Antrojo laipsnio aritmetinė šaknis
1 apibrėžimas
Antroji $a$ šaknis (arba kvadratinė šaknis). Pavadinkite skaičių, kurį patraukus kvadratu, jis tampa lygus $a$.
1 pavyzdys
$7^2=7 \cdot 7=49$, taigi $7$ yra 2-oji $49$ šaknis;
$0.9^2=0.9 \cdot 0.9=0.81$, taigi $0.9$ yra 2-oji $0.81$ šaknis;
$1^2=1 \cdot 1=1$, taigi $1$ yra 2-oji $1$ šaknis.
2 pastaba
Paprasčiau tariant, bet kokiam skaičiui $a
$a=b^2$ yra klaidinga neigiamam $a$, nes $a=b^2$ negali būti neigiamas bet kuriai $b$ vertei.
Galima daryti išvadą, kad tikriesiems skaičiams negali būti 2-osios neigiamo skaičiaus šaknies.
3 pastaba
Nes $0^2=0 \cdot 0=0$, tada iš apibrėžimo išplaukia, kad nulis yra 2-oji nulio šaknis.
2 apibrėžimas
2-ojo laipsnio aritmetinė šaknis iš skaičiaus $a$($a \ge 0$) yra neneigiamas skaičius, kuris kvadratu lygus $a$.
Taip pat vadinamos 2-ojo laipsnio šaknys kvadratinės šaknys.
Nurodykite skaičiaus $a$ 2-ojo laipsnio aritmetinę šaknį kaip $\sqrt(a)$ arba galite atitikti žymėjimą $\sqrt(a)$. Bet dažniausiai už kvadratinę šaknį iš skaičiaus $2$ - šaknies rodiklis- nenurodyta. Ženklas „$\sqrt( )$“ yra ženklas aritmetinė šaknis 2 laipsnis, kuris taip pat vadinamas " radikalus ženklas“. Sąvokos „šaknis“ ir „radikalas“ yra to paties objekto pavadinimai.
Jei po aritmetinės šaknies ženklu yra skaičius, tada jis vadinamas šaknies numeris, o jei išraiška, tada - radikali išraiška.
Įrašas $\sqrt(8)$ skaitomas kaip „2-ojo aštuonių laipsnio aritmetinė šaknis“, o žodis „aritmetika“ dažnai neminimas.
3 apibrėžimas
Pagal apibrėžimą 2-ojo laipsnio aritmetinė šaknis galima parašyti:
Už bet kokį $a \ge 0$:
$(\sqrt(a))^2=a$,
$\sqrt(a)\ge 0$.
Mes parodėme skirtumą tarp antrojo laipsnio šaknies ir antrojo laipsnio aritmetinės šaknies. Toliau nagrinėsime tik neneigiamų skaičių ir posakių šaknis, t.y. tik aritmetika.
Trečiojo laipsnio aritmetinė šaknis
4 apibrėžimas
$a$ 3 aritmetinė šaknis (arba kubo šaknis).($a \ge 0$) yra neneigiamas skaičius, kuris tampa lygus $a$, kai sujungiamas į kubą.
Dažnai praleidžiamas žodis aritmetika ir sakoma „3 laipsnio šaknis iš skaičiaus $a$“.
Jie žymi $a$ 3 laipsnio aritmetinę šaknį kaip $\sqrt(a)$, ženklas "$\sqrt( )$" yra 3 laipsnio aritmetinės šaknies ženklas, o skaičius $3$ šis žymėjimas vadinamas šaknies indikatorius. Iškviečiamas skaičius arba išraiška, esanti po šaknies ženklu įsišaknijęs.
2 pavyzdys
$\sqrt(3,5)$ yra 3 $3,5$ šaknis arba $3,5$ kubo šaknis;
$\sqrt(x+5)$ yra 3 $x+5$ šaknis arba $x+5$ kubo šaknis.
N-ojo laipsnio aritmetinė šaknis
5 apibrėžimas
Aritmetika n-osios šaknis laipsnį iš skaičiaus $a \ge 0$ iškviečiamas neneigiamas skaičius, kurį pakėlus iki $n$-osios laipsnio, tampa lygus $a$.
$a \ge 0$ $n$ laipsnio aritmetinės šaknies žymėjimas:
kur $a$ yra radikalus skaičius arba išraiška,
Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų surinkta Asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir pateikti jums rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Jei reikia – pagal įstatymą, teismo tvarka, in bylinėjimosi, ir (arba) remiantis viešais prašymais arba prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Mes taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais viešojo intereso tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Šiame straipsnyje mes supažindinsime skaičiaus šaknies samprata. Veiksime nuosekliai: pradėsime nuo kvadratinės šaknies, nuo jos pereisime prie aprašymo kubo šaknis, po to apibendriname šaknies sąvoką, apibrėždami n-ojo laipsnio šaknį. Kartu supažindinsime su apibrėžimais, žymėjimu, pateiksime šaknų pavyzdžių ir pateiksime reikiamus paaiškinimus bei komentarus.
Kvadratinė šaknis, aritmetinė kvadratinė šaknis
Norint suprasti skaičiaus šaknies apibrėžimą, o ypač kvadratinę šaknį, reikia turėti . Šiuo metu dažnai susidursime su antrąja skaičiaus laipsniu – skaičiaus kvadratu.
Pradėkime nuo kvadratinių šaknų apibrėžimai.
Apibrėžimas
Kvadratinė šaknis iš a yra skaičius, kurio kvadratas yra .
Norint atvežti pavyzdžių kvadratinės šaknys , paimkite kelis skaičius, pavyzdžiui, 5 , -0,3 , 0,3 , 0 ir padėkite juos kvadratu, gausime atitinkamai skaičius 25 , 0,09 , 0,09 ir 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25, (-0,3) 2 = (-0,3) (-0,3) = 0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3 = 0,09 ir 0 2 =0 0 = 0). Tada pagal aukščiau pateiktą apibrėžimą 5 yra kvadratinė šaknis iš 25, −0,3 ir 0,3 yra kvadratinė šaknis iš 0,09, o 0 yra nulio kvadratinė šaknis.
Reikia pažymėti, kad neegzistuoja joks skaičius a , kurio kvadratas lygus a . Būtent bet kuriam neigiamam skaičiui a nėra tikrojo skaičiaus b, kurio kvadratas būtų lygus a. Iš tiesų, lygybė a=b 2 neįmanoma bet kuriam neigiamam a , nes b 2 yra neneigiamas bet kurio b skaičius. Šiuo būdu, realiųjų skaičių aibėje nėra neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies. Kitaip tariant, realiųjų skaičių aibėje neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis nėra apibrėžta ir neturi reikšmės.
Tai veda prie logiško klausimo: „Ar yra bet kurio neneigiamo a kvadratinė šaknis“? Atsakymas yra taip. Šio fakto pagrindimu galima laikyti konstruktyvų metodą, naudojamą kvadratinės šaknies vertei nustatyti.
Tada kyla toks logiškas klausimas: „Kiek yra duoto neneigiamo skaičiaus a visų kvadratinių šaknų skaičius – vienas, du, trys ar net daugiau“? Štai atsakymas į jį: jei a yra nulis, tai vienintelė nulio kvadratinė šaknis yra nulis; jei a yra teigiamas skaičius, tai kvadratinių šaknų skaičius iš skaičiaus a yra lygus dviem, o šaknys yra . Pagrįskime tai.
Pradėkime nuo atvejo a=0 . Pirmiausia parodykime, kad nulis iš tikrųjų yra kvadratinė šaknis iš nulio. Tai išplaukia iš akivaizdžios lygybės 0 2 =0·0=0 ir kvadratinės šaknies apibrėžimo.
Dabar įrodykime, kad 0 yra vienintelė kvadratinė šaknis iš nulio. Naudokime priešingą metodą. Tarkime, kad yra koks nors nulinis skaičius b, kuris yra kvadratinė šaknis iš nulio. Tada turi būti įvykdyta sąlyga b 2 =0, o tai neįmanoma, nes bet kokiam nuliui b reiškinio b 2 reikšmė yra teigiama. Priėjome prieštaravimą. Tai įrodo, kad 0 yra vienintelė kvadratinė šaknis iš nulio.
Pereikime prie atvejų, kai a yra teigiamas skaičius. Aukščiau sakėme, kad visada yra bet kurio neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis, tegul b yra a kvadratinė šaknis. Tarkime, kad yra skaičius c , kuris taip pat yra a kvadratinė šaknis. Tada pagal kvadratinės šaknies apibrėžimą galioja lygybės b 2 =a ir c 2 =a, iš ko išplaukia, kad b 2 −c 2 =a−a=0, bet kadangi b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , tada (b−c) (b+c)=0 . Galioja gauta lygybė veiksmų su realiaisiais skaičiais savybės galima tik tada, kai b-c=0 arba b+c=0 . Taigi skaičiai b ir c yra lygūs arba priešingi.
Jei darysime prielaidą, kad yra skaičius d, kuris yra dar viena kvadratinė šaknis iš skaičiaus a, tada samprotaujant panašiai kaip jau pateiktos, įrodoma, kad d yra lygus skaičiui b arba skaičiui c. Taigi teigiamo skaičiaus kvadratinių šaknų skaičius yra du, o kvadratinės šaknys yra priešingi skaičiai.
Kad būtų patogiau dirbti su kvadratinėmis šaknimis, neigiama šaknis „atskiriama“ nuo teigiamos. Šiuo tikslu ji pristato aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimas.
Apibrėžimas
Aritmetinė kvadratinė šaknis iš neneigiamo skaičiaus a yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas yra lygus .
Skaičiaus a aritmetinės kvadratinės šaknies žymėjimas priimamas. Ženklas vadinamas aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu. Jis taip pat vadinamas radikalo ženklu. Todėl iš dalies galite išgirsti ir „root“, ir „radical“, o tai reiškia tą patį objektą.
Skaičius po aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu vadinamas šaknies numeris, o išraiška po šaknies ženklu - radikali išraiška, o terminas „radikalus skaičius“ dažnai pakeičiamas terminu „radikalioji išraiška“. Pavyzdžiui, žymėjime skaičius 151 yra radikalusis skaičius, o užraše išraiška a yra radikali išraiška.
Skaitant žodis „aritmetika“ dažnai praleidžiamas, pavyzdžiui, įrašas skaitomas kaip „kvadratinė šaknis iš septynių taškų dvidešimt devynių šimtųjų dalių“. Žodis „aritmetika“ vartojamas tik tada, kai norima tai pabrėžti Mes kalbame apie teigiamą skaičiaus kvadratinę šaknį.
Atsižvelgiant į įvestą žymėjimą, iš aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimo matyti, kad bet kuriam neneigiamam skaičiui a .
Teigiamo skaičiaus a kvadratinės šaknys rašomos naudojant aritmetinį kvadratinės šaknies ženklą kaip ir . Pavyzdžiui, 13 kvadratinės šaknys yra ir . Aritmetinė nulio kvadratinė šaknis yra lygi nuliui, tai yra, . Neigiamų skaičių a įrašams reikšmės nesuteiksime tol, kol neištirsime kompleksiniai skaičiai. Pavyzdžiui, posakiai ir yra beprasmiai.
Remiantis kvadratinės šaknies apibrėžimu, įrodytos kvadratinių šaknų savybės, kurios dažnai naudojamos praktikoje.
Baigdami šį poskyrį pažymime, kad skaičiaus kvadratinės šaknys yra x 2 =a formos sprendiniai kintamojo x atžvilgiu.
kubo šaknis
Kubo šaknies apibrėžimas skaičius a pateikiamas panašiai kaip kvadratinės šaknies apibrėžimas. Tik jis remiasi ne kvadrato, o skaičiaus kubo koncepcija.
Apibrėžimas
Kubo šaknis a vadinamas skaičius, kurio kubas lygus a.
Atnešam kubo šaknų pavyzdžiai. Norėdami tai padaryti, paimkite kelis skaičius, pavyzdžiui, 7 , 0 , −2/3 , ir supjaustykite juos kubeliu: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , 
. Tada, remiantis kubo šaknies apibrėžimu, galime pasakyti, kad skaičius 7 yra 343 kubinė šaknis, 0 yra nulio kubinė šaknis, o −2/3 yra −8/27 kubinė šaknis.
Galima parodyti, kad skaičiaus a kubinė šaknis, skirtingai nei kvadratinė šaknis, egzistuoja visada, ir ne tik neneigiamam a, bet ir bet kuriam realiajam skaičiui a. Norėdami tai padaryti, galite naudoti tą patį metodą, kurį minėjome studijuodami kvadratinę šaknį.
Be to, tam tikro skaičiaus a yra tik viena kubinė šaknis. Įrodykime paskutinį teiginį. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite tris atvejus atskirai: a yra teigiamas skaičius, a = 0 ir a yra neigiamas skaičius.
Nesunku parodyti, kad teigiamo a kubinė šaknis negali būti nei neigiama, nei nulis. Iš tiesų, tegul b yra a kubinė šaknis, tada pagal apibrėžimą galime parašyti lygybę b 3 =a . Akivaizdu, kad ši lygybė negali būti teisinga neigiamam b ir b=0, nes šiais atvejais b 3 =b·b·b bus atitinkamai neigiamas skaičius arba nulis. Taigi teigiamo skaičiaus a kubinė šaknis yra teigiamas skaičius.
Tarkime, kad be skaičiaus b yra dar viena kubinė šaknis iš skaičiaus a, pažymėkime ją c. Tada c 3 =a. Todėl b 3 −c 3 =a−a=0 , bet b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(tai yra sutrumpinta daugybos formulė kubelių skirtumas), iš kur (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Gauta lygybė įmanoma tik tada, kai b−c=0 arba b 2 +b c+c 2 =0 . Iš pirmosios lygybės turime b=c, o antroji lygybė neturi sprendinių, nes jos kairioji pusė yra teigiamas skaičius bet kokiems teigiamiems skaičiams b ir c kaip trijų teigiamų narių b 2 , b c ir c 2 suma. Tai įrodo teigiamo skaičiaus a kubinės šaknies unikalumą.
Jei a=0, vienintelė a kubinė šaknis yra nulis. Iš tiesų, jei darysime prielaidą, kad yra skaičius b , kuris yra ne nulinė nulio kubinė šaknis, tada turi galioti lygybė b 3 =0, o tai įmanoma tik tada, kai b=0 .
Dėl neigiamo a galima ginčytis panašiai kaip dėl teigiamo a . Pirma, parodome, kad neigiamo skaičiaus kubinė šaknis negali būti lygi nei teigiamam skaičiui, nei nuliui. Antra, darome prielaidą, kad yra antroji neigiamo skaičiaus kubinė šaknis, ir parodome, kad ji būtinai sutaps su pirmuoju.
Taigi, visada yra bet kurio tikrojo skaičiaus a kubinė šaknis ir tik vienas.
Duokim aritmetinės kubo šaknies apibrėžimas.
Apibrėžimas
Neneigiamo skaičiaus aritmetinė kubo šaknis a vadinamas neneigiamas skaičius, kurio kubas lygus a.
Neneigiamo skaičiaus a aritmetinė kubo šaknis žymima kaip , ženklas vadinamas aritmetinio kubo šaknies ženklu, skaičius 3 šioje žymėjime vadinamas šaknies indikatorius. Skaičius po šaknies ženklu yra šaknies numeris, išraiška po šaknies ženklu yra radikali išraiška.
Nors aritmetinė kubo šaknis apibrėžiama tik neneigiamiems skaičiams a, taip pat patogu naudoti įrašus, kuriuose aritmetinio kubo šaknies ženkle yra neigiami skaičiai. Juos suprasime taip: , kur a yra teigiamas skaičius. Pavyzdžiui, 
.
Apie kubinių šaknų savybes kalbėsime bendrame straipsnyje šaknų savybės.
Kubo šaknies reikšmės skaičiavimas vadinamas kubo šaknies ištraukimu, šis veiksmas aptariamas straipsnyje šaknų ištraukimas: metodai, pavyzdžiai, sprendimai.
Baigdami šį poskyrį sakome, kad a kubinė šaknis yra x 3 =a formos sprendinys.
N-oji šaknis, aritmetinė n šaknis
Šaknies sąvoką apibendriname iš skaičiaus – pristatome n-osios šaknies nustatymas už n.
Apibrėžimas
n-oji a šaknis yra skaičius, kurio n-oji laipsnis yra lygus a.
Iš šis apibrėžimas aišku, kad pirmojo laipsnio šaknis iš skaičiaus a yra pats skaičius a, nes tirdami laipsnį su natūraliu rodikliu, mes ėmėme 1 \u003d a.
Aukščiau nagrinėjome specialius n-ojo laipsnio šaknies atvejus, kai n=2 ir n=3 – kvadratinė ir kubo šaknis. Tai yra, kvadratinė šaknis yra antrojo laipsnio šaknis, o kubo šaknis yra trečiojo laipsnio šaknis. Norint ištirti n-ojo laipsnio šaknis, kai n=4, 5, 6, ..., patogu jas suskirstyti į dvi grupes: pirmoji grupė - lyginių laipsnių šaknis (tai yra, kai n=4, 6 , 8, ...), antroji grupė – šaknų nelyginės galios (tai yra, kai n=5, 7, 9, ... ). Taip yra dėl to, kad lyginių laipsnių šaknys yra panašios į kvadratinę, o nelyginių – į kubinę. Susitvarkykime su jais paeiliui.
Pradėkime nuo šaknų, kurių laipsniai yra lyginiai skaičiai 4, 6, 8, ... Kaip jau minėjome, jos panašios į skaičiaus a kvadratinę šaknį. Tai yra, bet kurio lyginio laipsnio šaknis iš skaičiaus a egzistuoja tik neneigiamam a. Be to, jei a=0, tai a šaknis yra unikali ir lygi nuliui, o jei a>0, tai yra dvi lyginio laipsnio šaknys nuo skaičiaus a, ir jos yra priešingi skaičiai.
Pagrįskime paskutinį teiginį. Tegu b lyginio laipsnio šaknis (žymime 2 m, kur m yra kai kurie natūralusis skaičius) nuo a numerio. Tarkime, kad yra skaičius c – dar 2 m šaknis iš a . Tada b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Bet mes žinome formą b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), tada (b–c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Iš šios lygybės išplaukia, kad b−c=0 , arba b+c=0 , arba b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Pirmosios dvi lygybės reiškia, kad skaičiai b ir c yra lygūs arba b ir c yra priešingi. Ir paskutinė lygybė galioja tik b=c=0 , nes jos kairėje pusėje yra išraiška, kuri yra neneigiama bet kuriam b ir c kaip neneigiamų skaičių suma.
Kalbant apie nelyginio n laipsnio n-ojo laipsnio šaknis, jos yra panašios į kubo šaknį. Tai yra, bet kurio nelyginio skaičiaus a laipsnio šaknis egzistuoja bet kuriam realiajam skaičiui a, o tam tikram skaičiui a ji yra unikali.
Nelyginio laipsnio 2·m+1 šaknies unikalumas iš skaičiaus a įrodytas pagal analogiją su kubinės šaknies unikalumo įrodymu iš a . Tik čia vietoj lygybės a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = lygybė (b–c) (b 2 m + b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… +c 2 m). Išraiška paskutiniame skliaustelyje gali būti perrašyta kaip b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Pavyzdžiui, m=2 turime b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b–c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c)). Kai a ir b yra teigiami arba abu neigiami, jų sandauga yra teigiamas skaičius, tada išraiška b 2 +c 2 +b c , kuri yra skliausteliuose aukštas laipsnis lizdas yra teigiamas kaip teigiamų skaičių suma. Dabar, iš eilės pereidami prie ankstesnių įdėjimo laipsnių skliausteliuose esančių išraiškų, įsitikiname, kad jos taip pat yra teigiamos kaip teigiamų skaičių sumos. Dėl to gauname lygybę b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b–c) (b 2 m +b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… +c 2 m)=0 galima tik tada, kai b−c=0 , tai yra, kai skaičius b lygus skaičiui c .
Atėjo laikas susitvarkyti su n-ojo laipsnio šaknų žymėjimu. Už tai duodama n-ojo laipsnio aritmetinės šaknies nustatymas.
Apibrėžimas
Neneigiamo skaičiaus a n-ojo laipsnio aritmetinė šaknis vadinamas neneigiamas skaičius, kurio n-asis laipsnis lygus a.
Šaknies laipsnis n iš tikrojo skaičiaus a, kur n- natūralusis skaičius, toks tikrasis skaičius vadinamas x, n kurio galia lygi a.
laipsnio šaknis n nuo numerio a pažymėtas simboliu. Pagal šį apibrėžimą.
Šaknies radimas n laipsnis iš tarpo a vadinamas šaknų ekstrahavimu. Skaičius a vadinamas šaknies skaičiumi (išraiška), n- šaknies indikatorius. Dėl keistų n yra šaknis n bet kurio realaus skaičiaus laipsnis a. Netgi n yra šaknis n-tas laipsnis tik neneigiamam skaičiui a. Norėdami pašalinti šaknies dviprasmiškumą n laipsnis iš tarpo a, pristatoma aritmetinės šaknies sąvoka n laipsnis iš tarpo a.
N laipsnio aritmetinės šaknies samprata
Jei ir n- natūralusis skaičius didesnis nei 1 , tada egzistuoja ir tik vienas, neneigiamas skaičius X, kad galiotų lygybė. Šis skaičius X vadinama aritmetine šaknimi n neneigiamo skaičiaus laipsnis a ir yra žymimas. Skaičius a vadinamas šaknies numeriu n- šaknies indikatorius.
Taigi, pagal apibrėžimą, žymėjimas , kur , reiškia, pirma, tą ir, antra, kad , t.y. .
Laipsnio samprata su racionaliuoju rodikliu
Laipsnis su natūraliuoju rodikliu: tegul a yra tikrasis skaičius ir n yra natūralusis skaičius, didesnis už vieną n- skaičiaus laipsnis a skambinti į darbą n daugikliai, kurių kiekvienas yra lygus a, t.y. . Skaičius a- laipsnio pagrindas, n- eksponentas. Rodiklis su nuliniu rodikliu: pagal apibrėžimą, jei , tada . Nulinė skaičiaus galia 0 neturi prasmės. Laipsnis su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu: pagal apibrėžimą, jei ir n yra natūralusis skaičius, tada . Laipsnis su trupmeniniu rodikliu: pagal apibrėžimą, jei ir n- natūralusis skaičius, m yra sveikas skaičius, tada .
Operacijos su šaknimis.
Visose toliau pateiktose formulėse simbolis reiškia aritmetinę šaknį (radikalinė išraiška yra teigiama).
1. Kelių veiksnių sandaugos šaknis yra lygi šių veiksnių šaknų sandaugai:
2. Santykių šaknis yra lygus santykiui dividendo ir daliklio šaknys:
3. Keliant šaknį į laipsnį, pakanka pakelti šaknies skaičių iki šios laipsnio: 
4. Jei padidinsite šaknies laipsnį n kartų ir kartu padidinsite šaknies skaičių iki n-osios laipsnio, tada šaknies reikšmė nepasikeis: 
5. Jei šaknies laipsnį sumažinsite n kartų ir tuo pačiu metu iš radikalaus skaičiaus ištrauksite n-ojo laipsnio šaknį, tada šaknies reikšmė nepasikeis:
Laipsnio sąvokos išplėtimas. Iki šiol laipsnius vertinome tik su natūraliu rodikliu; bet operacijos su laipsniais ir šaknimis taip pat gali sukelti neigiamus, nulinius ir trupmeninius rodiklius. Visiems šiems rodikliams reikia papildomo apibrėžimo.
Laipsnis su neigiamu rodikliu. Skaičiaus, turinčio neigiamą (sveikąjį) rodiklį, laipsnis apibrėžiamas kaip laipsnis, padalytas iš to paties skaičiaus, kurio rodiklis lygus absoliučioji vertė neigiamas rodiklis:
Dabar formulė a m: a n \u003d a m - n gali būti naudojama ne tik tada, kai m yra didesnis nei n, bet ir kai m mažesnis nei n.
PAVYZDYS a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .
Jei norime, kad formulė a m: a n = a m - n galiotų m = n , turime apibrėžti nulinį laipsnį.
Laipsnis su nuliniu rodikliu. Bet kurio nulinio skaičiaus, kurio rodiklis nulinis, laipsnis yra 1.
PAVYZDŽIAI. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3 / 5) 0 = 1.
Laipsnis su trupmeniniu rodikliu. Norėdami padidinti realųjį skaičių a laipsniu m / n, iš šio skaičiaus a m laipsnio reikia išskirti n-ojo laipsnio šaknį:
Apie posakius, kurie neturi prasmės. Yra keletas tokių posakių.
1 atvejis
Kur a ≠ 0 neegzistuoja.
Iš tiesų, jeigu darysime prielaidą, kad x yra tam tikras skaičius, tai pagal dalybos operacijos apibrėžimą gauname: a = 0 · x, t.y. a = 0, o tai prieštarauja sąlygai: a ≠ 0
2 atvejis
Bet koks skaičius.
Iš tiesų, jei darysime prielaidą, kad ši išraiška yra lygi kokiam nors skaičiui x, tai pagal padalijimo operacijos apibrėžimą gauname: 0 = 0 · x . Tačiau ši lygybė galioja bet kuriam skaičiui x, kurį reikėjo įrodyti.
tikrai,
Sprendimas. Apsvarstykite tris pagrindinius atvejus:
1) x = 0 – ši reikšmė netenkina šios lygties
2) jei x > 0 gauname: x / x = 1, t.y. 1 = 1, iš to išplaukia, kad x yra bet koks skaičius; bet atsižvelgiant į tai, kad mūsų atveju x > 0, atsakymas yra x > 0;
3) ties x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
šiuo atveju sprendimo nėra. Taigi x > 0.
Neneigiamo skaičiaus n-ojo laipsnio aritmetinė šaknis yra neneigiamas skaičius, n-asis laipsnis kuris yra lygus:
Šaknies laipsnis yra natūralusis skaičius, didesnis nei 1.
3. 
4. 
Ypatingi atvejai:
1. Jei šaknies rodiklis nėra sveikasis skaičius lyginis skaičius (), tada radikali išraiška gali būti neigiama.
Nelyginio rodiklio atveju lygtis bet kuriai realiajai vertei ir sveikajam skaičiui VISADA turi vieną šaknį:
Nelyginio laipsnio šaknies tapatybė yra teisinga:
,
2. Jei šaknies rodiklis yra lyginis sveikasis skaičius (), tada radikalioji išraiška negali būti neigiama.
Lyginio eksponento atveju lygtis Tai turi
adresu viena šaknis
o jei ir
Lyginio laipsnio šaknis tapatybė yra teisinga:
Lyginio laipsnio šaknis galioja šios lygybės::
Maitinimo funkcija, jo savybės ir grafikas.
Galios funkcija ir jos savybės.
Galios funkcija su natūraliu rodikliu. Funkcija y \u003d x n, kur n yra natūralusis skaičius, vadinama laipsnio funkcija su natūraliuoju rodikliu. Jei n = 1, gauname funkciją y = x, jos savybes:
tiesioginė proporcija. Tiesioginis proporcingumas yra funkcija, pateikta formule y \u003d kx n, kur skaičius k vadinamas proporcingumo koeficientu.
Išvardijame funkcijos y = kx savybes.
Funkcijos sritis yra visų realiųjų skaičių aibė.
y = kx – ne lygi funkcija(f (- x) \u003d k (- x) \u003d - kx \u003d -k (x)).
3) Jei k > 0, funkcija didėja, o k< 0 убывает на всей числовой прямой.
Grafikas (tiesė) parodytas II.1 paveiksle.
Ryžiai. II.1.
Kai n=2 gauname funkciją y = x 2, jos savybės:
Funkcija y -x 2 . Išvardijame funkcijos y \u003d x 2 savybes.
y \u003d x 2 - lyginė funkcija (f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d x 2 \u003d f (x)).
Funkcija mažėja intervale.
Pačioje trupmenoje, jei, tada - x 1 > - x 2 > 0, todėl
(-x 1) 2 > (- x 2) 2, t.y., tai reiškia, kad funkcija mažėja.
Funkcijos y \u003d x 2 grafikas yra parabolė. Šis grafikas parodytas II.2 paveiksle.
Ryžiai. II.2.
Jei n \u003d 3, gauname funkciją y \u003d x 3, jos savybes:
Funkcijos apimtis yra visa skaičių eilutė.
y \u003d x 3 - nelyginė funkcija(f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d - x 3 \u003d - f (x)).
3) Funkcija y \u003d x 3 didėja visoje skaičių eilutėje. Funkcijos y \u003d x 3 grafikas parodytas paveikslėlyje. Ji vadinama kubine parabole.
Grafikas (kubinė parabolė) parodyta II.3 paveiksle.
Ryžiai. II.3.
Tegul n yra lyginis natūralusis skaičius, didesnis už du:
n = 4, 6, 8,... . Šiuo atveju funkcija y \u003d x n turi tas pačias savybes kaip ir funkcija y \u003d x 2. Tokios funkcijos grafikas primena parabolę y \u003d x 2, tik grafiko šakos ties |n| >1, kuo statiau jie kyla aukštyn, tuo didesnis n, o kuo labiau „spaudžiasi“ prie x ašies, tuo didesnis n.
Tegul n yra savavališkas nelyginis skaičius, didesnis už tris: n = 5, 7, 9, ... . Šiuo atveju funkcija y \u003d x n turi tas pačias savybes kaip ir funkcija y \u003d x 3. Tokios funkcijos grafikas primena kubinę parabolę (tik grafiko šakos eina aukštyn ir žemyn, kuo statesnis, tuo didesnis n. Taip pat atkreipiame dėmesį, kad intervale (0; 1) laipsnio funkcijos grafikas y \u003d x n tuo lėčiau jis tolsta nuo x ašies didėjant x, nei daugiau nei n.
Galios funkcija su sveikuoju neigiamu rodikliu. Apsvarstykite funkciją y \u003d x - n, kur n yra natūralusis skaičius. Kai n = 1, gauname y = x - n arba y = šios funkcijos savybės:
Grafikas (hiperbolė) parodytas II.4 paveiksle.
