På ett plan kallas raka linjer parallella om de inte har några gemensamma punkter, det vill säga att de inte skär varandra. För att indikera parallellitet, använd specialikonen || (parallella linjer a || b).
För raka linjer som ligger i rymden räcker inte kravet på frånvaro av gemensamma punkter - för att de ska vara parallella i rymden måste de tillhöra samma plan (annars kommer de att korsa).
Det finns ingen anledning att gå långt för exempel på parallella raka linjer, de följer oss överallt i rummet - det här är skärningslinjerna mellan väggen och taket och golvet, på ett anteckningsbok - motsatta kanter, etc.
Det är ganska uppenbart att, med parallellitet mellan två linjer och en tredje linje parallell med en av de två första, kommer den att vara parallell med den andra.
Parallella räta linjer på ett plan är förbundna med ett påstående som inte kan bevisas med hjälp av planimetrins axiom. Det tas som ett faktum, som ett axiom: för varje punkt på planet som inte ligger på en rät linje, finns det en enda rät linje som passerar genom den parallellt med den givna. Varje sjätteklassare känner till detta axiom.
Dess rumsliga generalisering, det vill säga påståendet att för varje punkt i rymden som inte ligger på en rät linje, det finns en enda rät linje som passerar genom den parallellt med en given, bevisas lätt med det redan kända axiomet för parallellism på planet.
Parallelllinjeegenskaper
- Om någon av de parallella två räta linjerna är parallella med den tredje, så är de inbördes parallella.
Denna egenskap har parallella linjer både på planet och i rymden.
Som ett exempel, överväg dess motivering i stereometri.
Låt oss medge parallellitet mellan räta linjer b och med räta linjer a.
Om alla räta linjer ligger i samma plan lämnar vi planimetrin.
Antag att a och b tillhör betaplanet, och gamma är det plan som a och c tillhör (enligt definitionen av parallellism i rymden måste räta linjer tillhöra samma plan).
Om vi antar att betta- och gammaplanen är olika och markerar en viss punkt B på linjen b från bettaplanet, så måste planet som dras genom punkten B och linjen c skära bettaplanet på en rät linje (ange det av b1).
Om den resulterande räta linjen b1 skär gammaplanet, så skulle skärningspunkten å ena sidan behöva ligga på a, eftersom b1 tillhör betaplanet, och å andra sidan borde den också tillhöra c, eftersom b1 tillhör det tredje planet.
Men parallella linjer a och c ska inte skära varandra.
Den räta linjen b1 måste alltså tillhöra bettaplanet och samtidigt inte ha några punkter gemensamma med a, därför sammanfaller den enligt parallellismens axiom med b.
Vi fick linjen b1 som sammanfaller med linjen b, som hör till samma plan med linjen c och inte skär den, det vill säga b och c är parallella
- Genom en punkt som inte ligger på en given rät linje kan bara en enda rät linje passera parallellt med den givna.
- Ligger på ett plan vinkelrätt mot det tredje, två raka linjer är parallella.
- Förutsatt att planet skär en av de parallella två räta linjerna, skär den andra räta linjen samma plan.
- De motsvarande och korsande inre vinklarna som bildas av skärningen av parallella två raka linjer i den tredje är lika, summan av de inre ensidiga vinklarna som bildas i detta fall är 180 °.
De omvända påståendena är också sanna, vilket kan ses som tecken på parallellitet mellan två räta linjer.
Parallellismvillkor för raka linjer
Egenskaperna och särdragen som formulerats ovan är villkoren för räta linjers parallellitet, och de kan till fullo bevisas med geometrins metoder. Med andra ord, för att bevisa parallelliteten hos två befintliga räta linjer, är det tillräckligt att bevisa deras parallellitet med den tredje räta linjen eller vinklarnas likhet, oavsett om de motsvarar eller korsvis, etc.
För beviset används huvudsakligen metoden "genom motsägelse", det vill säga med antagandet att de räta linjerna inte är parallella. Med utgångspunkt från detta antagande kan det lätt visas att i detta fall de angivna villkoren överträds, till exempel visar sig tvärliggande inre vinklar vara ojämna, vilket bevisar felaktigheten i det antagande som gjorts.
Lektionens mål: På den här lektionen kommer du att bekanta dig med begreppet "parallella linjer", du får lära dig hur du ser till att räta linjer är parallella, samt vilka egenskaper de vinklar som bildas av parallella linjer och sekant har.
Parallella linjer
Du vet att begreppet "rät linje" är ett av de så kallade odefinierade begreppen inom geometri.
Du vet redan att två räta linjer kan sammanfalla, det vill säga ha alla gemensamma punkter, kan skära, det vill säga ha en gemensam punkt. Raka linjer skär varandra i olika vinklar, medan vinkeln mellan de räta linjerna anses vara den minsta av de vinklar som de bildar. Ett speciellt fall av skärning kan betraktas som fallet med vinkelräthet, när vinkeln som bildas av de räta linjerna är 90 0.
Men två raka linjer kanske inte har gemensamma punkter, det vill säga att de inte skär varandra. Sådana raka linjer kallas parallell.
Arbeta med elektroniska utbildningsresurs « ».
För att bekanta dig med begreppet "parallella linjer", arbeta i videohandledningsmaterialet
Således vet du nu definitionen av parallella linjer.
Från materialet i videohandledningsfragmentet lärde du dig om olika typer vinklar som bildas när två räta linjer skär den tredje.
par av vinklar 1 och 4; 3 och 2 kallas inre ensidiga hörn(de ligger mellan de raka linjerna a och b).
Hörnpar 5 och 8; 7 och 6 samtal yttre ensidiga hörn(de ligger utanför de raka linjerna a och b).
par av vinklar 1 och 8; 3 och 6; 5 och 4; 7 och 2 kallas ensidiga hörn för raka linjer a och b och sekant c... Som du kan se, av ett par motsvarande vinklar, ligger en mellan den högra a och b och den andra är utanför dem.
Tecken på parallellitet mellan raka linjer
Uppenbarligen, med hjälp av definitionen, är det omöjligt att dra en slutsats om parallelliteten mellan två räta linjer. Därför, för att dra slutsatsen att två linjer är parallella, använd tecken.
Du kan redan formulera en av dem genom att läsa materialet i den första delen av videolektionen:
Sats 1... Två raka linjer, vinkelräta mot den tredje, skär inte varandra, det vill säga de är parallella.
Du kommer att bekanta dig med andra tecken på parallellism av raka linjer baserat på likheten mellan vissa par av vinklar genom att arbeta med materialen i den andra delen av videolektionen"Tecken på parallellism av raka linjer".
Därför bör du känna till ytterligare tre tecken på parallellitet mellan raka linjer.
Sats 2 (det första kriteriet för parallellitet mellan linjer)... Om de liggande vinklarna är lika vid skärningspunkten mellan två korsande räta linjer, så är de räta linjerna parallella.
Ris. 2. Illustration för det första tecknet räta linjers parallellitetÅterigen, upprepa det första tecknet på parallellitet mellan raka linjer genom att arbeta med en elektronisk utbildningsresurs « ».
När man bevisar det första kriteriet för räta linjers parallellitet används således kriteriet för likheten mellan trianglar (längs två sidor och vinkeln mellan dem), liksom kriteriet för räta linjers parallellitet som vinkelrät mot en rak linje.
Övning 1.
Skriv ner formuleringen av det första kriteriet för parallellitet mellan raka linjer och dess bevis i dina anteckningsböcker.
Sats 3 (andra kriteriet för parallellitet mellan linjer)... Om vid skärningspunkten mellan två raka sekanter de motsvarande vinklarna är lika, då är de räta linjerna parallella.
Återigen, upprepa det andra tecknet på parallellism av raka linjer genom att arbeta med en elektronisk utbildningsresurs « ».
När det andra kriteriet för räta linjers parallellitet bevisas, används egenskapen vertikala vinklar och det första kriteriet för räta linjers parallellitet.
Uppgift 2.
Skriv ner formuleringen av det andra kriteriet för parallellitet mellan raka linjer och dess bevis i dina anteckningsböcker.
Sats 4 (tredje kriteriet för parallellitet mellan linjer)... Om summan av ensidiga vinklar vid skärningspunkten mellan två raka sekantlinjer är 180 0, då är de räta linjerna parallella.
Återigen, upprepa det tredje tecknet på parallellism av raka linjer genom att arbeta med en elektronisk utbildningsresurs « ».
Sålunda, i beviset av det första kriteriet för parallellitet för räta linjer, använder vi egenskapen för intilliggande vinklar och det första kriteriet för parallellitet för räta linjer.
Uppgift 3.
Skriv ner formuleringen av det tredje kriteriet för parallellitet mellan raka linjer och dess bevis i dina anteckningsböcker.
För att öva på att lösa de enklaste uppgifterna, arbeta med materialet i den elektroniska utbildningsresursen « ».
Tecken på parallellitet hos räta linjer används när man löser problem.
Tänk nu på exempel på att lösa problem för tecken på parallellitet mellan raka linjer, efter att ha arbetat med materialen i videolektionen"Lösa problem om ämnet" Tecken på parallellitet mellan raka linjer.
Testa dig själv genom att slutföra uppgifterna i den elektroniska utbildningsresursen för kontroll « ».
Den som vill arbeta med lösningen av mer komplexa problem kan arbeta med videolektionens material "Problem med tecknen på parallellism av raka linjer."
Parallelllinjeegenskaper
Parallella linjer har ett antal egenskaper.
Du kommer att ta reda på vad dessa egenskaper är genom att arbeta med materialen i videohandledningen. "Egenskaper för parallella linjer".
Således, viktigt faktum som du bör känna till är parallellismens axiom.
Parallellism axiom... Genom en punkt som inte ligger på en given rät linje kan du dra en rät linje parallellt med den givna, och dessutom bara en.
Som du lärde dig av material från videolektionen, baserat på detta axiom, kan två konsekvenser formuleras.
Följd 1. Om en linje skär en av de parallella linjerna, så skär den också den andra parallella linjen.
Följd 2. Om två linjer är parallella med den tredje, så är de parallella med varandra.
Uppgift 4.
Skriv ner formuleringen av de formulerade konsekvenserna och deras bevis i dina anteckningsböcker.
Egenskaperna för vinklarna som bildas av parallella linjer och en sekant är satser motsatta motsvarande kriterier.
Så från materialen i videohandledningen lärde du dig egenskapen att kors och tvärs hörn.
Sats 5 (sats vänder sig till det första kriteriet för parallellitet mellan linjer)... När två parallella skärande räta linjer skär varandra är de liggande vinklarna lika.
Uppgift 5.
Upprepa återigen den första egenskapen för parallella räta linjer efter att ha arbetat med den elektroniska utbildningsresursen « ».
Sats 6 (sats vänder sig till det andra kriteriet för parallellitet mellan linjer)... När två parallella räta linjer skär varandra är motsvarande vinklar lika.
Uppgift 6.
Skriv ner påståendet om denna sats och dess bevis i dina anteckningsböcker.
Återigen, upprepa den andra egenskapen för parallella räta linjer genom att arbeta med en elektronisk utbildningsresurs « ».
Sats 7 (sats omvända till det tredje kriteriet för parallellitet mellan linjer)... När två parallella räta linjer skär varandra är summan av de ensidiga vinklarna 180 0.
Uppgift 7.
Skriv ner påståendet om denna sats och dess bevis i dina anteckningsböcker.
Upprepa den tredje egenskapen för parallella räta linjer igen genom att arbeta med en elektronisk utbildningsresurs « ».
Alla egenskaper hos parallella linjer används också för att lösa problem.
Överväga typiska exempel lösa problem genom att arbeta med material från videolektionen "Parallella linjer och problem på vinklarna mellan dem och sekanten."
Detta kapitel ägnas åt studiet av parallella linjer. Detta är namnet på två raka linjer på ett plan som inte skär varandra. Vi ser segmenten av parallella räta linjer i miljö- det här är två kanter på ett rektangulärt bord, två kanter på ett bokomslag, två vagnstänger, etc. Parallella linjer spelar en mycket viktig roll... I det här kapitlet kommer du att lära dig om vad geometrins axiom är och vad axiomet för parallella linjer är - ett av geometrins mest kända axiom.
I avsnitt 1 noterade vi att två linjer antingen har en gemensam punkt, det vill säga att de skär varandra, eller inte har en enda punkt gemensam, det vill säga att de inte skär varandra.
Definition
Parallellen mellan de räta linjerna a och b betecknas på följande sätt: a || b.
Figur 98 visar räta linjer a och b, vinkelräta mot linje c. I avsnitt 12 fastställde vi att sådana linjer a och b inte skär varandra, det vill säga de är parallella.
Ris. 98
Tillsammans med parallella linjer övervägs ofta parallella linjer. De två segmenten kallas parallell om de ligger på parallella linjer. I figur 99 är segmenten AB och CD parallella (AB || CD), och segmenten MN och CD är inte parallella. På liknande sätt bestäms parallelliteten för ett segment och en rät linje (fig. 99, b), en stråle och en rät linje, ett segment och en stråle, två strålar (fig. 99, c).
Ris. 99 Tecken på parallellitet mellan två räta linjer
Rak med kallas sekant i förhållande till räta linjer a och b, om den skär dem i två punkter (fig. 100). I skärningspunkten mellan de räta linjerna a och b sekant c bildas åtta hörn, som indikeras med siffror i figur 100. Vissa par av dessa vinklar har speciella namn:
kors och tvärs över hörnen 3 och 5, 4 och 6;
ensidiga hörn 4 och 5, 3 och 6;
motsvarande vinklar: 1 och 5, 4 och 8, 2 och 6, 3 och 7.
Ris. 100
Betrakta tre tecken på parallellism av två raka linjer som är associerade med dessa par av vinklar.
Sats
Bevis
Antag att vid skärningspunkten mellan linjerna a och b sekant AB, är de skärande vinklarna lika: ∠1 = ∠2 (Fig. 101, a).
Låt oss bevisa att en || b. Om vinklarna 1 och 2 är raka (fig. 101, b), så är räta linjer a och b vinkelräta mot linjen AB och är därför parallella.
Ris. 101
Tänk på fallet där vinklarna 1 och 2 inte är raka.
Från mitten O av segmentet AB ritar vi vinkelrät OH till den räta linjen a (Fig. 101, c). På den räta linjen b från punkt B skjuter vi upp segmentet BH 1, lika med segmentet AH, som visas i figur 101, c, och ritar segmentet OH 1. Trianglarna ОНА och ОН 1 В är lika på två sidor och vinkeln mellan dem (AO = BO, AH = BH 1, ∠1 = ∠2), därför ∠3 = ∠4 och ∠5 = ∠6. Av likheten ∠3 = ∠4 följer att punkten H 1 ligger på förlängningen av strålen OH, det vill säga punkterna H, O och H 1 ligger på en rät linje, och av likheten ∠5 = ∠6 det följer att vinkeln 6 är en rät linje (eftersom vinkel 5 är rak). Så, räta linjer a och b är vinkelräta mot den räta linjen HH 1 så de är parallella. Teoremet är bevisat.
Sats
Bevis
Låt vid skärningen av räta linjer a och b sekant med motsvarande vinklar vara lika, till exempel ∠1 = ∠2 (Fig. 102).
Ris. 102
Eftersom hörnen 2 och 3 är vertikala, så är ∠2 = ∠3. Av dessa två likheter följer att ∠1 = ∠3. Men vinklarna 1 och 3 är korsvis, så linjerna a och b är parallella. Teoremet är bevisat.
Sats
Bevis
Låt vid skärningspunkten mellan räta linjer a och b sekantera med summan av ensidiga vinklar lika med 180 °, till exempel ∠1 + ∠4 = 180 ° (se fig. 102).
Eftersom vinklarna 3 och 4 ligger intill varandra, är ∠3 + ∠4 = 180 °. Av dessa två likheter följer att de tvärliggande vinklarna 1 och 3 är lika, därför är de räta linjerna a och b parallella. Teoremet är bevisat.
Praktiska sätt att bygga parallella linjer
Tecken på parallellitet hos räta linjer ligger till grund för metoderna för att konstruera parallella räta linjer med olika verktyg som används i praktiken. Betrakta till exempel en metod för att konstruera parallella linjer med hjälp av en ritruta och en linjal. För att bygga en rät linje som går genom punkt M och parallell med en given rät linje a, applicerar vi en ritningsruta på linje a och en linjal på den, som visas i figur 103. Sedan flyttar vi kvadraten längs linjalen, uppnå att punkten M är på sidan av kvadraten och rita en linje b. Linjerna a och b är parallella, eftersom motsvarande vinklar, betecknade i figur 103 med bokstäverna α och β, är lika.
Ris. 103 Figur 104 visar en metod för att konstruera parallella linjer med användning av en flygbuss. Denna metod används i ritövningar.
Ris. 104 En liknande metod används vid snickeriarbete, där en malka används för att markera parallella raka linjer (två träplankor, fästa med ett gångjärn, fig. 105).
Ris. 105
Uppgifter
186. I figur 106 korsas räta linjer a och b av rät linje c. Bevisa att en || b om:
a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45 °, och vinkel 7 är tre gånger större än vinkel 3.
Ris. 106
187. Enligt figur 107, bevisa att AB || DE.
Ris. 107
188. Segment AB och CD skär varandra i sin gemensamma mitt. Bevisa att linjerna AC och BD är parallella.
189. Använd data i figur 108 och bevisa att ВС || AD.
Ris. 108
190. I figur 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70 °, ∠EAC = 35 °. Bevisa att DE || AC.
Ris. 109
191. Segment BK - bisektris av triangeln ABC. En rät linje dras genom punkt K, som skär sidan BC i punkt M så att BM = MK. Bevisa att linjerna KM och AB är parallella.
192. I triangel ABC är vinkel A lika med 40° och vinkel BCE intill vinkel ACB är lika med 80°. Bevisa att bisektrisen för vinkeln ALL är parallell med linjen AB.
193. I triangel ABC ∠A = 40 °, ∠B = 70 °. Linjen BD dras genom vertex B så att strålen BC är bisektrisen av vinkeln ABD. Bevisa att linjerna AC och BD är parallella.
194. Rita en triangel. Rita en rak linje parallellt med den motsatta sidan genom varje vertex i denna triangel, med hjälp av en ritruta och en linjal.
195. Rita triangel ABC och markera punkt D på AC-sidan. Genom punkt D, med hjälp av en ritruta och en linjal, rita raka linjer parallella med de två andra sidorna av triangeln.
§ 1. Tecken på parallellitet mellan två räta linjer - Geometri grad 7 (Atanasyan L.S.)
Kort beskrivning:
Du kommer att lära dig om vad parallella linjer är i det här stycket. Du får en enkel definition, men samtidigt något ovanlig - två raka linjer på ett plan kallas parallella om de inte skär varandra. Med andra ord, om två linjer inte skär varandra, kommer de att vara parallella. Eller, om linjerna inte har skärningspunkter, är de parallella.
Det ovanliga med denna definition ligger i det faktum att om det finns två raka linjer framför dig och du inte ser deras skärningspunkt, betyder det inte att det inte finns någon. Det betyder att du kanske helt enkelt inte ser det.
Därför kan denna definition inte användas direkt för att bevisa att två linjer är parallella. När allt kommer omkring kan du inte oändligt följa fortsättningen av raka linjer för att se till att de inte skär varandra.
Men detta är inte nödvändigt. Det finns tecken med vilka man kan bedöma parallelliteten hos raka linjer. Det finns tre av dem. I enlighet med var och en av dem övervägs speciella vinklar eller deras kombinationer, som bildas i skärningspunkten mellan dessa två undersökta räta linjer på den tredje räta linjen - sekanten. Dessa vinklar används för att bedöma parallelliteten hos raka linjer.
Bevisen för dessa tecken - satsen om linjers parallellitet - är baserade på satsen som du redan tänkt på i kapitel 1 i läroboken - två linjer vinkelräta mot den tredje skär inte varandra. Först nu ser denna sats annorlunda ut - två linjer vinkelräta mot den tredje är parallella.
Tecken på parallellitet mellan två räta linjer
Sats 1. Om i skärningspunkten mellan två sekantlinjer:
kors-korsande vinklar är lika, eller
motsvarande vinklar är lika, eller
summan av de ensidiga vinklarna är alltså 180°
raka linjer är parallella(figur 1).
Bevis. Vi begränsar oss till beviset för fall 1.
Antag att vid skärningspunkten mellan linjerna a och b sekant AB, är de skärande vinklarna lika. Till exempel, ∠ 4 = ∠ 6. Låt oss bevisa att en || b.
Antag att linjerna a och b inte är parallella. Sedan skär de varandra vid någon punkt M och därför kommer en av vinklarna 4 eller 6 att vara det yttre hörnet av triangeln ABM. Låt för visshetens skull ∠ 4 vara det yttre hörnet av triangeln ABM, och ∠ 6 - det inre. Av satsen om en triangels yttre vinkel följer att ∠ 4 är större än ∠ 6, och detta motsäger villkoret, vilket innebär att linjerna a och 6 inte kan skära varandra, så de är parallella.
Följd 1. Två olika räta linjer i ett plan vinkelrätt mot samma räta linje är parallella(fig. 2).
Kommentar. Det sätt som vi just har bevisat fall 1 av sats 1 kallas motsägelse eller reducering till absurditet. Denna metod fick sitt förnamn för att man i början av resonemanget gör ett antagande som är motsatt (motsats) till vad som krävs för att bevisas. Det kallas en reducering till absurditet på grund av att vi, med argumentet utifrån det antagande som gjorts, kommer till en absurd slutsats (till en absurditet). Mottagandet av en sådan slutsats tvingar oss att förkasta antagandet som gjordes i början och acceptera det som krävdes för att bevisas.
Mål 1. Konstruera en rät linje som går genom en given punkt M och parallell med en given rät linje a, inte genom en punkt M.
Lösning. Rita genom punkten M en rät linje p vinkelrät mot en rät linje a (Fig. 3).
Sedan ritar vi en rät linje b genom punkt M vinkelrät mot en rät linje p. Linje b är parallell med linje a enligt konsekvensen av sats 1.
En viktig slutsats följer av det övervägda problemet:
genom en punkt som inte ligger på en given rät linje kan du alltid dra en rät linje parallellt med en given.
Huvudegenskapen för parallella linjer är följande.
Axiom för parallella linjer. Genom en given punkt, som inte ligger på en given rät linje, passerar endast en rät linje, parallell med den givna.
Betrakta några egenskaper hos parallella linjer som följer av detta axiom.
1) Om en linje skär en av två parallella linjer, så skär den också den andra (fig. 4).
2) Om två olika linjer är parallella med den tredje linjen, så är de parallella (Fig. 5).
Följande teorem är också sant.
Sats 2. Om två parallella linjer skärs av en sekant, då:
kors-korsande vinklar är lika;
motsvarande vinklar är lika;
summan av de ensidiga vinklarna är 180°.
Följd 2. Om en linje är vinkelrät mot en av två parallella linjer, så är den vinkelrät mot den andra(se fig. 2).
Kommentar. Sats 2 kallas motsatsen till sats 1. Slutsatsen av sats 1 är villkoret för sats 2. Och villkoret för sats 1 är slutsatsen av sats 2. Inte varje sats har det omvända, det vill säga om denna sats är sann , då kanske motsatsen till satsen inte är sann.
Låt oss förklara detta med exemplet med satsen på vertikala hörn... Denna sats kan formuleras på följande sätt: om två vinklar är vertikala så är de lika. Den motsatta satsen skulle vara som följer: om två vinklar är lika, då är de vertikala. Och detta är naturligtvis inte sant. Två lika vinkel behöver inte vara vertikalt alls.
Exempel 1. Två parallella linjer korsas av en tredje. Det är känt att skillnaden mellan två inre ensidiga vinklar är 30 °. Hitta dessa hörn.
Lösning. Låt figur 6 uppfylla villkoret.
