Ekuacioni i llojit

Shprehje D= b 2 - 4c thirrur diskriminuese ekuacioni kuadratik. NëseD = 0, atëherë ekuacioni ka një rrënjë reale; nëse D> 0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë reale.
Në rastin kur D = 0 , nganjëherë thuhet se një ekuacion kuadratik ka dy rrënjë identike.
Duke përdorur shënimin D= b 2 - 4c, formula (2) mund të rishkruhet si

Nëse b= 2 k, atëherë formula (2) merr formën:

ku k= b / 2 .
Formula e fundit është veçanërisht e përshtatshme kur b / 2 është një numër i plotë, d.m.th. Koeficient b - numër çift.
Shembulli 1: zgjidhin ekuacionin 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Këtu a=2, b=-5, c=2. Ne kemi D= b 2 - 4ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Si D > 0 , atëherë ekuacioni ka dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato me formulën (2)

Kështu që x 1 =(5 + 3) / 4 = 2,x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
kjo eshte x 1 = 2 dhe x 2 = 1 / 2 janë rrënjët e ekuacionit të dhënë.
Shembulli 2: zgjidhin ekuacionin 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . Këtu a=2, b=-3, c=5. Gjetja e diskriminuesit D= b 2 - 4ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Si D 0 , atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë reale.

Ekuacionet kuadratike jo të plota. Nëse në një ekuacion kuadratik sëpatë 2 +bx+c =0 koeficienti i dytë b ose anëtar i lirë c barazohet me zero, atëherë thirret ekuacioni kuadratik jo të plota. Ekuacionet jo të plota dallohen sepse për të gjetur rrënjët e tyre, nuk mund të përdorni formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik - është më e lehtë të zgjidhet ekuacioni duke faktorizuar anën e majtë të tij në faktorë.
Shembulli 1: zgjidhin ekuacionin 2 x 2 - 5 x = 0 .
Ne kemi x(2 x - 5) = 0 . Pra ose x = 0 , ose 2 x - 5 = 0 , kjo eshte x = 2.5 . Pra, ekuacioni ka dy rrënjë: 0 dhe 2.5
Shembulli 2: zgjidhin ekuacionin 3 x 2 - 27 = 0 .
Ne kemi 3 x 2 = 27 . Prandaj, rrënjët e këtij ekuacioni janë 3 dhe -3 .

Teorema e Vietës. Nëse ekuacioni kuadratik i dhënë x 2 + px+ q =0 ka rrënjë reale, atëherë shuma e tyre është e barabartë me - fq, dhe produkti është q, kjo eshte

x 1 + x 2 \u003d -p,
x 1 x 2 = q

(shuma e rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik është e barabartë me koeficientin e dytë, marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë).

Në vazhdim të temës “Zgjidhja e ekuacioneve”, materiali në këtë artikull do t'ju njohë me ekuacionet kuadratike.

Le të shqyrtojmë gjithçka në detaje: thelbin dhe shënimin e një ekuacioni kuadratik, vendosim terma të lidhur, analizojmë skemën për zgjidhjen e ekuacioneve jo të plota dhe të plota, njihemi me formulën e rrënjëve dhe diskriminuesin, vendosim lidhje midis rrënjëve dhe koeficientëve dhe natyrisht. do të japim një zgjidhje vizuale të shembujve praktikë.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ekuacioni kuadratik, llojet e tij

Përkufizimi 1

Ekuacioni kuadratikështë ekuacioni i shkruar si a x 2 + b x + c = 0, ku x– ndryshorja, a , b dhe c janë disa numra, ndërsa a nuk është zero.

Shpesh, ekuacionet kuadratike quhen edhe ekuacione të shkallës së dytë, pasi në fakt një ekuacion kuadratik është një ekuacion algjebrik i shkallës së dytë.

Le të japim një shembull për të ilustruar përkufizimin e dhënë: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etj. janë ekuacione kuadratike.

Përkufizimi 2

Numrat a , b dhe c janë koeficientët e ekuacionit kuadratik a x 2 + b x + c = 0, ndërsa koeficienti a quhet i pari, ose i lartë, ose koeficienti në x 2, b - koeficienti i dytë, ose koeficienti në x, a c quhet anëtar i lirë.

Për shembull, në ekuacionin kuadratik 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 koeficienti më i lartë është 6, koeficienti i dytë është − 2 , dhe termi i lirë është i barabartë me − 11 . Le t'i kushtojmë vëmendje faktit se kur koeficientët b dhe/ose c janë negative, atëherë formë e shkurtër regjistrimet e formularit 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, por jo 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Le të sqarojmë edhe këtë aspekt: ​​nëse koeficientët a dhe/ose b të barabartë 1 ose − 1 , atëherë ata mund të mos marrin pjesë eksplicite në shkrimin e ekuacionit kuadratik, gjë që shpjegohet me veçoritë e shkrimit të koeficientëve numerikë të treguar. Për shembull, në ekuacionin kuadratik y 2 − y + 7 = 0 koeficienti i lartë është 1 dhe koeficienti i dytë është − 1 .

Ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe jo të reduktuara

Sipas vlerës së koeficientit të parë, ekuacionet kuadratike ndahen në të reduktuara dhe jo të reduktuara.

Përkufizimi 3

Ekuacioni kuadratik i reduktuarështë një ekuacion kuadratik ku koeficienti kryesor është 1 . Për vlerat e tjera të koeficientit kryesor, ekuacioni kuadratik nuk është i reduktuar.

Ja disa shembuj: reduktohen ekuacionet kuadratike x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0, në secilën prej të cilave koeficienti kryesor është 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- ekuacioni kuadratik i pareduktuar, ku koeficienti i parë është i ndryshëm nga 1 .

Çdo ekuacion kuadratik i pareduktuar mund të shndërrohet në një ekuacion të reduktuar duke pjesëtuar të dy pjesët e tij me koeficientin e parë (transformim ekuivalent). Ekuacioni i transformuar do të ketë të njëjtat rrënjë si ekuacioni i dhënë jo i reduktuar ose gjithashtu nuk do të ketë rrënjë fare.

konsiderata rast studimi do të na lejojë të demonstrojmë vizualisht kalimin nga një ekuacion kuadratik i pareduktuar në një të reduktuar.

Shembulli 1

Jepet ekuacioni 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Është e nevojshme të konvertohet ekuacioni origjinal në formën e reduktuar.

Vendimi

Sipas skemës së mësipërme, ne i ndajmë të dy pjesët e ekuacionit origjinal me koeficientin kryesor 6 . Pastaj marrim: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, dhe kjo është e njëjtë si: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 dhe më tej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Nga këtu: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Kështu, fitohet një ekuacion i barabartë me atë të dhënë.

Përgjigje: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Ekuacionet kuadratike të plota dhe jo të plota

Le të kthehemi te përkufizimi i një ekuacioni kuadratik. Në të, ne specifikuam atë a ≠ 0. Një kusht i ngjashëm është i nevojshëm për ekuacionin a x 2 + b x + c = 0 ishte pikërisht katror, ​​pasi a = 0 ajo në thelb shndërrohet në ekuacioni linear b x + c = 0.

Në rastin kur koeficientët b dhe c janë të barabarta me zero (që është e mundur, si individualisht ashtu edhe së bashku), ekuacioni kuadratik quhet i paplotë.

Përkufizimi 4

Ekuacion kuadratik jo i plotëështë një ekuacion kuadratik a x 2 + b x + c \u003d 0, ku të paktën një nga koeficientët b dhe c(ose të dyja) është zero.

Ekuacioni i plotë kuadratikështë një ekuacion kuadratik në të cilin të gjithë koeficientët numerikë nuk janë të barabartë me zero.

Le të diskutojmë pse llojeve të ekuacioneve kuadratike u jepen pikërisht emra të tillë.

Për b = 0, ekuacioni kuadratik merr formën a x 2 + 0 x + c = 0, e cila është e njëjtë si a x 2 + c = 0. Në c = 0 ekuacioni kuadratik shkruhet si a x 2 + b x + 0 = 0, që është ekuivalente a x 2 + b x = 0. Në b = 0 dhe c = 0 ekuacioni do të marrë formën a x 2 = 0. Ekuacionet që kemi marrë ndryshojnë nga ekuacioni i plotë kuadratik në atë që anët e tyre në të majtë nuk përmbajnë as një term me ndryshoren x, as një term të lirë, ose të dyja njëherësh. Në fakt, ky fakt i dha emrin këtij lloj ekuacionesh - jo të plota.

Për shembull, x 2 + 3 x + 4 = 0 dhe − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 janë ekuacione të plota kuadratike; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 janë ekuacione kuadratike jo të plota.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Përkufizimi i mësipërm bën të mundur dallimin llojet e mëposhtme ekuacionet kuadratike jo të plota:

• a x 2 = 0, koeficientët korrespondojnë me një ekuacion të tillë b = 0 dhe c = 0 ;
• a x 2 + c \u003d 0 për b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 për c = 0 .

Konsideroni zgjidhjen e njëpasnjëshme të secilit lloj ekuacioni kuadratik jo të plotë.

Zgjidhja e ekuacionit a x 2 \u003d 0

Siç u përmend më lart, një ekuacion i tillë korrespondon me koeficientët b dhe c, e barabartë me zero. Ekuacioni a x 2 = 0 mund të shndërrohet në një ekuacion ekuivalent x2 = 0, të cilin e marrim duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit origjinal me numrin a, jo e barabartë me zero. Fakti i qartë është se rrënja e ekuacionit x2 = 0është zero sepse 0 2 = 0 . Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, gjë që shpjegohet me vetitë e shkallës: për çdo numër p , jo e barabartë me zero, pabarazia është e vërtetë p2 > 0, nga ku rrjedh se kur p ≠ 0 barazisë p2 = 0 nuk do të arrihet kurrë.

Përkufizimi 5

Kështu, për ekuacionin kuadratik jo të plotë a x 2 = 0, ekziston një rrënjë unike x=0.

Shembulli 2

Për shembull, le të zgjidhim një ekuacion kuadratik jo të plotë − 3 x 2 = 0. Është ekuivalente me ekuacionin x2 = 0, rrënja e vetme e saj është x=0, atëherë ekuacioni origjinal ka një rrënjë të vetme - zero.

Zgjidhja përmblidhet si më poshtë:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Zgjidhja e ekuacionit a x 2 + c \u003d 0

Tjetra në radhë është zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota, ku b \u003d 0, c ≠ 0, domethënë ekuacionet e formës a x 2 + c = 0. Le ta transformojmë këtë ekuacion duke transferuar termin nga njëra anë e ekuacionit në tjetrën, duke ndryshuar shenjën në të kundërtën dhe duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me një numër që nuk është i barabartë me zero:

• duroj c në anën e djathtë, e cila jep ekuacionin a x 2 = − c;
• pjesëtoni të dyja anët e ekuacionit me a, marrim si rezultat x = - c a .

Transformimet tona janë ekuivalente, përkatësisht, ekuacioni që rezulton është gjithashtu i barabartë me atë origjinal, dhe ky fakt bën të mundur nxjerrjen e një përfundimi për rrënjët e ekuacionit. Nga cilat janë vlerat a dhe c varet nga vlera e shprehjes - c a: mund të ketë një shenjë minus (për shembull, nëse a = 1 dhe c = 2, atëherë - c a = - 2 1 = - 2) ose një shenjë plus (për shembull, nëse a = -2 dhe c=6, atëherë - c a = - 6 - 2 = 3); nuk është e barabartë me zero sepse c ≠ 0. Le të ndalemi më gjerësisht në situatat kur - c a< 0 и - c a > 0 .

Në rastin kur - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа fq barazia p 2 = - c a nuk mund të jetë e vërtetë.

Gjithçka është e ndryshme kur - c a > 0: mbani mend rrënjën katrore dhe do të bëhet e qartë se rrënja e ekuacionit x 2 \u003d - c a do të jetë numri - c a, pasi - c a 2 \u003d - c a. Është e lehtë të kuptohet se numri - - c a - është gjithashtu rrënja e ekuacionit x 2 = - c a: në të vërtetë, - - c a 2 = - c a .

Ekuacioni nuk do të ketë rrënjë të tjera. Ne mund ta demonstrojmë këtë duke përdorur metodën e kundërt. Së pari, le të vendosim shënimin e rrënjëve të gjetura më sipër si x 1 dhe − x 1. Le të supozojmë se ekuacioni x 2 = - c a ka gjithashtu një rrënjë x2, e cila është e ndryshme nga rrënjët x 1 dhe − x 1. Ne e dimë se duke e zëvendësuar në ekuacion në vend të x rrënjët e tij, ne e transformojmë ekuacionin në një barazi të drejtë numerike.

Për x 1 dhe − x 1 shkruani: x 1 2 = - c a , dhe për x2- x 2 2 \u003d - c a. Bazuar në vetitë e barazive numerike, ne zbresim një term për term barazi e vërtetë nga një tjetër, i cili do të na japë: x 1 2 − x 2 2 = 0. Përdorni vetitë e veprimeve me numra për të rishkruar barazinë e fundit si (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Dihet se prodhimi i dy numrave është zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri nga numrat është zero. Nga sa u tha, rezulton se x1 − x2 = 0 dhe/ose x1 + x2 = 0, e cila është e njëjtë x2 = x1 dhe/ose x 2 = − x 1. U ngrit një kontradiktë e dukshme, sepse në fillim u ra dakord që rrënja e ekuacionit x2 ndryshon nga x 1 dhe − x 1. Pra, ne kemi vërtetuar se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera përveç x = - c a dhe x = - - c a .

Ne përmbledhim të gjitha argumentet e mësipërme.

Përkufizimi 6

Ekuacion kuadratik jo i plotë a x 2 + c = 0është ekuivalente me ekuacionin x 2 = - c a , i cili:

• nuk do të ketë rrënjë në - c a< 0 ;
• do të ketë dy rrënjë x = - c a dhe x = - - c a kur - c a > 0 .

Le të japim shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve a x 2 + c = 0.

Shembulli 3

Jepet një ekuacion kuadratik 9 x 2 + 7 = 0 .Është e nevojshme të gjendet zgjidhja e saj.

Vendimi

Ne e transferojmë termin e lirë në anën e djathtë të ekuacionit, atëherë ekuacioni do të marrë formën 9 x 2 \u003d - 7.
Ne i ndajmë të dyja anët e ekuacionit që rezulton me 9 , arrijmë në x 2 = - 7 9 . Në anën e djathtë shohim një numër me shenjën minus, që do të thotë: ekuacioni i dhënë nuk ka rrënjë. Pastaj ekuacioni origjinal jo i plotë kuadratik 9 x 2 + 7 = 0 nuk do të ketë rrënjë.

Përgjigje: ekuacionin 9 x 2 + 7 = 0 nuk ka rrënjë.

Shembulli 4

Është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni − x2 + 36 = 0.

Vendimi

Le të lëvizim 36 në anën e djathtë: − x 2 = − 36.
Le t'i ndajmë të dyja pjesët − 1 , marrim x2 = 36. Në anën e djathtë është një numër pozitiv, nga i cili mund të konkludojmë se x = 36 ose x = - 36 .
Nxjerrim rrënjën dhe shkruajmë rezultatin përfundimtar: një ekuacion kuadratik jo të plotë − x2 + 36 = 0 ka dy rrënjë x=6 ose x = -6.

Përgjigje: x=6 ose x = -6.

Zgjidhja e ekuacionit a x 2 +b x=0

Le të analizojmë llojin e tretë të ekuacioneve kuadratike jo të plota, kur c = 0. Për të gjetur një zgjidhje për një ekuacion kuadratik jo të plotë a x 2 + b x = 0, ne përdorim metodën e faktorizimit. Le të faktorizojmë polinomin, i cili është në anën e majtë të ekuacionit, duke hequr faktorin e përbashkët nga kllapat x. Ky hap do të bëjë të mundur transformimin e ekuacionit kuadratik jo të plotë origjinal në ekuivalentin e tij x (a x + b) = 0. Dhe ky ekuacion, nga ana tjetër, është i barabartë me grupin e ekuacioneve x=0 dhe a x + b = 0. Ekuacioni a x + b = 0 lineare dhe rrënja e saj: x = − b a.

Përkufizimi 7

Kështu, ekuacioni kuadratik jo i plotë a x 2 + b x = 0 do të ketë dy rrënjë x=0 dhe x = − b a.

Le ta konsolidojmë materialin me një shembull.

Shembulli 5

Është e nevojshme të gjendet zgjidhja e ekuacionit 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Vendimi

Le të nxjerrim x jashtë kllapave dhe merrni ekuacionin x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ky ekuacion është i barabartë me ekuacionet x=0 dhe 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Tani duhet të zgjidhni ekuacionin linear që rezulton: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Shkurtimisht, ne shkruajmë zgjidhjen e ekuacionit si më poshtë:

2 3 x 2 - 2 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ose 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ose x = 3 3 7

Përgjigje: x = 0, x = 3 3 7 .

Diskriminuese, formula e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik

Për të gjetur një zgjidhje për ekuacionet kuadratike, ekziston një formulë rrënjësore:

Përkufizimi 8

x = - b ± D 2 a, ku D = b 2 − 4 a cështë i ashtuquajturi diskriminues i një ekuacioni kuadratik.

Shkrimi x \u003d - b ± D 2 a në thelb do të thotë që x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Do të jetë e dobishme të kuptojmë se si është nxjerrë formula e treguar dhe si ta zbatojmë atë.

Nxjerrja e formulës së rrënjëve të një ekuacioni kuadratik

Supozoni se përballemi me detyrën për të zgjidhur një ekuacion kuadratik a x 2 + b x + c = 0. Le të bëjmë një numër transformimesh ekuivalente:

• pjesëtoni të dyja anët e ekuacionit me numrin a, ndryshe nga zero, marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• zgjidhni katrorin e plotë në anën e majtë të ekuacionit që rezulton:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Pas kësaj, ekuacioni do të marrë formën: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• tani është e mundur të transferohen dy termat e fundit në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën në të kundërtën, pas së cilës marrim: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• më në fund, transformojmë shprehjen e shkruar në anën e djathtë të barazisë së fundit:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Kështu, kemi ardhur te ekuacioni x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , i cili është ekuivalent me ekuacionin origjinal a x 2 + b x + c = 0.

Zgjidhjen e ekuacioneve të tilla e diskutuam në paragrafët e mëparshëm (zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota). Përvoja e fituar tashmë bën të mundur nxjerrjen e një përfundimi në lidhje me rrënjët e ekuacionit x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• për b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• për b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, ekuacioni ka formën x + b 2 · a 2 = 0, pastaj x + b 2 · a = 0.

Nga këtu, e vetmja rrënjë x = - b 2 · a është e dukshme;

• për b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, e sakta është: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ose x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , që është njëjtë si x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ose x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , d.m.th. ekuacioni ka dy rrënjë.

Mund të konkludohet se prania ose mungesa e rrënjëve të ekuacionit x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (dhe si rrjedhim ekuacioni origjinal) varet nga shenja e shprehjes b 2 - 4 a c 4 · a 2 e shkruar në anën e djathtë. Dhe shenja e kësaj shprehjeje jepet me shenjën e numëruesit, (emëruesi 4 a 2 do të jetë gjithmonë pozitive), domethënë shenja e shprehjes b 2 − 4 a c. Kjo shprehje b 2 − 4 a c jepet një emër - diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik dhe shkronja D përcaktohet si emërtimi i tij. Këtu mund të shkruani thelbin e diskriminuesit - sipas vlerës dhe shenjës së tij, ata përfundojnë nëse ekuacioni kuadratik do të ketë rrënjë reale, dhe, nëse po, sa rrënjë - një ose dy.

Le të kthehemi te ekuacioni x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Le ta rishkruajmë duke përdorur shënimin diskriminues: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Le të përmbledhim përfundimet:

Përkufizimi 9

• në D< 0 ekuacioni nuk ka rrënjë reale;
• në D=0 ekuacioni ka një rrënjë të vetme x = - b 2 · a ;
• në D > 0 ekuacioni ka dy rrënjë: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 ose x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Bazuar në vetitë e radikalëve, këto rrënjë mund të shkruhen si: x \u003d - b 2 a + D 2 a ose - b 2 a - D 2 a. Dhe kur hapim modulet dhe zvogëlojmë fraksionet në një emërues të përbashkët, marrim: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Pra, rezultati i arsyetimit tonë ishte derivimi i formulës për rrënjët e ekuacionit kuadratik:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , diskriminuese D llogaritur me formulë D = b 2 − 4 a c.

Këto formula bëjnë të mundur, kur diskriminuesi është më i madh se zero, të përcaktohen të dyja rrënjët reale. Kur diskriminuesi është zero, aplikimi i të dyja formulave do të japë të njëjtën rrënjë si vetëm vendim ekuacioni kuadratik. Në rastin kur diskriminuesi është negativ, duke u përpjekur të përdorim formulën e rrënjës kuadratike, do të përballemi me nevojën për të nxjerrë Rrenja katrore nga numër negativ, e cila do të na çojë përtej numrave realë. Me një diskriminues negativ, ekuacioni kuadratik nuk do të ketë rrënjë reale, por është i mundur një çift rrënjësh komplekse të konjuguara, të përcaktuara nga të njëjtat formula rrënjë që kemi marrë.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulat rrënjë

Është e mundur të zgjidhet një ekuacion kuadratik duke përdorur menjëherë formulën e rrënjës, por në thelb kjo bëhet kur është e nevojshme të gjenden rrënjë komplekse.

Në shumicën e rasteve, kërkimi zakonisht synohet jo për rrënjë komplekse, por për rrënjë reale të një ekuacioni kuadratik. Më pas është optimale, përpara se të përdorni formulat për rrënjët e ekuacionit kuadratik, fillimisht të përcaktohet diskriminuesi dhe të sigurohemi që ai të mos jetë negativ (përndryshe do të konkludojmë se ekuacioni nuk ka rrënjë reale), dhe më pas të vazhdojmë me llogaritjen e vlera e rrënjëve.

Arsyetimi i mësipërm bën të mundur formulimin e një algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik.

Përkufizimi 10

Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik a x 2 + b x + c = 0, e nevojshme:

• sipas formulës D = b 2 − 4 a c gjeni vlerën e diskriminuesit;
• në D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• për D = 0 gjeni rrënjën e vetme të ekuacionit me formulën x = - b 2 · a ;
• për D > 0, përcaktoni dy rrënjë reale të ekuacionit kuadratik me formulën x = - b ± D 2 · a.

Vini re se kur diskriminuesi është zero, mund të përdorni formulën x = - b ± D 2 · a , ajo do të japë të njëjtin rezultat si formula x = - b 2 · a .

Konsideroni shembuj.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike

Le të japim një zgjidhje shembull për vlera të ndryshme diskriminuese.

Shembulli 6

Është e nevojshme të gjenden rrënjët e ekuacionit x 2 + 2 x - 6 = 0.

Vendimi

Ne shkruajmë koeficientët numerikë të ekuacionit kuadratik: a \u003d 1, b \u003d 2 dhe c = - 6. Më pas, ne veprojmë sipas algoritmit, d.m.th. Le të fillojmë të llogarisim diskriminuesin, për të cilin zëvendësojmë koeficientët a , b dhe c në formulën diskriminuese: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Pra, kemi marrë D > 0, që do të thotë se ekuacioni origjinal do të ketë dy rrënjë reale.
Për t'i gjetur ato, ne përdorim formulën rrënjë x \u003d - b ± D 2 · a dhe, duke zëvendësuar vlerat e duhura, marrim: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Ne thjeshtojmë shprehjen që rezulton duke hequr faktorin nga shenja e rrënjës, e ndjekur nga zvogëlimi i fraksionit:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ose x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ose x = - 1 - 7

Përgjigje: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Shembulli 7

Është e nevojshme të zgjidhet një ekuacion kuadratik − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Vendimi

Le të përcaktojmë diskriminuesin: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Me këtë vlerë të diskriminuesit, ekuacioni origjinal do të ketë vetëm një rrënjë, e përcaktuar me formulën x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Përgjigje: x = 3, 5.

Shembulli 8

Është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Vendimi

Koeficientët numerikë të këtij ekuacioni do të jenë: a = 5 , b = 6 dhe c = 2 . Ne përdorim këto vlera për të gjetur diskriminuesin: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Diskriminuesi i llogaritur është negativ, kështu që ekuacioni kuadratik origjinal nuk ka rrënjë reale.

Në rastin kur detyra është të tregojmë rrënjë komplekse, ne zbatojmë formulën rrënjë duke kryer veprime me numra komplekse:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 ose x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i ose x = - 3 5 - 1 5 i .

Përgjigje: nuk ka rrënjë të vërteta; rrënjët komplekse janë: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

AT kurrikula shkollore sipas parazgjedhjes, nuk kërkohet kërkimi i rrënjëve komplekse, prandaj, nëse diskriminuesi përcaktohet si negativ gjatë zgjidhjes, menjëherë regjistrohet përgjigja se nuk ka rrënjë të vërteta.

Formula rrënjësore për koeficientët edhe të dytë

Formula rrënjësore x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) bën të mundur marrjen e një formule tjetër, më kompakte, duke ju lejuar të gjeni zgjidhje për ekuacionet kuadratike me një koeficient çift në x (ose me një koeficient të formës 2 a n, për shembull, 2 3 ose 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Le të tregojmë se si rrjedh kjo formulë.

Supozoni se përballemi me detyrën për të gjetur një zgjidhje për ekuacionin kuadratik a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Ne veprojmë sipas algoritmit: përcaktojmë diskriminuesin D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , dhe më pas përdorim formulën rrënjësore:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Shprehja n 2 − a c le të shënohet si D 1 (nganjëherë shënohet D "). Atëherë formula për rrënjët e ekuacionit kuadratik të konsideruar me koeficientin e dytë 2 n do të marrë formën:

x \u003d - n ± D 1 a, ku D 1 \u003d n 2 - a c.

Është e lehtë të shihet se D = 4 · D 1 , ose D 1 = D 4 . Me fjalë të tjera, D 1 është një e katërta e diskriminuesit. Natyrisht, shenja e D 1 është e njëjtë me shenjën e D, që do të thotë se shenja e D 1 mund të shërbejë edhe si një tregues i pranisë ose mungesës së rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Përkufizimi 11

Kështu, për të gjetur një zgjidhje për një ekuacion kuadratik me një koeficient të dytë prej 2 n, është e nevojshme:

• gjeni D 1 = n 2 − a c ;
• në D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• për D 1 = 0, përcaktoni rrënjën e vetme të ekuacionit me formulën x = - n a ;
• për D 1 > 0, përcaktoni dy rrënjë reale duke përdorur formulën x = - n ± D 1 a.

Shembulli 9

Është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni kuadratik 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Vendimi

Koeficienti i dytë i ekuacionit të dhënë mund të paraqitet si 2 · (− 3) . Pastaj e rishkruajmë ekuacionin e dhënë kuadratik si 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , ku a = 5 , n = − 3 dhe c = − 32 .

Të llogarisim pjesën e katërt të diskriminuesit: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Vlera që rezulton është pozitive, që do të thotë se ekuacioni ka dy rrënjë reale. Ne i përcaktojmë ato me formulën përkatëse të rrënjëve:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 ose x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ose x = - 2

Do të ishte e mundur të kryheshin llogaritjet duke përdorur formulën e zakonshme për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, por në këtë rast zgjidhja do të ishte më e rëndë.

Përgjigje: x = 3 1 5 ose x = - 2 .

Thjeshtimi i formës së ekuacioneve kuadratike

Ndonjëherë është e mundur të optimizohet forma e ekuacionit origjinal, gjë që do të thjeshtojë procesin e llogaritjes së rrënjëve.

Për shembull, ekuacioni kuadratik 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 është qartësisht më i përshtatshëm për zgjidhjen sesa 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Më shpesh, thjeshtimi i formës së një ekuacioni kuadratik kryhet duke shumëzuar ose pjesëtuar të dy pjesët e tij me një numër të caktuar. Për shembull, më lart treguam një paraqitje të thjeshtuar të ekuacionit 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, të marrë duke i ndarë të dy pjesët e tij me 100.

Një transformim i tillë është i mundur kur koeficientët e ekuacionit kuadratik nuk janë numra relativisht të thjeshtë. Atëherë është e zakonshme të ndahen të dyja anët e ekuacionit me pjesëtuesin më të madh të përbashkët vlerat absolute koeficientët e saj.

Si shembull, ne përdorim ekuacionin kuadratik 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Le të përcaktojmë gcd-në e vlerave absolute të koeficientëve të tij: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Le t'i ndajmë të dyja pjesët e ekuacionit kuadratik origjinal me 6 dhe të marrim ekuacionin kuadratik ekuivalent 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit kuadratik, zakonisht eliminohen koeficientët thyesorë. Në këtë rast, shumëzoni me shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të koeficientëve të tij. Për shembull, nëse secila pjesë e ekuacionit kuadratik 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 shumëzohet me LCM (6, 3, 1) \u003d 6, atëherë do të shkruhet më shumë forme e thjeshte x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Së fundi, vërejmë se pothuajse gjithmonë heqim qafe minusin në koeficientin e parë të ekuacionit kuadratik, duke ndryshuar shenjat e secilit term të ekuacionit, i cili arrihet duke shumëzuar (ose pjesëtuar) të dy pjesët me - 1. Për shembull, nga ekuacioni kuadratik - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, mund të shkoni në versionin e tij të thjeshtuar 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Marrëdhënia midis rrënjëve dhe koeficientëve

Formula e njohur tashmë për rrënjët e ekuacioneve kuadratike x = - b ± D 2 · a shpreh rrënjët e ekuacionit në termat e koeficientëve të tij numerikë. Bazuar në këtë formulë, ne kemi mundësinë të vendosim varësi të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve.

Më të famshmet dhe më të zbatueshmet janë formulat e teoremës Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a dhe x 2 \u003d c a.

Në veçanti, për ekuacionin e dhënë kuadratik, shuma e rrënjëve është koeficienti i dytë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Për shembull, nga forma e ekuacionit kuadratik 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, është e mundur që menjëherë të përcaktohet se shuma e rrënjëve të tij është 7 3, dhe produkti i rrënjëve është 22 3.

Ju gjithashtu mund të gjeni një sërë marrëdhëniesh të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik. Për shembull, shuma e katrorëve të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik mund të shprehet në terma të koeficientëve:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Shpresoj të studioj Ky artikull, do të mësoni se si të gjeni rrënjët e një ekuacioni të plotë kuadratik.

Me ndihmën e diskriminuesit zgjidhen vetëm ekuacione kuadratike të plota, për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota përdoren metoda të tjera, të cilat do t'i gjeni në artikullin "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota".

Cilat ekuacione kuadratike quhen të plota? atë ekuacionet e formës ax 2 + b x + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c nuk janë të barabartë me zero. Pra, për të zgjidhur ekuacionin e plotë kuadratik, duhet të llogaritni diskriminuesin D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Varësisht se çfarë vlere ka diskriminuesi, do ta shkruajmë përgjigjen.

Nëse diskriminuesi është një numër negativ (D< 0),то корней нет.

Nëse diskriminuesi është zero, atëherë x \u003d (-b) / 2a. Kur diskriminuesi është një numër pozitiv (D > 0),

atëherë x 1 = (-b - √D)/2a, dhe x 2 = (-b + √D)/2a.

Për shembull. zgjidhin ekuacionin x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Përgjigje: 2.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Përgjigje: pa rrënjë.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Përgjigje: - 3,5; 1.

Pra, le të imagjinojmë zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike sipas skemës në Figurën 1.

Këto formula mund të përdoren për të zgjidhur çdo ekuacion të plotë kuadratik. Thjesht duhet të keni kujdes ekuacioni është shkruar si një polinom i formës standarde

a x 2 + bx + c, përndryshe ju mund të bëni një gabim. Për shembull, kur shkruani ekuacionin x + 3 + 2x 2 = 0, mund të vendosni gabimisht se

a = 1, b = 3 dhe c = 2. Pastaj

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 dhe më pas ekuacioni ka dy rrënjë. Dhe kjo nuk është e vërtetë. (Shih shembullin 2 zgjidhje më lart).

Prandaj, nëse ekuacioni nuk shkruhet si polinom i formës standarde, së pari duhet të shkruhet ekuacioni i plotë kuadratik si një polinom i formës standarde (në radhë të parë duhet të jetë një monom me eksponentin më të madh, d.m.th. a x 2 , pastaj me më pak – bx, dhe më pas afati i lirë Me.

Gjatë zgjidhjes së ekuacionit kuadratik të mësipërm dhe ekuacionit kuadratik me koeficient çift për termin e dytë, mund të përdoren edhe formula të tjera. Le të njihemi me këto formula. Nëse në ekuacionin e plotë kuadratik me termin e dytë koeficienti është çift (b = 2k), atëherë ekuacioni mund të zgjidhet duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin e figurës 2.

Një ekuacion i plotë kuadratik quhet i reduktuar nëse koeficienti është në x 2 barazohet me unitet dhe ekuacioni merr formën x 2 + px + q = 0. Një ekuacion i tillë mund të jepet për të zgjidhur, ose përftohet duke pjesëtuar të gjithë koeficientët e ekuacionit me koeficientin a duke qëndruar në x 2 .

Figura 3 tregon një diagram të zgjidhjes së katrorit të reduktuar
ekuacionet. Shqyrtoni shembullin e aplikimit të formulave të diskutuara në këtë artikull.

Shembull. zgjidhin ekuacionin

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Le ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formulat e paraqitura në Figurën 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Përgjigje: -1 - √3; –1 + √3

Ju mund të shihni që koeficienti në x në këtë ekuacion është një numër çift, domethënë b \u003d 6 ose b \u003d 2k, prej nga k \u003d 3. Pastaj le të përpiqemi të zgjidhim ekuacionin duke përdorur formulat e treguara në diagramin e figurës D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Përgjigje: -1 - √3; –1 + √3. Duke vënë re se të gjithë koeficientët në këtë ekuacion kuadratik janë të pjesëtueshëm me 3 dhe duke pjesëtuar, marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + 2x - 2 = 0 Ne e zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formulat për kuadratin e reduktuar.
ekuacionet figura 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Përgjigje: -1 - √3; –1 + √3.

Siç mund ta shihni, kur zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formula të ndryshme, morëm të njëjtën përgjigje. Prandaj, pasi të keni zotëruar mirë formulat e paraqitura në diagramin e figurës 1, gjithmonë mund të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik.

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Niveli i parë

Ekuacionet kuadratike. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Në termin "ekuacion kuadratik" kryefjala është "kuadratik". Kjo do të thotë që ekuacioni duhet të përmbajë domosdoshmërisht një ndryshore (të njëjtin X) në katror, ​​dhe në të njëjtën kohë nuk duhet të ketë Xs në shkallën e tretë (ose më të madhe).

Zgjidhja e shumë ekuacioneve reduktohet në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Le të mësojmë të përcaktojmë se kemi një ekuacion kuadratik, dhe jo ndonjë tjetër.

Shembulli 1

Hiqni qafe emëruesin dhe shumëzoni çdo term të ekuacionit me

Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë dhe t'i renditim termat në rend zbritës të fuqive të x

Tani mund të themi me besim se ky ekuacion është kuadratik!

Shembulli 2

Shumëzoni anët e majta dhe të djathta me:

Ky ekuacion, megjithëse ishte fillimisht në të, nuk është një katror!

Shembulli 3

Le të shumëzojmë gjithçka me:

Me frikë? Shkalla e katërt dhe e dytë ... Megjithatë, nëse bëjmë një zëvendësim, do të shohim se kemi një ekuacion të thjeshtë kuadratik:

Shembulli 4

Duket të jetë, por le të hedhim një vështrim më të afërt. Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë:

E shihni, është tkurrur - dhe tani është një ekuacion i thjeshtë linear!

Tani përpiquni të përcaktoni vetë se cilat nga ekuacionet e mëposhtme janë kuadratike dhe cilat jo:

Shembuj:

Përgjigjet:

1. katror;
2. katror;
3. jo katror;
4. jo katror;
5. jo katror;
6. katror;
7. jo katror;
8. katrore.

Matematikanët i ndajnë me kusht të gjitha ekuacionet kuadratike në llojet e mëposhtme:

• Ekuacionet e plota kuadratike- ekuacionet në të cilat koeficientët dhe, si dhe termi i lirë c, nuk janë të barabartë me zero (si në shembull). Përveç kësaj, midis ekuacioneve të plota kuadratike, ekzistojnë dhënë janë ekuacione në të cilat koeficienti (ekuacioni nga shembulli një jo vetëm që është i plotë, por edhe i reduktuar!)

• Ekuacionet kuadratike jo të plota- ekuacionet në të cilat koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:

  Ato janë të paplota sepse u mungon ndonjë element. Por ekuacioni duhet të përmbajë gjithmonë x në katror !!! Përndryshe, nuk do të jetë më një ekuacion kuadratik, por ndonjë ekuacion tjetër.

Pse dolën me një ndarje të tillë? Duket se ka një X në katror, ​​dhe në rregull. Një ndarje e tillë është për shkak të metodave të zgjidhjes. Le të shqyrtojmë secilën prej tyre në më shumë detaje.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Së pari, le të përqendrohemi në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë shumë më të thjeshta!

Ekuacionet kuadratike jo të plota janë të llojeve:

1. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.
2. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.
3. , në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

1. i. Meqenëse dimë të marrim rrënjën katrore, le të shprehemi nga ky ekuacion

Shprehja mund të jetë ose negative ose pozitive. Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzohen dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv, pra: nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje.

Dhe nëse, atëherë marrim dy rrënjë. Këto formula nuk kanë nevojë të memorizohen. Gjëja kryesore është që gjithmonë duhet të dini dhe mbani mend se nuk mund të jetë më pak.

Le të përpiqemi të zgjidhim disa shembuj.

Shembulli 5:

Zgjidhe ekuacionin

Tani mbetet për të nxjerrë rrënjën nga pjesa e majtë dhe e djathtë. Në fund të fundit, a ju kujtohet se si të nxirrni rrënjët?

Përgjigje:

Mos harroni kurrë për rrënjët me një shenjë negative!!!

Shembulli 6:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 7:

Zgjidhe ekuacionin

Oh! Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë!

Për ekuacione të tilla në të cilat nuk ka rrënjë, matematikanët dolën me një ikonë të veçantë - (grup bosh). Dhe përgjigja mund të shkruhet kështu:

Përgjigje:

Kështu, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Këtu nuk ka kufizime, pasi nuk e kemi nxjerrë rrënjën.
Shembulli 8:

Zgjidhe ekuacionin

Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

Në këtë mënyrë,

Ky ekuacion ka dy rrënjë.

Përgjigje:

Lloji më i thjeshtë i ekuacioneve kuadratike jo të plota (edhe pse të gjitha janë të thjeshta, apo jo?). Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Këtu do të bëjmë pa shembuj.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike

Ju kujtojmë se ekuacioni i plotë kuadratik është një ekuacion i ekuacionit të formës ku

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike është pak më e komplikuar (vetëm pak) sesa ato të dhëna.

Mbani mend, çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur diskriminuesin! Edhe e paplotë.

Pjesa tjetër e metodave do t'ju ndihmojë ta bëni atë më shpejt, por nëse keni probleme me ekuacionet kuadratike, së pari zotëroni zgjidhjen duke përdorur diskriminuesin.

1. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur diskriminuesin.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike në këtë mënyrë është shumë e thjeshtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula.

Nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë Vëmendje e veçantë vizatoni një hap. Diskriminuesi () na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

• Nëse, atëherë formula në hap do të reduktohet në. Kështu, ekuacioni do të ketë vetëm një rrënjë.
• Nëse, atëherë nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit në hap. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Le të kthehemi te ekuacionet tona dhe të shohim disa shembuj.

Shembulli 9:

Zgjidhe ekuacionin

Hapi 1 kapërcej.

Hapi 2

Gjetja e diskriminuesit:

Pra, ekuacioni ka dy rrënjë.

Hapi 3

Përgjigje:

Shembulli 10:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni është në formë standarde, pra Hapi 1 kapërcej.

Hapi 2

Gjetja e diskriminuesit:

Pra, ekuacioni ka një rrënjë.

Përgjigje:

Shembulli 11:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni është në formë standarde, pra Hapi 1 kapërcej.

Hapi 2

Gjetja e diskriminuesit:

Kjo do të thotë se ne nuk do të mund të nxjerrim rrënjën nga diskriminuesi. Nuk ka rrënjë të ekuacionit.

Tani ne e dimë se si t'i shkruajmë saktë përgjigjet e tilla.

Përgjigje: pa rrënjë

2. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën Vieta.

Nëse ju kujtohet, atëherë ekziston një lloj i tillë ekuacionesh që quhen të reduktuara (kur koeficienti a është i barabartë me):

Ekuacione të tilla janë shumë të lehta për t'u zgjidhur duke përdorur teoremën e Vieta:

Shuma e rrënjëve dhënë ekuacioni kuadratik është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë.

Shembulli 12:

Zgjidhe ekuacionin

Ky ekuacion është i përshtatshëm për zgjidhje duke përdorur teoremën e Vietës, sepse .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është, d.m.th. marrim ekuacionin e parë:

Dhe produkti është:

Le të krijojmë dhe zgjidhim sistemin:

• dhe. Shuma është;
• dhe. Shuma është;
• dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Përgjigje: ; .

Shembulli 13:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 14:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni zvogëlohet, që do të thotë:

Përgjigje:

EKUACIONET KUADRATIKE. NIVELI I MESËM

Çfarë është një ekuacion kuadratik?

Me fjalë të tjera, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës, ku - i panjohur, - disa numra, për më tepër.

Numri quhet më i larti ose koeficienti i parë ekuacioni kuadratik, - koeficienti i dytë, a - anëtar i lirë.

Pse? Sepse nëse, ekuacioni do të bëhet menjëherë linear, sepse do të zhduket.

Në këtë rast, dhe mund të jetë e barabartë me zero. Në këtë ekuacion të jashtëqitjes quhet jo i plotë. Nëse të gjithë termat janë në vend, domethënë, ekuacioni është i plotë.

Zgjidhje të llojeve të ndryshme të ekuacioneve kuadratike

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota:

Për të filluar, ne do të analizojmë metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë më të thjeshta.

Mund të dallohen llojet e mëposhtme të ekuacioneve:

I. , në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

II. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.

III. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.

Tani merrni parasysh zgjidhjen e secilit prej këtyre nënllojeve.

Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzohen dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv. Prandaj:

nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje;

nëse kemi dy rrënjë

Këto formula nuk kanë nevojë të memorizohen. Gjëja kryesore për të mbajtur mend është se nuk mund të jetë më pak.

Shembuj:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Asnjëherë mos harroni për rrënjët me një shenjë negative!

Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë.

Për të shkruar shkurtimisht se problemi nuk ka zgjidhje, ne përdorim ikonën e setit bosh.

Përgjigje:

Pra, ky ekuacion ka dy rrënjë: dhe.

Përgjigje:

Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Kjo do të thotë që ekuacioni ka një zgjidhje kur:

Pra, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë: dhe.

Shembull:

Zgjidhe ekuacionin.

Vendimi:

Faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe gjejmë rrënjët:

Përgjigje:

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike:

1. Diskriminues

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike në këtë mënyrë është e lehtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula. Mos harroni, çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur diskriminuesin! Madje e paplotë.

E keni vënë re rrënjën e diskriminuesit në formulën e rrënjës? Por diskriminuesi mund të jetë negativ. Çfarë duhet bërë? Duhet t'i kushtojmë vëmendje të veçantë hapit 2. Diskriminuesi na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

• Nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë:
• Nëse, atëherë ekuacioni ka të njëjtën rrënjë, por në fakt, një rrënjë:

  Rrënjë të tilla quhen rrënjë të dyfishta.

• Nëse, atëherë rrënja e diskriminuesit nuk nxirret. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Pse është e mundur sasi të ndryshme rrënjët? Le të kthehemi tek kuptimi gjeometrik ekuacioni kuadratik. Grafiku i funksionit është një parabolë:

Në një rast të veçantë, i cili është një ekuacion kuadratik, . Dhe kjo do të thotë se rrënjët e ekuacionit kuadratik janë pikat e kryqëzimit me boshtin x (boshtin). Parabola mund të mos e kalojë fare boshtin, ose mund ta presë atë në një (kur pjesa e sipërme e parabolës shtrihet në bosht) ose dy pika.

Përveç kësaj, koeficienti është përgjegjës për drejtimin e degëve të parabolës. Nëse, atëherë degët e parabolës drejtohen lart, dhe nëse - atëherë poshtë.

Shembuj:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Përgjigje:.

Përgjigje:

Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Përgjigje:.

2. Teorema e Vietës

Përdorimi i teoremës Vieta është shumë i lehtë: thjesht duhet të zgjidhni një çift numrash, produkti i të cilëve është i barabartë me termin e lirë të ekuacionit, dhe shuma është e barabartë me koeficientin e dytë, të marrë me shenjën e kundërt.

Është e rëndësishme të mbani mend se teorema e Vietës mund të zbatohet vetëm në dhënë ekuacionet kuadratike ().

Le të shohim disa shembuj:

Shembulli #1:

Zgjidhe ekuacionin.

Vendimi:

Ky ekuacion është i përshtatshëm për zgjidhje duke përdorur teoremën e Vietës, sepse . Koeficientët e tjerë: ; .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është:

Dhe produkti është:

Le të zgjedhim çifte të tilla numrash, prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

• dhe. Shuma është;
• dhe. Shuma është;
• dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Kështu, dhe janë rrënjët e ekuacionit tonë.

Përgjigje: ; .

Shembulli #2:

Vendimi:

Ne zgjedhim çifte të tilla numrash që japin produktin dhe më pas kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

dhe: jepni në total.

dhe: jepni në total. Për ta marrë atë, thjesht duhet të ndryshoni shenjat e rrënjëve të supozuara: dhe, në fund të fundit, produktin.

Përgjigje:

Shembulli #3:

Vendimi:

Termi i lirë i ekuacionit është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është një numër negativ. Kjo është e mundur vetëm nëse njëra prej rrënjëve është negative dhe tjetra është pozitive. Pra, shuma e rrënjëve është dallimet e moduleve të tyre.

Ne zgjedhim çifte të tilla numrash që japin në produkt dhe diferenca e të cilave është e barabartë me:

dhe: dallimi i tyre është - jo i përshtatshëm;

dhe: - jo i përshtatshëm;

dhe: - jo i përshtatshëm;

dhe: - të përshtatshme. Mbetet vetëm të kujtojmë se një nga rrënjët është negative. Meqenëse shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, atëherë rrënja, e cila është më e vogël në vlerë absolute, duhet të jetë negative: . Ne kontrollojmë:

Përgjigje:

Shembulli #4:

Zgjidhe ekuacionin.

Vendimi:

Ekuacioni zvogëlohet, që do të thotë:

Termi i lirë është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është negativ. Dhe kjo është e mundur vetëm kur njëra rrënjë e ekuacionit është negative dhe tjetra është pozitive.

Ne zgjedhim çifte të tilla numrash, produkti i të cilëve është i barabartë, dhe më pas përcaktojmë se cilat rrënjë duhet të kenë një shenjë negative:

Natyrisht, vetëm rrënjët dhe janë të përshtatshme për kushtin e parë:

Përgjigje:

Shembulli #5:

Zgjidhe ekuacionin.

Vendimi:

Ekuacioni zvogëlohet, që do të thotë:

Shuma e rrënjëve është negative, që do të thotë se të paktën, një nga rrënjët është negative. Por meqenëse produkti i tyre është pozitiv, do të thotë që të dy rrënjët janë minus.

Ne zgjedhim çifte të tilla numrash, prodhimi i të cilave është i barabartë me:

Natyrisht, rrënjët janë numrat dhe.

Përgjigje:

Pajtohem, është shumë i përshtatshëm - të shpikni rrënjë me gojë, në vend që të numëroni këtë diskriminues të keq. Mundohuni të përdorni teoremën e Vietës sa më shpesh të jetë e mundur.

Por teorema Vieta është e nevojshme për të lehtësuar dhe përshpejtuar gjetjen e rrënjëve. Për ta bërë të dobishme për ju përdorimin e tij, duhet t'i çoni veprimet në automatizëm. Dhe për këtë, zgjidhni pesë shembuj të tjerë. Por mos mashtroni: nuk mund të përdorni diskriminuesin! Vetëm teorema e Vietës:

Zgjidhje për detyrat për punë të pavarur:

Detyra 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Sipas teoremës së Vietës:

Si zakonisht, ne e fillojmë përzgjedhjen me produktin:

Jo i përshtatshëm për shkak të sasisë;

: shuma është ajo që ju nevojitet.

Përgjigje: ; .

Detyra 2.

Dhe përsëri, teorema jonë e preferuar Vieta: shuma duhet të funksionojë, por produkti është i barabartë.

Por meqenëse nuk duhet të jetë, por, ne ndryshojmë shenjat e rrënjëve: dhe (në total).

Përgjigje: ; .

Detyra 3.

Hmm... Ku është?

Është e nevojshme të transferohen të gjitha kushtet në një pjesë:

Shuma e rrënjëve është e barabartë me produktin.

Po, ndalo! Ekuacioni nuk është dhënë. Por teorema e Vietës është e zbatueshme vetëm në ekuacionet e dhëna. Pra, së pari ju duhet të sillni ekuacionin. Nëse nuk mund ta parashtroni, hidheni këtë ide dhe zgjidheni në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes diskriminuesit). Më lejoni t'ju kujtoj se të sjellësh një ekuacion kuadratik do të thotë të bësh koeficientin kryesor të barabartë me:

E shkëlqyeshme. Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë dhe produkti.

Është më e lehtë për të marrë këtu: në fund të fundit - një numër kryesor (më falni për tautologjinë).

Përgjigje: ; .

Detyra 4.

Termi i lirë është negativ. Çfarë ka kaq të veçantë për të? Dhe fakti që rrënjët do të jenë të shenjave të ndryshme. Dhe tani, gjatë përzgjedhjes, ne kontrollojmë jo shumën e rrënjëve, por ndryshimin midis moduleve të tyre: ky ndryshim është i barabartë, por produkti.

Pra, rrënjët janë të barabarta dhe, por njëra prej tyre është me një minus. Teorema e Vietës na thotë se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjë të kundërt, d.m.th. Kjo do të thotë që rrënja më e vogël do të ketë një minus: dhe, pasi.

Përgjigje: ; .

Detyra 5.

Çfarë duhet bërë së pari? Kjo është e drejtë, jepni ekuacionin:

Përsëri: ne zgjedhim faktorët e numrit dhe ndryshimi i tyre duhet të jetë i barabartë me:

Rrënjët janë të barabarta dhe, por njëra prej tyre është minus. Cilin? Shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, që do të thotë se me një minus do të ketë një rrënjë më të madhe.

Përgjigje: ; .

Më lejoni të përmbledh:

1. Teorema e Vietës përdoret vetëm në ekuacionet e dhëna kuadratike.
2. Duke përdorur teoremën Vieta, ju mund të gjeni rrënjët me përzgjedhje, me gojë.
3. Nëse ekuacioni nuk është dhënë ose nuk gjendet asnjë çift ​​i përshtatshëm faktorët e termit të lirë, që do të thotë se nuk ka rrënjë të plota, dhe ju duhet ta zgjidhni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes diskriminuesit).

3. Metoda e përzgjedhjes së katrorit të plotë

Nëse të gjithë termat që përmbajnë të panjohurën paraqiten si terma nga formulat e shumëzimit të shkurtuar - katrori i shumës ose diferencës - atëherë pas ndryshimit të ndryshoreve, ekuacioni mund të paraqitet si një ekuacion kuadratik jo i plotë i llojit.

Për shembull:

Shembulli 1:

Zgjidheni ekuacionin: .

Vendimi:

Përgjigje:

Shembulli 2:

Zgjidheni ekuacionin: .

Vendimi:

Përgjigje:

AT pamje e përgjithshme transformimi do të duket si ky:

Kjo nënkupton:.

Nuk ju kujton gjë? Është diskriminues! Pikërisht kështu është marrë formula e diskriminimit.

EKUACIONET KUADRATIKE. SHKURTËZIM PËR KRYESORIN

Ekuacioni kuadratikështë një ekuacion i formës, ku është e panjohura, janë koeficientët e ekuacionit kuadratik, është termi i lirë.

Ekuacioni i plotë kuadratik- një ekuacion në të cilin koeficientët nuk janë të barabartë me zero.

Ekuacioni kuadratik i reduktuar- një ekuacion në të cilin koeficienti, që është: .

Ekuacion kuadratik jo i plotë- një ekuacion në të cilin koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:

• nëse koeficienti, ekuacioni ka formën: ,
• nëse një term i lirë, ekuacioni ka formën:
• nëse dhe, ekuacioni ka formën: .

1. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota

1.1. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Shpreh të panjohurën: ,

2) Kontrolloni shenjën e shprehjes:

• nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje,
• nëse, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

1.2. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Le të nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat: ,

2) Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Prandaj, ekuacioni ka dy rrënjë:

1.3. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku:

Ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë: .

2. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike të formës ku

2.1. Zgjidhja duke përdorur diskriminuesin

1) Le ta sjellim ekuacionin në formën standarde: ,

2) Llogaritni diskriminuesin duke përdorur formulën: , e cila tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit:

3) Gjeni rrënjët e ekuacionit:

• nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, e cila gjendet me formulën:
• nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, e cila gjendet me formulën:
• nëse, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.

2.2. Zgjidhje duke përdorur teoremën e Vietës

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar (një ekuacion i formës, ku) është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë, d.m.th. , a.

2.3. Zgjidhje katrore e plotë

Ekuacionet kuadratike. Diskriminues. Zgjidhje, shembuj.

Kujdes!
Ka shtesë
material në Seksionin Special 555.
Për ata që fort "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë...")

Llojet e ekuacioneve kuadratike

Çfarë është një ekuacion kuadratik? Si duket? Në terma ekuacioni kuadratik fjala kyçe është "katror". Do të thotë se në ekuacion detyrimisht duhet të ketë një x në katror. Përveç tij, në ekuacion mund të ketë (ose mund të mos ketë!) Vetëm x (deri në shkallën e parë) dhe vetëm një numër (anëtar i lirë). Dhe nuk duhet të ketë x në një shkallë më të madhe se dy.

Në terma matematikorë, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës:

Këtu a, b dhe c- disa numra. b dhe c- absolutisht çdo, por a- çdo gjë përveç zeros. Për shembull:

Këtu a =1; b = 3; c = -4

Këtu a =2; b = -0,5; c = 2,2

Këtu a =-3; b = 6; c = -18

Epo, e kuptoni idenë ...

Në këto ekuacione kuadratike, në të majtë, ka komplet i plotë anëtarët. x në katror me koeficient a, x në fuqinë e parë me koeficient b dhe anëtar i lirë i

Ekuacionet e tilla kuadratike quhen i plotë.

Po nese b= 0, çfarë do të marrim? Ne kemi X do të zhduket në shkallën e parë. Kjo ndodh nga shumëzimi me zero.) Rezulton, për shembull:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

etj. Dhe nëse të dy koeficientët b dhe c janë të barabarta me zero, atëherë është edhe më e thjeshtë:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Ekuacione të tilla, ku diçka mungon, quhen ekuacionet kuadratike jo të plota. E cila është mjaft logjike.) Ju lutemi vini re se x në katror është i pranishëm në të gjitha ekuacionet.

Meqë ra fjala pse a nuk mund të jetë zero? Dhe ju zëvendësoni në vend të kësaj a zero.) X në katror do të zhduket! Ekuacioni do të bëhet linear. Dhe është bërë ndryshe ...

Këto janë të gjitha llojet kryesore të ekuacioneve kuadratike. E plotë dhe e paplotë.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike.

Ekuacionet kuadratike janë të lehta për t'u zgjidhur. Sipas formulave dhe rregullave të qarta të thjeshta. Në fazën e parë, është e nevojshme të sillni ekuacionin e dhënë në formën standarde, d.m.th. për pamjen:

Nëse ekuacioni ju është dhënë tashmë në këtë formë, nuk keni nevojë të bëni fazën e parë.) Gjëja kryesore është të përcaktoni saktë të gjithë koeficientët, a, b dhe c.

Formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duket si kjo:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese. Por më shumë rreth tij më poshtë. Siç mund ta shihni, për të gjetur x, ne përdorim vetëm a, b dhe c. ato. koeficientët nga ekuacioni kuadratik. Thjesht zëvendësoni me kujdes vlerat a, b dhe c në këtë formulë dhe numëroni. Zëvendësues me shenjat e tua! Për shembull, në ekuacionin:

a =1; b = 3; c= -4. Këtu shkruajmë:

Shembull pothuajse i zgjidhur:

Kjo është përgjigja.

Gjithçka është shumë e thjeshtë. Dhe çfarë mendoni, nuk mund të gaboni? Epo, po, si ...

Gabimet më të shpeshta janë konfuzioni me shenjat e vlerave a, b dhe c. Ose më mirë, jo me shenjat e tyre (ku ka për t'u ngatërruar?), Por me zëvendësimin vlerat negative në formulën për llogaritjen e rrënjëve. Këtu, një regjistrim i detajuar i formulës me numra të veçantë kursen. Nëse ka probleme me llogaritjet, kështu bëje!

Supozoni se duhet të zgjidhim shembullin e mëposhtëm:

Këtu a = -6; b = -5; c = -1

Le të themi se e dini se rrallë merrni përgjigje herën e parë.

Epo, mos u bëj dembel. Do të duhen 30 sekonda për të shkruar një rresht shtesë dhe numrin e gabimeve do të bjerë ndjeshëm. Pra, ne shkruajmë në detaje, me të gjitha kllapat dhe shenjat:

Duket tepër e vështirë të pikturosh me kaq kujdes. Por vetëm duket. Provoje. Epo, ose zgjidhni. Cila është më e mirë, e shpejtë apo e drejtë? Përveç kësaj, unë do t'ju bëj të lumtur. Pas një kohe, nuk do të ketë nevojë të pikturoni gjithçka me kaq kujdes. Thjesht do të dalë e drejtë. Sidomos nëse përdorni teknikat praktike të cilat përshkruhen më poshtë. Ky shembull i keq me një mori minusesh do të zgjidhet lehtësisht dhe pa gabime!

Por, shpesh, ekuacionet kuadratike duken paksa të ndryshme. Për shembull, si kjo:

A e dini?) Po! atë ekuacionet kuadratike jo të plota.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota.

Ato mund të zgjidhen edhe me formulën e përgjithshme. Thjesht duhet të kuptoni saktë se çfarë është e barabartë këtu a, b dhe c.

E realizuar? Në shembullin e parë a = 1; b = -4; a c? Nuk ekziston fare! Epo, po, ashtu është. Në matematikë, kjo do të thotë se c = 0 ! Kjo eshte e gjitha. Zëvendësoni zeron në formulë në vend të c, dhe gjithçka do të funksionojë për ne. Ngjashëm me shembullin e dytë. Vetëm zero nuk kemi këtu Me, a b !

Por ekuacionet kuadratike jo të plota mund të zgjidhen shumë më lehtë. Pa asnjë formulë. Merrni parasysh ekuacionin e parë jo të plotë. Çfarë mund të bëhet në anën e majtë? Ju mund ta hiqni X-në nga kllapat! Le ta nxjerrim.

Dhe çfarë nga kjo? Dhe fakti që produkti është i barabartë me zero nëse, dhe vetëm nëse ndonjë nga faktorët është i barabartë me zero! Nuk besoj? Epo, atëherë dilni me dy numra jo zero që, kur shumëzohen, do të japin zero!
Nuk punon? Diçka...
Prandaj, mund të shkruajmë me besim: x 1 = 0, x 2 = 4.

Gjithçka. Këto do të jenë rrënjët e ekuacionit tonë. Të dyja përshtaten. Kur zëvendësojmë ndonjë prej tyre në ekuacionin origjinal, marrim identitetin e saktë 0 = 0. Siç mund ta shihni, zgjidhja është shumë më e thjeshtë se formula e përgjithshme. Unë vërej, nga rruga, cili X do të jetë i pari, dhe cili i dyti - është absolutisht indiferent. Lehtë për të shkruar në rregull x 1- cilado që është më pak x 2- ajo që është më shumë.

Ekuacioni i dytë gjithashtu mund të zgjidhet lehtësisht. Ne lëvizim 9 në anën e djathtë. Ne marrim:

Mbetet për të nxjerrë rrënjën nga 9, dhe kaq. Marr:

gjithashtu dy rrënjë . x 1 = -3, x 2 = 3.

Kështu zgjidhen të gjitha ekuacionet kuadratike jo të plota. Ose duke hequr X nga kllapat, ose thjesht duke e transferuar numrin në të djathtë, e ndjekur nga nxjerrja e rrënjës.
Është jashtëzakonisht e vështirë të ngatërrosh këto metoda. Thjesht sepse në rastin e parë do t'ju duhet të nxirrni rrënjën nga X, e cila është disi e pakuptueshme, dhe në rastin e dytë nuk ka asgjë për të hequr nga kllapat ...

Diskriminues. Formula diskriminuese.

Fjalë magjike diskriminuese ! Një gjimnazist i rrallë nuk e ka dëgjuar këtë fjalë! Shprehja "vendos përmes diskriminuesit" është qetësuese dhe qetësuese. Sepse nuk ka nevojë të presësh marifete nga diskriminuesi! Është i thjeshtë dhe pa probleme në përdorim.) Ju kujtoj formulën më të përgjithshme për zgjidhje ndonjë ekuacionet kuadratike:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminues. Diskriminuesi zakonisht shënohet me shkronjë D. Formula diskriminuese:

D = b 2 - 4ac

Dhe çfarë ka kaq të veçantë kjo shprehje? Pse meriton një emër të veçantë? Çfarë kuptimi i diskriminuesit? Pas te gjithave -b, ose 2a në këtë formulë ata nuk emërtojnë në mënyrë specifike ... Shkronjat dhe shkronjat.

Çështja është kjo. Kur zgjidhni një ekuacion kuadratik duke përdorur këtë formulë, është e mundur vetëm tre raste.

1. Diskriminuesi është pozitiv. Kjo do të thotë që ju mund të nxirrni rrënjën prej saj. Nëse rrënja nxirret mirë apo keq është një pyetje tjetër. E rëndësishme është ajo që nxirret në parim. Atëherë ekuacioni juaj kuadratik ka dy rrënjë. Dy zgjidhje të ndryshme.

2. Diskriminuesi është zero. Atëherë ju keni një zgjidhje. Meqenëse mbledhja ose zbritja e zeros në numërues nuk ndryshon asgjë. Në mënyrë të rreptë, kjo nuk është një rrënjë e vetme, por dy identike. Por, në një version të thjeshtuar, është zakon të flasim një zgjidhje.

3. Diskriminuesi është negativ. Një numër negativ nuk merr rrënjën katrore. Epo, në rregull. Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Për të qenë i sinqertë, në zgjidhje e thjeshtë ekuacionet kuadratike, koncepti i diskriminuesit nuk kërkohet veçanërisht. Ne zëvendësojmë vlerat e koeficientëve në formulë dhe marrim parasysh. Atje gjithçka rezulton vetvetiu, dhe dy rrënjë, dhe një, dhe jo një e vetme. Megjithatë, kur zgjidhni më shumë detyra të vështira, pa njohuri kuptimi dhe formula diskriminuese jo mjaftueshem. Sidomos - në ekuacionet me parametra. Ekuacione të tilla janë aerobatikë për GIA dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit!)

Kështu që, si të zgjidhim ekuacionet kuadratike nepermjet diskriminuesit qe kujtove. Ose e mësuar, e cila gjithashtu nuk është e keqe.) Ju dini si të identifikoni saktë a, b dhe c. A e dini se si me vëmendje zëvendësojini ato në formulën rrënjësore dhe me vëmendje numëroni rezultatin. A e kuptove këtë fjalë kyçe këtu - me vëmendje?

Tani merrni parasysh teknikat praktike që reduktojnë në mënyrë dramatike numrin e gabimeve. Pikërisht ato që janë për shkak të pavëmendjes ... Për të cilat është më pas e dhimbshme dhe fyese ...

Pritja e parë . Mos u bëni dembel përpara se të zgjidhni një ekuacion kuadratik për ta sjellë atë në një formë standarde. Çfarë do të thotë kjo?
Supozoni, pas çdo transformimi, ju merrni ekuacionin e mëposhtëm:

Mos nxitoni të shkruani formulën e rrënjëve! Ju pothuajse me siguri do të ngatërroni shanset a, b dhe c. Ndërtoni saktë shembullin. Së pari, x në katror, ​​pastaj pa katror, ​​pastaj një anëtar i lirë. Si kjo:

Dhe përsëri, mos nxitoni! Minusi para katrorit x mund t'ju shqetësojë shumë. Të harrosh është e lehtë... Hiqni qafe minusin. Si? Po, siç u mësua në temën e mëparshme! Ne duhet të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Dhe tani mund të shkruani me siguri formulën për rrënjët, të llogarisni diskriminuesin dhe të plotësoni shembullin. Vendosni vetë. Duhet të përfundoni me rrënjët 2 dhe -1.

Pritja e dytë. Kontrolloni rrënjët tuaja! Sipas teoremës së Vietës. Mos u shqetëso, unë do të shpjegoj gjithçka! Duke kontrolluar gjëja e fundit ekuacionin. ato. ai me të cilin shënuam formulën e rrënjëve. Nëse (si në këtë shembull) koeficienti a = 1, kontrolloni me lehtësi rrënjët. Mjafton t'i shumohen ato. Ju duhet të merrni një afat falas, d.m.th. në rastin tonë -2. Kushtojini vëmendje, jo 2, por -2! anëtar i lirë me shenjën tuaj . Nëse nuk funksionoi, do të thotë se ata tashmë kanë ngatërruar diku. Kërkoni për një gabim.

Nëse funksionoi, duhet të palosni rrënjët. Kontrolli i fundit dhe i fundit. Duhet të jetë një raport b Me e kundërt shenjë. Në rastin tonë -1+2 = +1. Një koeficient b, e cila është para x, është e barabartë me -1. Pra, gjithçka është e saktë!
Është për të ardhur keq që është kaq e thjeshtë vetëm për shembujt ku x në katror është i pastër, me një koeficient a = 1. Por të paktën kontrolloni në ekuacione të tilla! Do të ketë më pak gabime.

Pritja e treta . Nëse ekuacioni juaj ka koeficientë thyesorë, hiqni qafe thyesat! Shumëzoni ekuacionin me emëruesin e përbashkët siç përshkruhet në mësimin "Si të zgjidhim ekuacione? Transformimet e identitetit". Kur punoni me fraksione, gabime, për ndonjë arsye, ngjiteni ...

Meqë ra fjala, premtova një shembull të keq me një mori minusesh për ta thjeshtuar. Ju lutem! Ja ku eshte.

Për të mos u ngatërruar në minuset, e shumëzojmë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Kjo eshte e gjitha! Të vendosësh është kënaqësi!

Pra, le të përmbledhim temën.

Këshilla praktike:

1. Para se ta zgjidhim, e sjellim ekuacionin kuadratik në formën standarde, e ndërtojmë drejtë.

2. Nëse ka një koeficient negativ përballë x-së në katror, ​​e eliminojmë duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me -1.

3. Nëse koeficientët janë thyesorë, i eliminojmë thyesat duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me faktorin përkatës.

4. Nëse x në katror është i pastër, koeficienti për të është i barabartë me një, zgjidhja mund të kontrollohet lehtësisht nga teorema e Vietës. Beje!

Tani mund të vendosni.)

Zgjidh ekuacionet:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Përgjigjet (në rrëmujë):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - çdo numër

x 1 = -3
x 2 = 3

asnjë zgjidhje

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

A përshtatet gjithçka? E shkëlqyeshme! Ekuacionet kuadratike nuk janë tuajat dhimbje koke. Tre të parat dolën, por pjesa tjetër jo? Atëherë problemi nuk është në ekuacionet kuadratike. Problemi është në transformimet identike të ekuacioneve. Hidhini një sy lidhjes, është e dobishme.

Nuk funksionon fare? Apo nuk funksionon fare? Atëherë do t'ju ndihmojë seksioni 555. Atje, të gjithë këta shembuj janë të renditur sipas kockave. Duke treguar kryesore gabimet në zgjidhje. Natyrisht, flasim edhe për aplikimin e transformimeve identike në zgjidhje ekuacione të ndryshme. Ndihmon shumë!

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.