समानांतर मोड़ उदाहरण। समानांतर अनुवाद और रोटेशन। किसी बिंदु का किसी बिंदु के चारों ओर घूमना क्या कहलाता है

पाठ योजना

पूरा नामलुबाकोवा मारिया वासिलिवेना

काम की जगहसमझौता ज्ञापन "माध्यमिक विद्यालय संख्या 34", रियाज़ान

स्थानअध्यापक

विषयज्यामिति

कक्षा 9

विषय में विषय और पाठ संख्याआंदोलन, पाठ संख्या 3

मूल ट्यूटोरियलज्यामिति। 7-9 ग्रेड। एल.एस. अतानासियन, वी.एफ., बुटुज़ोव, एस.बी. कदोमत्सेव और अन्य।

पाठ का उद्देश्य:नए प्रकार की गति और उनके गुणों का अध्ययन।

. कार्य:

- शैक्षिकछात्रों को नए प्रकार के आंदोलन से परिचित कराएं

-विकसित होनाछात्रों की स्वतंत्र रूप से काम करने की क्षमता विकसित करना

शिक्षात्मकप्राकृतिक और गणितीय विषयों के समग्र दृष्टिकोण की शिक्षा, अंतःविषय कनेक्शन की स्थापना; सामान्यीकरण और विश्लेषण कौशल का विकास।

पाठ प्रकारनई सामग्री की व्याख्या करने वाला पाठ

छात्र कार्य के रूपव्यावहारिक कार्य, कंप्यूटर मॉडल के साथ काम करना।

आवश्यक तकनीकी उपकरणनेटवर्क कनेक्शन के साथ कंप्यूटर लैब, प्रोजेक्टर

पाठ की संरचना और प्रक्रिया

प्रयुक्त ईएसएम का नाम

(तालिका 2 से क्रम संख्या के संकेत के साथ)

शिक्षक गतिविधि

(ईएसएम के साथ कार्रवाइयों का संकेत, उदाहरण के लिए, प्रदर्शन)

छात्र गतिविधियां

समय

(मिनटों में)

संगठनात्मक

पाठ के लिए छात्रों की तत्परता की जाँच करना, आगे की गतिविधियों के लिए छात्रों के सकारात्मक मनोदशा के लिए परिस्थितियाँ बनाना

1 मिनट

बुनियादी ज्ञान का अद्यतन

1. आंदोलन की अवधारणा। पी2

पिछले पाठ में, हम एक समतल को स्वयं पर प्रतिचित्रित करने और गति करने की अवधारणा से परिचित हुए .

कक्षा के लिए प्रश्न:

बताएं कि प्लेन-टू-सेल्फ मैपिंग क्या है।

आप किस प्रकार के डिस्प्ले को जानते हैं?

प्लेन मोशन क्या है?

खंड किस आकार में गति में प्रदर्शित होता है? त्रिकोण?

क्या यह सच है कि चलते समय किसी भी आकृति को एक समान आकृति पर मैप किया जाता है?

मॉड्यूल से कार्य पूरा करें।

सवालों के जवाब

मॉड्यूल में आंदोलन की अवधारणा को न दोहराने का कार्य करें।

5 मिनट

नई सामग्री की व्याख्या।

2. समानांतर स्थानांतरण।

आज हम दो और प्रकार के आंदोलन से परिचित होंगे। उन्हें कहा जाता है समानांतर अनुवाद और रोटेशन(अब आप इस प्रकार के आंदोलन के बारे में एक कहानी सुनेंगे।

कंप्यूटर व्याख्यान - स्थानांतरण।

एक वेक्टर पर समानांतर अनुवाद अपने आप में विमान का एक मानचित्रण है, जिसमें बिंदु A ऐसे बिंदु A से जुड़ा होता है, जो
.

गुण:

आंदोलन है;

सीधी रेखाओं और किरणों की दिशा रखता है,

अभिविन्यास बनाए रखता है।

एक नोटबुक में एक खंड बनाएं अबऔर वेक्टर . आइए एक सेगमेंट बनाएं लेकिन 1 में 1 , जो खंड से प्राप्त किया जाएगा अबवेक्टर के समानांतर अनुवाद .

गणित में हम पहले से ही समानांतर अनुवाद के साथ कहाँ मिले हैं? - फ़ंक्शन ग्राफ़ (स्लाइड) प्लॉट करते समय। अनुवाद वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करने का प्रयास करें?

विषय को अपनी नोटबुक और बोर्ड पर लिखें। व्याख्यान सुनें सुनने के बाद, आंदोलन और गुणों के नाम लिखें, एक चित्र बनाएं।

एक नोटबुक में एक चित्र बनाएं।

स्लाइड की समीक्षा करें और प्रश्न का उत्तर दें।

15 मिनट

3. मोड़

व्याख्यान की निरंतरता - बारी।

हम एक नोटबुक में परिभाषा लिखते हैं और प्रोजेक्टर से एक चित्र बनाते हैं:

केंद्र O के चारों ओर विमान को एक कोण से घुमाएँ - स्वयं पर समतल का परावर्तन, जिसमें O→O, M→M 1 और ओएम = ओएम 1 ,  आईओएम 1 = .

व्याख्यान की निरंतरता

संपत्ति: रोटेशन एक आंदोलन है।

कार्यों की साजिश रचते समय रोटेशन को भी देखा जा सकता है (उदाहरण स्लाइड पर)।

एक नोटबुक में आंदोलन का नाम, परिभाषा लिखें और स्क्रीन से एक चित्र बनाएं।

संपत्ति को एक नोटबुक में लिखें।

गति में आकृतियों के निर्माण पर समस्याओं का समाधान।

और अब हम अनुवाद और रोटेशन द्वारा प्राप्त आंकड़ों का निर्माण करते हैं।

1) एक त्रिभुज ABC और त्रिभुज के बाहर एक बिंदु खींचिए। दिए गए त्रिभुज को सदिश AO में स्थानांतरित करके प्राप्त त्रिभुज की रचना कीजिए।

2) एक वर्ग बनाएं एबीसीडीऔर उस वर्ग की रचना कीजिए जो दिए गए बिंदु के चारों ओर घुमाकर प्राप्त होता है लेकिन 120 पर।

अपनी नोटबुक में असाइनमेंट करें।

7 मिनट

4. "गणितीय निर्माता"

किसी दिए गए वेक्टर में समानांतर स्थानांतरण द्वारा किसी दिए गए से प्राप्त एक आकृति के निर्माण का कार्य।

रोटेशन की मदद से निर्माण का कार्य।

जैसा कि आप देख सकते हैं, कागज पर चलते हुए आकृतियों के प्रतिबिम्ब बनाना कठिन है। आइए कंप्यूटर का लाभ उठाएं।

एक षट्भुज ABCD दिया है

E पर केंद्रित एक वर्ग और एक वृत्त दिया गया है; बिंदु K, जो एक वर्ग से संबंधित है; और बिंदु G, जो एक वर्ग से संबंधित नहीं है। वृत्त पर एक बिंदु N की रचना कीजिए ताकि KGN =120 हो।

उस त्रिभुज की रचना कीजिए जो दिए गए त्रिभुज ABC से प्राप्त होता है

a) बिंदु A को 60 दक्षिणावर्त कोण पर घुमाते हुए - इसे नीला रंग दें;

बी) एक बिंदु के चारों ओर घूमना से 40 के कोण पर वामावर्त - इसे पीला रंग दें

गणितीय कंस्ट्रक्टर का उपयोग करके कंप्यूटर पर कार्य करें।

कार्य 1 और 2 के लिए, रिक्त स्थान का उपयोग किया जाता है। टास्क 3 पूरी तरह से स्वतंत्र रूप से किया जाता है। फ़ाइलें एक नेटवर्क फ़ोल्डर में संग्रहीत हैं।

12 मिनट

सारांश

आइए आपके परिणामों की समीक्षा करें। हम नेटवर्क पर छात्रों के काम को चुनिंदा रूप से देखते हैं।

कक्षा के लिए प्रश्न: क्या आंदोलन के माने जाने वाले प्रकार के कंप्यूटर मॉडल बनाना सुविधाजनक है? इसका फायदा क्या है? नकारात्मक पक्ष क्या है?

काम के परिणामों के आधार पर, ग्रेड दिए जाते हैं।

गृहकार्य: पृष्ठ 116, 117, संख्या 1170, 1163 (बी) (बोर्ड के पीछे लिखा हुआ।

वे सहपाठियों के काम के परिणामों को देखते हैं, काम के बारे में अपनी राय व्यक्त करते हैं।

5 मिनट

साहित्य

"ज्यामिति", ग्रेड 7-9, अतानासियन एल.एस., बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी., पॉज़्न्याक ई.जी., युदीना आई.आई.

पाठ योजना के लिए अनुलग्नक

समानांतर अनुवाद और रोटेशन

तालिका 2।

इस पाठ में प्रयुक्त ईईआर की सूची

व्यावहारिक

समानांतर स्थानांतरण।

सूचना

एनीमेशन

एचटीटीपी :// स्कूल - संग्रह . एडू . एन / सूची / रेस / सी 25 डी 57 बी 1-5115-4 बी 0 ए 0 1-91 डी 9-1091 सी 1616200/ दृश्य /

आइए हम सदिश पर समानांतर अनुवाद की परिभाषा का परिचय दें। आइए हमें एक सदिश $\overrightarrow(a)$ दिया जाए।

परिभाषा 1

वेक्टर $\overrightarrow(a)$ पर समानांतर अनुवाद - अपने आप पर विमान का एक मानचित्रण, जिसमें किसी भी बिंदु $M$ को एक बिंदु $M_1$ पर मैप किया जाता है जैसे कि $\overrightarrow((MM)_1)=\overrightarrow (ए) $ (चित्र 1)।

चित्र 1. समानांतर स्थानांतरण

हम निम्नलिखित प्रमेय का परिचय देते हैं।

प्रमेय 1

समानांतर स्थानांतरण एक आंदोलन है।

प्रमाण।

आइए हम अंक $M\ और\ N$ दिए जाएं। इन बिंदुओं को क्रमशः $M_1$ और $N_1$ बिंदुओं पर मैप करने दें, जब उन्हें क्रमशः वेक्टर $\overrightarrow(a)$ में स्थानांतरित किया जाता है (चित्र 2)।

चित्र 2. प्रमेय का चित्रण 1

चूंकि, परिभाषा 1 के अनुसार, $\overrightarrow((MM)_1)=\overrightarrow(a)$ और $\overrightarrow((NN)_1)=\overrightarrow(a)$, तो $\overrightarrow((MM) _1) =\overrightarrow((NN)_1)$, इसलिए, समान सदिशों की परिभाषा से हमें प्राप्त होता है

इसलिए चतुर्भुज $(MM)_1N_1N$ एक समांतर चतुर्भुज है और, परिणामस्वरूप, $MN=M_1N_1$। यही है, समानांतर अनुवाद बिंदुओं के बीच की दूरी को बरकरार रखता है। इसलिए, समानांतर अनुवाद एक आंदोलन है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

आइए हम कोण $\alpha $ के माध्यम से बिंदु $O$ के चारों ओर एक रोटेशन की परिभाषा का परिचय दें।

परिभाषा 2

बिंदु $O$ के चारों ओर एक कोण $\alpha $ के चारों ओर एक घुमाव स्वयं पर विमान का मानचित्रण है, जिसमें किसी भी बिंदु $M$ को एक बिंदु $M_1$ पर मैप किया जाता है जैसे कि $(OM)_1=OM,\ \angle M(OM)_1 =\angle \alpha $ (चित्र 3)।

चित्रा 3. रोटेशन

हम निम्नलिखित प्रमेय का परिचय देते हैं।

प्रमेय 2

एक मोड़ एक आंदोलन है।

प्रमाण।

आइए हम अंक $M\ और\ N$ दिए जाएं। उन्हें क्रमशः $M_1$ और $N_1$ बिंदुओं पर मैप करने दें, जब वे बिंदु $O$ के चारों ओर क्रमशः $\alpha $ कोण से घूमते हैं (चित्र 4)।

चित्र 4. प्रमेय 2 . का चित्रण

चूंकि, परिभाषा 2 के अनुसार, $(OM)_1=OM,\ (ON)_1=ON$ और $\overrightarrow((NN)_1)=\overrightarrow(a)$, a,$\angle MON=\angle M_1ON_1 $, फिर

इसलिए, $MN=M_1N_1$। यही है, रोटेशन बिंदुओं के बीच की दूरी को बरकरार रखता है। इसलिए, एक मोड़ एक आंदोलन है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समानांतर अनुवाद और रोटेशन के कार्यों के उदाहरण

उदाहरण 1

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज $ABC$ (समकोण $B)$ के कोण $(45)^0$ द्वारा बिंदु $B$ के चारों ओर एक घूर्णन द्वारा गठित त्रिभुज $A_1B_1C_1$ का निर्माण करें।

समाधान।

जाहिर है, बिंदु $B$ अपने आप में जाएगा, अर्थात $B_1=B$। चूंकि रोटेशन $(45)^0$ के बराबर कोण के माध्यम से किया जाता है, और त्रिभुज $ABC$ समद्विबाहु है, रेखा $BA_1$ बिंदु $L$ से होकर गुजरती है, पक्ष $AC$ का मध्य बिंदु। परिभाषा से,

घूर्णन गति की एक विशेष स्थिति है जिसमें तल का कम से कम एक बिंदु (अंतरिक्ष) गतिहीन रहता है। जब विमान घूमता है, तो निश्चित बिंदु को रोटेशन का केंद्र कहा जाता है, जब अंतरिक्ष घूमता है, तो निश्चित रेखा को रोटेशन की धुरी कहा जाता है। एक विमान (अंतरिक्ष) के घूर्णन को उचित (पहले प्रकार का घूर्णन) या अनुचित (दूसरे प्रकार का घूर्णन) कहा जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यह विमान (अंतरिक्ष) के उन्मुखीकरण को बरकरार रखता है या नहीं।

आयताकार कार्टेशियन निर्देशांक में एक विमान पर, सूत्रों द्वारा उचित रोटेशन व्यक्त किया जाता है

एक्स" = एक्स कॉस? - वाई पाप?, वाई" = एक्स पाप? + वाई कॉस ?,

रोटेशन का कोण कहां है, और मूल बिंदु पर रोटेशन का केंद्र चुना जाता है। उन्हीं शर्तों के तहत, विमान के अनुचित घुमाव को सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

x" = xcos? + y sin?, y" = x sin? - y cos?.

एक बिंदु S के चारों ओर एक निर्देशित कोण ѓї द्वारा एक विमान का घूर्णन अपने आप में विमान का ऐसा मानचित्रण है जो विमान के प्रत्येक बिंदु M को एक बिंदु M पर ले जाता है जैसे कि SM = SM और निर्देशित कोण MSM बराबर है करने के लिए .

बिंदु S को रोटेशन का केंद्र कहा जाता है, और निर्देशित कोण को रोटेशन का कोण कहा जाता है। याद रखें कि एक कोण को निर्देशित कहा जाता है यदि यह इंगित किया जाता है कि इसके किस पक्ष को पहला माना जाता है, और कौन सा - दूसरा।

हम रोटेशन को दर्शाने के लिए प्रतीक का उपयोग करेंगे।

सबसे पहले, हम यह साबित करते हैं कि विमान का घूर्णन बिंदुओं के बीच की दूरी को बरकरार रखता है। ऐसा करने के लिए, हम विमान पर दो अलग-अलग बिंदु M और N लेते हैं। M और N द्वारा उनकी छवियों को निरूपित करें क्योंकि वे एक निर्देशित कोण के माध्यम से बिंदु S के चारों ओर घूमते हैं। त्रिभुज SMN और SM`N पर विचार करें। इन त्रिभुजों में क्रमशः SM और SM, SN और SN भुजाएँ बराबर हैं।

यह देखना आसान है कि इन त्रिभुजों के कोण MSN और M`SN भी बराबर हैं। इसका अर्थ है कि त्रिभुज MSN और M`SN भी बराबर हैं। इन त्रिभुजों की समानता से MN और M`N खंडों की समानता का अनुसरण होता है। इस प्रकार, दिए गए कोण द्वारा दिए गए बिंदु के चारों ओर समतल का घूमना एक गति है।

तल पर, बिंदु S और कोण पर केंद्र के साथ एक घूर्णन पर विचार करें। आइए हम PDCS सेट करें ताकि बिंदु S इसकी शुरुआत के रूप में कार्य करे, और निर्देशांक सदिश i, j इकाई और परस्पर लंबवत हैं। विमान पर मनमाने ढंग से हम PDCS Sxy के सापेक्ष x और y निर्देशांक के साथ एक बिंदु M (x, y) लेते हैं। घूर्णन की क्रिया के अंतर्गत यह बिंदु किसी बिंदु M`(x`, y`) पर जाएगा। आइए हम बिंदु M के निर्देशांक को इसके प्रतिलोम प्रतिबिंब के निर्देशांक, कोण ѓї और रोटेशन के केंद्र के निर्देशांक के रूप में व्यक्त करें। त्रिभुज SM`Mx` पैर की लंबाई SMx` के बराबर है |x`|, और पैर की लंबाई M`Mx` के बराबर है |y`|, और त्रिभुज में SMx - SMx = |x |, एमएमएक्स = |वाई|। आइए हम A द्वारा निर्देशित कोण को निरूपित करें जो भुज अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ किरण SM बनाता है (चित्र 2.2)। फिर एक उन्मुख समकोण त्रिभुज में Mx `SM` निर्देशित कोण ЃЪ Mx`SM` निर्देशित कोणों और A के योग के बराबर है, और कर्ण SM की लंबाई बराबर है। इन संबंधों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं कि

ये सूत्र एक निर्देशित कोण द्वारा मूल के चारों ओर विमान के घूर्णन के लिए सूत्र हैं। इन सूत्रों का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि किसी दिए गए निर्देशित कोण द्वारा एक बिंदु के चारों ओर एक विमान के घूर्णन में निम्नलिखित गुण होते हैं।

एक बिंदु के चारों ओर समतल घूर्णन गुण

1. जब विमान किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर दिए गए निर्देशित कोण से घूमता है, तो सीधी रेखा एक सीधी रेखा में गुजरती है जो दी गई सीधी रेखा के साथ एक निर्देशित कोण बनाती है, जो रोटेशन के कोण के बराबर होती है।

प्रमाण। मान लीजिए, ऑक्सी समन्वय प्रणाली के संबंध में, रेखा d को समीकरण ax + by + c = 0 द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहां। आइए हम सूत्र (2.1.) द्वारा एक निर्देशित कोण द्वारा बिंदु O के चारों ओर विमान के रोटेशन को सेट करें। आइए हम इस घूर्णन के अंतर्गत सीधी रेखा d के प्रतिबिम्ब का समीकरण ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, सूत्रों (2.1.) से हम x और y को xЃЊ और yЃЊ के रूप में व्यक्त करते हैं, हम फॉर्म के सूत्र प्राप्त करते हैं

समीकरण ax + by + c = 0 में सीधी रेखा d की छवि का समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम x और y को व्यंजकों (xЃЊ cosѓї + yЃЊ sinѓї) और (? xЃЊ sinѓї + yЃЊcosѓї) से प्रतिस्थापित करते हैं। नतीजतन, हम फॉर्म का एक समीकरण प्राप्त करते हैं। इस समीकरण के बाईं ओर कोष्ठकों को खोलकर इस रूप में लाएँ

जहां तक ​​कि

तब समीकरण (acosѓї ? bsinѓї)xЃЊ + (asinѓї + bcosѓї) yЃЊ + c = 0 समतल में एक रेखा को परिभाषित करता है।

• 2. किसी दिए गए बिंदु को किसी दिए गए कोण से घुमाने पर, समानांतर रेखाएं समानांतर रेखाएं बन जाती हैं।
• 3. किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर विमान को दिए गए निर्देशित कोण से घुमाने से तीन बिंदुओं का सरल अनुपात बरकरार रहता है।

प्रमाण। विमान में, हम PDCS ऑक्सी सेट करते हैं। आइए मनमाने ढंग से दो अंक लें और। मान लीजिए कि बिंदु M(x, y) खंड M 1 M 2 को ?1 के सापेक्ष विभाजित करता है। आइए हम सूत्र (2.1.) द्वारा एक निर्देशित कोण द्वारा बिंदु O के चारों ओर समतल के घूर्णन पर विचार करें। इस रोटेशन के तहत बिंदुओं की छवियों और MЃЊ (xЃЊ, yЃЊ) और M (x, y) द्वारा निरूपित करें। आइए दिखाते हैं कि रोटेशन तीन बिंदुओं और एम (एक्स, वाई) के साधारण अनुपात को बरकरार रखता है। चूंकि बिंदुओं के निर्देशांक और एम (एक्स, वाई) संबंधों को संतुष्ट करते हैं

फिर इस तथ्य को साबित करने के लिए कि बिंदु MЃЊ(xЃЊ, yЃЊ) खंड को ѓЃЊ‚‚ ?1 के समान अनुपात में विभाजित करता है, यह दिखाना पर्याप्त है

ऐसा करने के लिए, सूत्रों में

के साथ, साथ, साथ, साथ, साथ बदलें। नतीजतन, हम संबंध प्राप्त करते हैं

पहले को गुणा करें - cos से? , और दूसरा - पर? पाप? और इसे एक साथ रखो। नतीजतन, हमें समानता मिलती है। आइए अब पहले अनुपात के दोनों पक्षों को पाप से गुणा करें? , और दूसरा - क्योंकि? और इसे एक साथ रखो। हमें समानता मिलती है।

तो, हमने दिखाया है कि बिंदु M? (x?, y?) खंड को उसी अनुपात में विभाजित करता है? ? ?1, जो खंड M 1 M 2 को भी विभाजित करता है। और इसका मतलब यह है कि किसी दिए गए कोण से एक बिंदु के चारों ओर विमान का घूर्णन तीन बिंदुओं के साधारण अनुपात को बरकरार रखता है।

• 4. जब विमान किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर एक दिए गए निर्देशित कोण से घूमता है, तो खंड एक समान खंड में, एक किरण एक किरण में, एक आधा-तल एक अर्ध-तल में गुजरता है।
• 5. जब विमान किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर दिए गए निर्देशित कोण से घूमता है, तो ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम R, ऑर्थोनॉर्मल R में जाता है।

इस स्थिति में, बिंदु M, फ्रेम R के सापेक्ष x और y निर्देशांक के साथ, बिंदु M पर जाता है, समान निर्देशांक x और y के साथ, लेकिन फ्रेम R के सापेक्ष।

6. बिंदु O के चारों ओर दो घुमावों की संरचना बिंदु O पर केंद्रित एक घूर्णन है।

7. समतल के दो घूर्णनों का संघटन बिंदु C पर केन्द्रित एक निर्देशित कोण के माध्यम से इस प्रकार घूर्णन है कि, .

• 8. गैर-समानांतर अक्षों m1 और m2 के साथ एक विमान की दो अक्षीय समरूपताओं की संरचना जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती है और एक निर्देशित कोण बनाती है, बिंदु O के चारों ओर विमान का एक घूर्णन है।
• 9. बिंदु ओ के चारों ओर विमान के किसी भी घूर्णन को दो अक्षीय समरूपताओं की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है, उनमें से एक की धुरी केंद्र ओ से गुजरने वाली रेखा पी होगी, और दूसरे की धुरी - रेखा क्यू युक्त किसी दिए गए कोण पर बिंदु O के चारों ओर घूमने के दौरान किरण m की छवि m` द्वारा निर्मित कोण का द्विभाजक और p-अक्ष के साथ अक्षीय समरूपता के साथ बीम m की छवि m`।

आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सी के सापेक्ष उनकी विश्लेषणात्मक स्थितियों द्वारा दी गई ज्यामितीय आकृतियों की छवियों और व्युत्क्रम छवियों को खोजने से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, किसी दिए गए निर्देशित कोण द्वारा एक बिंदु के चारों ओर विमान को घुमाते समय, एक रोटेशन निर्दिष्ट करने वाले सूत्रों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है एक मनमाना बिंदु S(x0, y0) पर केंद्रित है जो मूल बिंदु से अलग है। इन सूत्रों को प्राप्त करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करेंगे कि विमान का रोटेशन ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम R को ओर्थोनॉर्मल फ्रेम R` पर ले जाता है, और कोई भी बिंदु M निर्देशांक (x, y) के साथ फ्रेम R से बिंदु M तक। ` एक ही निर्देशांक के साथ, लेकिन फ्रेम आर के सापेक्ष।

दूसरी ओर, बिंदु M` फ्रेम R के सापेक्ष कुछ निर्देशांक भी हैं। आइए उन्हें x` और y` से निरूपित करें। इस प्रकार, हमारे पास विमान पर दो समन्वय प्रणालियां हैं: उनमें से एक फ्रेम आर द्वारा निर्धारित किया जाता है, और दूसरा - फ्रेम आर द्वारा निर्धारित किया जाता है।

हम उनमें से पहले को "पुराना" और दूसरे को - "नया" कहेंगे। इसके अनुसार, बिंदु M के "पुराने" निर्देशांक संख्याओं की एक क्रमबद्ध जोड़ी (x`, y`) होंगे, और "नए" निर्देशांक संख्याओं की एक क्रमबद्ध जोड़ी (x, y) होंगे। किसी बिंदु के "पुराने" निर्देशांक को उसके "नए" निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त करने वाले सूत्रों का उपयोग करते हुए, जब एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में जाते हैं, तो हम सूत्र प्राप्त करते हैं:

चूंकि बिंदु एक अपरिवर्तनीय मोड़ है, इसके निर्देशांक निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं:

समानता के दोनों हिस्सों (2.2.) से संबंधित समानता (2.3.) के संबंधित भागों से घटाकर, हम सूत्र प्राप्त करते हैं जो बिंदु एम के छवि एम के निर्देशांक को बिंदु एम के निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त करते हैं:

सूत्र (2.4) किसी दिए गए निर्देशित कोण द्वारा एक बिंदु के चारों ओर एक विमान को घुमाने के लिए सूत्र हैं।

यदि तल का प्रत्येक बिंदु एक ही तल से एक निश्चित बिंदु से जुड़ा हो, और इस मामले में विमान का कोई बिंदु एक निश्चित बिंदु से जुड़ा हो, तो वे कहते हैं कि यह विमान को अपने आप मैप करना. किसी समतल का स्वयं पर कोई मानचित्रण, जिसमें बिंदुओं के बीच की दूरी अपरिवर्तित रहती है, कहलाती है विमान की गति.

मान लीजिए a दिया गया सदिश है। वेक्टर ए के समानांतर स्थानांतरण स्वयं पर विमान का मानचित्रण है, जिसमें प्रत्येक बिंदु एम को बिंदु एम 1 पर मैप किया जाता है, कि वेक्टर एमएम 1 वेक्टर ए के बराबर होता है।

समानांतर अनुवाद एक आंदोलन है क्योंकि यह दूरियों को संरक्षित करते हुए, अपने आप में विमान का मानचित्रण है। दृष्टिगत रूप से, इस गति को किसी दिए गए सदिश a की लंबाई की दिशा में पूरे विमान की एक पारी के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए हम समतल पर एक बिंदु O निर्दिष्ट करें ( टर्निंग सेंटर) और कोण α सेट करें ( घूर्णन कोण) कोण α द्वारा बिंदु O के चारों ओर विमान का घूर्णन स्वयं पर विमान का मानचित्रण है, जिसमें प्रत्येक बिंदु M को बिंदु M 1 पर मैप किया जाता है, कि OM = OM 1 और कोण MOM 1 α के बराबर होता है। इस स्थिति में, बिंदु O अपने स्थान पर रहता है, अर्थात, यह अपने आप में प्रदर्शित होता है, और अन्य सभी बिंदु बिंदु O के चारों ओर एक ही दिशा में घूमते हैं - दक्षिणावर्त या वामावर्त (आंकड़ा एक वामावर्त रोटेशन दिखाता है)।

एक मोड़ एक आंदोलन है क्योंकि यह अपने आप में विमान का मानचित्रण है, जो दूरियों को संरक्षित करता है।

विमान का एक ज्यामितीय परिवर्तन, जिसमें अंक ए और बी की किसी भी जोड़ी को ए 1 और बी 1 की ऐसी जोड़ी से मैप किया जाता है कि ए 1 बी 1 \u003d k∙AB, जहां k इस परिवर्तन के लिए एक सकारात्मक स्थिरांक है , कहा जाता है समानता परिवर्तन. इस मामले में नंबर k कहा जाता है समानता गुणांक.

यह स्पष्ट है कि विमान की गति समानता का एक विशेष मामला है (1 के गुणांक के साथ)।

चित्रा एफ कहा जाता है समानआकृति F यदि कोई समानता परिवर्तन है जिसमें आकृति F को आकृति F 1 से मैप किया गया है। इसके अलावा, ये आंकड़े केवल आकार में एक दूसरे से भिन्न होते हैं, आंकड़े एफ और एफ 1 का आकार समान होता है।

समानता परिवर्तन गुण।

1. समानता परिवर्तन खंडों के जोड़े के संबंध को बरकरार रखता है: यदि एबी और सीडी दो मनमानी खंड हैं, और ए 1 बी 1 और सी 1 डी 1 उनकी छवियां हैं, तो ए 1 बी 1 / सी 1 डी 1 = एबी / सीडी।
2. समान खंडों को समान में मैप किया जाता है; खंड का मध्य बिंदु - इसकी छवि के मध्य बिंदु तक।
3. यदि समतल पर दो आयताकार समन्वय प्रणालियाँ दी गई हैं और संख्या k > 0 दी गई है, तो गुणांक k के साथ समानता परिवर्तन को विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है, जो पहले समन्वय प्रणाली के अक्षों को उसी नाम के साथ दूसरे के अक्षों पर मैप करता है। .

एक निश्चित बिंदु S के साथ एक समतल का ज्यामितीय परिवर्तन, जो S के अलावा किसी अन्य बिंदु A को ऐसे बिंदु A 1 से जोड़ता है कि SА 1 = k∙SA, जहां k 0 एक पूर्व निर्धारित संख्या है, कहलाती है समरूपताकेंद्र S और गुणांक k के साथ। यदि एक आकृति F से एक समरूपता के माध्यम से एक आकृति F 1 प्राप्त की जाती है, तो F और F 1 के आंकड़े कहलाते हैं समरूप.

समरूपता के गुण।

1. गुणांक k के साथ समरूपता गुणांक k│ के साथ समानता है।
2. समरूपता किसी भी रेखा को उसके समानांतर एक रेखा में ले जाती है।
3. किसी भी समरूपता को समरूपता के केंद्र और संगत बिंदुओं की एक जोड़ी द्वारा दिया जा सकता है।

पीछे की ओर आगे की ओर

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पाठ मकसद:

शिक्षात्मक

• घूर्णन की अवधारणा का परिचय दें और सिद्ध करें कि घूर्णन गति है;
• रोटेशन के केंद्र के आधार पर खंड के रोटेशन पर विचार करें (घूर्णन का केंद्र खंड के बाहर, खंड पर स्थित है और खंड के सिरों में से एक है);
• एक खंड के निर्माण को सिखाने के लिए जब इसे किसी दिए गए कोण से घुमाया जाता है;
• पिछले पाठों में पढ़ी गई सामग्री और इस पाठ में शामिल सामग्री को आत्मसात करने की जाँच करें।

शिक्षात्मक

• समस्या की स्थिति का विश्लेषण करने की क्षमता विकसित करना, समस्याओं को हल करने में तार्किक श्रृंखला बनाना, यथोचित निष्कर्ष निकालना;
• छात्रों की विचार प्रक्रिया, संज्ञानात्मक रुचि, गणितीय भाषण विकसित करना;

शिक्षात्मक

• ध्यान, अवलोकन, सीखने के प्रति सकारात्मक दृष्टिकोण को शिक्षित करें।

पाठ प्रकार: इस पाठ में शामिल सामग्री और पहले अध्ययन की गई सामग्री के छात्रों द्वारा नई सामग्री और आत्मसात के मध्यवर्ती नियंत्रण के अध्ययन में एक पाठ।

संचार के संगठनात्मक रूप:सामूहिक, व्यक्तिगत, ललाट, जोड़े में।

पाठ संरचना:

1. लक्ष्य निर्धारण के बाद छात्रों के साथ प्रेरक बातचीत;
2. होमवर्क की जाँच;
3. बुनियादी ज्ञान का अद्यतन;
4. ज्ञान का संवर्धन;
5. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन;
6. अध्ययन की गई सामग्री के आत्मसात की जाँच करना (बाद में पारस्परिक सत्यापन के साथ परीक्षण);
7. पाठ को सारांशित करना (प्रतिबिंब);
8. होम वर्क।

पंजीकरण:मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, स्क्रीन, लैपटॉप, कंप्यूटर प्रस्तुति, सिग्नल कार्ड।

प्रेरक बातचीत।

गति के बिना, जीवन केवल एक सुस्त सपना है।
जौं - जाक रूसो

I. पाठ के विषय, लक्ष्य और पाठ्यक्रम का संचार।(स्लाइड 2)

दोस्तों, आप जानते हैं कि एक व्यक्ति, समाज और विज्ञान के जीवन में आंदोलन की क्या महत्वपूर्ण भूमिका है। आंदोलन भी गणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है: रेखांकन का परिवर्तन, बिंदुओं, आंकड़ों, विमानों का प्रदर्शन - यह सब गति है। पिछले पाठों में, हमने कई प्रकार के आंदोलन पर विचार किया है। आज हम एक अन्य प्रकार के आंदोलन से परिचित होंगे: मोड़। पाठ विषय: बारी।

और हमारा पाठ भी गति का एक उदाहरण है, केवल शारीरिक दृष्टि से नहीं, बल्कि मानसिक विकास में गति, नई चीजें सीखना और नया ज्ञान प्राप्त करना। पूरे पाठ के दौरान, आप विभिन्न कार्य, परीक्षण करेंगे। इसलिए, सक्रिय रहें, पूरे पाठ में अपने ज्ञान में आगे बढ़ें और अपने परिणामों को एक चरण से दूसरे चरण में सुधारें!

पूरे पाठ के दौरान, मेरे और आपके भाषण दोनों के साथ एक प्रस्तुति होगी जो आपको अपने होमवर्क, प्रस्तावित परीक्षणों और स्वतंत्र रूप से हल की गई समस्याओं की शुद्धता की जांच करने में मदद करेगी।

द्वितीय. गृहकार्य की जाँच करना।

समाधान #1165 की जांच के लिए स्लाइड्स 3-5 का उपयोग करें।

III. बुनियादी ज्ञान का अद्यतनीकरण।

टेस्ट नंबर 1. (स्लाइड्स 6-13)

अनुलग्नक 1

परीक्षण पूरा करने के बाद, लोग नोटबुक का आदान-प्रदान करते हैं और आपसी जांच करते हैं।

चतुर्थ। नई सामग्री सीखना।(ज्ञान संवर्धन)

(स्लाइड 14) समतल पर बिंदु O (स्थिर बिंदु) को चिह्नित करें, और कोण सेट करें ए- रोटेशन का कोण। बिंदु O के चारों ओर समतल को कोण से घुमाने पर एइसे स्वयं पर समतल का मानचित्रण कहा जाता है, जिसमें प्रत्येक बिंदु M को ऐसे बिंदु M 1 पर प्रतिचित्रित किया जाता है कि OM = OM 1 और कोण MOM 1 = ए.

(स्लाइड 15) इस स्थिति में, बिंदु O यथावत रहता है, अर्थात। स्वयं के लिए मैप किया जाता है, और अन्य सभी बिंदुओं को बिंदु O के चारों ओर उसी दिशा में कोण द्वारा घुमाया जाता है एदक्षिणावर्त या वामावर्त।

(स्लाइड 16) बिंदु O को घूर्णन का केंद्र कहा जाता है, ए- रोटेशन का कोण। नामित आर ओ ए .

(स्लाइड 17) यदि घूर्णन दक्षिणावर्त है, तो घूर्णन कोण एनकारात्मक माना जाता है। यदि घूर्णन वामावर्त है, तो घूर्णन कोण धनात्मक होता है।

दोस्तों, आइए आंदोलन की अवधारणा को याद करते हैं। क्या आपको लगता है कि मुड़ना एक आंदोलन है? (अनुमान)

बारी - एक आंदोलन है, अर्थात्। प्लेन को अपने आप मैप करना। आइए इसे साबित करें।

(स्लाइड 18 या स्लाइड 19)

(सबूत SLIDE 18 पर एक मजबूत छात्र द्वारा किया जा सकता है। इस मामले में, आप प्रूफ के तुरंत बाद SLIDE 20 पर जा सकते हैं। शिक्षक द्वारा SLIDE 19 पर कक्षा के साथ मिलकर प्रूफ किया जा सकता है, जो इसके चरणों को दर्शाता है। सबूत।)

V. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

काम।बिंदु M 1 की रचना कीजिए, जो बिंदु M से 60° के कोण पर घुमाकर प्राप्त किया जाता है। चरण दर चरण स्लाइड 20 की सहायता से बिंदु M 1 का निर्माण कार्य किया जा रहा है।

मोड़ बनाने के लिए हमें किन उपकरणों की आवश्यकता है? (शासक, कम्पास, चांदा)

दोस्तों सबसे पहले क्या ध्यान रखना चाहिए? (बिंदु M और घूर्णन केंद्र - बिंदु O)

हम रोटेशन का केंद्र कैसे सेट करते हैं? एक निश्चित स्थान पर जश्न मनाएं? (नहीं, वैकल्पिक)

हम दक्षिणावर्त या वामावर्त कैसे घूमने जा रहे हैं? क्यों? (विरुद्ध, क्योंकि कोण धनात्मक है)

60 o के कोण को अलग करने के लिए क्या बनाया जाना चाहिए? (बीम ओम)

कोने के दूसरी तरफ बिंदु M 1 कैसे खोजें? (एक कम्पास का उपयोग करके, खंड OM 1 \u003d OM को अलग रखें)

विचार करें कि रोटेशन के केंद्र के स्थान के आधार पर खंड को कैसे घुमाया जाता है।

उस मामले पर विचार करें जब रोटेशन का केंद्र खंड के बाहर स्थित हो। हम नंबर 1166 (ए) को हल करेंगे। (यदि कक्षा मजबूत है, तो आप बच्चों के साथ मिलकर समस्या को हल करने के लिए एक योजना बना सकते हैं, संख्या 1166 (ए) को हल करने का कार्य स्वयं दे सकते हैं। स्लाइड 21 का उपयोग करके समाधान की जांच करें। यदि लड़के इसे ढूंढते हैं कार्य को पूरा करना कठिन है, फिर SLIDE 21 के आधार पर सामूहिक रूप से निर्णय लें)

जोड़े में काम।

काम।एक आकृति की रचना कीजिए जो खंड AB को बिंदु A के चारों ओर - 100 o के कोण पर घुमाकर प्राप्त की जाएगी।

(सूचक प्रश्न)

घूर्णन का केंद्र कौन सा बिंदु है? उसके बारे में क्या कहा जा सकता है? (यह खंड के सिरों में से एक है - बिंदु A, यह स्थिर रहेगा, यथावत रहेगा)

हम दक्षिणावर्त या वामावर्त कैसे घूमने जा रहे हैं? (घड़ी की दिशा में कोण ऋणात्मक है)

समस्या के समाधान के लिए योजना बनाएं।

कार्य जोड़े में किया जाता है। स्लाइड 22 के साथ समाधान की जाँच करें।

व्यक्तिगत काम।

काम. एक आकृति की रचना करें जिसमें खंड AB बिंदु O के चारों ओर कोण - 100 o - खंड AB के मध्य में घूमने पर गुजरता है।

समस्या के समाधान के लिए योजना बनाएं। कार्य स्वतंत्र रूप से किया जाता है, समाधान की जाँच SLIDE 23 का उपयोग करके की जाती है।

आज के पाठ में हमने घूर्णन के केंद्र के स्थान के आधार पर एक खंड के घूर्णन पर विचार किया। अगले पाठों में, हम अन्य आकृतियों के घूर्णन को देखेंगे। (स्लाइड्स 24-25 दिखाएं)

VI. अध्ययन की गई सामग्री के आत्मसातीकरण की जाँच करना।

टेस्ट नंबर 2. (स्लाइड्स 26-30)

परिशिष्ट 2

आत्म परीक्षण।

सातवीं। पाठ को सारांशित करना। (प्रतिबिंब)

दोस्तों, आइए उन पर प्रकाश डालते हैं जो प्रत्येक चरण में सर्वश्रेष्ठ थे। (संक्षेप में, वर्गीकृत)

अगर आपको पाठ पसंद आया तो अपने हाथ उठाएँ। ध्यान दें कि पाठ में क्या दिलचस्प था?

सातवीं। होम वर्क।

• नंबर 1166 (बी), नंबर 1167 - "3" का निशान पाने वालों के लिए।
• संख्या 1167 (घूर्णन के केंद्र के स्थान के तीन मामलों पर विचार करें: केंद्र शीर्ष ए है, केंद्र त्रिभुज के बाहर स्थित है, केंद्र त्रिभुज के किनारे एबी पर स्थित है) - अंक "4" प्राप्त करने वालों के लिए और "5"।