Cómo entender la función par o. Funciones pares e impares

¿Cómo insertar fórmulas matemáticas en un sitio web?

Si alguna vez necesita agregar una o dos fórmulas matemáticas a una página web, la forma más sencilla de hacerlo es como se describe en el artículo: las fórmulas matemáticas se insertan fácilmente en el sitio en forma de imágenes que Wolfram Alpha genera automáticamente. . Además de la simplicidad, este método universal ayudará a mejorar la visibilidad del sitio web los motores de búsqueda. Ha estado funcionando durante mucho tiempo (y creo que funcionará para siempre), pero ya está moralmente desactualizado.

Si utiliza constantemente fórmulas matemáticas en su sitio, le recomiendo que utilice MathJax. biblioteca especial JavaScript, que muestra notación matemática en navegadores web utilizando el marcado MathML, LaTeX o ASCIIMathML.

Hay dos formas de comenzar a usar MathJax: (1) usando un código simple, puede conectar rápidamente un script MathJax a su sitio web, que se cargará automáticamente desde un servidor remoto en el momento adecuado (lista de servidores); (2) descargue el script MathJax desde un servidor remoto a su servidor y conéctelo a todas las páginas de su sitio. El segundo método, más complejo y que requiere más tiempo, acelerará la carga de las páginas de su sitio, y si el servidor principal MathJax deja de estar disponible temporalmente por algún motivo, esto no afectará su propio sitio de ninguna manera. A pesar de estas ventajas, elegí el primer método porque es más sencillo, más rápido y no requiere conocimientos técnicos. Siga mi ejemplo y en solo 5 minutos podrá utilizar todas las funciones de MathJax en su sitio.

Puede conectar el script de la biblioteca MathJax desde un servidor remoto usando dos opciones de código tomadas del sitio web principal de MathJax o de la página de documentación:

Una de estas opciones de código debe copiarse y pegarse en el código de su página web, preferiblemente entre etiquetas o inmediatamente después de la etiqueta. Según la primera opción, MathJax se carga más rápido y ralentiza menos la página. Pero la segunda opción rastrea y carga automáticamente Últimas Versiones MatemáticasJax. Si inserta el primer código, deberá actualizarlo periódicamente. Si inserta el segundo código, las páginas se cargarán más lentamente, pero no necesitará monitorear constantemente las actualizaciones de MathJax.

La forma más sencilla de conectar MathJax es en Blogger o WordPress: en el panel de control del sitio, agregue un widget diseñado para insertar código JavaScript de terceros, copie la primera o segunda versión del código de descarga presentado anteriormente y coloque el widget más cerca. al principio de la plantilla (por cierto, esto no es necesario en absoluto, ya que el script MathJax se carga de forma asincrónica). Eso es todo. Ahora aprenda la sintaxis de marcado de MathML, LaTeX y ASCIIMathML y ​​estará listo para insertar fórmulas matemáticas en las páginas web de su sitio.

Cualquier fractal se construye según una cierta regla, que se aplica secuencialmente un número ilimitado de veces. Cada uno de esos momentos se denomina iteración.

El algoritmo iterativo para construir una esponja de Menger es bastante simple: el cubo original de lado 1 se divide por planos paralelos a sus caras en 27 cubos iguales. Se eliminan un cubo central y 6 cubos adyacentes a lo largo de las caras. El resultado es un conjunto formado por los 20 cubos más pequeños restantes. Haciendo lo mismo con cada uno de estos cubos, obtenemos un conjunto formado por 400 cubos más pequeños. Siguiendo este proceso hasta el infinito, obtenemos una esponja de Menger.

Ocultar mostrar

Métodos para especificar una función.

Sea la función dada por la fórmula: y=2x^(2)-3. Al asignar cualquier valor a la variable independiente x, puede calcular, utilizando esta fórmula, los valores correspondientes de la variable dependiente y. Por ejemplo, si x=-0.5, entonces, usando la fórmula, encontramos que el valor correspondiente de y es y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5.

Tomando cualquier valor tomado por el argumento x en la fórmula y=2x^(2)-3, puedes calcular solo un valor de la función que le corresponde. La función se puede representar como una tabla:

X	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Usando esta tabla, puede ver que para el valor del argumento −1 corresponderá el valor de la función −3; y el valor x=2 corresponderá a y=0, etc. También es importante saber que cada valor de argumento en la tabla corresponde a un solo valor de función.

Se pueden especificar más funciones mediante gráficos. Mediante una gráfica se establece qué valor de la función se correlaciona con un determinado valor x. En la mayoría de los casos, este será un valor aproximado de la función.

incluso y no incluso función

Una función es par cuando f(-x)=f(x) para cualquier x en el dominio. Tal función será simétrica con respecto al eje Oy.

Una función es impar cuando f(-x)=-f(x) para cualquier x en el dominio. Tal función será simétrica con respecto al origen O (0;0) .

La función no es par ni impar y se llama función. vista general, cuando no tiene simetría respecto del eje u origen.

Examinemos la siguiente función de paridad:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) con un dominio de definición simétrico relativo al origen. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3) -7x^(7))= -f(x) .

Esto significa que la función f(x)=3x^(3)-7x^(7) es impar.

función periódica

La función y=f(x) , en cuyo dominio la igualdad f(x+T)=f(x-T)=f(x) se cumple para cualquier x, se llama función periódica con período T \neq 0 .

Repetir la gráfica de una función en cualquier segmento del eje x que tenga longitud T.

Los intervalos donde la función es positiva, es decir, f(x) > 0, son segmentos del eje de abscisas que corresponden a los puntos del gráfico de la función que se encuentran por encima del eje de abscisas.

f(x) > 0 en (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervalos donde la función es negativa, es decir, f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})

Función limitada

Una función y=f(x), x \in X generalmente se llama acotada por debajo cuando hay un número A para el cual la desigualdad f(x) \geq A es válida para cualquier x \in X .

Un ejemplo de una función acotada desde abajo: y=\sqrt(1+x^(2)) desde y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 para cualquier x .

Una función y=f(x), x \in X se llama acotada arriba si hay un número B para el cual la desigualdad f(x) \neq B es válida para cualquier x \in X .

Un ejemplo de una función acotada desde abajo: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] since y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 for cualquier x \ en [-1;1] .

Una función y=f(x), x \in X generalmente se llama acotada cuando hay un número K > 0 para el cual la desigualdad \left | f(x)\derecha | \neq K para cualquier x \en X .

Un ejemplo de una función acotada: y=\sin x está acotada en toda la recta numérica, ya que \left | \sin x \right | \neq 1 .

Función creciente y decreciente.

Se acostumbra hablar de una función que aumenta en el intervalo considerado como una función creciente cuando valor mas alto x corresponderá a un valor mayor de la función y=f(x) . De ello se deduce que tomando dos valores arbitrarios del argumento x_(1) y x_(2) del intervalo considerado, con x_(1) > x_(2) , el resultado será y(x_(1)) > y(x_(2)).

Una función que disminuye en el intervalo considerado se llama función decreciente cuando un valor mayor de x corresponde a un valor menor de la función y(x). De ello se deduce que, tomando del intervalo considerado dos valores arbitrarios del argumento x_(1) y x_(2) , y x_(1) > x_(2) , el resultado será y(x_(1))< y(x_{2}) .

Las raíces de una función suelen denominarse puntos en los que la función F=y(x) corta el eje de abscisas (se obtienen resolviendo la ecuación y(x)=0).

a) Si para x > 0 una función par aumenta, entonces disminuye para x< 0

b) Cuando una función par disminuye en x > 0, entonces aumenta en x< 0

c) Cuando una función impar aumenta en x > 0, entonces también aumenta en x< 0

d) Cuando una función impar disminuye para x > 0, entonces también disminuirá para x< 0

Extremos de la función

El punto mínimo de la función y=f(x) se suele llamar punto x=x_(0) cuya vecindad tendrá otros puntos (excepto el punto x=x_(0)), y para ellos entonces se cumple la desigualdad f( x ) > f(x_(0)) . y_(min) - designación de la función en el punto mínimo.

El punto máximo de la función y=f(x) se suele llamar punto x=x_(0) cuya vecindad tendrá otros puntos (excepto el punto x=x_(0)), y para ellos entonces se cumple la desigualdad f( X )< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Requisito previo

Según el teorema de Fermat: f"(x)=0 cuando la función f(x) que es diferenciable en el punto x_(0) tendrá un extremo en este punto.

Condición suficiente

Cuando la derivada cambia de signo de más a menos, entonces x_(0) será el punto mínimo;

x_(0) - será un punto máximo solo cuando la derivada cambie de signo de menos a más al pasar por el punto estacionario x_(0) .

El valor más grande y más pequeño de una función en un intervalo.

Pasos de cálculo:

Se busca la derivada f"(x);

Se encuentran los puntos estacionarios y críticos de la función y se seleccionan los pertenecientes al segmento;

Los valores de la función f(x) se encuentran en puntos y extremos estacionarios y críticos del segmento. El menor de los resultados obtenidos será valor más bajo funciones, y el más grande es el más grande.

Una función se llama par (impar) si es para cualquiera y la igualdad

.

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje.
.

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

Ejemplo 6.2. Examinar si una función es par o impar

1)
; 2)
; 3)
.

Solución.

1) La función se define cuando
. Lo encontraremos
.

Aquellos.
. Medio, esta función incluso.

2) La función se define cuando

Aquellos.
. Por tanto, esta función es impar.

3) la función está definida para , es decir Para

,
. Por tanto la función no es par ni impar. Llamémosla función de forma general.

3. Estudio de la función de monotonicidad.

Función
se llama aumentar (disminuir) en un determinado intervalo si en este intervalo cada valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor (menor) de la función.

Las funciones que aumentan (disminuyen) durante un cierto intervalo se denominan monótonas.

Si la función
diferenciable en el intervalo
y tiene una derivada positiva (negativa)
, entonces la función
aumenta (disminuye) durante este intervalo.

Ejemplo 6.3. Encuentra intervalos de monotonicidad de funciones.

1)
; 3)
.

Solución.

1) Esta función está definida en toda la recta numérica. Encontremos la derivada.

La derivada es igual a cero si
Y
. El dominio de definición es el eje numérico, dividido por puntos.
,
a intervalos. Determinemos el signo de la derivada en cada intervalo.

en el intervalo
la derivada es negativa, la función disminuye en este intervalo.

en el intervalo
la derivada es positiva, por lo tanto, la función aumenta en este intervalo.

2) Esta función se define si
o

.

Determinamos el signo del trinomio cuadrático en cada intervalo.

Por tanto, el dominio de definición de la función.

Encontremos la derivada
,
, Si
, es decir.
, Pero
. Determinemos el signo de la derivada en los intervalos.
.

en el intervalo
la derivada es negativa, por lo tanto, la función disminuye en el intervalo
. en el intervalo
la derivada es positiva, la función aumenta en el intervalo
.

4. Estudio de la función en el extremo.

Punto
llamado punto máximo (mínimo) de la función
, si existe tal vecindad del punto eso es para todos
de este barrio se mantiene la desigualdad

.

Los puntos máximo y mínimo de una función se llaman puntos extremos.

Si la función
en el punto tiene un extremo, entonces la derivada de la función en este punto es igual a cero o no existe (una condición necesaria para la existencia de un extremo).

Los puntos en los que la derivada es cero o no existe se denominan críticos.

5. Condiciones suficientes para la existencia de un extremo.

Regla 1. Si durante la transición (de izquierda a derecha) a través del punto crítico derivado
cambia de signo de “+” a “–”, luego en el punto función
tiene un máximo; si de “–” a “+”, entonces el mínimo; Si
no cambia de signo, entonces no hay extremo.

Regla 2. dejar en el punto
primera derivada de una función
igual a cero
, y la segunda derivada existe y es distinta de cero. Si
, Eso – punto máximo, si
, Eso – punto mínimo de la función.

Ejemplo 6.4. Explore las funciones máxima y mínima:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Solución.

1) La función está definida y es continua en el intervalo.
.

Encontremos la derivada
y resuelve la ecuación
, es decir.
.De aquí
- puntos críticos.

Determinemos el signo de la derivada en los intervalos ,
.

Al pasar por puntos
Y
la derivada cambia de signo de “-” a “+”, por lo tanto, según la regla 1
– puntos mínimos.

Al pasar por un punto
la derivada cambia de signo de “+” a “–”, por lo que
– punto máximo.

,
.

2) La función está definida y es continua en el intervalo.
. Encontremos la derivada
.

Habiendo resuelto la ecuación
, lo encontraremos
Y
- puntos críticos. Si el denominador
, es decir.
, entonces la derivada no existe. Entonces,
– tercer punto crítico. Determinemos el signo de la derivada en intervalos.

Por lo tanto, la función tiene un mínimo en el punto
, máximo en puntos
Y
.

3) Una función es definida y continua si
, es decir. en
.

Encontremos la derivada

.

Encontremos puntos críticos:

Barrios de puntos
no pertenecen al dominio de la definición, por lo tanto no son extremos. Entonces, examinemos los puntos críticos.
Y
.

4) La función está definida y es continua en el intervalo.
. Usemos la regla 2. Encuentra la derivada.
.

Encontremos puntos críticos:

Encontremos la segunda derivada.
y determinar su signo en los puntos

En puntos
La función tiene un mínimo.

En puntos
la función tiene un máximo.

Que te resultaban familiares en un grado u otro. Allí también se señaló que el stock de propiedades funcionales se irá reponiendo gradualmente. En esta sección se analizarán dos nuevas propiedades.

Definición 1.

La función y = f(x), x є X, se llama incluso si para cualquier valor x del conjunto X se cumple la igualdad f (-x) = f (x).

Definición 2.

La función y = f(x), x є X, se llama impar si para cualquier valor x del conjunto X se cumple la igualdad f (-x) = -f (x).

Demuestre que y = x 4 es una función par.

Solución. Tenemos: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Pero(-x) 4 = x 4. Esto significa que para cualquier x se cumple la igualdad f(-x) = f(x), es decir la función es par.

De manera similar, se puede demostrar que las funciones y - x 2, y = x 6, y - x 8 son pares.

Demuestre que y = x 3 ~ una función impar.

Solución. Tenemos: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Pero (-x) 3 = -x 3. Esto significa que para cualquier x se cumple la igualdad f (-x) = -f (x), es decir la función es impar.

De manera similar, se puede demostrar que las funciones y = x, y = x 5, y = x 7 son impares.

Usted y yo ya nos hemos convencido más de una vez de que los nuevos términos en matemáticas suelen tener un origen "terrenal", es decir, se pueden explicar de alguna manera. Este es el caso tanto de funciones pares como impares. Ver: y - x 3, y = x 5, y = x 7 son funciones impares, mientras que y = x 2, y = x 4, y = x 6 son funciones pares. Y en general, para cualquier función de la forma y = x" (a continuación estudiaremos específicamente estas funciones), donde n es un número natural, podemos concluir: si n no es número par, entonces la función y = x" es impar; si n es un número par, entonces la función y = xn es par.

También hay funciones que no son ni pares ni impares. Tal es, por ejemplo, la función y = 2x + 3. De hecho, f(1) = 5, y f (-1) = 1. Como puede ver, aquí, por lo tanto, ni la identidad f(-x) = f ( x), ni la identidad f(-x) = -f(x).

Entonces, una función puede ser par, impar o ninguna de las dos cosas.

El estudio de si una función dada es par o impar suele denominarse estudio de la paridad.

En las definiciones 1 y 2 estamos hablando acerca de sobre los valores de la función en los puntos x y -x. Esto supone que la función está definida tanto en el punto x como en el punto -x. Esto significa que el punto -x pertenece al dominio de definición de la función simultáneamente con el punto x. Si un conjunto numérico X, junto con cada uno de sus elementos x, también contiene el elemento opuesto -x, entonces X se llama conjunto simétrico. Digamos que (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) son conjuntos simétricos, mientras que )