तो, जहाँ तक ज्यामिति का सवाल है: समरूपता के तीन मुख्य प्रकार हैं।

पहले तो, केंद्रीय समरूपता (या किसी बिंदु के बारे में समरूपता) - यह समतल (या स्थान) का परिवर्तन है, जिसमें एक बिंदु (बिंदु O - समरूपता का केंद्र) अपनी जगह पर रहता है, जबकि शेष बिंदु अपनी स्थिति बदलते हैं: बिंदु A के बजाय, हमें बिंदु A1 मिलता है जैसे कि बिंदु O खंड AA1 का मध्य है। एक आकृति Ф1 का निर्माण करने के लिए, जो बिंदु O के सापेक्ष आकृति Ф के सममित है, आपको आकृति Ф के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से एक किरण खींचने की आवश्यकता है, जो बिंदु O (समरूपता का केंद्र) से गुजरती है, और इस किरण पर एक बिंदु सममित रखें बिंदु O के सापेक्ष चुने गए एक को। इस तरह से निर्मित बिंदुओं का सेट आकृति F1 देगा।

बड़ी रुचि की वे आकृतियाँ हैं जिनमें समरूपता का केंद्र होता है: बिंदु O के बारे में समरूपता के साथ, आकृति में कोई भी बिंदु फिर से आकृति में एक निश्चित बिंदु में बदल जाता है। ज्यामिति में ऐसी कई आकृतियाँ हैं। उदाहरण के लिए: एक खंड (खंड का मध्य समरूपता का केंद्र है), एक सीधी रेखा (इसका कोई भी बिंदु इसकी समरूपता का केंद्र है), एक वृत्त (वृत्त का केंद्र समरूपता का केंद्र है), एक आयत (इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु समरूपता का केंद्र है)। जीवित और निर्जीव प्रकृति में कई केंद्रीय सममित वस्तुएं हैं (छात्र संदेश)। अक्सर लोग स्वयं ऐसी वस्तुएं बनाते हैं जिनमें केंद्र समरूपता होती हैरीज़ (हस्तशिल्प के उदाहरण, मैकेनिकल इंजीनियरिंग के उदाहरण, वास्तुकला के उदाहरण और कई अन्य उदाहरण)।

दूसरी बात, अक्षीय समरूपता (या एक सीधी रेखा के बारे में समरूपता) - यह एक समतल (या स्थान) का परिवर्तन है, जिसमें केवल सीधी रेखा p के बिंदु ही स्थान पर रहते हैं (यह सीधी रेखा समरूपता की धुरी है), जबकि शेष बिंदु अपनी स्थिति बदलते हैं: बिंदु B के बजाय हम एक बिंदु B1 इस प्रकार प्राप्त करें कि सीधी रेखा p खंड BB1 का लंबवत समद्विभाजक हो। सीधी रेखा р के सापेक्ष, आकृति Ф के सममित एक आकृति Ф1 का निर्माण करने के लिए, आकृति Ф के प्रत्येक बिंदु के लिए सीधी रेखा р के सापेक्ष इसके सममित एक बिंदु का निर्माण करना आवश्यक है। इन सभी निर्मित बिंदुओं का सेट वांछित आंकड़ा F1 देता है। वहां कई हैं ज्यामितीय आकारसमरूपता की धुरी होना।

एक आयत में दो, एक वर्ग में चार, एक वृत्त में उसके केंद्र से गुजरने वाली कोई सीधी रेखा होती है। यदि आप वर्णमाला के अक्षरों को ध्यान से देखें, तो आप उनमें से ऐसे अक्षर पा सकते हैं जिनमें क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर, और कभी-कभी दोनों, समरूपता के अक्ष होते हैं। समरूपता अक्ष वाली वस्तुएं अक्सर जीवित और निर्जीव प्रकृति में पाई जाती हैं (छात्र रिपोर्ट)। अपनी गतिविधि में, एक व्यक्ति कई वस्तुएं बनाता है (उदाहरण के लिए, आभूषण) जिनमें समरूपता के कई अक्ष होते हैं।

______________________________________________________________________________________________________

तीसरा, समतल (दर्पण) समरूपता (या समतल के बारे में समरूपता) - यह अंतरिक्ष का एक परिवर्तन है जिसमें केवल एक विमान के बिंदु अपना स्थान (α-समरूपता विमान) बनाए रखते हैं, अंतरिक्ष के शेष बिंदु अपनी स्थिति बदलते हैं: बिंदु C के बजाय, एक बिंदु C1 प्राप्त होता है जैसे कि विमान α गुजरता है खंड CC1 का मध्य, इसके लंबवत।

समतल α के सापेक्ष आकृति Ф के सममित आकृति Ф1 का निर्माण करने के लिए, आकृति Ф के प्रत्येक बिंदु के लिए α के सापेक्ष सममित बिंदु बनाना आवश्यक है, वे अपने सेट में, आकृति Ф1 बनाते हैं;

अक्सर, हमारे आस-पास की चीजों और वस्तुओं की दुनिया में, हम त्रि-आयामी निकायों का सामना करते हैं। और इनमें से कुछ पिंडों में समरूपता के तल होते हैं, कभी-कभी तो कई भी। और मनुष्य स्वयं, अपनी गतिविधियों (निर्माण, हस्तशिल्प, मॉडलिंग, ...) में समरूपता के विमानों के साथ वस्तुओं का निर्माण करता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि, तीन सूचीबद्ध प्रकार की समरूपता के साथ, (वास्तुकला में) हैंपोर्टेबल और घूमने वाला, जो ज्यामिति में कई आंदोलनों की रचनाएँ हैं।

वैज्ञानिक एवं व्यावहारिक सम्मेलन

नगर शैक्षणिक संस्थान "माध्यमिक" समावेशी स्कूलनंबर 23"

वोलोग्दा शहर

अनुभाग: प्राकृतिक विज्ञान

डिजाइन और अनुसंधान कार्य

समरूपता के प्रकार

यह कार्य आठवीं कक्षा के एक छात्र द्वारा पूरा किया गया

क्रेनेवा मार्गारीटा

प्रमुख: उच्च गणित शिक्षक

साल 2014

परियोजना संरचना:

1 परिचय।

2. परियोजना के लक्ष्य और उद्देश्य।

3. समरूपता के प्रकार:

3.1. केंद्रीय समरूपता;

3.2. अक्षीय समरूपता;

3.3. दर्पण समरूपता (एक विमान के बारे में समरूपता);

3.4. घूर्णी समरूपता;

3.5. पोर्टेबल समरूपता.

4 निर्णय।

समरूपता वह विचार है जिसके माध्यम से मनुष्य ने सदियों से व्यवस्था, सौंदर्य और पूर्णता को समझने और बनाने की कोशिश की है।

जी. वेइल

परिचय।

मेरे काम का विषय "8वीं कक्षा की ज्यामिति" पाठ्यक्रम में "अक्षीय और केंद्रीय समरूपता" खंड का अध्ययन करने के बाद चुना गया था। मुझे इस विषय में बहुत रुचि थी. मैं जानना चाहता था: किस प्रकार की समरूपता मौजूद है, वे एक दूसरे से कैसे भिन्न हैं, प्रत्येक प्रकार में सममित आकृतियाँ बनाने के सिद्धांत क्या हैं।

कार्य का लक्ष्य : विभिन्न प्रकार की समरूपता का परिचय।

कार्य:

इस मुद्दे पर साहित्य का अध्ययन करें।

अध्ययन की गई सामग्री को सारांशित और व्यवस्थित करें।

एक प्रेजेंटेशन तैयार करें.

प्राचीन काल में, "सममिति" शब्द का प्रयोग "सद्भाव", "सौंदर्य" के लिए किया जाता था। ग्रीक से अनुवादित, इस शब्द का अर्थ है "किसी बिंदु, सीधी रेखा या तल के विपरीत पक्षों पर किसी चीज़ के हिस्सों की व्यवस्था में आनुपातिकता, आनुपातिकता, समानता।"

समरूपता के दो समूह हैं।

पहले समूह में स्थिति, आकार, संरचनाओं की समरूपता शामिल है। यह वह समरूपता है जिसे प्रत्यक्ष देखा जा सकता है। इसे ज्यामितीय समरूपता कहा जा सकता है।

दूसरा समूह समरूपता की विशेषता बताता है भौतिक घटनाएंऔर प्रकृति के नियम. यह समरूपता दुनिया की प्राकृतिक वैज्ञानिक तस्वीर के मूल में निहित है: इसे भौतिक समरूपता कहा जा सकता है।

मैं पढ़ाई बंद कर दूंगाज्यामितीय समरूपता .

बदले में, ज्यामितीय समरूपता के भी कई प्रकार होते हैं: केंद्रीय, अक्षीय, दर्पण (विमान के सापेक्ष समरूपता), रेडियल (या रोटरी), पोर्टेबल और अन्य। आज मैं 5 प्रकार की समरूपता को देखूंगा।

केंद्रीय समरूपता

दो बिंदु A और A 1 बिंदु O के संबंध में सममित कहलाते हैं यदि वे बिंदु O से गुजरने वाली सीधी रेखा पर स्थित हों और साथ में स्थित हों अलग-अलग पक्षउससे समान दूरी पर. बिंदु O को सममिति का केंद्र कहा जाता है।

कहा जाता है कि आकृति बिंदु के सापेक्ष सममित हैके बारे में , यदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए उस बिंदु के सापेक्ष एक सममित बिंदु हैके बारे में भी इस आंकड़े से संबंधित है. डॉटके बारे में किसी आकृति की समरूपता का केंद्र कहा जाता है, कहा जाता है कि आकृति में केंद्रीय समरूपता है।

केंद्रीय समरूपता वाली आकृतियों के उदाहरण एक वृत्त और एक समांतर चतुर्भुज हैं।

स्लाइड पर दिखाए गए आंकड़े एक निश्चित बिंदु के सापेक्ष सममित हैं

2. अक्षीय समरूपता

दो बिंदुएक्स और वाई एक सीधी रेखा के बारे में सममित कहलाते हैंटी , यदि यह रेखा खंड XY के मध्य से होकर गुजरती है और इसके लंबवत है। यह भी कहना चाहिए कि प्रत्येक बिंदु एक सीधी रेखा हैटी अपने आप में सममित माना जाता है।

सीधाटी - समरूपता की धुरी।

कहा जाता है कि यह आकृति एक सीधी रेखा के प्रति सममित हैटी, यदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए सीधी रेखा के सापेक्ष एक सममित बिंदु हैटी भी इस आंकड़े से संबंधित है.

सीधाटीकिसी आकृति की समरूपता का अक्ष कहा जाता है, आकृति में अक्षीय समरूपता होती है।

एक अविकसित कोण, एक समद्विबाहु कोण और एक कोण में अक्षीय समरूपता होती है। समबाहु त्रिभुज, आयत और समचतुर्भुज,पत्र (प्रस्तुति देखें)।

दर्पण समरूपता (एक समतल के बारे में समरूपता)

दो अंक पी 1 और P को समतल के संबंध में सममित कहा जाता है, और यदि वे एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, विमान के लंबवतए, और उससे समान दूरी पर हैं

दर्पण समरूपता हर व्यक्ति को अच्छी तरह से पता है. यह किसी भी वस्तु और उसके प्रतिबिंब को समतल दर्पण में जोड़ता है। वे कहते हैं कि एक आकृति दूसरी आकृति के दर्पण सममित होती है।

एक समतल पर, सममिति के अनगिनत अक्षों वाली एक आकृति एक वृत्त थी। अंतरिक्ष में, एक गेंद में समरूपता के अनगिनत तल होते हैं।

लेकिन यदि एक वृत्त एक प्रकार का है, तो त्रि-आयामी दुनिया में अनंत संख्या में समरूपता वाले विमानों के साथ निकायों की एक पूरी श्रृंखला होती है: आधार पर एक वृत्त के साथ एक सीधा सिलेंडर, एक गोलाकार आधार के साथ एक शंकु, एक गेंद।

यह स्थापित करना आसान है कि प्रत्येक सममित समतल आकृति को दर्पण का उपयोग करके स्वयं के साथ संरेखित किया जा सकता है। यह आश्चर्य की बात है कि पाँच-कोणीय तारा या समबाहु पंचकोण जैसी जटिल आकृतियाँ भी सममित हैं। जैसा कि यह कुल्हाड़ियों की संख्या से पता चलता है, वे उच्च समरूपता द्वारा प्रतिष्ठित हैं। और इसके विपरीत: यह समझना इतना आसान नहीं है कि ऐसा क्यों प्रतीत होता है सही आंकड़ा, एक तिरछे समांतर चतुर्भुज की तरह, असममित है।

4. पी घूर्णी समरूपता (या रेडियल समरूपता)

घूर्णी समरूपता - यह समरूपता है, किसी वस्तु के आकार का संरक्षण360°/ के बराबर कोण के माध्यम से एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमते समयएन(या इस मान का एक गुणज), जहांएन= 2, 3, 4,… संकेतित अक्ष को रोटरी अक्ष कहा जाता हैएन-वाँ क्रम.

परn=2 आकृति के सभी बिंदु 180 के कोण से घूमते हैं 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) अक्ष के चारों ओर, जबकि आकृति का आकार संरक्षित है, अर्थात। आकृति का प्रत्येक बिंदु उसी आकृति के एक बिंदु पर जाता है (आकृति स्वयं में परिवर्तित हो जाती है)। अक्ष को द्वितीय कोटि का अक्ष कहा जाता है।

चित्र 2 तीसरे क्रम की धुरी दिखाता है, चित्र 3 - चौथा क्रम, चित्र 4 - 5वां क्रम दिखाता है।

किसी वस्तु में एक से अधिक घूर्णन अक्ष हो सकते हैं: चित्र 1 - घूर्णन के 3 अक्ष, चित्र 2 - 4 अक्ष, चित्र 3 - 5 अक्ष, चित्र। 4 - केवल 1 अक्ष

प्रसिद्ध अक्षरों "I" और "F" में घूर्णी समरूपता है। यदि आप अक्षर "I" को अक्षर के तल के लंबवत और उसके केंद्र से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर 180° घुमाते हैं, तो अक्षर स्वयं के साथ संरेखित हो जाएगा। दूसरे शब्दों में, अक्षर "I" 180° के घूर्णन के संबंध में सममित है, 180°= 360°: 2,एन=2, जिसका अर्थ है कि इसमें दूसरे क्रम की समरूपता है।

ध्यान दें कि अक्षर "F" में दूसरे क्रम की घूर्णी समरूपता भी है।

इसके अलावा, अक्षर में समरूपता का एक केंद्र है, और अक्षर F में समरूपता का अक्ष है

आइए जीवन से उदाहरणों पर लौटें: एक गिलास, आइसक्रीम का एक शंकु के आकार का पाउंड, तार का एक टुकड़ा, एक पाइप।

यदि हम इन पिंडों पर करीब से नज़र डालें, तो हम देखेंगे कि ये सभी, किसी न किसी रूप में, एक वृत्त से बने हैं, अनंत संख्या में समरूपता अक्षों के माध्यम से अनगिनत समरूपता तल हैं। इनमें से अधिकांश पिंडों (इन्हें घूर्णन के पिंड कहा जाता है) में, निश्चित रूप से, समरूपता का एक केंद्र (वृत्त का केंद्र) भी होता है, जिसके माध्यम से समरूपता का कम से कम एक घूर्णी अक्ष गुजरता है।

उदाहरण के लिए, आइसक्रीम कोन की धुरी स्पष्ट रूप से दिखाई देती है। यह वृत्त के मध्य से (आइसक्रीम से बाहर चिपकी हुई!) से फ़नल शंकु के नुकीले सिरे तक चलता है। हम किसी पिंड के समरूपता तत्वों की समग्रता को एक प्रकार की समरूपता माप के रूप में देखते हैं। गेंद, बिना किसी संदेह के, समरूपता की दृष्टि से, पूर्णता का एक नायाब अवतार है, एक आदर्श है। प्राचीन यूनानियों ने इसे सबसे उत्तम शरीर और वृत्त को, स्वाभाविक रूप से, सबसे उत्तम सपाट आकृति के रूप में माना था।

किसी विशेष वस्तु की समरूपता का वर्णन करने के लिए, सभी घूर्णन अक्षों और उनके क्रम, साथ ही समरूपता के सभी विमानों को इंगित करना आवश्यक है।

उदाहरण के लिए विचार करें, ज्यामितीय शरीर, दो समान नियमित चतुर्भुज पिरामिडों से बना है।

इसमें चौथे क्रम की एक रोटरी अक्ष (अक्ष AB), दूसरे क्रम की चार रोटरी अक्ष (अक्ष CE,डीएफ, एमपी, एन.क्यू.), समरूपता के पांच तल (तल)।सीडीईएफ, एएफबीडी, एसीबीई, एएमबीपी, एएनबीक्यू).

5 . पोर्टेबल समरूपता

एक अन्य प्रकार की समरूपता हैपोर्टेबल साथ समरूपता

ऐसी समरूपता की बात तब की जाती है, जब किसी आकृति को एक सीधी रेखा के साथ कुछ दूरी "ए" या ऐसी दूरी जो इस मान का एक गुणक हो, तक ले जाते समय वह स्वयं के साथ मेल खाती है वह सीधी रेखा जिसके साथ स्थानांतरण होता है उसे स्थानांतरण अक्ष कहा जाता है, और दूरी "ए" को प्रारंभिक स्थानांतरण, अवधि या समरूपता चरण कहा जाता है।

ए

एक लंबी पट्टी पर समय-समय पर दोहराए जाने वाले पैटर्न को बॉर्डर कहा जाता है। व्यवहार में, बॉर्डर विभिन्न रूपों में पाए जाते हैं (दीवार पेंटिंग, कच्चा लोहा, प्लास्टर बेस-रिलीफ या सिरेमिक)। किसी कमरे को सजाते समय चित्रकारों और कलाकारों द्वारा बॉर्डर का उपयोग किया जाता है। इन आभूषणों को बनाने के लिए एक स्टेंसिल बनाई जाती है। हम स्टेंसिल को घुमाते हैं, इसे पलटते हैं या नहीं, रूपरेखा का पता लगाते हैं, पैटर्न को दोहराते हैं, और हमें एक आभूषण (दृश्य प्रदर्शन) मिलता है।

बॉर्डर को एक स्टेंसिल (प्रारंभिक तत्व) का उपयोग करके बनाना, इसे हिलाना या मोड़ना और पैटर्न को दोहराना आसान है। यह चित्र पाँच प्रकार के स्टेंसिल दिखाता है:ए ) असममित;बी, सी ) समरूपता की एक धुरी होना: क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर;जी ) केंद्रीय रूप से सममित;डी ) सममिति के दो अक्ष हैं: ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज।

सीमाएँ बनाने के लिए, निम्नलिखित परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है:

ए ) समानांतर स्थानांतरण;बी ) ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में समरूपता;वी ) केंद्रीय समरूपता;जी ) क्षैतिज अक्ष के बारे में समरूपता।

आप इसी तरह से सॉकेट बना सकते हैं। ऐसा करने के लिए, वृत्त को विभाजित किया गया हैएन समान सेक्टर, उनमें से एक में एक नमूना पैटर्न बनाया जाता है और फिर बाद वाले को सर्कल के शेष हिस्सों में क्रमिक रूप से दोहराया जाता है, पैटर्न को हर बार 360°/ के कोण से घुमाया जाता है।एन .

एक स्पष्ट उदाहरणतस्वीर में दिखाई गई बाड़ अक्षीय और पोर्टेबल समरूपता के अनुप्रयोग के रूप में काम कर सकती है।

निष्कर्ष: इस प्रकार, वहाँ हैं विभिन्न प्रकारसमरूपता, इनमें से प्रत्येक प्रकार की समरूपता में सममित बिंदु कुछ कानूनों के अनुसार निर्मित होते हैं। जीवन में, हम हर जगह एक प्रकार की समरूपता का सामना करते हैं, और अक्सर हमारे आस-पास की वस्तुओं में, कई प्रकार की समरूपता एक साथ देखी जा सकती है। यह हमारे चारों ओर की दुनिया में व्यवस्था, सुंदरता और पूर्णता पैदा करता है।

साहित्य:

प्रारंभिक गणित की पुस्तिका. एम.या. वायगोडस्की. - प्रकाशन गृह "नौका"। - मॉस्को 1971 – 416 पेज.

आधुनिक शब्दकोश विदेशी शब्द. - एम.: रूसी भाषा, 1993.

स्कूल में गणित का इतिहासनौवीं - एक्सकक्षाएं. जी.आई. ग्लेसर. - प्रकाशन गृह "प्रोस्वेशचेनिये"। – मॉस्को 1983 – 351 पृष्ठ.

दृश्य ज्यामिति 5वीं-6वीं कक्षा। अगर। शैरगिन, एल.एन. एर्गनज़ीवा। - पब्लिशिंग हाउस "ड्रोफ़ा", मॉस्को 2005। – 189 पेज

बच्चों के लिए विश्वकोश. जीवविज्ञान। एस इस्माइलोवा। - अवंता+ पब्लिशिंग हाउस। - मॉस्को 1997 – 704 पेज.

उर्मेंटसेव यू.ए. प्रकृति की समरूपता और समरूपता की प्रकृति - एम.: माइसल arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/

आपको चाहिये होगा

• - सममित बिंदुओं के गुण;
• - सममित आकृतियों के गुण;
• - शासक;
• - वर्ग;
• - दिशा सूचक यंत्र;
• - पेंसिल;
• - कागज़;
• - ग्राफिक संपादक वाला एक कंप्यूटर।

निर्देश

एक सीधी रेखा a खींचिए, जो समरूपता का अक्ष होगी। यदि इसके निर्देशांक निर्दिष्ट नहीं हैं, तो इसे मनमाने ढंग से बनाएं। इस रेखा के एक तरफ एक मनमाना बिंदु A रखें। आपको एक सममित बिंदु खोजने की आवश्यकता है।

मददगार सलाह

ऑटोकैड में समरूपता गुणों का लगातार उपयोग किया जाता है। ऐसा करने के लिए, मिरर विकल्प का उपयोग करें। निर्माण के लिए समद्विबाहु त्रिकोणया एक समद्विबाहु समलम्बाकार, यह निचला आधार और उसके और किनारे के बीच का कोण खींचने के लिए पर्याप्त है। निर्दिष्ट कमांड का उपयोग करके उन्हें प्रतिबिंबित करें और पक्षों को आवश्यक आकार तक बढ़ाएं। एक त्रिभुज के मामले में, यह उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु होगा, और एक समलंब के लिए, यह एक दिया गया मान होगा।

आप लगातार समरूपता का सामना करते हैं ग्राफ़िक संपादकजब आप "ऊर्ध्वाधर/क्षैतिज रूप से फ़्लिप करें" विकल्प का उपयोग करते हैं। इस मामले में, समरूपता की धुरी को चित्र फ़्रेम के ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज पक्षों में से एक के अनुरूप एक सीधी रेखा के रूप में लिया जाता है।

स्रोत:

• केंद्रीय समरूपता कैसे बनाएं

शंकु का अनुप्रस्थ काट बनाना इतना कठिन कार्य नहीं है। मुख्य बात क्रियाओं के सख्त अनुक्रम का पालन करना है। तब इस कार्ययह करना आसान होगा और इसमें आपको अधिक मेहनत की भी आवश्यकता नहीं होगी।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - कलम;
• - घेरा;
• - शासक।

निर्देश

इस प्रश्न का उत्तर देते समय, आपको पहले यह तय करना होगा कि कौन से पैरामीटर अनुभाग को परिभाषित करते हैं।
मान लीजिए यह समतल और बिंदु O के साथ समतल l के प्रतिच्छेदन की सीधी रेखा है, जो इसके खंड के साथ प्रतिच्छेदन है।

निर्माण चित्र 1 में दिखाया गया है। एक खंड के निर्माण में पहला कदम इसके व्यास के खंड के केंद्र से होकर गुजरता है, जो इस रेखा के लंबवत एल तक बढ़ाया जाता है। परिणाम बिंदु L है। इसके बाद, बिंदु O से होकर एक सीधी रेखा LW खींचें, और मुख्य खंड O2M और O2C में स्थित दो गाइड शंकु बनाएं। इन गाइडों के प्रतिच्छेदन पर बिंदु Q स्थित है, साथ ही पहले से दिखाया गया बिंदु W भी है। ये वांछित खंड के पहले दो बिंदु हैं।

अब शंकु BB1 ​​के आधार पर एक लंबवत MS बनाएं और लंबवत खंड O2B और O2B1 के जेनरेटर बनाएं। इस खंड में, बिंदु O से होकर, BB1 के समानांतर एक सीधी रेखा RG खींचें। Т.R और Т.G वांछित अनुभाग के दो और बिंदु हैं। यदि गेंद का क्रॉस सेक्शन ज्ञात होता, तो इसे पहले ही इस स्तर पर बनाया जा सकता था। हालाँकि, यह बिल्कुल भी एक दीर्घवृत्त नहीं है, बल्कि कुछ अण्डाकार है जिसमें खंड QW के संबंध में समरूपता है। इसलिए, आपको सबसे विश्वसनीय स्केच प्राप्त करने के लिए बाद में उन्हें एक चिकने वक्र के साथ जोड़ने के लिए यथासंभव अधिक अनुभाग बिंदु बनाने चाहिए।

एक मनमाना अनुभाग बिंदु का निर्माण करें. ऐसा करने के लिए, शंकु के आधार पर एक मनमाना व्यास AN बनाएं और संबंधित गाइड O2A और O2N बनाएं। टी.ओ के माध्यम से, पीक्यू और डब्ल्यूजी से गुजरने वाली एक सीधी रेखा खींचें जब तक कि यह बिंदु पी और ई पर नव निर्मित गाइडों के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। ये वांछित खंड के दो और बिंदु हैं। इसी तरह आगे बढ़ते हुए, आप जितने चाहें उतने अंक पा सकते हैं।

सच है, QW के संबंध में समरूपता का उपयोग करके उन्हें प्राप्त करने की प्रक्रिया को थोड़ा सरल बनाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आप वांछित खंड के तल में आरजी के समानांतर सीधी रेखाएं एसएस' खींच सकते हैं, जब तक कि वे शंकु की सतह के साथ प्रतिच्छेद न करें। निर्मित पॉलीलाइन को कॉर्ड से गोल करके निर्माण पूरा किया जाता है। QW के संबंध में पहले से उल्लिखित समरूपता के कारण यह वांछित अनुभाग के आधे हिस्से का निर्माण करने के लिए पर्याप्त है।

विषय पर वीडियो

टिप 3: ग्राफ़ कैसे बनाएं त्रिकोणमितीय फलन

आपको चित्र बनाने की आवश्यकता है अनुसूचीत्रिकोणमितीय कार्य? साइनसॉइड के निर्माण के उदाहरण का उपयोग करके क्रियाओं के एल्गोरिदम में महारत हासिल करें। समस्या के समाधान के लिए अनुसंधान विधि का प्रयोग करें।

आपको चाहिये होगा

• - शासक;
• - पेंसिल;
• - त्रिकोणमिति की मूल बातों का ज्ञान।

निर्देश

विषय पर वीडियो

टिप्पणी

यदि एकल-पट्टी हाइपरबोलॉइड के दो अर्ध-अक्ष समान हैं, तो अर्ध-अक्षों के साथ एक हाइपरबोला को घुमाकर आंकड़ा प्राप्त किया जा सकता है, जिनमें से एक उपरोक्त है, और दूसरा, दो समान अर्ध-अक्षों से भिन्न है, चारों ओर काल्पनिक धुरी.

मददगार सलाह

ऑक्सज़ और ओयज़ अक्षों के सापेक्ष इस आंकड़े की जांच करने पर, यह स्पष्ट है कि इसके मुख्य खंड हाइपरबोलस हैं। और जब घूर्णन की इस स्थानिक आकृति को ऑक्सी तल द्वारा काटा जाता है, तो इसका खंड एक दीर्घवृत्त होता है। एकल-पट्टी हाइपरबोलाइड की गर्दन दीर्घवृत्त निर्देशांक की उत्पत्ति से होकर गुजरती है, क्योंकि z=0।

गले के दीर्घवृत्त को समीकरण x²/a² +y²/b²=1 द्वारा वर्णित किया गया है, और अन्य दीर्घवृत्त समीकरण x²/a² +y²/b²=1+h²/c² द्वारा बनाये गये हैं।

स्रोत:

• एलीपोसिड्स, पैराबोलॉइड्स, हाइपरबोलॉइड्स। आयताकार जनरेटर

पाँच-नक्षत्र वाले तारे के आकार का प्राचीन काल से ही मनुष्य द्वारा व्यापक रूप से उपयोग किया जाता रहा है। हम इसके आकार को सुंदर मानते हैं क्योंकि हम अनजाने में इसमें सुनहरे खंड के रिश्तों को पहचानते हैं, यानी। पाँच-नक्षत्र वाले तारे की सुंदरता गणितीय रूप से उचित है। यूक्लिड अपने तत्वों में पांच-नक्षत्र वाले तारे के निर्माण का वर्णन करने वाले पहले व्यक्ति थे। आइए उनके अनुभव से जुड़ें।

आपको चाहिये होगा

• शासक;
• पेंसिल;
• दिशा सूचक यंत्र;
• चांदा

निर्देश

एक तारे का निर्माण उसके शीर्षों के निर्माण और उसके बाद एक के माध्यम से क्रमिक रूप से एक दूसरे से जुड़ने से होता है। सही निर्माण करने के लिए, आपको वृत्त को पाँच भागों में विभाजित करना होगा।
कम्पास का उपयोग करके एक मनमाना वृत्त का निर्माण करें। इसके केंद्र को बिंदु O से चिह्नित करें।

बिंदु A को चिह्नित करें और रेखा खंड OA खींचने के लिए रूलर का उपयोग करें। अब आपको खंड OA को आधे में विभाजित करने की आवश्यकता है; ऐसा करने के लिए, बिंदु A से, त्रिज्या OA का एक चाप तब तक खींचें जब तक कि यह वृत्त को दो बिंदुओं M और N पर प्रतिच्छेद न कर दे। खंड MN की रचना करें। बिंदु E जहां MN, OA को काटता है, खंड OA को समद्विभाजित करेगा।

लम्ब OD को त्रिज्या OA पर पुनर्स्थापित करें और बिंदु D और E को जोड़ें। त्रिज्या ED के साथ बिंदु E से OA पर एक पायदान B बनाएं।

अब, रेखा खंड DB का उपयोग करके, वृत्त को पाँच बराबर भागों में चिह्नित करें। नियमित पंचकोण के शीर्षों को 1 से 5 तक की संख्याओं के साथ क्रमिक रूप से लेबल करें। निम्नलिखित क्रम में बिंदुओं को जोड़ें: 1 को 3 के साथ, 2 को 4 के साथ, 3 को 5 के साथ, 4 को 1 के साथ, 5 को 2 के साथ। यहाँ नियमित पाँच-बिंदु है तारा, एक नियमित पंचकोण में। यह ठीक उसी तरह है जैसे मैंने इसे बनाया है

लक्ष्य:

• शैक्षिक:
  • समरूपता का एक विचार दें;
  • समतल और अंतरिक्ष में मुख्य प्रकार की समरूपता का परिचय दे सकेंगे;
  • सममित आकृतियाँ बनाने में मजबूत कौशल विकसित करना;
  • समरूपता से जुड़े गुणों का परिचय देकर प्रसिद्ध आकृतियों के बारे में अपनी समझ का विस्तार करें;
  • हल करते समय समरूपता का उपयोग करने की संभावनाएँ दिखाएँ विभिन्न कार्य;
  • अर्जित ज्ञान को समेकित करना;
• सामान्य शिक्षा:
  • अपने आप को सिखाएं कि काम के लिए खुद को कैसे तैयार करें;
  • अपने आप को और अपने डेस्क पड़ोसी को नियंत्रित करना सिखाएं;
  • अपना और अपने डेस्क पड़ोसी का मूल्यांकन करना सिखाएं;
• विकसित होना:
  • तेज स्वतंत्र गतिविधि;
  • विकास करना संज्ञानात्मक गतिविधि;
  • प्राप्त जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत करना और व्यवस्थित करना सीखें;
• शैक्षिक:
  • छात्रों में "कंधे की भावना" विकसित करना;
  • संचार कौशल विकसित करना;
  • संचार की संस्कृति स्थापित करें।

कक्षाओं के दौरान

प्रत्येक व्यक्ति के सामने कैंची और कागज की एक शीट है।

अभ्यास 1(3 मिनट).

- आइए कागज की एक शीट लें, इसे टुकड़ों में मोड़ें और कुछ आकृतियां काट लें। अब शीट को खोलें और फ़ोल्ड लाइन को देखें।

सवाल:यह लाइन क्या कार्य करती है?

प्रस्तावित उत्तर:यह रेखा आकृति को आधे भाग में विभाजित करती है।

सवाल:आकृति के सभी बिंदु दो परिणामी हिस्सों पर कैसे स्थित हैं?

प्रस्तावित उत्तर:हिस्सों के सभी बिंदु गुना रेखा से समान दूरी पर और समान स्तर पर हैं।

- इसका मतलब यह है कि मोड़ रेखा आकृति को आधे में विभाजित करती है ताकि 1 आधा 2 हिस्सों की एक प्रति हो, यानी। यह रेखा सरल नहीं है, इसमें एक उल्लेखनीय गुण है (इसके सापेक्ष सभी बिंदु समान दूरी पर हैं), यह रेखा समरूपता की धुरी है।

कार्य 2 (दो मिनट)।

- एक बर्फ के टुकड़े को काटें, समरूपता की धुरी ढूंढें, इसका लक्षण वर्णन करें।

कार्य 3 (5 मिनट)।

– अपनी नोटबुक में एक वृत्त बनाएं.

सवाल:निर्धारित करें कि समरूपता का अक्ष कैसे जाता है?

प्रस्तावित उत्तर:अलग ढंग से.

सवाल:तो एक वृत्त में सममिति के कितने अक्ष होते हैं?

प्रस्तावित उत्तर:बहुत ज़्यादा।

- यह सही है, एक वृत्त में सममिति के कई अक्ष होते हैं। एक समान रूप से उल्लेखनीय आकृति एक गेंद (स्थानिक आकृति) है

सवाल:अन्य कौन सी आकृतियों में समरूपता के एक से अधिक अक्ष हैं?

प्रस्तावित उत्तर:वर्ग, आयत, समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज।

- त्रि-आयामी आकृतियों पर विचार करें: घन, पिरामिड, शंकु, सिलेंडर, आदि। इन आकृतियों में समरूपता का एक अक्ष भी होता है। निर्धारित करें कि वर्ग, आयत, समबाहु त्रिभुज और प्रस्तावित त्रि-आयामी आकृतियों में समरूपता के कितने अक्ष हैं?

मैं विद्यार्थियों को प्लास्टिसिन से बनी आकृतियों के आधे भाग वितरित करता हूँ।

कार्य 4 (3 मिनट).

- प्राप्त जानकारी का उपयोग करते हुए चित्र के छूटे हुए भाग को पूरा करें।

टिप्पणी: आकृति समतल और त्रि-आयामी दोनों हो सकती है। यह महत्वपूर्ण है कि छात्र यह निर्धारित करें कि समरूपता की धुरी कैसे चलती है और छूटे हुए तत्व को पूरा करें। कार्य की शुद्धता डेस्क पर बैठे पड़ोसी द्वारा निर्धारित की जाती है और मूल्यांकन किया जाता है कि कार्य कितना सही ढंग से किया गया है।

डेस्कटॉप पर एक ही रंग के फीते से एक रेखा (बंद, खुली, स्व-प्रतिच्छेदन के साथ, स्व-प्रतिच्छेदन के बिना) बिछाई जाती है।

कार्य 5 (समूह कार्य 5 मिनट)।

- समरूपता की धुरी को दृष्टिगत रूप से निर्धारित करें और, उसके सापेक्ष, दूसरे भाग को एक अलग रंग के फीते से पूरा करें।

किए गए कार्य की शुद्धता छात्रों द्वारा स्वयं निर्धारित की जाती है।

चित्र के तत्व छात्रों को प्रस्तुत किए जाते हैं

कार्य 6 (दो मिनट)।

- इन रेखाचित्रों के सममित भाग खोजें।

कवर की गई सामग्री को समेकित करने के लिए, मैं 15 मिनट के लिए निर्धारित निम्नलिखित कार्यों का सुझाव देता हूं:

त्रिभुज KOR और KOM के सभी समान तत्वों के नाम बताइए। ये किस प्रकार के त्रिभुज हैं?

2. अपनी नोटबुक में 6 सेमी के सामान्य आधार के साथ कई समद्विबाहु त्रिभुज बनाएं।

3. एक खंड AB खींचिए। इसके मध्यबिंदु से गुजरने वाले लम्बवत् एक रेखाखंड AB की रचना कीजिए। इस पर बिंदु C और D अंकित करें ताकि चतुर्भुज ACBD सीधी रेखा AB के संबंध में सममित हो।

- रूप के बारे में हमारे प्रारंभिक विचार प्राचीन पाषाण युग - पुरापाषाण काल ​​​​के बहुत दूर के युग से मिलते हैं। इस अवधि के सैकड़ों-हजारों वर्षों तक, लोग गुफाओं में रहते थे, ऐसी स्थितियों में जो जानवरों के जीवन से थोड़ी भिन्न थीं। लोगों ने शिकार और मछली पकड़ने के लिए उपकरण बनाए, एक-दूसरे के साथ संवाद करने के लिए एक भाषा विकसित की, और पुरापाषाण युग के उत्तरार्ध के दौरान उन्होंने कला, मूर्तियों और चित्रों के निर्माण से अपने अस्तित्व को सुशोभित किया जो एक उल्लेखनीय रूप की भावना को प्रकट करते हैं।
जब भोजन के साधारण संग्रह से उसके सक्रिय उत्पादन की ओर, शिकार और मछली पकड़ने से कृषि की ओर संक्रमण हुआ, तो मानवता ने एक नए चरण में प्रवेश किया पाषाण युग, नवपाषाण काल ​​में।
नवपाषाणकालीन मनुष्य को ज्यामितीय आकृतियों की गहरी समझ थी। मिट्टी के बर्तनों को जलाना और रंगना, ईख की चटाइयाँ, टोकरियाँ, कपड़े बनाना और बाद में धातु प्रसंस्करण से समतल और स्थानिक आकृतियों के बारे में विचार विकसित हुए। नवपाषाणकालीन आभूषण आंखों को भाते थे, समानता और समरूपता प्रकट करते थे।
– प्रकृति में समरूपता कहाँ पाई जाती है?

प्रस्तावित उत्तर:तितलियों के पंख, भृंग, पेड़ के पत्ते...

– वास्तुकला में भी समरूपता देखी जा सकती है। इमारतों का निर्माण करते समय, बिल्डर समरूपता का सख्ती से पालन करते हैं।

इसीलिए इमारतें इतनी सुंदर बनती हैं। समरूपता का एक उदाहरण मनुष्य और जानवर भी हैं।

गृहकार्य:

1. अपना खुद का आभूषण लेकर आएं, इसे A4 शीट पर बनाएं (आप इसे कालीन के रूप में भी बना सकते हैं)।
2. तितलियां बनाएं, ध्यान दें कि समरूपता के तत्व कहां मौजूद हैं।

कुछ ज्यामितीय आकृतियों के गुणों के रूप में अक्षीय और केंद्रीय समरूपता पर विचार करें; कुछ ज्यामितीय आकृतियों के गुणों के रूप में अक्षीय और केंद्रीय समरूपता पर विचार करें; सममित बिंदु बनाने में सक्षम होना और उन आकृतियों को पहचानने में सक्षम होना जो किसी बिंदु या रेखा के संबंध में सममित हैं; सममित बिंदु बनाने में सक्षम होना और उन आकृतियों को पहचानने में सक्षम होना जो किसी बिंदु या रेखा के संबंध में सममित हैं; समस्या समाधान कौशल में सुधार; समस्या समाधान कौशल में सुधार; ज्यामितीय रेखाचित्रों को सटीक रूप से रिकॉर्ड करने और पूरा करने पर काम करना जारी रखें; ज्यामितीय रेखाचित्रों को सटीक रूप से रिकॉर्ड करने और पूरा करने पर काम करना जारी रखें;

मौखिक कार्य "कोमल प्रश्नोत्तरी" मौखिक कार्य "कोमल प्रश्नोत्तरी" किस बिंदु को खंड का मध्य कहा जाता है? कौन सा त्रिभुज समद्विबाहु कहलाता है? समचतुर्भुज के विकर्णों में क्या गुण होते हैं? एक समद्विबाहु त्रिभुज का समद्विभाजक गुण बताएं। कौन सी रेखाएँ लम्बवत कहलाती हैं? कौन सा त्रिभुज समबाहु कहलाता है? एक वर्ग के विकर्णों में क्या गुण होते हैं? कौन से अंक समान कहलाते हैं?

आपने कक्षा में किन नई अवधारणाओं के बारे में सीखा? आपने कक्षा में किन नई अवधारणाओं के बारे में सीखा? आपने ज्यामितीय आकृतियों के बारे में कौन सी नई चीज़ें सीखी हैं? आपने ज्यामितीय आकृतियों के बारे में कौन सी नई चीज़ें सीखी हैं? उन ज्यामितीय आकृतियों के उदाहरण दीजिए जिनमें अक्षीय समरूपता है। उन ज्यामितीय आकृतियों के उदाहरण दीजिए जिनमें अक्षीय समरूपता है। उन आकृतियों का उदाहरण दीजिए जिनमें केंद्रीय समरूपता है। उन आकृतियों का उदाहरण दीजिए जिनमें केंद्रीय समरूपता है। आसपास के जीवन की वस्तुओं के उदाहरण दीजिए जिनमें एक या दो प्रकार की समरूपता होती है। आस-पास के जीवन की वस्तुओं के उदाहरण दीजिए जिनमें एक या दो प्रकार की समरूपता होती है।