Lygiašonė trikampė piramidė. Piramidė. Nupjauta piramidė

Hipotezė: manome, kad piramidės formos tobulumą lemia jos formoje įtvirtinti matematiniai dėsniai.

Tikslas: ištyrę piramidę kaip geometrinį kūną, paaiškinkite jos formos tobulumą.

Užduotys:

1. Pateikite matematinį piramidės apibrėžimą.

2. Ištirkite piramidę kaip geometrinį kūną.

3. Supraskite, kokias matematines žinias egiptiečiai padėjo savo piramidėse.

Privatūs klausimai:

1. Kas yra piramidė kaip geometrinis kūnas?

2. Kaip galite paaiškinti piramidės formos unikalumą matematiniu požiūriu?

3. Kuo paaiškinami geometriniai piramidės stebuklai?

4. Kas paaiškina piramidės formos tobulumą?

Piramidės apibrėžimas.

PIRAMIDĖ (iš graikų pyramis, genties pyramidos) - daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne (figūra). Pagal pagrindo kampų skaičių piramidės skiriamos trikampės, keturkampės ir kt.

PIRAMIDĖ - monumentalus geometrinės piramidės formos statinys (kartais ir laiptuotas arba bokštas). Piramidės vadinamos milžiniškais senovės Egipto faraonų kapais III – II tūkstantmetyje prieš Kristų. e., taip pat senovės amerikietiški šventyklų postamentai (Meksikoje, Gvatemaloje, Hondūre, Peru), siejami su kosmologiniais kultais.

Gali būti, kad graikiškas žodis „piramidė“ kilęs iš egiptiečių posakio per-em-us, tai yra iš termino, reiškiančio piramidės aukštį. Žymus rusų egiptologas V. Struvė manė, kad graikiškas „puram… j“ kilęs iš senovės egiptiečių „p“ -mr “.

Iš istorijos. Išstudijavus Atanasjano autorių vadovėlio „Geometrija“ medžiagą. Butuzovo ir kitų, sužinojome, kad: Daugiakampis, sudarytas iš n - kampo A1A2A3 ... An ir n trikampių PA1A2, PA2A3, ..., PnA1, vadinamas piramide. Daugiakampis A1A2A3 ... An yra piramidės pagrindas, o trikampiai PA1A2, PA2A3, ..., PANA1 yra piramidės šoniniai paviršiai, P yra piramidės viršus, atkarpos PA1, PA2,…, PAN yra šoniniai kraštai.

Tačiau toks piramidės apibrėžimas egzistavo ne visada. Pavyzdžiui, senovės graikų matematikas, iki mūsų atėjusių teorinių matematikos traktatų autorius Euklidas, apibrėžia piramidę kaip kūno figūrą, apribotą plokštumų, susiliejančių iš vienos plokštumos į vieną tašką.

Tačiau šis apibrėžimas buvo kritikuojamas jau senovėje. Taigi Heronas pasiūlė tokį piramidės apibrėžimą: „Tai figūra, apribota viename taške susiliejančių trikampių, kurių pagrindas yra daugiakampis“.

Mūsų grupė, lygindama šiuos apibrėžimus, priėjo prie išvados, kad jie neturi aiškios sąvokos „pamatai“ formuluotės.

Išnagrinėjome šiuos apibrėžimus ir radome Adrieno Marie Legendre apibrėžimą, kuris 1794 m. savo darbe „Geometrijos elementai“ apibrėžia piramidę taip: „Piramidė yra kūno figūra, suformuoti trikampiais susilieja viename taške ir baigiasi skirtingose ​​plokščio pagrindo pusėse.

Mums atrodo, kad paskutinis apibrėžimas suteikia aiškų supratimą apie piramidę, nes jame klausime kad pagrindas būtų plokščias. Dar vienas piramidės apibrėžimas pasirodė XIX amžiaus vadovėlyje: „piramidė yra kietasis kampas, kertamas plokštumos“.

Piramidė kaip geometrinis kūnas.

Tai. Piramidė yra daugiakampis, kurio vienas iš paviršių (pagrindas) yra daugiakampis, kiti paviršiai (kraštinė) yra trikampiai, turintys vieną bendrą viršūnę (piramidės viršūnę).

Statmenas, nubrėžtas nuo piramidės viršūnės iki pagrindo plokštumos, vadinamas aukščioh piramidės.

Be savavališkos piramidės, yra teisinga piramidė, kurio pagrindu yra taisyklingas daugiakampis ir nupjauta piramidė.

Paveikslėlyje pavaizduota piramidė PABCD, ABCD yra jos pagrindas, PO yra aukštis.

Visas paviršiaus plotas piramidė vadinama visų jos paviršių plotų suma.

S pilnas = S pusė + S pagrindinis, kur S pusė- šoninių paviršių plotų suma.

Piramidės tūris randama pagal formulę:

V = 1 / 3Sb. h, kur Sosn. - bazinis plotas, h- aukštis.

Taisyklingos piramidės ašis vadinama tiesia linija, kurioje yra jos aukštis.
Apothem ST – taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis.

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas išreiškiamas taip: S pusė. = 1/2P h, kur P yra pagrindo perimetras, h- šoninio paviršiaus aukštis (taisyklingos piramidės apotema). Jei piramidę kerta plokštuma A'B'C'D, lygiagreti pagrindui, tada:

1) šoniniai šonkauliai ir aukštis šia plokštuma dalijami į proporcingas dalis;

2) atkarpoje gaunamas daugiakampis A'B'C'D', panašus į pagrindą;

DIV_ADBLOCK914 ">

Taisyklinga trikampė piramidė vadinama tetraedras .

Nupjauta piramidė gaunamas nupjovus jos viršutinę dalį nuo piramidės plokštuma, lygiagrečia pagrindui (ABCDD'C'B'A' pav.).

Nupjautos piramidės pagrindai- panašūs daugiakampiai ABCD ir A`B`C`D`, šoniniai paviršiai - trapecijos formos.

Aukštis nupjauta piramidė – atstumas tarp pagrindų.

Sutrumpintas tūris Piramidė randama pagal formulę:

V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png "align =" left "width =" 91 "height =" 96 "> Taisyklingos nupjautos piramidės šoninis paviršiaus plotas išreiškiamas taip: S pusė. = ½ (P + P ') h, kur P ir P 'yra bazių perimetrai, h- šoninio paviršiaus aukštis (teisingų nupjautų piramidžių apotema

Piramidės atkarpos.

Piramidės pjūviai plokštumų, einančių per jos viršūnę, yra trikampiai.

Atkarpa, einanti per du negretimus piramidės šoninius kraštus, vadinama įstrižainė.

Jei atkarpa eina per tašką šoniniame krašte ir pagrindo šone, tai ši pusė bus jos pėdsakas piramidės pagrindo plokštumoje.

Pjūvis, einantis per tašką, esantį ant piramidės paviršiaus, ir nurodytas atkarpos pėdsakas pagrindinėje plokštumoje, tada konstrukcija turėtų būti atliekama taip:

· Raskite duoto veido plokštumos ir piramidės pjūvio pėdsako susikirtimo tašką ir pažymėkite jį;

Nutieskite tiesią liniją nustatytas taškas ir gautą susikirtimo tašką;

· Pakartokite šiuos veiksmus su kitais veidais.

, kuris atitinka stačiakampio trikampio kojelių santykį 4:3. Šis kojų santykis atitinka gerai žinomą stačiakampį trikampį, kurio kraštinės yra 3: 4: 5, kuris vadinamas "tobulu", "šventu" arba "Egipto" trikampiu. Pasak istorikų, „Egipto“ trikampiui buvo suteikta magiška reikšmė. Plutarchas rašė, kad egiptiečiai visatos prigimtį palygino su „šventu“ trikampiu; vertikalią koją jie simboliškai prilygino vyrui, pagrindą – žmonai, o hipotenuzą – tai, kuri gimsta iš abiejų.

Trikampio 3: 4: 5 lygybė yra teisinga: 32 + 42 = 52, kuri išreiškia Pitagoro teoremą. Ar ne šią teoremą Egipto kunigai norėjo įamžinti statydami piramidę trikampio 3:4:5 pagrindu? Sunku rasti daugiau geras pavyzdys iliustruoti Pitagoro teoremą, kurią egiptiečiai žinojo dar gerokai iki Pitagoro atradimo.

Taigi išradingieji Egipto piramidžių kūrėjai siekė nustebinti tolimus palikuonis savo žinių gilumu ir tai pasiekė pasirinkę „auksinį“ stačiakampį Cheopso piramidę, o „šventą“ arba „egiptietišką“ – Khefreno piramidę. trikampis.

Labai dažnai savo tyrimuose mokslininkai naudoja piramidžių savybes su aukso pjūvio proporcijomis.

Matematiniame enciklopediniame žodyne pateikiamas toks auksinio santykio apibrėžimas - tai harmoninis padalijimas, padalijimas kraštutiniu ir vidutiniu santykiu - atkarpą AB padalijant į dvi dalis taip, kad didžioji jo AC dalis būtų proporcinga vidurkiui visas segmentas AB ir mažesnė jo dalis CB.

Segmento auksinio santykio algebrinis radinys AB = a redukuojama iki lygties a: x = x: (a - x) išsprendimo, kur x apytiksliai lygus 0,62a. Santykis x gali būti išreikštas trupmenomis 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21 ... = 0,618, kur 2, 3, 5, 8, 13, 21 yra Fibonačio skaičiai.

Geometrinė atkarpos AB aukso pjūvio konstrukcija atliekama taip: taške B atstatomas statmuo AB, ant jo klojama atkarpa BE = 1/2 AB, klojama A ir E, DE = BE ir galiausiai AC = HELL, tada įvykdoma lygybė AB: SV = 2: 3.

Aukso pjūvis dažnai naudojamas meno kūriniuose, architektūroje, pasitaiko gamtoje. Ryškūs pavyzdžiai yra Apolono Belvederio, Partenono skulptūra. Statant Partenoną buvo naudojamas pastato aukščio ir ilgio santykis ir šis santykis yra 0,618. Mus supantys objektai taip pat pateikia auksinio santykio pavyzdžių, pavyzdžiui, daugelio knygų įrišimo pločio ir ilgio santykis yra artimas 0,618. Atsižvelgiant į lapų išsidėstymą ant bendro augalų stiebo, matosi, kad tarp kas dviejų lapų porų trečia yra aukso pjūvio (skaidrių) vietoje. Kiekvienas iš mūsų „nešiomės“ auksinį santykį su savimi „rankose“ - tai yra pirštų falangų santykis.

Atradę keletą matematinių papirusų, egiptologai sužinojo keletą dalykų apie senovės Egipto skaičių ir matų sistemas. Juose esančias užduotis sprendė raštininkai. Vienas žinomiausių yra Rindi matematinis papirusas. Nagrinėdami šias problemas, egiptologai sužinojo, kaip su jais susidorojo senovės egiptiečiai skirtingos sumos iškyla apskaičiuojant svorio, ilgio ir tūrio matmenis, kuriuose dažnai buvo naudojamos trupmenos, taip pat kaip jos buvo manipuliuojamos kampais.

Senovės egiptiečiai naudojo kampų skaičiavimo metodą, pagrįstą stačiakampio trikampio aukščio ir pagrindo santykiu. Jie išreiškė bet kokį kampą gradiento kalba. Šlaito gradientas buvo išreikštas sveikųjų skaičių santykiu, vadinamu "seced". Savo knygoje „Matematika faraonų laikais“ Richardas Pillinsas paaiškina: „Taisyklingos piramidės sekedas yra bet kurio iš keturių trikampių paviršių polinkis į pagrindo plokštumą, matuojamas n-tuoju horizontalių vienetų skaičiumi vienai vertikaliai. kėlimo vienetas. Taigi šis įrenginys yra lygiavertis mūsų šiuolaikiniam pakreipimo kotangentui. Todėl egiptiečių žodis „seked“ yra susijęs su mūsų šiuolaikinis žodis"gradientas"".

Skaitmeninis piramidžių raktas yra jų aukščio ir pagrindo santykis. Praktiškai tai yra lengviausias būdas sukurti šablonus, reikalingus nuolat tikrinti teisingą pasvirimo kampą piramidės konstrukcijos metu.

Egiptologai mielai mus įtikintų, kad kiekvienas faraonas troško išreikšti savo individualumą, todėl kiekvienos piramidės pasvirimo kampai skiriasi. Bet gali būti ir kita priežastis. Galbūt visi jie norėjo įkūnyti skirtingas simbolines asociacijas, paslėptas skirtingomis proporcijomis. Tačiau Khafre piramidės kampas (remiantis trikampiu (3: 4: 5)) atsiranda trijose problemose, kurias vaizduoja piramidės Rindi matematiniame papiruse. Taigi šis požiūris buvo gerai žinomas senovės egiptiečiams.

Kad būtų teisinga prieš egiptologus, kurie teigia, kad senovės egiptiečiai nežinojo trikampio 3:4:5, sakykime, kad 5 hipotenuzės ilgis niekada nebuvo paminėtas. Bet matematikos uždaviniai kalbant apie piramides, visada sprendžiami pagal kampą. Kadangi hipotenuzės ilgis niekada nebuvo paminėtas, buvo padaryta išvada, kad egiptiečiai niekada neskaičiavo trečiosios pusės ilgio.

Gizos piramidėse naudotas aukščio ir pagrindo santykis neabejotinai buvo žinomas senovės egiptiečiams. Gali būti, kad šie santykiai kiekvienai piramidei buvo pasirinkti savavališkai. Tačiau tai prieštarauja skaitmeninės simbolikos svarbai visose egiptiečių kalbose vaizdiniai menai... Labai tikėtina, kad tokie santykiai buvo reikšmingi, nes išreiškė specifines religines idėjas. Kitaip tariant, visas Gizos kompleksas buvo pajungtas nuosekliam planui, sukurtam atspindėti tam tikrą dievišką temą. Tai paaiškintų, kodėl dizaineriai pasirinko skirtingus trijų piramidžių kampus.

„Oriono paslaptyje“ Bauvalis ir Gilbertas pateikė įtikinamų įrodymų apie Gizos piramidžių ryšį su Oriono žvaigždynu, ypač su Oriono juostos žvaigždėmis. Tas pats žvaigždynas yra Izidės ir Ozyrio mituose. Priežastis kiekvieną piramidę laikyti vienos iš trijų pagrindinių dievybių – Ozyrio, Izidės ir Horo – atvaizdu.

STEBUKLAI "GEOMETRIKAI".

Tarp grandiozinių Egipto piramidžių užima ypatingą vietą Didžioji faraono Cheopso piramidė (Chufu)... Prieš pradedant analizuoti Cheopso piramidės formą ir dydį, reikėtų prisiminti, kokią matavimo sistemą naudojo egiptiečiai. Egiptiečiai turėjo tris ilgio vienetus: „uolektis“ (466 mm), lygus septynioms „delnams“ (66,5 mm), o tai, savo ruožtu, buvo lygi keturiems „pirštams“ (16,6 mm).

Išanalizuokime Cheopso piramidės matmenis (2 pav.), vadovaudamiesi nuostabioje ukrainiečių mokslininko Nikolajaus Vasyutinskio knygoje pateiktais samprotavimais. Auksinė proporcija“ (1990).

Dauguma tyrinėtojų sutinka, kad, pavyzdžiui, piramidės pagrindo kraštinės ilgis Gf yra lygus L= 233,16 m Ši reikšmė atitinka beveik lygiai 500 "uolekčių". Visiškas 500 „uolekčių“ atitikimas bus, jei „uolekčių“ ilgis bus lygus 0,4663 m.

Piramidės aukštis ( H) tyrėjų vertinamas skirtingai nuo 146,6 iki 148,2 m Ir priklausomai nuo priimto piramidės aukščio, kinta visi jos geometrinių elementų santykiai. Dėl ko skiriasi piramidės aukščio įvertinimas? Faktas yra tas, kad griežtai kalbant, Cheopso piramidė yra sutrumpinta. Jos viršutinė platforma šiais laikais yra apie 10 × 10 m, o prieš šimtmetį – 6 × 6 m. Akivaizdu, kad piramidės viršūnė buvo išardyta ir ji neatitinka originalios.

Vertinant piramidės aukštį, būtina atsižvelgti į tai fizinis veiksnys kaip struktūros „juodraštis“. Per ilgas laikas veikiant didžiuliam slėgiui (siekiant 500 tonų 1 m2 apatinis paviršius) piramidės aukštis sumažėjo, palyginti su pradiniu aukščiu.

Koks buvo pradinis piramidės aukštis? Šį aukštį galima atkurti surandant pagrindinę piramidės „geometrinę idėją“.

2 pav.

1837 metais anglų pulkininkas G. Weisz išmatavo piramidės veidų pasvirimo kampą: jis pasirodė lygus. a= 51 ° 51 ". Šią reikšmę ir šiandien pripažįsta dauguma tyrinėtojų. Nurodyta kampo reikšmė atitinka liestinę (tg a) lygus 1,27306. Ši vertė atitinka piramidės aukščio santykį AS iki pusės jo pagrindo CB(2 pav.), tai yra AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Ir čia mokslininkų laukė didžiulė staigmena! .Png "width =" 25 "height =" 24 "> = 1,272. Palyginus šią reikšmę su tg reikšme a= 1,27306, matome, kad šios vertės yra labai arti viena kitos. Jei imtume kampą a= 51 ° 50 ", tai yra, sumažinkite jį tik viena lanko minute, tada vertę a taps lygus 1,272, tai yra, sutampa su reikšme. Pažymėtina, kad 1840 metais G. Weisas pakartojo savo matavimus ir patikslino, kad kampo reikšmė a= 51 ° 50 ".

Šie matavimai paskatino mokslininkus iškelti tokią labai įdomią hipotezę: AC / CB = = 1,272!

Dabar apsvarstykite stačiakampį trikampį ABC, kuriame kojų santykis AC / CB= (2 pav.). Jei dabar stačiakampio kraštinių ilgiai ABCžymi per x, y, z, taip pat atsižvelgti į tai, kad santykis y/x=, tada pagal Pitagoro teoremą ilgis z galima apskaičiuoti pagal formulę:

Jei priimsite x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png "width =" 143 "height =" 27 ">

3 pav."Auksinis" stačiakampis trikampis.

Stačiakampis trikampis, kurio kraštinės yra susijusios kaip t: auksinis "stačiakampis trikampis".

Tada, jei remsimės hipoteze, kad pagrindinė Cheopso piramidės „geometrinė idėja“ yra „auksinis“ stačiakampis trikampis, tada iš čia nesunku apskaičiuoti Cheopso piramidės „projektinį“ aukštį. Jis lygus:

H = (L / 2) ´ = 148,28 m.

Išsiaiškinkime kai kuriuos kitus Cheopso piramidės ryšius, kylančius iš „auksinės“ hipotezės. Visų pirma, mes nustatome piramidės išorinio ploto ir jos pagrindo ploto santykį. Norėdami tai padaryti, paimkite kojos ilgį CB vienam vienetui, tai yra: CB= 1. Bet tada piramidės pagrindo kraštinės ilgis Gf= 2 ir bazinis plotas EFGH bus lygus SEFGH = 4.

Dabar apskaičiuojame Cheopso piramidės šoninio paviršiaus plotą SD... Nuo aukščio AB trikampis AEF yra lygus t, tada šoninio paviršiaus plotas bus lygus SD = t... Tada bendras visų keturių piramidės šoninių paviršių plotas bus lygus 4 t, o viso piramidės išorinio ploto ir pagrindo ploto santykis bus lygus aukso pjūviui! Štai kas yra - pagrindinė geometrinė Cheopso piramidės paslaptis!

Cheopso piramidės „geometrinių stebuklų“ grupė apima realias ir sugalvotas santykių tarp skirtingų piramidės matmenų savybes.

Paprastai jie gaunami ieškant tam tikrų „konstantų“, visų pirma, skaičiaus „pi“ (Ludolfo skaičius), lygus 3,14159 ...; natūraliųjų logaritmų bazė "e" (Napjė skaičius), lygi 2,71828 ...; skaičius "F", "aukso pjūvio" skaičius, lygus, pavyzdžiui, 0,618 ... ir tt.

Galite įvardyti, pavyzdžiui: 1) Herodoto savybė: (Aukštis) 2 = 0,5 valg. pagrindinis x Apothem; 2) V turtas. Kaina: Aukštis: 0,5 st. osn = "Ф" kvadratinė šaknis; 3) M. Eyst savybė: Pagrindo perimetras: 2 Aukštis = "Pi"; kitaip interpretuojant - 2 šaukštai. pagrindinis : Aukštis = "Pi"; 4) G. Ribs savybė: Įbrėžto apskritimo spindulys: 0,5 a.š. pagrindinis = "F"; 5) K. Kleppisch nuosavybė: (Art. Main.) 2: 2 (Art. Main. X Apothem) = (Art. Main. U. Apothem) = 2 (Art. Main. X Apothem): ((2 str. . bazė X Apothem) + (st. bazė) 2). ir kt. Galite galvoti apie daugybę tokių savybių, ypač jei sujungsite dvi gretimas piramides. Pavyzdžiui, kaip „A. Arefjevo ypatybes“ galima paminėti, kad skirtumas tarp Cheopso piramidės ir Čefreno piramidės tūrių lygus dvigubai padidintam Mikerino piramidės tūriui...

Daugelis įdomios nuostatos, ypač apie piramidžių statybą pagal „aukso pjūvį“ aprašo D. Hambidge’o knygos „Dinaminė simetrija architektūroje“ ir M. Geek „Proporcingumo estetika gamtoje ir mene“. Prisiminkite, kad „auksinis santykis“ yra atkarpos padalijimas tokiu santykiu, kai dalis A yra tiek kartų didesnė už dalį B, kiek kartų A mažesnė už visą atkarpą A + B. Santykis A / B yra lygus. prie skaičiaus „Ф“ == 1.618.. .. „Aukso pjūvio“ naudojimas nurodomas ne tik atskirose piramidėse, bet ir visame Gizos piramidžių komplekse.

Tačiau įdomiausia, kad vienoje ir toje pačioje Cheopso piramidėje tiesiog „negali“ būti tiek daug nuostabių savybių. Paėmus po vieną tam tikrą savybę, ją galima „koreguoti“, tačiau visos iš karto nedera – nesutampa, prieštarauja viena kitai. Todėl, jei, pavyzdžiui, tikrindami visas savybes, iš pradžių imsime tą pačią piramidės pagrindo pusę (233 m), tuomet skirsis ir skirtingų savybių piramidžių aukščiai. Kitaip tariant, yra tam tikra piramidžių „šeima“, išoriškai panaši į Cheopsą, tačiau atitinkanti skirtingas savybes. Atkreipkite dėmesį, kad „geometrinėse“ savybėse nėra nieko ypatingo stebuklingo – daug kas atsiranda grynai automatiškai, iš pačios figūros savybių. „Stebuklu“ reikėtų laikyti tik tai, kas senovės egiptiečiams aiškiai neįmanoma. Tai visų pirma apima „kosminius“ stebuklus, kuriuose Cheopso piramidės arba piramidės komplekso Gizoje išmatavimai lyginami su kai kuriais astronominiais matavimais ir nurodomi „lyginiai“ skaičiai: milijoną kartų, milijardą kartų mažiau ir pan. įjungta. Panagrinėkime kai kuriuos „kosminius“ santykius.

Vienas iš teiginių yra toks: „Jei piramidės pagrindo kraštinę padalinsime iš tikslaus metų ilgio, gautume lygiai 10 milijonų žemės ašies“. Apskaičiuokite: padalinkite 233 iš 365, gausime 0,638. Žemės spindulys yra 6378 km.

Kitas teiginys iš tikrųjų yra priešingas ankstesniam. F. Noetlingas atkreipė dėmesį, kad jeigu panaudosime jo sugalvotą „egiptietišką alkūnę“, tai piramidės šonas atitiks „tiksliausią trukmę saulės metai, išreikštas vienos milijardosios dienos tikslumu “- 365.540.903.777.

P. Smitho teiginys: „Piramidės aukštis yra lygiai viena milijardoji atstumo nuo Žemės iki Saulės dalis“. Nors dažniausiai imamas 146,6 m aukštis, Smithas jį užėmė 148,2 m Pagal šiuolaikinius radarų matavimus, pusiau pagrindinė žemės orbitos ašis yra 149 597 870 + 1,6 km. Tai yra vidutinis atstumas nuo Žemės iki Saulės, tačiau perihelyje jis yra 5 000 000 kilometrų mažesnis nei ties afeliu.

Paskutinis įdomus pareiškimas:

„Kaip paaiškinti, kad Cheopso, Khafre ir Mykerinus piramidžių masės yra susijusios viena su kita, kaip ir planetų Žemės, Veneros, Marso masės? Paskaičiuokime. Trijų piramidžių masės yra tokios: Khafre - 0,835; Cheopsas – 1000; Mikerinas - 0,0915. Trijų planetų masių santykis: Venera – 0,815; Žemė - 1000; Marsas – 0,108.

Taigi, nepaisant skepticizmo, atkreipkime dėmesį į gerai žinomą teiginių konstrukcijos dermę: 1) piramidės aukštis, kaip „į erdvę besitęsiančios“ linijos – atitinka atstumą nuo Žemės iki Saulės; 2) piramidės pagrindo pusė, esanti arčiausiai „pagrindo“, tai yra Žemei, yra atsakinga už žemės spindulį ir žemės cirkuliaciją; 3) piramidės tūriai (skaityti – masės) atitinka arčiausiai Žemės esančių planetų masių santykį. Panašų „šifrą“ galima atsekti, pavyzdžiui, Karlo fon Frischo analizuotoje bičių kalboje. Tačiau kol kas nuo šio komentaro susilaikysime.

PIRAMIDĖS FORMA

Garsioji keturkampė piramidžių forma atsirado ne iš karto. Skitai laidodavo žemiškų kalvų – piliakalnių pavidalu. Egiptiečiai statė iš akmens „kalvas“ – piramides. Tai atsitiko pirmą kartą po Aukštutinio ir Žemutinio Egipto suvienijimo, XXVIII amžiuje prieš Kristų, kai prieš įkūrėją III dinastija Faraonui Džoseriui (Zoseriui) teko užduotis stiprinti šalies vienybę.

Ir štai, pasak istorikų, svarbus vaidmuo stiprinant centrinė valdžia suvaidino karaliaus „naują sudievinimo koncepciją“. Nors karališkieji palaidojimai ir pasižymėjo didesniu puošnumu, jie iš esmės nesiskyrė nuo rūmų didikų kapų, buvo tie patys statiniai – mastabas. Virš kameros su sarkofagu, kuriame yra mumija, stačiakampio formos piliakalnis smulkūs akmenys, kur tuomet iškilo nedidelis stambių akmens luitų statinys – „mastaba“ (arabiškai – „suolas“). Vietoj savo pirmtako Sanakhto mastabo faraonas Džoseris pastatė pirmąją piramidę. Jis buvo laipsniškas ir buvo matomas pereinamasis etapas nuo vienos architektūrinės formos prie kitos, nuo mastabos iki piramidės.

Tokiu būdu išminčius ir architektas Imhotepas, kurį vėliau laikė burtininku, o graikai tapatino su dievu Asklepijumi, faraoną „paaukštino“. Tarsi iš eilės buvo pastatyti šeši mastabai. Be to, pirmoji piramidė užėmė 1125 x 115 metrų plotą, o numatomas aukštis – 66 metrai (pagal egiptiečių matavimus – 1000 „delnų“). Iš pradžių architektas planavo statyti mastabą, bet ne pailgą, o kvadratinio plano. Vėliau jis buvo išplėstas, bet kadangi priestatas buvo žemesnis, buvo tarsi du laipteliai.

Tokia situacija architekto netenkino ir ant didžiulės plokščios mastabos viršutinės platformos Imhotepas pastatė dar tris, palaipsniui mažėdamas į viršų. Kapas buvo po piramide.

Yra žinomos dar kelios laiptuotos piramidės, tačiau vėliau statybininkai perėjo prie mums labiau žinomų tetraedrinių piramidžių statybos. Kodėl vis dėlto ne tripusis arba, tarkime, aštuonkampis? Netiesioginį atsakymą duoda tai, kad beveik visos piramidės puikiai orientuotos keturiomis pagrindinėmis kryptimis, todėl turi keturias puses. Be to, piramidė buvo „namas“, keturkampės laidojimo kameros apvalkalas.

Bet kas lėmė kraštų pasvirimo kampą? Knygoje „Proporcijų principas“ tam skirtas visas skyrius: „Kas galėtų lemti piramidžių pasvirimo kampus“. Visų pirma nurodoma, kad „vaizdas, į kurį traukia didžiosios Senosios Karalystės piramidės, yra trikampis su stačiu kampu viršuje.

Erdvėje tai yra pusiau oktaedras: piramidė, kurios pagrindo kraštai ir kraštinės yra lygios, o paviršiai – lygiakraščiai trikampiai.“ Tam tikri svarstymai šia tema pateikiami Hambage'o, Geeko ir kitose knygose.

Koks yra pusiau oktaedro kampo pranašumas? Remiantis archeologų ir istorikų aprašymais, kai kurios piramidės sugriuvo nuo savo svorio. Reikėjo „ilgaamžiškumo kampo“, energetiškai patikimiausio. Grynai empiriškai šis kampas gali būti paimtas iš viršūnės kampo trupančio sauso smėlio krūvoje. Tačiau norint gauti tikslius duomenis, reikia naudoti modelį. Paėmus keturis tvirtai pritvirtintus rutulius, ant jų reikia uždėti penktąjį ir išmatuoti pasvirimo kampus. Tačiau čia galite suklysti, todėl padeda teorinis skaičiavimas: rutulių centrus turėtumėte sujungti linijomis (protiškai). Prie pagrindo gausite kvadratą, kurio kraštinė yra dvigubai didesnė. Kvadratas bus tik piramidės pagrindas, kurio kraštų ilgis taip pat bus lygus dvigubam spinduliui.

Taigi, tankus 1: 4 tipo rutuliukų supakavimas suteiks mums teisingą pusiau oktaedrą.

Tačiau kodėl daugelis piramidžių, besikreipiančių į panašią formą, vis dėlto jos neišlaiko? Piramidės tikriausiai sensta. Priešingai nei garsus posakis:

„Viskas pasaulyje bijo laiko, o laikas bijo piramidžių“, piramidžių pastatai turėtų pasenti, juose gali ir turi vykti ne tik išoriniai dūlėjimo procesai, bet ir vidinio „susitraukimo“, nuo kurių piramidės gali tapti žemesnės. Susitraukimas galimas ir dėl to, kad, kaip išsiaiškinta D. Davidovito darbais, senovės egiptiečiai naudojo blokelių gamybos technologiją iš kalkių trupinių, kitaip tariant, iš „betono“. Būtent šie procesai galėtų paaiškinti Medumo piramidės, esančios 50 km į pietus nuo Kairo, sunaikinimo priežastis. Jam 4600 metų, pagrindo matmenys 146 x 146 m, aukštis 118 m. „Kodėl jis toks subjaurotas?“ – klausia V. Zamarovskis. „Įprastos nuorodos į griaunančią laiko įtaką ir „akmens panaudojimas kitiems pastatams“ čia netinka.

Juk dauguma jo blokų ir apkalų plokščių išliko iki šių dienų, jos papėdėje griuvėsiais.

Piramidžių forma taip pat gali būti sukurta imituojant: kai kurie natūralūs raštai, „stebuklingas tobulumas“, tarkime, kai kurie kristalai oktaedro pavidalu.

Tokie kristalai gali būti deimanto ir aukso kristalai. Būdinga didelis skaičius„susikertantys“ ženklai tokioms sąvokoms kaip faraonas, saulė, auksas, deimantas. Visur – kilnūs, spindintys (briliantiški), puikūs, nepriekaištingi ir pan. Panašumai nėra atsitiktiniai.

Žinoma, kad saulės kultas yra svarbi religijos dalis. Senovės Egiptas... „Kad ir kaip išverstume didžiausios piramidžių pavadinimą“, – sakoma viename iš šiuolaikinių vadovėlių – „Chufu's Heaven“ arba „Chufu Heavenly“, tai reiškė, kad karalius yra saulė. Jei Khufu savo galios spindesyje įsivaizduoja esąs antrąja saule, tai jo sūnus Jedef-Ra tapo pirmuoju iš Egipto karalių, pradėjusiu vadintis „Ra sūnumi“, tai yra Saulė. Saulę beveik visos tautos simbolizavo „saulės metalu“, auksu. „Didis šviesaus aukso diskas“ – taip mūsų dienos šviesą vadino egiptiečiai. Egiptiečiai puikiai pažinojo auksą, žinojo jo gimtąsias formas, kur aukso kristalai gali atsirasti oktaedrų pavidalu.

Kaip „formų pavyzdys“ čia įdomus ir „saulės akmuo“ – deimantas. Deimanto pavadinimas kilo tiesiog iš arabų pasaulio, „almas“ – kiečiausias, kiečiausias, nesunaikinamas. Senovės egiptiečiai gana gerai žinojo deimantą ir jo savybes. Kai kurių autorių teigimu, gręžimui jie net naudojo bronzinius vamzdžius su deimantiniais pjaustytuvais.

Šiuo metu pagrindinis deimantų tiekėjas yra pietų Afrika, bet Vakarų Afrikoje taip pat gausu deimantų. Malio Respublikos teritorija ten netgi vadinama „Deimantų žeme“. Tuo tarpu būtent Malio teritorijoje gyvena dogonai, su kuriais paleovitų hipotezės šalininkai sieja daug vilčių (žr. toliau). Deimantai negalėjo būti senovės egiptiečių kontaktų su šia žeme priežastis. Tačiau vienaip ar kitaip gali būti, kad būtent kopijuodami deimantų ir aukso kristalų oktaedrus senovės egiptiečiai dievino „nesunaikinamą“ kaip deimantą ir „blizgantį“ kaip auksinį faraoną, Saulės sūnus. tik su nuostabiausiais gamtos kūriniais.

Išvestis:

Ištyrę piramidę kaip geometrinį kūną, susipažinę su jos elementais ir savybėmis, įsitikinome nuomonės apie piramidės formos grožį pagrįstumu.

Atlikę tyrimus priėjome išvados, kad egiptiečiai, surinkę vertingiausias matematines žinias, jas įkūnijo piramidėje. Todėl piramidė tikrai yra tobuliausias gamtos ir žmogaus kūrinys.

BIBLIOGRAFIJA

„Geometrija: vadovėlis. už 7-9 cl. bendrojo išsilavinimo. įstaigos \ ir tt - 9 leidimas - M .: Švietimas, 1999 m

Matematikos istorija mokykloje, M: „Švietimas“, 1982 m

Geometrija 10-11 kl., M: „Išsilavinimas“, 2000 m

Peteris Tompkinsas „Paslaptys didžioji piramidė Cheopsas“, M: „Tsentropoligraf“, 2005 m

Interneto ištekliai

http:// veka-i-mig. ***** /

http:// tambov. ***** / vjpusk / vjp025 / rabot / 33 / index2.htm

http://www. ***** / enc / 54373.html

Instrukcijos

Tuo atveju, jei bazėje piramidės yra kvadratas, žinomas jo įstrižainės ilgis, taip pat šio krašto ilgis piramidės, tada aukštis tai piramidės galima išreikšti iš Pitagoro teoremos, nes trikampis, kurį sudaro briauna piramidės, o pusė įstrižainės prie pagrindo yra stačiakampis trikampis.
Pitagoro teorema teigia, kad stačiakampio hipotenuzės kvadratas yra lygus jos kojų kvadratų sumai (a² = b² + c²). Kraštas piramidės- hipotenuzė, viena iš kojų yra pusė kvadrato įstrižainės. Tada nežinomos kojos ilgis (aukštis) randamas pagal formules:
b² = a² - c²;
c² = a² – b².

Kad abi situacijos būtų kuo aiškesnės ir suprantamesnės, galite apsvarstyti porą.
1 pavyzdys: bazinis plotas piramidės 46 cm², tūris 120 cm³. Remiantis šiais duomenimis, aukštis piramidės randama taip:
h = 3 * 120/46 = 7,83 cm
Atsakymas: šio aukštis piramidės bus maždaug 7,83 cm
2 pavyzdys: Y piramidės, kurio pagrinde yra daugiakampis - kvadratas, jo įstrižainė 14 cm, briaunos ilgis 15 cm.Pagal šiuos duomenis rasti aukštis piramidės, reikia naudoti sekančią formulę(kas yra Pitagoro teoremos pasekmė):
h² = 15² - 14²
h² = 225–196 = 29
h = √29 cm
Atsakymas: šio aukštis piramidės yra √29 cm arba maždaug 5,4 cm

pastaba

Jei piramidės pagrinde yra kvadratas ar kitas taisyklingas daugiakampis, tai šią piramidę galima vadinti taisyklingąja. Tokia piramidė turi keletą savybių:
jo šoniniai šonkauliai yra vienodi;
to aspektai - lygiašoniai trikampiai kurie yra lygūs vienas kitam;
šalia tokios piramidės galite apibūdinti sferą, taip pat ją įrašyti.

Šaltiniai:

• Teisinga piramidė

Piramidė yra figūra, kurios pagrinde yra daugiakampis, o jos paviršiai yra trikampiai, turintys bendrą viršūnę visiems. Įprastose užduotyse dažnai reikia sukonstruoti ir nustatyti statmeną, nubrėžtą iš viršūnės piramidėsį jo pagrindo plokštumą. Šio segmento ilgis vadinamas aukščiu piramidės.

Jums reikės

• - valdovas
• - pieštukas
• - kompasas

Instrukcijos

Norėdami jį užbaigti, pastatykite piramidę pagal problemos būklę. Pavyzdžiui, norint sukurti įprastą tetraedrą, reikia nupiešti figūrą, kad visos 6 briaunos būtų lygios viena kitai. Jei norite statyti aukštis keturkampis, tada tik 4 pagrindo kraštai turi būti lygūs. Tada šoninių paviršių kraštai gali būti sukonstruoti nelygūs daugiakampio kraštams. Pavadinkite piramidę, visas viršūnes pažymėdami lotyniškomis raidėmis. Pavyzdžiui, už piramidės su trikampiu prie pagrindo, galite pasirinkti A, B, C (pagrindui), S (viršui). Jei sąlyga nurodo konkrečius briaunų matmenis, tada statydami figūrą vadovaukitės šiomis reikšmėmis.

Norėdami pradėti, sąlygiškai pasirinkite kompaso pagalba, paliesdami iš vidaus visus daugiakampio kraštus. Jei piramidė, tada taškas (vadinkite jį, pavyzdžiui, H) ant pagrindo piramidės, į kurį patenka aukštis, turi atitikti teisingame pagrinde įrašyto apskritimo centrą piramidės... Centras atitiks tašką, esantį vienodu atstumu nuo bet kurio kito apskritimo taško. Jei sujungsime viršūnę piramidės S su apskritimo H centru, tada atkarpa SH bus aukštis piramidės... Tuo pačiu atminkite, kad apskritimas gali būti įrašytas į keturkampį, kurio priešingų kraštinių sumos yra vienodos. Tai taikoma kvadratui ir rombui. Šiuo atveju taškas H bus keturkampyje. Bet kuriam trikampiui galima nubrėžti ir apibūdinti apskritimą.

Statyti aukštis piramidės, kompasu nubrėžkite apskritimą, o tada liniuote sujunkite jo centrą H su viršūne S. SH yra norimas aukštis. Jei apačioje piramidės SABC yra netaisyklingos figūros, tada aukštis jungs viršų piramidės su apskritimo, kuriame įrašytas pagrindinis daugiakampis, centru. Ant tokio apskritimo yra visos daugiakampio viršūnės. Šiuo atveju šis segmentas bus statmenas pagrindo plokštumai piramidės... Galite apibūdinti apskritimą aplink keturkampį, jei priešingų kampų suma yra 180 °. Tada tokio apskritimo centras bus atitinkamo įstrižainių sankirtoje

Kaip galima pastatyti piramidę? Ant paviršiaus R pastatykime kokį nors daugiakampį, pavyzdžiui, penkiakampį ABCDE. Iš lėktuvo R paimti tašką S. Sujungus tašką S atkarpomis su visais daugiakampio taškais, gauname piramidę SABCDE (pav.).

Taškas S vadinamas viršūnė o daugiakampis ABCDE yra pagrinduši piramidė. Taigi piramidė su viršūne S ir pagrindu ABCDE yra visų atkarpų sąjunga, kur M ∈ ABCDE.

Vadinami trikampiai SAB, SBC, SCD, SDE, SEA šoniniai veidai piramidės, bendrosios pusėsšoniniai paviršiai SA, SB, SC, SD, SE - šoniniai šonkauliai.

Piramidės vadinamos trikampis, keturkampis, n-kampis priklausomai nuo pagrindo kraštų skaičiaus. Fig. pateikti trikampių, keturkampių ir šešiakampių piramidžių atvaizdai.

Plokštuma, einanti per piramidės viršūnę ir pagrindo įstrižainę, vadinama įstrižainės, o gautas skyrius yra įstrižainės. Fig. 186 viena iš įstrižinių šešiakampės piramidės atkarpų yra užtamsinta.

Statmens atkarpa, nubrėžta per piramidės viršūnę iki jos pagrindo plokštumos, vadinama piramidės aukščiu (šios atkarpos galai yra piramidės viršūnė ir statmens pagrindas).

Piramidė vadinama teisinga jei piramidės pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į jos centrą.

Visi taisyklingos piramidės šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai. Taisyklingoje piramidėje visi šoniniai kraštai yra vienodi.

Taisyklingos piramidės, ištrauktos iš jos viršaus, šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotemas piramidės. Visi taisyklingosios piramidės apotemai sutampa.

Jei nurodysime pagrindo pusę per a, ir apothem per h, tada vieno piramidės šoninio paviršiaus plotas yra 1/2 ai.

Visų piramidės šoninių paviršių plotų suma vadinama šoninio paviršiaus plotas piramidės ir žymimos S puse.

Nes šoninis paviršius teisinga piramidė susideda iš n tada sutampantys veidai

S pusė. = 1/2 ahn= P h / 2 ,

kur P yra piramidės pagrindo perimetras. Vadinasi,

S pusė. = P h / 2

t.y. Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas yra pusė pagrindo perimetro sandaugos iš apotemos.

Bendras piramidės paviršiaus plotas apskaičiuojamas pagal formulę

S = S pagrindinis + S pusė. ...

Piramidės tūris yra lygus trečdaliui jos pagrindo ploto sandaugos S ocн. iki H aukščio:

V = 1/3 S pagrindinis N.

Šios ir kai kurių kitų formulių išvedimas bus pateiktas kitame skyriuje.

Pastatykime piramidę kitaip. Tebūna pateiktas daugiakampis kampas, pavyzdžiui, penkiakampis, kurio viršūnė S (pav.).

Nubraižykime plokštumą R kad jis kirstų visas tam tikro daugiakampio kampo briaunas skirtinguose taškuose A, B, C, D, E (pav.). Tada SABCDE piramidė gali būti laikoma daugiakampio kampo ir puserdvės sankirta su riba R kur viršūnė S.

Akivaizdu, kad visų piramidės paviršių skaičius gali būti savavališkas, bet ne mažesnis kaip keturi. Kai plokštuma kerta trikampį kampą, gaunama trikampė piramidė, kuri turi keturis paviršius. Bet kokia trikampė piramidė kartais vadinama tetraedras, o tai reiškia tetraedrą.

Nupjauta piramidė galima gauti, jei piramidę kerta plokštuma, lygiagreti pagrindo plokštumai.

Fig. pateiktas keturkampės nupjautinės piramidės vaizdas.

Taip pat vadinamos nupjautos piramidės trikampis, keturkampis, n-kampis priklausomai nuo pagrindo kraštų skaičiaus. Iš nupjautos piramidės konstrukcijos matyti, kad ji turi du pagrindus: viršutinę ir apatinę. Nupjautinės piramidės pagrindai yra du daugiakampiai, kurių kraštinės poromis lygiagrečios. Nupjautos piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos.

Aukštis nupjauta piramidė vadinama statmena atkarpa, nubrėžta iš bet kurio viršutinio pagrindo taško į apatinio pagrindo plokštumą.

Taisyklinga nupjauta piramidė vadinama taisyklingos piramidės dalimi, uždaryta tarp pagrindo ir pjūvio plokštumos, lygiagrečios pagrindui. Taisyklingos nupjautinės piramidės (trapecijos) šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotemas.

Galima įrodyti, kad taisyklinga nupjautinė piramidė turi sutampančius šoninius kraštus, visos šoninės briaunos yra sutampančios, o visi apotemos yra sutampančios.

Jei teisingai sutrumpinta n- kampinė piramidė a ir b n nurodykite viršutinio ir apatinio pagrindo kraštų ilgius ir per h yra apotemos ilgis, tada kiekvieno piramidės šoninio paviršiaus plotas yra

1 / 2 (a + b n) h

Visų piramidės šoninių paviršių plotų suma vadinama jos šoninio paviršiaus plotu ir žymima S puse. ... Akivaizdu, kad teisingas sutrumpintas n- kampinė piramidė

S pusė. = n 1 / 2 (a + b n) h.

Nes na= P ir nb n= Р 1 - nupjautinės piramidės pagrindų perimetrai, tada

S pusė. = 1/2 (P + P 1) h,

tai yra, taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas yra lygus pusei jos pagrindų perimetrų sumos sandaugos iš apotemos.

Atkarpa lygiagreti piramidės pagrindui

Teorema. Jei piramidę kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui, tada:

1) šoniniai šonkauliai ir aukštis skirstomi į proporcingas dalis;

2) atkarpoje gausite daugiakampį, panašų į pagrindą;

3) skerspjūvio ir pagrindo plotai yra susiję kaip jų atstumų nuo viršaus kvadratai.

Pakanka įrodyti trikampės piramidės teoremą.

Kadangi lygiagrečias plokštumas išilgai lygiagrečių tiesių kerta trečioji plokštuma, tai (AB) || (A 1 B 1), (BC) || (B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (pav.).

Lygiagrečios tiesios linijos supjausto kampo šonus į proporcingas dalis, todėl

$$ \ frac (\ kairė | (SA) \ dešinė |) (\ kairė | (SA_1) \ dešinė |) = \ frakas (\ kairysis | (SB) \ dešinė |) (\ kairė | (SB_1) \ dešinė | ) = \ frac (\ kairė | (SC) \ dešinė |) (\ kairė | (SC_1) \ dešinė |) $$

Todėl ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 ir

$$ \ frakas (\ kairysis | (AB) \ dešinė ) \ dešinėje |) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 ir

$$ \ frakas (\ kairysis | (BC) \ dešinė ) \ dešinė |) = \ frac (\ kairysis | (SC) \ dešinė |) (\ kairė | (SC_1) \ dešinė |) $$

Taigi,

$$ \ frakas (\ kairysis | (AB) \ dešinė (1) C_1) \ dešinė |) = \ frakas (\ kairė | (AC) \ dešinė |) (\ kairė | (A_ (1) C_1) \ dešinė |) $$

Atitinkami trikampių ABC ir A 1 B 1 C 1 kampai yra kongruentiški, kaip kampai su lygiagrečiomis ir vienodai nukreiptomis kraštinėmis. Štai kodėl

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Tokių trikampių plotai vadinami atitinkamų kraštinių kvadratais:

$$ \ frakas (S_ (ABC)) (S_ (A_1 B_1 C_1)) = \ frakas (\ kairėje | (AB) \ dešinėje | ^ 2) (\ kairėje | (A_ (1) B_1) \ dešinėje | ^ 2 ) $$

$$ \ frakas (\ kairė | (AB) \ dešinė |) (\ kairė | (A_ (1) B_1) \ dešinė |) = \ frakas (\ kairė | (SH) \ dešinė |) (\ kairė | (SH_1) ) \ dešinėje |) $$

Vadinasi,

$$ \ frac (S_ (ABC)) (S_ (A_1 B_1 C_1)) = \ frakas (\ kairė | (SH) \ dešinė | ^ 2) (\ kairė | (SH_1) \ dešinė | ^ 2) $$

Teorema. Jei dvi vienodo aukščio piramidės vienodu atstumu nuo viršūnės išskaidomos plokštumos, lygiagrečios pagrindams, tai skerspjūvio plotai yra proporcingi pagrindų plotams.

Tegu (84 pav.) B ir B 1 - dviejų piramidžių pagrindų plotas, H - kiekvienos iš jų aukštis, b ir b 1 - skerspjūvio plotai plokštumose, lygiagrečiomis pagrindams ir pašalintomis iš viršūnių tokiu pačiu atstumu h.

Pagal ankstesnę teoremą turėsime:

$$ \ frac (b) (B) = \ frac (h ^ 2) (H ^ 2) \: ir \: \ frac (b_1) (B_1) = \ frac (h ^ 2) (H ^ 2) $ $
kur
$$ \ frac (b) (B) = \ frac (b_1) (B_1) \: arba \: \ frac (b) (b_1) = \ frac (B) (B_1) $$

Pasekmė. Jei B = B 1, tada b = b 1, t.y. jei dvi vienodo pagrindo aukščių piramidės yra vienodo dydžio, tai vienodo dydžio ir atkarpos vienodu atstumu nuo viršaus.

Kitos medžiagos

Darbo tekstas patalpintas be vaizdų ir formulių.
Pilną darbo versiją rasite skirtuke „Darbo failai“ PDF formatu

Įvadas

Kai sutinkame žodį „piramidė“, asociatyvi atmintis nukelia mus į Egiptą. Jei kalbėsime apie ankstyvuosius architektūros paminklus, tai galima teigti, kad jų skaičius yra ne mažesnis nei keli šimtai. XIII amžiaus arabų rašytojas sakė: „Viskas pasaulyje bijo laiko, o laikas bijo piramidžių“. Piramidės yra vienintelis stebuklas iš septynių pasaulio stebuklų, išlikęs iki mūsų laikų, iki eros Kompiuterinė technologija... Tačiau mokslininkams vis dar nepavyko rasti užuominų į visas savo paslaptis. Kuo daugiau sužinome apie piramides, tuo daugiau klausimų turime. Piramidės domina istorikus, fizikus, biologus, gydytojus, filosofus ir kt. Jos labai domina ir skatina giliau tyrinėti jų savybes tiek matematiniu, tiek kitais (istoriniais, geografiniais ir kt.) požiūriais.

Štai kodėl tikslas mūsų tyrimas buvo piramidės savybių tyrimas iš skirtingų požiūrių. Kaip tarpinius tikslus išskyrėme: piramidės savybių svarstymą matematikos požiūriu, hipotezių apie piramidės paslapčių ir paslapčių egzistavimą, jos pritaikymo galimybes, tyrimą.

ObjektasŠiame straipsnyje pateiktas tyrimas yra piramidė.

Prekė tyrimai: piramidės ypatybės ir savybės.

Užduotys tyrimas:

Studijuoti mokslinę populiariąją literatūrą tiriama tema.

Apsvarstykite piramidę kaip geometrinį kūną.

Nustatykite piramidės savybes ir ypatybes.

Raskite medžiagą, patvirtinančią piramidės savybių panaudojimą skirtingos sritys Mokslas ir technologijos.

Metodai tyrimai: analizė, sintezė, analogija, mentalinis modeliavimas.

Laukiamas darbo rezultatas turėtų būti struktūrizuota informacija apie piramidę, jos savybes ir pritaikymo galimybes.

Projekto rengimo etapai:

Projekto temos, tikslų ir uždavinių nustatymas.

Studijuoti ir rinkti medžiagą.

Projekto plano sudarymas.

Tikėtino projekto veiklos rezultato suformulavimas, įskaitant naujos medžiagos įsisavinimą, žinių, įgūdžių ir gebėjimų formavimą esminėje veikloje.

Tyrimo rezultatų registravimas.

Atspindys

Piramidė kaip geometrinis kūnas

Apsvarstykite žodžio ir termino kilmę piramidė“. Iš karto reikia pažymėti, kad „piramidė“ arba „ piramidė"(Anglų), " piramidas"(prancūzų, ispanų ir slavų kalbos), "Piramidė"(vokiečių kalba) yra vakarietiškas terminas, kilęs iš senovės Graikijos. Senovės graikų kalba πύραμίς („NS iramis"Ir daugelis kitų. h. Πύραμίδες « piramidės“) Turi keletą reikšmių. Senovės graikai vadino „ piramis»Kviečių pyragas, panašus į Egipto konstrukcijų formą. Vėliau šis žodis ėmė reikšti „monumentalią konstrukciją su kvadrato plotu apačioje ir nuožulniomis kraštinėmis, susieinančiomis viršuje. Etimologinis žodynas rodo, kad graikų „piramidė“ kilusi iš egiptiečių „ pimaras “. Pirmasis rašytinis žodžio aiškinimas "piramidė" rastas Europoje 1555 m. ir reiškia: „vienas iš senovinių karalių pastatų tipų“. Po piramidžių atradimo Meksikoje ir mokslo raidos XVIII amžiuje piramidė tapo ne tik senoviniu architektūros paminklu, bet ir taisyklinga geometrine figūra su keturiomis simetriškomis kraštinėmis (1716 m.). Tačiau piramidės geometrijos pradžia buvo nustatyta Senovės Egipte ir Babilone aktyvus vystymasis gavo į Senovės Graikija... Pirmasis, kuris nustatė, koks yra piramidės tūris, buvo Demokritas, o Eudoksas Knidas tai įrodė.

Pirmasis apibrėžimas priklauso senovės graikų matematikui, iki mūsų atėjusių teorinių matematikos traktatų autoriui Euklidui. XII savo „Principų“ tome jis apibrėžia piramidę kaip kūno figūrą, kurią riboja plokštumos, kurios viename taške (viršūnėje) susilieja iš vienos plokštumos (pagrindo). Tačiau šis apibrėžimas buvo kritikuojamas jau senovėje. Taigi Heronas pasiūlė tokį piramidės apibrėžimą: „Tai figūra, apribota viename taške susiliejančių trikampių, kurių pagrindas yra daugiakampis“.

Yra apibrėžimas prancūzų matematikas Adrienas Marie Legendre'as, kuris 1794 metais savo darbe „Geometrijos elementai“ apibrėžia piramidę taip: „Piramidė yra vientisa figūra, suformuota iš trikampių, susiliejančių viename taške ir besibaigiančių skirtingose ​​plokščio pagrindo pusėse“.

Šiuolaikiniai žodynai terminą „piramidė“ aiškina taip:

	Daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne	Aiškinamasis rusų kalbos žodynas, red. D. N. Ušakova
	Kūnas, apribotas lygių trikampių, sudarytų iš viršūnių viename taške ir sudarančių jų pagrindus su jų kampu	Dahlio aiškinamasis žodynas
	Daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne	Aiškinamasis žodynas, red. S. I. Ožegova ir N. Yu. Švedova
	Daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o šoniniai paviršiai yra trikampiai, turintys bendrą viršūnę	T. F. Efremovas. Naujas rusų kalbos aiškinamasis ir išvestinis žodynas.
	Daugiakampis, kurio vienas paviršius yra daugiakampis, o kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne	Žodynas svetimžodžiai
	Geometrinis kūnas, kurio pagrindas yra daugiakampis, o kraštinės yra tiek trikampių, kiek pagrindas turi kraštinių, susiliejančių su viršūnėmis į vieną tašką.	Rusų kalbos svetimžodžių žodynas
	Daugiakampis, kurio vienas paviršius yra kažkoks plokščias daugiakampis, o visi kiti paviršiai yra trikampiai, kurių pagrindai yra P. pagrindo kraštinės, o viršūnės susilieja viename taške	F. Brockhausas, I.A. Efronas. enciklopedinis žodynas
	Daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne	Modernus aiškinamasis žodynas
	Daugiakampis, kurio vienas paviršius yra daugiakampis, o kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne	Matematinis enciklopedinis žodynas

Analizuodami piramidės apibrėžimus, galime daryti išvadą, kad visi šaltiniai turi panašias formuluotes:

Piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne. Pagal pagrindo kampų skaičių piramidės skiriamos trikampės, keturkampės ir kt.

Daugiakampis А 1 А 2 А 3 ... Аn - piramidės pagrindas, o trikampiai RA 1 А 2, RA 2 А 3, ..., PANА 1 - piramidės šoniniai paviršiai, Р - piramidės viršus, atkarpos RA 1, RA 2, ..., PAN - šoniniai šonkauliai.

Statmenas, nubrėžtas nuo piramidės viršūnės iki pagrindo plokštumos, vadinamas aukštis h piramidės.

Be savavališkos piramidės, yra taisyklinga piramidė, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis ir nupjauta piramidė.

Kvadratas bendras piramidės paviršius vadinamas visų jos paviršių plotų suma. S iš viso = S pusė + S pagrindinė, kur S pusė yra šoninių paviršių plotų suma.

Apimtis piramidė randama pagal formulę: V = 1 / 3S pagrindinė h, kur S pagrindinė. - bazinis plotas, h - aukštis.

KAM piramidės savybės susieti:

Kai visi šoniniai kraštai yra vienodo dydžio, tada lengva apibūdinti apskritimą šalia piramidės pagrindo, o piramidės viršus bus projektuojamas į šio apskritimo centrą; šoniniai šonkauliai sudaro vienodus kampus su pagrindine plokštuma; be to, yra ir atvirkščiai, t.y. kai šoniniai šonkauliai susiformuoja su pagrindo plokštuma vienodi kampai, arba kai šalia piramidės pagrindo galima apibūdinti apskritimą, o piramidės viršūnė bus projektuojama į šio apskritimo centrą, tai reiškia, kad visos piramidės šoninės briaunos yra vienodo dydžio.

Kai šoniniai paviršiai turi tokio paties dydžio pasvirimo kampą į pagrindinę plokštumą, tada lengva apibūdinti apskritimą šalia piramidės pagrindo, o piramidės viršus bus projektuojamas į šio apskritimo centrą; šoninių paviršių aukščiai yra vienodo ilgio; šoninio paviršiaus plotas lygus pusei pagrindo perimetro ir šoninio krašto aukščio sandaugos.

Piramidė vadinama teisinga, jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o viršūnė projektuojama į pagrindo centrą. Taisyklingosios piramidės šoniniai paviršiai yra lygūs, lygiašoniai trikampiai (2a pav.). Ašis Taisyklinga piramidė vadinama tiesia linija, kurioje yra jos aukštis. Apotemas - taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas iš jos viršaus.

Kvadratas taisyklingosios piramidės šoninis paviršius išreiškiamas taip: S pusė. = 1 / 2P h, kur P yra pagrindo perimetras, h yra šoninio paviršiaus aukštis (įprastos piramidės apotema). Jei piramidę kerta plokštuma A'B'C'D', lygiagreti pagrindui, tai šoninės briaunos ir aukštis šios plokštumos dalijami į proporcingas dalis; atkarpoje gaunamas daugiakampis A'B'C'D', panašus į pagrindą; skerspjūvio ir pagrindo plotai vadinami jų atstumų nuo viršūnės kvadratais.

Nupjauta piramidė gaunamas nupjovus piramidės viršutinę dalį plokštuma, lygiagrečia pagrindui (2b pav.). Nupjautinės piramidės pagrindai yra panašūs daugiakampiai ABCD ir A`B`C`D`, šoniniai paviršiai yra trapecijos. Nupjautos piramidės aukštis yra atstumas tarp pagrindų. Nupjautos piramidės tūris randamas pagal formulę: V = 1/3 h (S + + S'), kur S ir S' yra bazių ABCD ir A'B'C'D' plotai, h yra aukštis.

Taisyklingos nupjautinės n-kampės piramidės pagrindai yra taisyklingos n-kampės. Taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotas išreiškiamas taip: S pusė. = ½ (P + P’) h, kur P ir P’ yra pagrindo perimetrai, h – šoninio paviršiaus aukštis (taisyklingos nupjautinės piramidės apotema)

Piramidės pjūviai plokštumų, einančių per jos viršūnę, yra trikampiai. Atkarpa, einanti per du negretimus šoninius piramidės kraštus, vadinama įstrižaine. Jei atkarpa eina per tašką šoniniame krašte ir pagrindo šone, tai ši pusė bus jos pėdsakas piramidės pagrindo plokštumoje. Pjūvis, einantis per tašką, esantį ant piramidės krašto, ir tam tikrą pjūvio pėdsaką pagrindinėje plokštumoje, tada konstravimas turi būti atliktas taip: suraskite šio paviršiaus plokštumos susikirtimo tašką ir pjūvio pėdsaką. piramidės atkarpą ir ją pažymėkite; nutiesti tiesę, einanti per nurodytą tašką ir susikirtimo tašką; pakartokite šiuos veiksmus su toliau nurodytais veidais.

Stačiakampė piramidė - tai piramidė, kurios viena iš šoninių briaunų yra statmena pagrindui. Šiuo atveju ši briauna bus piramidės aukštis (2c pav.).

Taisyklinga trikampė piramidė yra piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas trikampis, o viršus projektuojamas į pagrindo centrą. Ypatingas taisyklingos trikampės piramidės atvejis yra tetraedras... (2a pav.)

Apsvarstykite teoremas, jungiančias piramidę su kitomis geometriniai kūnai.

Sfera

Sferą galima apibūdinti šalia piramidės, kai piramidės pagrinde yra daugiakampis, aplink kurį galima apibūdinti apskritimą (būtina ir pakankama sąlyga). Rutulio centras bus plokštumų, einančių per joms statmenų piramidės briaunų vidurio taškus, susikirtimo taškas. Iš šios teoremos išplaukia, kad sfera gali būti aprašyta ir aplink bet kurią trikampę, ir aplink bet kurią taisyklingąją piramidę; Į piramidę galima įrašyti sferą, kai viename taške susikerta piramidės vidinių dvikampių kampų bisektorinės plokštumos (būtina ir pakankama sąlyga). Šis taškas bus sferos centras.

Kūgis

Kūgis vadinamas įbrėžtu piramidėje, jei jų viršūnės sutampa, o jo pagrindas yra įbrėžtas piramidės pagrinde. Be to, kūgį į piramidę galima įrašyti tik tada, kai piramidės apotemai yra lygūs vienas kitam (būtina ir pakankama sąlyga); Sakoma, kad kūgis aprašomas šalia piramidės, kai jų viršūnės sutampa, o jo pagrindas – šalia piramidės pagrindo. Be to, kūgį prie piramidės galima apibūdinti tik tada, kai visos piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai (būtina ir pakankama sąlyga); Tokių kūgių ir piramidžių aukščiai yra lygūs vienas kitam.

Cilindras

Cilindras vadinamas įbrėžtu piramidėje, jeigu vienas jo pagrindas sutampa su apskritimu, į piramidės pjūvį įbrėžtas plokštuma, lygiagreti pagrindui, o kitas pagrindas priklauso piramidės pagrindui. Cilindras apibūdinamas šalia piramidės, jei piramidės viršūnė priklauso vienam jos pagrindui, o kitas pagrindas aprašomas šalia piramidės pagrindo. Be to, apibūdinti cilindrą prie piramidės galima tik tada, kai piramidės pagrinde yra įrašytas daugiakampis (būtina ir pakankama sąlyga).

Labai dažnai savo tyrimuose mokslininkai naudojasi piramidės savybėmis. su aukso santykio proporcijomis... Kitoje pastraipoje svarstysime, kaip aukso pjūvio koeficientai buvo naudojami statant piramides, o čia mes sutelksime dėmesį į aukso pjūvio apibrėžimą.

Matematinis enciklopedinis žodynas pateikia tokį apibrėžimą Auksinis santykis- tai atkarpos AB padalijimas į dvi dalis taip, kad didžioji jo AC dalis būtų vidutinė proporcinga viso segmento AB ir jo mažesnei daliai CB.

Algebriniu būdu atkarpos AB = a auksinės pjūvio radimas redukuojamas į lygties a sprendimą: x = x: (a-x), kur x apytiksliai lygus 0,62a. Santykis x gali būti išreikštas trupmenomis n / n + 1 = 0,618, kur n yra Fibonačio skaičius n.

Aukso pjūvis dažnai naudojamas meno kūriniuose, architektūroje, pasitaiko gamtoje. Ryškūs pavyzdžiai yra Apolono Belvederio skulptūra, Partenonas. Statant Partenoną buvo naudojamas pastato aukščio ir ilgio santykis ir šis santykis yra 0,618. Mus supantys objektai taip pat pateikia Auksinio santykio pavyzdžių, pavyzdžiui, daugelio knygų įrišimo pločio ir ilgio santykis taip pat artimas 0,618.

Taigi, išstudijavę populiariąją mokslinę literatūrą apie tyrimo problemą, priėjome prie išvados, kad piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o kiti paviršiai yra trikampiai, turintys bendrą viršūnę. Išnagrinėjome piramidės elementus ir savybes, jos tipus ir ryšį su aukso pjūvio proporcijomis.

2. Piramidės ypatybės

Taigi Didžiajame enciklopediniame žodyne rašoma, kad piramidė yra monumentalus statinys, turintis geometrinę piramidės formą (kartais laiptuotą ar panašią į bokštą). Senovės Egipto faraonų III – II tūkstantmečio prieš Kristų kapai buvo vadinami piramidėmis. e., taip pat Centrinės ir Pietų Amerikos šventyklų postamentai, susiję su kosmologiniais kultais. Tarp grandiozinių Egipto piramidžių ypatingą vietą užima Didžioji faraono Cheopso piramidė. Prieš pradedant analizuoti Cheopso piramidės formą ir dydį, reikėtų prisiminti, kokią matavimo sistemą naudojo egiptiečiai. Egiptiečiai turėjo tris ilgio vienetus: „uolektį“ (466 mm), lygią septynioms „delnams“ (66,5 mm), o tai, savo ruožtu, buvo lygi keturiems „pirštams“ (16,6 mm).

Dauguma tyrinėtojų sutinka, kad piramidės pagrindo kraštinės ilgis, pavyzdžiui, GF lygus L = 233,16 m. Ši reikšmė atitinka beveik lygiai 500 „uolekčių“. Visiškas 500 „uolekčių“ atitikimas bus, jei „uolekčių“ ilgis bus lygus 0,4663 m.

Piramidės aukštį (H) tyrėjai įvertina skirtingai nuo 146,6 iki 148,2 m Ir priklausomai nuo priimto piramidės aukščio, kinta visi jos geometrinių elementų santykiai. Dėl ko skiriasi piramidės aukščio įvertinimas? Faktas yra tas, kad Cheopso piramidė yra sutrumpinta. Jo viršutinė platforma šiandien yra apie 10x10 m, o prieš šimtmetį buvo 6x6 m. Akivaizdu, kad piramidės viršūnė buvo išardyta, ir ji neatitinka originalios. Vertinant piramidės aukštį, būtina atsižvelgti į tokį fizikinį veiksnį kaip konstrukcinis sėdimas. Ilgą laiką, veikiant milžiniškam slėgiui (siekiant 500 tonų 1 m 2 apatinio paviršiaus), piramidės aukštis sumažėjo, palyginti su pradiniu aukščiu. Pradinis piramidės aukštis gali būti atkurtas, jei randama pagrindinė geometrinė idėja.

1837 metais anglų pulkininkas G. Weisz išmatavo piramidės veidų pasvirimo kampą: paaiškėjo, kad jis lygus a = 51 ° 51 ". Šią reikšmę dauguma tyrinėtojų pripažįsta ir šiandien. Nurodyta kampo reikšmė atitinka liestinė (tg a), lygi 1,27306. Ši vertė atitinka kintamosios srovės piramidės aukščio ir pusės jos pagrindo CB santykį, tai yra, AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Ir štai mokslininkų laukė didelė staigmena! Faktas yra tas, kad jei paimsime kvadratinę šaknį iš auksinio pjūvio, gausime tokį rezultatą = 1,272. Palyginus šią reikšmę su reikšme tan a = 1,27306, matome, kad šios reikšmės yra labai arti viena kitos. Jei imsime kampą a = 51 ° 50 ", tai yra, sumažinsime jį tik viena lanko minute, tada a reikšmė taps lygi 1,272, tai yra, ji sutaps su reikšme. Pažymėtina, kad 1840 G. Weisas pakartojo savo matavimus ir patikslino, kad kampo vertė a = 51 ° 50 ".

Šie matavimai paskatino tyrėjus padaryti tokią įdomią hipotezę: AC / CB = 1,272 santykis buvo nustatytas Cheopso piramidės ACB trikampio pagrindu.

Apsvarstykite dabar stačiakampį trikampį ABC, kuriame kojų santykis AC / CB =. Jei dabar stačiakampio ABC kraštinių ilgiai žymimi x, y, z, taip pat atsižvelgiama į tai, kad santykis y / x =, tai pagal Pitagoro teoremą ilgį z galima apskaičiuoti pagal formulę :

Jei imsime x = 1, y =, tada:

Stačiakampis trikampis, kurio kraštinės yra susijusios kaip t :: 1, vadinamas "auksiniu" stačiakampiu trikampiu.

Tada, jei remsimės hipoteze, kad pagrindinė Cheopso piramidės „geometrinė idėja“ yra „auksinis“ stačiakampis trikampis, tada iš čia nesunku apskaičiuoti Cheopso piramidės „projektinį“ aukštį. Jis lygus:

H = (L / 2) / = 148,28 m.

Išsiaiškinkime kai kuriuos kitus Cheopso piramidės ryšius, kylančius iš „auksinės“ hipotezės. Visų pirma, mes nustatome piramidės išorinio ploto ir jos pagrindo ploto santykį. Norėdami tai padaryti, paimkime CB kojos ilgį kaip vieną, tai yra: CB = 1. Bet tada piramidės pagrindo kraštinės ilgis yra GF = 2, o pagrindo plotas EFGH bus lygus S EFGH = 4.

Dabar apskaičiuokime Cheopso piramidės S D šoninio paviršiaus plotą. Kadangi trikampio AEF aukštis AB yra lygus t, šoninio paviršiaus plotas bus S D = t. Tada bendras visų keturių piramidės šoninių paviršių plotas bus lygus 4t ir viso piramidės išorinio ploto ir pagrindo ploto santykis bus lygus aukso pjūviui... Tai yra pagrindinė Cheopso piramidės geometrinė paslaptis.

Taip pat, statant Egipto piramides, buvo nustatyta, kad aikštė, pastatyta piramidės aukštyje, tiksliai lygus plotui kiekvienas iš šoninių trikampių. Tai patvirtina naujausi matavimai.

Žinome, kad santykis tarp apskritimo perimetro ir jo skersmens yra pastovus, gerai žinomas šiuolaikiniams matematikams, moksleiviams – tai skaičius „Pi“ = 3,1416... Bet jei sudėjus keturias pagrindo kraštines Cheopso piramidę gauname 931,22 m. tai yra dvigubai didesnio piramidės aukščio skaičius (2x148,208), gauname 3,1416 ..., tai yra skaičius "Pi". Vadinasi, Cheopso piramidė yra unikalus paminklas, kuris yra materialus skaičiaus Pi, kuris vaidina svarbų vaidmenį matematikoje, įsikūnijimas.

Taigi, aukso pjūvio piramidės dydžio buvimas - dvigubos piramidės kraštinės ir jos aukščio santykis - yra skaičius, kurio reikšmė labai artima skaičiui π. Tai taip pat neabejotinai yra savybė. Nors daugelis autorių mano, kad šis sutapimas yra atsitiktinis, nes trupmena 14/11 yra „geras apytikslis kvadratinė šaknis nuo aukso pjūvio santykio ir kvadrato bei jame įrašyto apskritimo plotų santykio.

Tačiau neteisinga čia kalbėti tik apie Egipto piramides. Yra ne tik Egipto piramidės, Žemėje yra visas piramidžių tinklas. Pagrindiniai paminklai (Egipto ir Meksikos piramidės, Velykų sala ir Stounhendžo kompleksas Anglijoje), iš pirmo žvilgsnio, yra atsitiktinai išsibarstę po mūsų planetą. Bet jei į tyrimą įtraukiamas Tibeto piramidžių kompleksas, atsiranda griežta matematinė jų padėties Žemės paviršiuje sistema. Himalajų kalnagūbrio fone aiškiai išsiskiria piramidės formos darinys – Kailašo kalnas. Labai įdomi yra Kailašo miesto, Egipto ir Meksikos piramidžių vieta, būtent, jei Kailašo miestą jungiate su Meksikos piramidėmis, tai juos jungianti linija eina į Velykų salą. Jei Kailašo miestą sujungsite su Egipto piramidėmis, tada jų ryšio linija vėl eina į Velykų salą. Nubrėžtas lygiai ketvirtadalis pasaulis... Jei sujungsime Meksikos ir Egipto piramides, pamatysime dvi lygus trikampis... Jei rasite jų plotą, tada jų suma lygi ketvirtadaliui Žemės rutulio ploto.

Atskleidė nenuginčijamą ryšį tarp Tibeto piramidžių komplekso su kitomis struktūromis antika – Egipto ir Meksikos piramidės, Velykų salos kolosai ir Stounhendžo kompleksas Anglijoje. Pagrindinės Tibeto piramidės – Kailašo kalno – aukštis yra 6714 metrų. Atstumas nuo Kailash iki Šiaurės ašigalis lygus 6714 kilometrų, atstumas nuo Kailasho iki Stounhendžo yra 6714 kilometrų. Jei atidėtumėte Žemės rutulį nuo Šiaurės ašigalio šiuos 6714 kilometrų, tada pateksime į vadinamąjį Velnio bokštą, kuris atrodo kaip nupjauta piramidė. Ir galiausiai, tiksliai 6714 kilometrų nuo Stounhendžo iki Bermudų trikampio.

Dėl šių tyrimų galima daryti išvadą, kad Žemėje egzistuoja piramidinė-geografinė sistema.

Taigi, funkcijos apima viso piramidės išorinio ploto ir pagrindo ploto santykis bus lygus auksiniam pjūviui; aukso pjūvio buvimas piramidės dydžiu – piramidės padvigubėjusios kraštinės ir jos aukščio santykis – yra skaičius, kuris savo reikšme labai artimas skaičiui π, t.y. Cheopso piramidė yra vienetinis paminklas, vaizduojantis materialų skaičiaus „Pi“ įsikūnijimą; piramidinės-geografinės sistemos egzistavimas.

3. Kitos piramidės savybės ir pritaikymas.

Panagrinėkime praktinį šios geometrinės formos pritaikymą. Pavyzdžiui, holograma. Pirmiausia pažiūrėkime, kas yra holografija. Holografija - optinių bangų laukų tikslaus įrašymo, atkūrimo ir performavimo technologijų rinkinys elektromagnetinė radiacija, specialus fotografavimo metodas, kai naudojant lazerį įrašomi ir atkuriami trimačių objektų vaizdai, kurie labai panašūs į tikrus. Holograma yra holografijos produktas, trimatis vaizdas, sukurtas naudojant lazerį, atkuriantis trimačio objekto vaizdą. Įprastos nupjautos tetraedrinės piramidės pagalba galite atkurti vaizdą – hologramą. Sukuriama nuotraukų byla ir taisyklinga nupjauta tetraedrinė piramidė iš permatomos medžiagos. Maža įtrauka daroma iš žemiausio ir vidurinio taško, palyginti su ordinačių ašimi. Šis taškas bus kvadrato, kurį sudaro pjūvis, kraštinės vidurys. Nuotrauka padauginama, o jos kopijos išdėstytos taip pat, palyginti su kitomis trimis pusėmis. Piramidė su atkarpa žemyn dedama ant kvadrato taip, kad ji sutaptų su kvadratu. Monitorius generuoja šviesos banga, kiekviena iš keturių identiškų nuotraukų, būdama plokštumoje, kuri yra piramidės veido projekcija, krenta ant paties veido. Dėl to kiekviename iš keturių veidų turime tuos pačius vaizdus, ​​o kadangi medžiaga, iš kurios pagaminta piramidė, turi skaidrumo savybę, bangos lūžta, tarsi susitinka centre. Dėl to gauname tą patį trukdžių modelį. stovinti banga, kurios centrinė ašis arba sukimosi ašis yra taisyklingosios nupjautinės piramidės aukštis. Šis metodas taip pat veikia su vaizdo įrašu, nes veikimo principas nesikeičia.

Atsižvelgiant į konkrečius atvejus, matote, kad piramidė yra plačiai naudojama kasdieniame gyvenime, net ir namų ūkis... Piramidės forma dažnai randama, pirmiausia gamtoje: augaluose, kristaluose, metano molekulė turi taisyklingos trikampės piramidės formą - tetraedrą, vienetinė deimantinio kristalo ląstelė taip pat yra tetraedras, kurio centre ir keturiose viršūnėse yra anglies atomai. Namuose randamos piramidės, vaikiški žaislai. Mygtukai, kompiuterių klaviatūros dažnai yra panašios į stačiakampę nupjautą piramidę. Jie gali būti matomi kaip pastato elementai arba pačios architektūrinės konstrukcijos, kaip permatomos stogo konstrukcijos.

Panagrinėkime dar keletą termino „piramidė“ vartojimo pavyzdžių.

Ekologinės piramidės- tai grafiniai modeliai (dažniausiai trikampių pavidalu), atspindintys individų skaičių (skaičių piramidė), jų biomasės (biomasės piramidė) arba juose esančios energijos kiekį (energijos piramidė) kiekviename. trofinis lygis ir nurodant visų rodiklių mažėjimą, padidėjus trofiniam lygiui

Informacinė piramidė. Tai atspindi įvairių tipų informacijos hierarchiją. Informacijos teikimas kuriamas pagal tokią piramidinę schemą: viršuje – pagrindiniai rodikliai, pagal kuriuos galima vienareikšmiškai sekti įmonės judėjimo tempą link pasirinkto tikslo. Jei kažkas negerai, galite pereiti prie vidutinės piramidės lygio – apibendrintų duomenų. Jie paaiškina kiekvieno rodiklio vaizdą atskirai arba vienas kito atžvilgiu. Iš šių duomenų galite nustatyti galimą gedimo ar problemos vietą. Daugiau pilna informacija reikia kreiptis į piramidės pagrindą - Išsamus aprašymas visų procesų būsenos skaitine forma. Šie duomenys padeda nustatyti problemos priežastį, kad ją būtų galima ištaisyti ir jos išvengti ateityje.

Bloomo taksonomija. Bloomo taksonomija siūlo piramidinę užduočių, kurias mokytojai nustato mokiniams, klasifikaciją ir atitinkamai mokymosi tikslus. Ji dalijasi ugdymo tikslaiĮ tris sferas: kognityvinę, afektinę ir psichomotorinę. Kiekvienoje atskiroje sferoje, norint pereiti į aukštesnį lygį, reikalinga ankstesnių, šioje srityje išsiskiriančių, lygių patirtis.

Finansų piramidė– specifinis reiškinys ekonominis vystymasis... Pavadinimas „piramidė“ aiškiai iliustruoja situaciją, kai piramidės „apačioje“ esantys žmonės duoda pinigus į mažą viršūnę. Tuo pačiu metu kiekvienas naujas dalyvis moka padidinti savo paaukštinimo į piramidės viršūnę galimybę.

Poreikių piramidė Maslow atspindi vieną populiariausių ir garsios teorijos motyvacija – hierarchijos teorija poreikiai. Maslow poreikius paskirstomas jam didėjant, paaiškindamas tokią konstrukciją tuo, kad žmogus negali patirti poreikių aukštas lygis, o tam reikia primityvesnių dalykų. Tenkinant žemesnius poreikius, aukštesnio lygio poreikiai tampa vis aktualesni, tačiau tai visiškai nereiškia, kad ankstesnio poreikio vietą užima naujas tik tada, kai pirmasis visiškai patenkinamas.

Kitas termino „piramidė“ vartojimo pavyzdys yra maisto piramidė - principų schema sveika mityba sukūrė dietologai. Maisto produktai, sudarantys piramidės pagrindą, turėtų būti valgomi kuo dažniau, o maisto produktai, esantys piramidės viršuje, turėtų būti vengiami arba vartojami ribotais kiekiais.

Taigi visa tai, kas išdėstyta aukščiau, rodo piramidės panaudojimo įvairovę mūsų gyvenime. Galbūt piramidė turi daug daugiau aukšto tikslo, ir yra skirtas kažkam daugiau nei dabar atviriems praktiškiems jo naudojimo būdams.

Išvada

Su piramidėmis savo gyvenime susitinkame nuolat – tai senovės Egipto piramidės ir žaislai, su kuriais žaidžia vaikai; architektūros ir dizaino objektai, natūralūs kristalai; virusai, kuriuos galima pamatyti tik elektroniniu mikroskopu. Per daugelį savo gyvavimo tūkstantmečių piramidės virto savotišku simboliu, įkūnijančiu žmogaus troškimą pasiekti žinių viršūnę.

Atlikdami tyrimą nustatėme, kad piramidės yra gana paplitusios visame pasaulyje.

Išstudijavome mokslinę populiariąją literatūrą tiriama tema, apsvarstėme įvairias termino „piramidė“ interpretacijas, nustatėme, kad geometrine prasme piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o kiti paviršiai – trikampiai su bendra viršūnė. Ištyrėme piramidžių tipus (taisyklingos, nupjautinės, stačiakampės), elementus (apotemą, šoninius paviršius, šoninius kraštus, viršų, aukštį, pagrindą, įstrižainę) ir geometrinių piramidžių savybes, kai šoninės briaunos yra lygios ir kai šoniniai paviršiai. yra pasvirusios į pagrindinę plokštumą vienu kampu. Apsvarstytos teoremos, jungiančios piramidę su kitais geometriniais kūnais (rutuliu, kūgiu, cilindru).

Mes priskyrėme piramidės ypatybes:

viso piramidės išorinio ploto ir pagrindo ploto santykis bus lygus auksiniam pjūviui;

aukso pjūvio buvimas piramidės dydžiu – piramidės padvigubėjusios kraštinės ir jos aukščio santykis – yra skaičius, kuris savo reikšme labai artimas skaičiui π, t.y. Cheopso piramidė yra vienetinis paminklas, vaizduojantis materialų skaičiaus „Pi“ įsikūnijimą;

piramidinės-geografinės sistemos egzistavimas.

Mes ištyrėme šiuolaikinį šios geometrinės formos panaudojimą. Ištyrėme, kaip jungiasi piramidė ir holograma, atkreipėme dėmesį, kad piramidės forma gamtoje sutinkama dažniausiai (augaluose, kristaluose, metano molekulėse, deimantinės gardelės sandaroje ir kt.). Viso tyrimo metu susitikome su medžiaga, patvirtinančia piramidės savybių panaudojimą įvairiose mokslo ir technikos srityse, kasdieniame žmonių gyvenime, informacijos analizėje, ekonomikoje ir daugelyje kitų sričių. Ir jie priėjo prie išvados, kad galbūt piramidės turi daug aukštesnę paskirtį ir yra skirtos kažkam daugiau nei dabar atviri praktiniai jų panaudojimo būdai.

Bibliografija.

Van der Waerden, Bartel Leendert. Pabudimo mokslas. Senovės Egipto, Babilono ir Graikijos matematika. [Tekstas] / B. L. Van der Waerden – ComBook, 2007 m

Vološinovas A.V. Matematika ir menas. [Tekstas] / A. V. Vološinovas – Maskva: „Švietimas“ 2000 m.

Pasaulio istorija(enciklopedija vaikams). [Tekstas] / - M .: "Avanta +", 1993 m.

Holograma . [Elektroninis išteklius] – https://hi-news.ru/tag/gologramma - straipsnis internete

Geometrija [Tekstas]: Vadovėlis. 10 - 11 cl. švietimo įstaigoms Atanasyan L.S., V.F.Butuzov ir kt. - 22-asis leidimas. - M .: Švietimas, 2013 m

Copensas F. Nauja era piramidės. [Tekstas] / F. Coppens – Smolenskas: Rusich, 2010 m

Matematinis enciklopedinis žodynas. [Tekstas] / A. M. Prokhorovas ir kt. - M .: Sovietinė enciklopedija, 1988.

E. R. Muldaševas Pasaulio sistema senovės piramidės ir paminklai mus išgelbėjo nuo pasaulio pabaigos, bet ... [Tekstas] / E. R. Muldaševas - M .: „AiF-Print“; M .: „OLMA-PRESS“; SPb .: leidykla „Neva“; 2003 m.

Perelman Ya. I. Linksma aritmetika. [Tekstas] / Ya. I. Perelman- M .: Tsentrpoligraf, 2017 m.

Reichard G. Piramidės. [Tekstas] / Hans Reichard - M .: Slovo, 1978

„Terra Lexicon“. Iliustruotas enciklopedinis žodynas. [Tekstas] / - M .: TERRA, 1998 m.

Tompkinsas P. Didžiosios Cheopso piramidės paslaptys. [Tekstas] / Peteris Tompkinsas. - M .: „Tsentropoligraf“, 2008 m

Uvarovas V. Magiškos piramidžių savybės. [Tekstas] / V. Uvarovas -Lenizdat, 2006 m.

Sharygin I.F .. Geometrija 10-11 klasė. [Tekstas] / I.F. Šaryginas:. - M: „Švietimas“, 2000 m

Yakovenko M. Piramidės supratimo raktas [Elektroninis išteklius] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html- straipsnis internete