Studenter ställs inför begreppet en pyramid långt före studiet av geometri. Detta beror på de berömda stora egyptiska underverken i världen. Därför, när man börjar studera denna underbara polyeder, föreställer sig de flesta elever redan tydligt det. Alla de tidigare nämnda landmärkena har rätt form. Vad rätt pyramid, och vilka egenskaper den har och kommer att diskuteras vidare.
I kontakt med
Definition
Det finns många definitioner av en pyramid. Sedan antiken har den åtnjutit stor popularitet.
Till exempel definierade Euklid den som en kroppsfigur, bestående av plan som, med början från ett, konvergerar vid en viss punkt.
Heron gav en mer exakt formulering. Han insisterade på att det var en figur som har en bas och plan i form av trianglar, konvergerar vid ett tillfälle.
Förlitar sig på modern tolkning, pyramiden representeras som en rumslig polyeder som består av en viss k-gon och k planfigurer triangulär har en gemensam poäng.
Låt oss ta reda på det mer i detalj, vilka element består den av:
- K-gon anses vara figurens bas;
- 3-sidiga figurer är sidorna av den laterala delen;
- den övre delen, från vilken sidoelementen härstammar, kallas toppen;
- alla segment som förbinder en vertex kallas kanter;
- om en rak linje sänks från toppen till figurens plan i en vinkel på 90 grader, är dess del, innesluten i det inre utrymmet, höjden på pyramiden;
- i vilket lateralt element som helst kan en vinkelrät dras till sidan av vår polyeder, kallad apotem.
Antalet kanter beräknas med formeln 2 * k, där k är antalet sidor av en k-gon. Hur många ytor av en polyeder som en pyramid kan bestämmas av uttrycket k + 1.
Viktig! Pyramid rätt form kallas en stereometrisk figur, vars basplan är en k-gon med lika sidor.
Grundläggande egenskaper
Rätt pyramid har många egenskaper, som är unika för henne. Låt oss lista dem:
- Basen är en figur med regelbunden form.
- Kanterna på pyramiden som binder sidoelementen har lika numeriska värden.
- Sidoelement - likbenta trianglar.
- Basen av figurens höjd faller in i mitten av polygonen, samtidigt som den är det mittpunkt skriven och beskriven.
- Alla sidoribbor lutar mot basens plan i samma vinkel.
- Alla sidoytor har samma lutningsvinkel i förhållande till basen.
Alla dessa egenskaper gör det mycket lättare att utföra medlemsberäkningar. Utifrån ovanstående egenskaper uppmärksammar vi två tecken:
- I fallet när polygonen passar in i en cirkel kommer sidoytorna att ha en bas lika vinklar.
- När man beskriver en cirkel runt en polygon kommer alla pyramidens kanter som utgår från vertexet att ha samma längd och lika vinklar med basen.
Den är baserad på en kvadrat
Vanlig fyrkantig pyramid - en polyeder baserad på en kvadrat.
Den har fyra sidoytor, som är likbenta till utseendet.
På ett plan är en kvadrat avbildad, men de är baserade på alla egenskaper hos en vanlig fyrhörning.
Till exempel, om det är nödvändigt att ansluta sidan av en kvadrat med dess diagonal, använd sedan följande formel: diagonalen är produkten av sidan av kvadraten och kvadratroten av två.
Den är baserad på en vanlig triangel
En vanlig triangulär pyramid är en polyeder med en vanlig 3-gon vid basen.
Om basen är en vanlig triangel och sidokanterna är lika med kanterna på basen, då är en sådan figur kallas en tetraeder.
Alla ytor på en tetraeder är liksidiga 3-goner. V I detta fall du behöver känna till några poäng och inte slösa tid på dem när du beräknar:
- lutningsvinkeln för revbenen mot vilken bas som helst är 60 grader;
- storleken på alla inre kanter är också 60 grader;
- vilken aspekt som helst kan fungera som bas;
- ritade inuti figuren är lika element.
Sektioner av en polyeder
I vilken polyeder som helst finns det flera typer av sektioner plan. Ofta i skolkurs geometrier fungerar med två:
- axial;
- parallell basis.
En axiell sektion erhålls när ett polyederplan skär en vertex, sidokanter och en axel. I det här fallet är axeln höjden från toppen. Skärplanet begränsas av skärningslinjerna med alla ytor, vilket resulterar i en triangel.
Uppmärksamhet! I en vanlig pyramid är den axiella sektionen en likbent triangel.
Om skärplanet löper parallellt med basen är resultatet det andra alternativet. I det här fallet har vi en tvärsnittsfigur som liknar basen.
Till exempel, om det finns en kvadrat vid basen, kommer sektionen parallell med basen också att vara en kvadrat, bara av mindre storlekar.
När man löser problem under detta tillstånd används tecken och egenskaper för likheten mellan figurer, baserat på Thales sats... Först och främst är det nödvändigt att bestämma likhetskoefficienten.
Om planet är parallellt med basen, och det skär av övre del polyeder, sedan får de i den nedre delen en vanlig stympad pyramid. Då sägs stammarna på den trunkerade polyedern vara liknande polygoner. I detta fall är sidoytorna likbenta trapetser. Den axiella sektionen är också likbent.
För att bestämma höjden på den trunkerade polyederen är det nödvändigt att rita höjden i den axiella sektionen, det vill säga i trapetsen.
Ytområden
De huvudsakliga geometriska problemen som måste lösas i skolans geometrikurs är att hitta pyramidens ytareor och volym.
Det finns två typer av ytareavärden:
- området för sidoelementen;
- hela ytans yta.
Av själva namnet framgår vad det handlar om. Sidoytan innefattar endast sidoelement. Det följer av detta att för att hitta det behöver du bara lägga till områdena för de laterala planen, det vill säga områdena för likbenta 3-goner. Låt oss försöka härleda formeln för arean av sidoelementen:
- Arean av en likbent 3-gon är Str = 1/2 (aL), där a är sidan av basen, L är apotem.
- Antalet sidoplan beror på typen av k-te gon vid basen. Till exempel har en vanlig fyrkantig pyramid fyra sidoplan. Därför är det nödvändigt att lägga till ytorna för de fyra siffrorna S-sida = 1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) = 1/2 * 4а * L. Uttrycket förenklas på detta sätt eftersom värdet 4a = Rosn, där Rosn är basens omkrets. Och uttrycket 1/2 * Rosn är dess semiperimeter.
- Så vi drar slutsatsen att arean av sidoelementen i en vanlig pyramid är lika med produkten av bashalvomkretsen av apotem: Sbok = Rosn * L.
Pyramidens totala yta består av summan av ytorna på sidoplanen och basen: Sp.p. = Sside + Sbase.
När det gäller arean av basen, här används formeln enligt typen av polygon.
Volymen av en vanlig pyramidär lika med produkten av arean av basplanet med höjden, dividerat med tre: V = 1/3 * Sbase * H, där H är höjden på polyedern.
Vad är en korrekt pyramid i geometri
Egenskaper hos en vanlig fyrkantig pyramid
En pyramid är en polyeder med en polygon vid sin bas. Alla ytor bildar i sin tur trianglar som konvergerar vid en vertex. Pyramider är triangulära, fyrkantiga och så vidare. För att avgöra vilken pyramid som är framför dig räcker det med att räkna antalet hörn vid basen. Definitionen av "pyramidhöjd" är mycket vanlig i geometriproblem i Läroplanen... I artikeln kommer vi att försöka överväga olika sätt hitta det.
Delar av pyramiden
Varje pyramid består av följande element:
- sidoytor, som har tre hörn och konvergerar i toppen;
- apotem är höjden som går ner från dess topp;
- toppen av pyramiden är en punkt som förbinder sidokanterna, men ligger inte i basens plan;
- bas är en polygon som inte har en vertex;
- höjden på pyramiden är ett segment som korsar toppen av pyramiden och bildar en rät vinkel med dess bas.
Hur man hittar höjden på en pyramid om dess volym är känd
Genom formeln V = (S * h) / 3 (i formeln V är volymen, S är arean av basen, h är höjden på pyramiden), finner vi att h = (3 * V) /S. För att konsolidera materialet, låt oss lösa problemet direkt. Den triangulära basen är 50 cm 2, medan dess volym är 125 cm 3. Okänd höjd triangulär pyramid, som vi måste hitta. Allt är enkelt här: vi infogar data i vår formel. Vi får h = (3 * 125) / 50 = 7,5 cm.
Hur man hittar höjden på en pyramid om du vet längden på diagonalen och dess kanter
Som vi minns bildar höjden av pyramiden en rät vinkel med dess bas. Och det betyder att höjden, kanten och halvan av diagonalen tillsammans bildar Många minns förstås Pythagoras sats. Att känna till två mätningar kommer det inte att vara svårt att hitta den tredje kvantiteten. Kom ihåg den välkända satsen a² = b² + c², där a är hypotenusan och i vårt fall kanten på pyramiden; b - det första benet eller halvan av diagonalen respektive c - det andra benet, eller höjden på pyramiden. Från denna formel, c² = a² - b².
Nu är problemet: i en vanlig pyramid är diagonalen 20 cm, medan längden på revbenet är 30 cm. Det är nödvändigt att hitta höjden. Vi löser: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Därför c = √ 500 = cirka 22,4.
Hur man hittar höjden på en stympad pyramid
Det är en polygon som har en sektion parallell med sin bas. Höjden på en stympad pyramid är ett linjesegment som förbinder dess två baser. Höjden kan hittas vid rätt pyramid om längden på diagonalerna på båda baserna är kända, samt pyramidens kant. Låt diagonalen för den större basen vara d1, medan diagonalen för den mindre basen är d2, och kanten har längden l. För att hitta höjden kan du sänka höjderna från de två övre motsatta punkterna i diagrammet till dess bas. Vi ser att vi har två rätvinkliga trianglar, det återstår att hitta längden på deras ben. För att göra detta, subtrahera den mindre från den större diagonalen och dividera med 2. Så vi hittar ett ben: a = (d1-d2) / 2. Efter det behöver vi enligt Pythagoras sats bara hitta det andra benet, som är höjden på pyramiden.
Låt oss nu titta på det hela i praktiken. Vi har en uppgift framför oss. Den stympade pyramiden har en kvadrat vid basen, längden på diagonalen på den större basen är 10 cm, medan den mindre är 6 cm, och kanten är 4 cm. Det krävs för att hitta höjden. Till att börja med hittar vi ett ben: a = (10-6) / 2 = 2 cm. Ett ben är 2 cm och hypotenusan är 4 cm. Det visar sig att det andra benet eller höjden kommer att vara 16-4 = 12, det vill säga h = √12 = ca 3,5 cm.
- apotem- höjden på sidoytan på den vanliga pyramiden, som är ritad från dess topp (detta är apotemet längden på vinkelrät, som sänks från mitten av den vanliga polygonen till 1 av dess sidor);
- sidoytor (ASB, BSC, CSD, DSA) - trianglar som konvergerar i spetsen;
- sido revben ( SOM , BS , Cs , DS ) — gemensamma sidor sidoytor;
- toppen av pyramiden (t. S) - en punkt som förbinder sidokanterna och som inte ligger i basens plan;
- höjd ( SÅ ) - ett segment av vinkelrät, som dras genom toppen av pyramiden till planet för dess bas (ändarna av ett sådant segment kommer att vara toppen av pyramiden och basen av vinkelrät);
- diagonal sektion av pyramiden- sektion av pyramiden, som passerar genom toppen och diagonalen av basen;
- bas (ABCD) - en polygon som toppen av pyramiden inte tillhör.
Pyramidegenskaper.
1. När alla sidoribbor är av samma storlek:
- det är lätt att beskriva en cirkel nära basen av pyramiden, medan toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel;
- laterala ribbor bildar lika vinklar med basplanet;
- dessutom är det omvända också sant, d.v.s. när sidokanterna bildar lika vinklar med basplanet, eller när en cirkel kan beskrivas nära pyramidens bas och toppen av pyramiden projiceras till mitten av denna cirkel, då har alla sidokanter på pyramiden samma storlek.
2. När sidoytorna har en lutningsvinkel mot basplanet av samma storlek, då:
- det är lätt att beskriva en cirkel nära basen av pyramiden, medan toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel;
- höjderna på sidoytorna är lika långa;
- sidoytan är ½ av produkten av basens omkrets med höjden på sidoytan.
3. En sfär kan beskrivas nära en pyramid om en polygon ligger vid basen av pyramiden som en cirkel kan beskrivas runt (ett nödvändigt och tillräckligt villkor). Sfärens centrum kommer att vara skärningspunkten för planen som passerar genom mittpunkterna på pyramidens kanter vinkelrätt mot dem. Av detta teorem drar vi slutsatsen att en sfär kan beskrivas både runt vilken triangulär som helst och runt vilken vanlig pyramid som helst.
4. En sfär kan inskrivas i pyramiden om halvledarplanen för pyramidens inre dihedrala vinklar skär varandra i den första punkten (ett nödvändigt och tillräckligt villkor). Denna punkt kommer att bli sfärens centrum.
Den enklaste pyramiden.
Med antalet vinklar är pyramidens bas uppdelad i triangulär, fyrkantig, och så vidare.
Pyramiden kommer triangulär, fyrkantig, och så vidare, när basen av pyramiden är en triangel, en fyrkant, och så vidare. En triangulär pyramid är en tetraeder - en tetraeder. Fyrkantig - pentaeder och så vidare.
Denna videohandledning hjälper användare att få en uppfattning om Pyramid-temat. Rätt pyramid. I den här lektionen kommer vi att bekanta oss med begreppet en pyramid, vi kommer att ge det en definition. Låt oss överväga vad en vanlig pyramid är och vilka egenskaper den har. Sedan bevisar vi satsen på sidoytan av en vanlig pyramid.
I den här lektionen kommer vi att bekanta oss med begreppet en pyramid, vi kommer att ge det en definition.
Tänk på en polygon A 1 A 2...Ett, som ligger i planet α, och punkten P, som inte ligger i planet α (fig. 1). Låt oss koppla ihop poängen P med toppar A 1, A 2, A 3, … Ett... Vi får n trianglar: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R etc.
Definition... Polyeder RA 1 A 2 ... A n sammansatt av n-gonal A 1 A 2...Ett och n trianglar RA 1 A 2, RA 2 A 3 …PA n А n-1 heter n-gonal pyramid. Ris. 1.
Ris. 1
Tänk på en fyrkantig pyramid PABCD(fig. 2).
R- toppen av pyramiden.
ABCD- basen av pyramiden.
RA- lateral revben.
AB- kanten på basen.
Från punkt R utelämna vinkelrät NS på basens plan ABCD... Den ritade vinkelrät är höjden på pyramiden.
Ris. 2
Pyramidens hela yta består av sidoytan, det vill säga ytan av alla sidoytor och basytan:
S full = S sida + S huvud
En pyramid kallas korrekt om:
- dess bas är en vanlig polygon;
- linjesegmentet som förbinder toppen av pyramiden med mitten av basen är dess höjd.
Förklaring på exemplet med en vanlig fyrkantig pyramid
Tänk på en vanlig fyrkantig pyramid PABCD(fig. 3).
R- toppen av pyramiden. Basen av pyramiden ABCD- en vanlig fyrkant, det vill säga en kvadrat. Punkt O, skärningspunkten för diagonalerna, är mitten av kvadraten. Innebär att, ROär höjden på pyramiden.
Ris. 3
Förklaring: i rätt n-gon, mitten av den inskrivna cirkeln och mitten av den omslutna cirkeln sammanfaller. Detta centrum kallas polygonens centrum. Det sägs ibland att toppen projiceras till mitten.
Höjden på sidoytan på en vanlig pyramid dras från dess topp kallas apotem och betecknas h a.
1.alla sidokanter på en vanlig pyramid är lika;
2. sidoytorna är lika likbenta trianglar.
Beviset för dessa egenskaper ges av exemplet med en vanlig fyrkantig pyramid.
Given: PAVSD- vanlig fyrkantig pyramid,
ABCD- fyrkantig,
RO- höjden på pyramiden.
Bevisa:
1. PA = PB = PC = PD
2.∆АВР = ∆ВСР = ∆СDP = ∆DAP Se fig. 4.
Ris. 4
Bevis.
RO- höjden på pyramiden. Det vill säga rakt RO vinkelrätt mot planet ABC, och därmed direkt AO, VO, SO och DO ligger i den. Trianglarna alltså ROA, ROV, ROS, POD- rektangulär.
Tänk på en kvadrat ABCD... Av torgets egenskaper följer att AO = BO = CO = DO.
Då har räta trianglar ROA, ROV, ROS, POD ben RO- allmän och ben AO, VO, SO och DOär lika, vilket betyder att dessa trianglar är lika i två ben. Trianglarnas likhet innebär att segmenten är lika, PA = PB = PC = PD. Punkt 1 är bevisad.
Segment AB och Solär lika, eftersom de är sidor av samma kvadrat, RA = PB = RS... Trianglarna alltså ABP och HRV - likbent och lika på tre sidor.
På samma sätt finner vi att trianglarna ATS, BCP, CDP, DAPär likbenta och lika, som krävs för att bevisa i punkt 2.
Den laterala ytan av en vanlig pyramid är lika med hälften av produkten av basomkretsen gånger apotem:
Som bevis kommer vi att välja en vanlig triangulär pyramid.
Given: RAVS- vanlig triangulär pyramid.
AB = BC = AC.
RO- höjd.
Bevisa: 
... Se fig. 5.
Ris. 5
Bevis.
RAVS- vanlig triangulär pyramid. Det är AB= AC = BC... Låt vara O- mitten av triangeln ABC, då ROär höjden på pyramiden. En liksidig triangel ligger vid basen av pyramiden ABC... Lägg märke till att 
.
Trianglar RAV, RVS, RSA- lika likbenta trianglar (efter egenskap). Den triangulära pyramiden har tre sidoytor: RAV, RVS, RSA... Detta betyder att arean på pyramidens sidoyta är lika med:
S-sidan = 3S RAV
Teoremet är bevisat.
Radien för en cirkel inskriven i basen av en vanlig fyrkantig pyramid är 3 m, höjden på pyramiden är 4 m. Hitta arean på pyramidens sidoyta.
Given: regelbunden fyrkantig pyramid ABCD,
ABCD- fyrkantig,
r= 3 m,
RO- höjden på pyramiden,
RO= 4 m.
Hitta: S sida. Se fig. 6.
Ris. 6
Lösning.
Genom den bevisade satsen,.
Låt oss först hitta sidan av basen AB... Vi vet att radien för en cirkel som är inskriven vid basen av en vanlig fyrkantig pyramid är 3 m.
Sedan, m.
Hitta kvadratens omkrets ABCD med en sida på 6 m:
Tänk på en triangel BCD... Låt vara M- mitten av sidan DC... Eftersom O- mitten BD, då 
(m).
Triangel DPC- likbent. M- mitten DC... Det är, RM- medianen, och därav höjden i triangeln DPC... Sedan RM- pyramidens apotem.
RO- höjden på pyramiden. Sedan, rakt RO vinkelrätt mot planet ABC, och därav den räta linjen OM ligger i den. Hitta apotem RM från en rätvinklig triangel ROM.
Nu kan vi hitta sidoyta pyramider:
Svar: 60 m 2.
Radien för en cirkel omskriven kring basen av en regelbunden triangulär pyramid är m. Den laterala ytan är 18 m 2. Hitta längden på apotem.
Given: ABCP- vanlig triangulär pyramid,
AB = BC = CA,
R= m,
S-sidan = 18 m 2.
Hitta:. Se fig. 7.
Ris. 7
Lösning.
I en vanlig triangel ABC radien för den omskrivna cirkeln är given. Låt oss hitta en sida AB denna triangel med hjälp av sinussatsen.
Att känna till sidan vanlig triangel(m), hittar vi dess omkrets.
Enligt satsen om den laterala ytan av en vanlig pyramid, där h a- pyramidens apotem. Sedan:
Svar: 4 m.
Så vi undersökte vad en pyramid är, vad en vanlig pyramid är, och bevisade satsen på sidoytan av en vanlig pyramid. I nästa lektion kommer vi att introduceras till den trunkerade pyramiden.
Bibliografi
- Geometri. Årskurs 10-11: lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner (grundläggande och profilnivåer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5:e upplagan, Rev. och lägg till. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 s.: Ill.
- Geometri. Årskurs 10-11: Lärobok för allmän bildning läroanstalter/ Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999 .-- 208 s.: Ill.
- Geometri. Årskurs 10: Lärobok för läroanstalter med fördjupade och specialiserade studier i matematik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6:e upplagan, Stereotyp. - M .: Bustard, 008 .-- 233 s .: ill.
- Internetportal "Yaklass" ()
- Internetportal "Festival pedagogiska idéer"Första september" ()
- Internetportal "Slideshare.net" ()
Läxa
- Kan en vanlig polygon vara basen till en oregelbunden pyramid?
- Bevisa att osammanhängande kanter på en vanlig pyramid är vinkelräta.
- Hitta värdet på den dihedriska vinkeln vid sidan av basen av en vanlig fyrkantig pyramid om pyramidens apotem är lika med sidan av dess bas.
- RAVS- vanlig triangulär pyramid. Konstruera den linjära vinkeln för dihedralen vid basen av pyramiden.
Pyramid koncept
Definition 1
Geometrisk figur bildad av en polygon och en punkt som inte ligger i planet som innehåller denna polygon, kopplad till alla hörn av polygonen kallas en pyramid (Fig. 1).
Polygonen som pyramiden består av kallas pyramidens bas, trianglarna som erhålls genom att ansluta till punkten är pyramidens sidoytor, trianglarnas sidor är pyramidens sidor och punkten som är gemensam för alla trianglar är toppen av pyramiden.
Typer av pyramider
Beroende på antalet vinklar vid basen av pyramiden kan den kallas triangulär, fyrkantig, och så vidare (fig. 2).
Figur 2.
En annan typ av pyramid är den vanliga pyramiden.
Låt oss introducera och bevisa egenskapen hos en vanlig pyramid.
Sats 1
Alla sidoytor på en vanlig pyramid är likbenta trianglar, som är lika med varandra.
Bevis.
Betrakta en vanlig $ n- $ kolpyramid med vertex $ S $ och höjd $ h = SO $. Låt oss beskriva en cirkel runt basen (Fig. 4).
Figur 4.
Betrakta triangeln $ SOA $. Av Pythagoras sats får vi
Uppenbarligen kommer detta att definiera vilken lateral kant som helst. Därför är alla sidokanter lika med varandra, det vill säga alla sidokanter är likbenta trianglar. Låt oss bevisa att de är lika med varandra. Eftersom basen är en vanlig polygon, är baserna på alla sidoytor lika med varandra. Följaktligen är alla sidoytor lika enligt III-kriteriet om trianglars likhet.
Teoremet är bevisat.
Vi introducerar nu följande definition relaterad till begreppet en vanlig pyramid.
Definition 3
Apotemet för en vanlig pyramid är höjden på dess sidokant.
Uppenbarligen, enligt Theorem One, är alla apotemer lika med varandra.
Sats 2
Den laterala ytan av en vanlig pyramid definieras som produkten av bashalvan och apotem.
Bevis.
Låt oss beteckna sidan av basen av $ n- $ kolpyramiden med $ a $, och apotem med $ d $. Därför är området på sidoytan
Eftersom, enligt sats 1, alla laterala sidor är lika, alltså
Teoremet är bevisat.
En annan typ av pyramid är en stympad pyramid.
Definition 4
Om vi ritar ett plan parallellt med dess bas genom en vanlig pyramid, så kallas figuren som bildas mellan detta plan och basens plan en stympad pyramid (fig. 5).
Figur 5. Stympad pyramid
Sidoytorna på den stympade pyramiden är trapetser.
Sats 3
Den laterala ytan av en vanlig stympad pyramid definieras som produkten av summan av halvperimetrarna för baserna och apotem.
Bevis.
Låt oss beteckna sidorna av $ n- $ kolpyramidens baser med $ a \ respektive \ b $, och apotemet med $ d $. Därför är området på sidoytan
Eftersom alla sidor är lika, alltså
Teoremet är bevisat.
Exempel på uppgift
Exempel 1
Hitta den laterala ytarean av en stympad triangulär pyramid om den erhålls från en vanlig pyramid med bassida 4 och apotem 5 genom att skära av med ett plan som går genom mittlinjen på sidoytorna.
Lösning.
Med mittlinjesatsen får vi att den övre basen av den trunkerade pyramiden är $ 4 \ cdot \ frac (1) (2) = 2 $, och apotem är $ 5 \ cdot \ frac (1) (2) = 2,5 $.
Sedan, genom sats 3, får vi
