I århundraden har symmetri förblivit ett ämne som fascinerar filosofer, astronomer, matematiker, konstnärer, arkitekter och fysiker. De gamla grekerna var helt besatta av det – och än idag tenderar vi att se symmetri i allt från möbelarrangemang till hårklippning.

Tänk bara på att när du väl inser detta kommer du sannolikt att ha en överväldigande lust att leta efter symmetri i allt du ser.

(Totalt 10 bilder)

Postsponsor: VKontakte musiknedladdare: En ny version programmet "Catch in contact" ger en möjlighet att enkelt och snabbt ladda ner musik och videor som lagts upp av användare från sidorna på de mest kända socialt nätverk vkontakte.ru.

1. Romanesco broccoli

När du såg Romanesco-broccoli i butiken trodde du kanske att det var ytterligare ett exempel på en genmodifierad produkt. Men i själva verket är detta ytterligare ett exempel på naturens fraktalsymmetri. Varje broccoliblomställning har ett logaritmiskt spiralmönster. Romanesco liknar broccoli till utseende, men i smak och konsistens - blomkål. Den är rik på karotenoider, samt vitamin C och K, vilket gör den inte bara vacker utan också hälsosam mat.

I tusentals år har människor förundrats över den perfekta hexagonala formen på bikakan och undrat hur bin instinktivt kan skapa en form som människor bara kan återskapa med en kompass och rätlina. Hur och varför har bin en lust att skapa hexagoner? Matematiker tror att detta perfekt form, vilket gör att de kan lagra den maximala mängden honung som är möjlig att använda minimal mängd vax. Det är i alla fall en produkt av naturen, och det är ganska jäkla imponerande.

3. Solrosor

Solrosor har radiell symmetri och en intressant typ av symmetri som kallas Fibonacci-sekvensen. Fibonacci-sekvens: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc. (varje tal bestäms av summan av de två föregående talen). Om vi ​​tog oss tid och räknade antalet frön i en solros skulle vi finna att antalet spiraler växer enligt principerna för Fibonacci-sekvensen. I naturen finns det så många växter (inklusive romanesco broccoli) vars kronblad, frön och blad följer denna sekvens, varför det är så svårt att hitta en fyrklöver.

Men varför följer solrosor och andra växter matematiska regler? Precis som hexagonerna i kupan är allt en fråga om effektivitet.

4 Nautilus Shell

Förutom växter följer vissa djur, som Nautilus, Fibonacci-sekvensen. Nautilus-skalet vrider sig till en "Fibonacci-spiral". Skalet försöker bibehålla samma proportionella form, vilket gör att det kan behålla det under hela sitt liv (till skillnad från människor som ändrar proportioner under hela livet). Inte alla Nautilus har ett Fibonacci-skal, men de följer alla en logaritmisk spiral.

Innan du avundas matematikermusslor, kom ihåg att de inte gör detta med flit, det är bara att denna form är den mest rationella för dem.

5. Djur

De flesta djur är bilateralt symmetriska, vilket innebär att de kan delas i två identiska halvor. Även människor har bilateral symmetri, och vissa forskare tror att mänsklig symmetri är den mest en viktig faktor, vilket påverkar uppfattningen av vår skönhet. Med andra ord, om du har ett ensidigt ansikte, så kan du bara hoppas att detta kompenseras av andra goda egenskaper.

Vissa når fullständig symmetri i ett försök att locka till sig en partner, till exempel en påfågel. Darwin blev positivt irriterad på denna fågel och skrev i ett brev att "Synen av påfågelns stjärtfjädrar, när jag än tittar på den, gör mig sjuk!" För Darwin verkade svansen besvärlig och gav ingen evolutionär mening, eftersom den inte passade med hans teori om "survival of the fittest". Han var rasande tills han kom med teorin om sexuellt urval, som hävdar att djur utvecklar vissa egenskaper för att öka sina chanser att para sig. Därför har påfåglar olika anpassningar för att locka en partner.

Det finns cirka 5 000 typer av spindlar, och alla skapar en nästan perfekt cirkulär väv, med nästan jämnt fördelade radiella stödtrådar och en spiralväv för att fånga byten. Forskare är inte säkra på varför spindlar älskar geometri så mycket, eftersom tester har visat att ett runt nät inte lockar mat bättre än ett nät. oregelbunden form. Forskarna föreslår att den radiella symmetrin jämnt fördelar slagkraften när offret fångas i nätet, vilket resulterar i färre raster.

Ge ett par tricksters en bräda, gräsklippare och rädda mörkret, och du kommer att se att människor också skapar symmetriska former. På grund av komplexiteten i designen och den otroliga symmetrin hos cirklarna, även efter att skaparna av cirklarna erkände och demonstrerade sina färdigheter, tror många fortfarande att rymdvarelser gjorde det.

När cirklarna blir mer komplexa blir de mer och mer tydliga. artificiellt ursprung. Det är ologiskt att anta att utomjordingarna kommer att göra sina meddelanden allt svårare när vi inte har kunnat tyda ens den första av dem.

Oavsett hur de kom till är grödor ett nöje att titta på, främst för att deras geometri är imponerande.

Även sådana små formationer som snöflingor styrs av symmetrilagarna, eftersom de flesta snöflingor har hexagonal symmetri. Detta beror delvis på hur vattenmolekyler radas upp när de stelnar (kristalliserar). Vattenmolekyler får fast tillstånd, och bildar svaga vätebindningar, riktar de in sig i ett ordnat arrangemang som balanserar krafterna för attraktion och avstötning och bildar den sexkantiga formen på snöflingan. Men samtidigt är varje snöflinga symmetrisk, men ingen snöflinga är den andra lik. Detta beror på att när den faller från himlen upplever varje snöflinga unika atmosfäriska förhållanden som gör att dess kristaller anpassar sig på ett visst sätt.

9. Vintergatans galax

Som vi har sett finns symmetri och matematiska modeller nästan överallt, men är dessa naturlagar begränsade till vår planet? Uppenbarligen inte. Upptäckte nyligen en ny sektion vid kanten av galaxen Vintergatan, och astronomer tror att galaxen är nästan perfekt spegelreflektion jag själv.

10. Symmetri av sol-månen

Med tanke på att solen är 1,4 miljoner km i diameter och månen är 3474 km verkar det nästan omöjligt att månen kan blockera solljus och förse oss med cirka fem solförmörkelser vartannat år. Hur fungerar det? Tillsammans med det faktum att solen är cirka 400 gånger bredare än månen, är solen också 400 gånger längre bort. Symmetri säkerställer att solen och månen är lika stora när de ses från jorden, så att månen kan täcka solen. Naturligtvis kan avståndet från jorden till solen öka, så ibland ser vi ringformade och partiella förmörkelser. Men vartannat eller vartannat år inträffar en fin anpassning, och vi bevittnar de spännande händelserna som kallas den kompletta solförmörkelse. Astronomer vet inte hur vanlig denna symmetri är bland andra planeter, men de tror att det är ganska sällsynt. Vi ska dock inte utgå från att vi är speciella, eftersom det här är en fråga om slumpen. Till exempel rör sig månen varje år bort från jorden med cirka 4 cm, vilket betyder att för miljarder år sedan skulle varje solförmörkelse ha varit en total förmörkelse. Om saker och ting fortsätter så här, kommer totala förmörkelser så småningom att försvinna, och detta kommer att åtföljas av att ringformiga förmörkelser försvinner. Det visar sig att vi är precis på rätt plats i rätt tid att se detta fenomen.

Du kommer behöva

• - egenskaper hos symmetriska punkter;
• - egenskaper hos symmetriska figurer;
• - linjal;
• - fyrkantig;
• - kompass;
• - penna;
• - papper;
• - en dator med en grafikredigerare.

Instruktion

Rita en linje a, som kommer att vara symmetriaxeln. Om dess koordinater inte anges, rita den godtyckligt. På ena sidan av denna linje, sätt en godtycklig punkt A. du måste hitta en symmetrisk punkt.

Användbara råd

Symmetriegenskaper används ständigt i AutoCAD-programmet. För detta används alternativet Mirror. För att bygga likbent triangel eller en likbent trapets, det räcker att rita den nedre basen och vinkeln mellan den och sidan. Spegla dem med det angivna kommandot och förläng sidorna till önskad storlek. I fallet med en triangel kommer detta att vara skärningspunkten, och för en trapets är detta ett givet värde.

Du möter symmetri hela tiden in grafiska redaktörer när du använder alternativet "vänd vertikalt/horisontellt". I detta fall tas en rät linje som motsvarar en av de vertikala eller horisontella sidorna av bildramen som symmetriaxel.

Källor:

• hur man ritar central symmetri

Att konstruera en sektion av en kon är inte en så svår uppgift. Det viktigaste är att följa en strikt sekvens av åtgärder. Sedan given uppgift Det kommer att vara lätt att göra och kommer inte att kräva mycket ansträngning från dig.

Du kommer behöva

• - papper;
• - penna;
• - cirkel;
• - linjal.

Instruktion

När du svarar på denna fråga måste du först bestämma vilka parametrar avsnittet är inställt på.
Låt detta vara skärningslinjen för planet l med planet och punkten O, som är skärningspunkten med dess snitt.

Konstruktionen illustreras i Fig.1. Det första steget i att konstruera en sektion är genom mitten av sektionen av dess diameter, utsträckt till l vinkelrätt mot denna linje. Som ett resultat erhålls punkt L. Dra vidare genom punkt O en rät linje LW, och bygg två riktkoner som ligger i huvudsektionen O2M och O2C. I skärningspunkten mellan dessa guider ligger punkten Q, liksom den redan visade punkten W. Dessa är de två första punkterna i den nödvändiga sektionen.

Rita nu en vinkelrät MC vid basen av konen BB1 och bygg generatorerna för den vinkelräta sektionen O2B och O2B1. I det här avsnittet, rita en rät linje RG genom t.O, parallellt med BB1. T.R och t.G - ytterligare två punkter i önskad sektion. Om bollens tvärsnitt var känt skulle den kunna konstrueras redan i detta skede. Detta är dock inte en ellips alls, utan något elliptiskt, med symmetri med avseende på segmentet QW. Därför bör du bygga så många punkter av sektionen som möjligt för att förena dem i framtiden med en jämn kurva för att få den mest tillförlitliga skissen.

Konstruera en godtycklig sektionspunkt. För att göra detta, rita en godtycklig diameter AN vid basen av konen och bygg motsvarande styrningar O2A och O2N. Dra genom PO en rät linje som går genom PQ och WG, tills den skär de nykonstruerade guiderna vid punkterna P och E. Dessa är ytterligare två punkter i den önskade sektionen. Fortsätter på samma sätt och vidare kan du godtyckligt önskade poäng.

Det är sant att proceduren för att erhålla dem kan förenklas något med hjälp av symmetri med avseende på QW. För att göra detta är det möjligt att dra räta linjer SS' parallella med RG i planet för den önskade sektionen, parallellt med RG tills de skär konens yta. Konstruktionen avslutas genom att den konstruerade polylinjen avrundas från ackord. Det räcker med att konstruera hälften av den erforderliga sektionen på grund av den redan nämnda symmetrin med avseende på QW.

Relaterade videoklipp

Tips 3: Hur man plottar trigonometrisk funktion

Du måste rita schema trigonometrisk funktioner? Bemästra algoritmen för åtgärder med hjälp av exemplet att bygga en sinusform. För att lösa problemet, använd forskningsmetoden.

Du kommer behöva

• - linjal;
• - penna;
• - Kunskaper om grunderna i trigonometri.

Instruktion

Relaterade videoklipp

notera

Om de två halvaxlarna i en enfilig hyperboloid är lika, kan siffran erhållas genom att rotera en hyperbel med halvaxlar, varav den ena är ovanstående, och den andra, som skiljer sig från två lika stora, runt imaginär axel.

Användbara råd

När man betraktar denna siffra med avseende på axlarna Oxz och Oyz, är det tydligt att dess huvudsektioner är hyperboler. Och när en given rumslig rotationsfigur skärs av Oxy-planet, är dess sektion en ellips. Halsellipsen hos en hyperboloid med en remsa passerar genom origo, eftersom z=0.

Halellipsen beskrivs av ekvationen x²/a² +y²/b²=1, och de andra ellipserna är sammansatta av ekvationen x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Källor:

• Ellipsoider, paraboloider, hyperboloider. Rättlinjiga generatorer

Formen på den femuddiga stjärnan har använts flitigt av människan sedan urminnes tider. Vi anser att dess form är vacker, eftersom vi omedvetet särskiljer förhållandena mellan det gyllene snittet i den, d.v.s. skönheten hos den femuddiga stjärnan motiveras matematiskt. Euklid var den första som beskrev konstruktionen av en femuddig stjärna i sin "Beginnings". Låt oss ta en titt på hans erfarenhet.

Du kommer behöva

• linjal;
• penna;
• kompass;
• gradskiva.

Instruktion

Konstruktionen av en stjärna reduceras till konstruktionen och efterföljande anslutning av dess hörn till varandra sekventiellt genom en. För att bygga den korrekta är det nödvändigt att bryta cirkeln i fem.
Konstruera en godtycklig cirkel med hjälp av en kompass. Markera dess mitt med ett O.

Markera punkt A och använd en linjal för att rita linjesegment OA. Nu måste du dela segmentet OA på mitten, för detta, från punkt A, rita en båge med radien OA tills den skär en cirkel i två punkter M och N. Konstruera ett segment MN. Punkt E, där MN skär OA, kommer att dela segment OA.

Återställ vinkelrät OD till radien OA och anslut punkt D och E. Gör skåra B på OA från punkt E med radie ED.

Markera nu cirkeln i fem lika delar med hjälp av segmentet DB. Markera hörnen på den reguljära femhörningen sekventiellt med siffror från 1 till 5. Anslut punkterna i följande ordning: 1 med 3, 2 med 4, 3 med 5, 4 med 1, 5 med 2. Här är den korrekta femuddiga stjärna, in i en vanlig femhörning. Det var på detta sätt han byggde

Betrakta axiella och centrala symmetrier som egenskaper hos vissa geometriska former; Betrakta axiella och centrala symmetrier som egenskaper hos vissa geometriska figurer; Kunna bygga symmetriska punkter och kunna känna igen figurer som är symmetriska kring en punkt eller en linje; Kunna bygga symmetriska punkter och kunna känna igen figurer som är symmetriska kring en punkt eller en linje; Förbättra problemlösningsförmåga; Förbättra problemlösningsförmåga; Fortsätt arbeta med noggrannheten i att spela in och utföra en geometrisk ritning; Fortsätt arbeta med noggrannheten i att spela in och utföra en geometrisk ritning;

Muntligt arbete "Gentle poll" Muntligt arbete "Gentle poll" Vilken punkt kallas segmentets mittpunkt? Vilken triangel kallas en likbent triangel? Vilken egenskap har diagonalerna på en romb? Formulera egenskapen för bisektrisen i en likbent triangel. Vilka linjer kallas vinkelräta? Vad är en liksidig triangel? Vilken egenskap har diagonalerna på en kvadrat? Vilka siffror kallas lika?

Vilka nya begrepp lärde du dig i klassen? Vilka nya begrepp lärde du dig i klassen? Vad har du lärt dig om geometriska former? Vad har du lärt dig om geometriska former? Ge exempel på geometriska figurer med axiell symmetri. Ge exempel på geometriska figurer med axiell symmetri. Ge ett exempel på figurer med central symmetri. Ge ett exempel på figurer med central symmetri. Ge exempel på föremål från det omgivande livet som har en eller två typer av symmetri. Ge exempel på föremål från det omgivande livet som har en eller två typer av symmetri.

Så när det gäller geometri: det finns tre huvudtyper av symmetri.

För det första, central symmetri (eller symmetri kring en punkt) - detta är en transformation av planet (eller rymden), där den enda punkten (punkt O - symmetricentrum) förblir på plats, medan resten av punkterna ändrar sin position: istället för punkt A får vi punkt A1 så att punkt O är mitten av segment AA1. För att konstruera en figur Ф1, symmetrisk med figuren Ф med avseende på punkten O, är det nödvändigt att rita en stråle genom varje punkt i figuren Ф som passerar genom punkten O (symmetricentrum), och på denna stråle för att ställa in bortsett från en punkt som är symmetrisk till den som valts med avseende på punkten O. Uppsättningen punkter som är konstruerade på detta sätt kommer att ge en figur F1.

Av stort intresse är figurer som har ett symmetricentrum: med symmetri kring punkten O omvandlas vilken punkt som helst i figuren F igen till någon punkt i figuren F. Det finns många sådana figurer i geometrin. Till exempel: ett segment (mitten av segmentet är symmetricentrum), en rät linje (någon av dess punkter är mitten av dess symmetri), en cirkel (cirkelns centrum är symmetricentrum), en rektangel (skärningspunkten för dess diagonaler är symmetricentrum). Det finns många centralt symmetriska objekt i livlig och livlös natur (elevkommunikation). Ofta skapar människor själva föremål som har ett symmetricentrumrii (exempel från handarbete, exempel från maskinteknik, exempel från arkitektur och många andra exempel).

För det andra, axiell symmetri (eller symmetri kring en linje) - detta är en transformation av planet (eller rymden), där endast punkterna på linjen p förblir på plats (denna linje är symmetriaxeln), medan resten av punkterna ändrar sin position: istället för punkten B , får vi en sådan punkt B1 att linjen p är den vinkelräta bisektaren till segmentet BB1 . För att konstruera en figur Φ1 symmetrisk med figuren Φ med avseende på linjen p, är det nödvändigt för varje punkt i figuren Φ att konstruera en punkt som är symmetrisk med den med avseende på linjen p. Uppsättningen av alla dessa konstruerade punkter ger den önskade siffran Ф1. Det finns många geometriska former som har en symmetriaxel.

En rektangel har två, en kvadrat har fyra, en cirkel har en rät linje som går genom dess centrum. Om du tittar noga på bokstäverna i alfabetet, kan du bland dem hitta de som har en horisontell eller vertikal, och ibland båda symmetriaxlarna. Objekt med symmetriaxlar är ganska vanliga i livlig och livlös natur (studentrapporter). I sin aktivitet skapar en person många föremål (till exempel ornament) som har flera symmetriaxlar.

______________________________________________________________________________________________________

För det tredje, plan (spegel) symmetri (eller symmetri om ett plan) - detta är en transformation av rymden, där endast punkter i ett plan behåller sin plats (α-symmetriplan), de återstående punkterna i rymden ändrar sin position: istället för punkt C erhålls en sådan punkt C1 att planet α passerar genom mitten av segmentet CC1, vinkelrätt mot det.

För att konstruera en figur Ф1, symmetrisk med figuren Ф med avseende på planet α, är det nödvändigt för varje punkt i figuren Ф att bygga punkter symmetriska med avseende på α, de bildar figuren Ф1 i sin uppsättning.

Oftast möter vi tredimensionella kroppar i världen av saker och föremål omkring oss. Och några av dessa kroppar har symmetriplan, ibland till och med flera. Och mannen själv i sin verksamhet (konstruktion, handarbete, modellering, ...) skapar objekt med symmetriplan.

Det är värt att notera att tillsammans med de tre listade typerna av symmetri finns det (i arkitektur)bärbar och vridbar, som i geometrin är sammansättningar av flera rörelser.

« Symmetri"- ord Grekiskt ursprung. Det betyder proportionalitet, närvaron av en viss ordning, mönster i arrangemanget av delar.

Sedan urminnes tider har människor använt symmetri i teckningar, ornament och hushållsartiklar.
Symmetri är utbredd i naturen. Det kan observeras i form av löv och blommor av växter, i arrangemanget av olika djurorgan, i form av kristallina kroppar, i en fladdrande fjäril, en mystisk snöflinga, en mosaik i ett tempel, en sjöstjärna.
Symmetri används flitigt i praktiken, inom konstruktion och ingenjörskonst. Detta är strikt symmetri i form av gamla byggnader, harmoniska antika grekiska vaser, Kremlbyggnaden, bilar, flygplan och mycket mer. (slide 4) Exempel på användning av symmetri är parkett och bård. (se hyperlänk om att använda symmetri i bårder och parketter) Låt oss titta på några exempel där du kan se symmetri i olika ämnen, med hjälp av bildspel (aktiveringsikon).

Definition: är symmetri om en punkt.
Definition: Punkterna A och B är symmetriska med avseende på någon punkt O om punkt O är mittpunkten av segment AB.
Definition: Punkt O kallas symmetricentrum för figuren, och figuren kallas centralt symmetrisk.
Egenskap: Figurer som är symmetriska med avseende på någon punkt är lika.
Exempel:

Algoritm för att konstruera en centralt symmetrisk figur
1. Låt oss bygga en triangel A 1B 1 C 1, symmetrisk med triangeln ABC, med avseende på mitten (punkten) O. För att göra detta, anslut punkterna A, B, C med mitten O och fortsätt dessa segment;
2. Vi mäter segmenten AO, VO, CO och sätter åt sidan på andra sidan av punkten O, lika segment (AO \u003d A 1 O 1, VO \u003d B 1 O 1, CO \u003d C 1 O 1) ;

3. Anslut de resulterande punkterna med segment A 1 B 1; AiC1; B1 C 1.
Vi fick ∆A 1 B 1 C 1 symmetrisk ∆ABC.

- detta är symmetri kring den ritade axeln (rät linje).
Definition: Punkterna A och B är symmetriska med avseende på någon linje a om dessa punkter ligger på en linje vinkelrät mot den givna och på samma avstånd.
Definition: Symmetriaxeln kallas en rät linje när den är böjd längs vilken "halvorna" sammanfaller, och figuren kallas symmetrisk kring någon axel.
Egenskap: Två symmetriska figurer är lika.
Exempel:

Algoritm för att konstruera en figur symmetrisk med avseende på någon rät linje
Låt oss konstruera en triangel A1B1C1 symmetrisk med triangeln ABC med avseende på linjen a.
För detta:
1. Vi ritar räta linjer från hörnen på triangeln ABC vinkelrät mot den räta linjen a och fortsätter dem vidare.
2. Vi mäter avstånden från triangelns hörn till de resulterande punkterna på den räta linjen och plottar samma avstånd på andra sidan av den räta linjen.
3. Anslut de resulterande punkterna med segmenten A1B1, B1C1, B1C1.

Mottagen ∆ А1В1С1 symmetrisk ∆АВС.