Տարբերակիչները, ինչպես նաև քառակուսի հավասարումները, սկսում են ուսումնասիրվել հանրահաշվի դասընթացում 8-րդ դասարանում: Դուք կարող եք լուծել քառակուսի հավասարում դիսկրիմինանտի միջոցով և օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Ուսումնասիրության մեթոդիկա քառակուսի հավասարումներ, ինչպես նաև խտրական բանաձևերը բավականին անհաջող կերպով ներարկվում են դպրոցականների մեջ, ինչպես շատ բաներ իրական կրթության մեջ։ Հետևաբար անցեք դպրոցական տարիներ, 9-11-րդ դասարաններում վերապատրաստումը փոխարինում է » բարձրագույն կրթություն«Եվ բոլորը նորից նայում են. «Ինչպե՞ս լուծել քառակուսի հավասարումը», «Ինչպե՞ս գտնել հավասարման արմատները», «Ինչպե՞ս գտնել դիսկրիմինատորը»։ Եվ...

Խտրականության բանաձև

a*x^2+bx+c=0 քառակուսի հավասարման D դիսկրիմինանտը D=b^2–4*a*c է։
Քառակուսային հավասարման արմատները (լուծումները) կախված են դիսկրիմինանտի նշանից (D).
D>0 - հավասարումն ունի 2 տարբեր իրական արմատ;
D=0 - հավասարումն ունի 1 արմատ (2 համընկնող արմատ).
Դ<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Տարբերակիչի հաշվարկման բանաձևը բավականին պարզ է, ուստի շատ կայքեր առաջարկում են առցանց տարբերակիչ հաշվիչ: Մենք դեռ չենք պարզել այս տեսակի սցենարները, այնպես որ, ով գիտի, թե ինչպես դա իրականացնել, խնդրում ենք գրել փոստին Այս էլ. փոստի հասցեն պաշտպանված է սպամ-բոթերից: Դիտելու համար պետք է միացված լինի JavaScript-ը: .

Քառակուսային հավասարման արմատները գտնելու ընդհանուր բանաձև:

Հավասարման արմատները գտնվում են բանաձևով
Եթե ​​քառակուսիում փոփոխականի գործակիցը զուգակցված է, ապա նպատակահարմար է հաշվարկել ոչ թե դիսկրիմինանտը, այլ դրա չորրորդ մասը.
Նման դեպքերում հավասարման արմատները հայտնաբերվում են բանաձևով

Արմատներ գտնելու երկրորդ եղանակը Վիետայի թեորեմն է։

Թեորեմը ձևակերպված է ոչ միայն քառակուսի հավասարումների, այլև բազմանդամների համար։ Սա կարող եք կարդալ Վիքիպեդիայում կամ այլ էլեկտրոնային աղբյուրներում։ Այնուամենայնիվ, պարզեցնելու համար հաշվի առեք դրա այն մասը, որը վերաբերում է կրճատված քառակուսային հավասարումների, այսինքն՝ (a=1) ձևի հավասարումների։
Վիետայի բանաձևերի էությունն այն է, որ հավասարման արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով վերցված փոփոխականի գործակցին։ Հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Վիետայի թեորեմի բանաձեւերն ունեն նշում.
Վիետայի բանաձևի ածանցումը բավականին պարզ է. Գրենք քառակուսի հավասարումը պարզ գործակիցներով
Ինչպես տեսնում եք, ամեն հնարամիտ միևնույն ժամանակ պարզ է։ Արդյունավետ է օգտագործել Վիետայի բանաձևը, երբ արմատների մոդուլի տարբերությունը կամ արմատների մոդուլի տարբերությունը 1, 2 է: Օրինակ, հետևյալ հավասարումները, ըստ Վիետայի թեորեմի, ունեն արմատներ.




Մինչև 4 հավասարումների վերլուծությունը պետք է այսպիսի տեսք ունենա. Հավասարման արմատների արտադրյալը 6 է, ուստի արմատները կարող են լինել (1, 6) և (2, 3) արժեքները կամ հակառակ նշանով զույգեր։ Արմատների գումարը 7 է (հակառակ նշանով փոփոխականի գործակիցը)։ Այստեղից եզրակացնում ենք, որ քառակուսի հավասարման լուծումները հավասար են x=2; x=3.
Ազատ անդամի բաժանարարներից ավելի հեշտ է ընտրել հավասարման արմատները՝ շտկելով դրանց նշանը՝ Վիետայի բանաձևերը կատարելու համար։ Սկզբում դա դժվար է թվում անել, բայց մի շարք քառակուսի հավասարումների պրակտիկայի դեպքում այս տեխնիկան ավելի արդյունավետ կլինի, քան դիսկրիմինանտը հաշվարկելը և քառակուսի հավասարման արմատները դասական եղանակով գտնելը:
Ինչպես տեսնում եք, դիսկրիմինանտը ուսումնասիրելու դպրոցական տեսությունը և հավասարման լուծումներ գտնելու ուղիները զուրկ են գործնական իմաստից. «Դպրոցականներին ինչի՞ն է պետք քառակուսի հավասարումը», «Ո՞րն է խտրականի ֆիզիկական իմաստը».

Փորձենք պարզել այն ինչ է նկարագրում խտրականը:

Հանրահաշվի ընթացքում ուսումնասիրում են ֆունկցիաներ, ֆունկցիաների ուսումնասիրման սխեմաներ և ֆունկցիաներ գծագրելու համար։ Բոլոր գործառույթներից կարևոր տեղ է զբաղեցնում պարաբոլան, որի հավասարումը կարելի է գրել ձևով.
Այսպիսով, քառակուսի հավասարման ֆիզիկական իմաստը պարաբոլայի զրոներն են, այսինքն՝ ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերը Ox աբսցիսային առանցքի հետ։
Ես խնդրում եմ ձեզ հիշել պարաբոլների հատկությունները, որոնք նկարագրված են ստորև: Կգա քննություններ, թեստեր կամ ընդունելության քննություններ հանձնելու ժամանակը, և դուք երախտապարտ կլինեք տեղեկատվական նյութի համար: Քառակուսի փոփոխականի նշանը համապատասխանում է նրան, թե արդյոք գրաֆիկի վրա պարաբոլայի ճյուղերը կբարձրանան (a>0),

կամ պարաբոլա՝ ներքեւ ճյուղերով (ա<0) .

Պարաբոլայի գագաթը գտնվում է արմատների միջև

Խտրականի ֆիզիկական իմաստը.

Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է (D>0), պարաբոլան ունի երկու հատման կետ Ox առանցքի հետ:
Եթե ​​դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի (D=0), ապա վերևում գտնվող պարաբոլան դիպչում է x առանցքին:
Եվ վերջին դեպքը, երբ խտրական զրոյից պակաս(Դ<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Անավարտ քառակուսի հավասարումներ

Հանրահաշվի դպրոցական ծրագրի ողջ դասընթացի մեջ ամենածավալուն թեմաներից մեկը քառակուսի հավասարումների թեման է։ Այս դեպքում քառակուսի հավասարումը հասկացվում է որպես ax 2 + bx + c \u003d 0 ձևի հավասարում, որտեղ a ≠ 0 (դա կարդում է. x-ով բազմապատկել քառակուսի գումարած x գումարած ce հավասար է զրոյի, որտեղ a. հավասար չէ զրոյի): Այս դեպքում հիմնական տեղը զբաղեցնում են նշված տիպի քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտը գտնելու բանաձևերը, որոնք հասկացվում են որպես արտահայտություն, որը թույլ է տալիս որոշել քառակուսի հավասարման մեջ արմատների առկայությունը կամ բացակայությունը, ինչպես նաև. դրանց թիվը (եթե այդպիսիք կան):

Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտի բանաձևը (հավասարումը):

Քառակուսային հավասարման տարբերակիչի ընդհանուր ընդունված բանաձևը հետևյալն է. D \u003d b 2 - 4ac: Նշված բանաձևով դիսկրիմինանտը հաշվարկելով՝ կարելի է ոչ միայն որոշել քառակուսի հավասարման արմատների առկայությունը և թիվը, այլև ընտրել այդ արմատները գտնելու մեթոդ, որոնցից մի քանիսը կան՝ կախված քառակուսի հավասարման տեսակից:

Ի՞նչ է նշանակում, եթե դիսկրիմինանտը զրո է \ Քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը, եթե դիսկրիմինանտը զրո է

Բանաձևից բխող դիսկրիմինանտը նշվում է լատիներեն D տառով: Այն դեպքում, երբ դիսկրիմինանտը զրո է, պետք է եզրակացնել, որ ax 2 + bx + c = 0 ձևի քառակուսային հավասարումը, որտեղ a ≠ 0. , ունի միայն մեկ արմատ, որը հաշվարկվում է պարզեցված բանաձևով։ Այս բանաձևը կիրառվում է միայն այն դեպքում, երբ դիսկրիմինանտը զրո է և ունի հետևյալ տեսքը. x = –b/2a, որտեղ x-ը քառակուսի հավասարման արմատն է, b և a-ն քառակուսի հավասարման համապատասխան փոփոխականներն են: Քառակուսային հավասարման արմատը գտնելու համար անհրաժեշտ է b փոփոխականի բացասական արժեքը բաժանել a փոփոխականի արժեքի կրկնապատիկի վրա։ Ստացված արտահայտությունը կլինի քառակուսի հավասարման լուծում:

Քառակուսային հավասարման լուծում դիսկրիմինանտի միջոցով

Եթե ​​վերը նշված բանաձևով դիսկրիմինանտը հաշվարկելիս ստացվում է դրական արժեք (D-ն զրոյից մեծ է), ապա քառակուսի հավասարումն ունի երկու արմատ, որոնք հաշվարկվում են հետևյալ բանաձևերով՝ x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) /2a. Ամենից հաճախ, դիսկրիմինանտը չի հաշվարկվում առանձին, բայց արմատային արտահայտությունը տարբերակիչ բանաձևի տեսքով պարզապես փոխարինվում է D արժեքով, որից արմատը հանվում է: Եթե ​​b փոփոխականն ունի զույգ արժեք, ապա ax 2 + bx + c = 0 ձևի քառակուսի հավասարման արմատները հաշվարկելու համար, որտեղ a ≠ 0, կարող եք օգտագործել նաև հետևյալ բանաձևերը. x 1 = (–k +): v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, որտեղ k = b/2.

Որոշ դեպքերում, քառակուսի հավասարումների գործնական լուծման համար կարող եք օգտագործել Վիետայի թեորեմը, որն ասում է, որ x 2 + px + q \u003d 0 ձևի քառակուսի հավասարման արմատների գումարի համար, արժեքը x 1 + x 2 \u003d -p կլինի վավեր, իսկ նշված հավասարման արմատների արտադրյալի համար՝ արտահայտություն x 1 xx 2 = q:

Կարո՞ղ է տարբերակիչ լինել զրոյից պակաս:

Դիսկրիմինանտի արժեքը հաշվարկելիս կարելի է հանդիպել մի իրավիճակի, որը չի պատկանում նկարագրված դեպքերից ոչ մեկին. երբ դիսկրիմինանտն ունի բացասական արժեք (այսինքն՝ զրոյից պակաս): Այս դեպքում համարվում է, որ ax 2 + bx + c = 0 ձևի քառակուսի հավասարումը, որտեղ a ≠ 0, չունի իրական արմատներ, հետևաբար, դրա լուծումը կսահմանափակվի դիսկրիմինանտի հաշվարկով, իսկ վերը նշված բանաձևերը. քառակուսի հավասարման արմատները այս դեպքըչի կիրառվի. Միաժամանակ քառակուսի հավասարման պատասխանում գրված է, որ «հավասարումն իրական արմատներ չունի»։

Բացատրող տեսանյութ.

Առաջին մակարդակ

Քառակուսային հավասարումներ. Համապարփակ ուղեցույց (2019)

«Քառակուսի հավասարում» տերմինում հիմնական բառը «քառակուսի» է: Սա նշանակում է, որ հավասարումը պետք է անպայմանորեն քառակուսիում պարունակի փոփոխական (նույն X), իսկ երրորդ (կամ ավելի մեծ) աստիճանում չպետք է լինի Xs։

Շատ հավասարումների լուծումը վերածվում է քառակուսի հավասարումների լուծման:

Եկեք սովորենք որոշել, որ մենք ունենք քառակուսի հավասարում, և ոչ թե ուրիշ:

Օրինակ 1

Ազատվեք հայտարարից և հավասարման յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկեք

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ կողմ և տերմինները դասավորենք x-ի հզորությունների նվազման կարգով

Այժմ մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ այս հավասարումը քառակուսի է:

Օրինակ 2

Ձախ և աջ կողմերը բազմապատկեք հետևյալով.

Այս հավասարումը, թեև ի սկզբանե դրա մեջ էր, քառակուսի չէ:

Օրինակ 3

Եկեք ամեն ինչ բազմապատկենք հետևյալով.

Վախկոտ? Չորրորդ և երկրորդ աստիճանները... Այնուամենայնիվ, եթե փոխարինենք, կտեսնենք, որ ունենք պարզ քառակուսի հավասարում.

Օրինակ 4

Թվում է, թե այդպես է, բայց եկեք ավելի ուշադիր նայենք: Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ կողմը.

Տեսնում եք, այն փոքրացել է, և այժմ դա պարզ գծային հավասարում է:

Այժմ փորձեք ինքներդ որոշել, թե ստորև բերված հավասարումներից որոնք են քառակուսի և որոնք՝ ոչ.

Օրինակներ.

Պատասխանները:

1. քառակուսի;
2. քառակուսի;
3. ոչ քառակուսի;
4. ոչ քառակուսի;
5. ոչ քառակուսի;
6. քառակուսի;
7. ոչ քառակուսի;
8. քառակուսի.

Մաթեմատիկոսները բոլոր քառակուսի հավասարումները պայմանականորեն բաժանում են հետևյալ տեսակների.

• Լրացրեք քառակուսի հավասարումներ- հավասարումներ, որոնցում գործակիցները և, ինչպես նաև c ազատ անդամը, հավասար չեն զրոյի (ինչպես օրինակում): Բացի այդ, ամբողջական քառակուսի հավասարումների թվում կան տրվածհավասարումներ են, որոնցում գործակիցը (օրինակ առաջինի հավասարումը ոչ միայն ամբողջական է, այլև կրճատված է):

• Անավարտ քառակուսի հավասարումներ- հավասարումներ, որոնցում c գործակիցը և կամ ազատ անդամը հավասար են զրոյի.

  Դրանք թերի են, քանի որ դրանցից ինչ-որ տարր բացակայում է: Բայց հավասարումը միշտ պետք է պարունակի x քառակուսի !!! Հակառակ դեպքում դա արդեն կլինի ոչ թե քառակուսի, այլ ինչ-որ այլ հավասարում։

Ինչո՞ւ են նման բաժանում մտածել։ Թվում է, թե կա X քառակուսի, և լավ: Նման բաժանումը պայմանավորված է լուծման մեթոդներով։ Դիտարկենք դրանցից յուրաքանչյուրը ավելի մանրամասն:

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Նախ, եկեք կենտրոնանանք թերի քառակուսի հավասարումների լուծման վրա. դրանք շատ ավելի պարզ են:

Անավարտ քառակուսի հավասարումները լինում են հետևյալ տեսակների.

1. , այս հավասարման մեջ գործակիցը հավասար է։
2. , այս հավասարման մեջ ազատ անդամը հավասար է.
3. , այս հավասարման մեջ գործակիցը և ազատ անդամը հավասար են։

1. i. Քանի որ մենք գիտենք, թե ինչպես վերցնել քառակուսի արմատը, եկեք արտահայտենք այս հավասարումից

Արտահայտությունը կարող է լինել կամ բացասական կամ դրական: Քառակուսի թիվը չի կարող բացասական լինել, քանի որ երկու բացասական կամ երկու դրական թվեր բազմապատկելիս արդյունքը միշտ կլինի դրական թիվ, հետևաբար՝ եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի։

Իսկ եթե, ապա մենք ստանում ենք երկու արմատ. Այս բանաձեւերը անգիր անելու կարիք չունեն։ Հիմնական բանը այն է, որ դուք միշտ պետք է իմանաք և հիշեք, որ դա չի կարող պակաս լինել:

Փորձենք լուծել մի քանի օրինակ։

Օրինակ 5:

Լուծե՛ք հավասարումը

Այժմ մնում է արմատը հանել ձախ և աջ մասերից։ Ի վերջո, հիշո՞ւմ եք, թե ինչպես կարելի է արմատները հանել:

Պատասխան.

Երբեք մի մոռացեք բացասական նշան ունեցող արմատների մասին!!!

Օրինակ 6:

Լուծե՛ք հավասարումը

Պատասխան.

Օրինակ 7:

Լուծե՛ք հավասարումը

Օ՜ Թվի քառակուսին չի կարող բացասական լինել, ինչը նշանակում է, որ հավասարումը

ոչ արմատներ!

Նման հավասարումների համար, որոնցում արմատներ չկան, մաթեմատիկոսները եկան հատուկ պատկերակ՝ (դատարկ հավաքածու): Իսկ պատասխանը կարելի է գրել այսպես.

Պատասխան.

Այսպիսով, այս քառակուսի հավասարումն ունի երկու արմատ. Այստեղ սահմանափակումներ չկան, քանի որ մենք չենք հանել արմատը:
Օրինակ 8:

Լուծե՛ք հավասարումը

Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

Այս կերպ,

Այս հավասարումն ունի երկու արմատ.

Պատասխան.

Անավարտ քառակուսի հավասարումների ամենապարզ տեսակը (թեև դրանք բոլորն էլ պարզ են, չէ՞): Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

Այստեղ մենք կանենք առանց օրինակների.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծում

Հիշեցնում ենք, որ ամբողջական քառակուսի հավասարումը ձևի հավասարման հավասարումն է, որտեղ

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումը մի փոքր ավելի բարդ է (միայն մի փոքր), քան տրվածները:

Հիշիր, ցանկացած քառակուսի հավասարում կարելի է լուծել՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը: Անգամ թերի։

Մնացած մեթոդները կօգնեն ձեզ դա անել ավելի արագ, բայց եթե խնդիրներ ունեք քառակուսի հավասարումների հետ, նախ յուրացրեք լուծումը՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը:

1. Քառակուսային հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը:

Այս կերպ քառակուսի հավասարումներ լուծելը շատ պարզ է, գլխավորը՝ հիշել գործողությունների հաջորդականությունը և մի քանի բանաձև։

Եթե, ապա հավասարումն ունի արմատ։Հատուկ ուշադրություն պետք է դարձնել քայլին։ Տարբերիչը () ցույց է տալիս մեզ հավասարման արմատների թիվը:

• Եթե, ապա քայլի բանաձևը կկրճատվի մինչև. Այսպիսով, հավասարումը կունենա միայն արմատ:
• Եթե, ապա մենք չենք կարողանա գտնել տարբերակիչի արմատը քայլում: Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը արմատներ չունի:

Եկեք վերադառնանք մեր հավասարումներին և նայենք մի քանի օրինակների:

Օրինակ 9:

Լուծե՛ք հավասարումը

Քայլ 1բաց թողնել.

Քայլ 2

Գտնել տարբերակիչ.

Այսպիսով, հավասարումն ունի երկու արմատ:

Քայլ 3

Պատասխան.

Օրինակ 10:

Լուծե՛ք հավասարումը

Հավասարումը ստանդարտ ձևով է, ուստի Քայլ 1բաց թողնել.

Քայլ 2

Գտնել տարբերակիչ.

Այսպիսով, հավասարումն ունի մեկ արմատ:

Պատասխան.

Օրինակ 11:

Լուծե՛ք հավասարումը

Հավասարումը ստանդարտ ձևով է, ուստի Քայլ 1բաց թողնել.

Քայլ 2

Գտնել տարբերակիչ.

Սա նշանակում է, որ մենք չենք կարողանա արմատը հանել խտրականից։ Հավասարման արմատներ չկան։

Այժմ մենք գիտենք, թե ինչպես ճիշտ գրել նման պատասխանները:

Պատասխան.ոչ մի արմատ

2. Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ քառակուսի հավասարումների լուծում.

Եթե ​​հիշում եք, ապա կա այնպիսի տիպի հավասարումներ, որոնք կոչվում են կրճատված (երբ a գործակիցը հավասար է).

Նման հավասարումները շատ հեշտ է լուծել՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը.

Արմատների գումարը տրվածքառակուսի հավասարումը հավասար է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է։

Օրինակ 12:

Լուծե՛ք հավասարումը

Այս հավասարումը հարմար է Վիետայի թեորեմը լուծելու համար, քանի որ .

Հավասարման արմատների գումարը, այսինքն. մենք ստանում ենք առաջին հավասարումը.

Իսկ արտադրանքը հետևյալն է.

Եկեք ստեղծենք և լուծենք համակարգը.

• Եվ. Գումարն է;
• Եվ. Գումարն է;
• Եվ. Գումարը հավասար է։

և համակարգի լուծումն են.

Պատասխան. ; .

Օրինակ 13:

Լուծե՛ք հավասարումը

Պատասխան.

Օրինակ 14:

Լուծե՛ք հավասարումը

Հավասարումը կրճատվում է, ինչը նշանակում է.

Պատասխան.

ՔՈՎԱԴՐԱՏԻԿ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ. ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը:

Այլ կերպ ասած, քառակուսի հավասարումը ձևի հավասարումն է, որտեղ - անհայտ, - որոշ թվեր, ընդ որում:

Թիվը կոչվում է ամենաբարձր կամ առաջին գործակիցըքառակուսի հավասարում, - երկրորդ գործակիցը, բայց - ազատ անդամ.

Ինչո՞ւ։ Որովհետև եթե, ապա հավասարումը անմիջապես կդառնա գծային, քանի որ կվերանա։

Այս դեպքում և կարող է հավասար լինել զրոյի: Այս կղանքի հավասարումը կոչվում է թերի: Եթե ​​բոլոր տերմինները տեղում են, այսինքն, հավասարումը ամբողջական է:

Տարբեր տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծումներ

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ.

Սկզբից մենք կվերլուծենք թերի քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդները. դրանք ավելի պարզ են:

Կարելի է առանձնացնել հավասարումների հետևյալ տեսակները.

I. , այս հավասարման մեջ գործակիցը և ազատ անդամը հավասար են։

II. , այս հավասարման մեջ գործակիցը հավասար է։

III. , այս հավասարման մեջ ազատ անդամը հավասար է.

Այժմ դիտարկենք այս ենթատեսակներից յուրաքանչյուրի լուծումը:

Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

Քառակուսում գտնվող թիվը չի կարող բացասական լինել, քանի որ երկու բացասական կամ երկու դրական թվեր բազմապատկելիս արդյունքը միշտ կլինի դրական թիվ: Ահա թե ինչու:

եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի.

եթե երկու արմատ ունենանք

Այս բանաձեւերը անգիր անելու կարիք չունեն։ Հիմնական բանը հիշելն այն է, որ այն չի կարող պակաս լինել:

Օրինակներ.

Լուծումներ:

Պատասխան.

Երբեք մի մոռացեք բացասական նշան ունեցող արմատների մասին:

Թվի քառակուսին չի կարող բացասական լինել, ինչը նշանակում է, որ հավասարումը

ոչ մի արմատ:

Համառոտ գրելու համար, որ խնդիրը լուծումներ չունի, մենք օգտագործում ենք դատարկ set պատկերակը։

Պատասխան.

Այսպիսով, այս հավասարումը երկու արմատ ունի՝ և.

Պատասխան.

Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։ Սա նշանակում է, որ հավասարումը լուծում ունի, երբ.

Այսպիսով, այս քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի՝ և.

Օրինակ:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Մենք գործոնացնում ենք հավասարման ձախ կողմը և գտնում ենք արմատները.

Պատասխան.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ.

1. Խտրական

Այս կերպ քառակուսի հավասարումներ լուծելը հեշտ է, գլխավորը՝ հիշել գործողությունների հաջորդականությունը և մի քանի բանաձև։ Հիշեք, որ ցանկացած քառակուսի հավասարում կարելի է լուծել՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը: Անգամ թերի։

Արմատային բանաձևում նկատեցի՞ք դիսկրիմինանտի արմատը: Բայց խտրականը կարող է բացասական լինել: Ինչ անել? Մենք պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնենք քայլ 2-ին: Տարբերիչը մեզ ասում է հավասարման արմատների թիվը:

• Եթե, ապա հավասարումը ունի արմատ.
• Եթե, ապա հավասարումն ունի նույն արմատը, բայց իրականում մեկ արմատ.

  Նման արմատները կոչվում են կրկնակի արմատներ:

• Եթե, ապա դիսկրիմինանտի արմատը չի հանվում։ Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը արմատներ չունի:

Ինչու՞ են արմատների թիվը տարբերվում: Անդրադառնանք քառակուսի հավասարման երկրաչափական իմաստին: Ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է.

Կոնկրետ դեպքում, որը քառակուսի հավասարում է, . Իսկ դա նշանակում է, որ քառակուսի հավասարման արմատները x առանցքի (առանցքի) հետ հատման կետերն են։ Պարաբոլան կարող է ընդհանրապես չհատել առանցքը կամ հատել այն մեկ (երբ պարաբոլայի գագաթը ընկած է առանցքի վրա) կամ երկու կետով։

Բացի այդ, գործակիցը պատասխանատու է պարաբոլայի ճյուղերի ուղղության համար։ Եթե, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, իսկ եթե՝ ապա ներքև։

Օրինակներ.

Լուծումներ:

Պատասխան.

Պատասխան.

Պատասխան.

Սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան։

Պատասխան.

2. Վիետայի թեորեմա

Վիետայի թեորեմն օգտագործելը շատ հեշտ է. պարզապես անհրաժեշտ է ընտրել զույգ թվեր, որոնց արտադրյալը հավասար է հավասարման ազատ անդամին, իսկ գումարը հավասար է երկրորդ գործակցի՝ վերցված հակառակ նշանով։

Կարևոր է հիշել, որ Վիետայի թեորեմը կարող է կիրառվել միայն տրված քառակուսային հավասարումներ ().

Դիտարկենք մի քանի օրինակ.

Օրինակ #1:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Այս հավասարումը հարմար է Վիետայի թեորեմը լուծելու համար, քանի որ . Այլ գործակիցներ. .

Հավասարման արմատների գումարը հետևյալն է.

Իսկ արտադրանքը հետևյալն է.

Ընտրենք թվերի այնպիսի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է, և ստուգենք՝ արդյոք դրանց գումարը հավասար է.

• Եվ. Գումարն է;
• Եվ. Գումարն է;
• Եվ. Գումարը հավասար է։

և համակարգի լուծումն են.

Այսպիսով, և մեր հավասարման արմատներն են:

Պատասխան՝ ; .

Օրինակ #2:

Լուծում:

Մենք ընտրում ենք թվերի այնպիսի զույգեր, որոնք տալիս են արտադրյալը, այնուհետև ստուգում, թե արդյոք դրանց գումարը հավասար է.

և՝ տալ ընդհանուր.

և՝ տալ ընդհանուր. Այն ստանալու համար պարզապես անհրաժեշտ է փոխել ենթադրյալ արմատների նշանները և, ի վերջո, արտադրանքը:

Պատասխան.

Օրինակ #3:

Լուծում:

Հավասարման ազատ անդամը բացասական է, հետևաբար, արմատների արտադրյալը բացասական թիվ է: Դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արմատներից մեկը բացասական է, իսկ մյուսը դրական է: Այսպիսով, արմատների գումարը կազմում է դրանց մոդուլների տարբերությունները.

Մենք ընտրում ենք այնպիսի զույգ թվեր, որոնք տալիս են արտադրյալին, և որոնց տարբերությունը հավասար է.

և. դրանց տարբերությունը - հարմար չէ.

և. - հարմար չէ;

և. - հարմար չէ;

և՝ - հարմար. Մնում է միայն հիշել, որ արմատներից մեկը բացասական է: Քանի որ դրանց գումարը պետք է հավասար լինի, ուրեմն բացարձակ արժեքով ավելի փոքր արմատը պետք է բացասական լինի. Մենք ստուգում ենք.

Պատասխան.

Օրինակ #4:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Հավասարումը կրճատվում է, ինչը նշանակում է.

Ազատ տերմինը բացասական է, և հետևաբար, արմատների արտադրյալը բացասական է: Եվ դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ հավասարման մի արմատը բացասական է, իսկ մյուսը՝ դրական։

Մենք ընտրում ենք թվերի այնպիսի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է, և այնուհետև որոշում ենք, թե որ արմատները պետք է ունենան բացասական նշան.

Ակնհայտ է, որ միայն արմատները և հարմար են առաջին պայմանի համար.

Պատասխան.

Օրինակ #5:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Հավասարումը կրճատվում է, ինչը նշանակում է.

Արմատների գումարը բացասական է, ինչը նշանակում է, որ արմատներից առնվազն մեկը բացասական է։ Բայց քանի որ նրանց արտադրանքը դրական է, դա նշանակում է, որ երկու արմատները մինուս են:

Մենք ընտրում ենք այնպիսի զույգ թվեր, որոնց արտադրյալը հավասար է.

Ակնհայտ է, որ արմատները թվերն են և.

Պատասխան.

Համաձայն եմ, շատ հարմար է՝ արմատներ հորինել բանավոր՝ այս գարշելի խտրականությունը հաշվելու փոխարեն։ Փորձեք հնարավորինս հաճախ օգտագործել Վիետայի թեորեմը:

Բայց Վիետայի թեորեմն անհրաժեշտ է արմատների որոնումը հեշտացնելու և արագացնելու համար։ Այն օգտագործելը ձեզ համար շահավետ դարձնելու համար պետք է գործողությունները հասցնել ավտոմատիզմի։ Եվ դրա համար լուծեք ևս հինգ օրինակ։ Բայց մի խաբեք. դուք չեք կարող օգտագործել խտրականությունը: Միայն Վիետայի թեորեմը.

Անկախ աշխատանքի համար առաջադրանքների լուծումներ.

Առաջադրանք 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Վիետայի թեորեմի համաձայն.

Ինչպես սովորաբար, մենք ընտրությունը սկսում ենք ապրանքից.

Հարմար չէ, քանի որ գումարը;

: գումարն այն է, ինչ ձեզ հարկավոր է:

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 2.

Եվ կրկին, մեր սիրելի Վիետայի թեորեմը. գումարը պետք է ստացվի, բայց արտադրյալը հավասար է:

Բայց քանի որ դա չպետք է լինի, բայց մենք փոխում ենք արմատների նշանները՝ և (ընդհանուր)։

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 3.

Հմմ... Որտեղ է այն:

Անհրաժեշտ է բոլոր պայմանները տեղափոխել մեկ մասի.

Արմատների գումարը հավասար է արտադրյալին։

Այո՛, կանգ առե՛ք։ Հավասարումը տրված չէ։ Բայց Վիետայի թեորեմը կիրառելի է միայն տրված հավասարումներում։ Այսպիսով, նախ պետք է բերել հավասարումը. Եթե ​​դուք չեք կարող դա առաջ քաշել, թողեք այս գաղափարը և լուծեք այն այլ կերպ (օրինակ՝ խտրականի միջոցով): Հիշեցնեմ, որ բերել քառակուսի հավասարում նշանակում է առաջատար գործակիցը հավասարեցնել.

Լավ: Այնուհետեւ արմատների գումարը հավասար է, իսկ արտադրյալը.

Այստեղ ավելի հեշտ է վերցնել. ի վերջո՝ պարզ թիվ (ներողություն տավտոլոգիայի համար):

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 4.

Ազատ տերմինը բացասական է: Ինչո՞վ է դա առանձնահատուկ: Եվ այն, որ արմատները կլինեն տարբեր նշանների: Իսկ հիմա ընտրության ժամանակ մենք ստուգում ենք ոչ թե արմատների գումարը, այլ դրանց մոդուլների տարբերությունը՝ այս տարբերությունը հավասար է, բայց արտադրյալը։

Այսպիսով, արմատները հավասար են և, բայց դրանցից մեկը մինուսով է։ Վիետայի թեորեմը մեզ ասում է, որ արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով երկրորդ գործակցի, այսինքն. Սա նշանակում է, որ ավելի փոքր արմատը կունենա մինուս՝ և, քանի որ։

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 5.

Ի՞նչ է պետք առաջին հերթին անել: Ճիշտ է, տվեք հավասարումը.

Կրկին ընտրում ենք թվի գործակիցները, և դրանց տարբերությունը պետք է հավասար լինի.

Արմատները հավասար են և, բայց դրանցից մեկը մինուս է։ Ո՞րը: Նրանց գումարը պետք է հավասար լինի, ինչը նշանակում է, որ մինուսի դեպքում ավելի մեծ արմատ կլինի:

Պատասխան՝ ; .

Ամփոփեմ.

1. Վիետայի թեորեմն օգտագործվում է միայն տրված քառակուսային հավասարումներում։
2. Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, դուք կարող եք գտնել արմատները ընտրությամբ, բանավոր:
3. Եթե ​​հավասարումը տրված չէ կամ ազատ անդամի ոչ մի հարմար զույգ գործակից չի գտնվել, ապա ամբողջ թվային արմատներ չկան, և դուք պետք է այն լուծեք այլ կերպ (օրինակ՝ դիսկրիմինանտի միջոցով):

3. Ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդ

Եթե ​​անհայտը պարունակող բոլոր անդամները ներկայացված են որպես տերմիններ կրճատ բազմապատկման բանաձևերից՝ գումարի կամ տարբերության քառակուսի, ապա փոփոխականների փոփոխությունից հետո հավասարումը կարող է ներկայացվել որպես տիպի ոչ ամբողջական քառակուսի հավասարում:

Օրինակ:

Օրինակ 1:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Պատասխան.

Օրինակ 2:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Պատասխան.

Ընդհանուր առմամբ, փոխակերպումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Սա ենթադրում է.

Ձեզ ոչինչ չի՞ հիշեցնում։ Դա խտրականն է։ Հենց այդպես էլ ստացվել է դիսկրիմինանտ բանաձեւը.

ՔՈՎԱԴՐԱՏԻԿ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ

Քառակուսային հավասարումձևի հավասարումն է, որտեղ անհայտն է, քառակուսի հավասարման գործակիցներն են, ազատ անդամն է։

Ամբողջական քառակուսի հավասարում- հավասարում, որում գործակիցները հավասար չեն զրոյի:

Կրճատված քառակուսի հավասարում- հավասարում, որի գործակիցը, այսինքն.

Անավարտ քառակուսի հավասարում- հավասարում, որում գործակիցը և կամ ազատ անդամը հավասար են զրոյի.

• եթե գործակիցը, ապա հավասարումը ունի ձև.
• եթե ազատ անդամ է, ապա հավասարումն ունի հետևյալ ձևը՝
• եթե և, ապա հավասարումն ունի ձև՝ .

1. Անավարտ քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

1.1. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում, որտեղ՝

1) Արտահայտեք անհայտը.

2) Ստուգեք արտահայտության նշանը.

• եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի,
• եթե, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ.

1.2. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում, որտեղ՝

1) Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

2) արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի. Հետևաբար, հավասարումն ունի երկու արմատ.

1.3. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում, որտեղ.

Այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

2. Որտեղ ձևի ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

2.1. Լուծում` օգտագործելով տարբերակիչ

1) Եկեք հավասարումը բերենք ստանդարտ ձևի.

2) Հաշվե՛ք դիսկրիմինանտը՝ օգտագործելով բանաձևը՝ , որը ցույց է տալիս հավասարման արմատների թիվը.

3) Գտե՛ք հավասարման արմատները.

• եթե, ապա հավասարումն ունի արմատ, որը գտնում ենք բանաձևով.
• եթե, ապա հավասարումն ունի արմատ, որը գտնում ենք բանաձևով.
• եթե, ապա հավասարումը արմատներ չունի:

2.2. Լուծում՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը

Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը (ձևի հավասարում, որտեղ) հավասար է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է, այսինքն. , բայց.

2.3. Ամբողջական քառակուսի լուծում

Օրինակ, \(3x^2+2x-7\) եռանդամի համար դիսկրիմինատորը կլինի \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\): Իսկ \(x^2-5x+11\) եռանդամի համար այն հավասար կլինի \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\):

Տարբերիչը նշվում է \(D\) տառով և հաճախ օգտագործվում է լուծելիս: Բացի այդ, ըստ տարբերակիչի արժեքի, դուք կարող եք հասկանալ, թե ինչ տեսք ունի գրաֆիկը (տես ստորև):

Խտրական և հավասարման արմատներ

Տարբերիչի արժեքը ցույց է տալիս քառակուսի հավասարման չափը.
- եթե \(D\) դրական է, ապա հավասարումը կունենա երկու արմատ.
- եթե \(D\) հավասար է զրոյի, ապա միայն մեկ արմատ;
- եթե \(D\) բացասական է, արմատներ չկան:

Դա սովորել պետք չէ, հեշտ է նման եզրակացության գալ՝ պարզապես իմանալով, որ դիսկրիմինանտից (այսինքն՝ \(\sqrt(D)\) ներառված է հավասարման արմատները հաշվարկելու բանաձևում. \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) and \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2ա)\) Եկեք նայենք յուրաքանչյուր դեպքին ավելի մանրամասն:

Եթե ​​տարբերակիչը դրական է

Այս դեպքում դրա արմատը ինչ-որ դրական թիվ է, ինչը նշանակում է, որ \(x_(1)\) և \(x_(2)\) արժեքներով տարբեր կլինեն, քանի որ առաջին բանաձևում \(\sqrt(D) \) ավելացվում է, իսկ երկրորդում - հանվում է: Եվ մենք ունենք երկու տարբեր արմատներ.

Օրինակ Գտեք \(x^2+2x-3=0\) հավասարման արմատները:
Լուծում :

Պատասխանել \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Եթե ​​տարբերակիչը զրո է

Իսկ քանի՞ արմատ կլինի, եթե դիսկրիմինանտը զրո լինի։ Եկեք տրամաբանենք.

Արմատային բանաձևերը հետևյալն են՝ \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) և \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Իսկ եթե տարբերակիչը զրո է, ապա դրա արմատը նույնպես զրո է։ Հետո պարզվում է.

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Այսինքն՝ հավասարման արմատների արժեքները նույնն են լինելու, քանի որ զրոյի գումարումը կամ հանելը ոչինչ չի փոխում։

Օրինակ Գտեք \(x^2-4x+4=0\) հավասարման արմատները:
Լուծում :

\(x^2-4x+4=0\)		Մենք գրում ենք գործակիցները.
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Հաշվեք դիսկրիմինատորը՝ օգտագործելով \(D=b^2-4ac\) բանաձևը
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Գտնելով հավասարման արմատները
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Մենք ստացել ենք երկու նույնական արմատներ, ուստի դրանք առանձին գրելն անիմաստ է. մենք դրանք գրում ենք որպես մեկ:

Պատասխանել : \(x=2\)

Քառակուսային հավասարում - հեշտ է լուծել: *Հետագայում «KU» տեքստում:Ընկերներ, թվում է, թե մաթեմատիկայի մեջ դա կարող է ավելի հեշտ լինել, քան նման հավասարումը լուծելը: Բայց ինչ-որ բան ինձ ասում էր, որ շատերը նրա հետ խնդիրներ ունեն։ Ես որոշեցի տեսնել, թե ամսական քանի տպավորություն է թողնում Yandex-ը մեկ հարցում: Ահա թե ինչ եղավ, նայեք.

Ինչ է դա նշանակում? Սա նշանակում է, որ ամսական մոտ 70 000 մարդ փնտրում է այս տեղեկությունը, իսկ սա ամառ է, իսկ թե ինչ կլինի ուսումնական տարվա ընթացքում՝ կրկնակի շատ խնդրանքներ կլինեն։ Սա զարմանալի չէ, քանի որ այն տղաներն ու աղջիկները, ովքեր վաղուց ավարտել են դպրոցը և պատրաստվում են քննությանը, փնտրում են այս տեղեկությունը, իսկ դպրոցականները նույնպես փորձում են թարմացնել հիշողությունը։

Չնայած այն հանգամանքին, որ կան բազմաթիվ կայքեր, որոնք պատմում են, թե ինչպես լուծել այս հավասարումը, ես որոշեցի նաև ներդրում ունենալ և հրապարակել նյութը: Նախ, ես ցանկանում եմ, որ այցելուները գան իմ կայք այս խնդրանքով. երկրորդ, այլ հոդվածներում, երբ հնչի «KU» ելույթը, ես կտամ այս հոդվածի հղումը. երրորդ, ես ձեզ մի փոքր ավելին կասեմ նրա լուծման մասին, քան սովորաբար նշվում է այլ կայքերում: Եկեք սկսենք!Հոդվածի բովանդակությունը.

Քառակուսային հավասարումը ձևի հավասարումն է.

որտեղ գործակիցները a,բիսկ կամայական թվերով՝ a≠0-ով։

IN դպրոցական դասընթացնյութը տրված է հետևյալ ձևով՝ հավասարումների բաժանումը երեք դասի պայմանականորեն կատարվում է.

1. Ունենալ երկու արմատ.

2. * Միայն մեկ արմատ ունեցեք.

3. Արմատներ չունենալ։ Այստեղ հարկ է նշել, որ դրանք իրական արմատներ չունեն

Ինչպե՞ս են հաշվարկվում արմատները: Պարզապես!

Մենք հաշվարկում ենք դիսկրիմինանտը։ Այս «սարսափելի» բառի տակ շատ պարզ բանաձեւ է.

Արմատային բանաձևերը հետևյալն են.

*Այս բանաձեւերը պետք է անգիր իմանալ։

Դուք կարող եք անմիջապես գրել և որոշել.

Օրինակ:

1. Եթե D > 0, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ:

2. Եթե D = 0, ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ:

3. Եթե Դ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Եկեք նայենք հավասարմանը.

Այս առիթով, երբ խտրականը զրոյական է, դպրոցի դասընթացն ասում է, որ ստացվում է մեկ արմատ, այստեղ հավասար է ինը։ Ճիշտ է, այդպես է, բայց...

Այս ներկայացումը որոշ չափով սխալ է: Իրականում երկու արմատ կա. Այո, այո, մի զարմացեք, ստացվում է երկու հավասար արմատ, իսկ մաթեմատիկորեն ճշգրիտ լինելու համար պատասխանում պետք է գրել երկու արմատ.

x 1 = 3 x 2 = 3

Բայց սա այդպես է՝ մի փոքր շեղում: Դպրոցում կարելի է գրել ու ասել, որ արմատը մեկն է։

Այժմ հետևյալ օրինակը.

Ինչպես գիտենք, արմատը բացասական թիվչի արդյունահանվում, ուստի այս դեպքում լուծում չկա։

Սա է որոշումների ամբողջ գործընթացը:

Քառակուսի ֆունկցիա.

Ահա թե ինչպես է լուծումը երկրաչափական տեսք. Սա չափազանց կարևոր է հասկանալու համար (ապագայում հոդվածներից մեկում մանրամասն կվերլուծենք քառակուսի անհավասարության լուծումը)։

Սա ձևի ֆունկցիան է.

որտեղ x և y փոփոխականներ են

a, b, c տրված են թվեր, որտեղ a ≠ 0

Գրաֆիկը պարաբոլա է.

Այսինքն՝ ստացվում է, որ լուծելով «y»-ով քառակուսի հավասարում, որը հավասար է զրոյի, մենք գտնում ենք պարաբոլայի հատման կետերը x առանցքի հետ։ Այս կետերը կարող են լինել երկու (տարբերիչը դրական է), մեկ (տարբերիչը զրոյական է) կամ ոչ մեկը (տարբերիչը բացասական է): Մանրամասների մասին քառակուսի ֆունկցիա Դուք կարող եք դիտելԻննա Ֆելդմանի հոդվածը։

Դիտարկենք օրինակներ.

Օրինակ 1. Որոշել 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = բ 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Պատասխան՝ x 1 = 8 x 2 = -12

* Դուք կարող եք անմիջապես հավասարման ձախ և աջ կողմերը բաժանել 2-ի, այսինքն՝ պարզեցնել այն։ Հաշվարկներն ավելի հեշտ կլինեն։

Օրինակ 2: Լուծել x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Մենք ստացանք, որ x 1 \u003d 11 և x 2 \u003d 11

Պատասխանում թույլատրելի է գրել x = 11:

Պատասխան՝ x = 11

Օրինակ 3: Լուծել x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Տարբերիչը բացասական է, իրական թվերով լուծում չկա։

Պատասխան՝ լուծում չկա

Խտրականը բացասական է. Կա լուծում!

Այստեղ կխոսենք հավասարումը լուծելու մասին այն դեպքում, երբ ստացվում է բացասական դիսկրիմինանտ։ Կոմպլեքս թվերի մասին որևէ բան գիտե՞ք: Ես այստեղ չեմ մանրամասնի, թե ինչու և որտեղ են դրանք առաջացել, և որն է դրանց հատուկ դերն ու անհրաժեշտությունը մաթեմատիկայի մեջ, սա մեծ առանձին հոդվածի թեմա է:

Կոմպլեքս թվի հայեցակարգը.

Մի քիչ տեսություն.

Z կոմպլեքս թիվը ձևի թիվ է

z = a + bi

որտեղ a-ն և b-ն իրական թվեր են, i-ն այսպես կոչված երևակայական միավորն է:

ա+բի ՄԵԿ ԹԻՎ է, ոչ թե գումարում։

Երևակայական միավորը հավասար է մինուս մեկի արմատին.

Այժմ հաշվի առեք հավասարումը.

Ստացեք երկու զուգակցված արմատներ:

Անավարտ քառակուսի հավասարում.

Դիտարկենք հատուկ դեպքեր, երբ «b» կամ «c» գործակիցը հավասար է զրոյի (կամ երկուսն էլ հավասար են զրոյի): Դրանք հեշտությամբ լուծվում են առանց որևէ խտրականության:

Դեպք 1. Գործակից b = 0:

Հավասարումը ստանում է ձև.

Եկեք փոխակերպենք.

Օրինակ:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Դեպք 2. Գործակից c = 0:

Հավասարումը ստանում է ձև.

Փոխակերպել, ֆակտորիզացնել.

*Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի:

Օրինակ:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 կամ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Դեպք 3. b = 0 եւ c = 0 գործակիցները:

Այստեղ պարզ է, որ հավասարման լուծումը միշտ կլինի x = 0:

Օգտակար հատկություններ և գործակիցների օրինաչափություններ.

Կան հատկություններ, որոնք թույլ են տալիս մեծ գործակիցներով հավասարումներ լուծել։

բայցx 2 + bx+ գ=0 հավասարություն

ա + բ+ c = 0,ապա

- եթե հավասարման գործակիցների համար բայցx 2 + bx+ գ=0 հավասարություն

ա+ հետ =բ, ապա

Այս հատկությունները օգնում են լուծել որոշակի տեսակի հավասարումներ:

Օրինակ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Գործակիցների գումարը 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ուրեմն

Օրինակ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Հավասարություն ա+ հետ =բ, նշանակում է

Գործակիցների օրինաչափություններ.

1. Եթե ax 2 + bx + c \u003d 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը (a 2 +1) է, իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները.

կացին 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Օրինակ. Դիտարկենք 6x 2 +37x+6 = 0 հավասարումը:

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6:

2. Եթե ax 2 - bx + c \u003d 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը (a 2 +1) է, իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները.

կացին 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Օրինակ. Դիտարկենք 15x 2 –226x +15 = 0 հավասարումը:

x 1 = 15 x 2 = 1/15:

3. Եթե հավասարման մեջ ax 2 + bx - c = 0 գործակից «b» հավասար է (a 2 – 1), իսկ «գ» գործակիցը. թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա նրա արմատները հավասար են

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Օրինակ. Դիտարկենք 17x 2 + 288x - 17 = 0 հավասարումը:

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17:

4. Եթե ax 2 - bx - c \u003d 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 - 1), իսկ c գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները.

կացին 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Օրինակ. Դիտարկենք 10x2 - 99x -10 = 0 հավասարումը:

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Վիետայի թեորեմա.

Վիետայի թեորեմն անվանվել է հայտնի Ֆրանսիացի մաթեմատիկոսՖրանսուա Վիետա. Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, կարելի է կամայական KU-ի արմատների գումարը և արտադրյալը արտահայտել իր գործակիցներով։

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ընդհանուր առմամբ, 14 թիվը տալիս է միայն 5 և 9: Սրանք արմատներն են: Որոշակի հմտությամբ, օգտագործելով ներկայացված թեորեմը, կարող եք շատ քառակուսի հավասարումներ լուծել անմիջապես բանավոր:

Վիետայի թեորեմը, ընդ որում. հարմար է, քանի որ քառակուսի հավասարումը սովորական եղանակով (դիսկրիմինանտի միջոցով) լուծելուց հետո կարելի է ստուգել ստացված արմատները։ Ես խորհուրդ եմ տալիս դա անել անընդհատ:

ՏՐԱՆՍՖԵՐՏԻ ՄԵԹՈԴ

Այս մեթոդով «ա» գործակիցը բազմապատկվում է ազատ անդամով, կարծես «փոխանցվում» է դրան, ինչի պատճառով էլ կոչվում է. փոխանցման եղանակը.Այս մեթոդը կիրառվում է, երբ հեշտ է գտնել հավասարման արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, և ամենակարևորը, երբ դիսկրիմինանտը ճշգրիտ քառակուսի է։

Եթե բայց± բ+գ≠ 0, ապա օգտագործվում է փոխանցման տեխնիկան, օրինակ.

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Համաձայն Վիետայի թեորեմի (2) հավասարման, հեշտ է որոշել, որ x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Հավասարման ստացված արմատները պետք է բաժանել 2-ի (քանի որ երկուսը «գցվել» են x 2-ից), ստանում ենք.

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

Ո՞րն է հիմնավորումը: Տեսեք, թե ինչ է կատարվում.

(1) և (2) հավասարումների տարբերակիչներն են.

Եթե ​​նայեք հավասարումների արմատներին, ապա ստացվում են միայն տարբեր հայտարարներ, և արդյունքը կախված է հենց x 2 գործակիցից.

Երկրորդ (փոփոխված) արմատները 2 անգամ ավելի մեծ են։

Այսպիսով, մենք արդյունքը բաժանում ենք 2-ի:

*Եթե երեքը գրտնակում ենք, ապա ստացվածը բաժանում ենք 3-ի և այլն։

Պատասխան՝ x 1 = 5 x 2 = 0,5

քառ. ur-ie և քննությունը:

Համառոտ կասեմ դրա կարևորության մասին - ՊԵՏՔ Է ԿԱՐՈՂԱՆԱԼ ՈՐՈՇԵԼ արագ և առանց մտածելու, պետք է անգիր իմանալ արմատների և տարբերակիչի բանաձևերը։ USE առաջադրանքների մաս կազմող առաջադրանքներից շատերը հանգում են քառակուսի հավասարումների լուծմանը (ներառյալ երկրաչափականները):

Այն, ինչ արժե ուշադրություն դարձնել.

1. Հավասարման ձևը կարող է լինել «ներածական»: Օրինակ, հնարավոր է հետևյալ գրառումը.

15+ 9x 2 - 45x = 0 կամ 15x+42+9x 2 - 45x=0 կամ 15 -5x+10x 2 = 0:

Դուք պետք է այն հասցնեք ստանդարտ ձևի (որպեսզի չշփոթվեք լուծելիս):

2. Հիշեք, որ x-ը անհայտ արժեք է, և այն կարելի է նշանակել ցանկացած այլ տառով՝ t, q, p, h և այլն: