Talmodul (talets absoluta värde), definitioner, exempel, egenskaper. Definition av modulen för ett tal. Modulens geometriska betydelse

Talmodulen introducerar ett nytt begrepp inom matematiken. Låt oss analysera i detalj vad modulen för ett tal är och hur man arbetar med den?

Tänk på ett exempel:

Vi lämnade huset till affären. 300 m har passerat, matematiskt kan detta uttryck skrivas som +300, betydelsen av siffran 300 från "+"-tecknet kommer inte att ändras. Avståndet eller modulen för ett tal i matematik är detsamma och kan också skrivas på följande sätt: |300|=300. Tecknet för modulen för ett tal indikeras med två vertikala linjer.

Och sedan åt motsatt håll gick vi 200m. Matematiskt kan vi skriva returvägen som -200. Men vi säger inte "vi gick minus tvåhundra meter" så, även om vi återvände, eftersom avståndet som kvantitet förblir positivt. För detta introducerades begreppet en modul i matematik. Du kan skriva avståndet eller modulen för -200 enligt följande: |-200|=200.

Modulegenskaper.

Definition:
Modulnummer eller absolutvärde talär avståndet från startpunkten till destinationen.

Modulen för ett heltal som inte är lika med noll är alltid ett positivt tal.

Modulen är skriven så här:

1. Modulen för ett positivt tal är lika med själva talet.
| a|=a

2. Modulen för ett negativt tal är lika med det motsatta talet.
|- a|=a

3. Modulen noll, lika med noll.
|0|=0

4. Moduler med motsatta tal är lika.
| a|=|-a|=a

Relaterade frågor:
Vad är modulen för ett tal?
Svar: Modul är avståndet från startpunkten till destinationen.

Om du sätter ett "+"-tecken framför ett heltal, vad händer?
Svar: talet kommer inte att ändra sin betydelse, till exempel 4=+4.

Om du sätter ett "-"-tecken framför ett heltal, vad händer?
Svar: numret ändras till t.ex. 4 och -4.

Vilka tal har samma modul?
Svar: positiva tal och noll kommer att ha samma modul. Till exempel, 15=|15|.

Vilka tal har modulen - det motsatta talet?
Svar: kl negativa tal, kommer modulen att vara lika med det motsatta talet. Till exempel |-6|=6.

Exempel #1:
Hitta modulen med siffror: a) 0 b) 5 c) -7?

Lösning:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Exempel #2:
Finns det två distinkta tal vars moduler är lika?

Lösning:
|10|=10
|-10|=10

Modulerna med motsatta tal är lika.

Exempel #3:
Vilka två motsatta tal har modulo 9?

Lösning:
|9|=9
|-9|=9

Svar: 9 och -9.

Exempel #4:
Gör följande: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Lösning:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Exempel #5:
Hitta: a) modul för nummer 2 b) modul för nummer 6 c) modul för nummer 8 d) modul för nummer 1 e) modul för nummer 0.
Lösning:

a) modulen för talet 2 betecknas som |2| eller |+2| Detta är detsamma.
|2|=2

b) modulen för talet 6 betecknas som |6| eller |+6| Detta är detsamma.
|6|=6

c) modulen för talet 8 betecknas som |8| eller |+8| Detta är detsamma.
|8|=8

d) modulen för talet 1 betecknas som |1| eller |+1| Detta är detsamma.
|1|=1

e) modulen för talet 0 betecknas som |0|, |+0| eller |-0| Detta är detsamma.
|0|=0

Moduldefinition kan ges enligt följande: Absolutvärdet av ett tal a(modul) är avståndet från punkten som representerar det givna talet a på koordinatlinjen, till origo. Av definitionen följer att:

För att expandera en modul är det alltså nödvändigt att definiera tecknet för submoduluttrycket. Om det är positivt kan du helt enkelt ta bort tecknet på modulen. Om undermoduluttrycket är negativt, måste det multipliceras med "minus", och modultecknet, återigen, ska inte skrivas längre.

Modulens huvudsakliga egenskaper:

Några metoder för att lösa ekvationer med moduler

Det finns flera typer av modulekvationer för vilka det finns en föredragen lösning. Vart i den här vägenär inte den enda. Till exempel, för en ekvation av formen:

Det föredragna sättet att lösa skulle vara att gå till ett aggregat:

Och för formekvationer:

Du kan också gå till en nästan liknande uppsättning, men eftersom modulen bara accepterar positiva värden, då måste även den högra sidan av ekvationen vara positiv. Detta villkor måste läggas till som en allmän begränsning för hela exemplet. Då får vi systemet:

Båda dessa typer av ekvationer kan lösas på annat sätt: genom att expandera modulen på ett lämpligt sätt på de intervall där det submodulära uttrycket har ett visst tecken. I det här fallet kommer vi att få en uppsättning av två system. Låt oss ta allmän form lösningar erhållna för båda typerna av ekvationer ovan:

Att lösa ekvationer där mer än en modul används intervallmetod, vilket är följande:

• Först hittar vi punkterna på den numeriska axeln där vart och ett av uttrycken under modulen försvinner.
• Därefter delar vi upp hela den numeriska axeln i intervall mellan de erhållna punkterna och undersöker tecknet för vart och ett av undermoduluttrycken på varje intervall. Observera att för att bestämma tecknet för ett uttryck måste du ersätta vilket värde som helst i det x från intervallet, förutom gränspunkterna. Välj dessa värden x, som är lätta att ersätta.
• Vidare, för varje erhållet intervall, avslöjar vi alla moduler i den ursprungliga ekvationen i enlighet med deras tecken på detta intervall och löser den resulterande ordinarie ekvationen. I det slutliga svaret skriver vi bara ut de rötter till denna ekvation som faller inom det intervall som studeras. Återigen: vi utför en sådan procedur för vart och ett av de erhållna intervallen.

• Tillbaka
• Fram

Hur förbereder man sig framgångsrikt för CT i fysik och matematik?

För att framgångsrikt förbereda sig för CT i fysik och matematik, bland annat, måste tre kritiska villkor vara uppfyllda:

1. Studera alla ämnen och slutför alla tester och uppgifter som ges i studiematerialet på den här webbplatsen. För att göra detta behöver du ingenting alls, nämligen: att ägna tre till fyra timmar varje dag till att förbereda sig för CT i fysik och matematik, studera teori och lösa problem. Faktum är att CT är ett prov där det inte räcker att bara kunna fysik eller matematik, du måste också kunna snabbt och utan misslyckanden lösa Ett stort antal uppgifter för olika ämnen och varierande komplexitet. Det senare kan man bara lära sig genom att lösa tusentals problem.
2. Lär dig alla formler och lagar i fysiken, och formler och metoder i matematik. Faktum är att det också är väldigt enkelt att göra detta, det finns bara cirka 200 nödvändiga formler i fysik, och till och med lite färre i matematik. I vart och ett av dessa ämnen finns det ett dussintal standardmetoder för att lösa problem av grundläggande komplexitet, som också kan läras in och därmed helt automatiskt och utan svårighet lösas vid rätt tidpunkt. mest CT. Efter det behöver du bara tänka på de svåraste uppgifterna.
3. Delta i alla tre stegen av repetitionstestning i fysik och matematik. Varje RT kan besökas två gånger för att lösa båda alternativen. Återigen, på DT, förutom förmågan att snabbt och effektivt lösa problem, och kunskap om formler och metoder, är det också nödvändigt att kunna planera tiden ordentligt, fördela krafter och viktigast av allt fylla i svarsformuläret korrekt, utan att blanda ihop varken antalet svar och problem, eller ditt eget namn. Under RT är det också viktigt att vänja sig vid stilen att ställa frågor i uppgifter, vilket kan verka mycket ovanligt för en oförberedd person på DT.

Framgångsrik, flitig och ansvarsfull implementering av dessa tre punkter gör att du kan visa ett utmärkt resultat på CT, det maximala av vad du kan.

Hittade du ett fel?

Om du tror att du har hittat ett fel i träningsmaterial, skriv sedan, snälla, om det via post. Du kan också rapportera ett fel i socialt nätverk(). I brevet, ange ämnet (fysik eller matematik), namnet eller numret på ämnet eller testet, uppgiftens nummer eller den plats i texten (sidan) där det enligt din åsikt finns ett fel. Beskriv också vad det påstådda felet är. Ditt brev kommer inte att gå obemärkt förbi, felet kommer antingen att rättas till, eller så får du förklarat varför det inte är ett misstag.

1. Moduler med motsatta tal är lika
2. Kvadraten på modulen för ett tal är lika med kvadraten på detta tal
3. Roten ur från kvadraten av ett tal är modulen för detta tal
4. Modulen för ett tal är ett icke-negativt tal
5. En konstant positiv faktor kan tas ut ur modultecknet
6. Om , då
7. Modulen av produkten av två (eller flera) tal är lika med produkten av deras moduler

Numeriska spann

En punkts grannskap Låt xo vara vilket reellt tal som helst (en punkt på den reella linjen). En grannskap av punkten x0 är varje intervall (a; b) som innehåller punkten x0. I synnerhet kallas intervallet (x o -ε, x o + ε), där ε > 0, ε-grannskapet för punkten x o. Talet x o kallas centrum.

3 FRÅGA begreppet funktion En funktion är ett sådant beroende av variabeln y på variabeln x, där varje värde på variabeln x motsvarar ett enda värde på variabeln y.

Variabeln x kallas den oberoende variabeln eller argumentet.

Variabeln y kallas den beroende variabeln.

Sätt att ställa in en funktion

tabellform. består i att ställa in en tabell med individuella argumentvärden och deras motsvarande funktionsvärden. Denna metod för att definiera en funktion används när funktionens domän är en diskret finit uppsättning.

Med den tabellformade metoden för att definiera en funktion är det möjligt att ungefär beräkna funktionens värden som inte finns i tabellen, motsvarande argumentets mellanvärden. För att göra detta, använd interpolationsmetoden.

Fördelarna med det tabellformade sättet att specificera en funktion är att det gör det möjligt att bestämma vissa specifika värden på en gång, utan ytterligare mätningar eller beräkningar. Men i vissa fall definierar tabellen inte funktionen helt, utan endast för vissa värden i argumentet och ger inte en visuell representation av ändringens karaktär beroende på ändringen i argumentet.

Grafiskt sätt. Funktionsdiagram y = f(x) är mängden av alla punkter i planet vars koordinater uppfyller den givna ekvationen.

Det grafiska sättet att specificera en funktion gör det inte alltid möjligt att exakt bestämma argumentets numeriska värden. Det har dock en stor fördel gentemot andra metoder - synlighet. Inom teknik och fysik används ofta en grafisk metod för att ställa in en funktion, och en graf är det enda tillgängliga sättet för detta.

För att den grafiska tilldelningen av en funktion ska vara helt korrekt ur matematisk synvinkel är det nödvändigt att ange den exakta geometriska konstruktionen av grafen, som oftast ges av en ekvation. Detta leder till följande sätt att definiera en funktion.

analytiskt sätt. För att definiera en funktion måste du ange ett sätt på vilket, för varje argumentvärde, motsvarande funktionsvärde kan hittas. Det vanligaste är sättet att definiera en funktion med formeln y = f (x), där f (x) är något uttryck med variabeln x. I det här fallet säger vi att funktionen ges av en formel eller att funktionen ges analytiskt.

För en analytiskt given funktion anges ibland inte funktionens domän explicit. I det här fallet antas det att domänen för funktionen y \u003d f (x) sammanfaller med domänen för uttrycket f (x), det vill säga med uppsättningen av de värden av x för vilka uttrycket f (x) är vettigt.

En funktions naturliga omfattning

Funktionsomfång fär en uppsättning X alla värden i argumentet x, där funktionen är definierad.

För att markera omfattningen av en funktion f kortform används D(f).

explicit implicit parametrisk definition av en funktion

Om funktionen ges av ekvationen y=ƒ(x) löst med avseende på y, så ges funktionen explicit (explicit funktion).

Under implicit uppdrag funktioner förstår tilldelningen av en funktion i form av en ekvation F(x;y)=0, inte tillåtet med avseende på y.

Vilken som helst explicit given funktion y=ƒ(x) kan skrivas som implicit given av ekvationen ƒ(x)-y=0, men inte vice versa.

Lektionens mål

Att introducera eleverna till ett sådant matematiskt koncept som modulen för ett tal;
Att lära skolbarn färdigheterna att hitta moduler med siffror;
Konsolidera det studerade materialet genom att utföra olika uppgifter;

Uppgifter

Konsolidera barns kunskap om antalsmodulen;
Med lösning Testföremål att kontrollera hur eleverna lärde sig det studerade materialet;
Fortsätt att väcka intresse för matematiklektioner;
Utbilda från skolbarn logiskt tänkande, nyfikenhet och uthållighet.

Lektionsplanering

1. Allmänna begrepp och bestämning av talets modul.
2. geometrisk känsla modul.
3. Modulen för antalet egenskaper.
4. Lösa ekvationer och olikheter som innehåller modulen för ett tal.
5. Historik referens om termen "modul för ett tal".
6. Uppgift att konsolidera kunskapen om det ämne som behandlas.
7. Läxor.

Allmänna begrepp om ett tals modul

Modulen för ett tal brukar kallas för själva talet, om den inte har det negativt värde, eller samma tal är negativt, men med motsatt tecken.

Det vill säga, modulen för ett icke-negativt reellt tal a är själva talet:

Och modulen för ett negativt reellt tal x kommer att vara det motsatta talet:

I skrift kommer det se ut så här:

För en bättre förståelse, låt oss ta ett exempel. Så till exempel är modulen för talet 3 3, och även modulen för talet -3 är 3.

Av detta följer att modulen för ett tal betyder ett absolut värde, det vill säga dess absolutvärde, men utan att ta hänsyn till dess tecken. För att uttrycka det ännu enklare är det nödvändigt att kassera tecknet från numret.

Modulen för ett tal kan betecknas och se ut så här: |3|, |x|, |a| etc.

Så, till exempel, modulen för talet 3 betecknas med |3|.

Kom också ihåg att modulen för ett tal aldrig är negativ: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12.45| = 12.45 osv.

Modulens geometriska betydelse

Modulen för ett tal är avståndet, som mäts i enhetssegment från origo till punkten. Denna definition avslöjar modulen ur en geometrisk synvinkel.

Låt oss ta en koordinatlinje och beteckna två punkter på den. Låt dessa punkter motsvara siffror som -4 och 2.

Låt oss nu ta en titt på den här bilden. Vi ser att punkten A som anges på koordinatlinjen motsvarar talet -4, och om du tittar noga ser du att denna punkt ligger på ett avstånd av 4 enhetssegment från referenspunkten 0. Det följer att längden på segmentet OA är lika med fyra enheter. I detta fall kommer längden på segmentet OA, det vill säga talet 4, att vara modulen för talet -4.

Utsedda och inspelade i det här fallet modul för ett tal sålunda: |−4| = 4.

Ta nu, och på koordinatlinjen, beteckna punkten B.

Denna punkt B kommer att motsvara talet +2, och som vi kan se är den belägen på ett avstånd av två enhetssegment från origo. Av detta följer att längden på segmentet OB är lika med två enheter. I det här fallet kommer talet 2 att vara modulen för talet +2.

I skrift kommer det att se ut så här: |+2| = 2 eller |2| = 2.

Och låt oss nu summera det. Om vi ​​tar något okänt tal a och betecknar det på koordinatlinjen vid punkt A, så är i detta fall avståndet från punkt A till origo, det vill säga längden på segmentet OA, exakt modulen för talet "a ".

I skrift kommer det att se ut så här: |a| = O.A.

Modul för antalet egenskaper

Och låt oss nu försöka lyfta fram egenskaperna hos modulen, överväga alla möjliga fall och skriv dem med hjälp av bokstavliga uttryck:

För det första är modulen för ett tal ett icke-negativt tal, vilket betyder att modulen för ett positivt tal är lika med själva talet: |a| = a om a > 0;

För det andra är moduler som består av motsatta tal lika: |a| = |–a|. Det vill säga, den här egenskapen talar om för oss att motsatta tal alltid har lika moduler, det vill säga på koordinatlinjen, även om de har motsatta tal, är de på samma avstånd från referenspunkten. Det följer av detta att modulerna för dessa motstående nummer är lika.

För det tredje är nollmodulen lika med noll om detta tal är noll: |0| = 0 om a = 0. Här kan vi med säkerhet säga att nollmodulen är noll per definition, eftersom den motsvarar origo för koordinatlinjen.

Modulens fjärde egenskap är att modulen för produkten av två tal är lika med produkten av modulerna av dessa tal. Låt oss nu titta närmare på vad detta betyder. Om du följer definitionen så vet du och jag att modulen för produkten av talen a och b kommer att vara lika med ab, eller − (ab), om, a i ≥ 0, eller - (ac), om, a in är större än 0. I poster kommer det att se ut så här: |a b| = |a| |b|.

Den femte egenskapen är att modulen för kvoten av tal är lika med förhållandet moduler med dessa nummer: |а: b| = |a| : |b|.

Och följande egenskaper för modulen av numret:

Lösa ekvationer och olikheter som innehåller modulen för ett tal

När man börjar lösa problem som har en talmodul, bör man komma ihåg att för att lösa en sådan uppgift är det nödvändigt att avslöja modulens tecken med hjälp av kunskap om egenskaperna som denna uppgift motsvarar.

Övning 1

Så, till exempel, om det under modultecknet finns ett uttryck som beror på en variabel, bör modulen utökas i enlighet med definitionen:

Naturligtvis, när man löser problem, finns det fall då modulen är otvetydigt avslöjad. Om vi ​​till exempel tar

, här ser vi att ett sådant uttryck under modultecknet är icke-negativt för alla värden på x och y.

Eller ta till exempel

, ser vi att detta moduluttryck inte är positivt för några värden på z.

Uppgift 2

Framför dig finns en koordinatlinje. På denna rad är det nödvändigt att markera siffrorna, vars modul kommer att vara lika med 2.

Lösning

Först och främst måste vi dra en koordinatlinje. Du vet redan att för detta är det först på en rak linje nödvändigt att välja ursprung, riktning och enhetssegment. Därefter måste vi sätta punkter från origo som är lika med avståndet mellan två enhetssegment.

Som du kan se finns det två sådana punkter på koordinatlinjen, varav den ena motsvarar siffran -2 och den andra till siffran 2.

Historisk information om talets modul

Termen "modul" kommer från latinskt namn modul, som i översättning betyder ordet "mått". Termen myntades av den engelske matematikern Roger Cotes. Men modultecknet introducerades tack vare den tyske matematikern Karl Weierstrass. Vid skrivning betecknas en modul med följande symbol: | |.

Frågor för att konsolidera kunskapen om materialet

I dagens lektion bekantade vi oss med ett sådant koncept som modulen för ett tal, och låt oss nu kolla hur du lärde dig det här ämnet genom att svara på frågorna:

1. Vad heter talet som är motsatsen till ett positivt tal?
2. Vad heter talet som är motsatsen till ett negativt tal?
3. Namnge talet som är motsatsen till noll. Finns ett sådant nummer?
4. Namnge numret som inte kan vara modulen för numret.
5. Definiera modulen för ett tal.

Läxa

1. Innan du är nummer som du behöver ordna i fallande ordning av moduler. Om du slutför uppgiften korrekt kommer du att känna igen namnet på den person som först introducerade termen "modul" i matematik.

2. Rita en koordinatlinje och hitta avståndet från M (-5) och K (8) till origo.

Ämnen > Matematik > Matematik Årskurs 6

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Följande är några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

• När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, adress E-post etc.

Hur vi använder din personliga information:

• Samlas av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden till dig.
• Vi kan även använda personlig information för interna ändamål såsom revision, dataanalys och olika studier för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och för att ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande incitament kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

• Om det behövs - i enlighet med lagen, rättsordning, i rättstvister, och/eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - lämna ut din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhet, brottsbekämpning eller andra ändamål av allmänt intresse.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens efterträdare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Upprätthålla din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker, kommunicerar vi sekretess- och säkerhetspraxis till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.