի վերածելն է։ Եթե ​​կոտորակը չպակասեցվի, ապա այդպիսի պատասխան կլինի՝ պայմանով, որ տրված թվի արմատը չհատկացվի։

Կոմպլեքս թվի աստիճանականացում

Ի՞նչ է կոմպլեքս թիվը: Կոմպլեքս թիվը արտահայտություն է, որն ունի a + b * i բանաձևը; a, b-ն իրական թվեր են: i-ն այն թիվն է, որը քառակուսի դնելով տալիս է -1 թիվը:

Դիտարկենք մի օրինակ։ (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Գրանցվեք «Արագացնել մտավոր հաշվարկը, ոչ թե մտավոր թվաբանությունը» դասընթացին, որպեսզի սովորեք, թե ինչպես արագ և ճիշտ գումարել, հանել, բազմապատկել, բաժանել, քառակուսի թվեր և նույնիսկ արմատավորել: 30 օրվա ընթացքում դուք կսովորեք, թե ինչպես օգտագործել հեշտ հնարքներ՝ թվաբանական գործողությունները պարզեցնելու համար։ Յուրաքանչյուր դաս պարունակում է նոր տեխնիկա, հստակ օրինակներ և օգտակար առաջադրանքներ:

Ցուցադրում առցանց

Մեր հաշվիչի օգնությամբ դուք կարող եք հաշվարկել թվի աստիճանականությունը դեպի հզորություն.

7-րդ աստիճանի աստիճան

Իշխանության բարձրացումը սկսում է դպրոցականներին անցնել միայն յոթերորդ դասարանում:

Ցուցադրումը գործողություն է, որը սերտորեն կապված է բազմապատկման հետ, այս գործողությունն ինքնին թվի բազմապատկման արդյունք է։ Ներկայացնենք բանաձևը՝ a1 * a2 * … * an=an .

Օրինակ, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Լուծման օրինակներ.

Ցուցադրական ներկայացում

Ցուցադրություն՝ նվիրված յոթերորդ դասարանցիներին: Ներկայացումը կարող է պարզաբանել որոշ անհասկանալի կետեր, բայց մեր հոդվածի շնորհիվ նման կետեր հավանաբար չեն լինի։

Արդյունք

Մաթեմատիկան ավելի լավ հասկանալու համար մենք դիտարկել ենք միայն այսբերգի ծայրը. գրանցվեք մեր դասընթացին. Արագացրեք մտավոր հաշվարկը, ՈՉ մտավոր թվաբանությունը:

Դասընթացից դուք ոչ միայն կսովորեք պարզեցված և արագ բազմապատկման, գումարման, բազմապատկման, բաժանման, տոկոսների հաշվարկի տասնյակ հնարքներ, այլև կմշակեք դրանք հատուկ առաջադրանքներում և ուսումնական խաղերում: Մտավոր հաշվումը նույնպես մեծ ուշադրություն և կենտրոնացում է պահանջում, որոնք ակտիվորեն մարզվում են հետաքրքիր խնդիրների լուծման գործում։

Լիազորությունների աղյուսակ 2 (երկու) 0-ից մինչև 32

Վերոնշյալ աղյուսակը, բացի երկուսի հզորությունից, ցույց է տալիս առավելագույն թվերը, որոնք համակարգիչը կարող է պահել տվյալ թվով բիթերի համար: Եվ և՛ ամբողջ, և՛ նշան ունեցող թվերի համար։

Պատմականորեն համակարգիչները օգտագործում էին երկուական թվային համակարգը և, համապատասխանաբար, տվյալների պահպանումը: Այսպիսով, ցանկացած թիվ կարող է ներկայացվել որպես զրոների և միավորների հաջորդականություն (տեղեկատվության բիթ): Թվերը որպես երկուական հաջորդականություն ներկայացնելու մի քանի եղանակ կա:

Դիտարկենք դրանցից ամենապարզը` սա դրական ամբողջ թիվ է: Այնուհետև որքան մեծ է այն թիվը, որը մենք պետք է գրենք, այնքան երկար կլինի մեզ անհրաժեշտ բիթերի հաջորդականությունը:

Ստորև ներկայացված է 2-րդ համարի լիազորությունների աղյուսակ. Այն մեզ կտա պահանջվող քանակի բիթերի ներկայացում, որոնք մեզ անհրաժեշտ են թվերը պահելու համար:

Ինչպես օգտագործել երկուսի լիազորությունների աղյուսակ?

Առաջին սյունակն է երկուսի ուժ, որը միաժամանակ նշանակում է թիվը ներկայացնող բիթերի թիվը։

Երկրորդ սյունակ - արժեք երկուսը համապատասխան հզորության (n).

2 թվի հզորությունը գտնելու օրինակ. Առաջին սյունակում մենք գտնում ենք 7 թիվը: Մենք նայում ենք աջ կողմի գծի երկայնքով և գտնում արժեքը երկուսից յոթերորդ իշխանություն(2 7) 128 է

Երրորդ սյունակ - առավելագույն թիվը, որը կարող է ներկայացվել բիթերի տրված քանակով(առաջին սյունակում):

Առավելագույն անստորագիր ամբողջ թվի որոշման օրինակ. Օգտագործելով նախորդ օրինակի տվյալները՝ մենք գիտենք, որ 2 7 = 128: Սա ճիշտ է, եթե մենք ուզում ենք հասկանալ, թե ինչ թվերի քանակը, կարելի է ներկայացնել յոթ բիթ օգտագործելով: Բայց քանի որ առաջին թիվը զրո է, ապա առավելագույն թիվը, որը կարելի է ներկայացնել յոթ բիթերի միջոցով, 128 - 1 = 127 է: Սա երրորդ սյունակի արժեքն է:

Հզորությունը երկու (n)	Երկու արժեքի ուժ 2n	Առավելագույն անստորագիր թիվ, գրված է n բիթով	Ստորագրված առավելագույն թիվը, գրված է n բիթով
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647

Մենք պարզեցինք, թե որն է ընդհանուր թվի աստիճանը: Այժմ մենք պետք է հասկանանք, թե ինչպես ճիշտ հաշվարկել այն, այսինքն. բարձրացնել թվերը իշխանության. Այս նյութում մենք կվերլուծենք աստիճանի հաշվարկման հիմնական կանոնները ամբողջ թվի, բնական, կոտորակային, ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցանիշի դեպքում: Բոլոր սահմանումները կներկայացվեն օրինակներով:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Հզորացման հայեցակարգը

Սկսենք հիմնական սահմանումների ձևակերպումից։

Սահմանում 1

Էքսպոենտացիաինչ-որ թվի հզորության արժեքի հաշվարկն է։

Այսինքն՝ «աստիճանի արժեքի հաշվարկ» և «աստիճանականացում» բառերը նույն բանն են նշանակում։ Այսպիսով, եթե առաջադրանքն է «Բարձրացրեք 0, 5 թիվը հինգերորդ աստիճանի», ապա դա պետք է հասկանալ որպես «հաշվարկել հզորության արժեքը (0, 5) 5:

Այժմ մենք տալիս ենք հիմնական կանոնները, որոնք պետք է պահպանվեն նման հաշվարկներում:

Հիշեք, թե ինչ է բնական ցուցիչով թվի ուժը: a հիմքով և n աստիճանով հզորության համար սա կլինի n-րդ թվի գործակիցների արտադրյալը, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a-ի: Սա կարելի է գրել այսպես.

Աստիճանի արժեքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է կատարել բազմապատկման գործողությունը, այսինքն՝ աստիճանի հիմքերը բազմապատկել նշված քանակով։ Բնական ցուցանիշով աստիճանի գաղափարը հիմնված է արագ բազմապատկվելու ունակության վրա: Բերենք օրինակներ.

Օրինակ 1

Վիճակը. Բարձրացնել - 2-ը 4-ի հզորության:

Լուծում

Օգտագործելով վերը նշված սահմանումը, մենք գրում ենք. (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Հաջորդը, մենք պարզապես պետք է հետևենք այս քայլերին և ստանանք 16:

Բերենք ավելի բարդ օրինակ.

Օրինակ 2

Հաշվեք 3 2 7 2 արժեքը

Լուծում

Այս գրառումը կարող է վերաշարադրվել որպես 3 2 7 · 3 2 7: Ավելի վաղ մենք նայեցինք, թե ինչպես կարելի է ճիշտ բազմապատկել պայմանում նշված խառը թվերը։

Կատարեք այս քայլերը և ստացեք պատասխանը՝ 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Եթե ​​առաջադրանքը ցույց է տալիս իռացիոնալ թվերը բնական հզորության հասցնելու անհրաժեշտությունը, ապա մեզ անհրաժեշտ կլինի նախ կլորացնել դրանց հիմքերը մինչև այն թվանշանը, որը թույլ կտա մեզ ստանալ ցանկալի ճշգրտության պատասխանը: Օրինակ բերենք.

Օրինակ 3

Կատարի՛ր π թվի քառակուսիացում։

Լուծում

Եկեք նախ կլորացնենք այն մինչև հարյուրերորդական: Այնուհետև π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596: Եթե ​​π ≈ 3 . 14159, ապա մենք ավելի ճշգրիտ արդյունք կստանանք՝ π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281:

Նշենք, որ իռացիոնալ թվերի հզորությունները հաշվարկելու անհրաժեշտությունը գործնականում համեմատաբար հազվադեպ է առաջանում: Այնուհետև մենք կարող ենք պատասխանը գրել որպես ինքնին հզորություն (ln 6) 3 կամ հնարավորության դեպքում փոխարկել՝ 5 7 = 125 5:

Առանձին պետք է նշել, թե որն է թվի առաջին ուժը։ Այստեղ դուք կարող եք պարզապես հիշել, որ ցանկացած թիվ, որը բարձրացված է առաջին ուժին, ինքն իրեն կմնա.

Սա պարզ է արձանագրությունից։ .

Դա կախված չէ աստիճանից:

Օրինակ 4

Այսպիսով, (− 9) 1 = − 9 , իսկ 7 3-ը բարձրացված է առաջին հզորությանը հավասար է 7 3-ի:

Հարմարության համար մենք առանձին կվերլուծենք երեք դեպք՝ եթե ցուցիչը դրական ամբողջ թիվ է, եթե այն զրո է, և եթե այն բացասական ամբողջ թիվ է։

Առաջին դեպքում դա նույնն է, ինչ բնական ուժի բարձրացումը. չէ՞ որ դրական ամբողջ թվերը պատկանում են բնական թվերի բազմությանը։ Ինչպես աշխատել նման աստիճանների հետ, մենք արդեն նկարագրել ենք վերևում։

Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչպես ճիշտ բարձրացնել զրոյական հզորությունը: Ոչ զրոյական բազայի դեպքում այս հաշվարկը միշտ տալիս է 1 ելք: Մենք նախկինում բացատրել ենք, որ a-ի 0-րդ աստիճանը կարող է սահմանվել 0-ի ոչ հավասար իրական թվի համար, և a 0 = 1:

Օրինակ 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - սահմանված չէ:

Մեզ մնում է միայն բացասական ամբողջ ցուցիչ ունեցող աստիճանի դեպքը: Մենք արդեն քննարկել ենք, որ նման աստիճանները կարելի է գրել որպես 1 a z կոտորակ, որտեղ a-ն ցանկացած թիվ է, իսկ z-ը՝ բացասական ամբողջ թիվ։ Մենք տեսնում ենք, որ այս կոտորակի հայտարարը ոչ այլ ինչ է, քան սովորական աստիճան՝ դրական ամբողջ թվով, և մենք արդեն սովորել ենք, թե ինչպես կարելի է այն հաշվարկել։ Եկեք առաջադրանքների օրինակներ բերենք.

Օրինակ 6

Բարձրացրեք 3-ը -2 հզորության:

Լուծում

Օգտագործելով վերը նշված սահմանումը, մենք գրում ենք. 2 - 3 = 1 2 3

Մենք հաշվարկում ենք այս կոտորակի հայտարարը և ստանում ենք 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8:

Այնուհետև պատասխանն է՝ 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Օրինակ 7

Բարձրացրեք 1, 43-ը -2 հզորության:

Լուծում

Վերաձեւակերպել՝ 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Քառակուսին հաշվում ենք հայտարարի մեջ՝ 1,43 1,43: Տասնորդական թվերը կարելի է բազմապատկել հետևյալ կերպ.

Արդյունքում ստացանք (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449: Մնում է, որ այս արդյունքը գրենք սովորական կոտորակի տեսքով, որի համար անհրաժեշտ է այն բազմապատկել 10 հազարով (տե՛ս կոտորակների փոխարկման նյութը)։

Պատասխան՝ (1, 43) - 2 = 10000 20449

Առանձին դեպքը թիվը բարձրացնում է մինուս առաջին աստիճանի: Նման աստիճանի արժեքը հավասար է բազայի սկզբնական արժեքին հակառակ թվին. a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a:

Օրինակ 8

Օրինակ՝ 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Ինչպես թիվը հասցնել կոտորակային աստիճանի

Նման գործողություն կատարելու համար մենք պետք է հիշենք աստիճանի հիմնական սահմանումը կոտորակային ցուցիչով. a m n \u003d a m n ցանկացած դրական a, ամբողջ թվի m և բնական n-ի համար:

Սահմանում 2

Այսպիսով, կոտորակային աստիճանի հաշվարկը պետք է կատարվի երկու քայլով՝ հասցնելով ամբողջ թվի և գտնել n-րդ աստիճանի արմատը։

Մենք ունենք a m n = a m n հավասարություն, որը, հաշվի առնելով արմատների հատկությունները, սովորաբար օգտագործվում է a m n = a n m ձևով խնդիրները լուծելու համար: Սա նշանակում է, որ եթե a թիվը հասցնենք կոտորակային հզորության m/n, ապա սկզբում a-ից հանում ենք n-րդ աստիճանի արմատը, այնուհետև արդյունքը հասցնում ենք ամբողջ թվով m չափիչ ունեցող հզորության:

Եկեք պատկերացնենք օրինակով.

Օրինակ 9

Հաշվեք 8 - 2 3:

Լուծում

Մեթոդ 1. Ըստ հիմնական սահմանման՝ մենք կարող ենք սա ներկայացնել հետևյալ կերպ՝ 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Հիմա եկեք հաշվարկենք արմատի տակ գտնվող աստիճանը և արդյունքից հանենք երրորդ արմատը՝ 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Մեթոդ 2. Վերափոխենք հիմնական հավասարությունը՝ 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Դրանից հետո մենք արդյունահանում ենք 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 արմատը և քառակուսի ենք բերում արդյունքը՝ 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Մենք տեսնում ենք, որ լուծումները նույնական են։ Դուք կարող եք օգտագործել ցանկացած ձև, որը ցանկանում եք:

Լինում են դեպքեր, երբ աստիճանն ունի խառը թվով կամ տասնորդական կոտորակի տեսքով արտահայտված ցուցիչ։ Հաշվարկի հեշտության համար ավելի լավ է այն փոխարինել սովորական կոտորակով և հաշվել, ինչպես նշված է վերևում:

Օրինակ 10

Բարձրացրեք 44,89-ը մինչև 2,5-ի հզորությունը:

Լուծում

Փոխակերպենք ցուցիչի արժեքը սովորական կոտորակի՝ 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2:

Եվ հիմա մենք կատարում ենք վերը նշված բոլոր գործողությունները հերթականությամբ. 13 501, 25107

Պատասխան՝ 13501, 25107։

Եթե ​​կոտորակային ցուցանիշի համարիչում և հայտարարում մեծ թվեր կան, ապա ռացիոնալ ցուցիչներով նման ցուցանիշները հաշվարկելը բավականին բարդ աշխատանք է։ Դա սովորաբար պահանջում է համակարգչային տեխնոլոգիա:

Առանձին-առանձին մենք կանգ ենք առնում զրոյական հիմքով և կոտորակային ցուցիչով աստիճանի վրա: 0 m n ձևի արտահայտությունը կարող է տրվել հետևյալ իմաստով. եթե m n > 0, ապա 0 m n = 0 m n = 0; եթե m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Ինչպես թիվը հասցնել իռացիոնալ ուժի

Այն աստիճանի արժեքը հաշվարկելու անհրաժեշտություն, որի ցուցիչում կա իռացիոնալ թիվ, այնքան էլ հաճախ չի առաջանում։ Գործնականում առաջադրանքը սովորաբար սահմանափակվում է մոտավոր արժեքի հաշվարկով (մինչև որոշակի թվով տասնորդական տեղեր): Սա սովորաբար հաշվարկվում է համակարգչում նման հաշվարկների բարդության պատճառով, ուստի մենք մանրամասն չենք անդրադառնա դրա վրա, մենք միայն կնշենք հիմնական դրույթները:

Եթե ​​մեզ անհրաժեշտ է a աստիճանի արժեքը հաշվարկել a իռացիոնալ ցուցիչով, ապա վերցնում ենք աստիճանի տասնորդական մոտարկումը և հաշվում դրանից: Արդյունքը կլինի մոտավոր պատասխան։ Որքան ճշգրիտ է վերցված տասնորդական մոտարկումը, այնքան ավելի ճշգրիտ է պատասխանը: Օրինակով ցույց տանք.

Օրինակ 11

Հաշվեք 21-ի մոտավոր արժեքը 174367 ....

Լուծում

Մենք սահմանափակվում ենք տասնորդական մոտավորությամբ a n = 1, 17: Կատարենք հաշվարկները՝ օգտագործելով այս թիվը՝ 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 ։ Եթե ​​վերցնենք, օրինակ, մոտարկումը a n = 1 , 1743 , ապա պատասխանը մի փոքր ավելի ճշգրիտ կլինի՝ 2 1 , 174367։ . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Հաշվիչը օգնում է ձեզ արագորեն բարձրացնել թիվը մինչև առցանց: Աստիճանի հիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ (ինչպես ամբողջ, այնպես էլ իրական): Ցուցանիշը կարող է լինել նաև ամբողջ կամ իրական, ինչպես նաև դրական և բացասական: Պետք է հիշել, որ բացասական թվերի համար ոչ ամբողջ թվի հզորության բարձրացումը սահմանված չէ, և, հետևաբար, հաշվիչը կհայտնի սխալի մասին, եթե դուք դեռ փորձեք դա անել:

Դիպլոմային հաշվիչ

Բարձրացնել մի ուժի

Տարբերակներ՝ 28399

Ո՞րն է թվի բնական հզորությունը:

p թիվը կոչվում է a թվի n-րդ հզորություն, եթե p հավասար է a թվին բազմապատկած ինքն իրեն n անգամ. p \u003d a n \u003d a ... a
n - կոչված ցուցիչև համարը a - աստիճանի հիմք.

Ինչպե՞ս թիվը հասցնել բնական ուժի:

Հասկանալու համար, թե ինչպես կարելի է տարբեր թվեր հասցնել բնական ուժերին, հաշվի առեք մի քանի օրինակ.

Օրինակ 1. Երեք թիվը բարձրացրեք չորրորդ աստիճանի։ Այսինքն՝ անհրաժեշտ է հաշվարկել 3 4
ԼուծումԻնչպես նշվեց վերևում, 3 4 = 3 3 3 3 = 81:
Պատասխանել: 3 4 = 81 .

Օրինակ 2. Հինգ թիվը բարձրացրեք հինգերորդ աստիճանի։ Այսինքն՝ պետք է հաշվարկել 5 5
Լուծումնմանապես, 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125:
Պատասխանել: 5 5 = 3125 .

Այսպիսով, թիվը բնական ուժի հասցնելու համար բավական է այն ինքն իրենով բազմապատկել n անգամ։

Ո՞րն է թվի բացասական հզորությունը:

a-ի -n բացասական հզորությունը մեկն է, որը բաժանվում է a-ի n-ի մեծությանը. a -n = :

Այս դեպքում բացասական ցուցիչ գոյություն ունի միայն զրոյից տարբեր թվերի համար, քանի որ հակառակ դեպքում տեղի կունենար բաժանում զրոյի վրա:

Ինչպե՞ս թիվը հասցնել բացասական ամբողջ թվի:

Ոչ զրոյական թիվը բացասական հզորության բարձրացնելու համար պետք է հաշվարկել այդ թվի արժեքը նույն դրական հզորության վրա և բաժանել մեկը արդյունքի վրա:

Օրինակ 1. Երկու թիվը բարձրացրեք մինուս չորրորդ աստիճանի: Այսինքն՝ պետք է հաշվարկել 2 -4

ԼուծումԻնչպես նշվեց վերևում, 2 -4 = = = 0,0625:

Պատասխանել: 2 -4 = 0.0625 .

Երբթիվն ինքն իրեն բազմապատկվում է ինքս ինձ, աշխատանքկանչեց աստիճան.

Այսպիսով, 2,2 = 4, քառակուսի կամ 2-ի երկրորդ հզորություն
2.2.2 = 8, խորանարդ կամ երրորդ հզորություն:
2.2.2.2 = 16, չորրորդ աստիճան:

Նաև 10.10 = 100, երկրորդ հզորությունը 10 է:
10.10.10 = 1000, երրորդ աստիճան.
10.10.10.10 = 10000 չորրորդ աստիճան:

Իսկ a.a = aa, a-ի երկրորդ ուժը
ա.ա.ա = աաա, ա-ի երրորդ ուժը
ա.ա.ա.ա = աաաա, ա-ի չորրորդ ուժ

Բնօրինակ համարը կոչվում է արմատայդ թվի աստիճանները, քանի որ դա այն թիվն է, որից ստեղծվել են աստիճանները։

Սակայն շատ հարմար չէ, հատկապես բարձր լիազորությունների դեպքում, գրի առնել բոլոր այն գործոնները, որոնք կազմում են լիազորությունները։ Հետեւաբար, օգտագործվում է կրճատ նշումների մեթոդ: Աստիճանի արմատը գրվում է միայն մեկ անգամ, իսկ կողքին աջ ու մի փոքր ավելի բարձր, բայց մի փոքր փոքր տառատեսակով գրված է քանի անգամ. արմատը գործում է որպես գործոն. Այս թիվը կամ տառը կոչվում է ցուցիչկամ աստիճանթվեր։ Այսպիսով, a 2-ը հավասար է a.a-ի կամ aa-ի, քանի որ a-ի արմատը պետք է երկու անգամ բազմապատկվի ինքն իրենով, որպեսզի ստացվի aa-ի հզորություն: Նաև 3-ը նշանակում է aaa, այսինքն՝ այստեղ a-ն կրկնվում է երեք անգամորպես բազմապատկիչ։

Առաջին հզորության աստիճանը 1 է, բայց սովորաբար այն չի գրվում։ Այսպիսով, 1-ը գրվում է որպես a.

Դուք չպետք է շփոթեք աստիճանների հետ գործակիցները. Գործակիցը ցույց է տալիս, թե որքան հաճախ է արժեքը վերցվում մասամբողջ. Ցուցանիշը ցույց է տալիս, թե որքան հաճախ է արժեքը ընդունվում գործոնաշխատանքի մեջ։
Այսպիսով, 4a = a + a + a + a: Բայց ա 4 = ա.ա.ա.ա

Էքսպոնենցիալ նշումն ունի յուրահատուկ առավելություն, որը թույլ է տալիս մեզ արտահայտվել անհայտաստիճան. Այդ նպատակով թվի փոխարեն գրվում է ցուցիչը նամակ. Խնդրի լուծման գործընթացում մենք կարող ենք ստանալ այնպիսի արժեք, որը, ինչպես գիտենք, կա մի քանիմեկ այլ մեծության աստիճան: Բայց մինչ այժմ մենք չգիտենք՝ դա քառակուսի է, խորանարդ, թե մեկ այլ՝ ավելի բարձր աստիճան։ Այսպիսով, a x արտահայտության մեջ ցուցիչը նշանակում է, որ այս արտահայտությունն ունի մի քանիաստիճան, թեև սահմանված չէ ինչ աստիճան. Այսպիսով, b m և d n-ը բարձրացվում են մինչև m և n հզորություններ: Երբ ցուցիչը գտնվի, թիվփոխարինվել է նամակով. Այսպիսով, եթե m=3, ապա b m = b 3; բայց եթե m = 5, ապա b m =b 5:

Օգտագործելիս մեծ առավելություն է նաև ցուցիչներով արժեքներ գրելու մեթոդը արտահայտությունները. Այսպիսով, (a + b + d) 3-ը (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), այսինքն՝ եռանդամի (a + b + d) խորանարդը: . Բայց եթե այս արտահայտությունը գրենք խորանարդից հետո, այն նման կլինի
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3:

Եթե ​​վերցնենք մի շարք հզորություններ, որոնց ցուցիչները մեծանում կամ նվազում են 1-ով, ապա մենք գտնում ենք, որ արտադրյալը մեծանում է. ընդհանուր գործոնկամ կրճատվել է ընդհանուր բաժանարար, և այս գործակիցը կամ բաժանարարը սկզբնական թիվն է, որը բարձրացվում է մինչև հզորություն:

Ուրեմն, սերիայում աաաաա, աաաա, աաա, աա, ա;
կամ a 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
ցուցանիշները, եթե հաշվվում են աջից ձախ, 1, 2, 3, 4, 5; իսկ դրանց արժեքների տարբերությունը 1 է։ Եթե սկսենք աջ կողմում բազմապատկել a-ի վրա մենք հաջողությամբ կստանանք բազմաթիվ արժեքներ:

Այսպիսով, a.a = a 2, երկրորդ անդամը: Եվ a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3, երրորդ անդամը: a 4 .a = a 5:

Եթե ​​սկսենք ձախ բաժանելվրա,
մենք ստանում ենք 5:a = a 4 և 3:a = a 2:
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Բայց նման բաժանման գործընթացը կարող է շարունակվել հետագա, և մենք ստանում ենք արժեքների նոր շարք:

Այսպիսով, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Ամբողջ շարքը կլինի՝ aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa:

Կամ 5, a 4, a 3, a 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3:

Այստեղ արժեքներ աջ կողմումմիավորից է հակադարձարժեքները մեկի ձախ կողմում: Հետեւաբար, այս աստիճանները կարելի է անվանել հակադարձ հզորություններա. Կարելի է նաև ասել, որ ձախ կողմում գտնվող ուժերը հակադարձ են աջ կողմում գտնվող ուժերին:

Այսպիսով, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Եվ 1:(1/a 3) = a 3:

Նույն ձայնագրման պլանը կարող է կիրառվել բազմանդամներ. Այսպիսով, a + b-ի համար մենք ստանում ենք մի շարք,
(ա + բ) 3, (ա + բ) 2, (ա + բ), 1, 1/(ա + բ), 1/(ա + բ) 2, 1/(ա + բ) 3:

Հարմարության համար օգտագործվում է հակադարձ հզորություններ գրելու մեկ այլ ձև:

Ըստ այս ձևի՝ 1/a կամ 1/a 1 = a -1: Եվ 1/aaa կամ 1/a 3 = a -3:
1/aa կամ 1/a 2 = a -2: 1/aaaa կամ 1/a 4 = a -4:

Իսկ ցուցիչները 1-ով որպես ընդհանուր տարբերությամբ ամբողջական շարք դարձնելու համար a/a կամ 1-ը համարվում է այնպիսին, որը չունի աստիճան և գրվում է որպես 0:

Այնուհետև, հաշվի առնելով ուղիղ և հակադարձ հզորությունները
փոխարեն աաաա, աաա, աա, ա, ա/ա, 1/ա, 1/աա, 1/աաա, 1/աաաա
կարող եք գրել 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4:
Կամ a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4:

Եվ միայն առանձին վերցրած աստիճանների շարքը կունենա հետևյալ ձևը.
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Աստիճանի արմատը կարող է արտահայտվել մեկից ավելի տառերով։

Այսպիսով, aa.aa կամ (aa) 2-ը aa-ի երկրորդ ուժն է:
Իսկ aa.aa.aa կամ (aa) 3-ը aa-ի երրորդ ուժն է:

Թիվ 1-ի բոլոր աստիճանները նույնն են՝ 1.1 կամ 1.1.1: հավասար կլինի 1-ի։

Ցուցադրումը ցանկացած թվի արժեքը գտնելն է՝ այդ թիվը ինքն իրենով բազմապատկելով: Բարձրացման կանոն.

Արժեքն ինքնին բազմապատկեք այնքան անգամ, որքան նշված է թվի հզորության մեջ:

Այս կանոնը ընդհանուր է բոլոր օրինակների համար, որոնք կարող են առաջանալ աստիճանավորման գործընթացում: Բայց ճիշտ կլինի բացատրել, թե ինչպես է դա վերաբերում կոնկրետ դեպքերին:

Եթե ​​միայն մեկ անդամ է բարձրացվում մինչև հզորություն, ապա այն ինքն իրենով բազմապատկվում է այնքան անգամ, որքան ցույց է տալիս ցուցանիշը:

Չորրորդ ա հզորությունը 4-ն է կամ աաաա: (Հոդված 195.)
y-ի վեցերորդ ուժը y 6 կամ yyyyyy է:
x-ի n-րդ հզորությունը x n է կամ xxx..... n անգամ կրկնվում է:

Եթե ​​անհրաժեշտ է մի քանի տերմինների արտահայտություն բարձրացնել իշխանության վրա, սկզբունքը, որ մի քանի գործակիցների արտադրյալի աստիճանը հավասար է այս գործակիցների արտադրյալին, որը հասցված է հզորության:

Այսպիսով (այ) 2 =a 2 y 2; (այ) 2 = այ.այ.
Բայց այ.այ = այայ = աայյ = ա 2 յ 2:
Այսպիսով, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3:

Հետևաբար, արտադրանքի աստիճանը գտնելիս մենք կարող ենք կամ միանգամից գործարկել ամբողջ արտադրանքի վրա, կամ կարող ենք գործել յուրաքանչյուր գործոնի վրա առանձին, այնուհետև դրանց արժեքները բազմապատկել աստիճաններով:

Օրինակ 1. dhy-ի չորրորդ ուժը (dhy) 4 է, կամ d 4 h 4 y 4:

Օրինակ 2. 4b-ի երրորդ հզորությունը (4b) 3, կամ 4 3 b 3, կամ 64b 3 է:

Օրինակ 3. 6ad-ի n-րդ հզորությունը (6ad) n է կամ 6 n a n d n:

Օրինակ 4. 3m.2y-ի երրորդ հզորությունը (3m.2y) 3 է, կամ 27m 3 .8y 3:

Երկանդամի աստիճանը, որը բաղկացած է + և --ով միացված տերմիններից, հաշվարկվում է նրա անդամները բազմապատկելով: Այո,

(a + b) 1 = a + b, առաջին հզորությունը:
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, երկրորդ հզորություն (a + b):
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, երրորդ աստիճան:
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, չորրորդ աստիճան:

Քառակուսի a - b, կա 2 - 2ab + b 2:

a + b + h քառակուսին a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2 է

Վարժություն 1. Գտե՛ք a + 2d + 3 խորանարդը

Վարժություն 2. Գտե՛ք չորրորդ ուժը b + 2։

Վարժություն 3. Գտե՛ք x + 1-ի հինգերորդ աստիճանը:

Վարժություն 4. Գտե՛ք վեցերորդ աստիճանը 1 - բ.

Գումարի քառակուսիներ գումարներԵվ տարբերությունըԵրկանդամներն այնքան տարածված են հանրահաշվում, որ անհրաժեշտ է դրանք շատ լավ իմանալ:

Եթե ​​բազմապատկենք a + h ինքն իրեն, կամ a - h ինքն իրենով,
ստանում ենք՝ (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 նույնպես, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2:

Սա ցույց է տալիս, որ յուրաքանչյուր դեպքում առաջին և վերջին անդամները a-ի և h-ի քառակուսիներն են, իսկ միջին անդամը կրկնակի է a-ի և h-ի արտադրյալից: Այսպիսով, երկանդամների գումարի և տարբերության քառակուսին կարելի է գտնել հետևյալ կանոնով.

Երկանդամի քառակուսին, երկուսն էլ դրական են, հավասար է առաջին անդամի քառակուսուն + երկու անդամների արտադրյալի կրկնապատիկը, + վերջին անդամի քառակուսին։

Քառակուսի տարբերությունըերկանդամը հավասար է առաջին անդամի քառակուսուն՝ հանած երկու անդամների արտադրյալի կրկնապատիկը գումարած երկրորդ անդամի քառակուսին:

Օրինակ 1. Քառակուսի 2a + b, կան 4a 2 + 4ab + b 2:

Օրինակ 2. Ab + cd քառակուսին a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 է:

Օրինակ 3. 3d - h քառակուսին 9d 2 + 6dh + h 2 է:

Օրինակ 4. a - 1 քառակուսին 2 - 2a + 1 է:

Երկանդամների ավելի բարձր հզորություններ գտնելու մեթոդի համար տե՛ս հետևյալ բաժինները:

Շատ դեպքերում արդյունավետ է գրել աստիճանոչ մի բազմապատկում:

Այսպիսով, a + b քառակուսին (a + b) 2 է:
Bc + 8 + x n-րդ հզորությունը (bc + 8 + x) n է

Նման դեպքերում փակագծերը ծածկում են բոլորըաստիճանի տակ գտնվող անդամներ:

Բայց եթե աստիճանի արմատը բաղկացած է մի քանիսից բազմապատկիչներ, փակագծերը կարող են ընդգրկել ամբողջ արտահայտությունը կամ կարող են կիրառվել առանձին գործոնների վրա՝ կախված հարմարությունից:

Այսպիսով, քառակուսին (a + b)(c + d) կամ [(a + b).(c + d)] 2 կամ (a + b) 2 .(c + d) 2 է:

Այս արտահայտություններից առաջինի համար արդյունքը երկու գործոնի արտադրյալի քառակուսին է, իսկ երկրորդի համար՝ դրանց քառակուսիների արտադրյալը։ Բայց նրանք հավասար են միմյանց։

A.(b + d) խորանարդը 3 է կամ a 3 .(b + d) 3:

Անհրաժեշտ է նաև հաշվի առնել ներգրավված անդամների առջև դրված նշանը. Շատ կարևոր է հիշել, որ երբ ուժի արմատը դրական է, նրա բոլոր դրական ուժերը նույնպես դրական են: Բայց երբ արմատը բացասական է, արժեքները՝ սկսած տարօրինակուժերը բացասական են, մինչդեռ արժեքները նույնիսկաստիճանները դրական են:

Երկրորդ հզորությունը (- ա) +a 2 է
Երրորդ աստիճանը (-a) -a 3 է
Չորրորդ աստիճանը (-a) +a 4 է
Հինգերորդ աստիճանը (-a) -a 5 է

Հետևաբար ցանկացած տարօրինակՑուցանիշն ունի նույն նշանը, ինչ թիվը: Բայց նույնիսկաստիճանը դրական է՝ անկախ նրանից՝ թիվը բացասական, թե դրական նշան ունի։
Այսպիսով, +a.+a = +a 2
AND -a.-a = +a 2

Արժեքը, որն արդեն հասցվել է հզորության, կրկին բարձրացվում է հզորության՝ ցուցիչները բազմապատկելով:

2-ի երրորդ հզորությունը 2,3 = a 6 է:

2 = aa-ի համար; խորանարդը aa է aa.aa.aa = aaaaaa = a 6; որը a-ի վեցերորդ աստիճանն է, բայց a-ի երրորդ աստիճանը 2:

a 3 b 2 չորրորդ հզորությունը a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8 է

4a 2 x-ի երրորդ հզորությունը 64a 6 x 3 է:

(a + b) 2-ի հինգերորդ հզորությունը (a + b) 10 է:

3-ի n-րդ հզորությունը 3n է

(x - y) m-ի n-րդ հզորությունը (x - y) mn է

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Կանոնը հավասարապես կիրառվում է բացասականաստիճաններ։

Օրինակ 1. a -2-ի երրորդ ուժը a -3.3 =a -6 է:

-2 = 1/aa-ի համար, և սրա երրորդ ուժը
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Չորրորդ հզորությունը a 2 b -3 է 8 b -12 կամ a 8 / b 12:

b 3 x -1 քառակուսին b 6 x -2 է:

n-րդ հզորության ax -m-ը x -mn է կամ 1/x:

Այնուամենայնիվ, այստեղ պետք է հիշել, որ եթե նշան նախորդաստիճանը «-» է, այնուհետև այն պետք է փոխվի «+»-ի, երբ աստիճանը զույգ թիվ է:

Օրինակ 1. -a 3 քառակուսին +a 6 է: -a 3-ի քառակուսին -a 3 .-a 3 է, որը, ըստ բազմապատկման նշանների կանոնների, +a 6 է։

2. Բայց խորանարդը -a 3-ը -a 9 է: -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9-ի համար:

3. -a 3-ի N-րդ աստիճանը 3n է:

Այստեղ արդյունքը կարող է լինել դրական կամ բացասական՝ կախված նրանից՝ n-ն զույգ է, թե կենտ:

Եթե մասբարձրացվում է աստիճանի, համարիչն ու հայտարարը բարձրացվում են հզորության:

a/b քառակուսին a 2 /b 2 է: Կոտորակների բազմապատկման կանոնի համաձայն.
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

1/a-ի երկրորդ, երրորդ և n-րդ ուժերն են 1/a 2, 1/a 3 և 1/a n:

Օրինակներ երկանդամներորտեղ տերմիններից մեկը կոտորակ է:

1. Գտե՛ք x + 1/2 և x - 1/2 քառակուսին:
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. a + 2/3 քառակուսին 2 + 4a/3 + 4/9 է:

3. Քառակուսի x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4:

4 x - b/m քառակուսին x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 է:

Նախկինում ցույց էին տալիս, որ կոտորակային գործակիցկարող է տեղափոխվել համարիչից հայտարար կամ հայտարարից համարիչ: Օգտագործելով հակադարձ հզորություններ գրելու սխեման՝ կարելի է տեսնել, որ ցանկացած բազմապատկիչկարող է նաև տեղափոխվել եթե աստիճանի նշանը փոխված է.

Այսպիսով, ax -2 /y կոտորակում մենք կարող ենք x-ը համարիչից տեղափոխել հայտարար։
Այնուհետեւ ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2:

a/by 3 կոտորակում մենք կարող ենք y-ը հայտարարից տեղափոխել համարիչ։
Այնուհետեւ a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Նույն կերպ մենք կարող ենք դրական ցուցիչ ունեցող գործակիցը տեղափոխել համարիչին, կամ բացասական ցուցիչով գործակիցը հայտարարին։

Այսպիսով, կացին 3 / b = a / bx -3: x 3-ի համար հակադարձը x -3 է, որը x 3 = 1/x -3 է:

Հետեւաբար, ցանկացած կոտորակի հայտարարը կարող է ամբողջությամբ հանվել, կամ համարիչը կարող է կրճատվել մեկի՝ առանց արտահայտության իմաստը փոխելու։

Այսպիսով, a/b = 1/ba -1, կամ ab -1: