Piramidė. Nupjauta piramidė

Piramidė vadinamas daugiakampiu, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis ( bazė ), o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne ( šoniniai veidai ) (15 pav.). Piramidė vadinama teisinga , jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą (16 pav.). Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios tetraedras .

Šoninis šonkaulis piramidė yra šoninio paviršiaus pusė, kuri nepriklauso pagrindui Aukštis Piramidė vadinamas atstumu nuo jos viršūnės iki pagrindo plokštumos. Visi šoniniai šonkauliai teisinga piramidė yra lygūs vienas kitam, visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai... Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas iš viršaus, vadinamas apotemas . Įstrižainė pjūvis piramidės atkarpa vadinama plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, nepriklausančius vienam paviršiui.

Šoninio paviršiaus plotas piramidė vadinama visų šoninių paviršių plotų suma. Visas paviršiaus plotas vadinama visų šoninių paviršių ir pagrindo plotų suma.

Teoremos

1. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodai pasvirusios į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į aplink pagrindą apibrėžto apskritimo centrą.

2. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodo ilgio, tai piramidės viršūnė projektuojama į aplink pagrindą apibrėžto apskritimo centrą.

3. Jei piramidėje visi paviršiai vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą.

Norint apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, teisinga ši formulė:

kur V- tūris;

S pagrindinis- bazinis plotas;

H- piramidės aukštis.

Tinkamai piramidei formulės yra teisingos:

kur p- bazinis perimetras;

h a- apotemas;

H- aukštis;

S pilnas

S pusė

S pagrindinis- bazinis plotas;

V- teisingos piramidės tūris.

Nupjauta piramidė vadinama piramidės dalimi, atitverta tarp pagrindo ir piramidės pagrindui lygiagrečios skentinės plokštumos (17 pav.). Taisyklinga nupjauta piramidė vadinama taisyklingosios piramidės dalimi, uždaryta tarp pagrindo ir piramidės pagrindui lygiagrečios skentinės plokštumos.

Pamatai nupjautos piramidės – panašūs daugiakampiai. Šoniniai veidai - trapecijos formos. Aukštis nupjauta piramidė yra atstumas tarp jos pagrindų. Įstrižainė nupjauta piramidė vadinama atkarpa, jungiančia jos viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje. Įstrižainė pjūvis nupjautos piramidės atkarpa vadinama plokštuma, einanti per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso vienam paviršiui.

Sutrumpintai piramidei galioja šios formulės:

(4)

kur S 1 , S 2 - viršutinio ir apatinio pagrindo sritys;

S pilnas- bendras paviršiaus plotas;

S pusė- šoninio paviršiaus plotas;

H- aukštis;

V- nupjautos piramidės tūris.

Teisingai sutrumpintai piramidei formulė yra teisinga:

kur p 1 , p 2 - pagrindų perimetrai;

h a- taisyklingos nupjautos piramidės apotema.

1 pavyzdys. Taisyklingoje trikampėje piramidėje dvikampis kampas prie pagrindo yra 60º. Raskite šoninės briaunos polinkio kampo į pagrindo plokštumą liestinę.

Sprendimas. Padarykime piešinį (18 pav.).

Piramidė yra teisinga, todėl prie pagrindo lygiakraštis trikampis o visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Dvikampis kampas prie pagrindo yra piramidės šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą. Linijinis kampas yra kampas a tarp dviejų statmenų: ir t.y. Piramidės viršūnė projektuojama į trikampio centrą (apskritimo centras ir įbrėžtas apskritimas trikampyje ABC). Šoninio šonkaulio pasvirimo kampas (pvz SB) Ar kampas tarp pačios briaunos ir jos projekcijos į pagrindo plokštumą. Dėl šonkaulio SBšis kampas bus kampas SBD... Norėdami rasti liestinę, turite žinoti kojas TAIP ir OB... Tegul segmento ilgis BD yra lygus 3 a... Taškas O skyrius BD yra padalintas į dalis: ir Iš randame TAIP: Iš randame:

Atsakymas:

2 pavyzdys. Raskite taisyklingos nupjautinės keturkampės piramidės tūrį, jei jos pagrindų įstrižainės yra cm ir cm, o aukštis – 4 cm.

Sprendimas. Norėdami rasti nupjautos piramidės tūrį, naudojame formulę (4). Norėdami rasti pagrindų plotą, turite rasti pagrindo kvadratų kraštines, žinant jų įstrižaines. Pagrindų kraštinės yra atitinkamai 2 cm ir 8 cm Taigi pagrindų plotai ir Pakeitę visus formulės duomenis, apskaičiuojame nupjautinės piramidės tūrį:

Atsakymas: 112 cm3.

3 pavyzdys. Raskite taisyklingos trikampės nupjautinės piramidės, kurios pagrindų kraštinės yra 10 cm ir 4 cm, o piramidės aukštis 2 cm, šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (19 pav.).

Šios piramidės šoninis paviršius yra lygiašonė trapecija. Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą, turite žinoti pagrindą ir aukštį. Pagrindai pateikti pagal būklę, tik aukštis lieka nežinomas. Iš kur rasime A 1 E statmenai nuo taško A 1 apatinio pagrindo plokštumoje, A 1 D- statmenai nuo A 1 ant AS. A 1 E= 2 cm, nes tai yra piramidės aukštis. Rasti DE darykime papildomą brėžinį, kuriame bus pavaizduotas vaizdas iš viršaus (20 pav.). Taškas O- viršutinio ir apatinio pagrindo centrų projekcija. kadangi (žr. 20 pav.) ir Kita vertus Gerai Ar įbrėžto apskritimo spindulys ir OM- įbrėžto apskritimo spindulys:

MK = DE.

Pagal Pitagoro teoremą iš

Šoninė veido sritis:

Atsakymas:

4 pavyzdys. Piramidės pagrinde yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindai a ir b (a> b). Kiekvienas šoninis paviršius sudaro kampą su piramidės pagrindo plokštuma, lygiu j... Raskite bendrą piramidės paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (21 pav.). Bendras piramidės paviršiaus plotas SABCD lygus trapecijos plotų ir ploto sumai ABCD.

Pasinaudokime teiginiu, kad jei visi piramidės paviršiai vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą. Taškas O- viršūnių projekcija S piramidės papėdėje. Trikampis SOD yra stačiakampio trikampio projekcija CSD pagrindo plokštumoje. Pagal teoremą apie plokštumos figūros stačiakampės projekcijos plotą gauname:

Panašiai tai reiškia Taigi užduotis buvo sumažinta iki trapecijos ploto suradimo ABCD... Nubrėžkite trapeciją ABCD atskirai (22 pav.). Taškas O- į trapeciją įbrėžto apskritimo centras.

Kadangi apskritimas gali būti įrašytas į trapeciją, pagal Pitagoro teoremą Iš

Šioje pamokoje apžvelgsime nupjautąją piramidę, susipažinsime su taisyklinga nupjauta piramide, tyrinėsime jų savybes.

Prisiminkime n kraštinės piramidės sampratą naudodami trikampės piramidės pavyzdį. Nustatytas trikampis ABC. Už trikampio plokštumos paimtas taškas P, sujungtas su trikampio viršūnėmis. Gautas daugiakampis paviršius vadinamas piramide (1 pav.).

Ryžiai. 1. Trikampė piramidė

Išskaidykime piramidę plokštuma, lygiagrečia piramidės pagrindo plokštumai. Tarp šių plokštumų gauta figūra vadinama nupjautąja piramide (2 pav.).

Ryžiai. 2. Nupjauta piramidė

Esminiai elementai:

Viršutinė bazė;

Apatinė bazė ABC;

Šoninis kraštas;

Jei PH yra pradinės piramidės aukštis, tai yra nupjautinės piramidės aukštis.

Nupjautos piramidės savybės išplaukia iš jos konstravimo būdo, būtent iš pagrindinių plokštumų lygiagretumo:

Visi nupjautos piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos. Apsvarstykite, pavyzdžiui, aspektą. Pagal lygiagrečių plokštumų savybę (kadangi plokštumos lygiagrečios, jos pjauna pradinės ABP piramidės šoninį paviršių išilgai lygiagrečių tiesių), kartu nėra lygiagrečios. Akivaizdu, kad keturkampis yra trapecija, kaip ir visi nupjautinės piramidės šoniniai paviršiai.

Bazinis santykis yra vienodas visoms trapecijoms:

Turime keletą porų panašių trikampių su tuo pačiu panašumo koeficientu. Pavyzdžiui, trikampiai ir RAV yra panašūs dėl plokštumų lygiagretumo ir panašumo koeficiento:

Tuo pačiu metu trikampiai ir RBC yra panašūs su panašumo koeficientu:

Akivaizdu, kad visų trijų panašių trikampių porų panašumo koeficientai yra lygūs, todėl bazių santykis yra vienodas visoms trapecijoms.

Taisyklinga nupjauta piramidė – tai nupjautinė piramidė, gauta perpjaunant taisyklingąją piramidę, kurios plokštuma lygiagreti pagrindui (3 pav.).

Ryžiai. 3. Taisyklinga nupjauta piramidė

Apibrėžimas.

Piramidė vadinama teisinga, kurios pagrindas yra reguliarus n-gonas, o viršūnė projektuojama į šio n kampo centrą (įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų centrą).

V tokiu atveju piramidės pagrinde yra kvadratas, o viršus projektuojamas iki jos įstrižainių susikirtimo taško. Gauta taisyklinga stačiakampė nupjautinė piramidė ABCD turi apatinį pagrindą ir viršutinį pagrindą. Pirminės piramidės aukštis – RO, nupjautinės piramidės – (4 pav.).

Ryžiai. 4. Taisyklinga keturkampė nupjautinė piramidė

Apibrėžimas.

Nukirsto aukščio aukštis yra statmenas, nubrėžtas iš bet kurio vieno pagrindo taško į kito pagrindo plokštumą.

Pirminės piramidės apotemas yra PM (M – AB vidurys), nupjautinės piramidės apotemas – (4 pav.).

Apibrėžimas.

Nupjautos piramidės apotemas yra bet kurio šoninio paviršiaus aukštis.

Aišku, kad visos nupjautinės piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai, tai yra, šoninės briaunos yra lygios lygiašonės trapecijos.

Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus pagrindo perimetrų ir apotemos pusės sumos sandaugai.

Įrodymas (taisyklingai stačiakampei nupjautinei piramidei – 4 pav.):

Taigi, būtina įrodyti:

Šoninio paviršiaus plotas čia bus sudarytas iš šoninių paviršių plotų sumos - trapecijos. Kadangi trapecijos yra vienodos, turime:

Lygiašonės trapecijos plotas yra pagrindų ir aukščio pusės sumos sandauga, apotemas yra trapecijos aukštis. Mes turime:

Q.E.D.

n kraštinei piramidei:

Kur n yra piramidės šoninių paviršių skaičius, a ir b yra trapecijos pagrindas, yra apotemas.

Taisyklingos nupjautinės keturkampės piramidės pagrindo kraštinės yra lygūs 3 cm ir 9 cm, aukštis - 4 cm Raskite šoninio paviršiaus plotą.

Ryžiai. 5. 1 uždavinio iliustracija

Sprendimas. Iliustruojame sąlygą:

Duota:,,

Per tašką O brėžiame tiesę MN, lygiagrečią dviem apatinio pagrindo kraštinėms, panašiai per tašką brėžiame tiesę (6 pav.). Kadangi kvadratai ir konstrukcijos yra lygiagrečios nupjautinės piramidės pagrinduose, gauname trapeciją, lygią šoniniams paviršiams. Be to, jo šoninė pusė eis per šoninių paviršių viršutinių ir apatinių šonkaulių vidurį ir bus nupjautos piramidės apotema.

Ryžiai. 6. Papildomos konstrukcijos

Apsvarstykite gautą trapeciją (6 pav.). Šioje trapecijoje žinomas viršutinis pagrindas, apatinis pagrindas ir aukštis. Reikia rasti šoninę pusę, kuri yra duotosios nupjautinės piramidės apotema. Brėžkime statmenai MN. Nuleiskime statmeną NQ nuo taško. Gauname, kad didesnė bazė yra padalinta į trijų centimetrų segmentus (). Apsvarstykite stačiakampį trikampį, jame esančios kojos žinomos, tai yra Egipto trikampis, pagal Pitagoro teoremą nustatome hipotenuzės ilgį: 5 cm.

Dabar yra visi elementai, skirti nustatyti piramidės šoninio paviršiaus plotą:

Piramidę kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui. Trikampės piramidės pavyzdžiu įrodykite, kad piramidės šoninės briaunos ir aukštis šios plokštumos dalijami į proporcingas dalis.

Įrodymas. Iliustruojame:

Ryžiai. 7. 2 uždavinio iliustracija

RAVS piramidė nustatyta. RO yra piramidės aukštis. Piramidė išskaidoma plokštuma, gaunama nupjauta piramidė, be to. Taškas – RO aukščio susikirtimo taškas su nupjautinės piramidės pagrindo plokštuma. Būtina įrodyti:

Raktas į sprendimą yra lygiagrečios plokštumos savybė. Du lygiagrečios plokštumos nupjaukite bet kurią trečiąją plokštumą taip, kad susikirtimo linijos būtų lygiagrečios. Taigi:. Atitinkamų tiesių linijų lygiagretumas reiškia, kad yra keturios panašių trikampių poros:

Atitinkamų kraštinių proporcingumas išplaukia iš trikampių panašumo. Svarbi savybė slypi tame, kad šių trikampių panašumo koeficientai yra vienodi:

Q.E.D.

Teisingai trikampė piramidė RAVS su pagrindo aukščiu ir šonine išskaidoma plokštuma, einančia per RN aukščio vidurį lygiagrečiai pagrindo ABC. Raskite gautos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Iliustruojame:

Ryžiai. 8. 3 uždavinio iliustracija

ASB yra stačiakampis trikampis, H yra šio trikampio centras (įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų centras). RM yra duotosios piramidės apotemas. - nupjautos piramidės apotema. Pagal lygiagrečių plokštumų savybę (dvi lygiagrečios plokštumos nupjauna bet kurią trečią plokštumą taip, kad susikirtimo tiesės būtų lygiagrečios), turime keletą porų panašių trikampių su vienodu panašumo koeficientu. Ypač mus domina santykiai:

Raskime NM. Tai yra į pagrindą įrašyto apskritimo spindulys, žinome atitinkamą formulę:

Dabar iš stačiakampio trikampio РНМ pagal Pitagoro teoremą randame РМ - pirminės piramidės apotemą:

Iš pradinio santykio:

Dabar žinome visus elementus, skirtus nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotui rasti:

Taigi, susipažinome su nupjautosios piramidės ir taisyklingosios nupjautinės piramidės sąvokomis, pateikėme pagrindinius apibrėžimus, įvertinome savybes ir įrodėme teoremą apie šoninio paviršiaus plotą. Kita pamoka bus apie problemų sprendimą.

Bibliografija

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnovas. Geometrija. 10-11 klasės: vadovėlis ugdymo įstaigų mokiniams (pagrindinis ir profilio lygiai) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnovas. - 5-asis leidimas, kun. ir pridėkite. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 p.: Ill.
2. Sharygin I.F. Geometrija. 10-11 klasė: Bendrojo ugdymo vadovėlis švietimo įstaigos/ Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999 .-- 208 p.: Ill.
3. E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. Geometrija. 10 klasė: Vadovėlis švietimo įstaigoms su giluminiu ir specializuotu matematikos mokymu / E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. - 6 leidimas, Stereotipas. - M .: Bustard, 2008 .-- 233 p .: iliustr.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.expponenta.ru ().

Namų darbai

- Tai daugiakampis, sudarytas iš piramidės pagrindo ir jam lygiagrečios atkarpos. Galima sakyti, kad nupjauta piramidė yra piramidė su nupjauta viršūne. Ši forma turi daug unikalių savybių:

• Piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos;
• Taisyklingos nupjautinės piramidės šoniniai šonkauliai vienodo ilgio ir pakreiptas prie pagrindo tuo pačiu kampu;
• Pagrindai yra kaip daugiakampiai;
• Įprastoje nupjautoje piramidėje paviršiai yra identiškos lygiašonės trapecijos, kurių plotas lygus. Jie taip pat yra pakreipti į pagrindą tuo pačiu kampu.

Nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė yra jos kraštinių plotų suma:

Kadangi nupjautos piramidės kraštinės yra trapecijos formos, parametrams apskaičiuoti turėsite naudoti formulę trapecijos plotas... Norėdami gauti teisingą nupjautą piramidę, galite taikyti kitą ploto formulę. Kadangi visos jo kraštinės, paviršiai ir kampai prie pagrindo yra lygūs, galite taikyti pagrindo ir apotemos perimetrus, taip pat išskaičiuoti plotą per kampą prie pagrindo.

Jei pagal sąlygas taisyklingoje nupjautoje piramidėje pateikiamas apotemas (šoninės kraštinės aukštis) ir pagrindo kraštinių ilgiai, tai plotą galima apskaičiuoti per piramidės sumos pusgaminį. pagrindų ir apotemos perimetrai:

Pažvelkime į nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį.
Pateikta taisyklinga penkiakampė piramidė. Apotema l= 5 cm, veido ilgis dideliame pagrinde yra a= 6 cm, o kraštas mažesniame pagrinde b= 4 cm. Apskaičiuokite nupjautos piramidės plotą.

Pirma, suraskime pagrindų perimetrus. Kadangi mums duota penkiakampė piramidė, suprantame, kad pagrindai yra penkiakampiai. Tai reiškia, kad figūra su penkiomis vienodomis kraštinėmis guli prie pagrindų. Raskite didesnio pagrindo perimetrą:

Tuo pačiu būdu randame mažesnio pagrindo perimetrą:

Dabar galime apskaičiuoti teisingos nupjautos piramidės plotą. Duomenis pakeičiame į formulę:

Taigi, mes apskaičiavome taisyklingos nupjautos piramidės plotą per perimetrus ir apotemą.

Kitas būdas apskaičiuoti įprastos piramidės šoninį paviršiaus plotą yra formulė per kampus prie pagrindo ir šių pagrindų plotą.

Pažvelkime į skaičiavimo pavyzdį. Atminkite, kad ši formulė taikoma tik taisyklingai nupjautai piramidei.

Pateikiame taisyklingą keturkampę piramidę. Apatinio pagrindo kraštas a = 6 cm, o viršutinio pagrindo kraštas b = 4 cm. Dvikampis kampas prie pagrindo yra β = 60 °. Raskite taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Pirmiausia apskaičiuokime pagrindų plotą. Kadangi piramidė yra teisinga, visi pagrindų paviršiai yra lygūs vienas kitam. Atsižvelgiant į tai, kad prie pagrindo yra keturkampis, suprantame, kad reikės skaičiuoti kvadratinis plotas... Tai yra pločio ir ilgio sandauga, tačiau šios vertės yra vienodos kvadratu. Raskite didesnio pagrindo plotą:


Dabar mes naudojame rastas vertes šoninio paviršiaus plotui apskaičiuoti.

Žinodami keletą paprastų formulių, pagal įvairias reikšmes lengvai apskaičiavome nupjautos piramidės šoninės trapecijos plotą.

• 29.05.2016

  Virpesių grandinė - elektros grandinė kuriame yra induktorius, kondensatorius ir šaltinis elektros energija... Kai grandinės elementai yra sujungti nuosekliai, virpesių grandinė vadinama nuoseklia, o lygiagrečia - lygiagrečia. Virpesių grandinė - paprasčiausia sistema kur nemokamai elektromagnetinės vibracijos... Grandinės rezonansinis dažnis nustatomas pagal vadinamąją Tomsono formulę: ƒ = 1 / (2π√ (LC)) Jei ...

• 20.09.2014

  Imtuvas skirtas priimti LW diapazono (150 kHz… 300 kHz) signalus. Pagrindinis bruožas imtuvas antenoje, kurios induktyvumas yra didesnis nei įprastos magnetinės antenos. Tai leidžia naudoti trimerio kondensatoriaus talpą 4 ... 20pF diapazone, taip pat toks imtuvas turi priimtiną jautrumą ir mažą RF kelio stiprinimą. Imtuvas veikia su ausinėmis (ausinėmis), maitinamas iš ...

• 24.09.2014

  Šis prietaisas skirtas kontroliuoti skysčio lygį talpyklose, kai tik skystis pakils iki nustatyto lygio, prietaisas pradės duoti nuolatinį garso signalą, skysčio lygiui pasiekus kritinį lygį, prietaisas pradės duoti su pertrūkiais. signalas. Indikatorius susideda iš 2 generatorių, juos valdo jutiklio elementas E. Jis dedamas į baką lygiu iki ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 yra skaitmeninis kelių programų laikmatis, skirtas dirbti su ILTs3-5 \ 7 indikatoriumi. Jis suteikia atgalinį skaičiavimą ir rodo esamą laiką valandomis ir minutėmis, savaitės dieną ir valdymo kanalo numerį (9 aliarmai). Žadintuvo schema parodyta paveikslėlyje. Mikroschema yra su laikrodžiu. rezonatorius Q1 esant 32768Hz. maistas yra neigiamas, bendras pliusas yra ...