वीडियो ट्यूटोरियल 2: तीन लंबवत प्रमेय। सिद्धांत

वीडियो ट्यूटोरियल 3: तीन लंबवत प्रमेय। टास्क

भाषण: एक सीधी रेखा और एक तल की लंबवतता, चिह्न और गुण; लंबवत और तिरछा; तीन लंबवत प्रमेय

एक रेखा और एक विमान की लंबवतता

आइए याद रखें कि सीधी रेखाओं की लंबवतता सामान्य रूप से क्या होती है। लंबवत वे सीधी रेखाएं हैं जो 90 डिग्री के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, उनके बीच का कोण किसी बिंदु पर चौराहे के मामले में और क्रॉसिंग के मामले में दोनों हो सकता है। यदि कुछ सीधी रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो उन्हें लंबवत सीधी रेखाएँ भी कहा जा सकता है, यदि, समानांतर स्थानान्तरण के कारण, सीधी रेखा दूसरी सीधी रेखा पर एक बिंदु पर स्थानांतरित हो जाती है।

परिभाषा:यदि सीधी रेखा समतल से संबंधित किसी भी सीधी रेखा के लंबवत है, तो इसे इस तल पर लंबवत माना जा सकता है।

संकेत:यदि किसी तल पर दो लंबवत रेखाएँ हों और कोई तीसरी रेखा उनमें से प्रत्येक के लंबवत हो, तो यह तीसरी रेखा तल पर लंबवत होती है।

गुण:

• यदि कुछ सीधी रेखाएँ एक तल पर लंबवत हों, तो वे परस्पर एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

• यदि दो समानांतर विमान हैं, साथ ही कुछ सीधी रेखाएं हैं जो एक तल के लंबवत हैं, तो यह दूसरे तल पर लंबवत है।
• आप विपरीत कथन भी बता सकते हैं: यदि कोई सीधी रेखा दो अलग-अलग विमानों के लंबवत है, तो ऐसे विमान आवश्यक रूप से समानांतर हैं।

परोक्ष

यदि कोई सीधी रेखा एक मनमाना बिंदु को जोड़ती है जो समतल पर स्थित किसी बिंदु के साथ समतल पर नहीं है, तो ऐसी सीधी रेखा कहलाती है परोक्ष.

कृपया ध्यान दें कि यह केवल तभी झुकता है जब इसके और विमान के बीच का कोण 90 डिग्री न हो।

आकृति में, AB का झुकाव समतल α की ओर है। इस मामले में, बिंदु बी को तिरछे का आधार कहा जाता है।

यदि आप बिंदु A से समतल तक एक खंड खींचते हैं, जो तल से 90 डिग्री का कोण बनाएगा, तो यह खंड लंबवत कहा जाएगा। लंब को तल से सबसे छोटी दूरी भी कहा जाता है।

एसी - बिंदु ए से विमान α पर लंबवत खींचा गया। इस मामले में, बिंदु C को लंब का आधार कहा जाता है।

यदि, इस चित्र पर, एक खंड खींचा गया है जो लंबवत (सी) के आधार को झुकाव (बी) के आधार से जोड़ देगा, तो परिणामी खंड को कहा जाएगा प्रक्षेपण.

सरल निर्माणों के परिणामस्वरूप, हमें एक समकोण त्रिभुज प्राप्त हुआ। इस त्रिभुज में कोण ABC को तिरछा और प्रक्षेपण के बीच का कोण कहा जाता है।

तीन लंबवत प्रमेय

"एक रेखा और एक विमान की लंबवतता" विषय पर कक्षा 10 में ज्यामिति में एक पाठ की रूपरेखा

पाठ मकसद:

शिक्षण

एक सीधी रेखा और एक तल के लंबवतता के संकेत का परिचय;

एक सीधी रेखा और एक तल के लम्बवत्ता, उनके गुणों के बारे में विद्यार्थियों के विचार बनाना;

विषय पर विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए छात्रों की क्षमता बनाने के लिए, बयानों को साबित करने की क्षमता;

विकसित होना

स्वतंत्रता, संज्ञानात्मक गतिविधि विकसित करना;

विश्लेषण करने, निष्कर्ष निकालने, प्राप्त जानकारी को व्यवस्थित करने की क्षमता विकसित करना,

तार्किक सोच विकसित करना;

स्थानिक कल्पना विकसित करें।

शिक्षात्मक

छात्रों के भाषण की संस्कृति की शिक्षा, दृढ़ता;

छात्रों में विषय के प्रति रुचि पैदा करना।

पाठ प्रकार:ज्ञान के अध्ययन और प्राथमिक समेकन में एक पाठ।

छात्र कार्य के रूप:ललाट सर्वेक्षण।

उपकरण:कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, स्क्रीन।

साहित्य:"ज्यामिति 10-11", पाठ्यपुस्तक। अतानासियन एल.एस. और आदि।

(2009, 255s।)

पाठ योजना:

संगठनात्मक क्षण (1 मिनट);

ज्ञान अद्यतन (5 मिनट);

नई सामग्री सीखना (15 मिनट);

अध्ययन की गई सामग्री का प्रारंभिक समेकन (20 मिनट);

संक्षेप (2 मिनट);

होमवर्क (2 मिनट)।

कक्षाओं के दौरान।

संगठनात्मक क्षण (1 मिनट)

छात्रों की ओर से बधाई। पाठ के लिए छात्रों की तत्परता की जाँच करना: नोटबुक, पाठ्यपुस्तकों की उपलब्धता की जाँच करना। पाठ से अनुपस्थित लोगों की जाँच करना।

ज्ञान अद्यतन (5 मिनट)

शिक्षक। किस रेखा को तल के लंबवत् कहा जाता है?

विद्यार्थी। इस तल में पड़ी किसी भी सीधी रेखा के लंबवत एक सीधी रेखा को इस तल पर लंबवत सीधी रेखा कहा जाता है।

शिक्षक। तीसरी ध्वनि के लंबवत दो समानांतर रेखाओं के बारे में लेम्मा कैसा दिखता है?

विद्यार्थी। यदि दो समानांतर रेखाओं में से एक तीसरी रेखा के लंबवत है, तो दूसरी रेखा इस रेखा पर लंबवत है।

शिक्षक। तल पर दो समांतर रेखाओं के लंबों पर प्रमेय।

विद्यार्थी। यदि दो समानांतर रेखाओं में से एक तल पर लंबवत है, तो दूसरी रेखा इस तल पर लंबवत है।

शिक्षक। विपरीत प्रमेय कैसा लगता है?

विद्यार्थी। यदि दो सीधी रेखाएँ एक ही तल पर लंबवत हों, तो वे समानांतर होती हैं।

होमवर्क चेक

छात्रों को इसे हल करने में कठिनाई होने पर होमवर्क की जाँच की जाती है।

नई सामग्री सीखना (15 मिनट)

शिक्षक। हम सभी जानते हैं कि यदि कोई सीधी रेखा किसी तल के लंबवत हो तो वह इस तल में पड़ी किसी भी सीधी रेखा के लंबवत होगी, लेकिन परिभाषा में एक सीधी रेखा की समतल को लंबवतता एक तथ्य के रूप में दी गई है। व्यवहार में, हालांकि, अक्सर यह निर्धारित करना आवश्यक होता है कि एक सीधी रेखा समतल पर लंबवत होगी या नहीं। जीवन से ऐसे उदाहरणों का हवाला दिया जा सकता है: इमारतों के निर्माण के दौरान, ढेर पृथ्वी की सतह पर लंबवत रूप से संचालित होते हैं, अन्यथा संरचना गिर सकती है। इस मामले में, सीधे लंबवत विमान की परिभाषा का उपयोग करना असंभव है। क्यों? आप एक समतल में कितनी रेखाएँ खींच सकते हैं?

विद्यार्थी। तल में अपरिमित रूप से बहुत सी सीधी रेखाएँ खींची जा सकती हैं

शिक्षक। सही। और प्रत्येक व्यक्तिगत तल पर एक सीधी रेखा की लंबवतता की जांच करना असंभव है, क्योंकि इसमें असीम रूप से लंबा समय लगेगा। यह समझने के लिए कि क्या एक सीधी रेखा एक समतल पर लंबवत है, हम एक सीधी रेखा और एक तल के लंबवतता का संकेत पेश करते हैं। इसे एक नोटबुक में लिख लें। यदि एक सीधी रेखा एक समतल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के लंबवत है, तो वह इस तल पर लंबवत है।

एक नोटबुक में लिखना। यदि एक सीधी रेखा एक समतल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के लंबवत है, तो वह इस तल पर लंबवत है।

शिक्षक। इस प्रकार, हमें प्रत्येक सीधी रेखा के लिए एक सीधी रेखा की लंबवतता की जांच करने की आवश्यकता नहीं है, यह केवल इस विमान की दो सीधी रेखाओं के लिए लंबवतता की जांच करने के लिए पर्याप्त है।

शिक्षक। आइए इस संकेत को साबित करें।

दिया गया: पीतथा क्यू- सीधे पंक्तियां, पी ∩ क्यू = हे, ए⊥ पी, ए⊥ क्यू, पी ϵ α, क्यू ϵ α.

साबित करें: ए⊥ α.

शिक्षक। और फिर भी, सबूत के लिए, हम सीधे लंबवत विमान की परिभाषा का उपयोग करेंगे, यह कैसा लगता है?

विद्यार्थी। यदि एक सीधी रेखा किसी समतल पर लंबवत होती है, तो वह इस तल में पड़ी किसी भी सीधी रेखा के लंबवत होती है।

शिक्षक। सही। समतल α में कोई भी रेखा m खींचिए। बिंदु O से होकर एक सीधी रेखा l m खींचिए। सीधी रेखा पर हम बिंदु A और B को इस प्रकार चिह्नित करते हैं कि बिंदु O खंड AB का मध्यबिंदु है। हम एक रेखा z खींचते हैं ताकि यह रेखाओं p, q, l को प्रतिच्छेद करे, इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु क्रमशः P, Q, L द्वारा दर्शाए जाएंगे। आइए रेखाखंड AB के सिरों को बिंदु P, Q और L से जोड़ते हैं।

शिक्षक। त्रिभुज APQ और BPQ के बारे में हम क्या कह सकते हैं?

विद्यार्थी। ये त्रिभुज बराबर होंगे (त्रिभुजों की समानता के 3 चिह्नों से)।

शिक्षक। क्यों?

विद्यार्थी। चूंकि सीधी रेखाएँ p और q लंबवत हैं, तो AP = BP, AQ = BQ, और भुजा PQ उभयनिष्ठ है।

शिक्षक। सही। त्रिभुज APL और BPL के बारे में हम क्या कह सकते हैं?

विद्यार्थी। ये त्रिभुज भी बराबर होंगे (त्रिभुजों की समानता के 1 चिह्न से)।

शिक्षक। क्यों?

विद्यार्थी। एपी = बीपी, पी एल- आम पक्ष, एपीएल =  गरीबी रेखा से नीचे(समानता . से एपीक्यूऔर बीपीक्यू)

शिक्षक। सही। तो एएल = बीएल। तो ALB क्या होगा?

विद्यार्थी। अत: ∆ALB समद्विबाहु होगा।

शिक्षक। ALB में माध्यिका LO है, तो इस त्रिभुज में क्या होगा?

विद्यार्थी। अतः LO भी ऊँचाई होगी।

शिक्षक। इसलिए सीधामैंसीधी रेखा के लंबवत होगाए... और चूंकि सीधेमैंक्या कोई सीधी रेखा समतल α से संबंधित है, तो परिभाषा के अनुसार सीधी रेखाए⊥ α. क्यू.ई.डी.

प्रस्तुति द्वारा सिद्ध

शिक्षक। लेकिन क्या होगा यदि रेखा a बिंदु O को नहीं काटती है, लेकिन रेखा p और q पर लंबवत रहती है? यदि सीधी रेखा a दिए गए तल के किसी अन्य बिंदु को काटती है?

विद्यार्थी। आप एक सीधी रेखा बना सकते हैं a 1 , जो सीधी रेखा a के समानांतर होगी, बिंदु O को काटेगी, और लेम्मा द्वारा तीसरी रेखा के लंबवत लगभग दो समानांतर सीधी रेखाएँ साबित की जा सकती हैं किए 1 ⊥ पी, ए 1 ⊥ क्यू.

शिक्षक। सही।

अध्ययन की गई सामग्री का प्रारंभिक समेकन (20 मिनट)

शिक्षक। हमारे द्वारा अध्ययन की गई सामग्री को समेकित करने के लिए, हम संख्या 126 को हल करेंगे। सत्रीय कार्य को पढ़ें।

विद्यार्थी। रेखा MB त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC पर लंबवत है। त्रिभुज MBD के प्रकार का निर्धारण करें, जहाँ D रेखा AC का एक मनमाना बिंदु है।

चित्रकारी।

दिया गया: एबीसी, एमबी⊥ बी 0 ए 0, एमबी⊥ ईसा पूर्व, डी ϵ एसी.

खोजें: एमबीडी.

समाधान।

शिक्षक। क्या आप त्रिभुज के शीर्षों से होकर एक तल खींच सकते हैं?

विद्यार्थी। हाँ आप कर सकते हैं। विमान को तीन बिंदुओं के साथ खींचा जा सकता है।

शिक्षक। इस तल के सापेक्ष सीधी रेखाएँ BA और CB किस प्रकार स्थित होंगी?

विद्यार्थी। ये रेखाएँ इस समतल में स्थित होंगी।

शिक्षक। यह पता चला है कि हमारे पास एक विमान है, और इसमें दो प्रतिच्छेदन रेखाएं हैं। रेखा MV इन रेखाओं से किस प्रकार संबंधित है?

विद्यार्थी। प्रत्यक्ष एमवीवीए, एमवी वी.एस.

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। चूंकि एमवीवीए, एमवी वीएस

शिक्षक। यदि एक सीधी रेखा समतल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के लंबवत हो, तो वह रेखा इस तल को संदर्भित करेगी?

विद्यार्थी। रेखा MB समतल ABC पर लंबवत होगी।

एबीसी।

शिक्षक। बिंदु D खंड AC पर एक मनमाना बिंदु है, तो सीधी रेखा BD समतल ABC से कैसे संबंधित होगी?

विद्यार्थी। अत: BD समतल ABC से संबंधित है।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। चूंकि बीडी ϵ एबीसी

शिक्षक। एक दूसरे के सापेक्ष सीधा एमबी और बीडी क्या होगा?

विद्यार्थी। ये रेखाएँ परिभाषा के अनुसार लंबवत होंगी, तल के लंबवत रेखा।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। एमवी⊥ बीडी

शिक्षक। यदि MB, BD पर लंबवत है, तो MBD त्रिभुज क्या होगा?

विद्यार्थी। MBD त्रिभुज आयताकार होगा।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। MBD - आयताकार।

शिक्षक। सही। आइए संख्या 127 को हल करें। असाइनमेंट पढ़ें।

विद्यार्थी। एक त्रिभुज मेंएबीसीकोणों का योग एतथा बी90 डिग्री के बराबर है। सीधाबीडीविमान के लंबवतएबीसी... साबित करो सीडी⊥ एसी।

छात्र ब्लैकबोर्ड पर जाता है। एक चित्र बनाता है।

बोर्ड पर और एक नोटबुक में लिखना।

दिया गया: एबीसी,  ए +  बी= 90 डिग्री, बीडी⊥ एबीसी.

साबित करें: सीडी⊥ एसी.

सबूत:

शिक्षक। त्रिभुज के कोणों का योग कितना होता है?

विद्यार्थी। त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है।

शिक्षक। त्रिभुज ABC में कोण C कितना है?

विद्यार्थी। त्रिभुज ABC में कोण C 90° होगा।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। सी = 180 डिग्री - ए - बी= 90 °

शिक्षक। यदि कोण С 90° के बराबर है, तो सीधी रेखाएँ AC और BC एक दूसरे के सापेक्ष किस प्रकार स्थित होंगी?

विद्यार्थी। तो एसीसूर्य।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। एसीसूरज

शिक्षक। रेखा BD समतल ABC पर लंबवत है। इससे क्या होता है?

विद्यार्थी। अत: BD, ABC से किसी भी सीधी रेखा पर लम्ब है।

बीडी⊥ एबीसी ↔ बीडीसे किसी भी सीधी रेखा के लंबवतएबीसी(ए-प्राथमिकता)

शिक्षक। तदनुसार, बीडी और एसी को कैसे निर्देशित किया जाएगा?

विद्यार्थी। इसका मतलब है कि ये रेखाएं लंबवत होंगी।

बीडी⊥ एसी

शिक्षक। AC, DBC तल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के लंबवत है, लेकिन AC प्रतिच्छेदन बिंदु से नहीं गुजरती है। इसे कैसे जोड़ेंगे?

विद्यार्थी। बिंदु B से होकर हम एक समांतर AC ​​एक सीधी रेखा खींचते हैं। चूँकि AC BC और BD पर लंबवत है, तो a भी BC पर और BD लेम्मा द्वारा लंबवत होगा।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। बिंदु B से होकर हम एक सीधी रेखा a AC ↔ a . खींचते हैं⊥ ईसा पूर्वऔर बीडी

शिक्षक। यदि सीधी रेखा a, BC और BD पर लंबवत है, तो सीधी रेखा a और समतल BDC की सापेक्ष स्थिति के बारे में क्या कहा जा सकता है?

विद्यार्थी। इसका अर्थ है कि रेखा a समतल BDC के लंबवत होगी, जिसका अर्थ है कि रेखा AC, BDC पर लंबवत होगी।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। ए⊥ बीडीसीएसी बीडीसी.

शिक्षक। यदि AC, BDC के लंबवत है, तो सीधे AC और DC एक-दूसरे के सापेक्ष किस प्रकार स्थित होंगे?

विद्यार्थी। एसी और डीसी विमान के लंबवत सीधी रेखा की परिभाषा के अनुसार लंबवत होंगे।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। चूंकि जैसा⊥ बीडीसीएसी डीसी

शिक्षक। बहुत बढ़िया। आइए 129 नंबर को हल करें। असाइनमेंट पढ़ें।

विद्यार्थी। सीधापूर्वाह्नवर्ग के तल के लंबवतऐ बी सी डीजिसके विकर्ण बिंदु O पर मिलते हैं। सिद्ध कीजिए कि: a) रेखाबीडीविमान के लंबवतएमो; बी)एमओ⊥ बीडी.

एक छात्र ब्लैकबोर्ड पर आता है। एक चित्र बनाता है।

बोर्ड पर और एक नोटबुक में लिखना।

दिया गया:ऐ बी सी डी- वर्ग,पूर्वाह्न⊥ ऐ बी सी डी, एसी ∩ बीडी = हे

साबित करें:बीडी⊥ एएमओ, एमओ⊥ बीडी

सबूत:

शिक्षक। हमें यह साबित करने की जरूरत है कि प्रत्यक्षबीडी⊥ एमो... इसके लिए किन शर्तों को पूरा करना होगा?

विद्यार्थी। इसे सीधा होना चाहिएबीडी समतल से कम से कम दो प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं के लंबवत थाएएमओ।

शिक्षक। शर्ते कहती हैबीडी से दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के लंबवतएएमओ?

विद्यार्थी। नहीं।

शिक्षक। लेकिन हम जानते हैं किपूर्वाह्न सीधाऐ बी सी डी ... इससे क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?

विद्यार्थी। क्या मतलबपूर्वाह्न इस तल से किसी भी सीधी रेखा पर लंबवत, अर्थात्पूर्वाह्न सीधाबी.डी.

पूर्वाह्न⊥ ऐ बी सी डी ↔ पूर्वाह्न⊥ बीडी(ए-प्राथमिक)।

शिक्षक। एक सीधी रेखा लंबवत हैबीडी वहाँ है। वर्ग पर ध्यान दें कि सीधी रेखाएं एक दूसरे के सापेक्ष कैसे स्थित होंगीएसी और बीडी?

विद्यार्थी। एसी लंबवत होगाबीडी वर्ग के विकर्णों के गुण से।

बोर्ड पर और एक नोटबुक में लिखना। चूंकिऐ बी सी डी- वर्ग, फिरएसी⊥ बीडी(वर्ग के विकर्णों के गुण से)

शिक्षक। हमने पाया कि दो प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाएँ समतल में पड़ी हुई हैंएमो सीधा सीधाबीडी ... इससे क्या होता है?

विद्यार्थी। क्या मतलबबीडी विमान के लंबवतएएमओ।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। चूंकिएसी⊥ बीडीतथापूर्वाह्न⊥ बीडी ↔ बीडी⊥ एमो(विशेषता के अनुसार)

शिक्षक। किस सीधी रेखा को तल पर लंबवत कहा जाता है?

विद्यार्थी। एक सीधी रेखा को एक समतल पर लंबवत कहा जाता है यदि वह इस तल से किसी भी सीधी रेखा के लंबवत हो।

शिक्षक। तो सीधी रेखाएँ परस्पर कैसे स्थित होती हैं?बीडी और ओम?

विद्यार्थी। तो बीडी सीधाओएम ... क्यू.ई.डी.

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। मैंबीडी⊥ एमओ(ए-प्राथमिक)। क्यू.ई.डी.

संक्षेप (2 मिनट)

शिक्षक। आज हमने एक रेखा और एक तल के लंबों के चिन्ह का अध्ययन किया है। यह कैसा लग रहा है?

विद्यार्थी। यदि एक सीधी रेखा समतल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के लंबवत हो, तो यह सीधी रेखा इस तल पर लंबवत होती है।

शिक्षक। सही। हमने समस्याओं को हल करते समय इस सुविधा को लागू करना सीख लिया है। जिसने ब्लैकबोर्ड पर जवाब दिया और मौके से मदद की, अच्छा किया।

होमवर्क (2 मिनट)

शिक्षक। पैराग्राफ 1, पैराग्राफ 15-17, सिखाएं: लेम्मा, परिभाषा और सभी प्रमेय। नंबर 130, 131।

अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएं लंबवत कहलाती हैं यदि उनके बीच का कोण 90 o हो।

चावल। 37	लंबवत रेखाएं प्रतिच्छेद कर सकती हैं और पार की जा सकती हैं। लेम्मा।यदि दो समानांतर रेखाओं में से एक तीसरी रेखा के लंबवत है, तो दूसरी रेखा इस रेखा पर लंबवत है। परिभाषा।एक सीधी रेखा को तल पर लंबवत कहा जाता है यदि वह तल में पड़ी किसी भी सीधी रेखा के लंबवत हो। वे यह भी कहते हैं कि तल सीधी रेखा a के लंबवत है।
चावल। 38	यदि सीधी रेखा a तल के लंबवत है, तो यह स्पष्ट रूप से इस तल को काटती है। वास्तव में, यदि सीधी रेखा a समतल को नहीं काटती है, तो वह इस तल में स्थित होगी या इसके समानांतर होगी। लेकिन किसी भी स्थिति में, समतल में ऐसी सीधी रेखाएँ होंगी जो सीधी रेखा के लंबवत नहीं हैं, लेकिन उदाहरण के लिए, इसके समानांतर सीधी रेखाएँ, जो असंभव है। अत: सीधी रेखा a तल को काटती है।

सीधी रेखाओं की समांतरता और तल से उनकी लंबवतता के बीच संबंध।

एक सीधी रेखा और एक समतल के लंबवतता का चिन्ह।

टिप्पणियां।

1. अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से, एक सीधी रेखा के लंबवत एक विमान होता है, और इसके अलावा, केवल एक ही।
2. किसी दिए गए विमान के लंबवत एक सीधी रेखा अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से गुजरती है, और इसके अलावा, केवल एक।
3. यदि दो तल एक सीधी रेखा के लंबवत हैं, तो वे समानांतर हैं।

"विषय 5." विषय पर समस्याएं और परीक्षण। एक रेखा और एक विमान की लंबवतता।

• एक रेखा और एक विमान की लंबवतता
• डायहेड्रल कोण। विमानों की लंबवतता - रेखाओं और विमानों की लंबवतता कक्षा 10

  पाठ: 1 कार्य: 10 टेस्ट: 1

• लंबवत और तिरछा। रेखा और समतल के बीच का कोण - रेखाओं और विमानों की लंबवतता कक्षा 10

  पाठ: 2 कार्य: 10 परीक्षण: 1

• सीधी रेखाओं, सीधी रेखा और समतल की समानता - रेखाओं और विमानों की समानता 10 वर्ग

  पाठ: 1 कार्य: 9 परीक्षण: 1

• लंबवत सीधी रेखाएं - बुनियादी ज्यामितीय सूचना ग्रेड 7

  पाठ: 1 कार्य: 17 परीक्षण: 1

विषय की सामग्री योजनामिति से आपको ज्ञात सीधी रेखाओं की लंबवतता के बारे में जानकारी को सारांशित और व्यवस्थित करती है। यह सलाह दी जाती है कि समांतरता और अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं और विमानों की लंबवतता के बीच संबंध पर प्रमेयों के अध्ययन के साथ-साथ लंबवत और झुके हुए लोगों पर सामग्री, प्लैनिमेट्री से संबंधित सामग्री की एक व्यवस्थित पुनरावृत्ति के साथ संयोजित करने की सलाह दी जाती है।

लगभग सभी गणना समस्याओं का समाधान पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग और उसके परिणामों तक सीमित कर दिया गया है। कई समस्याओं में, पाइथागोरस प्रमेय या उसके परिणामों का उपयोग करने की संभावना को तीन लंबों पर प्रमेय या समतलों की समांतरता और लंबवतता के गुणों द्वारा उचित ठहराया जाता है।

ज्यामिति
10 ग्रेड के लिए पाठ योजनाएं

विषयवस्तु। एक सीधी रेखा और एक दूसरे के लंबवत समतल के गुण

पाठ का उद्देश्य: लंबवत रेखाओं और विमानों के गुणों के बारे में छात्रों के ज्ञान का निर्माण।

उपकरण: स्टीरियोमेट्रिक सेट, आरेख "सीधी रेखाओं के गुण और एक दूसरे के लंबवत समतल" (पृष्ठ 116)।

कक्षाओं के दौरान

I. होमवर्क की जाँच करना

1. समस्या संख्या 10 के समाधान की सामूहिक चर्चा।

2. गणितीय श्रुतलेख।

एक घन की छवि दी गई है: विकल्प 1 - अंजीर। 151, विकल्प 2 - अंजीर। 152.

छवि का उपयोग करते हुए, लिखिए:

1) एक समतल जो सीधी रेखा AM के बिंदु M से होकर गुजरता है और उस पर लंबवत है; (2 अंक)

2) एक सीधी रेखा जो समतल ABC पर लंबवत है और बिंदु D से होकर गुजरती है; (2 अंक)

3) एक सीधी रेखा जो समतल ABC पर लंबवत है और बिंदु N से होकर गुजरती है; (2 अंक)

4) एक समतल जो सीधी रेखा BD पर लंबवत है; (2 अंक)

5) एएमसी के तल के लंबवत सीधी रेखाएं; (2 अंक)

6) वे तल जो रेखा DC के लंबवत हैं। (2 अंक)

विकल्प 1.1) (एमएनके); 2) केडी; 3) बीएन; 4) (एएफएम); 5) बीडी और केएन; 6) (एडीके) और (बीसीएल)।

विकल्प 2.1) (एमएनके); 2) डीएल; 3) सीएन; 4) (एएफएम); 5) बीडी और केएल; 6) (बीसीएन) और (एडीएम)।

द्वितीय. नई सामग्री की धारणा और जागरूकता

एक सीधी रेखा और एक दूसरे के लंबवत समतल के गुण

प्रमेय 1।

यदि विमान दो समानांतर सीधी रेखाओं में से एक के लंबवत है, तो यह दूसरे के लिए भी लंबवत है।

लाना

चलो a1 || a2 और a1α. आइए हम सिद्ध करें कि αа2 (चित्र 153)। बिंदु A1 और A2 समतल α के साथ a1 और a2 के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

समतल α से बिंदु A2 में हम एक मनमाना सीधी रेखा x2 और बिंदु A1 से होकर एक ऐसी रेखा x1 खींचते हैं कि x1 || x2. चूँकि a1 || ए2, एक्स1 || x2 और a1x1, फिर प्रमेय 3.1 a2x2 द्वारा। चूंकि 2 को विमान α में मनमाने ढंग से चुना जाता है, फिर a2α।

प्रमेय 2।

यदि दो रेखाएँ एक ही तल पर लंबवत हों, तो ये रेखाएँ समानांतर होती हैं।

लाना

चलो aα, b α। आइए हम साबित करें कि एक || बी (अंजीर। 154)। मान लीजिए एबी। फिर सीधी रेखा b के बिंदु C से होकर a के समांतर b 1 खींचिए। और α के बाद से, सिद्ध प्रमेय द्वारा b1α, और शर्त bα द्वारा। यदि बिंदु A और B समतल α के साथ रेखाओं b 1 और b के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, तो यह इस धारणा से अनुसरण करता है कि त्रिभुज A = B = 90 ° में, जो नहीं हो सकता। इसलिए, एक || बी।

समस्याओं को सुलझा रहा

1. चतुर्भुज AA 1B 1B का प्रकार निर्धारित करें यदि:

क) एए1α; एए1 || बीबी1; Aα, Bα; एए 1 बीबी1 (चित्र 155);

बी) एए1α; BB1α; α, α (चित्र। 156);

ग) α; α; एए1α; BB1α; AA1 = BB1 (चित्र 156)।

2. पाठ्यपुस्तक से समस्या संख्या 12 (पृष्ठ 35)।

3. पाठ्यपुस्तक से समस्या संख्या 13 (पृष्ठ 35)।

4. पाठ्यपुस्तक से समस्या संख्या 16 (पृष्ठ 35)।

प्रमेय 3.

यदि एक सीधी रेखा दो समानांतर विमानों में से एक के लंबवत है, तो यह दूसरे के लिए लंबवत है।

लाना

चलो α || β, α. आइए हम सिद्ध करें कि α β. (अंजीर। 157)। बिंदु A और B को समतल α और β के साथ सीधी रेखा a के प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें। समतल β में, बिंदु B से होकर जाने वाली एक मनमाना सीधी रेखा b खींचिए। रेखा b और बिंदु A से होकर हम एक समतल γ खींचते हैं, जो α को रेखा c के अनुदिश और || बी। और चूंकि α, फिर ac (तल के लंबवत सीधी रेखा की परिभाषा के अनुसार)। तो एसी, बी || सी और ए, बी, सी γ में झूठ बोलते हैं, फिर एबी। यह ध्यान में रखते हुए कि बी विमान β की एक मनमानी सीधी रेखा है, हमारे पास aβ है।

प्रमेय 4.

यदि दो विमान एक ही सीधी रेखा के लंबवत हैं, तो वे समानांतर हैं।

लाना

मान लीजिए α a β a, आइए हम सिद्ध करें कि α || β (अंजीर। 158)। बिंदु A और B को समतल α और β के साथ सीधी रेखा a के प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें। मान लीजिए α β। समतल α और β के प्रतिच्छेदन रेखा पर बिंदु C लें। Ca, क्योंकि अन्यथा दो अलग-अलग विमान α और β सीधी रेखा a के लंबवत बिंदु C से होकर गुजरेंगे, जो असंभव है। आइए हम बिंदु C और सीधी रेखा a से होकर समतल खींचते हैं, यह तल क्रमशः α और β को सीधी रेखाओं AC और BC के अनुदिश प्रतिच्छेद करता है। और α के बाद से, aAC, aBC के समान। नतीजतन, विमान α में बिंदु सी के माध्यम से दो अलग-अलग सीधी रेखाएं एसी और बीसी हैं, जो सीधी रेखा ए के लंबवत हैं, जो असंभव है। इसलिए, α || β.

समस्याओं को सुलझा रहा

1. मान लीजिए ABCD एक आयत है, BSAB, AMAB (आकृति 159)। एएमडी और बीएससी विमान कैसे स्थित हैं?

2. बी1β; AA1α, AA1β; बी बी1 || एए1; AA1 = 12 सेमी, A1B = 13 सेमी (चित्र 160)। एबी खोजें।

परिभाषा। एक समतल को प्रतिच्छेद करने वाली एक सीधी रेखा इस तल पर लंबवत कहलाती है यदि यह किसी भी सीधी रेखा के लंबवत हो जो इस तल में स्थित हो और प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरती हो।
संकेतएक सीधी रेखा और एक तल की लंबवतता।यदि एक सीधी रेखा समतल की दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के लंबवत है, तो वह इस तल पर लंबवत है।
सबूत। रहने दो ए- सीधी रेखा के लंबवत सीधी रेखा बीतथा साथविमान से संबंधित ए... A सीधी रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। विमान में एबिंदु A से होकर एक सीधी रेखा खींचना डीसीधी रेखाओं से मेल नहीं खाता बीतथा साथ... अब विमान में एआइए एक सीधी रेखा खींचते हैं कसीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करना डीतथा साथऔर बिंदु A से नहीं गुजरता है। प्रतिच्छेदन बिंदु, क्रमशः, D, B और C। रेखा पर रखें एबिंदु A से अलग-अलग दिशाओं में समान खंड AA 1 और AA 2। त्रिभुज А 1 CA 2 समद्विबाहु है, क्योंकि स्पीकर की ऊंचाई भी माध्यिका (फीचर 1) है, अर्थात। ए 1 सी = सीए 2. इसी प्रकार, एक त्रिभुज में A 1 BA 2 भुजाएँ A 1 B और BA 2 बराबर हैं। नतीजतन, त्रिभुज А 1 और А 2 तीसरी विशेषता के अनुसार बराबर हैं। इसलिए, कोण А 1 D और А 2 D बराबर हैं। इसका अर्थ है कि त्रिभुज A 1 BD और A 2 BD पहले चिह्न में बराबर हैं। इसलिए, ए 1 डी और ए 2 डी। इसलिए त्रिभुज ए 1 डीए 2 परिभाषा के अनुसार समद्विबाहु है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में A 1 D A 2 डी A माध्यिका है (निर्माण से), और इसलिए ऊँचाई, यानी कोण A 1 AD सीधा है, जिसका अर्थ है सीधा एएक सीधी रेखा के लंबवत डी।इस प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि रेखा एबिंदु A से होकर जाने वाली और समतल से संबंधित किसी भी सीधी रेखा के लम्बवत ए... यह परिभाषा से इस प्रकार है कि सीधी रेखा एविमान के लंबवत ए.

इमारतइस तल के बाहर किसी बिंदु से किसी दिए गए तल पर लंबवत एक सीधी रेखा।
रहने दो ए- समतल, A - वह बिंदु जहाँ से लंब को नीचे किया जाना चाहिए। समतल में कुछ सीधी रेखा खींचिए ए... बिंदु A और रेखा से होकर एएक विमान खींचना बी(एक रेखा और एक बिंदु एक विमान को परिभाषित करते हैं, और केवल एक)। विमान में बीबिंदु A से हम सीधी रेखा पर गिरते हैं एलंबवत एबी। समतल में बिंदु B से एहम लंबवत को पुनर्स्थापित करते हैं और उस रेखा को निरूपित करते हैं जिस पर यह लंबवत स्थित है साथ... खंड AB और सीधी रेखा से होकर साथएक विमान खींचना जी(दो प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाएं एक समतल को परिभाषित करती हैं, और केवल एक)। विमान में जीबिंदु A से हम सीधी रेखा पर गिरते हैं साथलंबवत एसी। आइए हम सिद्ध करें कि खंड AC तल पर लंबवत है बी... सबूत। सीधा एसीधी रेखाओं के लंबवत साथऔर AB (निर्माण द्वारा), जिसका अर्थ है कि यह समतल के लंबवत है जीजिसमें ये दो प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाएं (एक सीधी रेखा और एक तल के लंबवतता के चिह्न के अनुसार) स्थित होती हैं। और चूँकि यह इस तल पर लंबवत है, तो यह लंबवत है और इस तल में कोई भी सीधी रेखा, फिर एक सीधी रेखा एस्पीकर के लंबवत। सीधी रेखा AS समतल α में पड़ी दो सीधी रेखाओं के लंबवत है: साथ(निर्माण द्वारा) और ए(जो साबित हो चुका है उसके अनुसार), तो यह विमान α के लंबवत है (रेखा और विमान की लंबवतता की कसौटी के अनुसार)

प्रमेय 1 ... यदि दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएँ क्रमशः दो लंबवत सीधी रेखाओं के समानांतर हों, तो वे भी लंबवत होती हैं।
सबूत। रहने दो एतथा बी- लंबवत सीधी रेखाएँ, ए 1 और बी 1 - उनके समानांतर सीधी रेखाओं को काटना। आइए हम सिद्ध करें कि रेखाएं ए 1 और बी 1 लंबवत हैं।
अगर सीधा ए, बी, ए 1 और बी 1 एक ही तल में हैं, तो उनके पास प्रमेय में दर्शाए गए गुण हैं, जैसा कि प्लैनिमेट्री से जाना जाता है।
आइए अब मान लें कि हमारी रेखाएं एक ही तल में नहीं होती हैं। फिर सीधा एतथा बीकिसी समतल α और सीधी रेखाओं में लेटें ए 1 और बी 1 - किसी विमान में β। तलों की समांतरता के आधार पर, तल α और β समानांतर होते हैं। मान लीजिए रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है एतथा बी, और С 1 - सीधी रेखाओं के चौराहे ए 1 और बी 1. आइए हम समांतर रेखाओं के तल में आरेखण करें एतथा ए एतथा ए 1 अंक ए और ए 1 पर। समानांतर रेखाओं के तल में बीतथा बी 1 सीधी रेखा सीधी CC के समांतर 1. वह हद पार कर जाएगी बीतथा बी 1 बिंदु बी और बी 1 पर।
चतुर्भुज सीएए 1 सी 1 और एसवीबी 1 सी 1 समांतर चतुर्भुज हैं, क्योंकि उनके विपरीत पक्ष समानांतर हैं। चतुर्भुज ABB 1 A 1 भी एक समांतर चतुर्भुज है। उसकी भुजाएँ AA 1 और BB 1 समानांतर हैं, क्योंकि उनमें से प्रत्येक सीधी रेखा CC 1 के समानांतर है। इस प्रकार, चतुर्भुज समांतर रेखाओं AA 1 और BB 1 से गुजरने वाले समतल में स्थित है। और यह समांतर तलों α और β को समांतर रेखाओं AB और A 1 B 1 के अनुदिश काटती है।
चूँकि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान हैं, इसलिए AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 है। समानता के तीसरे चिन्ह के अनुसार त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 बराबर हैं। तो, कोण A 1 C 1 B 1, कोण ACB के बराबर, एक सीधी रेखा, यानी। सीधा ए 1 और बी 1 लंबवत हैं। छ. टी.डी.

गुणसीधी रेखा और तल के लंबवत।
प्रमेय 2 ... यदि एक विमान दो समानांतर सीधी रेखाओं में से एक के लंबवत है, तो यह दूसरे के लिए लंबवत है।
सबूत। रहने दो ए 1 और ए 2 - दो समानांतर रेखाएँ और α - समतल, रेखा के लंबवत ए 1. आइए हम सिद्ध करें कि यह तल रेखा के लंबवत है ए 2 .
बिंदु A 2 से होकर सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन करें ए 2 समतल α के साथ एक मनमाना सीधी रेखा साथ 2 विमान α में। आइए हम सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन के बिंदु A 1 से होकर समतल α खींचते हैं ए 1 समतल α के साथ, एक सीधी रेखा साथ 1 एक सीधी रेखा के समानांतर साथ 2. चूंकि सीधे ए 1 समतल α के लंबवत है, फिर सीधी रेखाएं ए 1 और साथ 1 लंबवत हैं। और प्रमेय 1 द्वारा, समांतर प्रतिच्छेदी रेखाएं ए 2 और साथ 2 भी लंबवत हैं। इस प्रकार, सीधे ए 2 किसी भी सीधी रेखा के लंबवत साथ 2 विमान α में। इसका मतलब है कि सीधे ए 2 समतल α के लंबवत है। प्रमेय सिद्ध होता है।

प्रमेय 3 ... एक ही तल पर लंबवत दो सीधी रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।
हमारे पास एक विमान α और दो सीधी रेखाएं लंबवत हैं एतथा बी... आइए साबित करें कि ए || बी.
समतल की सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर एक सीधी रेखा खींचिए साथ... मानदंड के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं ए ^ सीतथा बी ^ सी... सीधे . के माध्यम से एतथा बीएक विमान बनाएं (दो समानांतर रेखाएं एक विमान को परिभाषित करती हैं और, इसके अलावा, केवल एक)। इस तल में, हमारे पास दो समानांतर रेखाएँ हैं एतथा बीऔर secant साथ... यदि भीतरी एक तरफा कोणों का योग 180° है, तो सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं। हमारे पास ऐसा ही एक मामला है - दो समकोण। इसीलिए ए || बी.