Begreppet en numerisk funktion. Metoder för att ställa in funktionen. Funktionsegenskaper.
En numerisk funktion är en funktion som verkar från ett numeriskt utrymme (mängd) till ett annat numeriskt utrymme (mängd).
Det finns tre huvudsakliga sätt att definiera en funktion: analytisk, tabellform och grafisk.
1. Analytisk.
Sättet att definiera en funktion med hjälp av en formel kallas analytiskt. Denna metod är den viktigaste i mattan. analys, men i praktiken är det inte bekvämt.
2. Tabellform för att ställa in funktionen.
En funktion kan specificeras med hjälp av en tabell som innehåller argumentvärdena och deras motsvarande funktionsvärden.
3. Grafiskt sätt funktionsuppdrag.
Funktionen y = f (x) kallas grafiskt given om dess graf är byggd. Denna metod för att definiera funktionen gör det möjligt att bestämma funktionens värden endast ungefär, eftersom konstruktionen av en graf och att hitta funktionens värden på den är förknippad med fel.
Funktionens egenskaper som måste beaktas när man ritar dess graf:
1) Omfattning funktionsdefinitioner.
Funktionsdefinitionsområde, det vill säga de värden som x-argumentet för funktionen F = y (x) kan ta.
2) Intervaller för ökande och minskande funktioner.
Funktionen kallas stigande på det aktuella intervallet, om mer mening argumentet motsvarar det större värdet av funktionen y (x). Detta betyder att om två godtyckliga argument x 1 och x 2 tas från det aktuella intervallet, med x 1> x 2, då y (x 1)> y (x 2).
Funktionen kallas minskande på det betraktade intervallet, om det större värdet av argumentet motsvarar det mindre värdet av funktionen y (x). Detta betyder att om två godtyckliga argument x 1 och x 2 tas från det aktuella intervallet, och x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).
3) Nollor för funktionen.
Punkterna där funktionen F = y (x) korsar abskissaxeln (de erhålls genom att lösa ekvationen y (x) = 0) och kallas funktionens nollor.
4) Jämna och udda funktioner.
Funktionen kallas även, om för alla värden av argumentet från definitionsområden
y (-x) = y (x).
Schema jämn funktion symmetrisk kring ordinataaxeln.
Funktionen kallas udda om för alla värden av argumentet från domänen
y (-x) = -y (x).
Grafen för en jämn funktion är symmetrisk om ursprunget.
Många funktioner är varken jämna eller udda.
5) Funktionens frekvens.
Funktionen kallas periodisk, om det finns ett nummer P så att för alla värden av argumentet från domänen
y (x + P) = y (x).
Linjär funktion, dess egenskaper och schema.
En linjär funktion är en funktion av formen y = kx + b ges på mängden av alla reella tal.
k- lutning (reellt tal)
b- gratis medlem (riktigt antal)
xÄr den oberoende variabeln.
I det speciella fallet, om k = 0, får vi en konstant funktion y = b, vars graf är en rät linje parallell med Ox-axeln som går genom en punkt med koordinater (0; b).
· Om b = 0 får vi funktionen y = kx, som är en direkt proportionalitet.
o Geometrisk betydelse koefficient b - längden på segmentet som är avskuret av den räta linjen längs Oy-axeln, räknat från origo.
o Den geometriska betydelsen av koefficienten k - lutningsvinkeln för den räta linjen mot Ox-axelns positiva riktning, räknas moturs.
Linjära funktionsegenskaper:
1) Definitionsdomänen för en linjär funktion är hela den reella axeln;
2) Om k ≠ 0, är värdeintervallet för den linjära funktionen hela den reella axeln.
Om k = 0, består värdeintervallet för den linjära funktionen av talet b;
3) Jämnhet och uddahet för en linjär funktion beror på värdena för koefficienterna k och b.
a) b ≠ 0, k = 0, därför är y = b jämnt;
b) b = 0, k ≠ 0, därför är y = kx udda;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, därför är y = kx + b en funktion allmän syn;
d) b = 0, k = 0, därför är y = 0 både jämn och udda funktion.
4) Den linjära funktionen har inte periodicitetsegenskapen;
5) Skärningspunkter med koordinataxlarna:
Ox: y = kx + b = 0, x = -b / k, därför är (-b / k; 0) skärningspunkten med abskissaxeln.
Oy: y = 0k + b = b, därför är (0; b) skärningspunkten med y-axeln.
Kommentar. Om b = 0 och k = 0, försvinner funktionen y = 0 för valfritt värde på variabeln x. Om b ≠ 0 och k = 0, försvinner inte funktionen y = b för några värden på variabeln x.
6) Intervallet för teckenkonstans beror på koefficienten k.
a) k> 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.
y = kx + b - positiv för x från (-b / k; + ∞),
y = kx + b - negativ för x från (-∞; -b / k).
b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b - är positivt för x från (-∞; -b / k),
y = kx + b - negativ för x från (-b / k; + ∞).
c) k = 0, b> 0; y = kx + b är positiv över hela domänen,
k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Monotonicitetsintervallen för den linjära funktionen beror på koefficienten k.
k> 0, därför ökar y = kx + b över hela domänen,
k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
11. Funktion y = ax 2 + bx + c, dess egenskaper och graf.
| Funktionen y = ax 2 + bx + c (a, b, c är konstanter och ≠ 0) kallas kvadratisk. I det enklaste fallet, y = ax 2 (b = c = 0), är grafen en krökt linje som går genom origo. Kurvan som fungerar som graf för funktionen y = ax 2 är en parabel. Varje parabel har en symmetriaxel som kallas parabelns axel. Punkten O för skärningspunkten mellan en parabel och dess axel kallas spetsen på en parabel. |
 |
| Grafen kan byggas enligt följande schema: 1) Hitta koordinaterna för parabelns vertex x 0 = -b / 2a; yo = y (x 0). 2) Vi konstruerar ytterligare några punkter som hör till parabeln, i konstruktionen kan vi använda parabelns symmetri med avseende på linjen x = -b / 2a. 3) Anslut de markerade punkterna med en jämn linje. Exempel. Rita funktionen vid = x 2 + 2x - 3. Lösningar. Funktionens graf är en parabel, vars grenar är riktade uppåt. Abskissan för parabelns vertex x 0 = 2 / (2 ∙ 1) = -1, dess ordinater y (-1) = (1) 2 + 2 (-1) - 3 = -4. Så, spetsen på parabeln är punkten (-1; -4). Låt oss komponera en värdetabell för flera punkter, som ligger till höger om parabelns symmetriaxel - den räta linjen x = -1. Funktionsegenskaper.
|
Denna videohandledning om kursen i matematik kommer att bekanta dig med egenskaperna för funktionen y = k / x, förutsatt att värdet på k är negativt.
I våra tidigare videohandledningar har du bekantat dig med funktionen y är lika med k dividerat med x, dess graf, som kallas "hyperbola", samt egenskaperna hos grafen för positivt värde k. Den här videon kommer att bekanta dig med egenskaperna för koefficienten k med ett negativt värde, det vill säga mindre än noll.
Likhetsegenskaper där y är lika med koefficienten k dividerat med den oberoende variabeln x, förutsatt att koefficienten har negativ betydelse, presenterad i videon.
När de beskriver egenskaperna för denna funktion, förlitar de sig först och främst på dess geometriska modell - en hyperbel.
Egenskap 1. En funktions domän består av alla tal, men därav följer att x inte kan vara lika med 0, eftersom man inte kan dividera med noll.
Egenskap 2. y är större än noll, förutsatt att x är mindre än noll; och följaktligen, omvänt, y är mindre än noll vid ett värde när x är i intervallet större än noll och till oändlighet.
Egenskap 3. Funktionen ökar på intervallen från minus oändlighet till noll och från noll till plus oändlighet: (-∞, 0) och (0, + ∞).
Egenskap 4. Funktionen är oändlig, eftersom den inte har några begränsningar varken underifrån eller ovanifrån.
Egenskap 5. Funktionen har varken de minsta eller de största värdena, eftersom den är oändlig.
Egenskap 6. Funktionen är kontinuerlig på intervallen från minus oändlighet till noll (-∞, 0) och från noll till oändlighet (0, + ∞), och det ska markeras att den genomgår en diskontinuitet i det fall x är noll .
Egenskap 7. Området av värden för funktioner är föreningen av två öppna strålar från minus oändlighet till noll (-∞, 0) och från noll till plus oändlighet (0, + ∞).
Exempel ges längre fram i videon. Vi kommer bara att överväga några av dem, vi rekommenderar att du tittar på resten på egen hand i det medföljande videomaterialet.
Så låt oss titta på det första exemplet. Det är nödvändigt att lösa ekvationen av följande typ: 4 / x = 5-x.
För större bekvämlighet kommer vi att dela upp lösningen av denna jämlikhet i flera steg:
1) Först skriver vi vår likhet i form av två separata ekvationer: y = 4 / x och y = 5-x /
2) Sedan, som visas i videon, plottar vi funktionen y = 4 / x, som är en hyperbel.
3) Därefter bygger vi en graf över en linjär funktion. V I detta fall det är en rät linje som kan dras från två punkter. Diagrammen presenteras i vår video.
4) Redan enligt själva ritningen bestämmer vi de punkter där båda våra grafer skär varandra, både hyperbeln och den räta linjen. Det bör anges att de skär varandra i punkterna A (1; 4) och B (4; 1). Verifiering av de erhållna resultaten visar att de är korrekta. Denna ekvation kan ha två rötter 1 och 4.
Nästa exempel, som betraktas i videohandledningen, har följande uppgift: bygga och läsa grafen för funktionen y = f (x), där f (x) = -x2, om variabeln x är i intervallet från större än eller lika med -2 och större än eller lika med 1, och y = -1 / x om x är större än ett.
Vi genomför lösningen i flera steg. Först bygger vi en graf av funktionen y = -x2, som kallas "parabeln", och väljer dess del i intervallet från - 2 till 1. För att se grafen, se videon.
Nästa steg är att konstruera en hyperbel för likheten y = -1 / x, och välja dess del på en öppen stråle från ett till oändligt. Därefter flyttar vi båda graferna i samma koordinatsystem. Som ett resultat får vi en graf av funktionen y = f (x).
Därefter bör du läsa grafen för funktionen y = f (x):
1. Definitionsdomänen för en funktion är en stråle i intervallet från -2 till + ∞.
2. y är lika med noll när x är lika med noll; y är mindre än noll om x är större än eller lika med -2 och mindre än noll, och om x är större än noll.
3. Funktionen ökar i intervallet från -2 till 0 och i intervallet från 1 till oändligt, grafen visar en minskning i intervallet från noll till ett.
4. Funktionen med de givna parametrarna är avgränsad både underifrån och uppifrån.
5. Minsta värde variabeln y är lika med - 4 och förstås när värdet av x är på nivån - 2; och även det största värdet y är 0, vilket uppnås när x är noll.
6. I den givna definitionsdomänen är vår funktion kontinuerlig.
7. Området för funktionsvärdet ligger i intervallet från -4 till 0.
8. Funktionen är konvex uppåt på segmentet från -2 till 1 och på strålen från 1 till oändligt.
Du kan bekanta dig med de återstående exemplen på egen hand genom att titta på videon som presenteras.
Uppdrag för egenskaper och grafer kvadratisk funktion orsaka, som praxis visar, allvarliga svårigheter. Detta är ganska märkligt, eftersom den andragradsfunktionen är godkänd i 8:e klass, och sedan "tvingas hela första kvartalet i 9:e klass ut" parabelns egenskaper och dess grafer plottas för olika parametrar.
Detta beror på det faktum att de tvingar eleverna att bygga paraboler, de praktiskt taget inte ägnar tid åt att "läsa" grafer, det vill säga att de inte tränar på att förstå informationen som erhålls från bilden. Tydligen antas det att, efter att ha byggt ett dussin grafer, kommer en smart student själv att upptäcka och formulera förhållandet mellan koefficienterna i formeln och utseende grafik. I praktiken fungerar inte detta. För en sådan generalisering är det nödvändigt seriös erfarenhet matte-ministudier, vilket de flesta niondeklassare förstås inte har. Samtidigt föreslår GIA att man ska bestämma tecknen på koefficienterna exakt enligt schemat.
Vi kommer inte att kräva det omöjliga från skolbarn och kommer helt enkelt att erbjuda en av algoritmerna för att lösa sådana problem.
Alltså en funktion av formen y = ax 2 + bx + c kallas kvadratisk, dess graf är en parabel. Som namnet antyder är huvudtermen yxa 2... Det är a ska inte vara noll, andra koefficienter ( b och med) kan vara lika med noll.
Låt oss se hur tecknen på dess koefficienter påverkar utseendet på en parabel.
Det enklaste förhållandet för koefficienten a... De flesta skolbarn svarar självsäkert: "om a> 0, då är parabelns grenar riktade uppåt, och om a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
I detta fall a = 0,5
Och nu för a < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
I detta fall a = - 0,5
Koefficientens inverkan medär också lätt att spåra. Låt oss föreställa oss att vi vill hitta värdet på funktionen vid punkten NS= 0. Ersätt noll i formeln:
y = a 0 2 + b 0 + c = c... Det visar sig att y = c... Det är medär ordinatan för skärningspunkten för parabeln med y-axeln. Vanligtvis är denna punkt lätt att hitta på ett diagram. Och avgöra om den ligger över noll eller under. Det är med> 0 eller med < 0.
med > 0:
y = x 2 + 4x + 3
med < 0
y = x 2 + 4x - 3
Följaktligen, om med= 0, då kommer parabeln nödvändigtvis att passera genom origo:
y = x 2 + 4x
Svårare med parametern b... Den punkt vid vilken vi kommer att hitta det beror inte bara på b men också från a... Detta är spetsen på parabeln. Dess abskissa (koordinat längs axeln NS) hittas av formeln x in = - b / (2a)... Således, b = - 2х в... Det vill säga, vi agerar enligt följande: på diagrammet hittar vi toppen av parabeln, vi bestämmer tecknet på dess abskiss, det vill säga vi tittar till höger om noll ( x in> 0) eller till vänster ( x in < 0) она лежит.
Detta är dock inte allt. Vi måste också vara uppmärksamma på koefficientens tecken a... Det vill säga att se vart parabelns grenar är riktade. Och först efter det, enligt formeln b = - 2х в identifiera tecknet b.
Låt oss överväga ett exempel:
Grenarna är riktade uppåt, vilket innebär a> 0, parabeln korsar axeln på under noll betyder med < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Därav b = - 2х в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, med < 0.
En linjär funktion kallas funktion ges av formel y = kx + b
, var k och b- eventuella reella tal.
Grafen för en linjär funktion är en rät linje.
Om k= 0, sedan funktionen y = b kallas konstant. Dess graf är en rät linje parallell med axeln Oxe.
Om b= 0, sedan formeln y = kx sätter ett direkt proportionellt förhållande. Grafen för en sådan funktion är en rät linje som går genom origo.
Det omvända är också sant - vilken rät linje som helst som inte är parallell med axeln. Oj, är grafen för någon linjär funktion.
siffra k
kallad den raka linjens lutning
, den är lika med tangenten för vinkeln mellan den räta linjen och axelns positiva riktning Oxe.
Figuren visar vinkeln α.
Bygg en graf linjär funktion är mycket enkel.
Positionen för en rät linje bestäms unikt genom att ange två av dess punkter. Därför bestäms en linjär funktion helt genom att ange dess värden för två värden i argumentet. Till exempel,
| x | 0 | 1 |
| y | b | k + b |
Om du är min student eller kan du arbeta med interaktiva versioner av dessa grafer.
Linjära funktionsegenskaper på k ≠ 0, b ≠ 0.
1) Funktionens domän är mängden av alla reella tal: R eller (−∞; ∞).
2) Funktion y = kx + bär varken jämnt eller udda.
3) När k> 0 ökar funktionen monotont, och för k
Övningen:
Figuren visar 4 raka linjer. Kan de vara funktionsgrafer? Identifiera i så fall vilka.
Se svaret.
Raka linjer lutande mot abskissaxeln i en spetsig eller trubbig vinkel - grafer för en linjär funktion av allmän form: y = kx + b. Parameter b lätt att bestämma genom skärningspunkten för linjen med y-axeln ( Oj). Parameter k definieras genom att konstruera cellerna i triangeln som innehåller vinkeln α för skarpa hörn eller i anslutning till det - för den dumma. De exakta svaren finns på bilden.
En rät linje parallell med abskissaxeln (här - vågrät linje), är en graf över en viss form av en linjär funktion y = b, som kallas konstant eller konstant. Värdet på denna funktion ändras inte, så ordinaterna för en grafpunkt är alltid på samma höjd i förhållande till axeln Oxe.
Nästa räta linje är INTE en graf för någon funktion. Här finns ingen entydighet. Om x= 6, alltså y=? Vilket verkligt tal som helst! Det vill säga, definitionen av funktionen är inte uppfylld för det, nämligen villkoret att varje värde i argumentet x ett enskilt funktionsvärde måste matcha y... Men vi möter också sådana linjer, till exempel som vertikala asymptoter. Därför måste du veta att deras ekvation x = a, var a- ett givet nummer.
Lär dig att ta derivator från funktioner. Derivatan karakteriserar förändringshastigheten för en funktion vid en viss punkt som ligger på grafen för denna funktion. I det här fallet kan grafen vara antingen en rak eller en krökt linje. Det vill säga, derivatan karakteriserar förändringshastigheten för funktionen vid ett visst ögonblick. Kom ihåg generella regler, genom vilken derivaten tas, och först därefter gå vidare till nästa steg.
- Läs artikeln.
- Hur man tar de enklaste derivatorna, till exempel derivatan av exponentialekvationen, beskrivs. Beräkningarna som presenteras i följande steg kommer att baseras på de metoder som beskrivs i den.
Lär dig att skilja på problem där lutningen behöver beräknas i termer av derivatan av en funktion. I problem föreslås det inte alltid att man ska hitta lutningen eller derivatan av en funktion. Till exempel kan du bli ombedd att hitta förändringshastigheten för en funktion vid punkt A (x, y). Du kan också bli ombedd att hitta lutningen på tangenten vid punkt A (x, y). I båda fallen är det nödvändigt att ta derivatan av funktionen.
Ta derivatan av funktionen du får. Du behöver inte rita en graf här - du behöver bara funktionens ekvation. I vårt exempel, ta derivatan av funktionen. Ta derivatet enligt metoderna som beskrivs i artikeln som nämns ovan:
- Derivat:
Byt ut koordinaterna för punkten som du fått i derivatan för att beräkna lutningen. Derivatan av en funktion är lika med lutningen vid en viss punkt. Med andra ord, f "(x) är lutningen för funktionen vid vilken punkt som helst (x, f (x)). I vårt exempel:
- Hitta lutningen på funktionen f (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystil f (x) = 2x ^ (2) + 6x) vid punkt A (4.2).
- Derivat av funktionen:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\ displaystil f "(x) = 4x + 6)
- Ersätt värdet med x-koordinaten för denna punkt:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\ displaystil f "(x) = 4 (4) +6)
- Hitta lutningen:
- Lutningen för en funktion f (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystil f (x) = 2x ^ (2) + 6x) vid punkt A (4.2) är 22.
Kontrollera om möjligt ditt svar på grafen. Kom ihåg att lutningen kanske inte beräknas vid varje punkt. Differentialkalkyl tar hänsyn till komplexa funktioner och komplexa grafer, där lutningen inte kan beräknas vid varje punkt, och i vissa fall ligger punkterna inte alls på graferna. Använd om möjligt en grafräknare för att kontrollera att lutningen beräknas korrekt för den funktion som du fått. Annars, rita en tangent till grafen vid den punkt som du har fått och fundera på om lutningsvärdet du hittade stämmer överens med det du ser på grafen.
- Tangenten kommer att ha samma lutning som funktionsgrafen vid en viss punkt. För att rita en tangent vid en given punkt, flytta höger/vänster längs X-axeln (i vårt exempel, 22 värden till höger), och sedan upp en enhet längs Y-axeln. Markera punkten och anslut den sedan till den punkt du fått. I vårt exempel kopplar du ihop punkterna vid koordinaterna (4,2) och (26,3).
