OCH . Nu kan vi börja överväga frågan om hur man hittar området för en trapets. Denna uppgift i vardagen förekommer det mycket sällan, men ibland visar det sig vara nödvändigt, till exempel att hitta området för ett rum i form av en trapets, som alltmer används i byggandet av moderna lägenheter, eller i renoveringsprojekt.
En trapets är en geometrisk figur som bildas av fyra korsande segment, varav två är parallella med varandra och kallas för trapetsens baser. De andra två segmenten kallas trapetsens sidor. Dessutom kommer vi att behöva en annan definition senare. Detta är trapetsens mittlinje, som är ett segment som förbinder sidornas mittpunkter och trapetsens höjd, vilket är lika med avståndet mellan baserna.
Liksom trianglar har en trapets speciella typer i form av en likbent (likbent) trapets, där längderna på sidorna är desamma och rektangulär trapets, där en av sidorna bildar en rät vinkel med baserna.
Trapetser har några intressanta egenskaper:
- Mittlinjen för en trapets är halva summan av baserna och parallell med dem.
- Likbenta trapez har lika sidor och vinklar som de bildar med baserna.
- Mittpunkterna för diagonalerna för en trapets och skärningspunkten för dess diagonaler ligger på samma räta linje.
- Om summan av sidorna i en trapets är lika med summan av baserna, kan en cirkel inskrivas i den
- Om summan av vinklarna som bildas av sidorna av en trapets vid någon av dess baser är 90, är längden på segmentet som förbinder basernas mittpunkter lika med deras halva skillnad.
- En likbent trapets kan beskrivas med en cirkel. Och vice versa. Om en trapets är inskriven i en cirkel, är den likbent.
- Segmentet som passerar genom mittpunkterna av baserna i en likbent trapets kommer att vara vinkelrät mot dess baser och representerar symmetriaxeln.
Hur man hittar området för en trapets.
Arean av en trapets kommer att vara hälften av summan av dess baser multiplicerat med dess höjd. I form av en formel skrivs detta som ett uttryck:
där S är arean på trapetsen, a,b är längden på var och en av baserna på trapetsen, h är höjden på trapetsen.
Du kan förstå och komma ihåg denna formel enligt följande. Som följer av figuren nedan kan en trapets som använder mittlinjen omvandlas till en rektangel, vars längd kommer att vara lika med halva summan av baserna.
Du kan också sönderdela valfri trapets i enklare former: en rektangel och en eller två trianglar, och om det är lättare för dig, hitta arean på trapetsen som summan av arean av dess ingående figurer.
Det finns en annan enkel formel för att beräkna dess area. Enligt den är arean av trapetsen lika med produkten av dess mittlinje och trapetsens höjd och skrivs som: S \u003d m * h, där S är arean, m är längden av mittlinjen, h är trapetsens höjd. Denna formel är mer lämpad för matematiska problem än för vardagliga problem, eftersom i verkliga förhållanden du kommer inte att veta längden på mittlinjen utan preliminära beräkningar. Och du kommer bara att veta längden på baserna och sidorna.
I det här fallet kan området för trapetsen hittas med formeln:
S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2
där S är arean, a,b är baserna, c,d är trapetsens sidor.
Det finns flera sätt att hitta området för en trapets. Men de är ungefär lika obekväma som den sista formeln, vilket betyder att det inte är meningsfullt att uppehålla sig vid dem. Därför rekommenderar vi att du använder den första formeln från artikeln och önskar att du alltid får korrekta resultat.
En mångsidig trapets... Den kan vara godtycklig, likbent eller rektangulär. Och i varje fall måste du veta hur man hittar området för en trapets. Naturligtvis det enklaste sättet att komma ihåg de grundläggande formlerna. Men ibland är det lättare att använda den som är härledd med hänsyn till alla funktioner i en viss geometrisk figur.
Några ord om trapetsen och dess element
Vilken fyrhörning som helst med två parallella sidor kan kallas en trapets. I allmänt fall de är inte lika och kallas baser. Den större av dem är lägre och den andra är övre.
De andra två sidorna är laterala. I en godtycklig trapets har de olika längd. Om de är lika, så blir figuren likbent.
Om plötsligt vinkeln mellan någon sida och basen är lika med 90 grader, är trapetsen rektangulär.
Alla dessa funktioner kan hjälpa till att lösa problemet med hur man hittar området för en trapets.
Bland elementen i figuren, som kan vara oumbärliga för att lösa problem, kan vi urskilja följande:
- höjd, det vill säga ett segment vinkelrätt mot båda baserna;
- mittlinjen, som i sina ändar har mitten av sidorna.
Vad är formeln för att beräkna arean om baserna och höjden är kända?
Detta uttryck anges som det huvudsakliga eftersom det oftast är möjligt att känna till dessa kvantiteter även när de inte anges explicit. Så för att förstå hur man hittar arean av en trapets, måste du lägga till båda baserna och dela dem med två. Det resulterande värdet multipliceras sedan ytterligare med höjdvärdet.
Om vi betecknar baserna med bokstäverna a 1 och a 2, höjden - n, kommer formeln för området att se ut så här:
S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * n.
Formeln för beräkning av arean, givet dess höjd och mittlinje
Om man tittar noga på den föregående formeln är det lätt att se att den tydligt innehåller värdet på mittlinjen. Nämligen summan av baserna dividerat med två. Låt mittlinjen betecknas med bokstaven l, då blir formeln för området:
S \u003d l * n.
Möjlighet att hitta område med diagonaler
Denna metod kommer att hjälpa om vinkeln som bildas av dem är känd. Antag att diagonalerna betecknas med bokstäverna d 1 och d 2, och att vinklarna mellan dem är α och β. Sedan kommer formeln för hur man hittar arean av en trapets att skrivas som följer:
S \u003d ((d 1 * d 2) / 2) * sin α.
I detta uttryck kan man enkelt ersätta α med β. Resultatet kommer inte att förändras.
Hur tar man reda på området om alla sidor av figuren är kända?
Det finns också situationer när exakt sidorna är kända i denna figur. Denna formel är besvärlig och svår att komma ihåg. Men förmodligen. Låt sidorna ha beteckningen: i 1 och i 2 är basen a 1 större än en 2. Då har areaformeln följande form:
S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (i 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + i 1 2 - i 2 2) / (2 * (a 1 - a 2) )] 2).
Metoder för att beräkna arean av en likbent trapets
Den första är relaterad till det faktum att en cirkel kan skrivas in i den. Och genom att känna till dess radie (den betecknas med bokstaven r), såväl som vinkeln vid basen - γ, kan du använda följande formel:
S \u003d (4 * r 2) / sin γ.
Den sista allmänna formeln, som är baserad på att känna till alla sidor av figuren, är mycket förenklad på grund av det faktum att sidorna har samma värde:
S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (i 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).
Metoder för att beräkna arean av en rektangulär trapets
Det är tydligt att något av ovanstående är lämpligt för en godtycklig figur. Men ibland är det användbart att veta om en egenskap hos en sådan trapets. Det ligger i det faktum att skillnaden mellan kvadraterna på diagonalernas längder är lika med skillnaden som består av basernas kvadrater.
Ofta glöms formlerna för en trapets, medan uttrycken för områdena av en rektangel och en triangel kommer ihåg. Sedan kan du tillämpa en enkel metod. Dela trapetsen i två figurer om den är rektangulär, eller tre. En kommer definitivt att vara en rektangel, och den andra, eller de återstående två, kommer att vara trianglar. Efter att ha beräknat områdena för dessa figurer återstår det bara att lägga till dem.
Detta är ett ganska enkelt sätt att hitta området för en rektangulär trapets.
Vad händer om koordinaterna för trapetsens hörn är kända?
I det här fallet måste du använda ett uttryck som låter dig bestämma avståndet mellan punkter. Det kan appliceras tre gånger: för att veta både baser och en höjd. Och sedan är det bara att tillämpa den första formeln, som beskrivs lite högre.
Ett exempel kan ges för att illustrera denna metod. Topppunkter med koordinaterna A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1) ges. Vi måste känna till figurens yta.
Innan du hittar arean av en trapets, måste du beräkna längderna på baserna från koordinaterna. Du behöver denna formel:
segmentlängd = √((skillnaden mellan punkternas första koordinater) 2 + (skillnaden mellan punkternas andra koordinater) 2 ).
Den övre basen betecknas AB, vilket betyder att dess längd blir lika med √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3. Den nedre är CD = √ ((10-1) ) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.
Nu måste du rita en höjd från toppen till botten. Låt dess början vara vid punkt A. Slutet av segmentet kommer att vara på den nedre basen vid punkten med koordinater (5; 1), låt det vara punkt H. Längden på segmentet AN kommer att vara lika med √ ((5) -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.
Det återstår bara att ersätta de resulterande värdena i formeln för arean av en trapets:
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
Problemet löses utan måttenheter, eftersom skalan på koordinatnätet inte är specificerad. Det kan vara antingen millimeter eller meter.
Uppgiftsexempel
Nr 1. Skick. Vinkeln mellan diagonalerna för en godtycklig trapets är känd, den är lika med 30 grader. Den mindre diagonalen har ett värde på 3 dm, och den andra är 2 gånger större än den. Du måste beräkna arean av trapetsen.
Lösning. Först måste du ta reda på längden på den andra diagonalen, för utan detta kommer det inte att vara möjligt att beräkna svaret. Att beräkna det är enkelt, 3 * 2 = 6 (dm).
Nu måste du använda lämplig formel för området:
S \u003d ((3 * 6) / 2) * sin 30º \u003d 18/2 * ½ \u003d 4,5 (dm 2). Problemet löst.
Svar: arean av trapetsen är 4,5 dm 2 .
Nr 2. Skick. I trapetsen ABCD är baserna segmenten AD och BC. Punkt E är mittpunkten på sidan SD. En vinkelrät mot den räta linjen AB dras från den, slutet av detta segment indikeras med bokstaven H. Det är känt att längderna för AB och EH är 5 respektive 4 cm. Det är nödvändigt att beräkna arean av trapetsen.
Lösning. Först måste du göra en ritning. Eftersom värdet på vinkelrät är mindre än den sida som det dras till, kommer trapetsen att sträckas något uppåt. Så EH kommer att vara inne i figuren.
För att tydligt se framstegen med att lösa problemet måste du utföra en ytterligare konstruktion. Dra nämligen en linje som ska vara parallell med sidan AB. Skärningspunkterna för denna linje med AD - P, och med fortsättningen av BC - X. Den resulterande siffran VKhRA är ett parallellogram. Dessutom är dess yta lika med den som krävs. Detta beror på det faktum att trianglarna som erhölls under tilläggskonstruktionen är lika. Detta följer av sidans likhet och de två intilliggande vinklarna, den ena är vertikal, den andra ligger tvärs över.
Du kan hitta arean av ett parallellogram med hjälp av en formel som innehåller produkten av sidan och höjden nedsänkt på den.
Således är arean av en trapets 5 * 4 = 20 cm 2.
Svar: S \u003d 20 cm 2.
Nr 3. Skick. Elementen i en likbent trapets har följande betydelser: den nedre basen är 14 cm, den övre basen är 4 cm, vasst hörn- 45º. Vi måste beräkna dess yta.
Lösning. Låt den mindre basen betecknas BC. Höjden från punkt B kommer att kallas BH. Eftersom vinkeln är 45º kommer triangeln ABH att visa sig vara rätvinklig och likbent. Så AH=BH. Och AN är väldigt lätt att hitta. Det är lika med halva skillnaden mellan baserna. Det vill säga (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).
Baserna är kända, höjderna räknas. Du kan använda den första formeln, som ansågs här för en godtycklig trapets.
S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (cm 2).
Svar:Önskad yta är 45 cm 2.
Nr 4. Skick. Det finns en godtycklig trapets ABCD. Punkterna O och E tas på dess sidor, så att OE är parallell med basen av AD. AOED:s trapetsyta är fem gånger större än CFE:s. Beräkna värdet på OE om baslängderna är kända.
Lösning. Det kommer att vara nödvändigt att rita två räta linjer parallella med AB: den första genom punkt C, dess skärning med OE - punkt T; den andra till E och skärningspunkten med AD kommer att vara M.
Låt det okända OE=x. Höjden på den mindre trapetsformade OVSE är n 1, den större AOED är n 2.
Eftersom områdena för dessa två trapezoider är relaterade till 1 till 5, kan vi skriva följande likhet:
(x + a 2) * n 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * n 2
n 1 / n 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).
Trianglarnas höjder och sidor är proportionella till sin konstruktion. Därför kan vi skriva en annan likhet:
n 1 / n 2 \u003d (x - a 2) / (a 1 - x).
I två senaste inlägg lika värden finns på vänster sida, vilket betyder att vi kan skriva att (x + a 1) / (5 (x + a 2)) är lika med (x - a 2) / (a 1) - x).
Här krävs ett antal transformationer. Kors multiplicera först. Parenteser kommer att dyka upp som indikerar skillnaden mellan kvadrater, efter att ha tillämpat denna formel får du en kort ekvation.
Den måste öppna parenteserna och flytta alla termer från det okända "x" till vänster sida och ta sedan kvadratroten.
Svar: x \u003d √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).
Utövandet av förra årets USE och GIA visar att geometriproblem orsakar svårigheter för många elever. Du kan enkelt hantera dem om du memorerar alla nödvändiga formler och övar på att lösa problem.
I den här artikeln kommer du att se formler för att hitta arean av en trapets, såväl som exempel på problem med lösningar. Samma kan stöta på dig i KIMs vid certifieringsprov eller vid olympiader. Behandla dem därför försiktigt.
Vad du behöver veta om trapets?
Till att börja med, låt oss komma ihåg det trapets en fyrhörning kallas, där två motsatta sidor, de kallas också baser, är parallella och de andra två inte.
I en trapets kan höjden (vinkelrätt mot basen) också utelämnas. Mittlinjen är ritad - det här är en rak linje som är parallell med baserna och lika med hälften av deras summa. Samt diagonaler som kan skära varandra och bilda spetsiga och trubbiga vinklar. Eller in enskilda fall, i rät vinkel. Dessutom, om trapetsen är likbent, kan en cirkel inskrivas i den. Och beskriv en cirkel runt den.
Formler för trapezområde
Tänk först på standardformlerna för att hitta arean av en trapets. Sätt att beräkna arean av likbenta och kurvlinjära trapetser kommer att övervägas nedan.
Så tänk dig att du har en trapets med baserna a och b, där höjden h sänks till den större basen. Att beräkna arean av en figur i detta fall är lätt. Du behöver bara dividera med två summan av längderna på baserna och multiplicera vad som händer med höjden: S = 1/2(a + b)*h.
Låt oss ta ett annat fall: anta att trapetsen förutom höjden har en medianlinje m. Vi känner till formeln för att hitta längden på mittlinjen: m = 1/2(a + b). Därför kan vi med rätta förenkla formeln för arean av en trapets till följande slag: S = m * h. Med andra ord, för att hitta arean av en trapets, måste du multiplicera mittlinjen med höjden.
Låt oss överväga ytterligare ett alternativ: diagonalerna d 1 och d 2 är ritade i en trapets, som inte skär varandra i rät vinkel α. För att beräkna arean av en sådan trapets, måste du halvera produkten av diagonalerna och multiplicera vad du får med synden för vinkeln mellan dem: S= 1/2d 1 d2 *sinα.
Tänk nu på formeln för att hitta arean av en trapets om ingenting är känt om det förutom längden på alla dess sidor: a, b, c och d. Det här är en besvärlig och komplicerad formel, men det kommer att vara användbart för dig att komma ihåg det ifall: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.
Förresten, ovanstående exempel är också sant för fallet när du behöver formeln för arean av en rektangulär trapets. Detta är en trapets, vars sida gränsar till baserna i rät vinkel.
Likbent trapets
En trapets vars sidor är lika kallas likbent. Vi kommer att överväga flera varianter av formeln för arean av en likbent trapets.
Det första alternativet: för fallet när en cirkel med radie r är inskriven i en likbent trapets, och den laterala sidan och den större basen bildar en spetsig vinkel α. En cirkel kan inskrivas i en trapets, förutsatt att summan av längderna av dess baser är lika med summan av längderna på sidorna.
Arean av en likbent trapets beräknas enligt följande: multiplicera kvadraten på radien av den inskrivna cirkeln med fyra och dividera allt med sinα: S = 4r2/sina. En annan areaformel är ett specialfall för alternativet när vinkeln mellan den stora basen och sidan är 30 0: S = 8r2.
Det andra alternativet: den här gången tar vi en likbent trapets, där dessutom diagonalerna d 1 och d 2 ritas, liksom höjden h. Om diagonalerna för en trapets är inbördes vinkelräta är höjden halva summan av baserna: h = 1/2(a + b). Genom att veta detta är det lätt att konvertera trapetsformeln som redan är bekant för dig till denna form: S = h2.
Formeln för arean av en kurvlinjär trapets
Låt oss börja med att förstå: vad är en kurvlinjär trapets. Föreställ dig en koordinataxel och en graf av en kontinuerlig och icke-negativ funktion f som inte ändrar tecken inom ett givet segment på x-axeln. En krökt trapetsform bildas av grafen för funktionen y \u003d f (x) - överst, x-axeln - längst ner (segmentet) och på sidorna - raka linjer ritade mellan punkterna a och b och grafen av funktionen.
Beräkna arean av sådana icke-standardfigur inte möjligt på ovanstående sätt. Här behöver du tillämpa matematisk analys och använda integralen. Nämligen Newton-Leibniz formel - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). I denna formel är F antiderivatan av vår funktion på det valda intervallet. Och området för den kurvlinjära trapetsen motsvarar ökningen av antiderivatet på ett givet segment.
Uppgiftsexempel
För att göra alla dessa formler bättre i ditt huvud, här är några exempel på problem för att hitta området för en trapets. Det bästa vore om du först försöker lösa problemen själv, och först därefter kontrollerar svaret du fått med den färdiga lösningen.
Uppgift 1: Givet en trapets. Dess större bas är 11 cm, den mindre är 4 cm. Trapets har diagonaler, den ena 12 cm lång, den andra 9 cm lång.
Lösning: Bygg en trapetsformad AMRS. Dra linjen RX genom vertex P så att den är parallell med diagonalen MC och skär linjen AC i punkt X. Du får triangeln APX.
Vi kommer att överväga två siffror som erhållits som ett resultat av dessa manipulationer: triangeln APX och parallellogrammet CMPX.
Tack vare parallellogrammet lär vi oss att PX = MC = 12 cm och CX = MP = 4 cm. Var kan vi beräkna sidan AXE av triangeln ARCH: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.
Vi kan också bevisa att triangeln ARCH är rätvinklig (för att göra detta, tillämpa Pythagoras sats - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). Och beräkna dess yta: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.
Därefter måste du bevisa att trianglarna AMP och PCX är lika i area. Grunden kommer att vara jämlikheten mellan sidorna MP och CX (redan bevisat ovan). Och även höjderna som du sänker på dessa sidor - de är lika med höjden på AMRS trapets.
Allt detta gör att du kan hävda att S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.
Uppgift #2: Givet en trapetsformad KRMS. Punkterna O och E är belägna på dess laterala sidor, medan OE och KS är parallella. Det är också känt att områdena för trapetsen ORME och OXE är i förhållandet 1:5. PM = a och KS = b. Du måste hitta en OE.
Lösning: Rita en linje genom punkt M parallellt med RK, och beteckna punkten för dess skärningspunkt med OE som T. A är skärningspunkten för en linje ritad genom punkt E parallellt med RK med basen av KS.
Låt oss introducera ytterligare en notation - OE = x. Samt höjden h 1 för triangeln TME och höjden h 2 för triangeln AEC (du kan självständigt bevisa likheten mellan dessa trianglar).
Vi kommer att anta att b > a. Områdena för trapetserna ORME och OXE är relaterade till 1:5, vilket ger oss rätten att dra upp följande ekvation: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Låt oss omvandla och få: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).
Eftersom trianglarna TME och AEC är lika, har vi h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Kombinera båda posterna och få: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
Således, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
Slutsats
Geometri är inte den lättaste av vetenskaperna, men du kan säkert klara det tentamensuppgifter. Det krävs bara lite tålamod vid förberedelserna. Och, naturligtvis, kom ihåg alla nödvändiga formler.
Vi försökte samla alla formler för att beräkna arean på en trapets på ett ställe så att du kan använda dem när du förbereder dig för tentor och upprepar materialet.
Se till att berätta för dina klasskamrater och vänner om den här artikeln i i sociala nätverk. Låt det bli fler bra betyg för Unified State Examination och GIA!
webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.
I vårt liv måste vi mycket ofta ta itu med tillämpningen av geometri i praktiken, till exempel i konstruktion. Bland de vanligaste geometriska formerna finns en trapets. Och för att projektet ska bli framgångsrikt och vackert är en korrekt och korrekt beräkning av elementen för en sådan figur nödvändig.
Vad är en konvex fyrhörning som har ett par parallella sidor, som kallas baserna för en trapets. Men det finns två andra sidor som förbinder dessa baser. De kallas laterala. En av frågorna angående denna figur är: "Hur hittar man höjden på trapetsen?" Det är omedelbart nödvändigt att uppmärksamma att höjden är ett segment som bestämmer avståndet från en bas till en annan. Det finns flera sätt att bestämma detta avstånd, beroende på de kända värdena.
1. Värdena för båda baserna är kända, vi betecknar dem b och k, såväl som arean av denna trapets. Med hjälp av kända värden är det mycket lätt att hitta höjden på trapetsen i detta fall. Som bekant från geometrin beräknas den som produkten av halva summan av baserna och höjden. Från denna formel kan du enkelt härleda det önskade värdet. För att göra detta måste du dela arean med hälften av summan av baserna. I formelform skulle det se ut så här:
S=((b+k)/2)*h, därav h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)
2. Längden på mittlinjen är känd, låt oss beteckna den d, och arean. För den som inte vet kallar jag mittlinjen för avståndet mellan sidornas mittpunkter. Hur hittar man höjden på trapetsen i det här fallet? Enligt egenskapen hos trapetsen motsvarar mittlinjen halva summan av baserna, det vill säga d=(b+k)/2. Återigen använder vi areaformeln. Genom att ersätta halva summan av baserna med värdet på mittlinjen får vi följande:
Som du kan se är det mycket lätt att härleda höjden från den resulterande formeln. Genom att dividera arean med värdet på mittlinjen hittar vi det önskade värdet. Låt oss skriva den här formeln:
3. Längden på en sida (b) och vinkeln mellan denna sida och den största basen är kända. Svaret på frågan om hur man hittar höjden på en trapets är också i det här fallet. Betrakta en trapets ABCD, där AB och CD är sidor, och AB=b. Den största basen är AD. Vinkeln som bildas av AB och AD kommer att betecknas med α. Från punkt B sänker vi höjden h till basen AD. Betrakta nu den resulterande triangeln ABF, som är en rätvinklig triangel. Sida AB är hypotenusan och BF är benet. Från egenskapen hos en rätvinklig triangel motsvarar förhållandet mellan benvärdet och hypotenusvärdet sinusen för vinkeln motsatt benet (BF). Därför, baserat på det föregående, för att beräkna höjden på trapetsen, multiplicerar vi värdet på den kända sidan och sinus för vinkeln α. I formelform ser det ut så här:
4. På liknande sätt betraktas fallet om storleken på sidan och vinkeln är kända, låt oss beteckna det med β, som bildas mellan denna sida och den mindre basen. När man löser ett sådant problem kommer vinkeln mellan den kända laterala sidan och den ritade höjden att vara 90 ° - β. Från egenskaperna hos trianglar - förhållandet mellan längden på benet och hypotenusan motsvarar cosinus för vinkeln mellan dem. Från denna formel är det lätt att härleda höjdvärdet:
h = b *cos(β-90°)
5. Hur hittar man höjden på en trapets om bara radien på den inskrivna cirkeln är känd? Från definitionen av en cirkel, rör den en punkt på varje bas. Dessutom ligger dessa punkter på samma linje med cirkelns mittpunkt. Av detta följer att avståndet mellan dem är diametern och samtidigt trapetsets höjd. Ser ut så här:
6. Ofta finns det problem där det är nödvändigt att hitta höjden på en likbent trapets. Kom ihåg att en trapets med lika sidor kallas likbent. Hur hittar man höjden på en likbent trapets? För vinkelräta diagonaler är höjden halva summan av baserna.
Men vad händer om diagonalerna inte är vinkelräta? Betrakta en likbent trapets ABCD. Enligt dess egenskaper är baserna parallella. Av detta följer att vinklarna vid baserna också blir lika. Låt oss rita två höjder BF och CM. Baserat på det föregående kan man hävda att trianglarna ABF och DCM är lika, det vill säga AF = DM = (AD - BC) / 2 = (b-k) / 2. Nu, baserat på problemets tillstånd, har vi bestäm de kända värdena, och först då hittar vi höjden, med hänsyn till alla egenskaper hos en likbent trapets.
För att känna sig säker och framgångsrikt lösa problem i geometrilektionerna räcker det inte att lära sig formler. De måste förstås först. Att vara rädd, och ännu mer att hata formler, är improduktivt. I den här artikeln i klartext kommer att analyseras olika sätt hitta arean av en trapets. För en bättre assimilering av motsvarande regler och satser kommer vi att ägna lite uppmärksamhet åt dess egenskaper. Detta hjälper dig att förstå hur reglerna fungerar och i vilka fall vissa formler bör tillämpas.
Definiera en trapets
Vad är denna siffra i allmänhet? En trapets är en polygon med fyra vinklar och två parallella sidor. De andra två sidorna av trapetsen kan lutas i olika vinklar. Dess parallella sidor kallas baser, och för icke-parallella sidor används namnet "sidor" eller "höfter". Sådana figurer är ganska vanliga i vardagsliv. Trapetsets konturer kan ses i silhuetter av kläder, inredningsartiklar, möbler, fat och många andra. Trapes händer olika typer: mångsidig, likbent och rektangulär. Vi kommer att analysera deras typer och egenskaper mer i detalj senare i artikeln.
Trapetsegenskaper
Låt oss kort uppehålla oss vid egenskaperna hos denna figur. Summan av vinklarna intill vilken sida som helst är alltid 180°. Det bör noteras att alla vinklarna i en trapets är 360°. Trapets har konceptet en mittlinje. Om du förbinder sidornas mittpunkter med ett segment blir detta mittlinjen. Det är betecknat m. Mittlinjen har viktiga egenskaper: det är alltid parallellt med baserna (vi kommer ihåg att baserna också är parallella med varandra) och lika med deras halvsumma:
Denna definition måste läras in och förstås, eftersom den är nyckeln till att lösa många problem!
Vid trapetsen kan du alltid sänka höjden till basen. En höjd är en vinkelrät, ofta betecknad med symbolen h, som dras från vilken punkt som helst på en bas till en annan bas eller dess förlängning. Mittlinjen och höjden hjälper dig att hitta området för trapetsen. Dessa uppgifter är de vanligaste skolkurs geometri och dyker regelbundet upp bland kontroll- och examinationsuppgifter.
De enklaste formlerna för arean av en trapets
Låt oss ta en titt på de två mest populära enkla formler för att hitta arean för en trapets. Det räcker att multiplicera höjden med halva summan av baserna för att enkelt hitta det du letar efter:
S = h*(a + b)/2.
I denna formel betecknar a, b trapetsens baser, h - höjden. För läsbarheten i den här artikeln är multiplikationstecknen markerade med symbolen (*) i formler, även om multiplikationstecknet vanligtvis utelämnas i officiella referensböcker.
Tänk på ett exempel.
Givet: en trapets med två baser lika med 10 och 14 cm, höjden är 7 cm. Vilken yta har trapetsen?
Låt oss analysera lösningen på detta problem. Med den här formeln måste du först hitta halvsumman av baserna: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Så halvsumman är 12 cm. Nu multiplicerar vi halvsumman med höjden: 12 * 7 \u003d 84. Den önskade hittas. Svar: Arean av en trapets är 84 kvadratmeter. centimeter.
Den andra välkända formeln säger: arean av en trapets är lika med produkten av mittlinjen och trapetsens höjd. Det vill säga att det faktiskt följer av det tidigare konceptet för mittlinjen: S=m*h.
Använda diagonaler för beräkningar
Ett annat sätt att hitta området för en trapets är faktiskt inte så svårt. Den är förbunden med sina diagonaler. Enligt denna formel, för att hitta arean, måste man multiplicera halvprodukten av dess diagonaler (d 1 d 2) med sinus för vinkeln mellan dem:
S = ½ d 1 d 2 sin a.
Tänk på ett problem som visar tillämpningen av denna metod. Givet: en trapets med en diagonallängd på 8 respektive 13 cm.. Vinkeln a mellan diagonalerna är 30°. Hitta arean för trapetsen.
Lösning. Med hjälp av ovanstående formel är det enkelt att beräkna vad som krävs. Som ni vet är sin 30° 0,5. Därför är S = 8*13*0,5=52. Svar: Ytan är 52 kvadratmeter. centimeter.
Letar efter området för en likbent trapets
En trapets kan vara likbent (likbent). Dess sidor är lika och vinklarna vid baserna är lika, vilket är väl illustrerat i figuren. En likbent trapets har samma egenskaper som en vanlig trapets, plus ett antal speciella. En cirkel kan omskrivas runt en likbent trapets, och en cirkel kan inskrivas i den.
Vilka är metoderna för att beräkna arean av en sådan figur? Metoden nedan kommer att kräva många beräkningar. För att använda det måste du känna till värdena för sinus (sin) och cosinus (cos) för vinkeln vid basen av trapetsen. Deras beräkningar kräver antingen Bradis-tabeller eller en teknisk kalkylator. Här är formeln:
S= c*synd a*(a - c* för a),
Var Med- sidolår a- vinkel vid nedre basen.
En likbent trapets har diagonaler samma längd. Det omvända är också sant: om diagonalerna på en trapets är lika, så är den likbent. Härifrån följande formel, hjälper till att hitta arean av trapetsen - halvprodukten av kvadraten på diagonalerna och sinus för vinkeln mellan dem: S \u003d ½ d 2 sin a.
Att hitta arean för en rektangulär trapets
Ett specialfall av en rektangulär trapets är känt. Detta är en trapets, där ena sidan (hennes lår) gränsar till baserna i rät vinkel. Den har egenskaperna hos en vanlig trapets. Dessutom har hon en mycket intressant funktion. Skillnaden mellan kvadraterna på diagonalerna för en sådan trapets är lika med skillnaden mellan kvadraterna på dess baser. För det används alla tidigare givna metoder för att beräkna arean.
Att tillämpa uppfinningsrikedom
Det finns ett knep som kan hjälpa i händelse av glömska av specifika formler. Låt oss ta en närmare titt på vad en trapets är. Om vi mentalt delar upp det i delar kommer vi att få bekanta och förståeliga geometriska former: en kvadrat eller en rektangel och en triangel (en eller två). Om du känner till trapetsens höjd och sidor kan du använda formlerna för arean av triangel och rektangel och sedan lägga ihop alla erhållna värden.
Låt oss illustrera detta med följande exempel. Givet en rektangulär trapets. Vinkel C = 45°, vinklar A, D är 90°. Den övre basen av trapetsen är 20 cm, höjden är 16 cm. Det krävs för att beräkna arean av figuren.
Denna figur består uppenbarligen av en rektangel (om två vinklar är 90°) och en triangel. Eftersom trapetsen är rektangulär är därför dess höjd lika med dess sida, det vill säga 16 cm. Vi har en rektangel med sidor på 20 respektive 16 cm. Betrakta nu en triangel vars vinkel är 45°. Vi vet att en av dess sidor är 16 cm. Eftersom denna sida också är trapetsens höjd (och vi vet att höjden faller på basen i rät vinkel), är den andra vinkeln i triangeln 90 °. Därför är den återstående vinkeln på triangeln 45°. Som ett resultat får vi en rektangulär likbent triangel som har samma två sidor. Detta betyder att den andra sidan av triangeln är lika med höjden, det vill säga 16 cm. Det återstår att beräkna arean av triangeln och rektangeln och lägga till de resulterande värdena.
Arean av en rätvinklig triangel är lika med hälften av produkten av dess ben: S = (16*16)/2 = 128. Arean av en rektangel är lika med produkten av dess bredd och längd: S = 20*16 = 320. Vi hittade den nödvändiga: arean av trapetsen S = 128 + 320 = 448 kvm. Du kan enkelt dubbelkolla dig själv med formlerna ovan, svaret blir identiskt.
Vi använder Pick-formeln
Slutligen presenterar vi ytterligare en originalformel som hjälper till att hitta arean av en trapets. Det kallas Pick-formeln. Det är bekvämt att använda det när trapetsen är ritad på rutigt papper. Liknande uppgifter finns ofta i GIA:s material. Det ser ut så här:
S \u003d M / 2 + N - 1,
i denna formel är M antalet noder, dvs. skärningar av figurens linjer med cellens linjer på trapetsens gränser (orange prickar i figuren), N är antalet noder inuti figuren (blå prickar). Det är mest bekvämt att använda det när man hittar arean av en oregelbunden polygon. Men ju större arsenal av tekniker som används, desto färre fel och bättre resultat.
Naturligtvis är den information som ges långt ifrån att uttömma typerna och egenskaperna hos en trapets, liksom metoder för att hitta dess område. Den här artikeln ger en översikt över dess viktigaste egenskaper. För att lösa geometriska problem är det viktigt att agera gradvis, börja med enkla formler och problem, konsekvent konsolidera förståelsen och gå till en annan nivå av komplexitet.
Tillsammans kommer de vanligaste formlerna att hjälpa eleverna att navigera mellan olika sätt att beräkna arean av en trapets och bättre förbereda sig för tester och kontrollarbete om detta ämne.
