एक स्थिर झुकाव वाला विमान एक कोण पर झुका हुआ है। बल प्रक्षेपण। एक झुकाव वाले विमान पर आंदोलन

उद्देश्य- घर्षण बल के कार्य का प्रायोगिक निर्धारण जब एक भार एक झुकाव वाले विमान के साथ स्लाइड करता है।

1. सैद्धांतिक भाग

चित्र एक। एक झुके हुए विमान पर पट्टी

मास के एक ब्लॉक पर एम, एक झुकाव वाले विमान पर स्थित, कई बल कार्य करते हैं (चित्र 1) - गुरुत्वाकर्षण
, सामान्य समर्थन प्रतिक्रिया का बल और घर्षण बल . इन बलों की कार्रवाई के तहत, बार चल सकता है या आराम कर सकता है।

पहले आराम की स्थिति पर विचार करें, जब सभी बलों का परिणाम शून्य के बराबर हो:

(1)

कहाँ पे
स्थैतिक घर्षण बल है। हम निर्देशांक अक्षों का परिचय देते हैं जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 1. चूंकि
तब समीकरण का प्रक्षेपण (1) अक्ष पर देता है

वह। स्थिर घर्षण बल रोलिंग बल को संतुलित करता है

अगर हम झुकाव के कोण को बढ़ाते हैं
फिर कुछ सीमा मूल्य पर
यह संतुलन गड़बड़ा जाएगा, और बार झुके हुए विमान से खिसकना शुरू हो जाएगा। फिसलने के क्षण में, स्थैतिक घर्षण बल
फिसलने वाले घर्षण के बल के बराबर अधिकतम मान लेता है

.

अमोन्टन-कूलम्ब नियम के अनुसार, फिसलने वाला घर्षण बल मोडुलो बराबर होता है

,

कहाँ पे  घर्षण का गुणांक है।

एक झुकाव वाले विमान के साथ एक बार की स्लाइडिंग को गतिकी के समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है

(2)

अक्ष पर समीकरण (2) का प्रक्षेपण आप देता है

.

.

चित्र 2 झुकाव के कोण पर स्थैतिक घर्षण और फिसलने वाले घर्षण की ताकतों की निर्भरता को दर्शाता है
इनमें से प्रत्येक निर्भरता की परिभाषा का अपना क्षेत्र है। समारोह के लिए
यह भीतर है
. फंक्शन स्कोप
अंतराल में निहित है
. इन क्षेत्रों के बाहर, दोनों कार्यों का कोई भौतिक अर्थ नहीं है।

रेखा चित्र नम्बर 2। निर्भरता
और
कोण के एक समारोह के रूप में

जैसे कि चित्र से देखा जा सकता है। 2, बढ़ते कोण के साथ
स्थैतिक घर्षण बल साइनसॉइडल कानून के अनुसार बदलता है, और स्लाइडिंग घर्षण बल कोसाइन कानून के अनुसार बदलता है। इन दो कार्यों का प्रतिच्छेदन कोण पर होता है
, जिस पर पहुँचने पर ब्लॉक झुके हुए तल से नीचे खिसकना शुरू कर देगा। अर्थ
समानता से पाया जाता है

मुझे घर्षण का गुणांक कहां मिल सकता है

(3)

पथ की लंबाई मापने के द्वारा मैंएक झुके हुए तल पर पट्टी और उसके झुकाव का कोण
, सीमित कोण द्वारा घर्षण बल के कार्य को निर्धारित करना संभव है
और घर्षण का संगत गुणांक

अब मास बार बनाते हैं एम 1 नीचे की ओर नहीं, बल्कि झुके हुए तल पर ऊपर की ओर खिसकें। ऐसा करने के लिए (चित्र 3 देखें), हम ब्लॉक के ऊपर फेंके गए धागे के सिरे को बार से बाँध देंगे; धागे के दूसरे छोर पर हम द्रव्यमान का भार बांधेंगे एम 2, जब नीचे किया जाता है, तो धागा त्वरण के साथ झुकाव वाले विमान को ऊपर खींचेगा लेकिन.

चावल। 3. इच्छुक विमान प्रणाली की योजना - बार-लोड।

जिस तरह से साथ मैंएक झुकाव वाले विमान के साथ (निर्देशांक ) द्रव्यमान का एक खंड एम 1, जब v. 1 से - विश्राम की अवस्था से v. 2 तक जाता है, तो यह एक निश्चित गति प्राप्त कर लेता है और, तदनुसार, गतिज ऊर्जा
गतिज ऊर्जा की गणना बार पर लागू सभी बलों के कुल कार्य के रूप में की जा सकती है:

. रोलिंग फोर्स का काम है,

इसलिये

धागे में तनाव द्वारा किया गया कार्य है।

इसके अलावा, हम यह मानेंगे कि धागा और ब्लॉक भारहीन हैं, इसलिए ब्लॉक के दोनों किनारों पर धागे का तनाव समान है: टी 1 = टी 2 = टी. एक भार की गति का समीकरण (न्यूटन का दूसरा नियम) एम 2 अक्ष पर प्रक्षेपण में परदेता है

यह कहाँ मायने रखता है टी

किनेमेटिक्स के नियमों के अनुसार भार कम करने की ऊंचाई है:

इसलिए, भार के त्वरण को मापी गई मात्राओं के रूप में व्यक्त किया जा सकता है - ऊँचाई एचऔर समय कार्गो वंश का एम 2 -

विचाराधीन प्रणाली के सभी निकाय एक अविभाज्य धागे से जुड़े हुए हैं और इसलिए, समान गति और त्वरण के साथ चलते हैं। इसलिए, द्रव्यमान बार की गति एम 1 पथ की लंबाई के अंत में मैं(स्थिति 2) is

.

मापा और परिकलित मूल्यों को ध्यान में रखते हुए, समीकरण (5) को फॉर्म में फिर से लिखा जाएगा

,

ध्यान दें कि लंबाई खंड 1-2 झुके हुए तल पर बार को उठाना ऊँचाई के बराबर होता है भार कम करना (
), तो (5) से हम प्राप्त करते हैं घर्षण बल के कार्य का निर्धारण करने के लिए व्यंजक
गतिज मापदंडों के अनुसार (झुकाव का कोण
,लंबाई और समय )एक झुकाव वाले विमान पर बार की गति

. (7)

उपकरण और सहायक उपकरण:

1. प्रयोगशाला स्थापना।

यह लेख इस बारे में बात करता है कि एक झुकाव वाले विमान के साथ चलने की समस्याओं को कैसे हल किया जाए। भौतिकी में एकीकृत राज्य परीक्षा से एक झुकाव वाले विमान के साथ बाध्य निकायों की गति की समस्या का विस्तृत समाधान माना जाता है।

आनत तल पर गति की समस्या का समाधान

समस्या को हल करने के लिए सीधे आगे बढ़ने से पहले, गणित और भौतिकी में एक शिक्षक के रूप में, मैं अनुशंसा करता हूं कि आप इसकी स्थिति का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करें। आपको उन बलों की छवि से शुरू करने की आवश्यकता है जो जुड़े हुए निकायों पर कार्य करते हैं:

यहां और क्रमशः बाएं और दाएं निकायों पर कार्य करने वाले थ्रेड तनाव बल हैं, बाएं शरीर पर अभिनय करने वाले समर्थन प्रतिक्रिया बल हैं, और क्रमशः बाएं और दाएं निकायों पर अभिनय करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल हैं। इन ताकतों के निर्देशन से सब कुछ साफ है। तनाव बल को धागे के साथ निर्देशित किया जाता है, गुरुत्वाकर्षण बल लंबवत नीचे की ओर होता है, और समर्थन प्रतिक्रिया बल झुके हुए विमान के लंबवत होता है।

लेकिन घर्षण बल की दिशा पर अलग से विचार करना होगा। इसलिए, आकृति में इसे एक बिंदीदार रेखा के रूप में दिखाया गया है और एक प्रश्न चिह्न के साथ हस्ताक्षरित है। यह सहज रूप से स्पष्ट है कि यदि दायां वजन बाएं वजन को "अधिक" करता है, तो घर्षण बल वेक्टर के विपरीत निर्देशित होगा। इसके विपरीत, यदि बायां वजन दाएं वजन से "अधिक" होता है, तो घर्षण बल वेक्टर के साथ सह-निर्देशित होगा।

दायां भार N बल द्वारा नीचे खींचा जाता है। यहां हमने मुक्त गिरावट त्वरण m/s 2 लिया है। बाएं भार को भी गुरुत्वाकर्षण द्वारा नीचे खींचा जाता है, लेकिन यह सब नहीं, बल्कि केवल इसका "हिस्सा" होता है, क्योंकि भार एक झुके हुए विमान पर होता है। यह "भाग" एक झुके हुए विमान पर गुरुत्वाकर्षण के प्रक्षेपण के बराबर है, अर्थात, एक दाहिने त्रिकोण में पैर जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, जो कि एच के बराबर है।

यही है, यह सही भार को "अधिक" करता है। नतीजतन, घर्षण बल को निर्देशित किया जाता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है (हमने इसे शरीर के द्रव्यमान के केंद्र से खींचा है, जो तब संभव है जब शरीर को एक भौतिक बिंदु द्वारा मॉडल किया जा सकता है):

दूसरा महत्वपूर्ण प्रश्न यह है कि क्या यह बाध्य प्रणाली बिल्कुल आगे बढ़ेगी? अचानक यह पता चलता है कि बाएं वजन और झुके हुए विमान के बीच घर्षण बल इतना अधिक होगा कि वह इसे हिलने नहीं देगा?

ऐसी स्थिति संभव होगी जब अधिकतम घर्षण बल, जिसका मापांक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है, सिस्टम को गति में सेट करता है। यही है, बहुत "अधिक वजन" बल, जो एन के बराबर है।

समर्थन के प्रतिक्रिया बल का मॉड्यूल न्यूटन के 3-नियम के अनुसार त्रिभुज में पैर की लंबाई के बराबर है (झुकाव वाले विमान पर भार किस बल से दबाया जाता है, उसी बल के साथ झुका हुआ विमान भार पर कार्य करता है) . अर्थात् समर्थन का प्रतिक्रिया बल N है। तब घर्षण बल का अधिकतम मान N होता है, जो "अधिक भार" के मान से कम होता है।

नतीजतन, सिस्टम गति करेगा, और त्वरण के साथ आगे बढ़ेगा। आइए हम इन त्वरणों और निर्देशांक अक्षों को चित्रित करें, जिनकी हमें समस्या को हल करते समय और आवश्यकता होगी, चित्र में:

अब, समस्या की स्थिति का गहन विश्लेषण करने के बाद, हम इसे हल करना शुरू करने के लिए तैयार हैं।

आइए बाएं शरीर के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लिखें:

और समन्वय प्रणाली की कुल्हाड़ियों पर प्रक्षेपण में हमें मिलता है:

यहां, अनुमानों को एक माइनस के साथ लिया जाता है, जिसके वैक्टर को संबंधित समन्वय अक्ष की दिशा में निर्देशित किया जाता है। प्लस के साथ, अनुमानों को लिया जाता है, जिनमें से वैक्टर को संबंधित समन्वय अक्ष के साथ सह-निर्देशित किया जाता है।

एक बार फिर, हम विस्तार से बताएंगे कि अनुमानों को कैसे खोजा जाए और . ऐसा करने के लिए, आकृति में दिखाए गए समकोण त्रिभुज पर विचार करें। इस त्रिभुज में और . यह भी ज्ञात है कि इस समकोण त्रिभुज में . फिर और।

त्वरण वेक्टर पूरी तरह से अक्ष पर स्थित है, और इसलिए। जैसा कि हमने ऊपर याद किया, परिभाषा के अनुसार, घर्षण बल मापांक घर्षण गुणांक और समर्थन प्रतिक्रिया बल मापांक के उत्पाद के बराबर है। फलस्वरूप, । तब समीकरणों की मूल प्रणाली रूप लेती है:

अब हम दाहिने शरीर के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लिखते हैं:

अक्ष पर प्रक्षेपण में, हम प्राप्त करते हैं।

एक झुकाव वाले विमान के साथ एक शरीर की गति कई गैर-सह-दिशात्मक बलों की कार्रवाई के तहत शरीर की गति का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। इस प्रकार की गति की समस्याओं को हल करने की मानक विधि सभी बलों के वैक्टर को निर्देशांक अक्षों के साथ निर्देशित घटकों में विस्तारित करना है। ऐसे घटक रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं। यह प्रत्येक अक्ष के साथ घटकों के लिए न्यूटन के दूसरे नियम को अलग से लिखने की अनुमति देता है। इस प्रकार, न्यूटन का दूसरा नियम, जो एक सदिश समीकरण है, दो (तीन-आयामी मामले के लिए तीन) बीजीय समीकरणों की प्रणाली में बदल जाता है।

ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल
त्वरित नीचे की ओर गति का मामला

एक ऐसे पिंड पर विचार करें जो एक झुके हुए तल से नीचे खिसक रहा है। इस मामले में, निम्नलिखित बल इस पर कार्य करते हैं:

• गुरुत्वाकर्षण बल एम जी , लंबवत नीचे निर्देशित;
• समर्थन प्रतिक्रिया बल एन , विमान के लंबवत निर्देशित;
• फिसलने वाला घर्षण बल एफ tr, गति के विपरीत निर्देशित (जब शरीर फिसलता है तो झुके हुए विमान के साथ ऊपर)

समस्याओं को हल करते समय जिसमें एक झुका हुआ विमान दिखाई देता है, अक्सर एक झुकाव समन्वय प्रणाली शुरू करना सुविधाजनक होता है, जिसका ओएक्स अक्ष विमान के साथ नीचे की ओर निर्देशित होता है। यह सुविधाजनक है, क्योंकि इस मामले में केवल एक वेक्टर को घटकों में विघटित करना होगा - गुरुत्वाकर्षण का वेक्टर एम जी , और घर्षण बल वैक्टर एफ tr और समर्थन प्रतिक्रिया बल एन पहले से ही कुल्हाड़ियों के साथ निर्देशित। इस विस्तार के साथ, गुरुत्वाकर्षण का x-घटक बराबर है मिलीग्रामपाप ( α ) और त्वरित डाउनवर्ड मूवमेंट के लिए जिम्मेदार "पुलिंग फोर्स" से मेल खाती है, और y-घटक - मिलीग्रामक्योंकि ( α ) = एनसमर्थन की प्रतिक्रिया बल को संतुलित करता है, क्योंकि ओए अक्ष के साथ शरीर की गति नहीं होती है।
फिसलने वाला घर्षण बल एफटीआर = μNसमर्थन के प्रतिक्रिया बल के समानुपाती। यह हमें घर्षण बल के लिए निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त करने की अनुमति देता है: एफटीआर = एमएमजीक्योंकि ( α ) यह बल गुरुत्वाकर्षण के "खींचने" घटक के विपरीत है। इसलिए, के लिए शरीर फिसल रहा है , हम कुल परिणामी बल और त्वरण के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं:

एफएक्स = मिलीग्राम(पाप (पाप) α ) – µ क्योंकि ( α ));
एएक्स = जी(पाप (पाप) α ) – µ क्योंकि ( α )).

यह देखना मुश्किल नहीं है कि अगर µ < tg(α ), तो अभिव्यक्ति का एक सकारात्मक संकेत है और हम झुकाव वाले विमान के नीचे एक समान रूप से त्वरित गति से निपट रहे हैं। अगर µ > टीजी ( α ), तो त्वरण का ऋणात्मक चिन्ह होगा और गति समान रूप से धीमी होगी। इस तरह की गति तभी संभव है जब शरीर को ढलान के नीचे प्रारंभिक वेग दिया जाए। इस मामले में, शरीर धीरे-धीरे बंद हो जाएगा। यदि, के अधीन µ > टीजी ( α ) वस्तु शुरू में आराम पर है, फिर वह नीचे की ओर खिसकना शुरू नहीं करेगी। यहां, स्थैतिक घर्षण बल गुरुत्वाकर्षण के "खींचने" घटक के लिए पूरी तरह से क्षतिपूर्ति करेगा।

जब घर्षण का गुणांक विमान के झुकाव कोण के स्पर्शरेखा के बिल्कुल बराबर होता है: µ = टीजी ( α ), हम तीनों बलों के पारस्परिक मुआवजे से निपट रहे हैं। इस मामले में, न्यूटन के पहले नियम के अनुसार, शरीर या तो आराम से हो सकता है या स्थिर गति से आगे बढ़ सकता है (इस मामले में, एक समान गति केवल नीचे की ओर ही संभव है)।

ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल
एक झुकाव वाले विमान पर फिसलना:
धीमी गति का मामला ऊपर

हालाँकि, शरीर झुके हुए विमान को ऊपर भी चला सकता है। इस तरह के आंदोलन का एक उदाहरण हॉकी की बर्फ की स्लाइड को ऊपर उठाना है। जब कोई पिंड ऊपर की ओर बढ़ता है, तो घर्षण बल और गुरुत्वाकर्षण के "खींचने" घटक दोनों एक झुकाव वाले विमान के साथ नीचे की ओर निर्देशित होते हैं। इस मामले में, हम हमेशा समान रूप से धीमी गति से निपटते हैं, क्योंकि कुल बल गति के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है। इस स्थिति के लिए त्वरण का व्यंजक एक समान तरीके से प्राप्त किया जाता है और केवल संकेत में भिन्न होता है। के लिए एक झुके हुए तल पर फिसलता हुआ पिंड , अपने पास।

एक झुकाव वाला विमान क्षैतिज से कुछ कोण पर एक सपाट सतह है। यह आपको कम बल के साथ भार उठाने की अनुमति देता है यदि यह भार लंबवत ऊपर की ओर उठाया गया था। एक झुके हुए तल पर, इस तल के अनुदिश भार बढ़ जाता है। साथ ही, वह लंबवत रूप से उठने की तुलना में अधिक दूरी पर विजय प्राप्त करता है।

नोट 1

इसके अलावा, कितनी बार ताकत में लाभ होता है, कितनी बार दूरी जो भार को पार करेगी वह अधिक होगी।

चित्रा 1. इच्छुक विमान

यदि जिस ऊंचाई तक भार उठाया जाना चाहिए वह $h$ के बराबर है, और इस प्रकार बल $F_h$ खर्च किया जाएगा, और इच्छुक विमान की लंबाई $l$ है, और बल $F_l$ खर्च किया जाता है, तो $l$ $h $ से संबंधित है क्योंकि $F_h$ $F_l$ से संबंधित है: $l/h = F_h/F_l$... हालांकि, $F_h$ लोड का भार ($P$) है। इसलिए, इसे आमतौर पर निम्नानुसार लिखा जाता है: $l/h = P/F$, जहां $F$ भार उठाने वाला बल है।

बल की मात्रा $F$ जिसे भार $P$ के भार पर लागू किया जाना चाहिए ताकि शरीर एक झुकाव वाले विमान पर संतुलन में हो, $F_1 = P_h/l = Psin(\mathbf \alpha )$ के बराबर है यदि बल $P$ झुके हुए समतल तल के समानांतर लगाया जाता है (चित्र 2, a), और $F_2$ = $Р_h/l = Рtg(\mathbf \alpha )$, यदि $Р$ बल समानांतर लागू किया जाता है झुकाव वाले विमान के आधार पर (चित्र 2, बी)।

चित्रा 2. एक झुकाव वाले विमान पर लोड आंदोलन

ए) बल विमान के समानांतर है बी) बल आधार के समानांतर है

झुका हुआ विमान ताकत में लाभ देता है, इसकी मदद से भार को ऊंचाई तक उठाना आसान होता है। कोण $\alpha $ जितना छोटा होगा, ताकत में लाभ उतना ही अधिक होगा। यदि कोण $\alpha $ घर्षण के कोण से कम है, तो भार अनायास नहीं चलेगा, और इसे नीचे खींचने के लिए एक प्रयास की आवश्यकता है।

यदि हम भार और झुके हुए तल के बीच घर्षण बलों को ध्यान में रखते हैं, तो $F_1$ और $F_2$ के लिए निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं: $F_1=Рsin($$(\mathbf \alpha )$$\pm $$(\mathbf \varphi )$) /cos$(\mathbf \varphi )$; $F_2=Рtg($$(\mathbf \alpha )$$\pm$$(\mathbf \varphi )$)

प्लस साइन का मतलब ऊपर की ओर बढ़ना है, माइनस का मतलब लोड को कम करना है। इच्छुक विमान दक्षता $(\mathbf \eta )$1=sin$(\mathbf \alpha )$cos$(\mathbf \alpha )$/sin($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \varphi )$ ) यदि बल $P$ को विमान के समानांतर निर्देशित किया जाता है, और $(\mathbf \eta )$2=tg$(\mathbf \alpha )$/tg($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \ varphi )$) यदि बल $P$ को झुकाव वाले विमान के आधार के समानांतर निर्देशित किया जाता है।

झुका हुआ विमान "यांत्रिकी के सुनहरे नियम" का पालन करता है। सतह और झुके हुए तल के बीच का कोण जितना छोटा होता है (अर्थात, वह जितना अधिक चापलूसी करता है, उतनी ही तेजी से नहीं बढ़ रहा है), भार को उठाने के लिए कम बल लगाया जाना चाहिए, लेकिन अधिक से अधिक दूरी को पार करने की आवश्यकता होगी।

घर्षण बलों की अनुपस्थिति में, बल में लाभ $K = P/F = 1/sin$$\alpha = l/h$ होता है। वास्तविक परिस्थितियों में, घर्षण बल की क्रिया के कारण, झुकाव वाले विमान की दक्षता 1 से कम होती है, बल में लाभ $l/h$ के अनुपात से कम होता है।

उदाहरण 1

40 किलो वजन का भार एक झुकाव वाले विमान के साथ 10 मीटर की ऊंचाई तक उठाया जाता है, जबकि 200 एन का बल लगाया जाता है (चित्र 3)। झुकाव वाले विमान की लंबाई क्या है? घर्षण को नजरअंदाज करें।

$(\mathbf \eta )$ = 1

जब एक शरीर एक झुकाव वाले विमान के साथ चलता है, तो शरीर के वजन के लिए लागू बल का अनुपात झुके हुए विमान की लंबाई और उसकी ऊंचाई के अनुपात के बराबर होता है: $\frac(F)(P)=\frac( l)(h)=\frac(1)((sin (\ mathbf \alpha )\ ))$. अत: $l=\frac(Fh)(mg)=\ \frac(200\cdot 10)(40\cdot 9,8)=5,1\ m$।

उत्तर: झुके हुए समतल की लंबाई 5.1 m . है

उदाहरण 2

द्रव्यमान वाले दो पिंड $m_1$ = 10 g और $m_2$ = 15 g एक झुके हुए विमान पर स्थापित एक निश्चित ब्लॉक पर फेंके गए धागे से जुड़े होते हैं (चित्र 4)। विमान क्षितिज के साथ एक कोण $\alpha $ = 30$()^\circ$ बनाता है। वह त्वरण ज्ञात कीजिए जिससे ये पिंड गति करेंगे।

$(\mathbf \alpha )$ = 30 डिग्री

$g$ = 9.8 $m/s_2$

आइए हम ओएक्स अक्ष को इच्छुक विमान के साथ निर्देशित करें, और ओए अक्ष लंबवत है, और इन अक्षों पर वैक्टर $\ (\overrightarrow(Р))_1\ और \ (\overrightarrow(Р))_2$ प्रोजेक्ट करें। जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, प्रत्येक पिंड पर लागू बलों का परिणाम वैक्टर के अनुमानों के बीच अंतर के बराबर है $\ (\overrightarrow(P))_1\ और\ (\overrightarrow(P)) _2$ OX अक्ष पर:

\[\बाएं|\ओवरराइटएरो(आर)\दाएं|=\बाएं|पी_(2एक्स)-पी_(1एक्स)\दाएं|=\बाएं|एम2जी(पाप \अल्फा \ )-एम_1जी(पाप \अल्फा \ )\दाएं |=g(sin \alpha \left|m_2-m_1\right|\ )\] \[\left|\overrightarrow(R)\right|=9.8\cdot (sin 30()^\circ \ )\cdot \ बायां|0.015-0.01\दाएं|=0.0245\ एच\] \

उत्तर: निकायों का त्वरण $a_1=2.45\frac(m)(s^2);\ \ \ \ \ a_2=1.63\ m/s^2$

याद रखें कि जब हम एक चिकनी सतह के बारे में बात करते हैं, तो हमारा मतलब है कि शरीर और इस सतह के बीच घर्षण की उपेक्षा की जा सकती है।

एक चिकने झुकाव वाले तल पर स्थित द्रव्यमान m के पिंड पर, गुरुत्वाकर्षण बल m और सामान्य प्रतिक्रिया बल कार्य करते हैं (चित्र 19.1)।

झुकाव वाले विमान के साथ एक्स-अक्ष को नीचे निर्देशित करना सुविधाजनक है, और वाई-अक्ष झुकाव वाले विमान के लंबवत है (चित्र। 19.1)। समतल के झुकाव कोण को α से निरूपित करें।

न्यूटन के द्वितीय नियम का सदिश रूप में समीकरण है

1. बताएं कि निम्नलिखित समीकरण सत्य क्यों हैं:

2. x अक्ष पर पिंड के त्वरण का प्रक्षेपण क्या है?

3. सामान्य प्रतिक्रिया बल का मापांक क्या है?

4. झुकाव के किस कोण पर एक चिकने तल पर पिंड का त्वरण मुक्त रूप से गिरने के त्वरण से 2 गुना कम है?

5. विमान के झुकाव के किस कोण पर सामान्य प्रतिक्रिया बल गुरुत्वाकर्षण बल से 2 गुना कम है?

निम्नलिखित कार्य करते समय, यह ध्यान रखना उपयोगी होता है कि एक चिकने झुकाव वाले तल पर स्थित पिंड का त्वरण पिंड के प्रारंभिक वेग की दिशा पर निर्भर नहीं करता है।

6. पक एक झुकाव कोण α के साथ एक चिकने झुकाव वाले विमान के साथ ऊपर की ओर धकेला जाता है। पक की प्रारंभिक गति v 0 ।
a) पक रुकने से पहले कितनी दूर यात्रा करेगी?
ख) पक को अपने शुरुआती बिंदु पर वापस आने में कितना समय लगेगा?
ग) पक अपने आरंभिक बिंदु पर किस गति से लौटेगा?

7. द्रव्यमान m का एक गुटका एक झुकाव कोण α के साथ एक चिकने झुकाव वाले तल पर है।
क) यदि बल को आनत तल के अनुदिश निर्देशित किया जाता है, तो झुके हुए तल पर छड़ को पकड़े हुए बल का मापांक क्या है? क्षैतिज रूप से?
बी) जब बल क्षैतिज रूप से निर्देशित किया जाता है तो सामान्य प्रतिक्रिया बल क्या होता है?

2. एक झुके हुए तल पर शरीर के बाकी हिस्सों की स्थिति

अब हम पिंड और झुके हुए तल के बीच घर्षण बल को ध्यान में रखेंगे।

यदि पिंड एक झुके हुए तल पर आराम पर है, तो यह गुरुत्वाकर्षण m के बल, सामान्य प्रतिक्रिया के बल और स्थैतिक घर्षण tr.pok के बल से प्रभावित होता है (चित्र 19.2)।

स्थैतिक घर्षण बल को झुकाव वाले विमान के साथ ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है: यह बार को फिसलने से रोकता है। इसलिए, झुकाव वाले विमान के साथ नीचे की ओर निर्देशित एक्स-अक्ष पर इस बल का प्रक्षेपण नकारात्मक है:

F tr.pok x = –F tr.pok

8. बताएं कि निम्नलिखित समीकरण सत्य क्यों हैं:

9. द्रव्यमान m का एक गुटका एक झुकाव कोण α के साथ एक झुकाव वाले विमान पर टिकी हुई है। बार और विमान के बीच घर्षण का गुणांक है μ । गुटके पर लगने वाला घर्षण बल क्या है? क्या स्थिति में अतिरिक्त डेटा है?

10. बताएं कि एक झुकाव वाले विमान पर शरीर के आराम की स्थिति असमानता द्वारा क्यों व्यक्त की जाती है

तत्पर। इस तथ्य का लाभ उठाएं कि स्थैतिक घर्षण बल असमानता F tr.pok ≤ μN को संतुष्ट करता है।

घर्षण के गुणांक को मापने के लिए अंतिम असमानता का उपयोग किया जा सकता है: विमान के झुकाव के कोण को धीरे-धीरे तब तक बढ़ाया जाता है जब तक कि शरीर उस पर स्लाइड करना शुरू न कर दे (लैब 4 देखें)।

11. बोर्ड पर पड़ी पट्टी बोर्ड के साथ सरकने लगी जब क्षितिज के प्रति झुकाव का कोण 20º था। ब्लॉक और बोर्ड के बीच घर्षण का गुणांक क्या है?

12. 2.5 किलो वजन की एक ईंट 2 मीटर लंबे बोर्ड पर पड़ी है। ईंट और बोर्ड के बीच घर्षण का गुणांक 0.4 है।
क) ईंट को हिलाए बिना बोर्ड के एक सिरे को अधिकतम कितनी ऊंचाई तक उठाया जा सकता है?
ख) ईंट पर लगने वाला घर्षण बल कितना होगा?

एक झुकाव वाले विमान पर स्थित शरीर पर अभिनय करने वाला स्थैतिक घर्षण बल आवश्यक रूप से विमान के साथ ऊपर की ओर निर्देशित नहीं होता है। इसे विमान के साथ नीचे भी निर्देशित किया जा सकता है!

13. m द्रव्यमान का एक गुटका एक झुकाव वाले तल पर है जिसका झुकाव कोण α है। बार और तल के बीच घर्षण का गुणांक μ, और μ . के बराबर होता है< tg α. Какую силу надо приложить к бруску вдоль наклонной плоскости, чтобы сдвинуть его вдоль наклонной плоскости:
एक नीचे? बी) ऊपर?

3. घर्षण को ध्यान में रखते हुए एक झुकाव वाले विमान के साथ एक शरीर की गति

अब शरीर को झुके हुए तल पर नीचे की ओर खिसकने दें (चित्र 19.3)। इस मामले में, फिसलने वाला घर्षण बल उस पर कार्य करता है, जो शरीर की गति के विपरीत निर्देशित होता है, अर्थात ऊपर की ओर झुके हुए विमान के साथ।

? 15. नोटबुक में चित्र में शरीर पर लगने वाले बलों को खींचिए और समझाइए कि निम्नलिखित समीकरण मान्य क्यों हैं:

16. x-अक्ष पर पिंड के त्वरण का प्रक्षेपण क्या है?

17. एक गुटका एक झुके हुए तल को नीचे की ओर खिसकाता है। बार और तल के बीच घर्षण का गुणांक 0.5 है। समय के साथ बार की गति कैसे बदलती है यदि विमान के झुकाव का कोण बराबर है:
ए) 20º? बी) 30º? ग) 45º? घ) 60º?

18. जब ब्लॉक क्षितिज से 20º के कोण पर झुका होता है तो बोर्ड पर स्लाइड करना शुरू हो जाता है। बार और बोर्ड के बीच घर्षण का गुणांक क्या है? ब्लॉक किस परिमाण और दिशा के साथ 30º के कोण पर झुके हुए बोर्ड पर नीचे की ओर खिसकेगा? 15º?

माना अब पिंड की प्रारंभिक गति ऊपर की ओर निर्देशित है (चित्र 19.4)।

19. नोटबुक में चित्र में शरीर पर लगने वाले बलों को खींचिए और समझाइए कि निम्नलिखित समीकरण मान्य क्यों हैं:

20. x-अक्ष पर पिंड के त्वरण का प्रक्षेपण क्या है?

21. जब ब्लॉक क्षितिज से 20º के कोण पर झुका होता है तो बोर्ड पर स्लाइड करना शुरू हो जाता है। ब्लॉक को बोर्ड पर धकेल दिया जाता है। यदि बोर्ड कोण पर झुका हुआ है तो यह किस त्वरण से आगे बढ़ेगा: ए) 30º? बी) 15º? इनमें से किस स्थिति में बार शीर्ष बिंदु पर रुकेगा?

22. पक को एक झुकाव वाले विमान को प्रारंभिक गति v 0 के साथ धक्का दिया गया था। विमान के झुकाव का कोण α, वॉशर और विमान के बीच घर्षण का गुणांक μ। कुछ समय बाद, पक अपनी मूल स्थिति में लौट आया।
क) पक को रुकने से पहले ऊपर उठने में कितना समय लगा?
ख) रुकने से पहले पक कितनी दूर चली गई?
ग) उसके कितने समय बाद पक अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ गया?

23. धक्का देने के बाद, ब्लॉक अपनी मूल स्थिति में लौटने से पहले झुके हुए विमान को 2 s के लिए ऊपर ले गया और फिर 3 s के लिए नीचे चला गया। समतल का झुकाव कोण 45º है।
a) ऊपर जाने पर ब्लॉक का त्वरण मापांक नीचे जाने की तुलना में कितने गुना अधिक होता है?
बी) बार और विमान के बीच घर्षण का गुणांक क्या है?

अतिरिक्त प्रश्न और कार्य

24. एक बार h ऊँचाई के चिकने झुकाव वाले समतल से प्रारंभिक गति के बिना फिसलता है (चित्र 19.5)। समतल का झुकाव कोण α है। अवरोही के अंत में बार की गति क्या है? क्या यहां अतिरिक्त डेटा है?

25. (गैलीलियो की समस्या) त्रिज्या R (चित्र 19.6) की एक ऊर्ध्वाधर डिस्क में एक सीधी चिकनी ढलान ड्रिल की जाती है। आराम से पूरी ढलान के साथ बार को स्लाइड करने का समय क्या है? ढलान के झुकाव का कोण α, प्रारंभिक क्षण में बार आराम पर है।

26. एक ट्रॉली एक चिकने झुकाव वाले समतल को α झुकाव कोण के साथ लुढ़कती है। ट्रॉली पर एक ट्राइपॉड लगाया जाता है, जिस पर एक लोड को एक धागे पर लटकाया जाता है। एक चित्र बनाएं, भार पर अभिनय करने वाले बलों को चित्रित करें। जब भार गाड़ी के सापेक्ष आराम पर होता है तो धागा ऊर्ध्वाधर से किस कोण पर होता है?

27. बार 2 मीटर लंबे और 50 सेमी ऊंचे एक झुकाव वाले विमान के शीर्ष पर है। बार और विमान के बीच घर्षण का गुणांक 0.3 है।
a) यदि समतल के अनुदिश नीचे की ओर धकेला जाए तो ब्लॉक किस त्वरण मापांक के साथ गति करेगा?
ख) बार को कितनी गति देनी चाहिए ताकि वह विमान के आधार तक पहुंचे?

28. 2 किग्रा द्रव्यमान का एक पिंड एक झुके हुए तल पर है। शरीर और तल के बीच घर्षण का गुणांक 0.4 है।
a) तल के झुकाव के किस कोण पर प्राप्त घर्षण बल का अधिकतम संभव मान है?
बी) घर्षण बल का सबसे बड़ा मूल्य क्या है?
ग) तल के झुकाव के कोण पर घर्षण बल की निर्भरता का एक अनुमानित ग्राफ तैयार करें।
तत्पर। यदि tg α ≤ μ, स्थैतिक घर्षण बल शरीर पर कार्य करता है, और यदि tg α> μ, स्लाइडिंग घर्षण बल।