Ֆունկցիոնալ հետազոտություն.
1) D(y) - սահմանման տիրույթ՝ x փոփոխականի բոլոր այդ արժեքների բազմությունը: որոնց տակ իմաստ ունեն f(x) և g(x) հանրահաշվական արտահայտությունները։
Եթե ֆունկցիան տրված է բանաձևով, ապա սահմանման տիրույթը բաղկացած է անկախ փոփոխականի բոլոր արժեքներից, որոնց համար բանաձևը իմաստ ունի:
2) Ֆունկցիայի հատկությունները` զույգ/կենտ, պարբերականություն.
տարօրինակԵվ նույնիսկկոչվում են ֆունկցիաներ, որոնց գրաֆիկները համաչափություն ունեն փաստարկի նշանի փոփոխության նկատմամբ։
կենտ ֆունկցիա- ֆունկցիա, որը փոխում է արժեքը դեպի հակառակը, երբ փոխվում է անկախ փոփոխականի նշանը (սիմետրիկ կոորդինատների կենտրոնի նկատմամբ):
Նույնիսկ գործառույթ- ֆունկցիա, որը չի փոխում իր արժեքը, երբ փոխվում է անկախ փոփոխականի նշանը (սիմետրիկ y առանցքի նկատմամբ):
Ոչ զույգ, ոչ էլ կենտ ֆունկցիա (գործառույթ ընդհանուր տեսարան) սիմետրիա չունեցող ֆունկցիա է։ Այս կատեգորիան ներառում է գործառույթներ, որոնք չեն պատկանում նախորդ 2 կատեգորիաներին:
Ֆունկցիաները, որոնք չեն պատկանում վերը նշված կատեգորիաներից որևէ մեկին, կոչվում են ոչ զույգ, ոչ էլ կենտ(կամ ընդհանուր գործառույթներ):
Տարօրինակ գործառույթներ
Կենտ հզորություն, որտեղ կամայական ամբողջ թիվ է:
Նույնիսկ գործառույթներ
Զույգ ուժ, որտեղ կամայական ամբողջ թիվ է:
Պարբերական ֆունկցիաֆունկցիա է, որը կրկնում է իր արժեքները արգումենտի որոշ կանոնավոր միջակայքում, այսինքն՝ չի փոխում իր արժեքը, երբ արգումենտին ավելացվում է ֆիքսված ոչ զրոյական թիվ ( ժամանակաշրջանգործառույթներ) սահմանման ողջ տիրույթում:
3) Ֆունկցիայի զրոները (արմատները) այն կետերն են, որտեղ այն անհետանում է:
Գտնել գրաֆիկի առանցքի հետ հատման կետը Օյ. Դա անելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել արժեքը զ(0): Գտե՛ք նաև գծապատկերի առանցքի հետ հատման կետերը Եզ, ինչու գտնել հավասարման արմատները զ(x) = 0 (կամ համոզվեք, որ արմատներ չկան):
Այն կետերը, որտեղ գրաֆիկը հատում է առանցքը, կոչվում են ֆունկցիայի զրոներ. Ֆունկցիայի զրոները գտնելու համար պետք է լուծել հավասարումը, այսինքն՝ գտնել այդ x արժեքները, որի համար ֆունկցիան անհետանում է։
4) նշանների, նշանների կայունության միջակայքերը դրանցում.
Ընդմիջումներ, որտեղ f(x) ֆունկցիան պահպանում է իր նշանը:
Կայունության միջակայքը միջակայքն է յուրաքանչյուր կետում, որտեղգործառույթը դրական է կամ բացասական:
x առանցքից վեր։
ՆԵՐՔԻՆ առանցքի.
5) շարունակականություն (անջատման կետեր, ընդհատման բնույթ, ասիմպտոտներ).
շարունակական գործառույթ- ֆունկցիա առանց «ցատկերի», այսինքն՝ այնպիսի ֆունկցիա, որտեղ փաստարկի փոքր փոփոխությունները հանգեցնում են ֆունկցիայի արժեքի փոքր փոփոխությունների:
Շարժական ընդմիջման կետեր
Եթե ֆունկցիայի սահմանը գոյություն ունի, բայց ֆունկցիան այս պահին սահմանված չէ, կամ սահմանը չի համապատասխանում այս կետի ֆունկցիայի արժեքին.
,
ապա կետը կոչվում է ընդմիջման կետֆունկցիաներ (բարդ վերլուծության մեջ՝ շարժական եզակի կետ)։
Եթե «ուղղենք» ֆունկցիան շարժական անջատման կետում եւ դնենք 
, ապա ստանում ենք ֆունկցիա, որն այս պահին շարունակական է։ Ֆունկցիայի վրա նման գործողությունը կոչվում է ընդլայնելով գործառույթը շարունակականկամ գործառույթի ընդլայնում ըստ շարունակականության, որը հիմնավորում է կետի անվանումը, որպես կետեր միանգամյա օգտագործմանբացը.
Առաջին և երկրորդ տեսակի անդադար կետերը
Եթե ֆունկցիան տվյալ կետում ունի անջրպետ (այսինքն՝ տվյալ կետում ֆունկցիայի սահմանը բացակայում է կամ չի համընկնում տվյալ կետի ֆունկցիայի արժեքի հետ), ապա թվային ֆունկցիաների համար կա երկու հնարավոր տարբերակ. կապված թվային ֆունկցիաների առկայության հետ միակողմանի սահմաններ:
եթե երկու միակողմանի սահմաններն էլ գոյություն ունեն և վերջավոր են, ապա կոչվում է այդպիսի կետ առաջին տեսակի բեկման կետը. Շարժական անջատման կետերը առաջին տեսակի անջատման կետերն են.
եթե միակողմանի սահմաններից գոնե մեկը գոյություն չունի կամ վերջնական արժեք չէ, ապա այդպիսի կետը կոչվում է. երկրորդ տեսակի բեկման կետ.
Ասիմպտոտ - ուղիղ, որն ունի այն հատկությունը, որ հեռավորությունը կորի կետից մինչև սրան ուղիղձգտում է զրոյի, երբ կետը ճյուղի երկայնքով շարժվում է դեպի անսահմանություն:
ուղղահայաց
Ուղղահայաց ասիմպտոտ - սահմանային գիծ 
.
Որպես կանոն, ուղղահայաց ասիմպտոտը որոշելիս փնտրում են ոչ թե մեկ սահման, այլ երկու միակողմանի (ձախ և աջ)։ Սա արվում է, որպեսզի որոշվի, թե ֆունկցիան ինչպես է իրեն պահում, երբ այն մոտենում է ուղղահայաց ասիմպտոտին տարբեր ուղղություններից: Օրինակ:
Հորիզոնական
Հորիզոնական ասիմպտոտ - ուղիղտեսակներ՝ ենթակա գոյության սահման
.
թեք
Շեղ ասիմպտոտ - ուղիղտեսակներ՝ ենթակա գոյության սահմանները
Նշում. ֆունկցիան կարող է ունենալ ոչ ավելի, քան երկու թեք (հորիզոնական) ասիմպտոտ:
Նշում. եթե վերը նշված երկու սահմաններից գոնե մեկը գոյություն չունի (կամ հավասար է ), ապա (կամ)-ում թեք ասիմպտոտը գոյություն չունի:
եթե 2-րդ կետում), ապա, և սահմանը հայտնաբերվում է հորիզոնական ասիմպտոտային բանաձևով, 
.
6) Գտեք միապաղաղության միջակայքերը.Գտե՛ք ֆունկցիայի միապաղաղության միջակայքերը զ(x) (այսինքն՝ աճի և նվազման միջակայքերը)։ Դա արվում է ածանցյալի նշանն ուսումնասիրելով զ(x): Դա անելու համար գտեք ածանցյալը զ(x) և լուծել անհավասարությունը զ(x) 0. Այն ինտերվալներում, որտեղ այս անհավասարությունը բավարարվում է, ֆունկցիան զ(x) ավելանում է. Որտեղ է հակառակ անհավասարությունը զ(x)0, ֆունկցիա զ(x) նվազում է.
Տեղական ծայրահեղություն գտնելը.Գտնելով միապաղաղության միջակայքերը՝ մենք կարող ենք անմիջապես որոշել լոկալ ծայրահեղության այն կետերը, որտեղ աճը փոխարինվում է նվազմամբ, կան տեղային մաքսիմումներ, իսկ որտեղ նվազումը փոխարինվում է աճով, տեղական նվազագույնը։ Հաշվեք ֆունկցիայի արժեքը այս կետերում: Եթե ֆունկցիան ունի կրիտիկական կետեր, որոնք տեղական ծայրամասային կետեր չեն, ապա օգտակար է հաշվել ֆունկցիայի արժեքը նաև այս կետերում։
Գտնել y = f(x) ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները հատվածի վրա(շարունակություն)
|
1. Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը. զ(x). 2. Գտեք կետեր, որտեղ ածանցյալը զրո է. զ(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Որոշեք միավորների սեփականությունը X 1 ,X 2 , … հատված [ ա; բ]: թող լինի x 1ա;բ, բայց x 2ա;բ . |
նույնիսկ, եթե բոլորի համար \(x\) իր տիրույթից ճշմարիտ է՝ \(f(-x)=f(x)\) .
Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է \(y\) առանցքի նկատմամբ.
Օրինակ՝ \(f(x)=x^2+\cos x\) ֆունկցիան զույգ է, քանի որ \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\ blacktriangleright\) Կանչվում է \(f(x)\) ֆունկցիան տարօրինակ, եթե բոլորի համար \(x\) իր տիրույթից ճշմարիտ է՝ \(f(-x)=-f(x)\) .
Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ.
Օրինակ՝ \(f(x)=x^3+x\) ֆունկցիան կենտ է, քանի որ \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Այն ֆունկցիաները, որոնք ոչ զույգ են, ոչ էլ կենտ, կոչվում են ընդհանուր ֆունկցիաներ: Նման ֆունկցիան միշտ կարող է եզակի կերպով ներկայացվել որպես զույգ և կենտ ֆունկցիաների գումար։
Օրինակ, \(f(x)=x^2-x\) ֆունկցիան \(f_1=x^2\) զույգ ֆունկցիայի և \(f_2=-x\) կենտ ֆունկցիայի գումարն է:
\(\սև եռանկյունի\) Որոշ հատկություններ.
1) նույն հավասարության երկու ֆունկցիաների արտադրյալը և գործակիցը. նույնիսկ գործառույթ.
2) Տարբեր հավասարության երկու ֆունկցիաների արտադրյալը և գործակիցը կենտ ֆունկցիա է:
3) Զույգ ֆունկցիաների գումարը և տարբերությունը զույգ ֆունկցիա է:
4) Կենտ ֆունկցիաների գումարը և տարբերությունը կենտ ֆունկցիա է:
5) Եթե \(f(x)\) զույգ ֆունկցիա է, ապա \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) հավասարումը ունի եզակի արմատ, եթե և միայն եթե, երբ. \(x =0\) .
6) Եթե \(f(x)\)-ը զույգ կամ կենտ ֆունկցիա է, իսկ \(f(x)=0\) հավասարումն ունի արմատ \(x=b\) , ապա այս հավասարումը անպայման կունենա երկրորդ. արմատ \(x =-b\) .
\(\սև եռանկյունի\) \(f(x)\) ֆունկցիան կոչվում է պարբերական \(X\), եթե \(T\ne 0\) որոշ թվի համար ունենք \(f(x)=f(x+): T) \) , որտեղ \(x, x+T\in X\) . Ամենափոքր \(T\)-ը, որի համար գործում է այս հավասարությունը, կոչվում է ֆունկցիայի հիմնական (հիմնական) ժամանակաշրջան։
Պարբերական ֆունկցիան ունի \(nT\) ձևի ցանկացած թիվ, որտեղ \(n\in \mathbb(Z)\) նույնպես կետ կլինի:
Օրինակ՝ ցանկացած եռանկյունաչափական ֆունկցիապարբերական է;
ֆունկցիաները \(f(x)=\sin x\) և \(f(x)=\cos x\) հիմնական ժամանակաշրջանհավասար է \(2\pi\)-ի, \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) և \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x ֆունկցիաների հիմնական ժամանակաշրջանը: \) է \ (\pi\) .
Պարբերական ֆունկցիան գծելու համար կարող եք դրա գրաֆիկը գծել \(T\) երկարության ցանկացած հատվածի վրա (հիմնական կետ); այնուհետև ամբողջ ֆունկցիայի գրաֆիկը լրացվում է՝ կառուցված մասը տեղափոխելով աջ և ձախ պարբերությունների ամբողջ թվով.
\(\ blacktriangleright\) \(f(x)\) ֆունկցիայի \(D(f)\) տիրույթը այն բազմությունն է, որը բաղկացած է \(x\) արգումենտի բոլոր արժեքներից, որոնց համար ֆունկցիան իմաստ ունի: (սահմանված է):
Օրինակ՝ \(f(x)=\sqrt x+1\) ֆունկցիան ունի սահմանման տիրույթ՝ \(x\in
Առաջադրանք 1 #6364
Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը
\(a\) պարամետրի ինչ արժեքների համար է հավասարումը
Այն ունի միայն որոշում?
Նկատի ունեցեք, որ քանի որ \(x^2\) և \(\cos x\) զույգ ֆունկցիաներ են, եթե հավասարումն ունի \(x_0\) արմատ, այն կունենա նաև \(-x_0\) արմատ:
Իսկապես, թող \(x_0\) լինի արմատ, այսինքն՝ հավասարությունը \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)ճիշտ. Փոխարինող \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Այսպիսով, եթե \(x_0\ne 0\) , ապա հավասարումն արդեն կունենա առնվազն երկու արմատ։ Հետևաբար, \(x_0=0\) . Ապա.
Մենք ստացանք երկու պարամետր արժեք \(a\): Նշենք, որ մենք օգտագործել ենք այն փաստը, որ \(x=0\) հենց սկզբնական հավասարման արմատն է: Բայց մենք երբեք չենք օգտագործել այն փաստը, որ նա միակն է։ Հետևաբար, անհրաժեշտ է \(a\) պարամետրի ստացված արժեքները փոխարինել սկզբնական հավասարման մեջ և ստուգել, թե որ \(a\) արմատը \(x=0\) իսկապես եզակի կլինի:
1) Եթե \(a=0\) , ապա հավասարումը կունենա \(2x^2=0\) ձևը: Ակնհայտ է, որ այս հավասարումն ունի միայն մեկ արմատ \(x=0\) . Հետևաբար, \(a=0\) արժեքը մեզ հարմար է։
2) Եթե \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , ապա հավասարումը ստանում է ձև. \ Մենք վերագրում ենք հավասարումը ձևով \ Որովհետեւ \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), ապա \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Հետևաբար, (*) հավասարման աջ կողմի արժեքները պատկանում են հատվածին \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
Քանի որ \(x^2\geqslant 0\) , ապա (*) հավասարման ձախ կողմը մեծ կամ հավասար է \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\)-ին:
Այսպիսով, հավասարությունը (*) կարող է պահպանվել միայն այն դեպքում, երբ հավասարման երկու կողմերը հավասար են \(\mathrm(tg)^2\,1\)-ին: Իսկ սա նշանակում է, որ \[\ սկիզբ (դեպքեր) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \վերջ (դեպքեր)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]Հետևաբար, \(a=-\mathrm(tg)\,1\) արժեքը մեզ հարմար է։
Պատասխան.
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Առաջադրանք 2 #3923
Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը
Գտեք \(a\) պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար տրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը \
սիմետրիկ ծագման վերաբերյալ.
Եթե ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ, ապա այդպիսի ֆունկցիան կենտ է, այսինքն՝ \(f(-x)=-f(x)\) գործում է ֆունկցիայի ցանկացած \(x\)-ի համար։ տիրույթ. Այսպիսով, պահանջվում է գտնել այն պարամետրի արժեքները, որոնց համար \(f(-x)=-f(x).\)
\[\սկիզբ(հավասարեցված) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\աջ)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\աջ)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \վերջ (հավասարեցված)\]
Վերջին հավասարումը պետք է պահպանվի բոլոր \(x\) տիրույթի համար \(f(x)\) , հետևաբար \(\sin(2\pi a)=0 \Աջ սլաք a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Պատասխան.
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Առաջադրանք 3 #3069
Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը
Գտեք \(a\) պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար \ հավասարումը ունի 4 լուծում, որտեղ \(f\) հավասարաչափ պարբերական ֆունկցիա է \(T=\dfrac(16)3\) ժամանակով: սահմանված է ամբողջ իրական տողի վրա, և \(f(x)=ax^2\) համար \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Առաջադրանք բաժանորդներից)
Քանի որ \(f(x)\) զույգ ֆունկցիան է, դրա գրաֆիկը սիմետրիկ է y առանցքի նկատմամբ, հետևաբար, երբ \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Այսպիսով, ժամը \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), և սա \(\dfrac(16)3\) երկարության հատված է, \(f(x)=ax^2\) ֆունկցիան։
1) Թող \(a>0\) . Այնուհետև \(f(x)\) ֆունկցիայի գրաֆիկը կունենա հետևյալ տեսքը. 
Այնուհետև, որպեսզի հավասարումը ունենա 4 լուծում, անհրաժեշտ է, որ \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) գրաֆիկը անցնի \(A\) կետով. 
հետևաբար, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \ձախ[\սկիզբ(հավաքված)\սկիզբ (հավասարեցված) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(հավասարեցված) \end(հավաքված)\աջ: \quad\Ձախ աջ սլաք\չորս \ձախ[\սկիզբ(հավաքված)\սկիզբ(հավասարեցված) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(հավասարեցված) \end( հավաքված)\ճիշտ\]Քանի որ \(a>0\) , ապա \(a=\dfrac(18)(23)\) լավ է:
2) Թող \(ա<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Մեզ անհրաժեշտ է \(g(x)\) գրաֆիկը \(B\) կետով անցնելու համար: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(հավաքված)\սկիզբ (հավասարեցված) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(հավասարեցված) \end(հավաքված)\աջ։\]Քանի որ \(ա<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Այն դեպքը, երբ \(a=0\) հարմար չէ, քանի որ այն ժամանակ \(f(x)=0\) բոլորի համար \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) և The հավասարումը կունենա միայն 1 արմատ:
Պատասխան.
\(a\in \ձախ\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\աջ\)\)
Առաջադրանք 4 #3072
Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը
Գտեք \(a\) բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար հավասարումը \
ունի առնվազն մեկ արմատ:
(Առաջադրանք բաժանորդներից)
Մենք վերագրում ենք հավասարումը ձևով \
և դիտարկենք երկու ֆունկցիա՝ \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) և \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
\(g(x)\) ֆունկցիան զույգ է, ունի նվազագույն կետ \(x=0\) (և \(g(0)=49\)):
\(f(x)\) ֆունկցիան \(x>0\)-ի համար նվազում է, իսկ \(x-ի համար<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Իրոք, \(x>0\)-ի համար երկրորդ մոդուլը դրականորեն ընդլայնվում է (\(|x|=x\)), հետևաբար, անկախ նրանից, թե ինչպես է ընդլայնվում առաջին մոդուլը, \(f(x)\) հավասար կլինի \ (kx+A\), որտեղ \(A\) արտահայտությունն է \(a\)-ից, իսկ \(k\)-ը հավասար է կամ \(-9\) կամ \(-3\)-ին: Համար \ (x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Գտեք \(f\) արժեքը առավելագույն կետում՝ \ 
Որպեսզի հավասարումը ունենա առնվազն մեկ լուծում, \(f\) և \(g\) ֆունկցիաների գրաֆիկները պետք է ունենան առնվազն մեկ հատման կետ: Հետևաբար, ձեզ անհրաժեշտ է. \ \\]
Պատասխան.
\(a\in \(-7\)\բաժակ\)
Առաջադրանք 5 #3912
Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը
Գտեք \(a\) պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար հավասարումը \
ունի վեց տարբեր լուծումներ:
Կատարենք \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) փոխարինումը , \(t>0\) ։ Այնուհետև հավասարումը կվերցնի ձևը \
Մենք աստիճանաբար կգրենք այն պայմանները, որոնց դեպքում սկզբնական հավասարումը կունենա վեց լուծում:
Նշենք, որ քառակուսի հավասարումը \((*)\) կարող է ունենալ առավելագույնը երկու լուծում: Ցանկացած խորանարդ հավասարում \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) կարող է ունենալ ոչ ավելի, քան երեք լուծում։ Հետևաբար, եթե \((*)\) հավասարումը ունի երկու տարբեր լուծումներ (դրական!, քանի որ \(t\) պետք է լինի զրոյից մեծ) \(t_1\) և \(t_2\), ապա կատարելով հակառակը. փոխարինում, մենք ստանում ենք. \[\ձախ[\սկիզբ(հավաքված)\սկիզբ(հավասարեցված) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\վերջ (հավասարեցված)\վերջ (հավաքված)\աջ։\]Քանի որ ցանկացած դրական թիվ որոշ չափով կարող է ներկայացվել որպես \(\sqrt2\), օրինակ, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), ապա բազմության առաջին հավասարումը կվերագրվի ձևով \
Ինչպես արդեն ասացինք, ցանկացած խորանարդ հավասարում չունի երեքից ավելի լուծում, հետևաբար, բազմությունից յուրաքանչյուր հավասարում կունենա երեքից ոչ ավելի լուծում: Սա նշանակում է, որ ամբողջ հավաքածուն կունենա ոչ ավելի, քան վեց լուծում։
Սա նշանակում է, որ որպեսզի սկզբնական հավասարումն ունենա վեց լուծում, քառակուսի հավասարումը \((*)\) պետք է ունենա երկու տարբեր լուծում, և յուրաքանչյուր ստացված խորանարդ հավասարում (բազմությունից) պետք է ունենա երեք տարբեր լուծում (և ոչ մեկ: մեկ հավասարման լուծումը պետք է համընկնի, որին կամ երկրորդի որոշմամբ):
Ակնհայտ է, որ եթե \((*)\) քառակուսի հավասարումը ունի մեկ լուծում, ապա սկզբնական հավասարման համար մենք չենք ստանա վեց լուծում:
Այսպիսով, լուծման ծրագիրը պարզ է դառնում։ Եկեք կետ առ կետ գրենք այն պայմանները, որոնք պետք է պահպանվեն։
1) Որպեսզի \((*)\) հավասարումը ունենա երկու տարբեր լուծում, դրա տարբերակիչը պետք է լինի դրական. \
2) Մեզ նաև անհրաժեշտ է, որ երկու արմատները դրական լինեն (քանի որ \(t>0\) ): Եթե երկու արմատների արտադրյալը դրական է, և դրանց գումարը դրական է, ապա արմատներն իրենք դրական կլինեն։ Հետևաբար, ձեզ անհրաժեշտ է. \[\սկիզբ(դեպքեր) 12-a>0\\-(a-10)>0\վերջ(դեպքեր)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Այսպիսով, մենք արդեն ապահովել ենք մեզ երկու հստակ դրական արմատներ \(t_1\) և \(t_2\) .
3)
Եկեք նայենք այս հավասարմանը \
Ինչի՞ համար \(t\) այն կունենա երեք տարբեր լուծումներ: Այսպիսով, մենք որոշեցինք, որ \((*)\) հավասարման երկու արմատները պետք է գտնվեն \((1;4)\) միջակայքում: Ինչպե՞ս գրել այս պայմանը: ուներ չորս տարբեր ոչ զրոյական արմատներ, որոնք \(x=0\)-ի հետ միասին ներկայացնում էին թվաբանական առաջընթաց: Նկատի ունեցեք, որ \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) ֆունկցիան զույգ է, հետևաբար, եթե \(x_0\) \((*) հավասարման արմատն է: )\ ) , ապա \(-x_0\) նույնպես կլինի նրա արմատը։ Այնուհետև անհրաժեշտ է, որ այս հավասարման արմատները լինեն աճման կարգով դասավորված թվեր՝ \(-2d, -d, d, 2d\) (այնուհետև \(d>0\) ): Այդ ժամանակ է, որ այս հինգ թվերը կկազմեն թվաբանական առաջընթաց (\(d\) տարբերությամբ): Որպեսզի այս արմատները լինեն \(-2d, -d, d, 2d\) թվերը, անհրաժեշտ է, որ \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) թվերը լինեն արմատները: հավասարումը \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Այնուհետև Վիետայի թեորեմով. Մենք վերագրում ենք հավասարումը ձևով \
և դիտարկենք երկու ֆունկցիա՝ \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) և \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . Որպեսզի հավասարումը ունենա առնվազն մեկ լուծում, \(f\) և \(g\) ֆունկցիաների գրաֆիկները պետք է ունենան առնվազն մեկ հատման կետ: Հետևաբար, ձեզ անհրաժեշտ է. \
Լուծելով համակարգերի այս շարքը՝ մենք ստանում ենք պատասխանը. \\]
Պատասխան. \(a\in \(-2\)\բաժակ\) y փոփոխականի կախվածությունը x փոփոխականից, որում x-ի յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է y-ի մեկ արժեքին, կոչվում է ֆունկցիա։ Նշումը y=f(x) է: Յուրաքանչյուր ֆունկցիա ունի մի շարք հիմնական հատկություններ, ինչպիսիք են միապաղաղությունը, հավասարությունը, պարբերականությունը և այլն: Դիտարկենք հավասարության սեփականությունը ավելի մանրամասն: y=f(x) ֆունկցիան կանչվում է նույնիսկ եթե այն բավարարում է հետևյալ երկու պայմաններին. 2. Ֆունկցիայի շրջանակին պատկանող x կետում ֆունկցիայի արժեքը պետք է հավասար լինի -x կետի ֆունկցիայի արժեքին։ Այսինքն՝ ֆունկցիայի տիրույթից x կետի համար հետևյալ հավասարությունը f (x) \u003d f (-x) պետք է ճիշտ լինի։ Եթե դուք կառուցում եք զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկ, այն սիմետրիկ կլինի y առանցքի նկատմամբ: Օրինակ՝ y=x^2 ֆունկցիան զույգ է։ Եկեք ստուգենք այն: Սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային առանցքն է, ինչը նշանակում է, որ այն սիմետրիկ է O կետի նկատմամբ։ Վերցրեք կամայական x=3: f(x)=3^2=9. f(-x)=(-3)^2=9. Հետևաբար, f(x) = f(-x): Այսպիսով, մեզ համար երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիան հավասար է։ Ստորև ներկայացված է y=x^2 ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Նկարը ցույց է տալիս, որ գրաֆիկը սիմետրիկ է y առանցքի նկատմամբ: y=f(x) ֆունկցիան կոչվում է կենտ, եթե այն բավարարում է հետևյալ երկու պայմաններին. 1. Տրված ֆունկցիայի տիրույթը պետք է սիմետրիկ լինի O կետի նկատմամբ, այսինքն՝ եթե a որոշ կետ պատկանում է ֆունկցիայի տիրույթին, ապա համապատասխան -a կետը նույնպես պետք է պատկանի տվյալ ֆունկցիայի տիրույթին։ 2. Ֆունկցիայի տիրույթից x ցանկացած կետի համար պետք է բավարարվի հետևյալ հավասարությունը f (x) \u003d -f (x): Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է O կետի՝ սկզբնաղբյուրի նկատմամբ: Օրինակ՝ y=x^3 ֆունկցիան կենտ է։ Եկեք ստուգենք այն: Սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային առանցքն է, ինչը նշանակում է, որ այն սիմետրիկ է O կետի նկատմամբ։ Վերցրեք կամայական x=2: f(x)=2^3=8. f(-x)=(-2)^3=-8. Հետևաբար f(x) = -f(x): Այսպիսով, մեզ համար երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիան կենտ է։ Ստորև ներկայացված է y=x^3 ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Նկարից պարզ երևում է, որ y=x^3 կենտ ֆունկցիան սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։ Որոնք այս կամ այն չափով ծանոթ էին ձեզ: Այնտեղ նաև նշվել է, որ ֆունկցիայի հատկությունների պաշարն աստիճանաբար կհամալրվի։ Այս բաժնում կքննարկվեն երկու նոր հատկություններ: Սահմանում 1. y \u003d f (x), x є X ֆունկցիան կանչվում է նույնիսկ եթե X բազմությունից x արժեքի համար f (-x) \u003d f (x) հավասարությունը ճշմարիտ է: Սահմանում 2. y \u003d f (x), x є X ֆունկցիան կոչվում է կենտ, եթե X բազմությունից որևէ x արժեքի համար f (-x) \u003d -f (x) հավասարությունը ճիշտ է: Ապացուցեք, որ y = x 4 զույգ ֆունկցիա է: Լուծում. Մենք ունենք՝ f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4: Բայց (-x) 4 = x 4: Հետևաբար, ցանկացած x-ի համար հավասարությունը f (-x) = f (x), այսինքն. ֆունկցիան հավասար է։ Նմանապես, կարելի է ապացուցել, որ y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 ֆունկցիաները զույգ են: Ապացուցեք, որ y = x 3 կենտ ֆունկցիա է: Լուծում. Մենք ունենք՝ f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3: Բայց (-x) 3 = -x 3: Հետևաբար, ցանկացած x-ի համար հավասարությունը f (-x) \u003d -f (x), այսինքն. ֆունկցիան տարօրինակ է։ Նմանապես, կարելի է ապացուցել, որ y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 ֆունկցիաները տարօրինակ են: Դուք և ես մեզ բազմիցս համոզել ենք, որ մաթեմատիկայի նոր տերմիններն ամենից հաճախ «երկրային» ծագում ունեն, այսինքն. դրանք ինչ-որ կերպ կարելի է բացատրել: Սա վերաբերում է և՛ զույգ, և՛ կենտ ֆունկցիաներին: Տես՝ y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 կենտ ֆունկցիաներ են, մինչդեռ y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 զույգ ֆունկցիաներ են: Եվ ընդհանրապես, y \u003d x " ձևի ցանկացած ֆունկցիայի համար (ներքևում մենք հատուկ կուսումնասիրենք այս գործառույթները), որտեղ n-ը բնական թիվ է, կարող ենք եզրակացնել. եթե n-ը կենտ թիվ է, ապա y \u003d x ֆունկցիան «տարօրինակ է; եթե n-ը զույգ թիվ է, ապա y = xn ֆունկցիան զույգ է: Կան նաև ֆունկցիաներ, որոնք ոչ զույգ են, ոչ էլ կենտ։ Այդպիսին է, օրինակ, y \u003d 2x + 3 ֆունկցիան: Իրոք, f (1) \u003d 5, և f (-1) \u003d 1: Ինչպես տեսնում եք, այստեղ, հետևաբար, ոչ նույնականությունն է f (-x): ) \u003d f ( x), ոչ էլ ինքնությունը f(-x) = -f(x): Այսպիսով, ֆունկցիան կարող է լինել զույգ, կենտ կամ ոչ մեկը: Տրված ֆունկցիայի զույգ կամ կենտ լինելու հարցի ուսումնասիրությունը սովորաբար կոչվում է հավասարության ֆունկցիայի ուսումնասիրություն: 1 և 2 սահմանումները վերաբերում են ֆունկցիայի արժեքներին x և -x կետերում: Սա ենթադրում է, որ ֆունկցիան սահմանվում է և՛ x, և՛ -x կետում: Սա նշանակում է, որ -x կետը պատկանում է ֆունկցիայի տիրույթին միաժամանակ x կետի հետ։ Եթե X թվային բազմությունը իր յուրաքանչյուր x տարրի հետ պարունակում է հակառակ տարրը՝ x, ապա X-ը կոչվում է սիմետրիկ բազմություն։ Ենթադրենք (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) սիմետրիկ բազմություններ են, մինչդեռ )
Դիտարկենք \(f(x)=x^3-3x^2+4\) ֆունկցիան:
Կարելի է բազմապատկել. \
Հետևաբար, նրա զրոներն են՝ \(x=-1;2\) .
Եթե գտնենք \(f"(x)=3x^2-6x\) ածանցյալը, ապա կստանանք երկու ծայրահեղ կետ \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Հետևաբար, գծապատկերն ունի հետևյալ տեսքը. 
Մենք տեսնում ենք, որ ցանկացած հորիզոնական տող \(y=k\) , որտեղ \(0
Այսպիսով, ձեզ անհրաժեշտ է. \[\սկիզբ (դեպքեր) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Անմիջապես նշենք նաև, որ եթե \(t_1\) և \(t_2\) թվերը տարբեր են, ապա \(\log_(\sqrt2)t_1\) և \(\log_(\sqrt2)t_2\) թվերը կլինեն. լինել տարբեր, ուստի հավասարումները \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)Եվ \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)տարբեր արմատներ կունենան.
\((**)\) համակարգը կարող է վերաշարադրվել այսպես. \[\սկիզբ (դեպքեր) 1
Մենք հստակորեն չենք գրի արմատները:
Դիտարկենք \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) ֆունկցիան: Դրա գրաֆիկը պարաբոլա է՝ դեպի վեր ճյուղավորված, որն ունի աբսցիսայի առանցքի հետ հատման երկու կետ (այս պայմանը գրել ենք 1-ին պարբերությունում))։ Ինչպիսի՞ն պետք է լինի դրա գրաֆիկը, որպեսզի աբսցիսայի առանցքի հետ հատման կետերը լինեն \((1;4)\) միջակայքում: Այսպիսով. 
Նախ, ֆունկցիայի \(g(1)\) և \(g(4)\) արժեքները \(1\) և \(4\) կետերում պետք է լինեն դրական, և երկրորդը, գագաթը. պարաբոլան \(t_0\ ) նույնպես պետք է լինի \((1;4)\) միջակայքում: Այսպիսով, համակարգը կարող է գրվել. \[\սկիզբ (դեպքեր) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
\(g(x)\) ֆունկցիան ունի առավելագույն կետ \(x=0\) (և \(g_(\text(վերև))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Զրո ածանցյալ՝ \(x=0\) . Համար \ (x<0\)
имеем: \(g">0\) , \(x>0\) համար՝ \(g"<0\)
.
\(f(x)\) ֆունկցիան \(x>0\)-ի համար մեծանում է, իսկ \(x-ի համար<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Իրոք, \(x>0\)-ի համար առաջին մոդուլը դրականորեն ընդլայնվում է (\(|x|=x\)), հետևաբար, անկախ նրանից, թե ինչպես է ընդլայնվում երկրորդ մոդուլը, \(f(x)\) հավասար կլինի \ ( kx+A\) , որտեղ \(A\) արտահայտությունն է \(a\)-ից, իսկ \(k\) կամ \(13-10=3\) կամ \(13+10=23\) . Համար \ (x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Գտնենք \(f\) արժեքը նվազագույն կետում. \
Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկ
Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկ
