Kaip rasti trapecijos aukštį, jei žinomas. Kaip rasti trapecijos plotą

IR . Dabar galime pradėti svarstyti klausimą, kaip rasti trapecijos plotą. Ši užduotis kasdieniame gyvenime tai įvyksta labai retai, tačiau kartais pasirodo, kad reikia, pavyzdžiui, rasti trapecijos formos kambario plotą, kuris vis dažniau naudojamas statant modernius butus, arba renovacijos projektavimo projektuose.

Trapecija yra geometrinė figūra, sudarytas iš keturių susikertančių atkarpų, iš kurių dvi lygiagrečios viena kitai ir vadinamos trapecijos pagrindais. Kiti du segmentai vadinami trapecijos šonais. Be to, vėliau mums reikės kito apibrėžimo. Tai trapecijos vidurinė linija, kuri yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus ir trapecijos aukštį, kuris lygus atstumui tarp pagrindų.
Kaip ir trikampiai, trapecija turi tam tikrų tipų lygiašonių (lygiašonių) trapecijos formų, kurių kraštinių ilgiai yra vienodi ir stačiakampė trapecija, kuriame viena iš kraštinių sudaro stačią kampą su pagrindais.

Trapecijos turi keletą įdomių savybių:

1. Trapecijos vidurio linija yra pusė pagrindų sumos ir lygiagreti jiems.
   
2. Lygiašonis trapecijos turi vienodas kraštines ir kampus, kuriuos jos sudaro su pagrindais.
   
3. Trapecijos įstrižainių vidurio taškai ir jos įstrižainių susikirtimo taškai yra toje pačioje tiesėje.
   
4. Jei trapecijos kraštinių suma lygi pagrindų sumai, tai į ją galima įrašyti apskritimą
   
5. Jei kampų, kuriuos sudaro trapecijos kraštinės bet kuriame iš jos pagrindų, suma yra 90, tai atkarpos, jungiančios pagrindų vidurio taškus, ilgis yra lygus jų pusės skirtumui.
   
6. Lygiašonę trapeciją galima apibūdinti apskritimu. Ir atvirkščiai. Jei trapecija įbrėžta į apskritimą, tada ji yra lygiašonė.
   
7. Atkarpa, einanti per lygiašonės trapecijos pagrindų vidurio taškus, bus statmena jos pagrindams ir žymi simetrijos ašį.
   

Kaip rasti trapecijos plotą.

Trapecijos plotas bus pusė jos pagrindų sumos, padaugintos iš jos aukščio. Formulės pavidalu tai parašyta kaip išraiška:

kur S yra trapecijos plotas, a, b yra kiekvieno trapecijos pagrindo ilgis, h yra trapecijos aukštis.

Šią formulę galite suprasti ir atsiminti taip. Kaip matyti iš toliau pateikto paveikslo, trapecija, naudojant vidurinę liniją, gali būti paversta stačiakampiu, kurio ilgis bus lygus pusei bazių sumos.

Taip pat galite išskaidyti bet kurią trapeciją į paprastesnes formas: stačiakampį ir vieną ar du trikampius, o jei jums lengviau, tada raskite trapecijos plotą kaip ją sudarančių figūrų plotų sumą.

Yra dar vienas paprasta formule apskaičiuoti jo plotą. Pagal jį trapecijos plotas yra lygus jos vidurio linijos ir trapecijos aukščio sandaugai ir rašomas taip: S \u003d m * h, kur S yra plotas, m yra trapecijos ilgis. vidurio linija, h yra trapecijos aukštis. Ši formulė labiau tinka matematikos, o ne kasdieniams uždaviniams, nes realiomis sąlygomis nesužinosite vidurio linijos ilgio be preliminarūs skaičiavimai. O jūs žinosite tik pagrindų ir šonų ilgius.

Tokiu atveju trapecijos plotą galima rasti naudojant formulę:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

kur S – plotas, a,b – pagrindai, c,d – trapecijos kraštinės.

Yra dar keletas būdų, kaip rasti trapecijos plotą. Tačiau jie yra tokie pat nepatogūs, kaip ir paskutinė formulė, o tai reiškia, kad nėra prasmės prie jų galvoti. Todėl rekomenduojame naudoti pirmąją formulę iš straipsnio ir linkime, kad visada gautumėte tikslius rezultatus.

Trapecija vadinamas keturkampiu tik du kraštinės lygiagrečios viena kitai.

Jie vadinami figūros pagrindais, likusieji – šonais. Lygiagretainis laikomas ypatingu figūros atveju. Taip pat yra kreivinė trapecija, kurioje yra funkcijų grafikas. Trapecijos ploto formulės apima beveik visus jos elementus ir Geriausias sprendimas parenkamas atsižvelgiant į nurodytas vertes.
Pagrindiniai vaidmenys trapecijoje priskiriami aukščiui ir vidurio linijai. vidurinė linija- tai linija, jungianti kraštinių vidurio taškus. Aukštis trapecija brėžiama stačiu kampu nuo viršutinio kampo iki pagrindo.
Trapecijos plotas per aukštį yra lygus pusės pagrindų ilgių sumos sandaugai, padaugintam iš aukščio:

Jei mediana yra žinoma pagal sąlygas, ši formulė yra labai supaprastinta, nes ji yra lygi pusei bazių ilgių sumos:

Jei pagal sąlygas pateikiami visų kraštinių ilgiai, galime apsvarstyti pavyzdį, kaip apskaičiuoti trapecijos plotą pagal šiuos duomenis:

Tarkime, kad trapecija duota, kurios pagrindai a = 3 cm, b = 7 cm, o kraštinės c = 5 cm, d = 4 cm. Raskite figūros plotą:

Lygiašonės trapecijos plotas

Atskiras atvejis yra lygiašonis arba, kaip dar vadinamas, lygiašonis trapecija.
Ypatingas atvejis taip pat yra lygiašonės (lygiašonės) trapecijos ploto radimas. Išvestinė formulė Skirtingi keliai- per įstrižaines, per kampus, esančius greta pagrindo, ir įbrėžto apskritimo spindulį.
Jei įstrižainių ilgis nurodytas pagal sąlygas ir žinomas kampas tarp jų, galite naudoti šią formulę:

Atminkite, kad lygiašonės trapecijos įstrižainės yra lygios viena kitai!

Tai yra, žinodami vieną iš jų pagrindų, šoną ir kampą, galite lengvai apskaičiuoti plotą.

Kreivinės trapecijos plotas

Atskiras atvejis yra kreivinė trapecija. Jis yra koordinačių ašyje ir apsiriboja nuolatinės teigiamos funkcijos grafiku.

Jo pagrindas yra X ašyje ir yra apribotas dviem taškais:
Integralai padeda apskaičiuoti kreivinės trapecijos plotą.
Formulė parašyta taip:

Apsvarstykite kreivinės trapecijos ploto apskaičiavimo pavyzdį. Reikalinga formulė tam tikros žinios dirbti su apibrėžtaisiais integralais. Pirmiausia išanalizuokime apibrėžtojo integralo reikšmę:

Čia F(a) yra antidarinės funkcijos f(x) reikšmė taške a, F(b) – tos pačios funkcijos f(x) reikšmė taške b.

Dabar išspręskime problemą. Paveiksle pavaizduota kreivinė trapecija, apribota funkcijos. Funkcija
Turime rasti pasirinktos figūros plotą, kuris yra kreivinė trapecija, kurią viršuje riboja grafikas, dešinėje yra tiesė x = (-8), kairėje yra tiesė x = (- 10), o ašis OX yra žemiau.
Šios figūros plotą apskaičiuosime pagal formulę:

Funkciją mums suteikia problemos sąlygos. Naudodami jį kiekviename iš mūsų taškų rasime antidarinio vertes:


Dabar
Atsakymas: tam tikros kreivinės trapecijos plotas yra 4.

Apskaičiuojant šią vertę nėra nieko sudėtingo. Svarbu tik didžiausias atidumas atliekant skaičiavimus.

Trapecijos plotas. Sveikinimai! Šiame leidinyje mes apsvarstysime šią formulę. Kodėl taip yra ir kaip tai suprasti? Jei yra supratimas, tai nereikia jo mokytis. Jei norite tiesiog pamatyti šią formulę ir tai, kas skubu, galite nedelsdami slinkti puslapiu žemyn))

Dabar išsamiai ir tvarkingai.

Trapecija yra keturkampis, dvi šio keturkampio kraštinės lygiagrečios, kitos dvi – ne. Tie, kurie nėra lygiagretūs, yra trapecijos pagrindai. Kiti du vadinami šonais.

Jei kraštinės lygios, tada trapecija vadinama lygiašone. Jei viena iš kraštinių yra statmena pagrindams, tada tokia trapecija vadinama stačiakampe.

AT klasikinė forma trapecija vaizduojama taip - didesnis pagrindas yra apačioje, mažesnis yra viršuje. Tačiau niekas nedraudžia to vaizduoti ir atvirkščiai. Štai eskizai:

Kita svarbi koncepcija.

Trapecijos vidurinė linija yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus. Vidurinė linija yra lygiagreti trapecijos pagrindams ir lygi jų pusei.

Dabar pasigilinkime giliau. Kodėl būtent?

Apsvarstykite trapeciją su pagrindais a ir b ir su vidurine linija l, ir atlikite keletą papildomų konstrukcijų: per pamatus nubrėžkite tiesias linijas, o per vidurinės linijos galus - statmenas, kol jos susikirs su pagrindais:

* Viršūnių ir kitų taškų raidiniai žymėjimai neįvedami sąmoningai, kad būtų išvengta nereikalingų žymėjimų.

Žiūrėkite, 1 ir 2 trikampiai yra lygūs pagal antrąjį trikampių lygybės ženklą, 3 ir 4 trikampiai yra vienodi. Iš trikampių lygybės išplaukia elementų lygybė, būtent kojos (jos atitinkamai pažymėtos mėlyna ir raudona spalva).

Dabar dėmesio! Jei mintyse „nukirpsime“ mėlyną ir raudoną segmentus nuo apatinio pagrindo, tada turėsime segmentą (tai yra stačiakampio kraštinė), lygų vidurinei linijai. Be to, jei nupjautus mėlynus ir raudonus segmentus „priklijuosime“ prie viršutinio trapecijos pagrindo, taip pat gausime segmentą (tai taip pat yra stačiakampio kraštinė), lygų trapecijos vidurio linijai.

Supratau? Pasirodo, bazių suma bus lygi dviems trapecijos viduriams:

Žiūrėkite kitą paaiškinimą

Darykime taip – ​​nutieskite tiesią liniją, einančią per apatinį trapecijos pagrindą, ir tiesę, kuri eis per taškus A ir B:

Gauname trikampius 1 ir 2, jų šoniniai ir gretimieji kampai yra lygūs (antrasis trikampių lygybės ženklas). Tai reiškia, kad gautas segmentas (eskize pažymėtas mėlyna spalva) yra lygus viršutiniam trapecijos pagrindui.

Dabar apsvarstykite trikampį:

*Šios trapecijos vidurinė linija ir trikampio vidurinė linija sutampa.

Yra žinoma, kad trikampis yra lygus pusei pagrindo, lygiagrečios jam, tai yra:

Gerai, supratau. Dabar apie trapecijos plotą.

Trapecijos ploto formulė:

Jie sako: trapecijos plotas yra lygus pusės jos pagrindų ir aukščio sumos sandaugai.

Tai yra, paaiškėja, kad jis yra lygus vidurio linijos ir aukščio sandaugai:

Tikriausiai jau pastebėjote, kad tai akivaizdu. Geometriškai tai galima išreikšti taip: jei mintyse nupjausime 2 ir 4 trikampius nuo trapecijos ir padėsime juos atitinkamai ant 1 ir 3 trikampių:

Tada gauname stačiakampį, kurio plotas lygus mūsų trapecijos plotui. Šio stačiakampio plotas bus lygus vidurio linijos ir aukščio sandaugai, tai yra, galime parašyti:

Bet esmė čia, žinoma, ne raštu, o supratimu.

Atsisiųskite (peržiūrėkite) straipsnio medžiagą *pdf formatu

Tai viskas. Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras.

Yra daug būdų, kaip rasti trapecijos plotą. Paprastai matematikos mokytojas žino kelis jo skaičiavimo metodus, pakalbėkime apie juos išsamiau:
1) , kur AD ir BC yra pagrindai, o BH yra trapecijos aukštis. Įrodymas: nubrėžkite įstrižainę BD ir išreikškite trikampių ABD ir CDB plotus jų pagrindų ir aukščio pusės sandauga:

, kur DP yra išorinis aukštis in

Sudedame šias lygybes po termino ir, atsižvelgiant į tai, kad BH ir DP aukščiai yra vienodi, gauname:

Išimkime jį iš laikiklio

Q.E.D.

Trapecijos ploto formulės pasekmė:
Kadangi pusės pagrindų sumos lygi MN - trapecijos vidurio linijai, tada

2) Keturkampio ploto bendrosios formulės taikymas.
Keturkampio plotas yra pusė įstrižainių sandaugos, padaugintos iš kampo tarp jų sinuso
Norėdami tai įrodyti, pakanka trapeciją padalinti į 4 trikampius, kiekvieno plotą išreikšti „įstrižainių pusės sandaugos ir kampo tarp jų sinuso sandauga“ (jis laikomas kampu , pridėkite gautas išraiškas, iškelkite ją iš skliaustų ir išskaidykite šį skliaustą į veiksnius naudodami grupavimo metodą, kad gautumėte lygybę išraiškai.

3) Įstrižainės poslinkio metodas
Tai mano titulas. Mokykliniuose vadovėliuose matematikos mokytojas tokios antraštės neras. Priėmimo aprašymą galima rasti tik papildomame mokymo priemones kaip problemos sprendimo pavyzdys. Atkreipiu dėmesį, kad dauguma įdomių ir naudingų faktų planimetrijos matematikos dėstytojai atviri besimokantiems studentams praktinis darbas. Tai itin neoptimalu, nes mokiniui reikia jas suskirstyti į atskiras teoremas ir vadinti „dideliais vardais“. Vienas iš jų yra „įstrižainės poslinkis“. Apie ką klausime?Nubrėžkime tiesę, lygiagrečią su AC per viršūnę B, kol ji susikirs su apatine baze taške E. Šiuo atveju keturkampis EBCA bus lygiagretainis (pagal apibrėžimą), todėl BC=EA ir EB=AC. Dabar mums rūpi pirmoji lygybė. Mes turime:

Atkreipkite dėmesį, kad trikampis BED, kurio plotas lygus trapecijos plotui, turi keletą kitų puikių savybių:
1) Jo plotas lygus trapecijos plotui
2) Jo lygiašonis atsiranda kartu su pačios trapecijos lygiašoniais
3) jo viršutinis kampas viršūnėje B lygus kampui tarp trapecijos įstrižainių (kuri labai dažnai naudojama problemoms spręsti)
4) Jo mediana BK lygi atstumui QS tarp trapecijos pagrindų vidurio taškų. Neseniai su šios nuosavybės naudojimu susidūriau ruošdamas studentą į Maskvos valstybinio universiteto Mekhmat, naudodamas Tkačuko vadovėlį, 1973 m. versiją (užduotis pateikta puslapio apačioje).

Specialūs matematikos mokytojų pasiūlymai.

Kartais aš siūlau užduotis labai sudėtingu būdu, kaip rasti trapecijos kvadratą. Priskiriu tai ypatingiems judesiams, nes praktikoje dėstytojas retai juos naudoja. Jei matematikos egzaminui reikia ruoštis tik B dalyje, apie juos galite neskaityti. Kitiems papasakosiu daugiau. Pasirodo, trapecijos plotas yra du kartus daugiau ploto trikampis su viršūnėmis vienos kraštinės galuose ir kitos viduryje, tai yra ABS trikampis paveiksle:
Įrodymas: trikampiuose BCS ir ADS nubrėžkite aukščius SM ir SN ir išreikškite šių trikampių plotų sumą:

Kadangi taškas S yra CD vidurio taškas, tada (įrodykite tai patys). Raskime trikampių plotų sumą:

Kadangi ši suma buvo lygi pusei trapecijos ploto, tada - jos antroji pusė. Ch.t.d.

Lygiašonės trapecijos ploto išilgai jos šonų apskaičiavimo formą įtraukčiau į specialių mokytojo judesių lobyną: kur p yra trapecijos pusė. Aš nepateiksiu įrodymų. Priešingu atveju jūsų matematikos mokytojas neteks darbo :). Ateik į klasę!

Užduotys trapecijos plotui:

Matematikos mokytojo pastaba: Šis sąrašas nėra metodinis temos vadovas, jis yra tik mažas pasirinkimasįdomių problemų dėl aukščiau išvardytų metodų.

1) Lygiašonės trapecijos apatinis pagrindas yra 13, o viršutinis - 5. Raskite trapecijos plotą, jei jos įstrižainė yra statmena kraštinei.
2) Raskite trapecijos plotą, jei jos pagrindai yra 2 cm ir 5 cm, o kraštinės yra 2 cm ir 3 cm.
3) Lygiašonės trapecijos didesnė bazė yra 11, kraštinė yra 5, o įstrižainė yra Raskite trapecijos plotą.
4) Lygiašonės trapecijos įstrižainė lygi 5, o vidurio linija lygi 4. Raskite plotą.
5) Lygiašonės trapecijos pagrindai yra 12 ir 20, o įstrižainės yra viena kitai statmenos. Apskaičiuokite trapecijos plotą
6) Lygiašonės trapecijos įstrižainė sudaro kampą su apatiniu pagrindu. Raskite trapecijos plotą, jei jos aukštis yra 6 cm.
7) Trapecijos plotas yra 20, o viena iš jos kraštinių yra 4 cm. Raskite atstumą iki jos nuo priešingos kraštinės vidurio.
8) Lygiašonės trapecijos įstrižainė padalija ją į trikampius, kurių plotai yra 6 ir 14. Raskite aukštį, jei kraštinė lygi 4.
9) Trapecijos įstrižainės yra 3 ir 5, o atkarpa, jungianti pagrindų vidurio taškus, yra 2. Raskite trapecijos plotą (Maskvos valstybinio universiteto Mekhmat, 1970).

Pasirinkau ne pačias sunkiausias užduotis (nebijokite Mekhmato!) tikėdamasis, kad jos galės nepriklausomas sprendimas. Spręskite dėl sveikatos! Jei reikia ruoštis matematikos egzaminui, tai nedalyvaujant šiame procese gali atsirasti trapecijos plotų formulės rimtų problemų net su problema B6 ir juo labiau su C4. Nepradėkite temos, o iškilus sunkumams kreipkitės pagalbos. Matematikos mokytojas visada mielai jums padės.

Kolpakovas A.N.
Matematikos mokytojas Maskvoje, pasiruošimas egzaminui Strogine.

Trapecija yra išgaubtas keturkampis, kurio dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi yra nelygiagrečios. Jei visos priešingos keturkampio kraštinės yra poromis lygiagrečios, tai yra lygiagretainis.

Jums reikės

• - visos trapecijos pusės (AB, BC, CD, DA).

Instrukcija

• Nelygiagrečios pusės trapecija vadinamos šoninėmis kraštinėmis, o lygiagrečios – bazėmis. Linija tarp pagrindų, statmena jiems - aukštis trapecija. Jei šonai trapecija lygus, jis vadinamas lygiašoniu. Pirmiausia apsvarstykite sprendimą trapecija, kuri nėra lygiašonė.
• Nubrėžkite liniją BE nuo taško B iki apatinio pagrindo AD lygiagrečiai šonui trapecija CD. Kadangi BE ir CD yra lygiagrečiai ir nubrėžti tarp lygiagrečių bazių trapecija BC ir DA, tada BCDE yra lygiagretainis, o jo priešingos kraštinės BE ir CD yra lygios. BE=CD.
• Apsvarstykite trikampį ABE. Apskaičiuokite šoninę AE. AE = AD-ED. Pamatai trapecija BC ir AD yra žinomi, o lygiagretainio BCDE priešingos kraštinės ED ir BC yra lygios. ED = BC, taigi AE = AD-BC.
• Dabar sužinokite trikampio ABE plotą naudodami Herono formulę, apskaičiuodami pusperimetrą. S=šaknis(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). Šioje formulėje p yra trikampio ABE pusperimetras. p=1/2*(AB+BE+AE). Norėdami apskaičiuoti plotą, žinote visus reikiamus duomenis: AB, BE=CD, AE=AD-BC.
• Tada užrašykite trikampio ABE plotą kitaip - jis lygus pusei trikampio BH aukščio ir kraštinės AE, į kurią jis nubrėžtas, sandaugos. S=1/2*BH*AE.
• Išreikškite iš šios formulės aukščio trikampis, kuris taip pat yra aukštis trapecija. BH=2*S/AE. Apskaičiuok.

Jei trapecija lygiašonė, sprendimas gali būti atliktas kitaip. Apsvarstykite trikampį ABH. Jis yra stačiakampis, nes vienas iš kampų, BHA, yra tiesus.

• Braukite nuo viršūnės C aukščio CF.
• Išnagrinėkite HBCF figūrą. HBCF yra stačiakampis, nes dvi jo kraštinės yra aukščiai, o kitos dvi yra pagrindai trapecija, tai yra, kampai yra statūs, o priešingos kraštinės lygiagrečios. Tai reiškia, kad BC=HF.
• Pažvelkite į stačiuosius trikampius ABH ir FCD. Kampai aukštyje BHA ir CFD yra statūs, o kampai šoninėse kraštinėse BAH ir CDF lygūs, kadangi trapecija ABCD yra lygiašonė, todėl trikampiai yra panašūs. Kadangi aukščiai BH ir CF yra lygūs arba lygiašonio kraštinės trapecija AB ir CD yra sutampa, tada panašūs trikampiai taip pat yra kongruentiški. Vadinasi, jų pusės AH ir FD taip pat yra lygios.
• Raskite AH. AH+FD=AD-HF. Kadangi iš lygiagretainio HF=BC, o iš trikampių AH=FD, tai AH=(AD-BC)*1/2.
• Toliau apskaičiuokite iš dešiniojo trikampio ABH, naudodami Pitagoro teoremą aukščio B.H. Hipotenuzės AB kvadratas lygus kojų AH ir BH kvadratų sumai. BH=šaknis (AB*AB-AH*AH).