Հարակից անկյունները կիսում են ընդհանուր կողմը: Ուղղահայաց և հարակից անկյուններ: Ինչ է հարակից անկյունը

Երկու անկյունները կոչվում են հարևան, եթե ունեն մեկ ընդհանուր կողմ, իսկ այս անկյունների մյուս կողմերը լրացուցիչ ճառագայթներ են: Նկար 20-ում AOB և BOC անկյունները հարևան են:

Հարակից անկյունների գումարը 180 ° է

Թեորեմ 1. Կից անկյունների գումարը 180 ° է:

Ապացույց. OB ճառագայթը (տես նկ. 1) անցնում է բացված անկյունի կողմերի միջև: Ահա թե ինչու ∠ AOB + ∠ BOS = 180 °.

Թեորեմ 1-ից հետևում է, որ եթե երկու անկյունները հավասար են, ապա նրանց կից անկյունները հավասար են:

Ուղղահայաց անկյունները հավասար են

Երկու անկյունները կոչվում են ուղղահայաց, եթե մի անկյունի կողմերը մյուսի կողմերի ճառագայթներն են: AOB և COD, BOD և AOC անկյունները, որոնք ձևավորվել են երկու ուղիղ գծերի հատման կետում, ուղղահայաց են (նկ. 2):

Թեորեմ 2. Ուղղահայաց անկյունները հավասար են:

Ապացույց. Դիտարկենք AOB և COD ուղղահայաց անկյունները (տես նկ. 2): Անկյունային BOD-ը կից է AOB և COD անկյուններից յուրաքանչյուրին: Թեորեմ 1-ով ∠ AOB + ∠ BOD = 180 °, ∠ COD + ∠ BOD = 180 °:

Այսպիսով, մենք եզրակացնում ենք, որ ∠ AOB = ∠ COD:

Եզրակացություն 1. Ուղղանկյունին կից անկյունը ուղիղ անկյուն է:

Դիտարկենք երկու հատվող ուղիղներ AC և BD (նկ. 3): Նրանք կազմում են չորս անկյուն: Եթե ​​դրանցից մեկն ուղիղ է (նկ. 3-ի 1-ին անկյունը), ապա մյուս անկյունները նույնպես ուղիղ են (1-ին և 2-րդ, 1-ին և 4-րդ անկյունները հարակից են, 1-ին և 3-րդ անկյունները՝ ուղղահայաց): Այս դեպքում ասում են, որ այս ուղիղները հատվում են ուղիղ անկյան տակ և կոչվում են ուղղահայաց (կամ փոխադարձ ուղղահայաց)։ AC և BD ուղիղ գծերի ուղղահայացությունը նշանակվում է հետևյալ կերպ. AC ⊥ BD:

Հատվածին ուղղահայաց միջնակետը այս հատվածին ուղղահայաց և դրա միջնակետով անցնող ուղիղ գիծ է։

AH - ուղղահայաց ուղիղ գծին

Դիտարկենք a ուղիղ գիծ և A կետ, որը չի ընկած դրա վրա (նկ. 4): A կետը միացնենք a ուղիղ գծի H կետով հատվածի հետ։ AH հատվածը կոչվում է A կետից a ուղիղ գծված ուղղահայաց, եթե AH և a ուղիղները ուղղահայաց են: H կետը կոչվում է ուղղահայաց հիմք:

Գծագրական քառակուսի

Հետևյալ թեորեմը ճիշտ է.

Թեորեմ 3. Գծի վրա չպառկած ցանկացած կետից կարելի է ուղղահայաց գծել այս ուղղին, ընդ որում՝ միայն մեկը։

Գծագրում մի կետից ուղիղ գիծ ուղղահայաց գծելու համար օգտագործեք գծագրության քառակուսի (նկ. 5):

Մեկնաբանություն. Թեորեմի պնդումը սովորաբար բաղկացած է երկու մասից. Մի մասը խոսում է այն մասին, թե ինչ է տրվում: Այս մասը կոչվում է թեորեմի պայման։ Մյուս մասը խոսում է այն մասին, թե ինչն է պետք ապացուցել։ Այս մասը կոչվում է թեորեմի եզրակացություն։ Օրինակ, թեորեմ 2-ի պայմանն այն է, որ անկյունները ուղղահայաց են. եզրակացություն - այս անկյունները հավասար են:

Ցանկացած թեորեմ կարելի է մանրամասնորեն արտահայտել բառերով, որպեսզի դրա պայմանը սկսվի «եթե» բառով, իսկ եզրակացությունը՝ «ապա» բառով։ Օրինակ, թեորեմ 2-ը կարելի է մանրամասն ձևակերպել հետևյալ կերպ. «Եթե երկու անկյունները ուղղահայաց են, ապա դրանք հավասար են»:

Օրինակ 1.Հարակից անկյուններից մեկը 44 ° է: Ինչի՞ն է հավասար մյուսը:

Լուծում. Մյուս անկյան աստիճանի չափը նշում ենք x-ով, ապա ըստ թեորեմ 1-ի.
44 ° + x = 180 °:
Լուծելով ստացված հավասարումը, մենք գտնում ենք, որ x = 136 °: Հետևաբար, մյուս անկյունը 136 ° է:

Օրինակ 2.Նկար 21-ում COD անկյունը թող լինի 45 °: Որո՞նք են AOB և AOC անկյունները:

Լուծում. COD և AOB անկյունները ուղղահայաց են, հետևաբար, թեորեմ 1.2-ի համաձայն, դրանք հավասար են, այսինքն ՝ ∠ AOB = 45 °: AOC անկյունը կից է COD անկյան հետ, հետևաբար, թեորեմ 1-ով:
∠ AOC = 180 ° - ∠ COD = 180 ° - 45 ° = 135 °:

Օրինակ 3.Գտեք հարևան անկյունները, եթե դրանցից մեկը մյուսից 3 անգամ մեծ է:

Լուծում. Նշենք x-ի միջով փոքր անկյան աստիճանի չափումը: Այնուհետև ավելի մեծ անկյան աստիճանը կլինի Zx: Քանի որ հարակից անկյունների գումարը 180 ° է (թեորեմ 1), ապա x + 3x = 180 °, որտեղից x = 45 °:
Սա նշանակում է, որ հարակից անկյունները 45 ° և 135 ° են:

Օրինակ 4.Երկու ուղղահայաց անկյունների գումարը 100 ° է: Գտե՛ք չորս անկյուններից յուրաքանչյուրի մեծությունը:

Լուծում. Թող նկար 2-ը համապատասխանի խնդրի պայմանին:COD-ի ուղղահայաց անկյունները AOB-ի նկատմամբ հավասար են (թեորեմ 2), հետևաբար դրանց աստիճանի չափումները նույնպես հավասար են: Հետեւաբար, ∠ COD = ∠ AOB = 50 ° (դրանց գումարը պայմանով 100 ° է): BOD անկյունը (նաև AOC անկյունը) հարում է COD անկյունին և, հետևաբար, թեորեմ 1-ով
∠ BOD = ∠ AOC = 180 ° - 50 ° = 130 °:

ԳԼՈՒԽ I.

ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ.

§ տասնմեկ. Կից և ուղղահայաց ԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ.

1. Հարակից անկյունները.

Եթե ​​ինչ-որ անկյունի կողմը երկարացնենք նրա գագաթից այն կողմ, ապա կստանանք երկու անկյուն (նկ. 72). / Ա մ.թ.ա. և / CBD, որում BC-ի մի կողմը ընդհանուր է, իսկ մյուս երկու AB-ն և BD-ն ուղիղ գծի վրա են:

Երկու անկյունները, որոնց մի կողմը ընդհանուր է, իսկ մյուս երկուսը ուղիղ գիծ են կազմում, կոչվում են հարակից անկյուններ:

Հարակից անկյունները կարելի է ստանալ այսպես՝ եթե ուղիղ գծի վրա ինչ-որ կետից ճառագայթ գծենք (այս ուղիղ գծի վրա չպառկած), ապա կստանանք հարակից անկյուններ։
Օրինակ, / ADF և / FDВ - հարակից անկյուններ (նկ. 73):

Հարակից անկյունները կարող են ունենալ դիրքերի լայն տեսականի (նկ. 74):

Հարակից անկյունները գումարվում են հարթ անկյան, այնպես որ երկու հարակից անկյունների ումմա է 2դ.

Այստեղից ուղիղ անկյունը կարող է սահմանվել որպես իր հարակից անկյան հավասար անկյուն:

Իմանալով հարակից անկյուններից մեկի մեծությունը՝ կարող ենք գտնել հարակից մյուս անկյան մեծությունը։

Օրինակ, եթե հարակից անկյուններից մեկը 3/5 է դ, ապա երկրորդ անկյունը կլինի.

2դ- 3 / 5 դ= լ 2/5 դ.

2. Ուղղահայաց անկյուններ.

Եթե ​​անկյունի կողմերը երկարացնենք նրա գագաթից այն կողմ, ապա կստանանք ուղղահայաց անկյուններ: Նկար 75-ում EOF և AOC անկյունները ուղղահայաց են. AOE և COF անկյունները նույնպես ուղղահայաց են:

Երկու անկյունները համարվում են ուղղահայաց, եթե մի անկյունի կողմերը մյուս անկյունի կողմերի երկարացումներն են:

Թող լինի / 1 = 7 / 8 դ(նկ. 76): Նրան կից / 2-ը հավասար կլինի 2-ի դ- 7 / 8 դ, այսինքն՝ 1 1/8 դ.

Նույն կերպ կարող եք հաշվարկել, թե որոնք են / 3 և / 4.
/ 3 = 2դ - 1 1 / 8 դ = 7 / 8 դ; / 4 = 2դ - 7 / 8 դ = 1 1 / 8 դ(նկ. 77):

Մենք դա տեսնում ենք / 1 = / 3 և / 2 = / 4.

Դուք կարող եք լուծել ևս մի քանի նույն խնդիրներ, և ամեն անգամ կստանաք նույն արդյունքը. ուղղահայաց անկյունները հավասար են միմյանց:

Այնուամենայնիվ, համոզվելու համար, որ ուղղահայաց անկյունները միշտ հավասար են միմյանց, բավարար չէ առանձին թվային օրինակներ դիտարկելը, քանի որ որոշակի օրինակներից արված եզրակացությունները երբեմն կարող են սխալ լինել:

Ուղղահայաց անկյունների հատկության վավերականությունը անհրաժեշտ է ստուգել հիմնավորումներով, ապացույցների միջոցով։

Ապացույցը կարող է իրականացվել հետևյալ կերպ (նկ. 78).

/ ա +/ գ = 2դ;
/ բ +/ գ = 2դ;

(քանի որ հարակից անկյունների գումարը 2 է դ).

/ ա +/ գ = / բ +/ գ

(քանի որ այս հավասարության ձախ կողմը 2 է դ, և նրա աջ կողմը նույնպես հավասար է 2-ի դ).

Այս հավասարությունը ներառում է նույն անկյունը հետ.

Եթե ​​հավասար արժեքներից հանենք հավասար, ապա այն կմնա հավասար։ Արդյունքը կլինի. / ա = / բ, այսինքն՝ ուղղահայաց անկյունները հավասար են միմյանց։

Ուղղահայաց անկյունների հարցը քննարկելիս նախ բացատրեցինք, թե որ անկյուններն են կոչվում ուղղահայաց, այսինքն՝ տրված սահմանումուղղահայաց անկյուններ.

Այնուհետև մենք դատողություն (հայտարարություն) արտահայտեցինք ուղղահայաց անկյունների հավասարության մասին և ապացույցներով համոզվեցինք այս դատողության վավերականության մեջ։ Այնպիսի դատողություններ, որոնց վավերականությունը պետք է ապացուցվի, կոչվում են թեորեմներ... Այսպիսով, այս բաժնում մենք տվել ենք ուղղահայաց անկյունների սահմանումը, ինչպես նաև արտահայտել և ապացուցել ենք թեորեմ դրանց հատկության մասին։

Հետագայում, երկրաչափություն ուսումնասիրելիս, մենք անընդհատ ստիպված կլինենք հանդիպել թեորեմների սահմանումների և ապացույցների։

3. Ընդհանուր գագաթ ունեցող անկյունների գումարը:

Գծանկար 79 / 1, / 2, / 3 և / 4-ը գտնվում են ուղիղ գծի մի կողմում և ունեն ընդհանուր գագաթ այս ուղիղ գծի վրա: Ընդհանուր առմամբ, այս անկյունները կազմում են ընդլայնված անկյունը, այսինքն.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2դ.

Գծանկար 80 / 1, / 2, / 3, / 4 և / 5-ն ունեն ընդհանուր վերնաշապիկ: Այս անկյունները միասին կազմում են ամբողջ անկյունը, այսինքն. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4դ.

Զորավարժություններ.

1. Կից անկյուններից մեկը 0,72 է դ.Հաշվե՛ք այս հարակից անկյունների կիսատների կազմած անկյունը:

2. Ապացուցեք, որ երկու կից անկյունների կիսադիրները կազմում են ուղիղ անկյուն:

3. Ապացուցեք, որ եթե երկու անկյունները հավասար են, ապա նրանց հարակից անկյունները նույնպես հավասար են:

4. Քանի՞ զույգ կից անկյուն կա 81-րդ գծագրում:

5. Կարո՞ղ է հարակից զույգ անկյունները բաղկացած լինել երկու սուր անկյուններից: երկու բութ անկյուններից? ուղիղ և բութ անկյան՞ց։ ճիշտ և սուր անկյունի՞ց:

6. Եթե հարակից անկյուններից մեկն ուղիղ է, ապա ի՞նչ կարող եք ասել հարակից անկյան արժեքի մասին:

7. Եթե երկու ուղիղների խաչմերուկում ուղիղ գծի մի անկյունը, ապա ի՞նչ կարող եք ասել մյուս երեք անկյունների արժեքի մասին:

Երկրաչափությունը շատ բազմակողմանի գիտություն է։ Նա զարգացնում է տրամաբանությունը, երևակայությունը և խելքը: Իհարկե, իր բարդության և հսկայական թվով թեորեմների ու աքսիոմների պատճառով այն միշտ չէ, որ դուր է գալիս դպրոցականներին։ Բացի այդ, անհրաժեշտություն կա մշտապես ապացուցել ձեր եզրակացությունները՝ օգտագործելով ընդհանուր ընդունված չափանիշներն ու կանոնները:

Հարակից և ուղղահայաց անկյունները երկրաչափության անբաժանելի մասն են: Իհարկե, շատ դպրոցականներ պարզապես պաշտում են դրանք այն պատճառով, որ դրանց հատկությունները պարզ են և հեշտ ապացուցելի։

Անկյունների ձևավորում

Ցանկացած անկյուն ձևավորվում է երկու ուղիղ գծերի հատման կամ մեկ կետից երկու ճառագայթ քաշելու միջոցով։ Դրանք կարելի է անվանել կամ մեկ տառ կամ երեք, որոնք հաջորդաբար նշանակում են անկյունի կառուցման կետերը:

Անկյունները չափվում են աստիճաններով և կարող են (կախված դրանց արժեքից) այլ կերպ կոչվել: Այսպիսով, կա ուղիղ անկյուն՝ սուր, բութ և բացված։ Անուններից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է որոշակի աստիճանի չափմանը կամ դրա միջակայքին:

Սուր է կոչվում այն ​​անկյունը, որի չափը չի գերազանցում 90 աստիճանը։

Բութ անկյունը ավելի քան 90 աստիճան է:

Անկյունը կոչվում է ուղիղ, երբ նրա աստիճանի չափը 90 է:

Այն դեպքում, երբ այն կազմված է մեկ հոծ գծով, իսկ աստիճանի չափը 180 է, կոչվում է բացված։

Այն անկյունները, որոնք ունեն ընդհանուր կողմ, որի մյուս կողմը շարունակում է միմյանց, կոչվում են հարակից: Նրանք կարող են լինել կամ սուր կամ բութ: Գծի հատումը կազմում է հարակից անկյուններ։ Նրանց հատկությունները հետևյալն են.

1. Այս անկյունների գումարը հավասար կլինի 180 աստիճանի (կա դա ապացուցող թեորեմ)։ Հետևաբար, դրանցից մեկը կարող է հեշտությամբ հաշվարկվել, եթե մյուսը հայտնի է:
2. Առաջին կետից հետևում է, որ հարակից անկյունները չեն կարող ձևավորվել երկու բութ կամ երկու սուր անկյուններով։

Այս հատկությունների շնորհիվ դուք միշտ կարող եք հաշվարկել անկյան աստիճանի չափը՝ ունենալով մեկ այլ անկյան արժեքը կամ առնվազն նրանց միջև հարաբերակցությունը։

Ուղղահայաց անկյուններ

Անկյունները, որոնց կողմերը միմյանց շարունակությունն են, կոչվում են ուղղահայաց։ Նրանց սորտերից ցանկացածը կարող է հանդես գալ որպես այդպիսի զույգ: Ուղղահայաց անկյունները միշտ հավասար են միմյանց:

Նրանք ձևավորվում են ուղիղ գծերի խաչմերուկում: Նրանց հետ միասին միշտ առկա են հարակից անկյունները։ Անկյունը կարող է միաժամանակ հարակից լինել մեկին և ուղղահայաց լինել մյուսին:

Կամայական գիծը հատելիս դիտարկվում են նաև անկյունների ևս մի քանի տեսակներ։ Նման գիծը կոչվում է սեկանտ, և այն կազմում է համապատասխան, միակողմանի և խաչվող անկյուններ։ Նրանք հավասար են: Դրանք կարելի է դիտարկել այն հատկությունների լույսի ներքո, որոնք ունեն ուղղահայաց և հարակից անկյունները:

Այսպիսով, անկյունների թեման բավականին պարզ և պարզ է թվում: Նրանց բոլոր հատկությունները հեշտ է հիշել և ապացուցել: Խնդիրները լուծելը դժվար չէ, քանի դեռ անկյունները համապատասխանում են թվային արժեքին: Արդեն ավելի ուշ, երբ սկսվի մեղքի և cos-ի ուսումնասիրությունը, դուք ստիպված կլինեք անգիր սովորել շատ բարդ բանաձևեր, դրանց եզրակացություններն ու հետևանքները: Մինչ այդ, դուք կարող եք պարզապես վայելել հեշտ առաջադրանքները, որոնցում պետք է գտնել հարակից անկյունները:

Երկրաչափության դասընթացի ուսումնասիրության ընթացքում բավականին հաճախ են հանդիպում «անկյուն», «ուղղահայաց անկյուններ», «հարակից անկյուններ» հասկացությունները։ Տերմիններից յուրաքանչյուրը հասկանալը կօգնի ձեզ հասկանալ առաջադրանքը և ճիշտ լուծել այն: Որո՞նք են հարակից անկյունները և ինչպե՞ս եք դրանք սահմանում:

Հարակից անկյուններ - հասկացության սահմանում

«Կից անկյուններ» տերմինը բնութագրում է ընդհանուր ճառագայթով ձևավորված երկու անկյուն և մեկ ուղիղ գծի վրա ընկած երկու լրացուցիչ կիսագծեր։ Բոլոր երեք ճառագայթները դուրս են գալիս մեկ կետից: Ընդհանուր կիսագծը միաժամանակ և՛ մեկ, և՛ երկրորդ անկյունի կողմն է:

Հարակից անկյունները `հիմնական հատկություններ

1. Հիմնվելով հարակից անկյունների ձևակերպման վրա՝ հեշտ է տեսնել, որ նման անկյունների գումարը միշտ կազմում է ընդլայնված անկյուն, որի աստիճանի չափումը 180 ° է.

• Եթե ​​μ և η հարակից անկյուններ են, ապա μ + η = 180 °:
• Իմանալով հարակից անկյուններից մեկի արժեքը (օրինակ՝ μ), կարող եք հեշտությամբ հաշվարկել երկրորդ անկյան (η) աստիճանի չափը՝ օգտագործելով η = 180 ° - μ արտահայտությունը:

2. Անկյունների այս հատկությունը թույլ է տալիս անել հետևյալ եզրակացությունը՝ ուղիղ անկյան կից անկյունը նույնպես ուղիղ կլինի։

3. Հաշվի առնելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաները (sin, cos, tg, ctg), հիմնվելով հարակից μ և η անկյունների կրճատման բանաձևերի վրա, ճիշտ է հետևյալը.

• siνη = մեղք (180 ° - μ) = sinμ,
• cos = cos (180 ° - μ) = -cosμ,
• tgη = tg (180 ° - μ) = -tgμ,
• ctgη ​​= ctg (180 ° - μ) = -ctgμ.

Հարակից անկյուններ - օրինակներ

Օրինակ 1

Տրված է M, P, Q գագաթներով եռանկյուն - ΔMPQ: Գտեք անկյուններին կից ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM անկյունները:

• Երկարացրեք եռանկյան յուրաքանչյուր կողմը ուղիղ գծով:
• Իմանալով, որ հարակից անկյունները լրացնում են միմյանց մինչև տեղակայված անկյունը, մենք պարզում ենք, որ.

QMP-ը հարում է LMP-ին,

∠MPQ-ի հարակից անկյունը ∠SPQ է,

PQM-ը հարում է ∠HQP-ին:

Օրինակ 2

Մեկ հարակից անկյան չափը 35 ° է: Որքա՞ն է հարակից երկրորդ անկյան աստիճանի չափը:

• Երկու հարակից անկյունները ավելացնում են մինչև 180 °:
• Եթե ​​∠μ = 35 °, ապա հարակից ∠η = 180 ° - 35 ° = 145 °:

Օրինակ 3

Որոշեք հարակից անկյունների արժեքները, եթե հայտնի է, որ ներքևի մեկի աստիճանի չափումը երեք անգամ մեծ է մյուս անկյան չափից:

• Նշենք մեկ (ավելի փոքր) անկյան արժեքը - ∠μ = λ:
• Այնուհետեւ, ըստ խնդրի պայմանի, երկրորդ անկյան արժեքը հավասար կլինի ∠η = 3λ։
• Հիմնվելով հարակից անկյունների հիմնական հատկության վրա՝ μ + η = 180 ° հետևում է

λ + 3λ = μ + η = 180 °,

λ = 180 ° / 4 = 45 °:

Այսպիսով, առաջին անկյունը ∠μ = λ = 45 °, իսկ երկրորդ անկյունը ∠η = 3λ = 135 °:

Տերմինաբանությամբ դիմելու ունակությունը, ինչպես նաև հարակից անկյունների հիմնական հատկությունների իմացությունը կօգնի հաղթահարել բազմաթիվ երկրաչափական խնդիրների լուծումը:

1. Հարակից անկյունները.

Եթե ​​ցանկացած անկյունի կողմը երկարացնենք նրա գագաթից այն կողմ, ապա կստանանք երկու անկյուն (նկ. 72)՝ ∠ABS և ∠СВD, որոնցում BC կողմը ընդհանուր է, իսկ մյուս երկուսը՝ AB և BD, կազմում են ուղիղ գիծ։

Երկու անկյունները, որոնց մի կողմը ընդհանուր է, իսկ մյուս երկուսը ուղիղ գիծ են կազմում, կոչվում են հարակից անկյուններ:

Հարակից անկյունները կարելի է ստանալ այսպես՝ եթե ուղիղ գծի վրա ինչ-որ կետից ճառագայթ գծենք (այս ուղիղ գծի վրա չպառկած), ապա կստանանք հարակից անկյուններ։

Օրինակ՝ ∠ADF-ը և ∠FDB-ը հարակից անկյուններ են (նկ. 73):

Հարակից անկյունները կարող են ունենալ դիրքերի լայն տեսականի (նկ. 74):

Հարակից անկյունները գումարվում են հարթ անկյունի, ուստի երկու հարակից անկյունների գումարը 180 ° է

Այստեղից ուղիղ անկյունը կարող է սահմանվել որպես իր հարակից անկյան հավասար անկյուն:

Իմանալով հարակից անկյուններից մեկի մեծությունը՝ կարող ենք գտնել հարակից մյուս անկյան մեծությունը։

Օրինակ, եթե հարակից անկյուններից մեկը 54 ° է, ապա երկրորդ անկյունը կլինի.

180 ° - 54 ° = l26 °:

2. Ուղղահայաց անկյուններ.

Եթե ​​անկյունի կողմերը երկարացնենք նրա գագաթից այն կողմ, ապա կստանանք ուղղահայաց անկյուններ: Նկար 75-ում EOF և AOC անկյունները ուղղահայաց են. AOE և COF անկյունները նույնպես ուղղահայաց են:

Երկու անկյունները համարվում են ուղղահայաց, եթե մի անկյունի կողմերը մյուս անկյունի կողմերի երկարացումներն են:

Թող ∠1 = \ (\ ֆրակ (7) (8) \) ⋅ 90 ° (նկ. 76): Հարակից ∠2-ը կլինի 180 ° - \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 °, այսինքն, 1 \ (\ frac (1) (8) \) ⋅ 90 °:

Նույն կերպ կարելի է հաշվել, թե ինչին են հավասար ∠3-ը և ∠4-ը:

∠3 = 180 ° - 1 \ (\ ֆրակ (1) (8) \) ⋅ 90 ° = \ (\ ֆրակ (7) (8) \) ⋅ 90 °;

∠4 = 180 ° - \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 ° = 1 \ (\ frac (1) (8) \) ⋅ 90 ° (նկ. 77):

Մենք տեսնում ենք, որ ∠1 = ∠3 և ∠2 = ∠4:

Դուք կարող եք լուծել ևս մի քանի նույն խնդիրներ, և ամեն անգամ կստանաք նույն արդյունքը. ուղղահայաց անկյունները հավասար են միմյանց:

Այնուամենայնիվ, համոզվելու համար, որ ուղղահայաց անկյունները միշտ հավասար են միմյանց, բավարար չէ առանձին թվային օրինակներ դիտարկելը, քանի որ որոշակի օրինակներից արված եզրակացությունները երբեմն կարող են սխալ լինել:

Անհրաժեշտ է ապացուցման միջոցով ստուգել ուղղահայաց անկյունների հատկության վավերականությունը։

Ապացույցը կարող է իրականացվել հետևյալ կերպ (նկ. 78).

∠ա +∠գ= 180 °;

∠բ +∠գ= 180 °;

(քանի որ հարակից անկյունների գումարը 180 ° է):

∠ա +∠գ = ∠բ +∠գ

(քանի որ այս հավասարության ձախ կողմը հավասար է 180 °, իսկ աջ կողմը նույնպես հավասար է 180 °):

Այս հավասարությունը ներառում է նույն անկյունը հետ.

Եթե ​​հավասար արժեքներից հանենք հավասար, ապա այն կմնա հավասար։ Արդյունքը կլինի. ∠ա = ∠բ, այսինքն՝ ուղղահայաց անկյունները հավասար են միմյանց։

3. Ընդհանուր գագաթ ունեցող անկյունների գումարը:

79 գծագրում 1-ը, ∠2-ը, ∠3-ը և ∠4-ը գտնվում են ուղիղ գծի մի կողմում և ունեն ընդհանուր գագաթ այս ուղիղ գծի վրա: Ընդհանուր առմամբ, այս անկյունները կազմում են ընդլայնված անկյունը, այսինքն.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180 °:

Գծագրում 80 1-ը, ∠2-ը, ∠3-ը, ∠4-ը և ∠5-ն ունեն ընդհանուր գագաթ: Այս անկյունները գումարվում են ընդհանուր անկյան վրա, այսինքն՝ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360 °:

Այլ նյութեր