Rrënja aritmetike e shkallës së dytë
Përkufizimi 1
Rrënja e dytë (ose rrënja katrore) e $a$ emërtoni numrin që kur në katror bëhet i barabartë me $a$.
Shembulli 1
$7^2=7 \cdot 7=49$, pra $7$ është rrënja e dytë e $49$;
$0.9^2=0.9 \cdot 0.9=0.81$, pra $0.9$ është rrënja e dytë e $0.81$;
$1^2=1 \cdot 1=1$, pra $1$ është rrënja e dytë e $1$.
Vërejtje 2
E thënë thjesht, për çdo numër $a
$a=b^2$ është false për negativ $a$, sepse $a=b^2$ nuk mund të jetë negativ për asnjë vlerë prej $b$.
Mund të konkludohet se për numrat realë, nuk mund të ketë një rrënjë të dytë të një numri negativ.
Vërejtje 3
Sepse $0^2=0 \cdot 0=0$, atëherë nga përkufizimi del se zero është rrënja e dytë e zeros.
Përkufizimi 2
Rrënja aritmetike e shkallës së 2-të nga numri $a$($a \ge 0$) është një numër jo negativ që, kur është në katror, është i barabartë me $a$.
Quhen gjithashtu rrënjët e shkallës së dytë rrënjë katrore.
Përcaktoni rrënjën aritmetike të shkallës së dytë të numrit $a$ si $\sqrt(a)$ ose mund të takoni emërtimin $\sqrt(a)$. Por më shpesh për rrënjën katrore të numrit $2$ - eksponent rrënjë- e paspecifikuar. Shenja "$\sqrt( )$" është shenja rrënjë aritmetike shkalla e dytë, e cila quhet edhe " shenjë radikale". Konceptet "rrënjë" dhe "radikale" janë emrat e të njëjtit objekt.
Nëse ka një numër nën shenjën e rrënjës aritmetike, atëherë ai quhet numri i rrënjës, dhe nëse shprehja, atëherë - shprehje radikale.
Hyrja $\sqrt(8)$ lexohet si "rrënja aritmetike e shkallës së dytë të tetës", dhe fjala "aritmetikë" shpesh nuk përmendet.
Përkufizimi 3
Sipas definicionit rrënja aritmetike e shkallës së dytë mund të shkruhet:
Për çdo $a \ge 0$:
$(\sqrt(a))^2=a$,
$\sqrt(a)\ge 0$.
Ne kemi treguar ndryshimin midis rrënjës së shkallës së dytë dhe rrënjës aritmetike të shkallës së dytë. Më tej, do të shqyrtojmë vetëm rrënjët e numrave dhe shprehjeve jo negative, d.m.th. vetëm aritmetike.
Rrënja aritmetike e shkallës së tretë
Përkufizimi 4
Rrënja e tretë aritmetike (ose rrënja e kubit) e $a$($a \ge 0$) është një numër jo negativ që bëhet i barabartë me $a$ kur kubohet.
Shpeshherë lihet fjala aritmetikë dhe thonë “rrënja e shkallës së 3-të nga numri $a$”.
Ato shënojnë rrënjën aritmetike të shkallës së tretë të $a$ si $\sqrt(a)$, shenja "$\sqrt( )$" është shenja e rrënjës aritmetike të shkallës së 3-të dhe numri $3$ në ky shënim quhet tregues rrënjë. Numri ose shprehja që është nën shenjën e rrënjës quhet të rrënjosura.
Shembulli 2
$\sqrt(3,5)$ është rrënja e 3-të e $3.5$ ose rrënja kubike e $3.5$;
$\sqrt(x+5)$ është rrënja e tretë e $x+5$ ose rrënja kubike e $x+5$.
Rrënja aritmetike e shkallës së n-të
Përkufizimi 5
Aritmetike rrënja e n-së gradë nga numri $a \ge 0$ thirret një numër jo negativ, i cili, kur ngrihet në fuqinë $n$-të, bëhet i barabartë me $a$.
Shënimi për rrënjën aritmetike të shkallës $n$ të $a \ge 0$:
ku $a$ është një numër ose shprehje radikale,
Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj Email etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për t'ju dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme për të përmirësuar shërbimet që ofrojmë dhe për t'ju ofruar rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse hyni në një tërheqje çmimesh, konkurs ose nxitje të ngjashme, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi ndaj palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhër gjyqësor, në proces gjyqësor, dhe/ose në bazë të kërkesave apo kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione rreth jush nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për arsye sigurie, zbatimi të ligjit ose arsye të tjera të interesit publik.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund të transferojmë informacionin personal që mbledhim te pasardhësi i palës së tretë përkatëse.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Ruajtja e privatësisë tuaj në nivel kompanie
Për të siguruar që të dhënat tuaja personale të jenë të sigurta, ne u komunikojmë punonjësve tanë praktikat e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.
Në këtë artikull, ne do të prezantojmë koncepti i rrënjës së një numri. Ne do të veprojmë në mënyrë sekuenciale: do të fillojmë me rrënjën katrore, prej saj do të kalojmë në përshkrim rrënjë kubike, pas kësaj përgjithësojmë konceptin e rrënjës duke përcaktuar rrënjën e shkallës së n-të. Në të njëjtën kohë, ne do të prezantojmë përkufizime, shënime, do të japim shembuj të rrënjëve dhe do të japim shpjegimet dhe komentet e nevojshme.
Rrënja katrore, rrënja katrore aritmetike
Për të kuptuar përkufizimin e rrënjës së një numri, dhe rrënjës katrore në veçanti, duhet të keni . Në këtë pikë, shpesh do të hasim fuqinë e dytë të një numri - katrorin e një numri.
Le të fillojmë me përkufizimet e rrënjës katrore.
Përkufizimi
Rrënja katrore e aështë numri katrori i të cilit është a .
Për të sjellë shembuj rrënjë katrore , merrni disa numra, për shembull, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , dhe katrori i tyre, marrim përkatësisht numrat 25 , 0,09 , 0,09 dhe 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 dhe 0 2 =0 0=0 ). Atëherë sipas përkufizimit të mësipërm, 5 është rrënja katrore e 25, -0.3 dhe 0.3 janë rrënjët katrore të 0.09 dhe 0 është rrënja katrore e zeros.
Duhet të theksohet se për asnjë numër nuk ekziston a , katrori i të cilit është i barabartë me a . Domethënë, për çdo numër negativ a, nuk ka numër real b, katrori i të cilit është i barabartë me a. Në të vërtetë, barazia a=b 2 është e pamundur për çdo negativ a , pasi b 2 është një numër jo negativ për çdo b . Në këtë mënyrë, në bashkësinë e numrave realë nuk ka rrënjë katrore të një numri negativ. Me fjalë të tjera, në grupin e numrave realë, rrënja katrore e një numri negativ nuk është e përcaktuar dhe nuk ka kuptim.
Kjo çon në një pyetje logjike: "A ka një rrënjë katrore të a-së për ndonjë jo-negativ a"? Përgjigja është po. Arsyetimi për këtë fakt mund të konsiderohet një metodë konstruktive e përdorur për të gjetur vlerën e rrënjës katrore.
Atëherë lind pyetja logjike e mëposhtme: "Sa është numri i të gjitha rrënjëve katrore të një numri të caktuar jo negativ a - një, dy, tre, apo edhe më shumë"? Këtu është përgjigja për të: nëse a është zero, atëherë e vetmja rrënjë katrore e zeros është zero; nëse a është një numër pozitiv, atëherë numri i rrënjëve katrore nga numri a është i barabartë me dy, dhe rrënjët janë . Le ta vërtetojmë këtë.
Le të fillojmë me rastin a=0. Le të tregojmë së pari se zeroja është me të vërtetë rrënja katrore e zeros. Kjo rrjedh nga barazia e dukshme 0 2 =0·0=0 dhe përkufizimi i rrënjës katrore.
Tani le të vërtetojmë se 0 është e vetmja rrënjë katrore e zeros. Le të përdorim metodën e kundërt. Le të supozojmë se ka një numër b jo-zero që është rrënja katrore e zeros. Atëherë duhet të plotësohet kushti b 2 =0, i cili është i pamundur, pasi për çdo b jozero vlera e shprehjes b 2 është pozitive. Kemi ardhur në një kontradiktë. Kjo vërteton se 0 është e vetmja rrënjë katrore e zeros.
Le të kalojmë në rastet kur a është një numër pozitiv. Më sipër thamë se ka gjithmonë një rrënjë katrore të çdo numri jo negativ, le të jetë b rrënja katrore e a. Le të themi se ekziston një numër c , i cili është gjithashtu rrënja katrore e a . Atëherë me përcaktimin e rrënjës katrore janë të vlefshme barazitë b 2 =a dhe c 2 =a, nga ku del se b 2 −c 2 =a−a=0, por meqë b 2 −c 2 =( b−c) (b+c) , pastaj (b−c) (b+c)=0 . Barazia që rezulton në fuqi vetitë e veprimeve me numra realë e mundur vetëm kur b−c=0 ose b+c=0 . Kështu, numrat b dhe c janë të barabartë ose të kundërt.
Nëse supozojmë se ekziston një numër d, i cili është një rrënjë tjetër katrore e numrit a, atëherë me arsyetim të ngjashëm me ato të dhëna tashmë, vërtetohet se d është i barabartë me numrin b ose me numrin c. Pra, numri i rrënjëve katrore të një numri pozitiv është dy, dhe rrënjët katrorë janë numra të kundërt.
Për lehtësinë e punës me rrënjë katrore, rrënja negative "ndahet" nga ajo pozitive. Për këtë qëllim, prezanton përkufizimi i rrënjës katrore aritmetike.
Përkufizimi
Rrënja katrore aritmetike e një numri jo negativ aështë një numër jonegativ katrori i të cilit është i barabartë me a .
Për rrënjën katrore aritmetike të numrit a, shënimi pranohet. Shenja quhet shenja aritmetike e rrënjës katrore. Quhet edhe shenja e radikalit. Prandaj, ju mund të dëgjoni pjesërisht si "rrënjë" dhe "radikale", që do të thotë i njëjti objekt.
Numri nën shenjën aritmetike të rrënjës katrore quhet numri i rrënjës, dhe shprehja nën shenjën e rrënjës - shprehje radikale, ndërsa termi "numër radikal" shpesh zëvendësohet me "shprehje radikale". Për shembull, në shënim, numri 151 është një numër radikal, dhe në shënim, shprehja a është një shprehje radikale.
Gjatë leximit, fjala "aritmetikë" shpesh hiqet, për shembull, hyrja lexohet si "rrënja katrore e shtatë pikës njëzet e nëntë të qindtave". Fjala "aritmetikë" përdoret vetëm kur duan ta theksojnë këtë po flasim për rrënjën katrore pozitive të një numri.
Në dritën e shënimit të paraqitur, nga përkufizimi i rrënjës katrore aritmetike rrjedh se për çdo numër jo negativ a .
Rrënjët katrore të një numri pozitiv a shkruhen duke përdorur shenjën aritmetike të rrënjës katrore si dhe . Për shembull, rrënjët katrore të 13 janë dhe . Rrënja katrore aritmetike e zeros është zero, domethënë . Për numrat negativ a, ne nuk do t'u japim kuptim shënimeve derisa të studiojmë numra komplekse. Për shembull, shprehjet dhe janë të pakuptimta.
Bazuar në përkufizimin e rrënjës katrore, vërtetohen vetitë e rrënjëve katrore, të cilat përdoren shpesh në praktikë.
Për të përfunduar këtë nënseksion, vërejmë se rrënjët katrore të një numri janë zgjidhje të formës x 2 =a në lidhje me ndryshoren x .
rrënjë kubike e
Përkufizimi i rrënjës së kubit i numrit a jepet në mënyrë të ngjashme me përkufizimin e rrënjës katrore. Vetëm ai bazohet në konceptin e një kubi të një numri, jo një katror.
Përkufizimi
Rrënja kubike e a thirret një numër kubi i të cilit është i barabartë me a.
Le të sjellim shembuj të rrënjëve kubike. Për ta bërë këtë, merrni disa numra, për shembull, 7 , 0 , −2/3 , dhe vendosini në kubike: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , 
. Pastaj, bazuar në përkufizimin e rrënjës së kubit, mund të themi se numri 7 është rrënja kubike e 343, 0 është rrënja kubike e zeros dhe −2/3 është rrënja e kubit e −8/27.
Mund të tregohet se rrënja kubike e numrit a, ndryshe nga rrënja katrore, ekziston gjithmonë dhe jo vetëm për jonegativin a, por edhe për çdo numër real a. Për ta bërë këtë, mund të përdorni të njëjtën metodë që përmendëm kur studiojmë rrënjën katrore.
Për më tepër, ekziston vetëm një rrënjë kubike e një numri të caktuar a. Le të vërtetojmë pohimin e fundit. Për ta bërë këtë, merrni parasysh tre raste veç e veç: a është një numër pozitiv, a=0 dhe a është një numër negativ.
Është e lehtë të tregohet se për a pozitive, rrënja kubike e a nuk mund të jetë as negative, as zero. Në të vërtetë, le të jetë b rrënja kubike e a-së, atëherë sipas përkufizimit mund të shkruajmë barazinë b 3 =a. Është e qartë se kjo barazi nuk mund të jetë e vërtetë për negativin b dhe për b=0, pasi në këto raste b 3 =b·b·b do të jetë përkatësisht një numër negativ ose zero. Pra, rrënja kubike e një numri pozitiv a është një numër pozitiv.
Tani supozojmë se përveç numrit b ka edhe një rrënjë kubike nga numri a, le ta shënojmë atë c. Pastaj c 3 =a. Prandaj, b 3 −c 3 =a−a=0, por b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(kjo është formula e shkurtuar e shumëzimit dallimi i kubeve), prej nga (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Barazia që rezulton është e mundur vetëm kur b−c=0 ose b 2 +b c+c 2 =0 . Nga barazia e parë kemi b=c, dhe barazia e dytë nuk ka zgjidhje, pasi ana e majtë e saj është një numër pozitiv për çdo numër pozitiv b dhe c si shuma e tre termave pozitivë b 2 , b c dhe c 2 . Kjo vërteton veçantinë e rrënjës kubike të një numri pozitiv a.
Për a=0, rrënja e vetme kubike e a është zero. Në të vërtetë, nëse supozojmë se ekziston një numër b , i cili është një rrënjë kubike jo zero e zeros, atëherë duhet të jetë barazia b 3 =0, e cila është e mundur vetëm kur b=0 .
Për negativ a , mund të argumentohet ngjashëm me rastin për pozitiv a . Së pari, ne tregojmë se rrënja kubike e një numri negativ nuk mund të jetë e barabartë me një numër pozitiv ose zero. Së dyti, supozojmë se ekziston një rrënjë e dytë kubike e një numri negativ dhe tregojmë se do të përkojë domosdoshmërisht me të parën.
Pra, ekziston gjithmonë një rrënjë kubike e çdo numri real të dhënë a, dhe vetëm një.
Le të japim përkufizimi i rrënjës së kubit aritmetik.
Përkufizimi
Rrënja kubike aritmetike e një numri jonegativ a thirret një numër jo negativ kubi i të cilit është i barabartë me a.
Rrënja e kubit aritmetik e një numri jonegativ a shënohet si , shenja quhet shenja e rrënjës së kubit aritmetik, numri 3 në këtë shënim quhet tregues rrënjë. Numri nën shenjën e rrënjës është numri i rrënjës, shprehja nën shenjën e rrënjës është shprehje radikale.
Megjithëse rrënja e kubit aritmetik përcaktohet vetëm për numrat jonegativ a, është gjithashtu i përshtatshëm të përdoren hyrjet në të cilat shenja e rrënjës së kubit aritmetik përmban numrat negativë. Do t'i kuptojmë si më poshtë: , ku a është një numër pozitiv. Për shembull, 
.
Ne do të flasim për vetitë e rrënjëve të kubit në artikullin e përgjithshëm vetitë e rrënjëve.
Llogaritja e vlerës së rrënjës së kubit quhet nxjerrja e rrënjës së kubit, ky veprim diskutohet në artikullin për nxjerrjen e rrënjëve: metoda, shembuj, zgjidhje.
Për të përfunduar këtë nënseksion, themi se rrënja kubike e a është një zgjidhje e formës x 3 =a.
Rrënja e N-të, rrënja aritmetike e n
Ne përgjithësojmë konceptin e një rrënjë nga një numër - ne prezantojmë përcaktimi i rrënjës së n-të për n.
Përkufizimi
rrënja e n-të e aështë një numër, fuqia e n-të e të cilit është e barabartë me a.
Nga këtë përkufizimështë e qartë se rrënja e shkallës së parë nga numri a është vetë numri a, pasi kur studionim shkallën me një tregues natyror, morëm një 1 \u003d a.
Më sipër kemi shqyrtuar raste të veçanta të rrënjës së shkallës së n-të për n=2 dhe n=3 - rrënjën katrore dhe rrënjën kubike. Kjo do të thotë, rrënja katrore është rrënja e shkallës së dytë, dhe rrënja e kubit është rrënja e shkallës së tretë. Për të studiuar rrënjët e shkallës së n-të për n=4, 5, 6, ..., është e përshtatshme t'i ndani ato në dy grupe: grupi i parë - rrënjët e shkallëve çift (d.m.th. për n=4, 6 , 8, ...), grupi i dytë - rrënjët fuqi teke (pra për n=5, 7, 9, ... ). Kjo për faktin se rrënjët e shkallëve çift janë të ngjashme me rrënjën katrore, dhe rrënjët e shkallëve teke janë të ngjashme me rrënjën kubike. Le të merremi me ta me radhë.
Le të fillojmë me rrënjët, fuqitë e të cilave janë numrat çift 4, 6, 8, ... Siç kemi thënë tashmë, ato janë të ngjashme me rrënjën katrore të numrit a. Kjo do të thotë, rrënja e çdo shkalle çift nga numri a ekziston vetëm për jonegativin a. Për më tepër, nëse a=0, atëherë rrënja e a është unike dhe e barabartë me zero, dhe nëse a>0, atëherë ekzistojnë dy rrënjë të një shkalle çift nga numri a, dhe ata janë numra të kundërt.
Le të justifikojmë pohimin e fundit. Le të jetë b një rrënjë me shkallë çift (e shënojmë si 2 m, ku m është disa numri natyror) nga numri a. Supozoni se ka një numër c - një tjetër rrënjë 2 m e a . Atëherë b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Por ne dimë për formën b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), pastaj (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Nga kjo barazi rrjedh se b−c=0 , ose b+c=0 , ose b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dy barazitë e para nënkuptojnë se numrat b dhe c janë të barabartë ose b dhe c janë të kundërt. Dhe barazia e fundit vlen vetëm për b=c=0 , pasi ana e majtë e saj përmban një shprehje që është jo negative për çdo b dhe c si shuma e numrave jonegativë.
Sa i përket rrënjëve të shkallës së n-të për n tek, ato janë të ngjashme me rrënjën e kubit. Kjo do të thotë, rrënja e çdo shkalle tek nga numri a ekziston për çdo numër real a, dhe për një numër të caktuar a është unik.
Veçantia e rrënjës së shkallës tek 2·m+1 nga numri a vërtetohet me analogji me vërtetimin e veçantisë së rrënjës së kubit nga a . Vetëm këtu në vend të barazisë a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) një barazi e formës b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Shprehja në kllapa e fundit mund të rishkruhet si b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Për shembull, për m=2 kemi b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Kur a dhe b janë të dyja pozitive ose të dyja negative, prodhimi i tyre është një numër pozitiv, atëherë shprehja b 2 +c 2 +b c , e cila është vetë në kllapa shkallë të lartë foleja është pozitive si shuma e numrave pozitivë. Tani, duke kaluar radhazi te shprehjet në kllapa të shkallëve të mëparshme të foleve, sigurohemi që ato të jenë gjithashtu pozitive si shumat e numrave pozitivë. Si rezultat, marrim se barazia b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 e mundur vetëm kur b−c=0 , pra kur numri b është i barabartë me numrin c.
Është koha të merremi me shënimin e rrënjëve të shkallës së n-të. Për këtë është dhënë përcaktimi i rrënjës aritmetike të shkallës së n-të.
Përkufizimi
Rrënja aritmetike e shkallës së n-të të një numri jo negativ a quhet një numër jo negativ, fuqia e n-të e të cilit është e barabartë me a.
Shkalla e rrënjës n nga një numër real a, ku n- një numër natyror, quhet një numër i tillë real x, n fuqia e të cilit është e barabartë me a.
rrënjë shkallë n nga numri a treguar nga simboli. Sipas këtij përkufizimi.
Gjetja e rrënjës n shkalla th nga mesi a i quajtur nxjerrja e rrënjës. Numri a quhet numër rrënjë (shprehje), n- një tregues i rrënjës. Për të çuditshme n ka një rrënjë n-fuqia për çdo numër real a. Madje n ka një rrënjë n-shkalla e vetëm për numrin jo negativ a. Për të eliminuar paqartësinë e rrënjës n shkalla th nga mesi a, prezantohet koncepti i rrënjës aritmetike n shkalla th nga mesi a.
Koncepti i një rrënjë aritmetike të shkallës N
Nëse n- numri natyror më i madh se 1 , atëherë ekziston dhe vetëm një numër jo negativ X, e tillë që barazia të mbahet. Ky numër X quhet rrënja aritmetike n fuqia e një numri jo negativ a dhe shënohet. Numri a quhet numri rrënjë n- një tregues i rrënjës.
Pra, sipas përkufizimit, shënimi , ku , nënkupton, së pari, atë dhe, së dyti, se , d.m.th. .
Koncepti i shkallës me një eksponent racional
Shkalla me eksponent natyror: le aështë një numër real, dhe nështë një numër natyror më i madh se një n-fuqia e një numri a thirrni punën n shumëzues, secili prej të cilëve është i barabartë me a, d.m.th. . Numri a- bazën e gradës, n- eksponent. Eksponent me eksponent zero: sipas përkufizimit, nëse , atëherë . Fuqia zero e një numri 0 nuk ka kuptim. Fuqia me një eksponent negativ të numrit të plotë: sipas përkufizimit, nëse dhe nështë një numër natyror, atëherë . Shkalla me një eksponent thyesor: sipas përkufizimit, nëse dhe n- numri natyror, mështë një numër i plotë, atëherë .
Operacionet me rrënjë.
Në të gjitha formulat e mëposhtme, simboli nënkupton rrënjën aritmetike (shprehja radikale është pozitive).
1. Rrënja e prodhimit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e rrënjëve të këtyre faktorëve:
2. Rrënja e marrëdhënies është e barabartë me raportin rrënjët e dividendit dhe pjesëtuesit:
3. Kur ngrihet një rrënjë në një fuqi, mjafton të ngrihet numri i rrënjës në këtë fuqi: 
4. Nëse e rritni shkallën e rrënjës me n herë dhe njëkohësisht e ngrini numrin e rrënjës në fuqinë e n-të, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë: 
5. Nëse e zvogëlon shkallën e rrënjës me n herë dhe në të njëjtën kohë nxjerr rrënjën e shkallës së n-të nga numri radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:
Zgjerimi i konceptit të gradës. Deri më tani, diplomat i kemi konsideruar vetëm me një tregues natyror; por veprimet me fuqi dhe rrënjë mund të çojnë gjithashtu në eksponentë negativë, zero dhe thyesorë. Të gjithë këta eksponentë kërkojnë një përkufizim shtesë.
Shkallë me një eksponent negativ. Fuqia e një numri me një eksponent negativ (numër i plotë) përcaktohet si një pjesëtuar me fuqinë e të njëjtit numër me një eksponent të barabartë me vlere absolute tregues negativ:
Tani formula a m: a n \u003d a m - n mund të përdoret jo vetëm për m më të madh se n, por edhe për m më pak se n.
SHEMBULL a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .
Nëse duam që formula a m: a n = a m - n të jetë e vlefshme për m = n , duhet të përcaktojmë shkallën zero.
Shkallë me eksponent zero. Shkalla e çdo numri jozero me eksponent zero është 1.
SHEMBUJ. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3 / 5) 0 = 1.
Shkallë me një eksponent thyesor. Për të ngritur një numër real a në fuqinë m / n, duhet të nxirrni rrënjën e shkallës së n-të nga fuqia mth e këtij numri a:
Për shprehjet që nuk kanë kuptim. Ka disa shprehje të tilla.
Rasti 1
Aty ku a ≠ 0 nuk ekziston.
Në të vërtetë, nëse supozojmë se x është një numër i caktuar, atëherë, në përputhje me përkufizimin e veprimit të pjesëtimit, kemi: a = 0 · x, d.m.th. a = 0, që bie ndesh me kushtin: a ≠ 0
Rasti 2
Çdo numër.
Në të vërtetë, nëse supozojmë se kjo shprehje është e barabartë me një numër x, atëherë sipas përkufizimit të veprimit të pjesëtimit, kemi: 0 = 0 · x . Por kjo barazi vlen për çdo numër x, i cili duhej vërtetuar.
Vërtet,
Zgjidhja. Shqyrtoni tre raste kryesore:
1) x = 0 - kjo vlerë nuk e plotëson këtë ekuacion
2) për x > 0 marrim: x / x = 1, d.m.th. 1 = 1, nga ku rezulton se x është çdo numër; por duke qenë se në rastin tonë x > 0 , përgjigja është x > 0 ;
3) në x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
në këtë rast nuk ka zgjidhje. Pra x > 0.
Rrënja aritmetike e shkallës së n-të të një numri jonegativ është një numër jo negativ, shkalla e nëntë e cila është e barabartë me:
Shkalla e rrënjës është një numër natyror më i madh se 1.
3. 
4. 
Raste të veçanta:
1. Nëse eksponenti i rrënjës nuk është numër i plotë numër çift (), atëherë shprehja radikale mund të jetë negative.
Në rastin e një eksponenti tek, ekuacioni për çdo vlerë reale dhe numër të plotë GJITHMONË ka një rrënjë të vetme:
Për një rrënjë të shkallës së rastësishme, identiteti është i vërtetë:
,
2. Nëse eksponenti i rrënjës është numër i plotë çift (), atëherë shprehja radikale nuk mund të jetë negative.
Në rastin e një eksponenti çift, ekuacioni Ajo ka
në rrënjë e vetme
dhe nëse dhe
Për një rrënjë të një shkalle të barabartë, identiteti është i vërtetë:
Për një rrënjë të shkallës çift, barazitë e mëposhtme vlejnë::
Funksioni i fuqisë, vetitë dhe grafiku i tij.
Funksioni i fuqisë dhe vetitë e tij.
Funksioni i fuqisë me eksponent natyror. Funksioni y \u003d x n, ku n është një numër natyror, quhet një funksion fuqie me një eksponent natyror. Për n = 1 marrim funksionin y = x, vetitë e tij:
proporcion i drejtë. Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë është një funksion i dhënë nga formula y \u003d kx n, ku numri k quhet koeficienti i proporcionalitetit.
Rendisim vetitë e funksionit y = kx.
Fusha e funksionit është bashkësia e të gjithë numrave realë.
y = kx - jo madje funksion(f (- x) \u003d k (- x) \u003d - kx \u003d -k (x)).
3) Për k > 0, funksioni rritet, dhe për k< 0 убывает на всей числовой прямой.
Grafiku (vija e drejtë) është paraqitur në figurën II.1.
Oriz. II.1.
Me n=2 marrim funksionin y = x 2, vetitë e tij:
Funksioni y -x 2 . Ne listojmë vetitë e funksionit y \u003d x 2.
y \u003d x 2 - një funksion çift (f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d x 2 \u003d f (x)).
Funksioni zvogëlohet në interval.
Në vetë thyesën, nëse, atëherë - x 1 > - x 2 > 0, dhe për këtë arsye
(-x 1) 2 > (- x 2) 2, d.m.th., dhe kjo do të thotë se funksioni është në rënie.
Grafiku i funksionit y \u003d x 2 është një parabolë. Ky grafik është paraqitur në figurën II.2.
Oriz. II.2.
Për n \u003d 3, marrim funksionin y \u003d x 3, vetitë e tij:
Fusha e funksionit është e gjithë rreshti numerik.
y \u003d x 3 - funksion tek(f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d - x 3 \u003d - f (x)).
3) Funksioni y \u003d x 3 rritet në të gjithë rreshtin numerik. Grafiku i funksionit y \u003d x 3 është paraqitur në figurë. Ajo quhet parabolë kubike.
Grafiku (parabola kubike) është paraqitur në figurën II.3.
Oriz. II.3.
Le të jetë n një numër natyror arbitrar çift më i madh se dy:
n = 4, 6, 8,... . Në këtë rast, funksioni y \u003d x n ka të njëjtat veti si funksioni y \u003d x 2. Grafiku i një funksioni të tillë i ngjan një parabole y \u003d x 2, vetëm degët e grafikut në |n| >1, sa më pjerrët të ngjiten, aq më i madh është n, dhe sa më shumë që "shtypin" kundër boshtit x, aq më i madh është n.
Le të jetë n një numër tek arbitrar më i madh se tre: n = 5, 7, 9, ... . Në këtë rast, funksioni y \u003d x n ka të njëjtat veti si funksioni y \u003d x 3. Grafiku i një funksioni të tillë i ngjan një parabole kubike (vetëm degët e grafikut shkojnë lart e poshtë sa më pjerrët, aq më i madh n. Vëmë re gjithashtu se në intervalin (0; 1) grafiku i funksionit të fuqisë y \u003d x n aq më ngadalë largohet nga boshti x me rritjen e x, sesa më shumë se n.
Funksioni i fuqisë me eksponent negativ numër të plotë. Konsideroni funksionin y \u003d x - n, ku n është një numër natyror. Me n = 1 marrim y = x - n ose y = Vetitë e këtij funksioni:
Grafiku (hiperbola) është paraqitur në figurën II.4.
