За да възбуди колебателната верига, кондензаторът е предварително зареден, предавайки заряд на неговите плочи ±q. Тогава в началния момент от времето t= 0 (фиг. 19, а)Между плочите на кондензатора ще възникне електрическо поле. Ако затворите кондензатор към индуктор, кондензаторът ще започне да се разрежда и във веригата ще тече ток, който се увеличава с времето. аз. Когато кондензаторът е напълно разреден, енергията на електрическото поле на кондензатора ще бъде напълно преобразувана в енергията на магнитното поле на намотката (фиг. 19, b). От този момент токът във веригата ще намалее и следователно магнитното поле на намотката ще започне да отслабва, след което, съгласно закона на Фарадей, в него се индуцира ток, който протича в съответствие с правилото на Ленц в същата посока като разрядния ток на кондензатора. Кондензаторът ще започне да се презарежда, ще възникне електрическо поле, което има тенденция да отслаби тока, който в крайна сметка ще достигне нула, а зарядът на кондензаторните пластини ще достигне максимум (фиг. 19, V). След това същите процеси ще започнат да се случват в обратна посока (фиг. 19, Ж), и системата по това време t=T (T– период на трептене) ще се върне в първоначалното си състояние (фиг. 19, А). След това ще започне повторението на разглеждания цикъл на разреждане и зареждане на кондензатора, т.е. ще започнат периодични незатихващи колебания на количеството на заряда рвърху пластините на кондензатора, напрежение U Cвърху кондензатора и тока аз, протичащи през индуктора. Според закона на Фарадей напрежението U Cвърху кондензатора се определя от скоростта на промяна на тока в индуктора на идеална верига, тоест:
Въз основа на факта, че U C =q/C, А I=dq/dt,получаваме диференциално уравнение на свободните незатихващи хармонични трептениявеличина на заряда рвърху плочите на кондензатора:
или 
.
Решението на това диференциално уравнение е функцията р(T), това е уравнение на свободните незатихващи хармонични трептениявеличина на заряда рвърху плочите на кондензатора:
Където р(TT;
р 0 – амплитуда на колебанията на заряда върху пластините на кондензатора;
– кръгова (или циклична) честота на трептене () ;
2 /T(T– период на трептене, 
–Формула на Томсън);
– фаза на трептенията в момента на времето T;
– начална фаза на трептенията, т.е. фазата на трептенията в дадения момент T=0.
Уравнение на свободните затихнали хармонични трептения.В една реална колебателна верига се взема предвид, че освен индуктивната намотка л,кондензатор с капацитет СЪС, веригата съдържа и резистор със съпротивление Р,различен от нула, което е причината за затихването на трептенията в реалния трептителен кръг. На разположение затихващи трептения– трептения, чиято амплитуда намалява с течение на времето поради загуби на енергия от реалната трептителна система.
За верига на верига на реално колебателно напрежение върху последователно свързан кондензатор с капацитет СЪСи резистор със съпротивление Рсвиеш. Тогава, като вземем предвид закона на Фарадей за веригата на реална осцилаторна верига, можем да напишем:
,
където е електродвижещата сила на самоиндукция в намотката;
U C– напрежение върху кондензатора ( U C =q/C);
IR– напрежение на резистора.
Въз основа на факта, че I=dq/dt,получаваме диференциално уравнение на свободните затихнали хармонични трептениявеличина на заряда рвърху плочите на кондензатора:
или 
,
където е коефициентът на затихване на вибрациите (), .
р(T), това е уравнение на свободните затихнали хармонични трептениявеличина на заряда рвърху плочите на кондензатора:
Където р(T) – количеството заряд на пластините на кондензатора в момента T;
– амплитуда на затихващите трептения на заряда в момента T;
р 0 – начална амплитуда на затихващите колебания на заряда;
– кръгова (или циклична) честота на трептене ( 
);
– фаза на затихнали трептения в момента на времето T;
– началната фаза на затихващите трептения.
Период на свободни затихнали трептения в реален колебателен кръг:
.
Принудени електромагнитни трептения. За да се получат незатихващи трептения в реална осцилаторна система, е необходимо да се компенсират загубите на енергия по време на процеса на трептене. Такава компенсация в реална осцилираща верига е възможна с помощта на външно променливо напрежение, периодично променящо се според хармоничен закон U(T):
.
В такъв случай диференциално уравнение на принудени електромагнитни трептенияще приеме формата:
или 
.
Решението на полученото диференциално уравнение е функцията р(T):
В стационарно състояние възникват принудителни трептения с честота wи са хармонични, а амплитудата и фазата на трептенията се определят от следните изрази:
; 
.
От това следва, че амплитудата на колебанията на стойността на заряда има максимум при резонансната честота на външния източник:
.
Феноменът на рязко увеличаване на амплитудата на принудените трептения, когато честотата на принуждаващото променливо напрежение се доближава до честота, близка до честотата, се нарича резонанс.
Тема 10. Електромагнитни вълни
Според теорията на Максуел електромагнитните полета могат да съществуват под формата на електромагнитни вълни, фазовата скорост чието разпределение се определя от израза:
,
където и са съответно електрическите и магнитните константи,
дИ м– съответно електрическа и магнитна пропускливост на средата,
с– скорост на светлината във вакуум () .
Във вакуум ( д= 1, м= l) скоростта на разпространение на електромагнитните вълни съвпада със скоростта на светлината ( с), което е в съответствие с теорията на Максуел, че
че светлината е електромагнитни вълни.
Според теорията на Максуел електромагнитни вълниса напречен,т.е. векторите и силите на електрическото и магнитното поле са взаимно перпендикулярни и лежат в равнина, перпендикулярна на вектора
скоростта на разпространение на вълната и векторите , и образуват дясна винтова система (фиг. 20).
От теорията на Максуел също следва, че в електромагнитната вълна векторите и осцилират в едни и същи фази (фиг. 20), т.е. стойностите на силата дИ нелектрическите и магнитните полета едновременно достигат максимум и едновременно се обръщат към нула, а моментните стойности дИ нсвързани с релацията: 
.
Уравнение на плоска монохроматична електромагнитна вълна(индекси приИ zпри дИ нТе само подчертават, че векторите и са насочени по взаимно перпендикулярни оси в съответствие с фиг. 20).
трептениясе наричат движения или процеси, които се характеризират с известна повторяемост във времето. Осцилаторните процеси са широко разпространени в природата и техниката, например люлеенето на часовниковото махало, променливия електрически ток и т.н във веригата се колебаят. Физическата природа на вибрациите може да бъде различна, следователно има механични, електромагнитни и т.н. вибрации, но различните колебателни процеси се описват с едни и същи характеристики и едни и същи уравнения. Оттук и целесъобразността общ подходза изследване на вибрациите от различно физическо естество.
Трептенията се наричат Безплатно, ако възникват само под въздействието на вътрешни сили, действащи между елементите на системата, след като системата е изведена от равновесие от външни сили и е оставена на произвола. Безплатни вибрации винаги затихващи трептения , защото в реалните системи загубите на енергия са неизбежни. В идеализирания случай на система без загуба на енергия свободните трептения (продължаващи толкова дълго, колкото желаете) се наричат собствен.
Най-простият тип свободни незатихващи трептения са хармонични вибрации -трептения, при които осцилиращата величина се изменя във времето по синус (косинус) закон. Вибрациите в природата и техниката често имат характер, близък до хармоничния.
Хармоничните трептения се описват от уравнение, наречено уравнение на хармоничните трептения:
Където А- амплитуда на трептенията, максимална стойност на трептящата величина х; - кръгова (циклична) честота на собствените трептения; - начална фаза на трептене в момента на времето T= 0; - фаза на трептене в момента на времето T.Фазата на трептене определя стойността на осцилиращото количество в даден момент. Тъй като косинусът варира от +1 до -1, тогава хможе да приема стойности от + Апреди - А.
време Tпрез който системата извършва едно пълно трептене се нарича период на трептене. По време на Tфазата на трептене се увеличава с 2 π , т.е.
Където . (14.2)
Реципрочната стойност на периода на трептене
т.е. броят на пълните трептения, извършени за единица време, се нарича честота на трептене. Сравнявайки (14.2) и (14.3), получаваме
Единицата за честота е херц (Hz): 1 Hz е честотата, при която се извършва едно пълно трептене за 1 s.
Системи, в които могат да възникнат свободни вибрации, се наричат осцилатори . Какви свойства трябва да притежава една система, за да възникнат свободни вибрации в нея? Механичната система трябва да има стабилно равновесно положение, при излизане от който се появява възстановяваща сила, насочена към равновесното положение. Това положение съответства, както е известно, на минималната потенциална енергия на системата. Нека разгледаме няколко осцилационни системи, които отговарят на изброените свойства.
Промените във всяко количество се описват с помощта на законите на синус или косинус, тогава такива колебания се наричат хармонични. Нека разгледаме верига, състояща се от кондензатор (който е бил зареден преди да бъде включен във веригата) и индуктор (фиг. 1).
Снимка 1.
Уравнението на хармоничните вибрации може да бъде написано, както следва:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
където $t$ е времето; $q$ заряд, $q_0$-- максимално отклонение на заряда от неговата средна (нулева) стойност при промени; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- фаза на трептене; $(\alpha )_0$- начална фаза; $(\omega )_0$ - циклична честота. По време на периода фазата се променя с $2\pi $.
Уравнение от формата:
уравнение на хармоничните трептения в диференциална форма за осцилаторна верига, която няма да съдържа активно съпротивление.
Всеки тип периодични трептения могат да бъдат точно представени като сума от хармонични трептения, така наречената хармонична серия.
За периода на трептене на верига, която се състои от намотка и кондензатор, получаваме формулата на Томсън:
Ако диференцираме израз (1) по отношение на времето, можем да получим формулата за функцията $I(t)$:
Напрежението върху кондензатора може да се намери като:
От формули (5) и (6) следва, че силата на тока изпреварва напрежението на кондензатора с $\frac(\pi )(2).$
Хармоничните трептения могат да бъдат представени под формата на уравнения, функции и векторни диаграми.
Уравнение (1) представлява свободни незатихващи трептения.
Уравнение на затихналите трептения
Промяната в заряда ($q$) на кондензаторните пластини във веригата, като се вземе предвид съпротивлението (фиг. 2), ще бъде описано с диференциално уравнение от формата:
Фигура 2.
Ако съпротивлението, което е част от веригата $R\
където $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ е честотата на цикличните трептения. $\beta =\frac(R)(2L)-$коефициент на затихване. Амплитудата на затихналите трептения се изразява като:
Ако при $t=0$ зарядът на кондензатора е равен на $q=q_0$ и във веригата няма ток, тогава за $A_0$ можем да запишем:
Фазата на трептенията в началния момент от време ($(\alpha )_0$) е равна на:
Когато $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ промяната в заряда не е трептене, разреждането на кондензатора се нарича апериодично.
Пример 1
Упражнение:Максималната стойност на таксата е $q_0=10\ C$. Тя варира хармонично с период от $T= 5 s$. Определете максималния възможен ток.
Решение:
Като основа за решаване на проблема използваме:
За да се намери силата на тока, изразът (1.1) трябва да се диференцира по отношение на времето:
където максимумът (стойността на амплитудата) на силата на тока е изразът:
От условията на задачата знаем амплитудната стойност на заряда ($q_0=10\ C$). Трябва да намерите естествената честота на трептенията. Нека го изразим като:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]
В този случай желаната стойност ще бъде намерена с помощта на уравнения (1.3) и (1.2) като:
Тъй като всички количества в условията на проблема са представени в системата SI, ще извършим изчисленията:
Отговор:$I_0=12,56\ A.$
Пример 2
Упражнение:Какъв е периодът на трептене във верига, която съдържа индуктор $L=1$H и кондензатор, ако силата на тока във веригата се променя според закона: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Какъв е капацитетът на кондензатора?
Решение:
От уравнението на текущите колебания, което е дадено в условията на проблема:
виждаме, че $(\omega )_0=20\pi $, следователно можем да изчислим периода на трептене, използвайки формулата:
\ \
Според формулата на Томсън за верига, която съдържа индуктор и кондензатор, имаме:
Нека изчислим капацитета:
Отговор:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$
