1. Trupmeninė tiesinė funkcija ir jos tvarkaraštis
Funkcija, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, vadinama trupmenine racionalia funkcija.
Tikriausiai jau esate susipažinę su racionaliųjų skaičių sąvoka. Panašiai racionalios funkcijos yra funkcijos, kurios gali būti pavaizduotos kaip dviejų daugianario koeficientas.
Jeigu trupmeninė racionalioji funkcija yra dviejų tiesinių funkcijų – pirmojo laipsnio daugianario – koeficientas, t.y. peržiūros funkcija
y = (ax + b) / (cx + d), tada jis vadinamas trupmeniniu tiesiniu.
Atkreipkite dėmesį, kad funkcijoje y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (kitaip funkcija tampa tiesinė y = ax/d + b/d) ir kad a/c ≠ b/d (kitaip funkcija yra konstanta). Tiesinės trupmeninės dalies funkcija apibrėžiama visiems realiesiems skaičiams, išskyrus x = -d/c. Tiesinių trupmeninių funkcijų grafikai savo forma nesiskiria nuo grafiko, kurį žinote y = 1/x. Iškviečiama kreivė, kuri yra funkcijos y = 1/x grafikas hiperbolė. Su neribotu x padidėjimu absoliučioji vertė funkcija y = 1/x absoliučia reikšme mažėja neribotai ir abi grafiko šakos artėja prie abscisių ašies: dešinioji artėja iš viršaus, o kairioji – iš apačios. Tiesės, prie kurių artėja hiperbolės šakos, vadinamos jos asimptotų.
1 pavyzdys
y = (2x + 1) / (x - 3).
Sprendimas.
Pažymime sveikąją dalį: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko atliekant tokias transformacijas: paslinkti 3 vienetais į dešinę, ištempti išilgai Oy ašies 7 kartus ir paslinkti 2 vienetų segmentais aukštyn.
Bet kurią trupmeną y = (ax + b) / (cx + d) galima parašyti taip pat, paryškinant „visą dalį“. Vadinasi, visų tiesinių trupmeninių funkcijų grafikai yra hiperbolės, įvairiais būdais paslinktas išilgai koordinačių ašių ir ištemptas išilgai Oy ašies.
Sudaryti tam tikros savavališkos trupmeninės dalies grafiką tiesinė funkcijašią funkciją apibrėžiančios trupmenos transformuoti visai nebūtina. Kadangi žinome, kad grafikas yra hiperbolė, pakaks rasti tieses, prie kurių artėja jo šakos – hiperbolės asimptotes x = -d/c ir y = a/c.
2 pavyzdys
Raskite funkcijos y = (3x + 5)/(2x + 2) grafiko asimptotes.
Sprendimas.
Funkcija neapibrėžta, jei x = -1. Taigi eilutė x = -1 yra vertikali asimptotė. Norėdami rasti horizontaliąją asimptotę, išsiaiškinkite, kokios funkcijos y(x) reikšmės artėja, kai argumento x absoliuti reikšme padidėja.
Norėdami tai padaryti, trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Kaip x → ∞ trupmena linkusi į 3/2. Vadinasi, horizontalioji asimptotė yra tiesė y = 3/2.
3 pavyzdys
Nubraižykite funkciją y = (2x + 1)/(x + 1).
Sprendimas.
Mes pasirenkame „visą trupmenos dalį“:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko tokiomis transformacijomis: 1 vieneto poslinkis į kairę, simetriškas rodymas Ox atžvilgiu ir poslinkis. 2 vienetų intervalais aukštyn išilgai Oy ašies.
Apibrėžimo sritis D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Reikšmių diapazonasE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Sankirtos taškai su ašimis: c Oy: (0; 1); c Jautis: (-1/2; 0). Funkcija didėja kiekviename apibrėžimo srities intervale.
Atsakymas: 1 pav.
2. Trupmeninė-racionali funkcija
Apsvarstykite trupmeninę racionaliąją funkciją, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, didesni už pirmąjį.
Tokių racionalių funkcijų pavyzdžiai:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) arba y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Jei funkcija y = P(x) / Q(x) yra dviejų aukštesnių už pirmąjį polinomų koeficientas, tada jos grafikas, kaip taisyklė, bus sudėtingesnis ir kartais gali būti sunku jį tiksliai sudaryti. , su visomis smulkmenomis. Tačiau dažnai pakanka taikyti metodus, panašius į tuos, su kuriais jau susipažinome aukščiau.
Tegul trupmena yra tinkama (n< m). Известно, что любую несократимую racionalioji trupmena gali būti pavaizduotas, be to, unikaliai, kaip baigtinio skaičiaus elementariųjų trupmenų suma, kurios forma nustatoma išplečiant trupmenos Q(x) vardiklį į realiųjų veiksnių sandaugą:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Akivaizdu, kad trupmeninės racionalios funkcijos grafiką galima gauti kaip elementariųjų trupmenų grafikų sumą.
Trupmeninių racionalių funkcijų braižymas
Apsvarstykite keletą būdų, kaip sudaryti trupmeninę-racionaliąją funkciją.
4 pavyzdys
Nubraižykite funkciją y = 1/x 2 .
Sprendimas.
Naudojame funkcijos y \u003d x 2 grafiką, norėdami nubraižyti grafiką y \u003d 1 / x 2 ir naudojame grafikų „padalijimo“ metodą.
Domenas D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Vertybių diapazonas E(y) = (0; +∞).
Susikirtimo su ašimis taškų nėra. Funkcija lygi. Visiems x didėja nuo intervalo (-∞; 0), x mažėja nuo 0 iki +∞.
Atsakymas: 2 pav.
5 pavyzdys
Nubraižykite funkciją y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Sprendimas.
Domenas D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Čia mes panaudojome faktoringo, mažinimo ir redukavimo iki tiesinės funkcijos metodą.
Atsakymas: 3 pav.
6 pavyzdys
Nubraižykite funkciją y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Sprendimas.
Apibrėžimo sritis yra D(y) = R. Kadangi funkcija yra lygi, grafikas yra simetriškas y ašies atžvilgiu. Prieš braižydami dar kartą transformuojame išraišką, paryškindami sveikąją dalį:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Atkreipkite dėmesį, kad sveikosios dalies pasirinkimas trupmeninės racionalios funkcijos formulėje yra vienas pagrindinių braižant grafikus.
Jei x → ±∞, tai y → 1, t.y. linija y = 1 yra horizontali asimptotė.
Atsakymas: 4 pav.
7 pavyzdys
Apsvarstykite funkciją y = x/(x 2 + 1) ir pabandykite tiksliai rasti jos didžiausią reikšmę, t.y. dauguma aukstas taskas dešinėje grafiko pusėje. Norint tiksliai sudaryti šį grafiką, šiandienos žinių nepakanka. Akivaizdu, kad mūsų kreivė negali „užlipti“ labai aukštai, nes vardiklis greitai pradeda „aplenkti“ skaitiklį. Pažiūrėkime, ar funkcijos reikšmė gali būti lygi 1. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti lygtį x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Ši lygtis neturi realių šaknų. Taigi mūsų prielaida yra klaidinga. Norėdami rasti kuo daugiau didelę reikšmę funkciją, turite išsiaiškinti, kurio didžiausio A lygtis A \u003d x / (x 2 + 1) turės sprendimą. Pradinę lygtį pakeiskime kvadratine: Ax 2 - x + A = 0. Ši lygtis turi sprendinį, kai 1 - 4A 2 ≥ 0. Iš čia randame didžiausia vertė A = 1/2. 
Atsakymas: 5 pav., maks. y(x) = ½.
Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip sudaryti funkcijų grafikus?
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
Pirma pamoka nemokama!
svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
“SUBAŠO PAGRINDINĖ UGDYMO MOKYKLA“ BALTŲ SAVIVALDYBĖS RAJ.
TATARSTANO RESPUBLIKA
Pamokos rengimas – 9 klasė
Tema: Trupmeninė tiesinė funkcijasijos
GarifullinasaGeležinkelisašRifkatovna
201 4
Pamokos tema: Trupmeninė – tiesinė funkcija.
Pamokos tikslas:
Edukacinis: supažindinkite mokinius su sąvokomistrupmeninė – tiesinė funkcija ir asimptotų lygtis;
Kūrimas: technikų formavimas loginis mąstymas, domėjimosi dalyku ugdymas; lavinti trupmeninės tiesinės funkcijos apibrėžimo srities, reikšmės srities radimą ir jos grafiko sudarymo įgūdžių formavimą;
- motyvacinis tikslas:mokinių matematinės kultūros ugdymas, dėmesingumas, susidomėjimo dalyko studijomis išsaugojimas ir ugdymas taikant įvairių formųžinių įvaldymas.
Įranga ir literatūra: Nešiojamasis kompiuteris, projektorius, interaktyvi lenta, funkcijos y= koordinačių plokštuma ir grafikas , atspindžių žemėlapis, daugialypės terpės pristatymas,Algebra: vadovėlis 9 klasei pagrindinis vidurinė mokykla/ Yu.N. Makaryčiovas, N. G. Mendyukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; redagavo S.A. Telyakovsky / M: „Apšvietimas“, 2004 m.
Pamokos tipas:
žinių, įgūdžių, įgūdžių tobulinimo pamoka.
Per užsiėmimus.
Tikslas: - žodinio skaičiavimo įgūdžių ugdymas;
naujos temos studijoms reikalingos teorinės medžiagos ir apibrėžimų kartojimas.
Laba diena! Pamoką pradedame tikrindami namų darbus:
Dėmesio ekranui (1–4 skaidrė):
1 pratimas.
Atsakykite į 3 klausimą pagal šios funkcijos grafiką (raskite maksimalią funkcijos reikšmę, ...)
( 24 )
Užduotis -2. Apskaičiuokite išraiškos reikšmę:
-
=
Užduotis -3: Raskite trigubą šaknų sumą kvadratinė lygtis:
X 2 -671∙X + 670 = 0.
Kvadratinės lygties koeficientų suma lygi nuliui:
1+(-671)+670 = 0. Taigi x 1 =1 ir x 2 = Vadinasi,
3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013
O dabar visų 3 užduočių atsakymus rašysime paeiliui per taškus. (2013-12-24)
Rezultatas: Taip, tai tiesa! Taigi, šios dienos pamokos tema:
Trupmeninė – tiesinė funkcija.
Prieš važiuodamas keliu, vairuotojas turi žinoti taisykles eismo: draudimo ir leidimo ženklai. Šiandien taip pat turime prisiminti kai kuriuos draudžiamus ir leidžiančius ženklus. Dėmesio ekranui! (Skaidrė-6
)
Išvada:
Išraiška neturi prasmės;
Teisingas posakis, atsakymas: -2;
teisinga išraiška, atsakymas: -0;
Jūs negalite dalyti iš nulio 0!
Atkreipkite dėmesį, ar viskas parašyta teisingai? (skaidr. - 7)
1) ; 2) = ; 3) = a .
(1) tikroji lygybė, 2) = - ; 3) = - a )
II. Naujos temos tyrinėjimas: (skaidr. - 8).
Tikslas: Išmokyti rasti trupmeninės tiesinės funkcijos apibrėžimo plotą ir reikšmės plotą, braižant jos grafiką lygiagrečiai perkeliant funkcijos grafiką išilgai abscisių ir ordinačių ašių.
Nustatykite, kuri funkcija pavaizduota diagramoje koordinačių plokštuma?
Pateiktas funkcijos grafikas koordinačių plokštumoje.
Klausimas
Laukiamas atsakymas
Raskite funkcijos domeną, (D( y)=?)
X ≠0 arba(-∞;0]UUU
Funkcijos grafiką, naudodami lygiagretųjį vertimą, perkeliame išilgai Ox ašies (abscisių) 1 vienetu į dešinę;
Kokia funkcija pavaizduota diagramoje?
Funkcijos grafiką, naudodami lygiagretųjį vertimą, perkeliame išilgai Oy (ordinačių) ašies 2 vienetais aukštyn;
O dabar koks funkcijų grafikas buvo sukurtas?
Nubrėžkite linijas x=1 ir y=2
Ką tu manai? Kokias tiesiogines linijas gavome?
Tai tos tiesios linijos, prie kurio artėja funkcijos grafiko kreivės taškai toldami į begalybę.
Ir jie vadinamiyra asimptotai.
Tai yra, viena hiperbolės asimptotė eina lygiagrečiai y ašiai 2 vienetų atstumu į dešinę, o antroji asimptotė eina lygiagrečiai x ašiai 1 vieneto atstumu virš jos.
Šauniai padirbėta! Dabar padarykime išvadą:
Tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas yra hiperbolė, kurią galima gauti iš hiperbolės y =per lygiagretus perkėlimas išilgai koordinačių ašių. Norėdami tai padaryti, tiesinės trupmeninės funkcijos formulė turi būti pavaizduota sekančią formą: y=
kur n yra vienetų, kuriais hiperbolė juda į dešinę arba į kairę, skaičius, m yra vienetų, kuriais hiperbolė juda aukštyn arba žemyn, skaičius. Šiuo atveju hiperbolės asimptotės perkeliamos į eilutes x = m, y = n.
Štai trupmeninės tiesinės funkcijos pavyzdžiai:
; .
Tiesinė trupmeninė funkcija yra y = formos funkcija , kur x yra kintamasis, a, b, c, d yra kai kurie skaičiai, kai c ≠ 0, ad - bc ≠ 0.
c≠0 irReklama- pr. Kr≠0, nes esant c=0 funkcija virsta tiesine funkcija.
JeiguReklama- pr. Kr=0, gauname sumažintą trupmenos reikšmę, kuri lygi (t.y. pastovus).
Tiesinės trupmeninės funkcijos savybės:
1. Kai didėja teigiamas vertes argumentą, funkcijos reikšmės mažėja ir linkusios į nulį, bet išlieka teigiamos.
2. Didėjant teigiamoms funkcijos reikšmėms, argumento reikšmės mažėja ir linkusios į nulį, bet išlieka teigiamos.
III - apimamos medžiagos konsolidavimas.
Tikslas: - ugdyti pristatymo įgūdžius ir gebėjimustiesinės trupmeninės funkcijos formulės į formą:
Įtvirtinti asimptotinių lygčių sudarymo ir trupmeninės tiesinės funkcijos braižymo įgūdžius.
-1 pavyzdys:
Sprendimas: Naudodami transformacijas atvaizduojame šią funkciją formoje .
=
(10 skaidrė)
Fizinis lavinimas:
(apšilimas veda - budėtojas)
Tikslas: - Psichinės įtampos šalinimas ir mokinių sveikatos stiprinimas.
Darbas su vadovėliu: Nr.184.
Sprendimas: Naudodami transformacijas šią funkciją pavaizduojame kaip y=k/(х-m)+n .
=
de x≠0.
Parašykime asimptotės lygtį: x=2 ir y=3.
Taigi funkcijos grafikas juda išilgai x ašies 2 vienetų atstumu į dešinę ir išilgai y ašies 3 vienetų atstumu virš jos.
Grupinis darbas:
Tikslas: - įgūdžių išklausyti kitus ir tuo pačiu konkrečiai reikšti savo nuomonę formavimas;
gebančio vadovauti asmens išsilavinimas;
mokinių matematinio kalbėjimo kultūros ugdymas.
Pasirinkimo numeris 1
Suteikta funkcija:
.
.
2 variantas
Suteikta funkcija
1. Suveskite tiesinę trupmeninę funkciją į standartinę formą ir užrašykite asimptotės lygtį.
2. Raskite funkcijos apimtį
3. Raskite funkcijos reikšmių aibę
1. Suveskite tiesinę trupmeninę funkciją į standartinę formą ir užrašykite asimptotės lygtį.
2. Raskite funkcijos apimtį.
3. Raskite funkcijų reikšmių rinkinį.
(Pirmiausia darbą atlikusi grupė ruošiasi ginti grupinį darbą prie lentos. Atliekama darbo analizė.)
IV. Apibendrinant pamoką.
Tikslas: - teorinių ir praktinė veikla pamokoje;
Mokinių savigarbos įgūdžių formavimas;
Mokinių veiklos ir sąmonės refleksija, įsivertinimas.
Ir taip, mano brangūs mokiniai! Pamoka eina į pabaigą. Turite užpildyti atspindžių žemėlapį. Rašykite savo nuomones aiškiai ir įskaitomai
Pavardė ir vardas _____________________________________________
Pamokos etapai
Pamokos etapų sudėtingumo lygio nustatymas
Tavo mus-trigubas
Jūsų veiklos pamokoje įvertinimas, 1-5 balai
lengva
vidutinio sunkumo
sunku
Organizacinis etapas
Naujos medžiagos mokymasis
Gebėjimo sudaryti trupmeninės-tiesinės funkcijos grafiką formavimas
Grupinis darbas
Bendra nuomonė apie pamoką
Tikslas: - šios temos išsivystymo lygio patikrinimas.
[p.10*, Nr. 180 (a), 181 (b).]
Pasirengimas GIA: (Dirbu ties "Virtualus pasirenkamasis dalykas“ )
Pratimas iš GIA serijos (Nr. 23 - maksimalus balas):
Nubraižykite funkciją Y=
ir nustatyti, kokioms c reikšmėms linija y=c turi tiksliai vieną bendrą tašką su grafiku.
Klausimai ir užduotys bus skelbiamos nuo 14.00 iki 14.30 val.
Šioje pamokoje nagrinėsime tiesinę trupmeninę funkciją, spręsime uždavinius naudodami tiesinę trupmeninę funkciją, modulį, parametrą.
Tema: Kartojimas
Pamoka: tiesinė trupmeninė funkcija
Apibrėžimas:
Tiesinė trupmeninė funkcija vadinama formos funkcija:
Pavyzdžiui:
Įrodykime, kad šios tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas yra hiperbolė.
Išimkime dvikovą iš skaitiklio, gausime:
Mes turime x ir skaitiklyje, ir vardiklyje. Dabar transformuojame taip, kad išraiška atsirastų skaitiklyje:
Dabar sumažinkime trupmenos terminą po termino:
Akivaizdu, kad šios funkcijos grafikas yra hiperbolė.
Galime pasiūlyti antrą įrodinėjimo būdą, ty padalyti skaitiklį iš vardiklio į stulpelį:
Gavau:
Svarbu, kad būtų galima lengvai sudaryti tiesinės trupmeninės funkcijos grafiką, ypač norint rasti hiperbolės simetrijos centrą. Išspręskime problemą.
1 pavyzdys – nubraižykite funkcijos grafiką:
Mes jau konvertavome šią funkciją ir gavome:
Norėdami sudaryti šį grafiką, neperkelsime ašių ar pačios hiperbolės. Mes naudojame standartinį funkcijų grafikų sudarymo metodą, naudodami pastovumo intervalų buvimą.
Mes veikiame pagal algoritmą. Pirmiausia išnagrinėjame pateiktą funkciją.
Taigi, turime tris pastovumo intervalus: dešinėje () funkcija turi pliuso ženklą, tada ženklai pakaitomis, nes visos šaknys turi pirmąjį laipsnį. Taigi, intervale funkcija yra neigiama, intervale funkcija yra teigiama.
Mes sukuriame grafiko eskizą šalia ODZ šaknų ir lūžio taškų. Turime: kadangi taške funkcijos ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, tada kreivė pirmiausia yra virš ašies, tada eina per nulį ir tada yra po x ašimi. Kai trupmenos vardiklis praktiškai lygus nuliui, tada, kai argumento reikšmė linkusi į tris, trupmenos reikšmė linkusi į begalybę. AT Ši byla, kai argumentas artėja prie trigubo kairėje, funkcija yra neigiama ir linkusi į minus begalybę, dešinėje funkcija yra teigiama ir išeina iš pliusinės begalybės.
Dabar statome funkcijos grafiko eskizą šalia be galo nutolusių taškų, t.y. kai argumentas linkęs į pliuso ar minuso begalybę. Šiuo atveju pastovių terminų galima nepaisyti. Mes turime:
Taigi, turime horizontalią asimptotę ir vertikalią asimptotę, hiperbolės centras yra taškas (3;2). Iliustruojame:
Ryžiai. 1. Hiperbolės grafikas, pavyzdžiui, 1
Problemas, susijusias su tiesine trupmenine funkcija, gali apsunkinti modulio ar parametro buvimas. Norėdami sukurti, pavyzdžiui, funkcijų grafiką, turite vadovautis šiuo algoritmu:
Ryžiai. 2. Algoritmo iliustracija
Gautoje diagramoje yra šakų, esančių virš x ašies ir žemiau x ašies.
1. Taikykite nurodytą modulį. Šiuo atveju grafiko dalys, esančios virš x ašies, lieka nepakitusios, o tos, kurios yra žemiau ašies, atspindimos x ašies atžvilgiu. Mes gauname:
Ryžiai. 3. Algoritmo iliustracija
2 pavyzdys – nubraižykite funkcijos grafiką:
Ryžiai. 4. Funkcijų grafikas, pavyzdžiui, 2
Panagrinėkime tokią užduotį – nubraižyti funkcijos grafiką. Norėdami tai padaryti, turite laikytis šio algoritmo:
1. Nubraižykite submodulinę funkciją
Tarkime, kad turime tokį grafiką:
Ryžiai. 5. Algoritmo iliustracija
1. Taikykite nurodytą modulį. Norėdami suprasti, kaip tai padaryti, išplėskime modulį.
Taigi funkcijų reikšmėms su neneigiamomis argumento reikšmėmis pakeitimų nebus. Kalbant apie antrąją lygtį, žinome, kad ji gaunama simetriškai atvaizduojant y ašį. turime funkcijos grafiką:
Ryžiai. 6. Algoritmo iliustracija
3 pavyzdys – nubraižykite funkcijos grafiką:
Pagal algoritmą pirmiausia reikia nubraižyti submodulinės funkcijos grafiką, mes jį jau sukūrėme (žr. 1 pav.)
Ryžiai. 7. Funkcijų grafikas, pavyzdžiui, 3
4 pavyzdys – raskite lygties šaknų skaičių su parametru:
Prisiminkite, kad lygties sprendimas su parametru reiškia visų parametro reikšmių kartojimą ir kiekvienos iš jų atsakymo nurodymą. Veikiame pagal metodiką. Pirmiausia sukuriame funkcijos grafiką, tai jau padarėme ankstesniame pavyzdyje (žr. 7 pav.). Toliau reikia iškirpti grafiką su skirtingų a linijų šeimomis, rasti susikirtimo taškus ir parašyti atsakymą.
Žvelgdami į grafiką išrašome atsakymą: už ir lygtis turi du sprendinius; už , lygtis turi vieną sprendimą; , lygtis neturi sprendinių.
kirvis +b
Tiesinė trupmeninė funkcija yra formos funkcija y = --- ,
cx +d
kur x- kintamasis, a,b,c,d yra keletas skaičių ir c ≠ 0, Reklama-pr. Kr ≠ 0.
Tiesinės trupmeninės funkcijos savybės:
Tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas yra hiperbolė, kurią galima gauti iš hiperbolės y = k/x, naudojant lygiagrečius vertimus išilgai koordinačių ašių. Norėdami tai padaryti, tiesinės trupmeninės funkcijos formulė turi būti pavaizduota tokia forma:
k
y = n + ---
x-m
kur n- vienetų, kuriais hiperbolė pasislenka į dešinę arba į kairę, skaičius, m- vienetų, kuriais hiperbolė juda aukštyn arba žemyn, skaičius. Šiuo atveju hiperbolės asimptotės perkeliamos į eilutes x = m, y = n.
Asimptotė yra tiesi linija, prie kurios artėja kreivės taškai, kai jie tolsta į begalybę (žr. paveikslėlį žemiau).
Kalbant apie lygiagrečius perkėlimus, žr. ankstesnius skyrius.
1 pavyzdys Raskite hiperbolės asimptotes ir nubraižykite funkcijos grafiką:
x + 8
y = ---
x – 2
Sprendimas:
k
Pavaizduokime trupmeną kaip n + ---
x-m
Už tai x+ 8 rašome tokia forma: x - 2 + 10 (t.y. 8 buvo pateikta kaip -2 + 10).
x+ 8 x – 2 + 10 1 (x – 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
x – 2 x – 2 x – 2 x – 2
Kodėl posakis įgavo tokią formą? Atsakymas paprastas: atlikite sudėjimą (suveskite abu terminus į bendrą vardiklį) ir grįšite prie ankstesnės išraiškos. Tai yra, tai yra duotosios išraiškos transformacijos rezultatas.
Taigi, gavome visas reikalingas vertes:
k = 10, m = 2, n = 1.
Taigi, mes radome savo hiperbolės asimptotes (remiantis tuo, kad x = m, y = n):
Tai yra, viena hiperbolės asimptotė eina lygiagrečiai ašiai y 2 vienetų atstumu į dešinę nuo jo, o antroji asimptotė eina lygiagrečiai ašiai x 1 vienetas virš jo.
Nubraižykime šią funkciją. Norėdami tai padaryti, atliksime šiuos veiksmus:
1) koordinačių plokštumoje punktyrine linija nubrėžiame asimptotes - tiesę x = 2 ir tiesę y = 1.
2) kadangi hiperbolė susideda iš dviejų šakų, tai norėdami sudaryti šias šakas, sudarysime dvi lenteles: vieną x<2, другую для x>2.
Pirmiausia pasirenkame pirmosios parinkties x reikšmes (x<2). Если x = –3, то:
10
y = 1 + --- = 1 - 2 = -1
–3
– 2
Savavališkai pasirenkame kitas vertybes x(pavyzdžiui, -2, -1, 0 ir 1). Apskaičiuokite atitinkamas reikšmes y. Visų gautų skaičiavimų rezultatai pateikiami lentelėje:
Dabar sudarykime parinkties x>2 lentelę:
Trupmeninė racionali funkcija
Formulė y = k/x, grafikas yra hiperbolė. 1 dalyje GIA suteikta funkcija siūloma be poslinkių išilgai ašių. Todėl jis turi tik vieną parametrą k. Didžiausias skirtumas tarp išvaizda grafika priklauso nuo ženklo k.
Sunkiau pastebėti skirtumus diagramose, jei k vienas simbolis:
Kaip matome, tuo daugiau k, tuo didesnė hiperbolė.
Paveikslėlyje parodytos funkcijos, kurių parametras k labai skiriasi. Jei skirtumas nėra toks didelis, tai gana sunku jį nustatyti akimis.
Šiuo atžvilgiu ši užduotis, kurią radau apskritai gerame rengimosi GIA vadove, yra tiesiog „šedevras“:
Negana to, gana mažame paveikslėlyje glaudžiai išdėstyti grafikai tiesiog susilieja. Taip pat hiperbolės su teigiamu ir neigiamu k vaizduojamos toje pačioje koordinačių plokštumoje. Tai visiškai dezorientuoja kiekvieną, kuris žiūri į šį piešinį. Į akis krenta tiesiog „kieta žvaigždė“.
Ačiū Dievui, tai tik treniruotė. Tikrose versijose buvo pasiūlyta teisingesnė formuluotė ir akivaizdūs brėžiniai.
Išsiaiškinkime, kaip nustatyti koeficientą k pagal funkcijos grafiką.
Iš formulės: y = k / x seka tuo k = y x. Tai yra, galime paimti bet kurį sveikąjį tašką su patogiomis koordinatėmis ir jas padauginti – gauname k.
k= 1 (- 3) = - 3.
Taigi šios funkcijos formulė yra tokia: y = - 3/x.
Įdomu panagrinėti situaciją su trupmeniniu k. Šiuo atveju formulę galima parašyti keliais būdais. Tai neturėtų būti klaidinanti.
Pavyzdžiui,
Šiame grafike neįmanoma rasti vieno sveikojo skaičiaus taško. Todėl vertė k galima nustatyti labai grubiai.
k= 1 0,7≈0,7. Tačiau galima suprasti, kad 0< k< 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.
Taigi apibendrinkime.
k> 0 hiperbolė yra 1 ir 3 koordinačių kampuose (kvadrantuose),
k < 0 - во 2-м и 4-ом.
Jeigu k modulis didesnis nei 1 ( k= 2 arba k= - 2), tada grafikas yra virš 1 (žemiau - 1) y ašyje, atrodo platesnis.
Jeigu k modulis mažesnis nei 1 ( k= 1/2 arba k= - 1/2), tada grafikas yra žemiau 1 (virš - 1) išilgai y ašies ir atrodo siauresnis, „paspaustas“ iki nulio:
