एक आवर्धक कांच के नीचे एक पक्षी का पंख कैसा दिखता है? स्वर्ग के पक्षियों के काले पंखों का रहस्य सुलझ गया है। पक्षियों का काला पंख

मोबियस स्ट्रिप, जिसे लूप, सरफेस या लीफ भी कहा जाता है, टोपोलॉजी जैसे गणितीय अनुशासन में अध्ययन का एक उद्देश्य है, जो आंकड़ों के सामान्य गुणों का अध्ययन करता है जो घुमा, खींच, संपीड़न, झुकने जैसे निरंतर परिवर्तनों के तहत संरक्षित होते हैं। , और अन्य जो अखंडता उल्लंघन से संबंधित नहीं हैं। . इस तरह के टेप की एक अद्भुत और अनूठी विशेषता यह है कि इसका केवल एक किनारा और किनारा होता है और यह किसी भी तरह से अंतरिक्ष में इसके स्थान से जुड़ा नहीं होता है।

मोबियस स्ट्रिप टोपोलॉजिकल है, जो कि सामान्य यूक्लिडियन स्पेस (3-आयामी) में एक सीमा के साथ सबसे सरल एक तरफा सतह के साथ एक सतत वस्तु है, जहां किनारों को पार किए बिना ऐसी सतह के एक बिंदु से प्राप्त करना संभव है। किसी अन्य को।

इसे किसने और कब खोला?

मोबियस स्ट्रिप जैसी जटिल वस्तु को एक असामान्य तरीके से खोजा गया था। सबसे पहले, हम ध्यान दें कि दो गणितज्ञों, अनुसंधान में बिल्कुल असंबंधित, ने इसे एक ही समय में खोजा - 1858 में। एक और दिलचस्प तथ्य यह है कि ये दोनों वैज्ञानिक अलग-अलग समय पर एक ही महान गणितज्ञ - जोहान कार्ल फ्रेडरिक गॉस के छात्र थे। इसलिए, 1858 तक, यह माना जाता था कि किसी भी सतह के दो पहलू होने चाहिए। हालांकि, जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग और अगस्त फर्डिनेंड मोबियस ने एक ज्यामितीय वस्तु की खोज की जिसका केवल एक पक्ष था और इसके गुणों का वर्णन करता है। टेप का नाम मोबियस के नाम पर रखा गया था, लेकिन टोपोलॉजिस्ट लिस्टिंग और उनके काम को टोपोलॉजी में प्रारंभिक अध्ययन "रबर ज्यामिति" के संस्थापक पिता मानते हैं।

गुण

मोबियस स्ट्रिप में निम्नलिखित गुण होते हैं जो संकुचित होने, काटने या कुचलने पर नहीं बदलते हैं:

1. एक पक्ष की उपस्थिति। ए मोबियस ने अपने काम "ऑन द वॉल्यूम ऑफ पॉलीहेड्रा" में एक ज्यामितीय सतह का वर्णन किया, जिसे उसके नाम पर रखा गया था, जिसमें केवल एक तरफ था। इसे जांचना काफी सरल है: हम एक पट्टी या मोबियस पट्टी लेते हैं और अंदर की तरफ एक रंग से और बाहर को दूसरे रंग से रंगने का प्रयास करते हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि किस जगह और किस दिशा में रंग भरना शुरू किया गया था, पूरी आकृति को एक रंग से रंग दिया जाएगा।

2. निरंतरता इस तथ्य में व्यक्त की जाती है कि इस ज्यामितीय आकृति के किसी भी बिंदु को मोबियस सतह की सीमाओं को पार किए बिना किसी अन्य बिंदु से जोड़ा जा सकता है।

3. कनेक्टिविटी, या द्वि-आयामीता, इस तथ्य में निहित है कि टेप को काटने पर, कई अलग-अलग आंकड़े उसमें से नहीं निकलेंगे, और यह संपूर्ण रहता है।

4. इसमें अभिविन्यास जैसी महत्वपूर्ण संपत्ति का अभाव है। इसका मतलब यह है कि इस आकृति के साथ चलने वाला व्यक्ति अपने पथ की शुरुआत में वापस आ जाएगा, लेकिन केवल स्वयं की दर्पण छवि में। तो एक अनंत मोबियस पट्टी अनन्त यात्रा की ओर ले जा सकती है।

5. एक विशेष वर्णात्मक संख्या जो दर्शाती है कि मोबियस सतह पर अधिकतम संभव संख्या में क्षेत्र क्या बनाए जा सकते हैं ताकि उनमें से किसी की अन्य सभी के साथ एक समान सीमा हो। मोबियस स्ट्रिप की रंगीन संख्या 6 है, लेकिन पेपर रिंग में रंगीन संख्या 5 है।

वैज्ञानिक उपयोग

आज, मोबियस पट्टी और इसके गुणों का व्यापक रूप से विज्ञान में उपयोग किया जाता है, जो नई परिकल्पनाओं और सिद्धांतों के निर्माण, अनुसंधान और प्रयोगों का संचालन करने और नए तंत्र और उपकरणों के निर्माण के आधार के रूप में कार्य करता है।

तो, एक परिकल्पना है जिसके अनुसार ब्रह्मांड एक विशाल मोबियस लूप है। आइंस्टीन का सापेक्षता का सिद्धांत भी अप्रत्यक्ष रूप से इसकी गवाही देता है, जिसके अनुसार सीधी उड़ान भरने वाला जहाज भी उसी समय और स्थान बिंदु पर वापस आ सकता है जहां से वह शुरू हुआ था।

एक अन्य सिद्धांत डीएनए को मोबियस सतह के हिस्से के रूप में देखता है, जो आनुवंशिक कोड को पढ़ने और समझने में कठिनाई की व्याख्या करता है। अन्य बातों के अलावा, ऐसी संरचना जैविक मृत्यु के लिए एक तार्किक व्याख्या प्रदान करती है - अपने आप में बंद एक सर्पिल वस्तु के आत्म-विनाश की ओर जाता है।

भौतिकविदों के अनुसार, कई ऑप्टिकल कानून मोबियस पट्टी के गुणों पर आधारित हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक दर्पण प्रतिबिंब समय में एक विशेष स्थानान्तरण है और एक व्यक्ति अपने सामने अपने दर्पण को दोहरा देखता है।

व्यवहार में कार्यान्वयन

विभिन्न उद्योगों में, मोबियस पट्टी का उपयोग लंबे समय से किया जाता रहा है। सदी की शुरुआत में महान आविष्कारक निकोला टेस्ला ने मोबियस रेसिस्टर का आविष्कार किया, जिसमें दो 1800 प्रवाहकीय सतहें मुड़ी हुई थीं, जो विद्युत चुम्बकीय हस्तक्षेप पैदा किए बिना विद्युत प्रवाह के प्रवाह का विरोध कर सकती हैं।

मोबियस पट्टी की सतह और उसके गुणों के अध्ययन के आधार पर, कई उपकरणों और उपकरणों का निर्माण किया गया। इसका आकार एक कन्वेयर बेल्ट पट्टी और मुद्रण उपकरणों में एक स्याही रिबन, उपकरण को तेज करने के लिए घर्षण बेल्ट और स्वचालित ट्रांसमिशन के निर्माण में दोहराया जाता है। यह आपको उनकी सेवा जीवन में उल्लेखनीय रूप से वृद्धि करने की अनुमति देता है, क्योंकि पहनना अधिक समान रूप से होता है।

बहुत पहले नहीं, मोबियस पट्टी की अद्भुत विशेषताओं ने एक वसंत बनाना संभव बना दिया, जो परंपरागत लोगों के विपरीत, विपरीत दिशा में आग लगती है, ऑपरेशन की दिशा नहीं बदलती है। इसका उपयोग स्टीयरिंग व्हील ड्राइव के स्टेबलाइजर में किया जाता है, यह सुनिश्चित करता है कि स्टीयरिंग व्हील अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाए।

इसके अलावा, मोबियस स्ट्रिप साइन का उपयोग विभिन्न प्रकार के ट्रेडमार्क और लोगो में किया जाता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध रीसाइक्लिंग का अंतरराष्ट्रीय प्रतीक है। यह उन सामानों की पैकेजिंग से चिपका होता है जो या तो पुन: प्रयोज्य होते हैं या पुनर्नवीनीकरण संसाधनों से बने होते हैं।

रचनात्मक प्रेरणा का स्रोत

मोबियस पट्टी और उसके गुणों ने कई कलाकारों, लेखकों, मूर्तिकारों और फिल्म निर्माताओं के काम का आधार बनाया। मोएबियस रिबन II (रेड एंट्स), हॉर्समेन एंड नॉट्स जैसे कार्यों में रिबन और इसकी विशेषताओं का उपयोग करने वाले सबसे प्रसिद्ध कलाकार मौरिट्स कॉर्नेलिस एस्चर हैं।

मोबियस स्ट्रिप्स, या, जैसा कि उन्हें भी कहा जाता है, न्यूनतम ऊर्जा सतह, ब्रेंट कॉलिन्स या मैक्स बिल जैसे गणितीय कलाकारों और मूर्तिकारों के लिए प्रेरणा का स्रोत बन गई। मोबियस पट्टी का सबसे प्रसिद्ध स्मारक वाशिंगटन संग्रहालय इतिहास और प्रौद्योगिकी के प्रवेश द्वार पर स्थित है।

रूसी कलाकार भी इस विषय से दूर नहीं रहे और अपनी कृतियों का निर्माण किया। मास्को और येकातेरिनबर्ग में स्थापित मूर्तियां "मोबियस टेप"।

साहित्य और टोपोलॉजी

मोबियस सतहों के असामान्य गुणों ने कई लेखकों को शानदार और असली काम करने के लिए प्रेरित किया। मोबियस लूप आर. ज़ेलज़नी के उपन्यास "डोर्स इन द सैंड" में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है और उपन्यास "नेक्रोस्कोप" बी। लुमली के नायक के लिए अंतरिक्ष और समय के माध्यम से आगे बढ़ने के साधन के रूप में कार्य करता है।

यह आर्थर सी. क्लार्क की "द वॉल ऑफ डार्कनेस", एम. क्लिफ्टन की "ऑन द मोबियस स्ट्रिप" और ए.जे. डिच की "द मोबियस लीफ" कहानियों में भी दिखाई देता है। बाद के आधार पर, गुस्तावो मॉस्केरा द्वारा निर्देशित, शानदार फिल्म "मोबियस" की शूटिंग की गई थी।

हम इसे स्वयं करते हैं, अपने हाथों से!

यदि आप मोबियस स्ट्रिप में रुचि रखते हैं, तो इसका मॉडल कैसे बनाया जाए, आपको एक छोटे से निर्देश द्वारा संकेत दिया जाएगा:

1. उसका मॉडल बनाने के लिए, आपको आवश्यकता होगी:

सादे कागज की एक शीट;

कैंची;

शासक।

2. कागज़ की एक शीट से पट्टी को काट लें ताकि इसकी चौड़ाई लंबाई से 5-6 गुना कम हो।

3. परिणामी पेपर स्ट्रिप को समतल सतह पर बिछाएं। हम एक छोर को अपने हाथ से पकड़ते हैं, और दूसरे को 1800 घुमाते हैं ताकि पट्टी मुड़ जाए और गलत साइड सामने की तरफ हो जाए।

4. हम मुड़ी हुई पट्टी के सिरों को गोंद करते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

मोबियस स्ट्रिप तैयार है।

5. एक पेन या मार्कर लें और टेप के बीच में एक पथ बनाना शुरू करें। यदि आपने सब कुछ ठीक किया, तो आप उसी बिंदु पर लौट आएंगे जहां आपने रेखा खींचना शुरू किया था।

एक दृश्य पुष्टि प्राप्त करने के लिए कि मोबियस पट्टी एक तरफा वस्तु है, इसके किसी भी पक्ष को पेंसिल या पेन से पेंट करने का प्रयास करें। थोड़ी देर बाद आप देखेंगे कि आपने इस पर पूरी तरह से पेंट कर लिया है।प्रकाशित ईकोनेट.रू

मोबियस स्ट्रिप (मोबियस लूप, मोबियस स्ट्रिप)- एक साधारण दिखने वाली आकृति, लेकिन एक गणितज्ञ कहेगा कि यह अद्भुत गुणों वाली एक द्वि-आयामी सतह है: इसमें सामान्य रिंग के विपरीत केवल एक पक्ष और एक किनारा होता है, जिसे मोबियस के समान पट्टी से लुढ़काया जा सकता है पट्टी, लेकिन उसके दो किनारे और दो किनारे होंगे । यह सत्यापित करना आसान है कि क्या आप टेप के बीच में एक रेखा खींचते हैं, कागज से पेंसिल को उठाए बिना जब तक आप शुरुआती बिंदु पर नहीं लौटते। हैरानी की बात है, लेकिन सच है: पट्टी के आधे मोड़ के कारण, इसके ऊपरी और निचले किनारे एक निरंतर रेखा में एकजुट हो गए, और दोनों पक्ष एक ही पूरे में बदल गए और एक तरफ हो गए। और यहाँ परिणाम है: आप मोबियस पट्टी के एक बिंदु से किनारे पर जाए बिना किसी अन्य तक जा सकते हैं।

मोबियस स्ट्रिप रनिंग

एक बाहरी पर्यवेक्षक के लिए, मोबियस पट्टी के साथ एक यात्रा एक "सर्कल में दौड़ना" है, जो आश्चर्य से भरा है। उन्हें डच ग्राफिक कलाकार मौरिट्स एस्चर (1898-1972) द्वारा विशद रूप से चित्रित किया गया था। पेंटिंग में "मोबियस स्ट्रिप II" दौड़ने की भूमिका में - चींटियाँ। उनके आंदोलन के बाद, आप एक दिलचस्प खोज कर सकते हैं। टेप के साथ एक मोड़ बनाने के बाद, प्रत्येक चींटी शुरुआती बिंदु पर होगी, लेकिन पहले से ही एंटीपोड की स्थिति में - नेत्रहीन यह टेप के "दूसरी तरफ" उल्टा होगा। और मोबियस पट्टी के साथ चलने वाले द्वि-आयामी प्राणी का क्या होगा? सतह को दरकिनार करते हुए, यह अपनी दर्पण छवि में बदल जाएगा (यह कल्पना करना आसान है यदि हम टेप को पारदर्शी मानते हैं)। स्वयं बनने के लिए, एक द्वि-आयामी प्राणी को एक और वृत्त बनाना होगा। इसलिए चींटी को अपनी प्रारंभिक स्थिति में लौटने के लिए मोबियस पट्टी के साथ दो बार जाने की जरूरत है।

वैज्ञानिक जिज्ञासा या उपयोगी खोज

मोबियस पट्टी को अक्सर गणितीय जिज्ञासा कहा जाता है। और इसकी उपस्थिति को संयोग के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। किंवदंती के अनुसार, एक जर्मन वैज्ञानिक ने रिबन का आविष्कार तब किया जब उसने एक नौकरानी पर गलत तरीके से बंधे हुए हार को देखा। यह एक प्रसिद्ध गणितज्ञ और खगोलशास्त्री थे, जो कार्ल फ्रेडरिक गॉस के छात्र थे। उन्होंने 1858 में एक किनारे वाली एक तरफा सतह का वर्णन किया था, लेकिन लेख उनके जीवनकाल में प्रकाशित नहीं हुआ था। उसी वर्ष, मोबियस से स्वतंत्र रूप से, इसी तरह की खोज गॉस के एक अन्य छात्र जोहान लिस्टिंग द्वारा की गई थी।

रिबन का नाम अभी भी मोबियस के नाम पर रखा गया है। यह टोपोलॉजी की पहली वस्तुओं में से एक बन गया - एक विज्ञान जो आंकड़ों के सबसे सामान्य गुणों का अध्ययन करता है, अर्थात् जो निरंतर (बिना कट और ग्लूइंग) परिवर्तनों के तहत संरक्षित होते हैं: खींचना, निचोड़ना, झुकना, घुमाना, आदि। ये परिवर्तन विकृतियों से मिलते जुलते हैं। रबर के आंकड़े, इसलिए टोपोलॉजी को अन्यथा "रबर ज्यामिति" कहा जाता है। 18 वीं शताब्दी में लियोनार्ड यूलर द्वारा अलग-अलग टोपोलॉजिकल समस्याओं का समाधान किया गया था। गणित के एक नए क्षेत्र की शुरुआत लिस्टिंग्स प्रिलिमिनरी इन्वेस्टिगेशन इन टोपोलॉजी (1847) द्वारा की गई थी, जो इस विज्ञान पर पहला व्यवस्थित कार्य था। उन्होंने "टोपोलॉजी" शब्द भी गढ़ा (ग्रीक शब्द τόπος - जगह और λόγος - अध्यापन)।

मोबियस पट्टी को एक वैज्ञानिक जिज्ञासा माना जा सकता है, गणितज्ञों की एक और सनक, अगर इसे व्यावहारिक अनुप्रयोग नहीं मिला और कला के लोगों को प्रेरित नहीं किया। उन्हें कलाकारों द्वारा एक से अधिक बार चित्रित किया गया था, मूर्तिकारों ने उनके लिए स्मारक बनाए और लेखकों ने अपनी रचनाएँ समर्पित कीं। इस असामान्य सतह ने वास्तुकारों, डिजाइनरों, जौहरियों और यहां तक ​​कि कपड़ों और फर्नीचर के निर्माताओं को भी आकर्षित किया। आविष्कारकों, डिजाइनरों और इंजीनियरों ने इस पर ध्यान आकर्षित किया (उदाहरण के लिए, 1920 के दशक में, मोबियस स्ट्रिप के रूप में ऑडियो और फिल्म फिल्मों का पेटेंट कराया गया, जिससे रिकॉर्डिंग की अवधि को दोगुना करना संभव हो गया)। लेकिन दूसरों की तुलना में अधिक बार, जादूगर इस टेप से निपटते हैं: वे असामान्य गुणों से आकर्षित होते हैं जो इसे काटते समय दिखाई देते हैं। इसलिए, यदि आप मोबियस पट्टी को मध्य रेखा के साथ काटते हैं, तो यह दो भागों में नहीं गिरेगा, जैसा कि आप कर सकते हैं अपेक्षा करना। यह एक संकरा और लंबा दो तरफा टेप बना देगा, दो बार मुड़ जाएगा (रोलरकोस्टर आकर्षण का डिज़ाइन एक समान आकार का है)। और यहाँ एक "पाक ट्रिक" है: मोबियस स्ट्रिप के रूप में केक सामान्य लोगों की तुलना में अधिक स्वादिष्ट लगेंगे, क्योंकि आप उन पर दुगनी क्रीम फैला सकते हैं! इसके अलावा, मोबियस पट्टी की शैली में बने भवनों के दिलचस्प वास्तुशिल्प डिजाइन हैं। जबकि वे केवल कागज पर मौजूद हैं, लेकिन, मैं विश्वास करना चाहता हूं, उन्हें निश्चित रूप से लागू किया जाएगा।

"अस्पष्ट" स्थिति

इसके गुणों के साथ, मोबियस पट्टी वास्तव में लुकिंग ग्लास से एक वस्तु जैसा दिखता है। और वह खुद, एक असममित आकृति होने के कारण, एक दर्पण डबल है। आइए हम दाहिने पैर की छाप टेप के साथ टहलने के लिए भेजें और जल्द ही हम पाएंगे कि बाएं पैर की छाप घर वापस आ जाएगी। हास्यमय ठीक? और "दाएं" कब "बाएं" बन गए? हम टेप में एक द्वि-आयामी घड़ी को "माउंट" करते हैं और इसके साथ एक पूर्ण क्रांति को पूरा करते हैं। घड़ी को देखते हुए हम देखेंगे कि डायल पर हाथ एक ही गति से चल रहे हैं, लेकिन विपरीत दिशा में! और दोनों में से कौन सी दिशा सही है?

जब आप उत्तर के बारे में सोच रहे होते हैं, तो मैं ध्यान देता हूं कि एक गणितज्ञ इस "अस्पष्ट" स्थिति से भी बाहर निकलने का एक शानदार तरीका पेश करेगा। यह आवश्यक है कि, सबसे पहले, घड़ी हमेशा एक ही समय दिखाती है, और दूसरी बात, डायल पर हाथ एक ऐसी स्थिति में होना चाहिए जो एक दर्पण छवि के साथ संरक्षित हो, उदाहरण के लिए, एक विकसित कोण बनाते हुए लंबवत खड़े हों।

अच्छा, आइए उत्तर की जाँच करें, क्या हम? वास्तव में, मोबियस पट्टी पर घूर्णन की एक निश्चित दिशा निर्धारित करना असंभव है। एक ही आंदोलन को दक्षिणावर्त मोड़ और विपरीत दिशा में मोड़ दोनों के रूप में माना जा सकता है। जब मोबियस पट्टी पर मनमाने ढंग से चुना गया एक बिंदु इसके चारों ओर जाता है, तो एक दिशा लगातार दूसरी दिशा में बदल जाती है। उसी समय, "दाएं" को सूक्ष्म रूप से "बाएं" से बदल दिया जाता है। एक द्वि-आयामी प्राणी अपने आप में कोई परिवर्तन नहीं देखेगा। लेकिन वे अन्य ऐसे जीवों द्वारा और निश्चित रूप से, हमारे द्वारा देखे जाएंगे, जो देख रहे हैं कि दूसरे आयाम से क्या हो रहा है। यह ऐसी अप्रत्याशित, एकतरफा मोबियस सतह है।