Studentai su piramidės koncepcija susiduria dar gerokai prieš studijuodami geometriją. Kalti garsieji didieji Egipto pasaulio stebuklai. Todėl, pradėdami tyrinėti šį nuostabų daugiakampį, dauguma studentų jau aiškiai jį įsivaizduoja. Visi aukščiau išvardyti taikikliai yra tinkamos formos. Ką dešinioji piramidė, kokias savybes jis turi ir bus aptartas toliau.
Susisiekus su
Apibrėžimas
Yra daug piramidės apibrėžimų. Nuo seniausių laikų jis buvo labai populiarus.
Pavyzdžiui, Euklidas jį apibrėžė kaip vientisą figūrą, susidedančią iš plokštumų, kurios, pradedant nuo vienos, susilieja tam tikrame taške.
Heronas pateikė tikslesnę formulę. Jis tvirtino, kad tai yra figūra turi pagrindą ir plokštumas trikampių pavidalu, susilieja viename taške.
Pasikliaujant šiuolaikinė interpretacija, piramidė vaizduojama kaip erdvinis daugiakampis, susidedantis iš tam tikro kkampio ir k plokščių figūrų trikampio formos turintis vieną bendrą tašką.
Pažiūrėkime atidžiau, Iš kokių elementų jis susideda?
- k-gon laikomas figūros pagrindu;
- 3 kampų figūrėlės išsikiša kaip šoninės dalies šonai;
- viršutinė dalis, iš kurios kyla šoniniai elementai, vadinama viršutine;
- visos atkarpos, jungiančios viršūnę, vadinamos briaunomis;
- jei tiesi linija nuleista nuo viršaus į figūros plokštumą 90 laipsnių kampu, tai jos dalis, uždaryta vidinėje erdvėje, yra piramidės aukštis;
- bet kuriame šoniniame elemente, esančiame mūsų daugiakampio pusėje, galite nubrėžti statmeną, vadinamą apotemu.
Kraštinių skaičius apskaičiuojamas pagal formulę 2*k, kur k – k-kampio kraštinių skaičius. Kiek veidų turi daugiakampis, panašus į piramidę, gali būti nustatytas išraiška k + 1.
Svarbu! Piramidė teisinga forma vadinama stereometrine figūra, kurios pagrindinė plokštuma yra k-kampis su lygiomis kraštinėmis.
Pagrindinės savybės
Teisinga piramidė turi daug savybių kurios būdingos tik jai. Išvardinkime juos:
- Pagrindas yra tinkamos formos figūra.
- Piramidės briaunos, ribojančios šoninius elementus, turi vienodas skaitines reikšmes.
- Šoniniai elementai - lygiašoniai trikampiai.
- Figūros aukščio pagrindas patenka į daugiakampio centrą, o jis yra tuo pačiu metu centrinis taškasįėjo ir aprašė.
- Visi šoniniai šonkauliai yra pasvirę į pagrindinę plokštumą tuo pačiu kampu.
- Visi šoniniai paviršiai turi tokį patį pasvirimo kampą pagrindo atžvilgiu.
Dėl visų išvardytų savybių elementų skaičiavimų atlikimas yra labai supaprastintas. Remdamiesi aukščiau pateiktomis savybėmis, atkreipiame dėmesį į du ženklai:
- Tuo atveju, kai daugiakampis tilps į apskritimą, šoniniai paviršiai turės pagrindą vienodi kampai.
- Aprašant apskritimą aplink daugiakampį, visos piramidės briaunos, kylančios iš viršūnės, bus vienodo ilgio ir vienodo kampo su pagrindu.
Aikštė yra pagrįsta
Taisyklinga keturkampė piramidė - daugiakampis, pagrįstas kvadratu.
Jis turi keturis šoninius paviršius, kurie yra lygiašoniai.
Plokštumoje vaizduojamas kvadratas, tačiau jie pagrįsti visomis taisyklingo keturkampio savybėmis.
Pavyzdžiui, jei jums reikia sujungti kvadrato kraštą su jo įstriža, tada naudokite tokią formulę: įstrižainė lygi kvadrato kraštinės ir dviejų kvadratinės šaknies sandaugai.
Remiantis taisyklingu trikampiu
Taisyklinga trikampė piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra taisyklingas 3 kampų.
Jei pagrindas yra taisyklingas trikampis, o šoniniai kraštai lygūs pagrindo kraštams, tada tokia figūra vadinamas tetraedru.
Visi tetraedro paviršiai yra lygiakraščiai 3 kampų. AT Ši byla skaičiuodami turite žinoti kai kuriuos dalykus ir nešvaistyti jiems laiko:
- šonkaulių pasvirimo kampas į bet kurį pagrindą yra 60 laipsnių;
- visų vidinių veidų vertė taip pat yra 60 laipsnių;
- bet koks veidas gali veikti kaip pagrindas;
- paveikslo viduje nupiešti vienodi elementai.
Daugiakampio pjūviai
Bet kuriame daugiakampyje yra kelių tipų skyriai lėktuvas. Dažnai į mokyklos kursas geometrijos veikia su dviem:
- ašinis;
- lygiagretus pagrindas.
Ašinė pjūvis gaunamas susikertant daugiakampį su plokštuma, kuri eina per viršūnę, šonines briaunas ir ašį. Šiuo atveju ašis yra aukštis, nubrėžtas iš viršūnės. Pjovimo plokštumą riboja susikirtimo linijos su visais paviršiais, todėl susidaro trikampis.
Dėmesio! Taisyklingoje piramidėje ašinis pjūvis yra lygiašonis trikampis.
Jei pjovimo plokštuma eina lygiagrečiai pagrindui, rezultatas yra antrasis variantas. Šiuo atveju mes turime paveikslą, panašų į pagrindą.
Pavyzdžiui, jei pagrindas yra kvadratas, tai atkarpa lygiagreti pagrindui taip pat bus kvadratinė, tik mažesnė.
Sprendžiant problemas pagal šią sąlygą, naudojami figūrų panašumo ženklai ir savybės, remiantis Talio teorema. Visų pirma, būtina nustatyti panašumo koeficientą.
Jei plokštuma nubrėžta lygiagrečiai pagrindui, ir ji nupjaunama viršutinė dalis daugiakampis, tada apatinėje dalyje gaunama taisyklinga nupjauta piramidė. Tada sakoma, kad nupjauto daugiakampio pagrindai yra panašūs daugiakampiai. Šiuo atveju šoniniai paviršiai yra lygiašonės trapecijos. Ašinė pjūvis taip pat yra lygiašonis.
Norint nustatyti nupjauto daugiakampio aukštį, reikia nubrėžti aukštį ašine pjūve, tai yra trapecija.
Paviršiaus plotai
Pagrindinės geometrinės problemos, kurias reikia išspręsti mokyklos geometrijos kurse piramidės paviršiaus ploto ir tūrio radimas.
Yra dviejų tipų paviršiaus plotas:
- šoninių elementų plotas;
- viso paviršiaus ploto.
Iš paties pavadinimo aišku, apie ką kalbama. Šoninis paviršius apima tik šoninius elementus. Iš to išplaukia, kad norint jį rasti, tereikia susumuoti šoninių plokštumų plotus, tai yra lygiašonių 3 kampų plotus. Pabandykime išvesti šoninių elementų ploto formulę:
- Lygiašonio 3 kampo plotas yra Str = 1/2 (aL), kur a yra pagrindo kraštinė, L yra apotema.
- Šoninių plokštumų skaičius priklauso nuo pagrindo k-gon tipo. Pavyzdžiui, taisyklinga keturkampė piramidė turi keturias šonines plokštumas. Todėl reikia susumuoti keturių skaičių plotus Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Išraiška tokiu būdu supaprastinta, nes reikšmė 4a=POS, kur POS yra pagrindo perimetras. O išraiška 1/2 * Rosn yra jos pusiau perimetras.
- Taigi darome išvadą, kad taisyklingos piramidės šoninių elementų plotas yra lygus pagrindo pusperimetro ir apotemos sandaugai: Sside = Rosn * L.
Viso piramidės paviršiaus plotas susideda iš šoninių plokštumų ir pagrindo plotų sumos: Sp.p. = Sside + Sbase.
Kalbant apie pagrindo plotą, čia formulė naudojama pagal daugiakampio tipą.
Taisyklingos piramidės tūris lygus pagrindo plokštumos ploto ir aukščio sandaugai, padalytai iš trijų: V=1/3*Sbazė*H, kur H – daugiakampio aukštis.
Kas yra taisyklinga piramidė geometrijoje
Taisyklingos keturkampės piramidės savybės
Piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis. Visi veidai savo ruožtu sudaro trikampius, kurie susilieja vienoje viršūnėje. Piramidės yra trikampės, keturkampės ir pan. Norint nustatyti, kuri piramidė yra priešais jus, pakanka suskaičiuoti kampų skaičių jos pagrindu. „Piramidės aukščio“ apibrėžimas labai dažnai randamas geometrijos problemose mokyklos mokymo programa. Straipsnyje mes stengsimės apsvarstyti Skirtingi keliai jos vieta.
Piramidės dalys
Kiekviena piramidė susideda iš šių elementų:
- šoniniai paviršiai, turintys tris kampus ir susiliejantys viršuje;
- apothem reiškia aukštį, kuris nusileidžia nuo jo viršūnės;
- piramidės viršus – taškas, jungiantis šonines briaunas, bet ne gulintis pagrindo plokštumoje;
- pagrindas yra daugiakampis, kuriame nėra viršūnės;
- piramidės aukštis yra atkarpa, kuri kerta piramidės viršūnę ir sudaro stačią kampą su jos pagrindu.
Kaip sužinoti piramidės aukštį, jei žinomas jos tūris
Pagal formulę V \u003d (S * h) / 3 (formulėje V yra tūris, S yra pagrindo plotas, h yra piramidės aukštis), nustatome, kad h \u003d (3 * V) / S . Norėdami konsoliduoti medžiagą, nedelsdami išspręskime problemą. Trikampio pagrindo plotas yra 50 cm 2 , o tūris - 125 cm 3 . nežinomo aukščio trikampė piramidė, kurį turime rasti. Čia viskas paprasta: duomenis įterpiame į savo formulę. Gauname h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.
Kaip rasti piramidės aukštį, jei žinomas įstrižainės ilgis ir jos briauna
Kaip prisimename, piramidės aukštis sudaro stačią kampą su jos pagrindu. Ir tai reiškia, kad aukštis, kraštas ir pusė įstrižainės kartu sudaro Daugelis, žinoma, prisimena Pitagoro teoremą. Žinant du matmenis, nebus sunku rasti trečiąją vertę. Prisiminkite gerai žinomą teoremą a² = b² + c², kur a yra hipotenuzė, o mūsų atveju - piramidės kraštas; b - piramidės pirmoji atkarpa arba pusė įstrižainės ir c - atitinkamai antroji kojelė arba piramidės aukštis. Pagal šią formulę c² = a² - b².
Dabar problema: įprastoje piramidėje įstrižainė yra 20 cm, o krašto ilgis - 30 cm. Reikia rasti aukštį. Mes išsprendžiame: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Vadinasi, c \u003d √ 500 \u003d apie 22,4.
Kaip rasti nupjautos piramidės aukštį
Tai daugiakampis, kurio atkarpa lygiagreti jo pagrindui. Nupjautos piramidės aukštis yra segmentas, jungiantis du jos pagrindus. Aukštį galima rasti prie taisyklingos piramidės, jei žinomi abiejų pagrindų įstrižainių ilgiai, taip pat piramidės briauna. Tegul didesnio pagrindo įstrižainė yra d1, o mažesnio pagrindo įstrižainė lygi d2, o briaunos ilgis l. Norėdami rasti aukštį, galite sumažinti aukščius nuo dviejų viršutinių priešingų diagramos taškų iki pagrindo. Matome, kad gavome du stačiakampius trikampius, belieka rasti jų kojų ilgius. Norėdami tai padaryti, atimkite mažesnę įstrižainę iš didesnės įstrižainės ir padalinkite iš 2. Taigi rasime vieną koją: a \u003d (d1-d2) / 2. Po to, pagal Pitagoro teoremą, belieka rasti antrąją koją, kuri yra piramidės aukštis.
Dabar pažvelkime į visa tai praktiškai. Mūsų laukia užduotis. Nupjautos piramidės apačioje yra kvadratas, didesnio pagrindo įstrižainės ilgis yra 10 cm, o mažesnės - 6 cm, o kraštas - 4 cm, reikia rasti aukštį. Pirmiausia randame vieną koją: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Viena koja yra 2 cm, o hipotenuzė - 4 cm. Pasirodo, antroji koja arba aukštis bus 16- 4 \u003d 12, tai yra, h \u003d √12 = apie 3,5 cm.
- apotemas- taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas iš jos viršaus (be to, apotemas yra statmens, nuleistos nuo taisyklingo daugiakampio vidurio iki 1 jo kraštinių, ilgis);
- šoniniai veidai (ASB, BSC, CSD, DSA) - trikampiai, kurie susilieja viršuje;
- šoniniai šonkauliai ( AS , BS , CS , D.S. ) — bendrosios pusėsšoniniai veidai;
- piramidės viršūnė (v. S) - taškas, jungiantis šoninius kraštus ir kuris nėra pagrindo plokštumoje;
- aukščio ( TAIP ) - statmens atkarpa, kuri per piramidės viršūnę nubrėžta iki jos pagrindo plokštumos (tokio atkarpos galai bus piramidės viršūnė ir statmens pagrindas);
- įstrižainė piramidės pjūvis- piramidės atkarpa, einanti per pagrindo viršų ir įstrižainę;
- bazė (ABCD) yra daugiakampis, kuriam nepriklauso piramidės viršūnė.
piramidės savybės.
1. Kai visi šoniniai kraštai yra vienodo dydžio, tada:
- šalia piramidės pagrindo lengva apibūdinti apskritimą, o piramidės viršus bus projektuojamas į šio apskritimo centrą;
- šoniniai šonkauliai sudaro vienodus kampus su pagrindine plokštuma;
- be to, yra ir atvirkščiai, t.y. kai šoninės briaunos sudaro lygius kampus su pagrindo plokštuma arba kai šalia piramidės pagrindo galima apibūdinti apskritimą ir piramidės viršūnė bus projektuojama į šio apskritimo centrą, tada visos piramidės šoninės briaunos turi tokio pat dydžio.
2. Kai šoniniai paviršiai turi tokios pat vertės pasvirimo kampą į pagrindo plokštumą, tada:
- šalia piramidės pagrindo lengva apibūdinti apskritimą, o piramidės viršus bus projektuojamas į šio apskritimo centrą;
- šoninių paviršių aukščiai yra vienodo ilgio;
- šoninio paviršiaus plotas yra ½ pagrindo perimetro ir šoninio paviršiaus aukščio sandauga.
3. Sfera gali būti aprašyta šalia piramidės, jei piramidės pagrindas yra daugiakampis, aplink kurį galima apibūdinti apskritimą (būtina ir pakankama sąlyga). Sferos centras bus plokštumų, einančių per joms statmenos piramidės kraštų vidurio taškus, susikirtimo taškas. Iš šios teoremos darome išvadą, kad rutulys gali būti aprašytas tiek aplink bet kurią trikampę, tiek aplink bet kurią taisyklingąją piramidę.
4. Į piramidę galima įrašyti sferą, jei piramidės vidinių dvikampių kampų bisektorinės plokštumos susikerta 1-ajame taške (būtina ir pakankama sąlyga). Šis taškas taps sferos centru.
Paprasčiausia piramidė.
Pagal piramidės pagrindo kampų skaičių jie skirstomi į trikampius, keturkampius ir pan.
Piramidė bus trikampis, keturkampis, ir taip toliau, kai piramidės pagrindas yra trikampis, keturkampis ir pan. Trikampė piramidė yra tetraedras – tetraedras. Keturkampis – penkiakampis ir pan.
Šis vaizdo įrašas padės vartotojams susidaryti idėją apie piramidės temą. Teisinga piramidė. Šioje pamokoje susipažinsime su piramidės samprata, pateiksime jos apibrėžimą. Apsvarstykite, kas yra įprasta piramidė ir kokias savybes ji turi. Tada įrodome taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus teoremą.
Šioje pamokoje susipažinsime su piramidės samprata, pateiksime jos apibrėžimą.
Apsvarstykite daugiakampį A 1 A 2...A n, kuris yra plokštumoje α, ir tašką P, kuri nėra plokštumoje α (1 pav.). Sujungkime tašką P su viršūnėmis A 1, A 2, A 3, … A n. Gauk n trikampiai: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R ir taip toliau.
Apibrėžimas. Daugiakampis RA 1 A 2 ... A n, sudarytas iš n-gon A 1 A 2...A n ir n trikampiai RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1, skambino n- anglies piramidė. Ryžiai. vienas.
Ryžiai. vienas
Apsvarstykite keturkampę piramidę PABCD(2 pav.).
R- piramidės viršūnė.
ABCD- piramidės pagrindas.
RA- šoninis šonkaulis.
AB- pagrindo kraštas.
Iš taško R nuleiskite statmeną RN antžeminėje plokštumoje ABCD. Nubrėžtas statmuo yra piramidės aukštis.
Ryžiai. 2
Bendras piramidės paviršius susideda iš šoninio paviršiaus, tai yra, visų šoninių paviršių ploto ir pagrindo:
S pilnas \u003d S pusė + S pagrindinis
Piramidė vadinama teisinga, jei:
- jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis;
- atkarpa, jungianti piramidės viršūnę su pagrindo centru, yra jos aukštis.
Paaiškinimas taisyklingos keturkampės piramidės pavyzdžiu
Apsvarstykite taisyklingą keturkampę piramidę PABCD(3 pav.).
R- piramidės viršūnė. piramidės pagrindas ABCD- taisyklingas keturkampis, tai yra kvadratas. Taškas O, įstrižainių susikirtimo taškas, yra kvadrato centras. Reiškia, RO yra piramidės aukštis.
Ryžiai. 3
Paaiškinimas: dešinėje n-gon, įbrėžto apskritimo centras ir apibrėžtojo apskritimo centras sutampa. Šis centras vadinamas daugiakampio centru. Kartais sakoma, kad viršus projektuojamas į centrą.
Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas iš jos viršaus, vadinamas apotema ir žymimas h a.
1. visos taisyklingosios piramidės šoninės briaunos yra lygios;
2. šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai.
Įrodykime šias savybes taisyklingos keturkampės piramidės pavyzdžiu.
Duota: RABSD- taisyklinga keturkampė piramidė,
ABCD- kvadratas,
RO yra piramidės aukštis.
Įrodyk:
1. RA = PB = PC = PD
2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Žr. pav. keturi.
Ryžiai. keturi
Įrodymas.
RO yra piramidės aukštis. Tai yra, tiesiai RO statmenai plokštumai ABC, taigi ir tiesioginis AO, VO, SO ir DARYK guli joje. Taigi trikampiai ROA, ROV, ROS, ROD- stačiakampis.
Apsvarstykite kvadratą ABCD. Iš kvadrato savybių išplaukia, kad AO = BO = CO = DARYK.
Tada stačiakampiai trikampiai ROA, ROV, ROS, ROD koja RO- bendras ir kojos AO, VO, SO ir DARYK lygūs, taigi šie trikampiai yra lygūs dviejose kojose. Iš trikampių lygybės išplaukia atkarpų lygybė, RA = PB = PC = PD. 1 punktas įrodytas.
Segmentai AB ir saulė yra vienodos, nes yra to paties kvadrato kraštinės, RA = RV = kompiuteris. Taigi trikampiai AVR ir VCR - lygiašonis ir lygus iš trijų kraštinių.
Panašiai gauname, kad trikampiai ABP, BCP, CDP, DAP yra lygiašoniai ir lygūs, ką reikėjo įrodyti 2 punkte.
Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus pusei pagrindo ir apotemos perimetro sandaugos:
Įrodymui pasirenkame taisyklingą trikampę piramidę.
Duota: RAVS yra taisyklinga trikampė piramidė.
AB = BC = AC.
RO- aukštis.
Įrodyk: 
. Žr. pav. 5.
Ryžiai. 5
Įrodymas.
RAVS yra taisyklinga trikampė piramidė. Tai yra AB= AC = BC. Leisti O- trikampio centras ABC, tada RO yra piramidės aukštis. Piramidės pagrindas yra lygiakraštis trikampis. ABC. pastebėti, kad 
.
trikampiai RAV, RVS, RSA- lygūs lygiašoniai trikampiai (pagal savybę). Trikampė piramidė turi tris šoninius paviršius: RAV, RVS, RSA. Taigi, piramidės šoninio paviršiaus plotas yra:
S pusė = 3S RAB
Teorema įrodyta.
Į taisyklingos keturkampės piramidės pagrindą įbrėžto apskritimo spindulys lygus 3 m, piramidės aukštis – 4 m. Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą.
Duota: taisyklinga keturkampė piramidė ABCD,
ABCD- kvadratas,
r= 3 m,
RO- piramidės aukštis,
RO= 4 m.
Rasti: S pusė. Žr. pav. 6.
Ryžiai. 6
Sprendimas.
Pagal įrodytą teoremą,.
Pirmiausia suraskite pagrindo pusę AB. Žinome, kad į taisyklingos keturkampės piramidės pagrindą įbrėžto apskritimo spindulys lygus 3 m.
Tada, m.
Raskite aikštės perimetrą ABCD kurių kraštinė yra 6 m:
Apsvarstykite trikampį BCD. Leisti M- vidurinė pusė DC. Nes O- vidurys BD, tada 
(m).
Trikampis DPC- lygiašoniai. M- vidurys DC. Tai yra, RM- mediana, taigi ir aukštis trikampyje DPC. Tada RM- piramidės apotema.
RO yra piramidės aukštis. Tada tiesiai RO statmenai plokštumai ABC, taigi ir tiesioginis OM guli joje. Raskime apotemą RM iš stačiojo trikampio ROM.
Dabar galime rasti šoninis paviršius piramidės:
Atsakymas Plotas: 60 m2.
Netoli taisyklingos trikampės piramidės pagrindo apriboto apskritimo spindulys lygus m. Šoninio paviršiaus plotas 18 m 2. Raskite apotemo ilgį.
Duota: ABCP- taisyklinga trikampė piramidė,
AB = BC = SA,
R= m,
P pusė = 18 m 2.
Rasti: . Žr. pav. 7.
Ryžiai. 7
Sprendimas.
Stačiakampiame trikampyje ABC atsižvelgiant į apibrėžtojo apskritimo spindulį. Raskime pusę ABšis trikampis naudojant sinuso teoremą.
Žinant pusę taisyklingas trikampis(m), raskite jo perimetrą.
Pagal teoremą apie taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotą, kur h a- piramidės apotema. Tada:
Atsakymas: 4 m.
Taigi, mes ištyrėme, kas yra piramidė, kas yra taisyklingoji piramidė, įrodėme teoremą taisyklingos piramidės šoniniame paviršiuje. Kitoje pamokoje susipažinsime su nupjautąja piramide.
Bibliografija
- Geometrija. 10-11 klasė: vadovėlis ugdymo įstaigų mokiniams (pagrindinis ir profilio lygiai) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnovas. – 5-asis leidimas, kun. ir papildomas - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr.
- Geometrija. 10-11 klasė: Bendrojo ugdymo vadovėlis švietimo įstaigos/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: iliustr.
- Geometrija. 10 klasė: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms su giluminiu ir specializuotu matematikos mokymu / E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. - 6 leid., stereotipas. - M.: Bustardas, 008. - 233 p.: iliustr.
- Interneto portalas "Yaklass" ()
- Interneto portalas „Festivalis pedagoginės idėjos„Rugsėjo pirmoji“ ()
- Interneto portalas „Slideshare.net“ ()
Namų darbai
- Ar taisyklingas daugiakampis gali būti netaisyklingos piramidės pagrindas?
- Įrodykite, kad taisyklingosios piramidės nesikertančios briaunos yra statmenos.
- Raskite dvikampio kampo reikšmę taisyklingos keturkampės piramidės pagrindo kraštinėje, jei piramidės apotemas yra lygus jos pagrindo kraštinei.
- RAVS yra taisyklinga trikampė piramidė. Sukurkite dvisienio kampo tiesinį kampą piramidės pagrindu.
Piramidės koncepcija
1 apibrėžimas
Geometrinė figūra, sudarytas iš daugiakampio ir taško, kuris nėra plokštumoje, kurioje yra šis daugiakampis, sujungtas su visomis daugiakampio viršūnėmis, vadinamas piramide (1 pav.).
Daugiakampis, iš kurio sudaryta piramidė, vadinamas piramidės pagrindu, trikampiai, gauti sujungus su tašku, yra piramidės šoniniai paviršiai, trikampių kraštinės yra piramidės kraštinės, o taškas yra bendras visiems. trikampiai yra piramidės viršūnė.
Piramidžių rūšys
Priklausomai nuo kampų skaičiaus piramidės pagrinde, ją galima vadinti trikampiu, keturkampiu ir pan. (2 pav.).
2 pav.
Kitas piramidžių tipas yra taisyklinga piramidė.
Įveskime ir įrodykime taisyklingos piramidės savybę.
1 teorema
Visi taisyklingos piramidės šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai, kurie yra lygūs vienas kitam.
Įrodymas.
Apsvarstykite taisyklingą $n-$kampinę piramidę, kurios viršūnė $S$ aukštis $h=SO$. Apibūdinkime ratą aplink pagrindą (4 pav.).
4 pav
Apsvarstykite trikampį $SOA$. Pagal Pitagoro teoremą gauname
Akivaizdu, kad bet koks šoninis kraštas bus apibrėžtas tokiu būdu. Todėl visi šoniniai kraštai yra lygūs vienas kitam, tai yra, visi šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai. Įrodykime, kad jie vienas kitam lygūs. Kadangi pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, visų šoninių paviršių pagrindai yra lygūs vienas kitam. Vadinasi, visi šoniniai paviršiai yra lygūs pagal III trikampių lygybės ženklą.
Teorema įrodyta.
Dabar pristatome tokį apibrėžimą, susijusį su taisyklingos piramidės sąvoka.
3 apibrėžimas
Taisyklingos piramidės apotemas yra jos šoninio paviršiaus aukštis.
Akivaizdu, kad pagal 1 teoremą visi apotemai yra lygūs.
2 teorema
Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas apibrėžiamas kaip pagrindo ir apotemos pusperimetro sandauga.
Įrodymas.
$n-$ anglies piramidės pagrindo kraštinę pažymėkime $a$, o apotemą kaip $d$. Todėl šoninio paviršiaus plotas yra lygus
Kadangi pagal 1 teoremą visos kraštinės yra lygios, tada
Teorema įrodyta.
Kitas piramidžių tipas yra nupjautoji piramidė.
4 apibrėžimas
Jei per paprastą piramidę nubrėžta lygiagreti jos pagrindui plokštuma, tai tarp šios plokštumos ir pagrindo plokštumos susidariusi figūra vadinama nupjautąja piramide (5 pav.).
5 pav. Nupjauta piramidė
Nupjautinės piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos formos.
3 teorema
Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas apibrėžiamas kaip pagrindų ir apotemos pusperimetrių sumos sandauga.
Įrodymas.
$n-$ anglies piramidės pagrindų kraštines pažymėkime atitinkamai $a\ ir\ b$, o apotemą - $d$. Todėl šoninio paviršiaus plotas yra lygus
Kadangi visos pusės yra lygios, tada
Teorema įrodyta.
Užduoties pavyzdys
1 pavyzdys
Raskite nupjautos trikampės piramidės šoninio paviršiaus plotą, jei jis gaunamas iš taisyklingos piramidės, kurios pagrindo kraštinė yra 4 ir apotema 5, nupjaunant plokštuma, einančia per šoninių paviršių vidurinę liniją.
Sprendimas.
Pagal medianos tiesės teoremą gauname, kad nupjautos piramidės viršutinė bazė lygi $4\cdot \frac(1)(2)=2$, o apotemas lygus $5\cdot \frac(1)( 2) = 2,5 USD.
Tada pagal 3 teoremą gauname
