Çfarë është një rrënjë aritmetike? Rrënja e shkallës së n-të: përkufizime, shënime, shembuj

Shkalla e rrënjës n nga një numër real a, Ku n- numër natyror, quhet një numër i tillë real x, n fuqia e së cilës është e barabartë me a.

Shkalla e rrënjës n nga numri a tregohet me simbolin. Sipas këtij përkufizimi.

Gjetja e rrënjës n-shkalla e nga mesi a i quajtur nxjerrja e rrënjës. Numri A quhet numër radikal (shprehje), n- tregues rrënjë. Për të çuditshme n ka një rrënjë n-fuqia e çdo numri real a. Kur edhe n ka një rrënjë n-fuqia vetëm për numrat jonegativë a. Për të zbardhur rrënjën n-shkalla e nga mesi a, prezantohet koncepti i rrënjës aritmetike n-shkalla e nga mesi a.

Koncepti i një rrënjë aritmetike të shkallës N

Nëse n- numri natyror, më i madh 1 , atëherë ka dhe vetëm një numër jo negativ X, në mënyrë që barazia të plotësohet. Ky numër X quhet rrënjë aritmetike n fuqia e një numri jo negativ A dhe është caktuar . Numri A quhet një numër radikal, n- tregues rrënjë.

Pra, sipas përkufizimit, shënimi , ku , do të thotë, së pari, atë dhe, së dyti, se, d.m.th. .

Koncepti i një shkalle me një eksponent racional

Shkalla me eksponent natyror: le Aështë një numër real, dhe n- një numër natyror më i madh se një, n-fuqia e numrit A thirrni punën n faktorë, secili prej të cilëve është i barabartë A, d.m.th. . Numri A- bazën e diplomës, n- eksponent. Një fuqi me një eksponent zero: sipas përkufizimit, nëse , atëherë . Fuqia zero e një numri 0 nuk ka kuptim. Një shkallë me një eksponent negativ të numrit të plotë: supozohet nga përkufizimi nëse dhe nështë një numër natyror, atëherë . Një shkallë me një eksponent thyesor: supozohet me përkufizim nëse dhe n- numri natyror, mështë një numër i plotë, atëherë .

Operacionet me rrënjë.

Në të gjitha formulat e mëposhtme, simboli do të thotë rrënjë aritmetike(shprehja radikale është pozitive).

1. Rrënja e prodhimit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e rrënjëve të këtyre faktorëve:

2. Rrënja e qëndrimit e barabartë me raportin rrënjët e dividendit dhe pjesëtuesit:

3. Kur ngrihet një rrënjë në një fuqi, mjafton të ngrihet numri radikal në këtë fuqi:

4. Nëse e rritni shkallën e rrënjës n herë dhe në të njëjtën kohë e rritni numrin radikal në fuqinë e n-të, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

5. Nëse ulni shkallën e rrënjës me n herë dhe njëkohësisht nxirrni rrënjën e n-të të numrit radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

Zgjerimi i konceptit të gradës. Deri tani ne kemi konsideruar shkallë vetëm me eksponentë natyrorë; por veprimet me fuqi dhe rrënjë mund të çojnë gjithashtu në eksponentë negativë, zero dhe thyesorë. Të gjithë këta eksponentë kërkojnë përkufizim shtesë.

Shkallë me një eksponent negativ. Fuqia e një numri të caktuar me një eksponent negativ (numër i plotë) përcaktohet si një pjesëtuar me fuqinë e të njëjtit numër me një eksponent të barabartë me vlere absolute tregues negativ:

Tani formula a m: a n = a m - n mund të përdoret jo vetëm për m më të madhe se n, por edhe për m më të vogël se n.

SHEMBULL a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Nëse duam që formula a m: a n = a m - n të jetë e vlefshme për m = n, na duhet një përkufizim i shkallës zero.

Një shkallë me një indeks zero. Fuqia e çdo numri jozero me eksponent zero është 1.

SHEMBUJ. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3/5) 0 = 1.

Shkallë me një eksponent thyesor. Për të ngritur një numër real a në fuqinë m / n, duhet të nxirrni rrënjën e n-të të fuqisë mth të këtij numri a:

Rreth shprehjeve që nuk kanë kuptim. Ka disa shprehje të tilla.

Rasti 1.

Aty ku a ≠ 0 nuk ekziston.

Në fakt, nëse supozojmë se x është një numër i caktuar, atëherë në përputhje me përkufizimin e veprimit të pjesëtimit kemi: a = 0 x, d.m.th. a = 0, që bie ndesh me kushtin: a ≠ 0

Rasti 2.

Çdo numër.

Në fakt, nëse supozojmë se kjo shprehje është e barabartë me një numër të caktuar x, atëherë sipas përkufizimit të veprimit të pjesëtimit kemi: 0 = 0 · x. Por kjo barazi vlen për çdo numër x, që është ajo që duhej vërtetuar.

Vërtet,

Zgjidhja le të shqyrtojmë tre raste kryesore:

1) x = 0 - kjo vlerë nuk e plotëson këtë ekuacion

2) për x > 0 marrim: x / x = 1, d.m.th. 1 = 1, që do të thotë se x është çdo numër; por duke marrë parasysh se në rastin tonë x > 0, përgjigja është x > 0;

3) në x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

në këtë rast nuk ka zgjidhje. Kështu x > 0.

Rrënja aritmetike e shkallës së dytë

Përkufizimi 1

Rrënja e dytë (ose rrënja katrore) e $a$ thirrni një numër që, kur në katror, ​​bëhet i barabartë me $a$.

Shembulli 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, që do të thotë se numri $7$ është rrënja e dytë e numrit $49$;

$0.9^2=0.9 \cdot 0.9=0.81$, që do të thotë se numri $0.9$ është rrënja e dytë e numrit $0.81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, që do të thotë se numri $1$ është rrënja e dytë e numrit $1$.

Shënim 2

E thënë thjesht, për çdo numër $a

$a=b^2$ për negativ $a$ është i pasaktë, sepse $a=b^2$ nuk mund të jetë negativ për asnjë vlerë prej $b$.

Mund të konkludohet se për numrat realë nuk mund të ketë rrënjë të dytë të një numri negativ.

Shënim 3

Sepse $0^2=0 \cdot 0=0$, atëherë nga përkufizimi del se zero është rrënja e dytë e zeros.

Përkufizimi 2

Rrënja aritmetike e shkallës së 2-të të numrit $a$($a \ge 0$) është një numër jo negativ që, kur është në katror, ​​është i barabartë me $a$.

Quhen gjithashtu rrënjët e shkallës së dytë rrënjë katrore.

Rrënja aritmetike e shkallës së dytë të numrit $a$ shënohet si $\sqrt(a)$ ose mund të shihni shënimin $\sqrt(a)$. Por më shpesh për rrenja katrore numri $2 $ - eksponent rrënjë- e paspecifikuar. Shenja “$\sqrt( )$” është shenja e rrënjës aritmetike të shkallës së dytë, e cila quhet edhe “ shenjë radikale" Konceptet "rrënjë" dhe "radikale" janë emra të të njëjtit objekt.

Nëse ka një numër nën shenjën e rrënjës aritmetike, atëherë ai quhet numër radikal, dhe nëse shprehja, atëherë - shprehje radikale.

Hyrja $\sqrt(8)$ lexohet si "rrënjë aritmetike e shkallës së dytë të tetës" dhe fjala "aritmetikë" shpesh nuk përdoret.

Përkufizimi 3

Sipas përcaktimit rrënja aritmetike e shkallës së dytë mund të shkruhet:

Për çdo $a \ge 0$:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Ne treguam ndryshimin midis një rrënjë të dytë dhe një rrënjë të dytë aritmetike. Më tej do të shqyrtojmë vetëm rrënjët e numrave dhe shprehjeve jo negative, d.m.th. vetëm aritmetike.

Rrënja aritmetike e shkallës së tretë

Përkufizimi 4

Rrënja aritmetike e shkallës së tretë (ose rrënjë kubike) e numrit $a$($a \ge 0$) është një numër jo negativ që, kur kubohet, bëhet i barabartë me $a$.

Shpesh fjala aritmetikë hiqet dhe thonë "rrënja e 3-të e numrit $a$".

Rrënja aritmetike e shkallës së tretë të $a$ shënohet si $\sqrt(a)$, shenja "$\sqrt( )$" është shenja e rrënjës aritmetike të shkallës së 3-të dhe numri $3$ në ky shënim quhet indeksi rrënjë. Numri ose shprehja që shfaqet nën shenjën e rrënjës quhet radikale.

Shembulli 2

$\sqrt(3,5)$ – rrënja aritmetike e shkallës së tretë prej $3,5$ ose rrënjë kubike prej $3,5$;

$\sqrt(x+5)$ – rrënja aritmetike e shkallës së tretë të $x+5$ ose rrënja kubike e $x+5$.

Rrënja e ntë aritmetike

Përkufizimi 5

Aritmetike rrënja e n-të gradë nga numri $a \ge 0$ quhet një numër jo negativ i cili, kur rritet në fuqinë $n$th, bëhet i barabartë me $a$.

Shënimi për rrënjën aritmetike të shkallës $n$ të $a \ge 0$:

ku $a$ është një numër ose shprehje radikale,

Një rrënjë aritmetike e shkallës së n-të të një numri jonegativ është një numër jo negativ shkalla e nëntë që është e barabartë me:

Fuqia e rrënjës është një numër natyror më i madh se 1.

3.

4.

Raste të veçanta:

1. Nëse eksponenti i rrënjës është një numër i plotë tek(), atëherë shprehja radikale mund të jetë negative.

Në rastin e një eksponenti tek, ekuacioni për çdo vlerë reale dhe numër të plotë GJITHMONË ka një rrënjë të vetme:

Për rrënjën jo madje shkallë identiteti është i vërtetë:

,

2. Nëse eksponenti i rrënjës është numër i plotë çift (), atëherë shprehja radikale nuk mund të jetë negative.

Në rastin e një eksponenti çift, barazimi. Ajo ka

në rrënjë e vetme

dhe, nëse dhe

Për një rrënjë të shkallës çift vlen identiteti i mëposhtëm:

Për një rrënjë të shkallës çift barazitë e mëposhtme janë të vërteta::

Funksioni i fuqisë, vetitë dhe grafiku i tij.

Funksioni i fuqisë dhe vetitë e tij.

Funksioni i fuqisë me eksponent natyror. Funksioni y = x n, ku n është një numër natyror, quhet funksion fuqie me një eksponent natyror. Për n = 1 marrim funksionin y = x, vetitë e tij:

Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë. Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë është një funksion i përcaktuar me formulën y = kx n, ku numri k quhet koeficienti i proporcionalitetit.

Le të rendisim vetitë e funksionit y = kx.

Fusha e një funksioni është bashkësia e të gjithë numrave realë.

y = kx - Jo madje funksion(f(- x) = k (- x)= - kx = -k(x)).

3) Për k > 0 funksioni rritet, dhe për k< 0 убывает на всей числовой прямой.

Grafiku (vija e drejtë) është paraqitur në figurën II.1.

Oriz. II.1.

Kur n=2 marrim funksionin y = x 2, vetitë e tij:

Funksioni y -x 2. Le të rendisim vetitë e funksionit y = x 2.

y = x 2 - funksion çift (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).

Funksioni zvogëlohet gjatë intervalit.

Në fakt, nëse , atëherë - x 1 > - x 2 > 0, dhe për këtë arsye

(-x 1) 2 > (- x 2) 2, d.m.th., dhe kjo do të thotë se funksioni është në rënie.

Grafiku i funksionit y=x2 është një parabolë. Ky grafik është paraqitur në figurën II.2.

Oriz. II.2.

Kur n = 3 marrim funksionin y = x 3, vetitë e tij:

Fusha e përkufizimit të një funksioni është e gjithë vija numerike.

y = x 3 - funksion tek (f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).

3) Funksioni y = x 3 rritet përgjatë gjithë vijës numerike. Grafiku i funksionit y = x 3 është paraqitur në figurë. Ajo quhet parabolë kubike.

Grafiku (parabola kubike) është paraqitur në figurën II.3.

Oriz. II.3.

Le të jetë n një numër natyror arbitrar çift më i madh se dy:

n = 4, 6, 8,... . Në këtë rast, funksioni y = x n ka të njëjtat veti si funksioni y = x 2. Grafiku i një funksioni të tillë i ngjan një parabole y = x 2, vetëm degët e grafikut në |n| >1 sa më pjerrët të shkojnë lart, aq më i madh është n dhe sa më i “shtypur” në boshtin x, aq më i madh është n.

Le të jetë n një numër tek arbitrar më i madh se tre: n = = 5, 7, 9, ... . Në këtë rast, funksioni y = x n ka të njëjtat veti si funksioni y = x 3. Grafiku i një funksioni të tillë i ngjan një parabole kubike (vetëm degët e grafikut shkojnë lart e poshtë sa më pjerrët, aq më i madh është n. Vini re gjithashtu se në intervalin (0; 1) lëviz grafiku i funksionit të fuqisë y = x n larg nga boshti x më ngadalë kur x rritet, aq më shumë se n.

Funksioni i fuqisë me eksponent negativ të numrit të plotë. Konsideroni funksionin y = x - n, ku n është një numër natyror. Kur n = 1 marrim y = x - n ose y = Vetitë e këtij funksioni:

Grafiku (hiperbola) është paraqitur në figurën II.4.

ne do të vendosim detyrë e thjeshtë duke gjetur brinjën e një katrori sipërfaqja e të cilit është 9 cm 2. Nëse supozojmë se ana e katrorit A cm, pastaj e përpilojmë ekuacionin sipas kushteve të problemës:

A X A = 9

A 2 = 9

A 2 -9 =0

(A-3)(A+3)=0

A=3 ose A=-3

Gjatësia e anës së një katrori nuk mund të jetë numër negativ, pra ana e kërkuar e katrorit është 3 cm.

Gjatë zgjidhjes së ekuacionit, gjetëm numrat 3 dhe -3, katrorët e të cilëve janë 9. Secili nga këta numra quhet rrënja katrore e numrit 9. Jonegativi i këtyre rrënjëve, pra numri 3, quhet rrënja aritmetike e numrit.

Është mjaft logjike të pranohet fakti që rrënja mund të gjendet nga numrat në fuqinë e tretë (rrënja kubike), fuqinë e katërt, etj. Dhe në parim, rrënja është operacioni i kundërt i fuqisë.

Rrënjan shkalla e th nga numri α është një numër i tillë b, Ku b n = α .

Këtu n- zakonisht quhet një numër natyror indeksi rrënjë(ose shkalla e rrënjës); si rregull është më i madh ose i barabartë me 2, sepse rasti n = 1 i brirë.

I caktuar në shkronjë si simbol (shenjë rrënjë) në anën e djathtë quhet radikale. Numri α - shprehje radikale. Për shembullin tonë me një parti, zgjidhja mund të duket si kjo: sepse (± 3) 2 = 9 .

Ne morëm pozitive dhe kuptim negativ rrënjë Kjo veçori i ndërlikon llogaritjet. Për të arritur paqartësi, koncepti u prezantua rrënjë aritmetike, vlera e së cilës është gjithmonë me shenjë plus, pra vetëm pozitive.

Rrënja thirrur aritmetike, nëse nxirret nga një numër pozitiv dhe është në vetvete një numër pozitiv.

Për shembull,

Ekziston vetëm një rrënjë aritmetike e një shkalle të caktuar nga një numër i caktuar.

Operacioni i llogaritjes zakonisht quhet " nxjerrja e rrënjës n shkalla e th” nga mesi α . Në thelb, ne kryejmë operacionin në të kundërt me ngritjen në fuqi, përkatësisht gjetjen e bazës së fuqisë b sipas një treguesi të njohur n dhe rezultati i ngritjes në një pushtet

α = bn.

Rrënjët e shkallës së dytë dhe të tretë përdoren në praktikë më shpesh se të tjerët dhe për këtë arsye u dhanë emra të veçantë.

Rrënja katrore: Në këtë rast, është zakon të mos shkruhet eksponenti 2, dhe termi "rrënjë" pa treguar eksponentin më së shpeshti nënkupton rrënjën katrore. Interpretuar gjeometrikisht, është gjatësia e brinjës së një katrori sipërfaqja e të cilit është e barabartë me α .

Rrënja e kubit: Interpretuar gjeometrikisht, gjatësia e një skaji të një kubi vëllimi i të cilit është i barabartë me α .

Vetitë e rrënjëve aritmetike.

1) Gjatë llogaritjes rrënja aritmetike e produktit, është e nevojshme të nxirret nga secili faktor veç e veç

Për shembull,

2) Për llogaritjen rrënja e një thyese, është e nevojshme të nxirret nga numëruesi dhe emëruesi i kësaj thyese

Për shembull,

3) Gjatë llogaritjes rrënja e shkallës, është e nevojshme të pjesëtohet eksponenti me eksponentin rrënjë

Për shembull,

Llogaritjet e para në lidhje me nxjerrjen e rrënjës katrore u gjetën në veprat e matematikanëve të Babilonisë së lashtë dhe Kinës, Indisë, Greqisë (për arritjet Egjipti i lashte nuk ka asnjë informacion në burime në lidhje me këtë).

Matematikanët e Babilonisë së lashtë (mijëvjeçari II para Krishtit) përdorën një metodë të veçantë për të nxjerrë rrënjën katrore metodë numerike. Përafrimi fillestar për rrënjën katrore u gjet bazuar në numrin natyror më të afërt me rrënjën (në drejtimin më të vogël) n. Paraqitja e shprehjes radikale në formën: α=n 2 +r, marrim: x 0 =n+r/2n, më pas u aplikua një proces i përsosjes përsëritës:

Përsëritjet në këtë metodë konvergojnë shumë shpejt. per ,

Për shembull, α=5; n=2; r=1; x 0 =9/4=2,25 dhe marrim një sekuencë të përafrimeve:

Në vlerën përfundimtare, të gjithë numrat janë të saktë përveç atij të fundit.

Grekët formuluan problemin e dyfishimit të kubit, i cili përfundoi në ndërtimin rrënjë kubike duke përdorur një busull dhe vizore. Rregullat për llogaritjen e çdo shkalle të një numri të plotë janë studiuar nga matematikanët në Indi dhe shtetet arabe. Më pas ato u zhvilluan gjerësisht në Evropën mesjetare.

Sot, për lehtësinë e llogaritjes së rrënjëve katrore dhe kubike, kalkulatorët përdoren gjerësisht.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur paraqisni një kërkesë në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj Email etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ne ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme, në përputhje me ligjin, procedurë gjyqësore, V gjyq, dhe/ose në bazë të kërkesave apo kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.