Definition
Centripetal acceleration kallas komponenten i full acceleration materiell punkt rör sig längs en krökt bana, som bestämmer förändringshastigheten i hastighetsvektorns riktning.
En annan komponent i total acceleration är tangentiell acceleration, som är ansvarig för att ändra storleken på hastigheten. Indikerar centripetalacceleration, vanligtvis $ (\ överlinje (a)) _ n $. Centripetalacceleration kallas också normal.
Centripetalaccelerationen är lika med:
\ [(\ överlinje (a)) _ n = \ frac (v ^ 2) (r ^ 2) \ överlinje (r \) = \ frac (v ^ 2) (r) (\ överlinje (e)) _ r \ vänster (1 \ höger), \]
där $ (\ överlinje (e)) _ r = \ frac (\ överlinje (r \)) (r) $ - enhetsvektor, som är riktad från kurvans krökningscentrum till punkten i fråga; $ r $ - krökningsradie för banan vid platsen för materialpunkten vid det aktuella ögonblicket.
De första korrekta formlerna för att beräkna centripetalaccelerationen erhölls av H. Huygens.
Måttenheten för centripetalacceleration i International System of Units är metern dividerad med andrakvadraten:
\ [\ vänster = \ frac (m) (s ^ 2). \]
Formel för centripetalacceleration med enhetlig rörelse av en punkt längs en cirkel
Betrakta den enhetliga rörelsen av en materialpunkt längs en cirkel. Med en sådan rörelse är värdet på materialpunktens hastighet oförändrat ($ v = const $). Men detta betyder inte att den totala accelerationen för en materialpunkt med denna typ av rörelse är noll. Den momentana hastighetsvektorn riktas tangentiellt till den cirkel längs vilken punkten rör sig. Följaktligen, i denna rörelse, ändrar hastigheten hela tiden sin riktning. Därav följer att punkten har acceleration.
Betrakta punkterna A och B som ligger på partikelns bana. Vektorn för hastighetsändringen för punkterna A och B hittas som:
\ [\ Delta \ överlinje (v) = (\ överlinje (v)) "- \ överlinje (v) \ vänster (2 \ höger). \]
Om tiden det tar att förflytta sig från punkt A till punkt B tenderar mot noll, så skiljer sig bågen AB inte lite från ackordet AB. Trianglar AOB och BMN är lika, vi får:
\ [\ frac (\ Delta v) (v) = \ frac (\ Delta l) (R) = \ alfa \ vänster (3 \ höger). \]
Värdet på modulen för medelaccelerationen bestäms som:
\ [\ vänster \ langle a \ höger \ rangle = \ frac (\ Delta v) (\ Delta t) = \ frac (v \ Delta l) (R \ Delta t) \ vänster (4 \ höger). \]
Låt oss gå till gränsen vid $ \ Delta t \ till 0 \ $ från $ \ vänster \ langle a \ höger \ rangle \ \ $ i formel (4):
Medelaccelerationsvektorn gör en vinkel med hastighetsvektorn lika med:
\ [\ beta = \ frac (\ pi + \ alfa) (2) \ vänster (6 \ höger). \]
Vid $ \ Delta t \ till 0 \ $ vinkeln $ \ alfa \ till 0. $ Det visar sig att den momentana accelerationsvektorn gör vinkeln $ \ frac (\ pi) (2) $ med hastighetsvektorn.
Och så att en materialpunkt som rör sig likformigt längs en cirkel har en acceleration som är riktad mot cirkelns centrum ($ (\ överlinje (a)) _ n \ bot \ överlinje (v) $), är dess värde lika med hastighet i kvadraten dividerat med radiecirklarna:
där $ \ omega $ är vinkelhastigheten för materialpunkten ($ v = \ omega \ cdot R $). I vektorform kan formeln för centripetalacceleration skrivas baserat på (7) som:
\ [(\ överlinje (a)) _ n = - (\ omega) ^ 2 \ överlinje (R) \ \ vänster (8 \ höger), \]
där $ \ overline (R) $ är radievektorn, lika lång som cirkelbågens radie, riktad från krökningscentrum till platsen för den aktuella materialpunkten.
Exempel på uppgifter med en lösning
Exempel 1
Träning. Vektorekvation $ \ överlinje (r) \ vänster (t \ höger) = \ överlinje (i) (\ cos \ vänster (\ omega t \ höger) + \ överlinje (j) (\ sin \ vänster (\ omega t \ höger) ) \) \) $, där $ \ omega = 2 \ \ frac (rad) (s), $ beskriver rörelsen hos en materiell punkt. Vilken bana är den här punkten på? Vad är modulen för dess centripetalacceleration? Beakta alla kvantiteter i SI.
Lösning. Betrakta rörelseekvationen för en punkt:
\ [\ överlinje (r) \ vänster (t \ höger) = \ överlinje (i) (\ cos \ vänster (\ omega t \ höger) + \ överlinje (j) (\ sin (\ omega t) \) \) \ \ vänster (1.1 \ höger). \]
I ett kartesiskt koordinatsystem är denna ekvation ekvivalent med ekvationssystemet:
\ [\ vänster \ (\ börjar (array) (c) x = (\ cos \ vänster (\ omega t \ höger) ;; \) \\ y = (\ sin \ vänster (\ omega t \ höger) \) \ end (array) \ vänster (1.2 \ höger). \ höger. \]
För att förstå banan längs vilken punkten rör sig bör vi utesluta tid från systemets ekvationer (1.2). För att göra detta, kvadrerar vi båda ekvationerna och lägger till dem:
Från ekvation (1.3) ser vi att punktens bana är en cirkel (Fig. 2) med radien $ R = 1 $ m.
För att hitta centripetalaccelerationen använder vi formeln:
Hastighetsmodulen bestäms med hjälp av ekvationssystemet (1.2). Låt oss hitta komponenterna i hastigheten, som är lika:
\ [\ vänster \ (\ börjar (array) (c) v_x = \ frac (dx) (dt) = - \ omega (\ sin \ vänster (\ omega t \ höger) \), \\ v_y = \ frac ( dy) (dt) = \ omega ((\ cos \ vänster (\ omega t \ höger) \), \) \ end (array) \ höger. \ vänster (1,5 \ höger). \]
Kvadraten på hastighetsmodulen kommer att vara:
Av vad hastighetsmodulen (1,6) erhölls ser vi att vår punkt rör sig likformigt runt omkretsen, därför kommer centripetalaccelerationen att sammanfalla med den fulla accelerationen.
Genom att ersätta $ v ^ 2 $ från (1.6) med formeln (1.4), har vi:
Låt oss beräkna $ a_n $:
$ a_n = \ frac (4) (1) = 4 \ \ vänster (\ frac (m) (c ^ 2) \ höger). $
Svar. 1) Omkrets; 2) $ a_n = 4 \ \ frac (m) (c ^ 2) $
Exempel 2
Träning. Vad är centripetalaccelerationen för punkter på skivans kant vid en tidpunkt lika med $ t = 2 $ c, om skivan roterar i enlighet med ekvationen: $ \ varphi (t) = 3 + 2t ^ 3 $? Diskens radie är $ R = 0, (\ rm 1) $ m.
Lösning. Vi kommer att leta efter centripetalaccelerationen av skivpunkter med hjälp av formeln:
Vi hittar vinkelhastigheten genom att använda ekvationen $ \ varphi (t) = 3 + 2t ^ 3 $ som:
\ [\ omega = \ frac (d \ varphi) (dt) = 6t ^ 2. \ \]
Vid $ t = 2 \ $ c är vinkelhastigheten lika med:
\ [\ omega \ vänster (t = 2 \ höger) = 24 \ \ vänster (\ frac (rad) (c) \ höger). \]
Du kan beräkna centripetalaccelerationen med formeln (2.1):
Svar.$ a_n = 57,6 \ frac (m) (s ^ 2) $
Två strålar som emanerar från den bildar en vinkel. Dess värde kan anges i både radianer och grader. Nu, på något avstånd från mittpunkten, rita mentalt en cirkel. Måttet på vinkeln, uttryckt i radianer, är då det matematiska förhållandet mellan längden på bågen L, separerad av två strålar, och värdet av avståndet mellan mittpunkt och en cirkellinje (R), det vill säga:
Om vi nu föreställer oss det beskrivna systemet som material, så kan inte bara begreppet vinkel och radie, utan även centripetalacceleration, rotation etc. tillämpas på det. De flesta av dem beskriver beteendet hos en punkt på en roterande cirkel. Förresten, en solid skiva kan också representeras av en uppsättning cirklar, vars skillnad bara är i avståndet från mitten.
En av egenskaperna hos ett sådant roterande system är omloppsperioden. Den indikerar tidsvärdet för en punkt på en godtycklig cirkel för att återgå till sin utgångsposition eller, vilket också är sant, för att vända 360 grader. Vid konstant rotationshastighet uppfylls överensstämmelsen T = (2 * 3,1416) / Ug (hädanefter Ug är vinkeln).
Hastigheten anger numret hela varv körs på 1 sekund. Vid konstant hastighet får vi v = 1 / T.
Beror på tiden och den så kallade rotationsvinkeln. Det vill säga, om vi tar en godtycklig punkt A på cirkeln som referenspunkt, då när systemet roterar kommer denna punkt att skifta till A1 i tiden t, och bilda en vinkel mellan radierna A-centrum och A1-centrum. Genom att känna till tiden och vinkeln kan du beräkna vinkelhastigheten.
Och eftersom det finns en cirkel, rörelse och hastighet, så finns det också en centripetalacceleration. Det är en av komponenterna som beskriver rörelsen vid kurvlinjär rörelse. Termerna "normal" och "centripetalacceleration" är identiska. Skillnaden är att den andra används för att beskriva rörelse i en cirkel när accelerationsvektorn är riktad mot systemets mitt. Därför är det alltid nödvändigt att veta exakt hur kroppen (punkten) rör sig och dess centripetalacceleration. Dess definition är följande: det är hastigheten för förändringen i hastighet, vars vektor är riktad vinkelrätt mot vektorns riktning och ändrar riktningen för den senare. Uppslagsverket visar att Huygens var engagerad i studien av denna fråga. Formeln för centripetalacceleration, föreslagen av honom, ser ut som:
Acs = (v * v) / r,
där r är krökningsradien för den korsade banan; v är rörelsehastigheten.
Formeln med vilken centripetalacceleration beräknas är fortfarande hett debatterad bland entusiaster. Till exempel har en intressant teori nyligen framförts.
Huygens, med tanke på systemet, utgick från det faktum att kroppen rör sig i en cirkel med radien R med en hastighet v mätt vid startpunkten A. Eftersom tröghetsvektorn är riktad längs banan erhålls en bana i form av en rak linje AB. Centripetalkraften håller dock kroppen på en cirkel i punkt C. Om vi betecknar centrum som O och ritar linjerna AB, BO (summan av BS och CO), samt AO, så erhålls en triangel. Enligt Pythagoras lag:
BS = (a * (t * t)) / 2, där a - acceleration; t - tid (a * t * t - detta är hastighet).
Om vi nu använder den Pythagoras formel, då:
R2 + t2 + v2 = R2 + (a * t2 * 2 * R) / 2+ (a * t2 / 2) 2, där R är radien och den alfanumeriska stavningen utan multiplikationstecknet är graden.
Huygens medgav att eftersom tiden t är liten kan den ignoreras i beräkningarna. Genom att omvandla den tidigare formeln kom hon till den välkända Acs = (v * v) / r.
Men eftersom tiden är kvadratisk uppstår en progression: ju större t, desto högre fel. Till exempel, för 0,9 visar det sig vara oredovisat för nästan slutvärdet på 20%.
Begreppet centripetalacceleration är viktigt för modern vetenskap, men uppenbarligen är det för tidigt att sätta stopp för denna fråga.
När man rör sig i en cirkel med en konstant linjär hastighet υ, har kroppen en konstant centripetalacceleration riktad mot cirkelns centrum
a q = υ 2 / R, (18)
där R är cirkelns radie.
Härledning av formeln för centripetalacceleration
A-priory.
Figur 6 Härledning av formeln för centripetalacceleration
I figuren är trianglarna som bildas av vektorerna för förskjutningar och hastigheter lika. Med tanke på att 
=
= R och 
=
= υ, från likheten mellan trianglar finner vi:
(20)
(21)
Placera origo i mitten av cirkeln och välj det plan där cirkeln ligger bortom planet (x, y). Positionen för en punkt på en cirkel när som helst bestäms unikt av den polära vinkeln φ, mätt i radianer (rad), och
x = R cos (φ + φ 0), y = R sin (φ + φ 0), (22)
där φ 0 definierar inledande fas(den initiala positionen för en punkt på cirkeln vid tidpunkten noll).
Vid likformig rotation ökar vinkeln φ, mätt i radianer, linjärt med tiden:
φ = ωt, (23)
där ω kallas den cykliska (cirkulära) frekvensen. Cyklisk frekvensdimension: [ω] = s –1 = Hz.
Cyklisk frekvens är lika med värdet på rotationsvinkeln (mätt i rad) per tidsenhet, så det kallas annars vinkelhastighet.
Beroendet av koordinaterna för en punkt på en cirkel i tid vid enhetlig rotation med en given frekvens kan skrivas som:
x = R cos (ωt + φ 0), (24)
y = R sin (ωt + φ 0).
Den tid under vilken ett varv fullbordas kallas perioden T.
Frekvens ν = 1 / T. (25)
Frekvensdimension: [ν] = s –1 = Hz.
Förhållandet mellan den cykliska frekvensen och perioden och frekvensen: 2π = ωT, varifrån
ω = 2π / T = 2πν. (26)
Sambandet mellan linjär hastighet och vinkelhastighet hittas från likheten:
2πR = υT, varifrån
υ = 2πR / T = ωR. (27)
Uttrycket för centripetalacceleration kan skrivas olika sätt genom att använda länkarna mellan hastighet, frekvens och period:
a q = υ 2 / R = ω 2 R = 4π 2 ν 2 R = 4π 2 R / T 2. (28)
4.6 Samband mellan translationella och roterande rörelser
De huvudsakliga kinematiska egenskaperna för rörelse i en rak linje med konstant acceleration: förskjutning s, hastighet υ och acceleration a... Motsvarande egenskaper vid rörelse längs en cirkel med radie R: vinkelförskjutning φ, vinkelhastighet ω och vinkelacceleration ε (om kroppen roterar med variabel hastighet).
Från geometriska överväganden följer följande samband mellan dessa egenskaper:
förskjutning s → vinkelförskjutning φ = s / R;
hastighet υ → vinkelhastighet ω = υ / R;
acceleration a→ vinkelacceleration ε = a/R.
Alla formler för kinematik för likformigt accelererad rörelse längs en rät linje kan omvandlas till formler för kinematik för rotation längs en cirkel om de angivna ändringarna görs. Till exempel:
s = υt → φ = ωt, (29)
υ = υ 0 + a t → ω = ω 0 + ε t. (29a)
Förhållandet mellan en punkts linjära och vinkelhastigheter vid rotation runt en cirkel kan skrivas i vektorform. Låt faktiskt en cirkel centrerad vid origo placeras i (x, y)-planet. När som helst i tiden, vektorn 
ritad från origo till punkten på cirkeln där kroppen befinner sig är vinkelrät mot kroppens hastighetsvektor 
tangentiell till cirkeln vid denna punkt. Vi definierar en vektor 
, som är lika stor som vinkelhastigheten ω och är riktad längs rotationsaxeln i den riktning som bestäms av regeln för den högra skruven: om skruven skruvas så att dess rotationsriktning sammanfaller med riktningen för rotation av punkten runt omkretsen, då visar skruvens rörelseriktning vektorns riktning 
... Sedan kopplingen av tre ömsesidigt vinkelräta vektorer 
,
och 
kan skrivas med hjälp av korsprodukten av vektorer.
Tillåter oss att existera på denna planet. Hur kan du förstå vad som är centripetalacceleration? Definitionen av detta fysisk kvantitet presenteras nedan.
Observationer
Det enklaste exemplet på accelerationen av en kropp som rör sig i en cirkel kan observeras genom att rotera en sten på ett rep. Du drar i repet och repet drar stenen mot mitten. Vid varje ögonblick i tiden ger repet en viss mängd rörelse till stenen, och varje gång - i en ny riktning. Du kan föreställa dig rörelsen av repet som en serie svaga ryck. Ett streck - och repet ändrar riktning, ytterligare ett ryck - ytterligare ett byte och så vidare i en cirkel. Om du plötsligt släpper repet upphör rycket och därmed upphör ändringen av hastighetsriktningen. Stenen kommer att röra sig i en tangentriktning till cirkeln. Frågan uppstår: "Med vilken acceleration kommer kroppen att röra sig i detta ögonblick?"
Centripetal accelerationsformel
Först och främst bör det noteras att kroppens rörelse i en cirkel är komplex. Stenen deltar i två typer av rörelser samtidigt: under kraftpåverkan rör den sig till rotationscentrum och rör sig samtidigt bort från detta centrum tangentiellt till cirkeln. Enligt Newtons andra lag riktas kraften som håller en sten på ett rep mot rotationscentrum längs det repet. Accelerationsvektorn kommer att riktas dit.
Låt under en tid t vår sten, som rör sig jämnt med hastighet V, gå från punkt A till punkt B. Antag att i det ögonblick då kroppen korsade punkt B, upphörde centripetalkraften att verka på den. Sedan skulle den inom en tidsperiod ha kommit till punkt K. Den ligger på en tangentlinje. Om vid samma tidpunkt endast centripetalkrafter verkade på kroppen, skulle den under tiden t, som rörde sig med samma acceleration, vara vid punkt O, som ligger på en rät linje som representerar diametern på en cirkel. Båda segmenten är vektorer och följer vektoradditionsregeln. Som ett resultat av summeringen av dessa två rörelser under ett tidsintervall t får vi den resulterande rörelsen längs bågen AB.
Om tidsintervallet t tas försumbart litet kommer bågen AB att skilja sig lite från ackordet AB. Således är det möjligt att ersätta bågrörelsen med ackordrörelsen. I det här fallet kommer rörelsen av stenen längs ackordet att följa lagarna rak rörelse, det vill säga avståndet AB kommer att vara lika med produkten av stenens hastighet och tiden för dess rörelse. AB = V x t.
Låt oss beteckna den önskade centripetalaccelerationen med bokstaven a. Sedan kan den väg som korsas endast under inverkan av centripetalacceleration beräknas med hjälp av formeln för likformigt accelererad rörelse:
Avstånd AB är lika med produkten av hastighet och tid, det vill säga AB = V x t,
AO - beräknat tidigare med formeln för likformigt accelererad rörelse för att röra sig i en rät linje: AO = vid 2/2.
Genom att ersätta dessa data i formeln och omvandla dem får vi en enkel och elegant formel för centripetalacceleration:
I ord kan detta uttryckas på följande sätt: centripetalaccelerationen för en kropp som rör sig i en cirkel är lika med kvoten för att dividera den linjära hastigheten i en kvadrat med radien på den cirkel längs vilken kroppen roterar. Centripetalkraften i detta fall kommer att se ut som bilden nedan.
Vinkelhastighet
Vinkelhastigheten är lika med kvoten av den linjära hastigheten dividerat med cirkelns radie. Det omvända påståendet är också sant: V = ωR, där ω är vinkelhastigheten
Om du kopplar in detta värde i formeln kan du få ett uttryck för centrifugalaccelerationen för vinkelhastigheten. Det kommer att se ut så här:
Acceleration utan att ändra hastighet
Och ändå, varför rör sig inte en kropp med acceleration riktad mot centrum snabbare och närmare rotationscentrum? Svaret ligger i själva formuleringen av acceleration. Bevis tyder på att cirkulär rörelse är verklig, men kräver acceleration mot mitten för att upprätthålla den. Under verkan av kraften som orsakas av denna acceleration ändras mängden rörelse, som ett resultat av vilket rörelsebanan ständigt kröks, hela tiden ändrar hastighetsvektorns riktning, men inte ändrar den absolutvärde... När vi rör oss i en cirkel rusar vår tålmodiga sten inåt, annars skulle den fortsätta att röra sig tangentiellt. Varje ögonblick av tiden, lämnar tangentiellt, attraheras stenen till mitten, men faller inte in i den. Ett annat exempel på centripetalacceleration skulle vara en vattenskidåkare som gör små cirklar på vattnet. Atletens figur lutar; han verkar ramla, fortsätter att röra sig och lutar sig framåt.
Således kan vi dra slutsatsen att acceleration inte ökar kroppens hastighet, eftersom vektorerna för hastighet och acceleration är vinkelräta mot varandra. För att lägga till hastighetsvektorn ändrar accelerationen bara rörelseriktningen och håller kroppen i omloppsbana.
Överskrider säkerhetsmarginalen
I det förra experimentet tog vi itu med ett perfekt rep som inte gick sönder. Men låt oss säga, vårt rep är det vanligaste, och du kan till och med beräkna ansträngningen varefter det helt enkelt kommer att gå sönder. För att beräkna denna kraft räcker det att jämföra repets säkerhetsmarginal med den belastning som den upplever under stenens rotation. Genom att rotera stenen i en snabbare takt berättar du det stor kvantitet rörelse, vilket innebär mer acceleration.
Med en jute-repdiameter på cirka 20 mm är dess draghållfasthet cirka 26 kN. Det är anmärkningsvärt att längden på repet inte visas någonstans. Om vi roterar en vikt på 1 kg på ett rep med en radie på 1 m, kan vi beräkna att den linjära hastighet som krävs för att bryta den är 26 x 10 3 = 1 kg x V 2/1 m. Alltså den hastighet som är farlig för att överskrider kommer att vara lika med √ 26 x 10 3 = 161 m/s.
Allvar
När vi övervägde experimentet försummade vi effekten av gravitationen, eftersom dess effekt är försumbar vid så höga hastigheter. Men du kan märka att när du vrider upp ett långt rep följer kroppen en mer komplex bana och närmar sig gradvis marken.
Himmelska kroppar
Om du överför rörelselagarna i en cirkel till rymden och tillämpar dem på himlakropparnas rörelser, kan du återupptäcka flera sedan länge välbekanta formler. Till exempel är kraften med vilken en kropp attraheras till jorden känd av formeln:
I vårt fall är faktorn g samma centripetalacceleration som härleddes från föregående formel. Endast i detta fall kommer stenens roll att utföras himlakropp, graviterande mot jorden, och repets roll är tyngdkraften. G-faktorn kommer att uttryckas i termer av vår planets radie och dess rotationshastighet.
Resultat
Kärnan i centripetalacceleration är det hårda och otacksamma arbetet med att hålla en rörlig kropp i omloppsbana. Ett paradoxalt fall observeras när kl konstant acceleration kroppen ändrar inte storleken på sin hastighet. För ett otränat sinne är ett sådant uttalande ganska paradoxalt. Ändå, när man beräknar en elektrons rörelse runt kärnan och när man beräknar rotationshastigheten för en stjärna runt ett svart hål, spelar centripetalacceleration en viktig roll.
