ផ្ទះ ផ្កាក្នុងផ្ទះ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ថាហេតុអ្វីបានជា "បូក" សម្រាប់ "ដក" ផ្តល់ឱ្យ "ដក"? សកម្មភាពជាមួយដក។ ហេតុអ្វីបានជាដកសម្រាប់ដកមួយផ្តល់ឱ្យបូក

ផ្កាក្នុងផ្ទះ

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ថាហេតុអ្វីបានជា "បូក" សម្រាប់ "ដក" ផ្តល់ឱ្យ "ដក"? សកម្មភាពជាមួយដក។ ហេតុអ្វីបានជាដកសម្រាប់ដកមួយផ្តល់ឱ្យបូក

1) ហេតុអ្វីបានជាដកមួយគុណនឹងដកមួយស្មើនឹងបូកមួយ?

២) ហេតុអ្វីបានជាដកមួយគុណនឹងបូកមួយស្មើនឹងដកមួយ?

សត្រូវរបស់សត្រូវគឺមិត្តរបស់ខ្ញុំ

ចំលើយដ៏សាមញ្ញបំផុតគឺ៖ "ពីព្រោះទាំងនេះគឺជាច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយជាមួយនឹងលេខអវិជ្ជមាន"។ ច្បាប់ដែលយើងបង្រៀននៅសាលា និងអនុវត្តពេញមួយជីវិតរបស់យើង។ យ៉ាងណាក៏ដោយ សៀវភៅសិក្សាមិនបានពន្យល់ថាហេតុអ្វីបានជាច្បាប់ពិតប្រាកដបែបនេះទេ។ ដំបូងយើងនឹងព្យាយាមយល់ពីរឿងនេះដោយផ្អែកលើប្រវត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងឆ្លើយសំណួរនេះតាមទស្សនៈនៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប។

កាលពីដើមមនុស្សគ្រាន់តែដឹង ចំនួនគត់: 1, 2, 3, ... ពួកគេត្រូវបានគេប្រើដើម្បីរាប់ប្រដាប់ប្រើប្រាស់ លួច សត្រូវ។ល។ ប៉ុន្តែលេខដោយខ្លួនឯងគឺគ្មានប្រយោជន៍ទេ - អ្នកត្រូវដឹងពីរបៀបដោះស្រាយវា។ ការបន្ថែមគឺមើលឃើញ និងអាចយល់បាន ក្រៅពីនេះផលបូកនៃលេខធម្មជាតិពីរក៏ជាលេខធម្មជាតិផងដែរ (គណិតវិទូនឹងនិយាយថា សំណុំនៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានបិទទាក់ទងនឹងប្រតិបត្តិការបូក)។ ការគុណគឺជាការបូកសំខាន់ដូចគ្នា ប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីលេខធម្មជាតិ។ នៅក្នុងជីវិត យើងតែងតែធ្វើសកម្មភាពដែលទាក់ទងនឹងប្រតិបត្តិការទាំងពីរនេះ (ឧទាហរណ៍ នៅពេលទិញទំនិញ យើងបន្ថែម និងគុណ) ហើយវាចម្លែកក្នុងការគិតថាបុព្វបុរសរបស់យើងបានជួបប្រទះវាតិចជាញឹកញាប់ - ការបន្ថែម និងការគុណត្រូវបានគ្រប់គ្រងដោយមនុស្សជាតិជាយូរមកហើយ។ កន្លងទៅ។ ជារឿយៗ វាចាំបាច់ក្នុងការបែងចែកបរិមាណមួយចំនួនដោយអ្នកផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែនៅទីនេះលទ្ធផលមិនតែងតែត្រូវបានបង្ហាញជាលេខធម្មជាតិនោះទេ - នេះជារបៀបដែលលេខប្រភាគបានបង្ហាញខ្លួន។

នៅក្នុងឯកសារឥណ្ឌា លេខអវិជ្ជមានលេចឡើងតាំងពីសតវត្សទី 7 នៃគ។ ជាក់ស្តែង ជនជាតិចិនបានចាប់ផ្តើមប្រើប្រាស់ពួកវាមុននេះបន្តិច។ ពួកវាត្រូវបានប្រើសម្រាប់គណនេយ្យបំណុល ឬក្នុងការគណនាកម្រិតមធ្យម ដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយសមីការ - វាគ្រាន់តែជាឧបករណ៍សម្រាប់ទទួលបានចម្លើយវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ការពិតដែលថាលេខអវិជ្ជមាន មិនដូចលេខវិជ្ជមាន ដែលមិនបង្ហាញពីវត្តមានរបស់អង្គភាពណាមួយ បានធ្វើឱ្យមានការមិនទុកចិត្តយ៉ាងខ្លាំង។ មនុស្សបានជៀសវាងតាមព្យញ្ជនៈ លេខអវិជ្ជមាន៖ ប្រសិនបើបញ្ហាបានទទួលចម្លើយអវិជ្ជមាន វាត្រូវបានចាត់ទុកថាគ្មានចម្លើយទាល់តែសោះ។ ការមិនទុកចិត្តនេះនៅតែបន្តកើតមានជាយូរមកហើយ ហើយសូម្បីតែ Descartes ដែលជា "ស្ថាបនិក" នៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប បានហៅពួកគេថា "មិនពិត" (ក្នុងសតវត្សទី 17!)។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាសមីការ 7x − 17 = 2x − 2... វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដូចនេះ៖ ផ្លាស់ទីសមាជិកដោយមិនស្គាល់ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង ហើយនៅសល់ទៅខាងស្តាំ វានឹងប្រែជាចេញ។ 7x − 2x = 17 − 2, 5x = 15, x = ៣... ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនេះ យើងមិនបានជួបលេខអវិជ្ជមានទេ។

ប៉ុន្តែមនុស្សម្នាក់អាចធ្វើវាដោយចៃដន្យតាមវិធីមួយផ្សេងទៀត: ផ្ទេរលក្ខខណ្ឌដោយមិនស្គាល់ទៅផ្នែកខាងស្តាំហើយទទួលបាន 2 − 17 = 2x − 7x, (–15) = (–5) x... ដើម្បីស្វែងរកលេខដែលមិនស្គាល់ អ្នកត្រូវចែកលេខអវិជ្ជមានមួយដោយលេខមួយទៀត៖ x = (–15) / (− 5)... ប៉ុន្តែចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវត្រូវបានគេដឹងហើយវានៅតែសន្និដ្ឋានបែបនោះ។ (–15)/(–5) = 3 .

តើឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញនេះបង្ហាញអ្វីខ្លះ? ដំបូង តក្កវិជ្ជាកាន់តែច្បាស់ ដែលកំណត់ច្បាប់សម្រាប់សកម្មភាពលើចំនួនអវិជ្ជមាន៖ លទ្ធផលនៃសកម្មភាពទាំងនេះត្រូវតែផ្គូផ្គងចម្លើយដែលទទួលបានក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា ដោយគ្មានលេខអវិជ្ជមាន... ទីពីរ ដោយអនុញ្ញាតឱ្យប្រើលេខអវិជ្ជមាន យើងកម្ចាត់ការធុញទ្រាន់ (ប្រសិនបើសមីការប្រែទៅជាស្មុគស្មាញជាង។ មួយចំនួនធំពាក្យ) នៃការស្វែងរកផ្លូវដំណោះស្រាយនោះ ដែលសកម្មភាពទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តតែលើលេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះ។ លើសពីនេះទៅទៀត យើងមិនអាចគិតរាល់ពេលអំពីអត្ថន័យនៃតម្លៃដែលបានបំប្លែងនោះទេ ហើយនេះគឺជាជំហានឆ្ពោះទៅរកការបំប្លែងគណិតវិទ្យាទៅជាវិទ្យាសាស្ត្រអរូបី។

ច្បាប់សម្រាប់សកម្មភាពលើចំនួនអវិជ្ជមានមិនត្រូវបានបង្កើតឡើងភ្លាមៗនោះទេ ប៉ុន្តែបានក្លាយជាការធ្វើឱ្យទូទៅនៃឧទាហរណ៍ជាច្រើនដែលកើតឡើងនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានអនុវត្ត។ ជាទូទៅ ការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យាអាចបែងចែកតាមលក្ខខណ្ឌជាដំណាក់កាល៖ ដំណាក់កាលបន្ទាប់នីមួយៗខុសគ្នាពីដំណាក់កាលមុន ដោយកម្រិតថ្មីនៃភាពអរូបីក្នុងការសិក្សាវត្ថុ។ ដូច្នេះនៅសតវត្សទី 19 អ្នកគណិតវិទូបានដឹងថាចំនួនគត់ និងពហុនាម សម្រាប់ភាពមិនដូចគ្នាបេះបិទខាងក្រៅរបស់វាមានច្រើនដូចគ្នា៖ ទាំងពីរអាចត្រូវបានបូក ដក និងគុណ។ ប្រតិបត្តិការទាំងនេះគោរពតាមច្បាប់ដូចគ្នា - ទាំងក្នុងករណីលេខ និងក្នុងករណីពហុនាម។ ប៉ុន្តែការបែងចែកចំនួនគត់ដោយគ្នាទៅវិញទៅមក ដូច្នេះលទ្ធផលគឺចំនួនគត់ម្តងទៀត ប្រហែលជាមិនតែងតែទេ។ វាដូចគ្នាជាមួយពហុនាម។

បន្ទាប់មកការរួមបញ្ចូលគ្នាផ្សេងទៀតបានមកបំភ្លឺ វត្ថុគណិតវិទ្យាដែលអាចអនុវត្តប្រតិបត្តិការបែបនេះ៖ ស៊េរីថាមពលផ្លូវការ មុខងារបន្ត ... ជាចុងក្រោយ ការយល់ដឹងបានមកថា ប្រសិនបើអ្នកសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការដោយខ្លួនឯង នោះលទ្ធផលអាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះសំណុំវត្ថុទាំងអស់នេះ (វិធីសាស្រ្តនេះ គឺជាតួយ៉ាងសម្រាប់គណិតវិទ្យាទំនើបទាំងអស់)។

ជាលទ្ធផល គំនិតថ្មីមួយបានលេចឡើង៖ ចិញ្ចៀន... នេះគ្រាន់តែជាសំណុំនៃធាតុបូកនឹងសកម្មភាពដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅលើពួកវា។ ច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៅទីនេះ (ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា axioms) ដែលប្រតិបត្តិតាមការប្រព្រឹត្ត ហើយមិនមែនជាធម្មជាតិនៃធាតុនៃសំណុំ (គឺត្រង់នេះ កម្រិតថ្មី។អរូបី!) ដោយប្រាថ្នាចង់បញ្ជាក់ថាវាជារចនាសម្ព័ន្ធដែលកើតឡើងបន្ទាប់ពីការបញ្ចូល axioms មានសារៈសំខាន់ គណិតវិទូនិយាយថា៖ ring of integers, ring of polynomials, ល។

យើងនឹងបង្កើត axioms នៃ ring មួយ (ដែលជាការពិតណាស់ ស្រដៀងទៅនឹងច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយជាមួយចំនួនគត់) ហើយបន្ទាប់មក យើងនឹងបង្ហាញថា នៅក្នុង ring ណាមួយ គុណនឹងដកមួយនឹង minus បង្កើតជាផលបូក។

ចិញ្ចៀនហៅថាសំណុំដែលមានប្រតិបត្តិការគោលពីរ (ឧ. ប្រតិបត្តិការនីមួយៗពាក់ព័ន្ធនឹងធាតុពីរនៃសង្វៀន) ដែលត្រូវបានគេហៅថាជាប្រពៃណី បូក និងគុណ និង axioms ខាងក្រោម៖

ការបន្ថែមនៃធាតុចិញ្ចៀនគោរពតាមការផ្លាស់ទីលំនៅ ( A + B = B + Aសម្រាប់ធាតុណាមួយ។ កនិង ខ) និងការរួមបញ្ចូលគ្នា ( A + (B + C) = (A + B) + C) ច្បាប់; មានធាតុពិសេសមួយនៅក្នុងសង្វៀន 0 (បន្ថែមអព្យាក្រឹត) បែបនោះ។ A + 0 = Aនិងសម្រាប់ធាតុណាមួយ។ កគឺជាធាតុផ្ទុយ (បញ្ជាក់ (–ក)), អ្វី A + (–A) = 0;
គុណត្រូវគោរពច្បាប់ផ្សំ៖ A (B C) = (A B) C;
ការបូក និងគុណត្រូវបានទាក់ទងដោយច្បាប់ខាងក្រោមសម្រាប់ពង្រីកវង់ក្រចក៖ (A + B) C = A C + B Cនិង A (B + C) = A B + A C.

ចំណាំថាចិញ្ចៀន, នៅក្នុងខ្លាំងណាស់ ការរចនារួម, មិនតម្រូវឱ្យមានការអនុញ្ញាតនៃគុណ ឬភាពបញ្ច្រាសរបស់វា (ឧ. វាមិនតែងតែអាចបែងចែកបាន) ឬអត្ថិភាពនៃឯកតា - ធាតុអព្យាក្រឹតក្នុងការគុណ។ ប្រសិនបើយើងណែនាំ axioms ទាំងនេះ នោះយើងទទួលបានរចនាសម្ព័ន្ធពិជគណិតផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែនៅក្នុងពួកគេ ទ្រឹស្ដីទាំងអស់ដែលបានបញ្ជាក់សម្រាប់ចិញ្ចៀននឹងជាការពិត។

ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាសម្រាប់ធាតុណាមួយ។ កនិង ខចិញ្ចៀនដែលបំពានគឺជាការពិតដំបូង (–A) B = - (A B)និងទីពីរ (-(--)) = ក... សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីឯកតាងាយស្រួលធ្វើតាមពីនេះ៖ (–1) · 1 = - (1 · 1) = −1និង (–1) · (–1) = - ((- 1) · 1) = - (- 1) = 1.

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវបង្កើតការពិតមួយចំនួន។ ជាដំបូង ចូរយើងបង្ហាញថាធាតុនីមួយៗអាចមានតែមួយផ្ទុយគ្នា។ ជាការពិតអនុញ្ញាតឱ្យធាតុ កមានពីរផ្ទុយគ្នា៖ ខនិង ជាមួយ... នោះគឺជា A + B = 0 = A + C... ពិចារណាបរិមាណ A + B + C... ដោយប្រើច្បាប់នៃការផ្សំ និងការផ្លាស់ទីលំនៅ និងទ្រព្យសម្បត្តិសូន្យ យើងទទួលបាននោះ នៅលើដៃម្ខាង ផលបូកគឺស្មើនឹង ខ: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + Cហើយម្យ៉ាងវិញទៀត វាស្មើនឹង C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C... មានន័យថា ខ = គ.

ចំណាំឥឡូវនេះថានិង ក, និង (-(-ក))ផ្ទុយទៅនឹងធាតុដូចគ្នា។ (–ក)ដូច្នេះពួកគេត្រូវតែស្មើគ្នា។

ការពិតទីមួយប្រែចេញដូចនេះ៖ 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) Bនោះគឺ (–A) · ខផ្ទុយ ក ខដូច្នេះវាស្មើនឹង - (A B).

ដើម្បីឱ្យម៉ត់ចត់តាមគណិតវិទ្យា ចូរយើងពន្យល់ពីមូលហេតុ 0 B = 0សម្រាប់ធាតុណាមួយ។ ខ... ជាការពិត, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B... នោះគឺការបន្ថែម 0 ខមិនផ្លាស់ប្តូរបរិមាណ។ ដូច្នេះផលិតផលនេះស្មើនឹងសូន្យ។

ហើយការពិតដែលថាមានសូន្យពិតប្រាកដនៅក្នុងសង្វៀន (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ axioms និយាយថាធាតុបែបនេះមានប៉ុន្តែគ្មានអ្វីត្រូវបាននិយាយអំពីភាពពិសេសរបស់វាទេ!) យើងនឹងទុកឱ្យអ្នកអានជាលំហាត់សាមញ្ញ។

"សត្រូវរបស់សត្រូវគឺមិត្តរបស់ខ្ញុំ"

ហេតុអ្វីបានជាដកមួយគុណនឹងដកមួយស្មើនឹងបូកមួយ? ហេតុអ្វីបានជាដកមួយគុណនឹងបូកមួយស្មើនឹងដកមួយ? ចំលើយដ៏សាមញ្ញបំផុតគឺ៖ "ពីព្រោះទាំងនេះគឺជាច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយជាមួយនឹងលេខអវិជ្ជមាន"។ ច្បាប់ដែលយើងបង្រៀននៅសាលា និងអនុវត្តពេញមួយជីវិតរបស់យើង។ យ៉ាងណាក៏ដោយ សៀវភៅសិក្សាមិនបានពន្យល់ថាហេតុអ្វីបានជាច្បាប់ពិតប្រាកដបែបនេះទេ។ ដំបូងយើងនឹងព្យាយាមយល់ពីរឿងនេះដោយផ្អែកលើប្រវត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងឆ្លើយសំណួរនេះតាមទស្សនៈនៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប។

តាំងពីយូរយារណាស់មកហើយ មានតែលេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះដែលមនុស្សស្គាល់៖ ពួកវាត្រូវបានប្រើសម្រាប់រាប់ប្រដាប់ប្រដា សត្វព្រៃ សត្រូវ។ ការបន្ថែមគឺមើលឃើញ និងអាចយល់បាន ក្រៅពីនេះផលបូកនៃលេខធម្មជាតិពីរក៏ជាលេខធម្មជាតិផងដែរ (គណិតវិទូនឹងនិយាយថា សំណុំនៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានបិទទាក់ទងនឹងប្រតិបត្តិការបូក)។ ការគុណគឺជាការបូកសំខាន់ដូចគ្នា ប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីលេខធម្មជាតិ។ នៅក្នុងជីវិត យើងតែងតែធ្វើសកម្មភាពដែលទាក់ទងនឹងប្រតិបត្តិការទាំងពីរនេះ (ឧទាហរណ៍ នៅពេលទិញទំនិញ យើងបន្ថែម និងគុណ) ហើយវាចម្លែកក្នុងការគិតថាបុព្វបុរសរបស់យើងបានជួបប្រទះវាតិចជាញឹកញាប់ - ការបូក និងគុណត្រូវបានគ្រប់គ្រងដោយមនុស្សជាតិជាយូរមកហើយ។ កន្លងទៅ។ ជារឿយៗវាចាំបាច់ក្នុងការបែងចែកបរិមាណមួយចំនួនដោយអ្នកផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែនៅទីនេះលទ្ធផលមិនតែងតែត្រូវបានបង្ហាញជាលេខធម្មជាតិនោះទេ - នេះជារបៀបដែលលេខប្រភាគបានបង្ហាញខ្លួន។

ជាការពិត ការដកក៏មិនអាចខ្វះបានដែរ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្ត យើងមានទំនោរដកលេខតូចពីលេខធំ ហើយមិនចាំបាច់ប្រើលេខអវិជ្ជមានទេ។ (ប្រសិនបើខ្ញុំមានស្ករគ្រាប់ ហើយឱ្យវាទៅបងស្រីរបស់ខ្ញុំ នោះខ្ញុំនឹងមានស្ករគ្រាប់ ប៉ុន្តែខ្ញុំមិនអាចឱ្យស្ករគ្រាប់ឱ្យនាងបានទេ ប្រសិនបើខ្ញុំចង់បាន។) នេះអាចពន្យល់ពីមូលហេតុដែលមនុស្សមិនប្រើលេខអវិជ្ជមានអស់រយៈពេលជាយូរ។

នៅក្នុងឯកសារឥណ្ឌា លេខអវិជ្ជមានលេចឡើងតាំងពីសតវត្សទី 7 នៃគ។ ជាក់ស្តែង ជនជាតិចិនបានចាប់ផ្តើមប្រើប្រាស់ពួកវាមុននេះបន្តិច។ ពួកវាត្រូវបានប្រើសម្រាប់គណនេយ្យបំណុល ឬក្នុងការគណនាកម្រិតមធ្យម ដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយសមីការ - វាគ្រាន់តែជាឧបករណ៍សម្រាប់ទទួលបានចម្លើយវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ការពិតដែលថាលេខអវិជ្ជមាន មិនដូចលេខវិជ្ជមាន ដែលមិនបង្ហាញពីវត្តមានរបស់អង្គភាពណាមួយ បានធ្វើឱ្យមានការមិនទុកចិត្តយ៉ាងខ្លាំង។ មនុស្សក្នុងន័យព្យញ្ជនៈនៃពាក្យបានចៀសវាងលេខអវិជ្ជមាន៖ ប្រសិនបើបញ្ហាទទួលបានចម្លើយអវិជ្ជមាន ពួកគេជឿថាគ្មានចម្លើយទាល់តែសោះ។ ការមិនទុកចិត្តនេះនៅតែបន្តកើតមានជាយូរមកហើយ ហើយសូម្បីតែ Descartes ដែលជា "ស្ថាបនិក" នៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប បានហៅពួកគេថា "មិនពិត" (ក្នុងសតវត្សទី 17!)។

ពិចារណាសមីការឧទាហរណ៍។ វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដូចខាងក្រោម: ផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌដោយមិនស្គាល់ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងហើយនៅសល់ទៅខាងស្តាំវានឹងប្រែទៅជាចេញ ,, ។ ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនេះ យើងមិនបានជួបលេខអវិជ្ជមានទេ។

ប៉ុន្តែវាអាចធ្វើទៅបានដោយចៃដន្យដើម្បីធ្វើវាតាមវិធីមួយផ្សេងទៀត: ផ្ទេរលក្ខខណ្ឌដោយមិនស្គាល់ទៅផ្នែកខាងស្តាំនិងទទួលបាន, ។ ដើម្បីស្វែងរកលេខដែលមិនស្គាល់ អ្នកត្រូវចែកលេខអវិជ្ជមានមួយដោយលេខមួយទៀត៖. ប៉ុន្តែចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវត្រូវបានគេដឹងហើយវានៅតែសន្និដ្ឋានបែបនោះ។

តើឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញនេះបង្ហាញអ្វីខ្លះ? ទីមួយ វាក្លាយជាច្បាស់នូវតក្កវិជ្ជាដែលកំណត់ច្បាប់សម្រាប់សកម្មភាពលើលេខអវិជ្ជមាន៖ លទ្ធផលនៃសកម្មភាពទាំងនេះត្រូវតែស្របគ្នាជាមួយនឹងចម្លើយដែលទទួលបានក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា ដោយគ្មានលេខអវិជ្ជមាន។ ទីពីរ ដោយអនុញ្ញាតឱ្យប្រើលេខអវិជ្ជមាន យើងកម្ចាត់ភាពធុញទ្រាន់ (ប្រសិនបើសមីការប្រែទៅជាស្មុគស្មាញ ដោយមានពាក្យមួយចំនួនធំ) ស្វែងរកផ្លូវដំណោះស្រាយដែលសកម្មភាពទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តតែលើលេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះ។ លើសពីនេះទៅទៀត យើងមិនអាចគិតរាល់ពេលអំពីអត្ថន័យនៃតម្លៃដែលបានបំប្លែងនោះទេ ហើយនេះគឺជាជំហានឆ្ពោះទៅរកការបំប្លែងគណិតវិទ្យាទៅជាវិទ្យាសាស្ត្រអរូបី។

បន្ទាប់មកសំណុំវត្ថុគណិតវិទ្យាផ្សេងទៀតត្រូវបានគេរកឃើញ ដែលប្រតិបត្តិការបែបនេះអាចត្រូវបានអនុវត្ត៖ ស៊េរីថាមពលផ្លូវការ មុខងារបន្ត ... សម្រាប់គណិតវិទ្យាទំនើបទាំងអស់)។

ជាលទ្ធផលគំនិតថ្មីមួយបានលេចឡើង: ចិញ្ចៀនមួយ។ នេះគ្រាន់តែជាសំណុំនៃធាតុបូកនឹងសកម្មភាពដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តលើពួកគេ។ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៅទីនេះគឺគ្រាន់តែជាច្បាប់ (ពួកវាត្រូវបានគេហៅថា axioms) ដែលគោរពតាមសកម្មភាព និងមិនមែនជាលក្ខណៈនៃធាតុនៃសំណុំ (នេះគឺជាកម្រិតថ្មីនៃភាពអរូបី!) ដោយប្រាថ្នាចង់បញ្ជាក់ថាវាជារចនាសម្ព័ន្ធដែលកើតឡើងបន្ទាប់ពីការបញ្ចូល axioms មានសារៈសំខាន់ គណិតវិទូនិយាយថា៖ ring of integers, ring of polynomials, ល។

ចិញ្ចៀនគឺជាសំណុំមួយដែលមានប្រតិបត្តិការគោលពីរ (ឧ. ប្រតិបត្តិការនីមួយៗពាក់ព័ន្ធនឹងធាតុពីរនៃចិញ្ចៀន) ដែលត្រូវបានគេហៅថាជាប្រពៃណី បូក និងគុណ និង axioms ខាងក្រោម៖

ចំណាំថាចិញ្ចៀននៅក្នុងការសាងសង់ទូទៅបំផុតរបស់ពួកគេមិនតម្រូវឱ្យមានភាពប្រែប្រួលនៃមេគុណ ឬភាពបញ្ច្រាសរបស់វា (ឧទាហរណ៍ វាមិនតែងតែអាចបែងចែកបានទេ) ឬអត្ថិភាពនៃឯកតា - ធាតុអព្យាក្រឹតក្នុងការគុណ។ ប្រសិនបើយើងណែនាំ axioms ទាំងនេះ នោះយើងទទួលបានរចនាសម្ព័ន្ធពិជគណិតផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែនៅក្នុងពួកគេ ទ្រឹស្ដីទាំងអស់ដែលបានបញ្ជាក់សម្រាប់ចិញ្ចៀននឹងជាការពិត។

ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាសម្រាប់ធាតុណាមួយនិងចិញ្ចៀនដែលបំពានវាជាការពិត ទីមួយ និងទីពីរ។ ការអះអាងអំពីឯកតាងាយស្រួលធ្វើតាមពីនេះ៖ និង។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវបង្កើតការពិតមួយចំនួន។ ជាដំបូង ចូរយើងបង្ហាញថាធាតុនីមួយៗអាចមានតែមួយផ្ទុយគ្នា។ ពិតហើយ សូមឲ្យធាតុមានពីរផ្ទុយគ្នា៖ និង។ នោះគឺជា។ ពិចារណាបរិមាណ។ ដោយប្រើច្បាប់បន្សំ និងការផ្លាស់ទីលំនៅ និងទ្រព្យសម្បត្តិសូន្យ យើងទទួលបានថា នៅលើដៃម្ខាង ផលបូកគឺស្មើគ្នា ហើយម្យ៉ាងវិញទៀតវាស្មើគ្នា។ មានន័យថា, ។

សូមចំណាំឥឡូវនេះថា និង និងផ្ទុយទៅនឹងធាតុដូចគ្នា ដូច្នេះពួកវាត្រូវតែស្មើគ្នា។

ការពិតទីមួយប្រែចេញដូចនេះ៖ នោះគឺវាផ្ទុយ ដូច្នេះវាស្មើគ្នា។

ដើម្បីឱ្យម៉ត់ចត់តាមគណិតវិទ្យា សូមឱ្យយើងពន្យល់ពីមូលហេតុនៃធាតុណាមួយ។ ជាការពិត, ។ នោះគឺការបន្ថែមមិនផ្លាស់ប្តូរបរិមាណទេ។ ដូច្នេះផលិតផលនេះស្មើនឹងសូន្យ។

Evgeny Epifanov
"ធាតុ"

យោបល់៖ ០

លោក Jacques Sesiano

ជាងពីរសហស្សវត្សរ៍ មានផ្នែកបន្ថែមសំខាន់ៗចំនួនបីទៅកាន់ដែនលេខ។ ទីមួយប្រហែល 450 មុនគ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនៃសាលា Pythagoras បានបង្ហាញពីអត្ថិភាពនៃចំនួនមិនសមហេតុផល។ គោលដៅដំបូងរបស់ពួកគេគឺដើម្បីកំណត់បរិមាណអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េឯកតា។ ទីពីរនៅក្នុងសតវត្សទី XIII-XV អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអឺរ៉ុបប្រព័ន្ធដោះស្រាយ សមីការលីនេអ៊ែរបានទទួលស្គាល់លទ្ធភាពនៃការសម្រេចចិត្តអវិជ្ជមានមួយ។ ហើយទីបី នៅឆ្នាំ 1572 ពិជគណិតជនជាតិអ៊ីតាលី Rafael Bombelli បានប្រើចំនួនកុំផ្លិច ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយពិតប្រាកដចំពោះសមីការគូបជាក់លាក់មួយ។

I.V. Proskuryakov

គោលបំណងនៃសៀវភៅនេះគឺកំណត់យ៉ាងម៉ឺងម៉ាត់នៃលេខ ពហុធា និងប្រភាគពិជគណិត និងការបញ្ជាក់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកវាដែលបានស្គាល់រួចមកហើយពីសាលា ហើយមិនមែនដើម្បីស្គាល់អ្នកអានជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិថ្មីៗនោះទេ។ ដូច្នេះ អ្នកអាននឹងមិនស្វែងរកការពិតដែលថ្មីសម្រាប់គាត់ទេ (លើកលែងតែ ប្រហែលជាលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួន លេខពិត និងស្មុគស្មាញ) ប៉ុន្តែគាត់នឹងរៀនពីរបៀបដើម្បីបញ្ជាក់របស់ដែលគាត់ស្គាល់ច្បាស់ ដោយចាប់ផ្តើមជាមួយ "ពីរដង ពីរ-បួន"។ និងបញ្ចប់ដោយច្បាប់នៃសកម្មភាពជាមួយពហុនាម និង ប្រភាគពិជគណិត... ប៉ុន្តែអ្នកអាននឹងស្គាល់លេខមួយ។ គំនិតទូទៅដើរតួនាទីសំខាន់ក្នុងពិជគណិត។

Ilya Shchurov

គណិតវិទូ Ilya Shchurov អំពី ប្រភាគទសភាគវិញ្ញាសា និងភាពមិនសមហេតុផលរបស់ភី។

លោក Leon Takhtadzhyan

ទាំងនេះនឹងជារឿងខ្លីៗចំនួនបួន។ យើងនឹងចាប់ផ្តើមដោយលេខ បន្ទាប់មកយើងនិយាយអំពីចលនា បន្ទាប់មកយើងនិយាយអំពីការផ្លាស់ប្តូរ បន្ទាប់មកយើងនិយាយអំពីរាង និងទំហំ ហើយបន្ទាប់មកចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់។ នៅក្នុងរចនាប័ទ្មដែលបានអ៊ិនគ្រីបបន្តិចនេះ យើងនឹងព្យាយាមមើលគណិតវិទ្យាពីខាងក្នុង និងខាងក្រៅ ហើយពិតប្រាកដដូចជាវត្ថុមួយ។ អ្វីដែលអ្នកគណិតវិទូគិតអំពី និងរបៀបដែលពួកគេរស់នៅ - យើងអាចនិយាយអំពីរឿងនេះនៅពេលក្រោយ។

Vladlen Timorin

គណិតវិទូ Vladlen Timorin លើគុណសម្បត្តិនៃចំនួនកុំផ្លិច, Hamilton quaternions, លេខ Cayley ប្រាំបីវិមាត្រ និងភាពខុសគ្នានៃលេខនៅក្នុងធរណីមាត្រ។

លោក Jacques Sesiano

យើងដឹងតិចតួចអំពី Diophantus ។ វាហាក់ដូចជាគាត់រស់នៅក្នុងអាឡិចសាន់ឌ្រី។ គ្មានគណិតវិទូក្រិកណាម្នាក់និយាយដល់គាត់រហូតដល់សតវត្សទី 4 ដូច្នេះគាត់ប្រហែលជារស់នៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 3 ។ ច្រើនបំផុត ការងារសំខាន់ Diophantus, "Arithmetic" (Ἀριθμητικά) បានកើតឡើងនៅដើម 13 "សៀវភៅ" (βιβλία) ពោលគឺជំពូក។ យើងមាន 10 ក្នុងចំណោមពួកគេសព្វថ្ងៃនេះ ពោលគឺ 6 នៅក្នុងអត្ថបទក្រិក និង 4 ផ្សេងទៀតនៅក្នុងមជ្ឈិមសម័យ ការបកប្រែភាសាអារ៉ាប់ដែលដាក់នៅកណ្តាលសៀវភៅក្រិក៖ សៀវភៅ I-III ជាភាសាក្រិច, IV-VII ជាភាសាអារ៉ាប់, VIII-X ជាភាសាក្រិច។ "នព្វន្ធ" ដោយ Diophantus គឺជាបណ្តុំនៃបញ្ហាជាចម្បងប្រហែល 260 សរុប។ ដើម្បីប្រាប់ការពិតមិនមានទ្រឹស្តីទេ។ មានតែ ការណែនាំទូទៅនៅក្នុងសេចក្តីផ្តើមនៃសៀវភៅ និងការកត់សម្គាល់ឯកជននៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួននៅពេលចាំបាច់។ "នព្វន្ធ" មានលក្ខណៈពិសេសនៃក្បួនពិជគណិតរួចទៅហើយ។ ទីមួយ Diophantus ប្រើ សញ្ញាផ្សេងគ្នាដើម្បីបង្ហាញពីភាពមិនស្គាល់ និងអំណាចរបស់វា ការគណនាមួយចំនួនផងដែរ។ ដូចជានិមិត្តសញ្ញាពិជគណិតទាំងអស់នៃយុគសម័យកណ្តាល និមិត្តសញ្ញារបស់វាមកពីពាក្យគណិតវិទ្យា។ បន្ទាប់មក Diophantus ពន្យល់ពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងវិធីពិជគណិត។ ប៉ុន្តែបញ្ហារបស់ Diophantus មិនមែនជាពិជគណិតក្នុងន័យធម្មតាទេ ព្រោះស្ទើរតែគ្រប់អ្វីៗទាំងអស់ត្រូវបានកាត់បន្ថយដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនកំណត់ ឬប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះ។

ពិភពលោកនៃគណិតវិទ្យាគឺមិនអាចគិតបានដោយគ្មានពួកគេ - ដោយគ្មានលេខបឋម។ តើអ្វីជាលេខសំខាន់ៗ អ្វីដែលពិសេសអំពីពួកវា និងអត្ថន័យអ្វីដែលពួកគេមានសម្រាប់ ជីវិតប្រចាំថ្ងៃ? នៅក្នុងខ្សែភាពយន្តនេះ សាស្ត្រាចារ្យគណិតវិទ្យាជនជាតិអង់គ្លេស Marcus du Saautoy លាតត្រដាងអាថ៌កំបាំងនៃលេខបឋម។

លោក George Shabbat

នៅសាលា យើងទាំងអស់គ្នាត្រូវបានបញ្ចូលជាមួយនឹងគំនិតខុសដែលថានៅលើសំណុំនៃលេខសនិទាន Q មានចម្ងាយធម្មជាតិតែមួយគត់ (ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នា) ដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រតិបត្តិការនព្វន្ធទាំងអស់គឺបន្ត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាក៏មានសំណុំគ្មានកំណត់នៃអ្វីដែលហៅថាចម្ងាយ p-adic ដែលមួយសម្រាប់លេខនីមួយៗ p ។ យោងតាមទ្រឹស្ដីរបស់ Ostrovsky ចម្ងាយ "ធម្មតា" រួមជាមួយនឹង p-adic ទាំងអស់ ពិតជាអស់ចម្ងាយសមហេតុសមផល Q. ពាក្យថាលទ្ធិប្រជាធិបតេយ្យ adelic ត្រូវបានណែនាំដោយ Yu. I. Manin ។ យោងតាមគោលការណ៍នៃលទ្ធិប្រជាធិបតេយ្យ adelic ចម្ងាយសមហេតុផលទាំងអស់នៅលើ Q គឺស្មើគ្នានៅចំពោះមុខច្បាប់គណិតវិទ្យា (ប្រហែលជាមានតែប្រពៃណី "បន្តិច = បន្តិចទៀតស្មើគ្នា ... "

វ្ល៉ាឌីមៀ អាណុល

J. L. Lagrange បានបង្ហាញថា លំដាប់នៃកូតាមិនពេញលេញ (ចាប់ផ្តើមពីកន្លែងណាមួយ) គឺតាមកាលកំណត់ ប្រសិនបើលេខ x គឺជាភាពមិនសមហេតុផលបួនជ្រុង។ RO Kuz'min បានបង្ហាញថានៅក្នុងលំដាប់នៃ quotient មិនពេញលេញនៃចំនួនពិតណាមួយ សមាមាត្រ d_m ស្មើនឹង m មិនពេញលេញគឺដូចគ្នា (សម្រាប់ចំនួនពិតធម្មតា)។ ប្រភាគ d_m ថយចុះជា m → ∞ ជា 1 / m ^ 2 ហើយតម្លៃរបស់វាត្រូវបានព្យាករណ៍ដោយ Gauss (ដែលមិនបានបញ្ជាក់អ្វីទាំងអស់) ។ V. I. Arnolda បានដាក់ទៅមុខ (20 ឆ្នាំមុន) ការសន្និដ្ឋានថាស្ថិតិ Gauss - Kuzmin d_m ក៏មានសុពលភាពផងដែរសម្រាប់រយៈពេលនៃការបន្តប្រភាគនៃឫស។ សមីការការ៉េ x ^ 2 + px + q = 0 (ជាមួយចំនួនគត់ p និង q)៖ ប្រសិនបើយើងសរសេររួមគ្នានូវប្រភាគដែលមិនពេញលេញដែលបង្កើតជារយៈពេលនៃប្រភាគបន្តទាំងអស់នៃឫសនៃសមីការបែបនេះជាមួយ p^2 + q^2≤R^ 2 បន្ទាប់មកប្រភាគនៃកូតាមិនពេញលេញ m ក្នុងចំណោមពួកវានឹងមានទំនោរទៅលេខ d_m ជា R → ∞ ។ V. A. Bykovsky ជាមួយសិស្ស Khabarovsk របស់គាត់ថ្មីៗនេះបានបង្ហាញពីសម្មតិកម្មចាស់នេះ។ ទោះបីជាយ៉ាងនេះក៏ដោយ សំណួរនៃស្ថិតិមិនមែនជាអក្សរ ប៉ុន្តែនៃពាក្យដែលផ្សំឡើងពីពួកវា ដែលជារយៈពេលនៃប្រភាគបន្តនៃឫស x មួយចំនួននៃសមីការ x ^ 2 + px + q = 0 គឺនៅឆ្ងាយពីការដោះស្រាយ។

Reed Miles

ខ្ញុំទុកចំណងជើង និងអរូបីឱ្យមានភាពមិនច្បាស់លាស់តាមដែលអាចធ្វើទៅបាន ដូច្នេះខ្ញុំអាចនិយាយអំពីអ្វីដែលខ្ញុំមានអារម្មណ៍នៅថ្ងៃនោះ។ ពូជជាច្រើននៃការចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការចាត់ថ្នាក់នៃពូជត្រូវបានទទួលជា Spec ឬ Proj of a Gorenstein ring ។ នៅក្នុង codimension ⩽3 ទ្រឹស្ដីរចនាសម្ព័ន្ធដែលគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ផ្តល់នូវវិធីសាស្រ្តច្បាស់លាស់នៃការគណនាជាមួយនឹងចិញ្ចៀន Gorenstein ។ ផ្ទុយទៅវិញ មិនមានទ្រឹស្ដីរចនាសម្ព័ន្ធដែលអាចប្រើប្រាស់បានសម្រាប់ rings of codimension ⩾4 ទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងករណីជាច្រើន ការព្យាករណ៍ Gorenstein ( និងរបស់ខ្លួនបញ្ច្រាស, Kustin - Miller unprojection) ផ្តល់នូវវិធីសាស្រ្តនៃការវាយប្រហារចិញ្ចៀនទាំងនេះ។ វិធីសាស្រ្តទាំងនេះអនុវត្តចំពោះថ្នាក់នៃរង្វង់រាងពងក្រពើនៃផ្ទៃពិជគណិតធម្មតា និងចំពោះការសាងសង់ប្រព័ន្ធបន្ថែមទៀតនៃ Q-Fano 3-folds Sarkisov ភ្ជាប់រវាងទាំងនេះ និង 3 ដងនៃប្រភេទ A នៃទ្រឹស្តី Mori ។

ពេលស្តាប់គ្រូគណិតវិទ្យា សិស្សភាគច្រើនយកសម្ភារៈធ្វើជា axiom ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ មានមនុស្សតិចណាស់ដែលព្យាយាមចូលទៅផ្នែកខាងក្រោមរបស់វា ហើយស្វែងយល់ថាហេតុអ្វីបានជា "ដក" ដោយ "បូក" ផ្តល់សញ្ញា "ដក" ហើយនៅពេលដែលលេខអវិជ្ជមានពីរត្រូវបានគុណ នោះលេខវិជ្ជមានចេញមក។

ច្បាប់គណិតវិទ្យា

មនុស្សពេញវ័យភាគច្រើនមិនអាចពន្យល់ខ្លួនឯង ឬកូនរបស់ពួកគេថា ហេតុអ្វីបានជាដូច្នេះ។ ពួកគេបានរៀនសម្ភារៈនេះយ៉ាងរឹងមាំនៅសាលា ប៉ុន្តែមិនបានព្យាយាមរកថាតើច្បាប់ទាំងនេះមកពីណាទេ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងឥតប្រយោជន៍។ ជាញឹកញយ ក្មេងៗសម័យថ្មី មិនសូវជឿជាក់ទេ ត្រូវតែឈានដល់ចំណុចខាងក្រោម ហើយយល់ និយាយថា ហេតុអ្វី "បូក" សម្រាប់ "ដក" ផ្តល់ "ដក"។ ហើយពេលខ្លះ tomboys សួរជាពិសេស សំណួរពិបាកៗដើម្បីរីករាយនឹងពេលដែលមនុស្សពេញវ័យមិនអាចផ្តល់ចម្លើយដែលយល់បាន។ ហើយវាពិតជាគ្រោះមហន្តរាយ ប្រសិនបើគ្រូបង្រៀនវ័យក្មេងជួបបញ្ហា…

ដោយវិធីនេះវាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាច្បាប់ខាងលើមានសុពលភាពសម្រាប់ទាំងគុណនិងចែក។ ផលិតផលនៃចំនួនអវិជ្ជមាន និងលេខវិជ្ជមាននឹងផ្តល់តែ "ដក" ប្រសិនបើ វាមកដល់ប្រហែលពីរខ្ទង់ដែលមានសញ្ញា "-" លទ្ធផលនឹងជាលេខវិជ្ជមាន។ ដូចគ្នាចំពោះការបែងចែក។ ប្រសិនបើលេខមួយគឺអវិជ្ជមាន នោះកូតាក៏នឹងនៅជាមួយសញ្ញា "-" ផងដែរ។

ដើម្បីពន្យល់ពីភាពត្រឹមត្រូវនៃច្បាប់គណិតវិទ្យានេះ ចាំបាច់ត្រូវបង្កើត axioms នៃ ring ។ ប៉ុន្តែដំបូងអ្នកត្រូវយល់ថាវាជាអ្វី។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ចិញ្ចៀនមួយត្រូវបានគេហៅថាជាសំណុំដែលប្រតិបត្តិការពីរដែលមានធាតុពីរជាប់ពាក់ព័ន្ធ។ ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរក្នុងការដោះស្រាយរឿងនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។

Ring axiom

មានច្បាប់គណិតវិទ្យាជាច្រើន។

ទីមួយនៃពួកគេគឺអាចផ្លាស់ប្តូរបានយោងទៅតាមគាត់ C + V = V + C ។
ទីពីរត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូលគ្នា (V + C) + D = V + (C + D) ។

ពួកគេក៏ជាកម្មវត្ថុនៃការគុណ (V x C) x D = V x (C x D) ។

គ្មាននរណាម្នាក់លុបចោលច្បាប់ដែលតង្កៀបបើក (V + C) x D = V x D + C x D ទេ វាក៏ជាការពិតដែរ C x (V + D) = C x V + C x D ។

លើសពីនេះ វាត្រូវបានបង្កើតឡើងថា ធាតុបន្ថែមអព្យាក្រឹតពិសេស អាចត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងសង្វៀន នៅពេលប្រើ ធាតុខាងក្រោមនឹងជាការពិត៖ C + 0 = C. លើសពីនេះទៀត សម្រាប់ C នីមួយៗមានធាតុផ្ទុយគ្នា ដែលអាច ត្រូវបានកំណត់ថាជា (-C) ។ ក្នុងករណីនេះ C + (-C) = 0 ។

ដេរីវេនៃ axioms សម្រាប់លេខអវិជ្ជមាន

ដោយការទទួលយកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងលើ អ្នកអាចឆ្លើយសំណួរថា "បូកទៅដកផ្តល់សញ្ញាអ្វី?" ដោយដឹងពី axiom អំពីការគុណនៃចំនួនអវិជ្ជមាន វាចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់ថាពិតជា (-C) x V = - (C x V) ។ ហើយក៏ថាសមភាពដូចខាងក្រោមនេះជាការពិត៖ (-(-គ)) = គ.

ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងអ្នកនឹងត្រូវបង្ហាញថាធាតុនីមួយៗមានតែមួយទល់មុខ "បងប្រុស" ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោមនៃភស្តុតាង។ តោះសាកស្រមៃមើលថា លេខ C ពីរគឺទល់មុខ - V និង D. វាធ្វើតាម C + V = 0 និង C + D = 0 នោះគឺ C + V = 0 = C + D. ចាំច្បាប់ផ្លាស់ទីលំនៅ និងអំពី លក្ខណសម្បត្តិនៃលេខ 0 យើងអាចពិចារណាផលបូកនៃលេខទាំងបីគឺ C, V និង D. ចូរយើងព្យាយាមរកតម្លៃរបស់ V. វាសមហេតុផលថា V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D ព្រោះតម្លៃនៃ C + D ដូចដែលបានទទួលយកខាងលើ ស្មើនឹង 0។ ដូចនេះ V = V + C + D ។

តម្លៃសម្រាប់ D ត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបដូចគ្នា: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. ដោយផ្អែកលើនេះវាក្លាយជាច្បាស់ថា V = D ។

ដើម្បីយល់ពីមូលហេតុ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ "បូក" សម្រាប់ "ដក" ផ្តល់ "ដក" វាចាំបាច់ត្រូវយល់ដូចខាងក្រោម។ ដូច្នេះសម្រាប់ធាតុ (-C) C និង (-(-C)) គឺផ្ទុយគ្នា ពោលគឺស្មើនឹងគ្នា។

ពេលនោះវាច្បាស់ថា 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. វាធ្វើតាមថា C x V ទល់មុខនឹង (-) C x V ដូច្នេះ (-) គ) x V = − (C x V) ។

សម្រាប់ភាពរឹងម៉ាំផ្នែកគណិតវិទ្យា វាក៏ចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់ថា 0 x V = 0 សម្រាប់ធាតុណាមួយ។ ប្រសិនបើអ្នកធ្វើតាមតក្កវិជ្ជាបន្ទាប់មក 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. នេះមានន័យថាការបន្ថែមផលិតផល 0 x V មិនផ្លាស់ប្តូរចំនួនកំណត់តាមវិធីណាមួយឡើយ។ យ៉ាងណាមិញផលិតផលនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។

ដោយដឹងពី axioms ទាំងអស់នេះ មនុស្សម្នាក់អាចគណនាមិនត្រឹមតែចំនួន "បូក" នៅលើ "ដក" ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងទទួលបានអ្វីដែលទទួលបានដោយការគុណលេខអវិជ្ជមានផងដែរ។

គុណ និងចែកលេខពីរដោយសញ្ញា "-"

ប្រសិនបើអ្នកមិនស្វែងយល់ពីគុណលក្ខណៈគណិតវិទ្យាទេ នោះអ្នកអាចព្យាយាមបន្ថែមទៀត នៅក្នុងវិធីសាមញ្ញមួយ។ពន្យល់ពីច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយលេខអវិជ្ជមាន។

ឧបមាថា C - (-V) = D ផ្អែកលើនេះ C = D + (-V) នោះគឺ C = D - V. យើងផ្ទេរ V ហើយយើងទទួលបាន C + V = D ។ នោះគឺ C ។ + V = C - (-V) ។ ឧទាហរណ៍នេះពន្យល់ពីមូលហេតុដែលនៅក្នុងកន្សោមដែលមាន "ដក" ពីរក្នុងមួយជួរ សញ្ញាដែលបានរៀបរាប់គួរតែត្រូវបានប្តូរទៅជា "បូក" ។ ឥឡូវនេះសូមដោះស្រាយជាមួយគុណ។

(-C) x (-V) = D អ្នកអាចបន្ថែម និងដកផលិតផលដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងកន្សោម ដែលនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរតម្លៃរបស់វា៖ (-C) x (-V) + (C x V) - (C x វ) = ឃ។

ដោយរំលឹកឡើងវិញនូវច្បាប់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយតង្កៀប យើងទទួលបាន៖

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

វាធ្វើតាមពីនេះថា C x V = (-C) x (-V) ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អ្នកអាចបញ្ជាក់បានថា ការបែងចែកលេខអវិជ្ជមានពីរនឹងផ្តល់លទ្ធផលវិជ្ជមាន។

ច្បាប់ទូទៅនៃគណិតវិទ្យា

ជាការពិតណាស់ ការពន្យល់នេះនឹងមិនដំណើរការសម្រាប់សិស្សសាលាឡើយ។ ថ្នាក់បឋមសិក្សាដែលទើបតែចាប់ផ្តើមរៀនលេខអវិជ្ជមានអរូបី។ វាជាការប្រសើរសម្រាប់ពួកគេក្នុងការពន្យល់លើវត្ថុដែលមើលឃើញ ដោយរៀបចំពាក្យដែលធ្លាប់ស្គាល់តាមរយៈកញ្ចក់ដែលមើលទៅ។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រដាប់ប្រដាក្មេងលេងដែលបង្កើត ប៉ុន្តែមិនមែនប្រដាប់ក្មេងលេងដែលមានស្រាប់នៅទីនោះទេ។ ពួកគេអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយសញ្ញា "-" ។ គុណនៃវត្ថុដូចកញ្ចក់ពីរ ផ្ទេរពួកវាទៅពិភពលោកមួយទៀត ដែលស្មើនឹងបច្ចុប្បន្ន នោះជាលទ្ធផល យើងមានលេខវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែការគុណនៃចំនួនអវិជ្ជមានអរូបីដោយលេខវិជ្ជមានផ្តល់តែលទ្ធផលដែលគ្រប់គ្នាធ្លាប់ស្គាល់។ បន្ទាប់ពីទាំងអស់ "បូក" គុណនឹង "ដក" ផ្តល់ឱ្យ "ដក" ។ ពិតហើយ កុមារមិនព្យាយាមខ្លាំងពេកក្នុងការស្វែងយល់ពីចំណុចសំខាន់ៗនៃគណិតវិទ្យាទាំងអស់នោះទេ។

ទោះបីជា, ដើម្បីឱ្យមានភាពស្មោះត្រង់, សម្រាប់មនុស្សជាច្រើន, សូម្បីតែជាមួយ ការសិក្សាខ្ពស់ច្បាប់ជាច្រើននៅតែជាអាថ៌កំបាំង។ មនុស្សគ្រប់គ្នាទទួលយកនូវអ្វីដែលគ្រូបង្រៀនពួកគេដោយមិនស្ទាក់ស្ទើរក្នុងការស្វែងយល់ពីការលំបាកទាំងអស់ដែលគណិតវិទ្យាពិបាក។ "ដក" សម្រាប់ "ដក" ផ្តល់ឱ្យ "បូក" - មនុស្សគ្រប់គ្នាដឹងអំពីវាដោយគ្មានករណីលើកលែង។ នេះជាការពិតសម្រាប់ទាំងលេខទាំងមូល និងប្រភាគ។

យកចិត្តទុកដាក់ មានតែថ្ងៃនេះប៉ុណ្ណោះ!

បច្ចេកទេសតម្រៀបក្នុងការសរសេរកម្មវិធី៖ តម្រៀបពពុះ

ពិតហើយហេតុអ្វី? ចំលើយដ៏សាមញ្ញបំផុតគឺ៖ "ពីព្រោះទាំងនេះគឺជាច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយជាមួយនឹងលេខអវិជ្ជមាន"។ ច្បាប់ដែលយើងបង្រៀននៅសាលា និងអនុវត្តពេញមួយជីវិតរបស់យើង។ យ៉ាងណាក៏ដោយ សៀវភៅសិក្សាមិនបានពន្យល់ថាហេតុអ្វីបានជាច្បាប់ពិតប្រាកដបែបនេះទេ។ យើងចាំបានថា នេះជារបៀបដែលយើងមិនសួរខ្លួនឯងនូវសំណួរ។

តោះសួរខ្លួនឯង...

តាំងពីយូរយារណាស់មកហើយ មានតែលេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះដែលមនុស្សស្គាល់៖ ១, ២, ៣, ... ពួកវាត្រូវបានគេប្រើសម្រាប់រាប់ប្រដាប់ប្រដា សត្វព្រៃ សត្រូវ។ល។ ពួកគេ។ ការបន្ថែមគឺមើលឃើញ និងអាចយល់បាន ក្រៅពីនេះផលបូកនៃលេខធម្មជាតិពីរក៏ជាលេខធម្មជាតិផងដែរ (គណិតវិទូនឹងនិយាយថា សំណុំនៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានបិទទាក់ទងនឹងប្រតិបត្តិការបូក)។ ការគុណគឺជាការបូកសំខាន់ដូចគ្នា ប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីលេខធម្មជាតិ។ នៅក្នុងជីវិត យើងតែងតែធ្វើសកម្មភាពដែលទាក់ទងនឹងប្រតិបត្តិការទាំងពីរនេះ (ឧទាហរណ៍ នៅពេលទិញទំនិញ យើងបន្ថែម និងគុណ) ហើយវាចម្លែកក្នុងការគិតថាបុព្វបុរសរបស់យើងបានជួបប្រទះវាតិចជាញឹកញាប់ - ការបន្ថែម និងការគុណត្រូវបានគ្រប់គ្រងដោយមនុស្សជាតិជាយូរមកហើយ។ កន្លងទៅ។ ជារឿយៗ វាចាំបាច់ក្នុងការបែងចែកបរិមាណមួយចំនួនដោយអ្នកផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែនៅទីនេះលទ្ធផលមិនតែងតែត្រូវបានបង្ហាញជាលេខធម្មជាតិនោះទេ - នេះជារបៀបដែលលេខប្រភាគបានបង្ហាញខ្លួន។

ជាការពិត ការដកក៏មិនអាចខ្វះបានដែរ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្ត យើងមានទំនោរដកលេខតូចពីលេខធំ ហើយមិនចាំបាច់ប្រើលេខអវិជ្ជមានទេ។ (ប្រសិនបើខ្ញុំមានស្ករគ្រាប់ចំនួន 5 ហើយខ្ញុំឱ្យប្អូនស្រីរបស់ខ្ញុំ 3 នោះខ្ញុំនឹងបាន 5 - 3 = 2 ស្ករគ្រាប់ ប៉ុន្តែខ្ញុំមិនអាចផ្តល់ឱ្យនាងនូវស្ករគ្រាប់ 7 តាមបំណងប្រាថ្នារបស់ខ្ញុំបានទេ។) នេះអាចពន្យល់ពីមូលហេតុដែលមនុស្សមិនប្រើលេខអវិជ្ជមានសម្រាប់ អស់រយៈពេលជាយូរ។

នៅក្នុងឯកសារឥណ្ឌា លេខអវិជ្ជមានលេចឡើងតាំងពីសតវត្សទី 7 នៃគ។ ជាក់ស្តែង ជនជាតិចិនបានចាប់ផ្តើមប្រើប្រាស់ពួកវាមុននេះបន្តិច។ ពួកវាត្រូវបានប្រើសម្រាប់គណនេយ្យបំណុល ឬក្នុងការគណនាកម្រិតមធ្យម ដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយសមីការ - វាគ្រាន់តែជាឧបករណ៍សម្រាប់ទទួលបានចម្លើយវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ការពិតដែលថាលេខអវិជ្ជមាន មិនដូចលេខវិជ្ជមាន ដែលមិនបង្ហាញពីវត្តមានរបស់អង្គភាពណាមួយ បានធ្វើឱ្យមានការមិនទុកចិត្តយ៉ាងខ្លាំង។ មនុស្សក្នុងន័យព្យញ្ជនៈនៃពាក្យបានចៀសវាងលេខអវិជ្ជមាន៖ ប្រសិនបើបញ្ហាទទួលបានចម្លើយអវិជ្ជមាន ពួកគេជឿថាគ្មានចម្លើយទាល់តែសោះ។ ការមិនទុកចិត្តនេះនៅតែបន្តកើតមានជាយូរមកហើយ ហើយសូម្បីតែ Descartes ដែលជា "ស្ថាបនិក" នៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប បានហៅពួកគេថា "មិនពិត" (ក្នុងសតវត្សទី 17!)។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាសមីការ 7x − 17 = 2x − 2។ វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដូចខាងក្រោម៖ ផ្លាស់ទីពាក្យដោយមិនស្គាល់ទៅខាងឆ្វេង ហើយនៅសល់ទៅខាងស្តាំ អ្នកទទួលបាន 7x − 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនេះ យើងមិនបានជួបលេខអវិជ្ជមានទេ។

ប៉ុន្តែវាអាចធ្វើទៅបានដោយចៃដន្យដើម្បីធ្វើវាខុសគ្នា: ផ្ទេរលក្ខខណ្ឌដោយមិនស្គាល់ទៅផ្នែកខាងស្តាំហើយទទួលបាន 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5) x ។ ដើម្បីស្វែងរកលេខដែលមិនស្គាល់ អ្នកត្រូវចែកលេខអវិជ្ជមានមួយដោយមួយទៀត៖ x = (-15) / (-5) ។ ប៉ុន្តែចម្លើយត្រឹមត្រូវត្រូវបានគេដឹងហើយវានៅសល់ដើម្បីសន្និដ្ឋានថា (-15) / (-5) = 3 ។

ការបន្ថែមនៃធាតុចិញ្ចៀនគោរពតាមការផ្លាស់ទីលំនៅ (A + B = B + A សម្រាប់ធាតុណាមួយ A និង B) និងការរួមបញ្ចូលគ្នា (A + (B + C) = (A + B) + C) ច្បាប់; ចិញ្ចៀនមានធាតុពិសេស 0 (ធាតុអព្យាក្រឹតសម្រាប់បន្ថែម) ដូចជា A + 0 = A ហើយសម្រាប់ធាតុណាមួយ A មានធាតុផ្ទុយ (តំណាងដោយ (-A)) ដូចជា A + (-A) = 0 ;
- គុណត្រូវគោរពច្បាប់ផ្សំ៖ A · (B · C) = (A · B) · C;
ការបូកនិងគុណត្រូវបានទាក់ទងដោយច្បាប់ពង្រីកវង់ក្រចកខាងក្រោម៖ (A + B) C = A C + B C និង A (B + C) = A B + A C ។

ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាសម្រាប់ធាតុណាមួយ A និង B នៃចិញ្ចៀនតាមអំពើចិត្ត ទីមួយ (-A) B = - (A B) និងទីពីរ (- (- A)) = A ។ នេះបង្កប់ន័យយ៉ាងងាយនូវសេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីឯកតា៖ ( −1) 1 = − (1 1) = −1 និង (−1) (−1) = − ((- 1) 1) = − (− 1) = 1 ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវបង្កើតការពិតមួយចំនួន។ ជាដំបូង ចូរយើងបង្ហាញថាធាតុនីមួយៗអាចមានតែមួយផ្ទុយគ្នា។ ពិតហើយ សូមអោយធាតុ A មានចំនុចផ្ទុយគ្នាពីរគឺ B និង C ។ នោះគឺ A + B = 0 = A + C ។ ពិចារណាលើផលបូក A + B + C ។ ដោយប្រើច្បាប់រួមបញ្ចូលគ្នា និងការផ្លាស់ប្តូរ និងទ្រព្យសម្បត្តិសូន្យ យើងទទួលបាននោះ។ មួយវិញទៀត ផលបូកគឺ B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C ហើយម្យ៉ាងវិញទៀត វាគឺ C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. ដូច្នេះ B = C ។

សូមចំណាំថា ទាំង A និង (-(-A)) ទល់មុខនឹងធាតុដូចគ្នា (-A) ដូច្នេះពួកវាត្រូវតែស្មើគ្នា។

ការពិតទីមួយត្រូវបានទទួលដូចខាងក្រោម: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B នោះគឺ (-A) B ទល់មុខ A B ដូច្នេះវាស្មើនឹង - (AB) ។

ដើម្បីឱ្យម៉ត់ចត់តាមគណិតវិទ្យា ចូរយើងពន្យល់ពីមូលហេតុ 0 · B = 0 សម្រាប់ធាតុណាមួយ B. ពិតណាស់ 0 · B = (0 + 0) B = 0 · B + 0 · B ។ នោះគឺការបន្ថែម 0 · B មិនផ្លាស់ប្តូរបរិមាណទេ។ ដូច្នេះផលិតផលនេះស្មើនឹងសូន្យ។

Evgeny Epifanov

អវិជ្ជមានពីរធ្វើឱ្យមានការបញ្ជាក់- នេះជាច្បាប់ដែលយើងរៀននៅសាលា ហើយអនុវត្តពេញមួយជីវិត។ ក្នុងចំណោមពួកយើងមាននរណាឆ្ងល់ថាហេតុអ្វី? ជាការពិតណាស់ វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការចងចាំសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះដោយគ្មានសំណួរដែលមិនចាំបាច់ និងមិនត្រូវស្វែងយល់ឱ្យស៊ីជម្រៅទៅក្នុងខ្លឹមសារនៃបញ្ហានោះទេ។ ឥឡូវនេះមានព័ត៌មានគ្រប់គ្រាន់ហើយដែលត្រូវការ "រំលាយ" ។ ប៉ុន្តែសម្រាប់អ្នកដែលនៅតែចាប់អារម្មណ៍នឹងសំណួរនេះ យើងនឹងព្យាយាមផ្តល់ការពន្យល់អំពីបាតុភូតគណិតវិទ្យានេះ។

តាំងពីបុរាណកាលមក មនុស្សយើងប្រើលេខធម្មជាតិវិជ្ជមាន៖ ១, ២, ៣, ៤, ៥, ... លេខត្រូវបានប្រើសម្រាប់រាប់សត្វពាហនៈ ដំណាំ សត្រូវ។ល។ នៅពេលបូកនិងគុណលេខវិជ្ជមានពីរ ពួកគេតែងតែទទួលបានលេខវិជ្ជមាន នៅពេលដែលបែងចែកតម្លៃមួយចំនួនដោយអ្នកផ្សេងទៀត ពួកគេមិនតែងតែទទួលបានលេខធម្មជាតិទេ - នេះជារបៀបដែលលេខប្រភាគលេចឡើង។ ចុះការដកវិញ? តាំងពីកុមារភាពមក យើងដឹងថាវាជាការប្រសើរក្នុងការបន្ថែមតិចទៅធំ ហើយដកលេខតូចពីធំជាង ខណៈពេលដែលយើងមិនប្រើលេខអវិជ្ជមានម្តងទៀត។ វាប្រែថាប្រសិនបើខ្ញុំមានផ្លែប៉ោម 10 ខ្ញុំអាចឱ្យនរណាម្នាក់តិចជាង 10 ឬ 10 ។ ខ្ញុំមិនអាចឱ្យផ្លែប៉ោម 13 ផ្លែបានទេព្រោះខ្ញុំមិនមានវា។ មិនមានតម្រូវការសម្រាប់លេខអវិជ្ជមានអស់រយៈពេលជាយូរមកហើយ។

មានតែចាប់ពីសតវត្សរ៍ទី ៧ នៃគ។លេខអវិជ្ជមានត្រូវបានប្រើនៅក្នុងប្រព័ន្ធរាប់មួយចំនួនជាតម្លៃជំនួយដែលធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានលេខវិជ្ជមាននៅក្នុងចម្លើយ។

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ។, 6x − 30 = 3x − 9. ដើម្បីរកចំលើយ វាចាំបាច់ក្នុងការទុកពាក្យដោយមិនស្គាល់នៅខាងឆ្វេង ហើយនៅសល់ - នៅខាងស្តាំ៖ 6x - 3x = 30 - 9, 3x = 21, x = 7. នៅពេលដោះស្រាយសមីការនេះ យើងសូម្បីតែគ្មានលេខអវិជ្ជមានត្រូវបានជួបប្រទះ។ យើងអាចផ្លាស់ទីពាក្យដោយមិនស្គាល់ទៅខាងស្ដាំ និងដោយមិនស្គាល់ - ទៅឆ្វេង៖ 9 - 30 = 3x - 6x, (-21) = (-3x) ។ នៅពេលចែកលេខអវិជ្ជមានដោយអវិជ្ជមាន យើងទទួលបានចម្លើយវិជ្ជមាន៖ x = 7 ។

តើយើងឃើញអ្វី?

សកម្មភាពដែលមានលេខអវិជ្ជមានគួរតែនាំយើងទៅរកចម្លើយដូចគ្នានឹងសកម្មភាពដែលមានតែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ យើងមិនអាចគិតអំពីភាពគ្មានប្រយោជន៍ជាក់ស្តែង និងអត្ថន័យនៃសកម្មភាពនោះទេ - ពួកគេជួយយើងដោះស្រាយបញ្ហាបានលឿនជាងមុន ដោយមិនកាត់បន្ថយសមីការទៅជាទម្រង់ដែលមានតែលេខវិជ្ជមាន។ ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងយើងមិនប្រើការគណនាស្មុគស្មាញទេប៉ុន្តែជាមួយ មួយចំនួនធំការគណនាពាក្យជាមួយលេខអវិជ្ជមានអាចធ្វើឱ្យការងាររបស់យើងកាន់តែងាយស្រួល។

យូរ ៗ ទៅបន្ទាប់ពីការពិសោធន៍និងការគណនារយៈពេលវែងវាអាចកំណត់អត្តសញ្ញាណច្បាប់ដែលគោរពតាមលេខនិងសកម្មភាពទាំងអស់នៅលើពួកវា (នៅក្នុងគណិតវិទ្យាពួកគេត្រូវបានគេហៅថា axioms) ។ ពីទីនេះមក axiom ដែលចែងថានៅពេលដែលចំនួនអវិជ្ជមានពីរត្រូវបានគុណយើងទទួលបានវិជ្ជមាន។

គេហទំព័រ blog. ជាមួយនឹងការចម្លងពេញលេញ ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។