Един от най трудни темиза студентите това е решението на уравнения, съдържащи променлива под знака на модула. Да видим за начало с какво е свързано? Защо, например, повечето деца щракват квадратни уравнения като ядки, но с такива сложна концепциякак модулът има толкова много проблеми?
Според мен всички тези трудности са свързани с липсата на ясно формулирани правила за решаване на уравнения с модул. Така че, когато решава квадратно уравнение, ученикът знае със сигурност, че първо трябва да приложи дискриминантната формула, а след това формулите за корените на квадратното уравнение. Но какво ще стане, ако в уравнението се срещне модул? Ще се опитаме да опишем ясно необходим пландействия за случая, когато уравнението съдържа неизвестно под знака на модула. Даваме няколко примера за всеки случай.
Но първо, нека си спомним дефиниция на модула. И така, модулът на числото асамото число се нарича if анеотрицателни и -аако номерът а по-малко от нула. Можете да го напишете така:
|a| = a, ако a ≥ 0 и |a| = -a ако а< 0
Говорейки за геометричното значение на модула, трябва да се помни, че всяко реално число съответства на определена точка от оста на числата - нейното до 
координати. И така, модул или абсолютна стойностчислото е разстоянието от тази точка до началото на числовата ос. Разстоянието винаги се дава като положително число. По този начин модулът на който и да е отрицателно числое положително число. Между другото, дори на този етап много ученици започват да се объркват. В модула може да има произволно число, но резултатът от прилагането на модула винаги е положително число.
Сега да преминем към решаването на уравненията.
1. Да разгледаме уравнение от вида |x| = c, където c е реално число. Това уравнение може да бъде решено с помощта на дефиницията на модула.
Разделяме всички реални числа на три групи: тези, които са по-големи от нула, тези, които са по-малки от нула, а третата група е числото 0. Записваме решението под формата на диаграма:
(±c, ако c > 0
Ако |x| = c, тогава x = (0, ако c = 0
(без корени, ако с< 0
1) |x| = 5, защото 5 > 0, тогава x = ±5;
2) |x| = -5, защото -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, тогава x = 0.
2. Уравнение от вида |f(x)| = b, където b > 0. За да решим това уравнение, е необходимо да се отървем от модула. Правим го така: f(x) = b или f(x) = -b. Сега е необходимо да се реши поотделно всяко от получените уравнения. Ако в оригиналното уравнение b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, защото 4 > 0, тогава
x + 2 = 4 или x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, защото 11 > 0, тогава
x 2 - 5 = 11 или x 2 - 5 = -11
х 2 = 16 х 2 = -6
x = ± 4 без корени
3) |x 2 – 5x| = -8 , защото -осем< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Уравнение от вида |f(x)| = g(x). Според смисъла на модула, такова уравнение ще има решения, ако дясната му страна е по-голяма или равна на нула, т.е. g(x) ≥ 0. Тогава имаме:
f(x) = g(x)или f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x - 10. Това уравнение ще има корени, ако 5x - 10 ≥ 0. Тук започва решението на такива уравнения.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Решение:
2x - 1 = 5x - 10 или 2x - 1 = -(5x - 10)
3. Комбинирайте O.D.Z. и решението получаваме:
Коренът x \u003d 11/7 не отговаря на O.D.Z., той е по-малък от 2, а x = 3 удовлетворява това условие.
Отговор: х = 3
2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.
1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Нека решим това неравенство с помощта на интервалния метод:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Решение:
x - 1 = 1 - x 2 или x - 1 = - (1 - x 2)
x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0
x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1
3. Комбинирайте разтвор и O.D.Z.:
Подходящи са само корените x = 1 и x = 0.
Отговор: x = 0, x = 1.
4. Уравнение от вида |f(x)| = |g(x)|. Такова уравнение е еквивалентно на следните две уравнения f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Това уравнение е еквивалентно на следните две:
x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 или x 2 - 5x +7 = -2x + 5
x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0
x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1
Отговор: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Уравнения, решени по метода на заместване (смяна на променливата). Този методрешенията са най-лесни за обяснение в конкретен пример. И така, нека бъде дадено квадратно уравнение с модул:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойството на модула x 2 = |x| 2, така че уравнението може да бъде пренаписано, както следва:
|x| 2–6|x| + 5 = 0. Нека направим промяната |x| = t ≥ 0, тогава ще имаме:
t 2 - 6t + 5 = 0. Решавайки това уравнение, получаваме, че t = 1 или t = 5. Да се върнем към замяната:
|x| = 1 или |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Отговор: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Нека разгледаме друг пример:
x 2 + |x| – 2 = 0. По свойството на модула x 2 = |x| 2, значи
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Нека направим промяната |x| = t ≥ 0, тогава:
t 2 + t - 2 = 0. Решавайки това уравнение, получаваме, t = -2 или t = 1. Да се върнем към замяната:
|x| = -2 или |x| = 1
Няма корени x = ± 1
Отговор: x = -1, x = 1.
6. Друг вид уравнения са уравнения със "сложен" модул. Такива уравнения включват уравнения, които имат "модули в модул". Уравнения от този тип могат да се решават с помощта на свойствата на модула.
1) |3 – |x|| = 4. Ще действаме по същия начин, както при уравнения от втория тип. Защото 4 > 0, тогава получаваме две уравнения:
3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.
Сега нека изразим модула x във всяко уравнение, след което |x| = -1 или |x| = 7.
Решаваме всяко от получените уравнения. В първото уравнение няма корени, т.к -един< 0, а во втором x = ±7.
Отговор x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаваме това уравнение по подобен начин:
3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Няма корени.
Отговор: x = -3, x = 1.
Съществува и универсален метод за решаване на уравнения с модул. Това е методът на разстояние. Но ние ще го разгледаме допълнително.
blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.
Една от най-трудните теми за учениците е решаването на уравнения, съдържащи променлива под знака на модула. Да видим за начало с какво е свързано? Защо, например, квадратните уравнения повечето деца щракат като ядки, но с такава далеч не най-сложната концепция като модул има толкова много проблеми?
Според мен всички тези трудности са свързани с липсата на ясно формулирани правила за решаване на уравнения с модул. Така че, когато решава квадратно уравнение, ученикът знае със сигурност, че първо трябва да приложи дискриминантната формула, а след това формулите за корените на квадратното уравнение. Но какво ще стане, ако в уравнението се срещне модул? Ще се опитаме да опишем ясно необходимия план за действие за случая, когато уравнението съдържа неизвестно под знака на модула. Даваме няколко примера за всеки случай.
Но първо, нека си спомним дефиниция на модула. И така, модулът на числото асамото число се нарича if анеотрицателни и -аако номерът апо-малко от нула. Можете да го напишете така:
|a| = a, ако a ≥ 0 и |a| = -a ако а< 0
Говорейки за геометричното значение на модула, трябва да се помни, че всяко реално число съответства на определена точка от оста на числата - нейното до координати. И така, модулът или абсолютната стойност на числото е разстоянието от тази точка до началото на числовата ос. Разстоянието винаги се дава като положително число. По този начин модулът на всяко отрицателно число е положително число. Между другото, дори на този етап много ученици започват да се объркват. В модула може да има произволно число, но резултатът от прилагането на модула винаги е положително число.
Сега да преминем към решаването на уравненията.
1. Да разгледаме уравнение от вида |x| = c, където c е реално число. Това уравнение може да бъде решено с помощта на дефиницията на модула.
Разделяме всички реални числа на три групи: тези, които са по-големи от нула, тези, които са по-малки от нула, а третата група е числото 0. Записваме решението под формата на диаграма:
(±c, ако c > 0
Ако |x| = c, тогава x = (0, ако c = 0
(без корени, ако с< 0
1) |x| = 5, защото 5 > 0, тогава x = ±5;
2) |x| = -5, защото -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, тогава x = 0.
2. Уравнение от вида |f(x)| = b, където b > 0. За да решим това уравнение, е необходимо да се отървем от модула. Правим го така: f(x) = b или f(x) = -b. Сега е необходимо да се реши поотделно всяко от получените уравнения. Ако в оригиналното уравнение b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, защото 4 > 0, тогава
x + 2 = 4 или x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, защото 11 > 0, тогава
x 2 - 5 = 11 или x 2 - 5 = -11
х 2 = 16 х 2 = -6
x = ± 4 без корени
3) |x 2 – 5x| = -8 , защото -осем< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Уравнение от вида |f(x)| = g(x). Според смисъла на модула, такова уравнение ще има решения, ако дясната му страна е по-голяма или равна на нула, т.е. g(x) ≥ 0. Тогава имаме:
f(x) = g(x)или f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x - 10. Това уравнение ще има корени, ако 5x - 10 ≥ 0. Тук започва решението на такива уравнения.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Решение:
2x - 1 = 5x - 10 или 2x - 1 = -(5x - 10)
3. Комбинирайте O.D.Z. и решението получаваме:
Коренът x \u003d 11/7 не отговаря на O.D.Z., той е по-малък от 2, а x = 3 удовлетворява това условие.
Отговор: х = 3
2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.
1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Нека решим това неравенство с помощта на интервалния метод:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Решение:
x - 1 = 1 - x 2 или x - 1 = - (1 - x 2)
x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0
x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1
3. Комбинирайте разтвор и O.D.Z.:
Подходящи са само корените x = 1 и x = 0.
Отговор: x = 0, x = 1.
4. Уравнение от вида |f(x)| = |g(x)|. Такова уравнение е еквивалентно на следните две уравнения f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Това уравнение е еквивалентно на следните две:
x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 или x 2 - 5x +7 = -2x + 5
x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0
x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1
Отговор: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Уравнения, решени по метода на заместване (смяна на променливата). Този метод на решение е най-лесно да се обясни с конкретен пример. И така, нека бъде дадено квадратно уравнение с модул:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойството на модула x 2 = |x| 2, така че уравнението може да бъде пренаписано, както следва:
|x| 2–6|x| + 5 = 0. Нека направим промяната |x| = t ≥ 0, тогава ще имаме:
t 2 - 6t + 5 = 0. Решавайки това уравнение, получаваме, че t = 1 или t = 5. Да се върнем към замяната:
|x| = 1 или |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Отговор: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Нека разгледаме друг пример:
x 2 + |x| – 2 = 0. По свойството на модула x 2 = |x| 2, значи
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Нека направим промяната |x| = t ≥ 0, тогава:
t 2 + t - 2 = 0. Решавайки това уравнение, получаваме, t = -2 или t = 1. Да се върнем към замяната:
|x| = -2 или |x| = 1
Няма корени x = ± 1
Отговор: x = -1, x = 1.
6. Друг вид уравнения са уравнения със "сложен" модул. Такива уравнения включват уравнения, които имат "модули в модул". Уравнения от този тип могат да се решават с помощта на свойствата на модула.
1) |3 – |x|| = 4. Ще действаме по същия начин, както при уравнения от втория тип. Защото 4 > 0, тогава получаваме две уравнения:
3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.
Сега нека изразим модула x във всяко уравнение, след което |x| = -1 или |x| = 7.
Решаваме всяко от получените уравнения. В първото уравнение няма корени, т.к -един< 0, а во втором x = ±7.
Отговор x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаваме това уравнение по подобен начин:
3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Няма корени.
Отговор: x = -3, x = 1.
Съществува и универсален метод за решаване на уравнения с модул. Това е методът на разстояние. Но ние ще го разгледаме допълнително.
сайт, с пълно или частично копиране на материала, е необходима връзка към източника.
МБОУ СОУ №17 Иванов
« Модулни уравнения»
Методическа разработка
Съставено
учител по математика
Лебедева Н.В.20010 г
Обяснителна бележка
Глава 1 Въведение
Раздел 2. Основни характеристики Раздел 3. Геометрична интерпретация на понятието модул на число Раздел 4. Графика на функцията y = |x| Раздел 5 КонвенцииГлава 2
Раздел 1. Уравнения от вида |F(х)| = m (протозои) Раздел 2. Уравнения от вида F(|х|) = m Раздел 3. Уравнения от вида |F(х)| = G(x) Раздел 4. Уравнения от вида |F(х)| = ± F(x) (красиво) Раздел 5. Уравнения от вида |F(х)| = |G(x)| Раздел 6. Примери за решаване на нестандартни уравнения Раздел 7. Уравнения от вида |F(х)| + |G(x)| = 0 Раздел 8. Уравнения от вида |а 1 x ± в 1 | ± |a 2 x ± в 2 | ± …|a n x ± в n | = m Раздел 9. Уравнения, съдържащи множество модулиГлава 3. Примери за решаване на различни уравнения с модул.
Раздел 1. Тригонометрични уравнения Раздел 2. Експоненциални уравнения Раздел 3 Логаритмични уравнения Раздел 4. Ирационални уравнения Раздел 5. Задачи повишена сложност Отговори на упражненията БиблиографияОбяснителна бележка.
Концепцията за абсолютната стойност (модул) на реално число е една от съществените му характеристики. Тази концепция се използва широко в различни клонове на физическите, математическите и техническите науки. В практиката на преподаване на курс по математика в гимназияв съответствие с Програмата на Министерството на отбраната на Руската федерация понятието „абсолютна стойност на число“ се среща многократно: в 6-ти клас се въвежда дефиниция на модула, неговата геометричен смисъл; в 8. клас се формира понятието абсолютна грешка, разглежда се решението на най-простите уравнения и неравенства, съдържащи модула, изучават се свойствата на аритметичния квадратен корен; в 11. клас понятието се намира в раздел „Корен нта степен."Преподавателският опит показва, че учениците често срещат трудности при решаването на задачи, които изискват знания този материал, и често се пропуска, без да започне изпълнението. В текстове изпитни задачиза курса на 9. и 11. клас са включени и подобни задачи. Освен това изискванията, които университетите налагат на завършилите училища, се различават, а именно повече високо нивоот изискванията на училищната програма. За живота в модерно обществомного важно е формирането на математически стил на мислене, проявяващ се в определени умствени умения. В процеса на решаване на задачи с модули е необходима способност за прилагане на такива техники като обобщение и конкретизация, анализ, класификация и систематизация, аналогия. Решаването на такива задачи ви позволява да проверите знанията на основните раздели училищен курс, ниво логично мислене, първоначални изследователски умения. тази работае посветен на един от разделите - решението на уравнения, съдържащи модула. Състои се от три глави. Първата глава въвежда основните понятия и най-важните теоретични изчисления. Втората глава предлага девет основни типа уравнения, съдържащи модула, разглежда методи за тяхното решаване и анализира примери различни ниватрудности. Третата глава предлага по-сложни и нестандартни уравнения (тригонометрични, експоненциални, логаритмични и ирационални). За всеки тип уравнения има упражнения за независимо решение(отговорите и инструкциите са приложени). Основната цел на тази работа е да окаже методическа помощ на учителите при подготовка за уроци и при организиране на факултативни курсове. Материалът може да се използва и като учебно ръководствоза гимназисти. Предлаганите в работата задачи са интересни и не винаги лесни за решаване, което ви позволява да направите мотивация за ученеучениците са по-съзнателни, тестват своите способности, подобряват нивото на подготовка на завършилите училища за влизане в университети. Диференцираният подбор на предложените упражнения предполага преход от репродуктивното ниво на усвояване на материала към творческото, както и възможността да се научат как да прилагат знанията си при решаване на нестандартни задачи.Глава 1 Въведение.
Раздел 1. Определяне на абсолютната стойност .
Определение : Абсолютната стойност (модул) на реално число асе нарича неотрицателно число: аили -а. Обозначаване: │ а │ Записът гласи както следва: „модул на числото а” или „абсолютна стойност на числото а”│ a, ако a > 0
│a│ = │ 0, ако a = 0 (1)
│ - а, ако аПримери: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1
- Разширете модула за изразяване:
Раздел 2. Основни свойства.
Помислете за основните свойства на абсолютната стойност. Имот №1: Противоположните числа имат равни модули, т.е. │а│=│-а│Нека покажем правилността на равенството. Нека запишем определението на числото - а : │- а│= (2) Нека сравним множества (1) и (2). Очевидно дефинициите на абсолютните стойности на числата аи - асъвпада. следователно, │а│=│-а│Когато разглеждаме следните свойства, ние се ограничаваме до тяхната формулировка, тъй като тяхното доказателство е дадено Свойство №2: Абсолютната стойност на сумата от краен брой реални числа не надвишава сумата от абсолютните стойности на членовете: Свойство №3: Абсолютната стойност на разликата между две реални числа не надвишава сбора от техните абсолютни стойности: │а - в│ ≤│а│+│в│ Свойство #4: Абсолютната стойност на произведението на краен брой реални числа е равна на произведението на абсолютните стойности на факторите: │а · в│=│а│·│в│ Свойство №5: Абсолютната стойност на частното от реалните числа е равна на частното от техните абсолютни стойности:
Раздел 3. Геометрична интерпретация на понятието модул на число.
Всяко реално число може да бъде свързано с точка на числовата права, която ще бъде геометрично представяне на това реално число. Всяка точка на числовата права съответства на нейното разстояние от началото, т.е. дължината на отсечката от началото до дадената точка. Това разстояние винаги се счита за неотрицателна стойност. Следователно дължината на съответния сегмент ще бъде геометричната интерпретация на абсолютната стойност на даденото реално число
Представената геометрична илюстрация ясно потвърждава свойство No1, т.е. модулите на противоположните числа са равни. Оттук валидността на равенството се разбира лесно: │x - a│= │a - x│. Също така става по-очевидно да се реши уравнението │х│= m, където m ≥ 0, а именно x 1.2 = ± m. Примери: 1) │х│= 4 x 1,2 = ± 4 2) │х - 3│= 1
х 1,2 = 2; четири Раздел 4. Графика на функцията y \u003d │х│
Домейнът на тази функция е всички реални числа.Раздел 5. Символи.
В бъдеще, когато разглеждаме примери за решаване на уравнения, ще се използва следното. конвенции: ( - системен знак [ - зададен знак При решаване на система от уравнения (неравенства) се намира пресечната точка на решенията на уравненията (неравенствата), включени в системата. При решаване на набор от уравнения (неравенства) се намира обединение от решения на уравненията (неравенствата), включени в набора.Глава 2
В тази глава ще разгледаме алгебричните начини за решаване на уравнения, съдържащи един или повече модули.Раздел 1. Уравнения от вида │F (х) │= m
Уравнение от този тип се нарича най-просто. То има решение, ако и само ако m ≥ 0. По дефиницията на модула, оригиналното уравнение е еквивалентно на комбинацията от две уравнения: │ Ф(x)│=м
Примери:
№1. Решете уравнението: │7x - 2│= 9
Отговор: х 1
= - 1; х 2
= 1
4
/
7
№2
│x 2 + 3x + 1│= 1
x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; х 2 = -3 Отговор: сборът от корените е - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│= 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 означава x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ±√5 m 2 – 5m + 4 = 0 m = 1; 4 – и двете стойности удовлетворяват условието m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Отговор: броят на корените на уравнение 7. Упражнения:
№1. Решете уравнението и посочете сумата от корените: │x - 5│= 3 №2 . Решете уравнението и посочете по-малкия корен: │x 2 + x │ \u003d 0 №3 . Решете уравнението и посочете по-големия корен: │x 2 - 5x + 4 │ \u003d 4 №4 .Решете уравнението и посочете целия корен: │2x 2 - 7x + 6│ \u003d 1 №5 .Решете уравнението и посочете броя на корените: │x 4 - 13x 2 + 50 │ = 14
Раздел 2. Уравнения от вида F(│х│) = m
Аргументът на функцията от лявата страна е под знака по модул, докато дясната страна е независима от променливата. Нека разгледаме два начина за решаване на уравнения от този тип. 1 начин:По дефиниция на абсолютната стойност, оригиналното уравнение е еквивалентно на съвкупността от две системи. Във всеки от които е наложено условие на израза на подмодула. Ф(│х│) =м
Тъй като функцията F(│х│) е четна в цялата област на дефиниция, корените на уравненията F(х) = m и F(-х) = m са двойки противоположни числа. Следователно е достатъчно да се реши една от системите (при разглеждане на примери по този начин ще бъде дадено решението на една система). 2 начин:Прилагане на метода за въвеждане на нова променлива. В този случай се въвежда обозначението │х│= a, където a ≥ 0. Този методпо-малко обемен в дизайна. Примери: №1 . Решете уравнението: 3x 2 - 4│x│ = - 1 Нека използваме въвеждането на нова променлива. Означаваме │х│= a, където a ≥ 0. Получаваме уравнението 3a 2 - 4a + 1 = 0 D = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1 / 3 Връщаме се към първоначалната променлива: │х │ = 1 и │х│= 1/3. Всяко уравнение има два корена. Отговор: х 1 = 1; х 2 = - 1; х 3 = 1 / 3 ; х 4 = - 1 / 3 . №2. Решете уравнението: 5x 2 + 3│x│- 1 \u003d 1 / 2 │x│ + 3x 2
Нека намерим решението на първата система: 4x 2 + 5x - 2 = 0 D = 57 x 1 = -5 + √57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 Забележете, че x 2 прави не удовлетворява условието x ≥ 0. Според решението втората система ще бъде обратното число x 1 . Отговор: х 1
=
-5+√57
/
8
; х 2
=
5-√57
/
8
.№3
.
Решете уравнението: x 4 - │х│= 0 Означете │х│= a, където a ≥ 0. Получаваме уравнението a 4 - a \u003d 0 a (a 3 - 1) \u003d 0 a 1 \u003d 0 a 2 \u003d 1 Връщаме се към оригиналната променлива: │х│=0 и │х│= 1 x = 0; ± 1 Отговор: х 1
= 0; х 2
= 1; х 3
= - 1.
Упражнения: №6. Решете уравнението: 2│х│ - 4,5 = 5 - 3/8 │х│ №7 . Решете уравнението, в отговора посочете броя на корените: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . Решете уравнението, като в отговора посочете целите решения: x 4 + │х│ - 2 = 0
Раздел 3. Уравнения от вида │F(х)│ = G(х)
Дясната страна на уравнение от този тип зависи от променлива и следователно има решение, ако и само ако дясната страна е функция G(x) ≥ 0. Оригиналното уравнение може да бъде решено по два начина: 1 начин:Стандарт, се основава на разкриването на модула въз основа на неговата дефиниция и се състои в еквивалентен преход към комбинацията от две системи. │ Ф(x)│ =Г(Х)
Рационално е този метод да се използва в случай на сложен израз за функцията G(x) и по-малко сложен израз за функцията F(x), тъй като се предполага, че той решава неравенствата с функцията F(x). 2 начин:Състои се в прехода към еквивалентна система, в която от дясната страна се налага условие. │ Ф(х)│=
Г(х)
Този метод е по-удобен за използване, ако изразът за функцията G(x) е по-малко сложен, отколкото за функцията F(x), тъй като се приема решението на неравенството G(x) ≥ 0. Освен това в случая от няколко модула, този метод се препоръчва да се използва втората опция. Примери:
№1.
Решете уравнението: │x + 2│= 6 -2x 
(1 начин) Отговор: х = 1 1
/
3
№2.
│x 2 - 2x - 1 │ \u003d 2 (x + 1)
(2-посочен) Отговор: Произведението на корените е 3.№3. Решете уравнението, в отговора напишете сумата от корените:
│x - 6 │ \u003d x 2 - 5x + 9
Отговор: сборът от корените е 4.
Упражнения: №9. │x + 4│= - 3x №10. Решете уравнението, в отговора посочете броя на решенията: │x 2 + x - 1 │ \u003d 2x - 1 №11 . Решете уравнението, в отговора посочете произведението на корените: │x + 3 │ \u003d x 2 + x - 6
Раздел 4. Уравнения от вида │F(x)│= F(x) и │F(x)│= - F(x)
Уравненията от този тип понякога се наричат "красиви". Тъй като дясната страна на уравненията зависи от променливата, решенията съществуват, ако и само ако дясната страна е неотрицателна. Следователно, оригиналните уравнения са еквивалентни на неравенствата:│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 и │F(x)│= - F(x) F(x) Примери: №1 . Решете уравнението, в отговора посочете по-малкия корен от цяло число: │5x - 3│ \u003d 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Отговор: х = 1№2. Решете уравнението, в отговора посочете дължината на пролуката: │x 2 - 9 │ \u003d 9 - x 2 x 2 - 9 ≤ 0 (x - 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Отговор: дължината на пролуката е 6.№3 . Решете уравнението, като в отговора посочете броя на целочислените решения: │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Отговор: 4 цели решения.№4 . Решете уравнението, в отговора посочете най-големия корен:
│4 - x -
│= 4 – x – 
x 2 - 5x + 5 = 0 D \u003d 5 x 1,2 = 
≈ 1,4Отговор: х = 3.
Упражнения:
№12.
Решете уравнението, в отговора посочете целия корен: │x 2 + 6x + 8 │= x 2 + 6x + 8 №13.
Решете уравнението, в отговора посочете броя на целочислените решения: │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14.
Решете уравнението, в отговора посочете цяло число, което не е корен на уравнението: 
Раздел 5. Уравнения от вида │F(x)│= │G(x)│
Тъй като и двете страни на уравнението са неотрицателни, решението включва разглеждане на два случая: субмодуларни изрази са равни или противоположни по знак. Следователно, оригиналното уравнение е еквивалентно на комбинацията от две уравнения: │ Ф(х)│= │ Г(х)│
Примери:
№1.
Решете уравнението, в отговора посочете целия корен: │x + 3│ \u003d │2x - 1│ 
Отговор: цяло число корен x = 4.№2.
Решете уравнението: │
x - x 2 - 1│ \u003d │2x - 3 - x 2 │ 
Отговор: х = 2.№3
.
Решете уравнението, в отговора посочете произведението на корените: 
Корените на уравнението 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1.2 \u003d - 1±√5 / 4 Отговор: произведението на корените е 0,25. Упражнения:
№15
. Решете уравнението, в отговора посочете цялото решение: │x 2 - 3x + 2│ \u003d │x 2 + 6x - 1│ №16.
Решете уравнението, като в отговора посочете по-малкия корен: │5x - 3│=│7 - x│ №17
. Решете уравнението, в отговора напишете сумата от корените: 
Раздел 6. Примери за решаване на нестандартни уравнения
В този раздел разглеждаме примери за нестандартни уравнения, при решението на които абсолютната стойност на израза се разкрива по дефиниция. Примери:№1.
Решете уравнението, в отговора посочете сумата от корените: x │x│- 5x - 6 \u003d 0 
Отговор: сборът от корените е 1 №2.
.
Решете уравнението, в отговора посочете по-малкия корен: x 2 - 4x 
- 5 = 0 
Отговор: по-малък корен x = - 5. №3.
Решете уравнението: 
Отговор: x = -1. Упражнения:
№18.
Решете уравнението и напишете сумата от корените: x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19.
Решете уравнението: x 2 - 3x \u003d 
№20.
Решете уравнението: 
Раздел 7. Уравнения от вида │F(x)│+│G(x)│=0
Лесно е да се види, че от лявата страна на уравнение от този тип е сумата от неотрицателни величини. Следователно, първоначалното уравнение има решение само ако и двата члена са едновременно равни на нула. Уравнението е еквивалентно на системата от уравнения: │ Ф(х)│+│ Г(х)│=0
Примери:
№1
. Решете уравнението: 
Отговор: х = 2. №2.
Решете уравнението: Отговор: х = 1. Упражнения:
№21.
Решете уравнението: №22
. Решете уравнението, в отговора напишете сумата от корените: №23
. Решете уравнението, в отговора посочете броя на решенията: Раздел 8. Уравнения на вида
За решаване на уравнения от този тип се използва методът на интервалите. Ако се реши чрез последователно разширяване на модулите, тогава получаваме нкомплекти от системи, което е много тромаво и неудобно. Помислете за алгоритъма на интервалния метод: 1). Намерете стойности на променливи х, за който всеки модул е равен на нула (нули на изразите на подмодула):
2). Намерените стойности са маркирани на числова линия, която е разделена на интервали (броят на интервалите, съответно, е равен на н+1
) 3). Определете с какъв знак се разкрива всеки модул на всеки от получените интервали (при вземане на решение можете да използвате числова права, като маркирате знаците върху нея) 4). Оригиналното уравнение е еквивалентно на множеството н+1
системи, във всяка от които е посочено членството на променливата хедин от интервалите. Примери:
№1
. Решете уравнението, в отговора посочете най-големия корен: 
едно). Нека намерим нулите на подмодулните изрази: x = 2; x = -3 2). Отбелязваме намерените стойности на числовата линия и определяме с какъв знак се разкрива всеки модул на получените интервали: x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- няма решения Уравнението има два корена. Отговор: най-големият корен е x = 2. №2.
Решете уравнението, напишете целия корен в отговора: 
едно). Нека намерим нулите на подмодулните изрази: x = 1,5; x = - 1 2). Отбелязваме намерените стойности на числовата линия и определяме с какъв знак се разкрива всеки модул на получените интервали: x + 1 x + 1 x + 1 - + + -1 1,5 х 2х – 3 2х – 3 2х – 3 - - +
3).
Последната система няма решения, следователно уравнението има два корена. Когато решавате уравнението, трябва да обърнете внимание на знака “-” пред втория модул. Отговор: целочислен корен x = 7. №3.
Решете уравнението, като в отговора посочете сумата от корените: 1). Нека намерим нулите на подмодулните изрази: x = 5; х = 1; x = - 2 2). Отбелязваме намерените стойности на числовата линия и определяме с какъв знак се разкрива всеки модул на получените интервали: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - + -2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Уравнението има два корена x = 0 и 2. Отговор: сборът от корените е 2. №4
.
Решете уравнението: 1). Нека намерим нулите на подмодулните изрази: x = 1; х = 2; x = 3. 2). Нека определим знака, с който всеки модул се разширява на получените интервали. 3). 
Нека комбинираме решенията на първия три системи. Отговор: ; х = 5.Упражнения: №24. Решете уравнението:
№25.
Решете уравнението, в отговора напишете сумата от корените: №26.
Решете уравнението, в отговора посочете по-малкия корен: №27.
Решете уравнението, дайте по-големия корен в отговора си: Раздел 9. Уравнения, съдържащи множество модули
Уравненията, съдържащи множество модули, предполагат наличието на абсолютни стойности в изразите на подмодула. Основният принцип за решаване на уравнения от този тип е последователното разкриване на модули, като се започне от "външното". В хода на решението се използват техниките, разгледани в раздели No 1, No 3.Примери:
№1.
Решете уравнението: 
Отговор: x = 1; - единадесет. №2.
Решете уравнението:
Отговор: x = 0; четири; - четири. №3.
Решете уравнението, в отговора посочете произведението на корените: 
Отговор: Произведението на корените е 8. №4.
Решете уравнението: 
Означете уравненията на населението (1)
и (2)
и разгледайте решението на всеки от тях поотделно за удобство на дизайна. Тъй като и двете уравнения съдържат повече от един модул, е по-удобно да се извърши еквивалентен преход към набори от системи. (1)
(2)
Отговор:
Упражнения:
№36.
Решете уравнението, в отговора посочете сумата от корените: 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37.
Решете уравнението, ако има повече от един корен, в отговора посочете сумата от корените: │x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38.
Решете уравнението: 3 │2x -4│ \u003d 9 │x│ №39.
Решете уравнението, като в отговора посочете броя на корените за: 2 │ sin x │ = √2 №40
. Решете уравнението, в отговора посочете броя на корените:
Раздел 3. Логаритмични уравнения.
Преди да решите следните уравнения, е необходимо да прегледате свойствата на логаритмите и логаритмичната функция. Примери: №1. Решете уравнението, в отговора посочете произведението на корените: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1Случай 1: ако x ≥ - 1, тогава log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – удовлетворява условието x ≥ - 1 2 случай: ако x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – отговаря на условието x - 1
Отговор: Произведението на корените е 15.
№2.
Решете уравнението, като в отговора посочете сумата от корените: lg 
O.D.Z. 
Отговор: сборът от корените е 0,5.
№3.
Решете уравнението: log 5 
O.D.Z. 
Отговор: х = 9. №4.
Решете уравнението: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Нека използваме формулата за преминаване към друга основа. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Да намерим нулите на подмодулните изрази: x = 25; x \u003d Тези числа разделят площта на допустимите стойности на три интервала, така че уравнението е еквивалентно на съвкупността от три системи. 
Отговор:
Друг важен факт: модулът никога не е отрицателен. Каквото и число да вземем - дори положително, дори отрицателно - неговият модул винаги се оказва положителен (или в краен случай нула). Ето защо модулът често се нарича абсолютна стойност на число.
Освен това, ако комбинираме дефиницията на модула за положително и отрицателно число, получаваме глобална дефиниция на модула за всички числа. А именно: модулът на едно число е равен на самото това число, ако числото е положително (или нула), или равно на противоположното число, ако числото е отрицателно. Можете да напишете това като формула:
Има и модул от нула, но той винаги е равен на нула. Освен това нула единствено число, което няма противоположност.
Така, ако разгледаме функцията $y=\left| x \right|$ и опитайте да начертаете неговата графика, ще получите такава „гака“:
Модулна графика и пример за решение на уравнение
От тази снимка можете веднага да видите, че $\left| -m \надясно|=\ляво| m \right|$ и графиката на модула никога не пада под оста x. Но това не е всичко: червената линия маркира правата линия $y=a$, която с положителен $a$ ни дава два корена наведнъж: $((x)_(1))$ и $((x) _(2)) $, но ще говорим за това по-късно. :)
Освен чисто алгебрична дефиниция има и геометрична. Да кажем, че има две точки на числовата права: $((x)_(1))$ и $((x)_(2))$. В този случай изразът $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ е просто разстоянието между посочените точки. Или, ако желаете, дължината на сегмента, свързващ тези точки:
Модулът е разстоянието между точките на числовата права От това определение също следва, че модулът винаги е неотрицателен. Но стига дефиниции и теория - нека да преминем към реални уравнения. :)
Основна формула
Добре, разбрахме дефиницията. Но не стана по-лесно. Как да решим уравнения, съдържащи точно този модул?
Спокойно, само спокойно. Нека започнем с най-простите неща. Помислете за нещо подобно:
\[\вляво| x\вдясно|=3\]
Значи модулът $x$ е 3. На какво може да бъде равен $x$? Е, ако се съди по дефиницията, $x=3$ ще ни подхожда напълно. Наистина ли:
\[\вляво| 3\вдясно|=3\]
Има ли други номера? Cap изглежда намеква, че има. Например, $x=-3$ — $\left| -3 \вдясно|=3$, т.е. изискваното равенство е изпълнено.
Така че може би ако потърсим, помислим, ще намерим още числа? И ето почивка: повече числане. Уравнение $\left| x \right|=3$ има само два корена: $x=3$ и $x=-3$.
Сега нека усложним малко задачата. Нека вместо променливата $x$ функцията $f\left(x \right)$ виси под знака за модул, а отдясно вместо тройката поставяме произволно число $a$. Получаваме уравнението:
\[\вляво| f\ляво(x \вдясно) \вдясно|=a\]
Е, как решаваш? Нека ви напомня: $f\left(x \right)$ е произволна функция, $a$ е произволно число. Тези. изобщо всякакви! Например:
\[\вляво| 2x+1 \вдясно|=5\]
\[\вляво| 10x-5 \вдясно|=-65\]
Нека да разгледаме второто уравнение. Веднага можете да кажете за него: той няма корени. Защо? Точно така: защото изисква модулът да бъде равен на отрицателно число, което никога не се случва, тъй като вече знаем, че модулът винаги е положително число или, в краен случай, нула.
Но с първото уравнение всичко е по-забавно. Има две опции: или има положителен израз под знака на модула и след това $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, или този израз все още е отрицателен, в който случай $\left| 2x+1 \вдясно|=-\ляво(2x+1 \вдясно)=-2x-1$. В първия случай нашето уравнение ще бъде пренаписано като:
\[\вляво| 2x+1 \вдясно|=5\Стрелка надясно 2x+1=5\]
И изведнъж се оказва, че изразът на подмодула $2x+1$ наистина е положителен - равен на числото 5. Тоест, можем спокойно да решим това уравнение - полученият корен ще бъде част от отговора:
Тези, които са особено недоверчиви, могат да се опитат да заменят намерения корен в оригиналното уравнение и да се уверят, че наистина ще има положително число под модула.
Сега нека разгледаме случая на отрицателен подмодулен израз:
\[\left\( \begin(подравняване)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(подравняване) \вдясно.\Стрелка надясно -2x-1=5 \Стрелка надясно 2x+1=-5\]
Опа! Отново всичко е ясно: приехме, че $2x+1 \lt 0$ и в резултат получихме, че $2x+1=-5$ - наистина, този израз е по-малък от нула. Решаваме полученото уравнение, като вече знаем със сигурност, че намереният корен ще ни подхожда:
Общо отново получихме два отговора: $x=2$ и $x=3$. Да, количеството на изчисленията се оказа малко повече, отколкото в много простото уравнение $\left| x \right|=3$, но по същество нищо не се е променило. Така че може би има такива универсален алгоритъм?
Да, такъв алгоритъм съществува. И сега ще го анализираме.
Да се отървем от знака на модула
Нека ни бъде дадено уравнението $\left| f\left(x \right) \right|=a$ и $a\ge 0$ (в противен случай, както вече знаем, няма корени). След това можете да се отървете от модулния знак според следното правило:
\[\вляво| f\left(x \right) \right|=a\rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]
Така нашето уравнение с модула се разделя на две, но без модула. Това е цялата технология! Нека се опитаме да решим няколко уравнения. Нека започнем с това
\[\вляво| 5x+4 \надясно|=10\Стрелка надясно 5x+4=\pm 10\]
Отделно ще разгледаме кога има десетка с плюс отдясно и отделно кога е с минус. Ние имаме:
\[\begin(подравняване)& 5x+4=10\Стрелка надясно 5x=6\Стрелка надясно x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Стрелка надясно 5x=-14\Стрелка надясно x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\край (подравняване)\]
Това е всичко! Имаме два корена: $x=1.2$ и $x=-2.8$. Цялото решение отне буквално два реда.
Добре, няма съмнение, нека разгледаме нещо малко по-сериозно:
\[\вляво| 7-5x \вдясно|=13\]
Отново отворете модула с плюс и минус:
\[\begin(align)& 7-5x=13\Стрелка надясно -5x=6\Стрелка надясно x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Стрелка надясно -5x=-20\Стрелка надясно x=4. \\\край (подравняване)\]
Отново няколко реда - и отговорът е готов! Както казах, няма нищо сложно в модулите. Просто трябва да запомните няколко правила. Затова отиваме по-далеч и продължаваме с наистина по-трудни задачи.
Променлив десен калъф
Сега помислете за това уравнение:
\[\вляво| 3x-2 \вдясно|=2x\]
Това уравнение е коренно различно от всички предишни. Как? И това, че изразът $2x$ е вдясно от знака за равенство - и не можем да знаем предварително дали е положителен или отрицателен.
Как да бъде в такъв случай? Първо, трябва да разберем това веднъж завинаги ако дясната страна на уравнението е отрицателна, тогава уравнението няма да има корени- вече знаем, че модулът не може да бъде равен на отрицателно число.
И второ, ако дясната част все още е положителна (или равна на нула), тогава можете да продължите по същия начин, както преди: просто отворете модула отделно със знака плюс и отделно със знака минус.
Така формулираме правило за произволни функции $f\left(x \right)$ и $g\left(x \right)$:
\[\вляво| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]
По отношение на нашето уравнение получаваме:
\[\вляво| 3x-2 \вдясно|=2x\Стрелка надясно \наляво\( \begin(подравняване)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(подравняване) \вдясно.\]
Е, можем да се справим някак с изискването $2x\ge 0$. В крайна сметка можем глупаво да заменим корените, които получаваме от първото уравнение, и да проверим дали неравенството е валидно или не.
Така че нека решим самото уравнение:
\[\begin(подравняване)& 3x-2=2\Стрелка надясно 3x=4\Стрелка надясно x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Стрелка надясно 3x=0\Стрелка надясно x=0. \\\край (подравняване)\]
Е, кой от тези два корена удовлетворява изискването $2x\ge 0$? Да, и двете! Следователно отговорът ще бъде две числа: $x=(4)/(3)\;$ и $x=0$. Това е решението. :)
Подозирам, че някой от учениците вече е започнал да се отегчава? Е, помислете за още по-сложно уравнение:
\[\вляво| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \вдясно|=x-((x)^(3))\]
Въпреки че изглежда зло, всъщност това е едно и също уравнение от формата "модул е равен на функция":
\[\вляво| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]
И се решава по същия начин:
\[\вляво| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \вдясно|=x-((x)^(3))\Стрелка надясно \наляво\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \вдясно), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(подравняване) \вдясно.\]
С неравенството ще се занимаваме по-късно - някак си е твърде порочно (всъщност просто, но няма да го решим). Засега нека да разгледаме получените уравнения. Помислете за първия случай - това е, когато модулът се разширява със знак плюс:
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
Е, тук е безсмислено, че трябва да съберете всичко отляво, да донесете подобни и да видите какво ще се случи. И ето какво се случва:
\[\begin(подравняване)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\край (подравняване)\]
Изваждайки общия фактор $((x)^(2))$ извън скобата, получаваме много просто уравнение:
\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Стрелка надясно \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\край(подравняване) \вдясно.\]
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]
Тук сме използвали важен имотпродукт, заради който разложихме на множители оригиналния полином: произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.
Сега по същия начин ще се справим с второто уравнение, което се получава чрез разширяване на модула със знак минус:
\[\begin(подравняване)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\ляво(-3x+2 \вдясно)=0. \\\край (подравняване)\]
Отново същото нещо: произведението е нула, когато поне един от факторите е равен на нула. Ние имаме:
\[\left[ \begin(подравняване)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(подравняване) \вдясно.\]
Е, имаме три корена: $x=0$, $x=1.5$ и $x=(2)/(3)\;$. Е, какво ще влезе в крайния отговор от този набор? За да направите това, не забравяйте, че имаме допълнително ограничение за неравенство:
Как да вземем предвид това изискване? Нека просто заменим намерените корени и да проверим дали неравенството е валидно за тези $x$ или не. Ние имаме:
\[\begin(align)& x=0\Стрелка надясно x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Стрелка надясно x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\край (подравняване)\]
Следователно коренът $x=1.5$ не ни подхожда. И само два корена ще отидат в отговор:
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]
Както можете да видите, дори и в този случай нямаше нищо трудно - уравненията с модули винаги се решават според алгоритъма. Просто трябва да имате добро разбиране на полиномите и неравенствата. Затова преминаваме към по-сложни задачи - вече ще има не един, а два модула.
Уравнения с два модула
Досега изучавахме само най-простите уравнения - имаше един модул и още нещо. Изпратихме това „нещо друго“ в друга част от неравенството, далеч от модула, така че в крайна сметка всичко да се сведе до уравнение като $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ или дори по-просто $\left| f\left(x \right) \right|=a$.
Но детска градинакрай - време е да помислим за нещо по-сериозно. Нека започнем с уравнения като това:
\[\вляво| f\left(x\right) \right|=\left| g\ляво(x \вдясно) \вдясно|\]
Това е уравнение от вида "модулът е равен на модула". Принципно важен моменте липсата на други термини и фактори: само един модул вляво, още един модул вдясно - и нищо повече.
Сега някой би си помислил, че подобни уравнения са по-трудни за решаване от това, което изучавахме досега. Но не: тези уравнения се решават още по-лесно. Ето формулата:
\[\вляво| f\left(x\right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]
Всичко! Ние просто приравняваме изразите на подмодула, като поставяме пред един от тях знак плюс или минус. И тогава решаваме получените две уравнения - и корените са готови! Без допълнителни ограничения, без неравенства и т.н. Всичко е много просто.
Нека се опитаме да решим този проблем:
\[\вляво| 2x+3 \вдясно|=\ляво| 2x-7 \вдясно|\]
Елементарно Уотсън! Отваряне на модулите:
\[\вляво| 2x+3 \вдясно|=\ляво| 2x-7 \вдясно|\Стрелка надясно 2x+3=\pm \left(2x-7 \вдясно)\]
Нека разгледаме всеки случай поотделно:
\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Стрелка надясно 3=-7\Стрелка надясно \emptyset ; \\& 2x+3=-\ляво(2x-7 \вдясно)\Стрелка надясно 2x+3=-2x+7. \\\край (подравняване)\]
Първото уравнение няма корени. Защото кога е $3=-7$? За какви стойности на $x$? „Какво, по дяволите, е $x$? Ударен ли си с камъни? Изобщо няма $x$“, казвате вие. И ще бъдеш прав. Получихме равенство, което не зависи от променливата $x$ и в същото време самото равенство е неправилно. Затова и няма корени.
С второто уравнение всичко е малко по-интересно, но и много, много просто:
Както можете да видите, всичко беше решено буквално в няколко реда - не очаквахме нищо друго от линейно уравнение. :)
В резултат на това крайният отговор е: $x=1$.
Е, как? Труден? Разбира се, че не. Нека опитаме нещо друго:
\[\вляво| x-1 \вдясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \вдясно|\]
Отново имаме уравнение като $\left| f\left(x\right) \right|=\left| g\left(x\right) \right|$. Затова веднага го пренаписваме, разкривайки знака на модула:
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]
Може би сега някой ще попита: „Ей, какви глупости? Защо плюс-минус е от дясната страна, а не от лявата? Успокой се, ще ти обясня всичко. Всъщност, по добър начин, трябваше да пренапишем нашето уравнение, както следва:
След това трябва да отворите скобите, да преместите всички членове в една посока от знака за равенство (тъй като уравнението, очевидно, ще бъде квадратно и в двата случая) и след това да намерите корените. Но трябва да признаете: когато „плюс-минус“ е пред три термина (особено когато един от тези термини е квадратен израз), това някак изглежда по-сложно от ситуацията, когато „плюс-минус“ е само пред два термини.
Но нищо не ни пречи да пренапишем оригиналното уравнение, както следва:
\[\вляво| x-1 \вдясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \вдясно|\Стрелка надясно \наляво| ((x)^(2))-3x+2 \вдясно|=\ляво| x-1 \вдясно|\]
Какво стана? Да, нищо особено: просто сменихте лявата и дясната страна. Една дреболия, която в крайна сметка ще опрости малко живота ни. :)
Като цяло решаваме това уравнение, като разглеждаме опции с плюс и минус:
\[\begin(подравняване)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Стрелка надясно ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Стрелка надясно ((x)^(2))-2x+1=0. \\\край (подравняване)\]
Първото уравнение има корени $x=3$ и $x=1$. Вторият обикновено е точен квадрат:
\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]
Следователно той има един корен: $x=1$. Но ние вече получихме този корен по-рано. По този начин само две числа ще влязат в крайния отговор:
\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]
Мисията изпълнена! Можете да го вземете от рафта и да хапнете пай. Има 2 от тях, средно. :)
Важна забележка. Със същите корени различни опциимодулното разширение означава, че оригиналните полиноми се разлагат на фактори и сред тези фактори задължително ще има общ. Наистина ли:
\[\begin(подравняване)& \left| x-1 \вдясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \вдясно|; \\&\вляво| x-1 \вдясно|=\ляво| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\край (подравняване)\]
Едно от свойствата на модула: $\left| a\cdot b \вдясно|=\ляво| a \right|\cdot \left| b \right|$ (тоест модулът на произведението е равен на произведението на модулите), така че оригиналното уравнение може да бъде пренаписано като
\[\вляво| x-1 \вдясно|=\ляво| x-1 \вдясно|\cdot \left| x-2 \вдясно|\]
Както виждате, наистина имаме общ фактор. Сега, ако съберете всички модули от едната страна, тогава можете да извадите този множител от скобата:
\[\begin(подравняване)& \left| x-1 \вдясно|=\ляво| x-1 \вдясно|\cdot \left| x-2 \вдясно|; \\&\вляво| x-1 \вдясно|-\ляво| x-1 \вдясно|\cdot \left| x-2 \вдясно|=0; \\&\вляво| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\край (подравняване)\]
Е, сега си припомняме, че продуктът е равен на нула, когато поне един от факторите е равен на нула:
\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \вдясно|=0, \\& \вляво| x-2 \вдясно|=1. \\\край (подравняване) \вдясно.\]
Така оригиналното уравнение с два модула е сведено до двете най-прости уравнения, за които говорихме в самото начало на урока. Такива уравнения могат да бъдат решени само с няколко реда. :)
Тази забележка може да изглежда ненужно сложна и неприложима на практика. В действителност обаче може да срещнете много по-сложни задачи от тези, които анализираме днес. В тях модулите могат да се комбинират с полиноми, аритметични корени, логаритми и др. И в такива ситуации способността да се намали общата степен на уравнението чрез поставяне на нещо извън скобата може да бъде много, много удобна. :)
Сега бих искал да анализирам друго уравнение, което на пръв поглед може да изглежда лудо. Много студенти се „придържат“ към него - дори тези, които вярват, че разбират добре модулите.
Това уравнение обаче е дори по-лесно за решаване от това, което разгледахме по-рано. И ако разберете защо, ще получите още един трик за бързо решаване на уравнения с модули.
Така че уравнението е:
\[\вляво| x-((x)^(3)) \вдясно|+\ляво| ((x)^(2))+x-2 \вдясно|=0\]
Не, това не е печатна грешка: това е плюс между модулите. И трябва да намерим за кои $x$ сумата от два модула е равна на нула. :)
Какъв е проблемът? И проблемът е, че всеки модул е положително число или в краен случай нула. Какво се случва, когато съберете две положителни числа? Очевидно отново положително число:
\[\begin(подравняване)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(подравняване)\]
Последният ред може да ви даде представа: единственият случай, когато сумата на модулите е нула, е ако всеки модул е равен на нула:
\[\вляво| x-((x)^(3)) \вдясно|+\ляво| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Стрелка надясно \наляво\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(подравняване) \вдясно.\]
Кога модулът е равен на нула? Само в един случай - когато изразът на подмодула е равен на нула:
\[((x)^(2))+x-2=0\Стрелка надясно \наляво(x+2 \вдясно)\ляво(x-1 \вдясно)=0\Стрелка надясно \наляво[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(подравняване) \вдясно.\]
По този начин имаме три точки, в които първият модул е зададен на нула: 0, 1 и −1; както и две точки, в които вторият модул се нулира: −2 и 1. Трябва обаче и двата модула да бъдат нулирани едновременно, така че сред намерените числа трябва да изберем тези, които са включени и в двата набора. Очевидно има само едно такова число: $x=1$ - това ще бъде крайният отговор.
метод на разделяне
Е, вече разгледахме куп задачи и научихме много трикове. Мислиш ли, че това е? Но не! Сега ще разгледаме крайната техника - и в същото време най-важната. Ще говорим за разделяне на уравнения с модул. Какво ще се обсъжда? Нека се върнем малко назад и разгледаме някакво просто уравнение. Например това:
\[\вляво| 3x-5\вдясно|=5-3x\]
По принцип вече знаем как да решим такова уравнение, защото то е стандартно $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Но нека се опитаме да погледнем на това уравнение от малко по-различен ъгъл. По-точно, разгледайте израза под знака на модула. Нека ви напомня, че модулът на всяко число може да бъде равен на самото число или може да бъде противоположен на това число:
\[\вляво| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]
Всъщност тази неяснота е целият проблем: тъй като числото под модула се променя (зависи от променливата), не ни е ясно дали е положително или отрицателно.
Но какво ще стане, ако първоначално изискваме това число да е положително? Например, нека изискваме $3x-5 \gt 0$ - в този случай гарантирано ще получим положително число под знака на модула и можем напълно да се отървем от този модул:
По този начин нашето уравнение ще се превърне в линейно, което лесно се решава:
Вярно е, че всички тези съображения имат смисъл само при условието $3x-5 \gt 0$ - ние самите въведохме това изискване, за да разкрием недвусмислено модула. Така че нека заместим намереното $x=\frac(5)(3)$ в това условие и проверим:
Оказва се, че за посочената стойност на $x$ нашето изискване не е изпълнено, т.к изразът се оказа равен на нула и трябва да бъде строго по-голям от нула. Тъжно. :(
Но това е добре! В крайна сметка има и друга опция $3x-5 \lt 0$. Освен това: има и случай $3x-5=0$ - това също трябва да се има предвид, в противен случай решението ще бъде непълно. И така, разгледайте случая $3x-5 \lt 0$:
Очевидно е, че модулът ще се отвори със знак минус. Но тогава възниква странна ситуация: един и същ израз ще стърчи както отляво, така и отдясно в оригиналното уравнение:
Чудя се за какво такова $x$ изразът $5-3x$ ще бъде равен на израза $5-3x$? От такива уравнения дори Капитанът очевидно би се задавил със слюнка, но ние знаем, че това уравнение е идентичност, т.е. това е вярно за всяка стойност на променливата!
А това означава, че всеки $x$ ще ни подхожда. Имаме обаче ограничение:
С други думи, отговорът няма да бъде едно число, а цял интервал:
И накрая, остава да разгледаме още един случай: $3x-5=0$. Тук всичко е просто: под модула ще има нула, а модулът на нула също е равен на нула (това директно следва от дефиницията):
Но тогава първоначалното уравнение $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ ще бъде пренаписано по следния начин:
Вече получихме този корен по-горе, когато разглеждахме случая $3x-5 \gt 0$. Освен това този корен е решение на уравнението $3x-5=0$ - това е ограничението, което ние самите въведохме, за да анулираме модула. :)
По този начин, в допълнение към интервала, ще бъдем доволни и от числото, което лежи в самия край на този интервал:
Комбиниране на корени в уравнения с модул Общ краен отговор: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Не е много обичайно да видите подобни глупости в отговора на доста просто (по същество линейно) уравнение с модул Е, свикнете с това: сложността на модула се крие във факта, че отговорите в такива уравнения могат да бъдат напълно непредсказуеми.
Много по-важно е нещо друго: току-що демонтирахме универсален алгоритъм за решаване на уравнение с модул! И този алгоритъм се състои от следните стъпки:
- Приравнете всеки модул в уравнението към нула. Нека вземем някои уравнения;
- Решете всички тези уравнения и маркирайте корените на числовата права. В резултат на това правата линия ще бъде разделена на няколко интервала, на всеки от които всички модули са уникално разширени;
- Решете оригиналното уравнение за всеки интервал и комбинирайте отговорите.
Това е всичко! Остава само един въпрос: какво да правим със самите корени, получени на първата стъпка? Да кажем, че имаме два корена: $x=1$ и $x=5$. Те ще разделят числовата права на 3 части:
Разделяне на числова права на интервали с помощта на точки И така, какви са интервалите? Ясно е, че те са три:
- Най-ляво: $x \lt 1$ - самата единица не е включена в интервала;
- Централно: $1\le x \lt 5$ - тук един е включен в интервала, но пет не са включени;
- Най-десният: $x\ge 5$ — петте са включени само тук!
Мисля, че вече разбирате модела. Всеки интервал включва левия край и не включва десния край.
На пръв поглед подобен запис може да изглежда неудобен, нелогичен и като цяло някакъв луд. Но повярвайте ми: след малко практика ще откриете, че този подход е най-надеждният и в същото време не пречи на недвусмислено разкриването на модули. По-добре е да използвате такава схема, отколкото да мислите всеки път: дайте левия / десния край на текущия интервал или го „хвърлете“ на следващия.
Инструкция
Ако модулът е представен като непрекъсната функция, тогава стойността на неговия аргумент може да бъде положителна или отрицателна: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);
Лесно е да се види, че събирането и изваждането на комплексни числа следват същото правило като събирането и .
Произведението на две комплексни числа е:
z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.
Тъй като i^2 = -1, крайният резултат е:
(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).
Операциите по издигане на степен и извличане на корен за комплексни числа се дефинират по същия начин, както за реалните. Въпреки това, в комплексната област за всяко число има точно n числа b такива, че b^n = a, тоест n корени от n-та степен.
По-специално, това означава, че всяко алгебрично уравнение от n-та степен в една променлива има точно n комплексни корени, някои от които могат да бъдат и .
Подобни видеа
Източници:
- Лекция "Комплексни числа" през 2019г
Коренът е иконата, която представлява математическа операциянамирането на такова число, чието издигане до степента, посочена преди знака на корена, трябва да даде числото, посочено под самия този знак. Често за решаване на проблеми, в които има корени, не е достатъчно само да се изчисли стойността. Трябва да извършим допълнителни операции, една от които е въвеждането на число, променлива или израз под знака корен.
Инструкция
Определете степента на корена. Индикаторът е цяло число, показващо степента, до която трябва да се повиши резултатът от изчисляването на корена, за да се получи радикален израз (числото, от което се извлича този корен). Експонент на корена, посочен като горен индекс преди иконата на корен. Ако този не е посочен, значи е Корен квадратен, чиято степен е две. Например, коренната степен √3 е две, експонентата ³√3 е три, коренната степен ⁴√3 е четири и т.н.
Повишете числото, което искате да добавите под знака за корен, до степента, равна на степента на този корен, която сте определили в предишната стъпка. Например, ако трябва да въведете числото 5 под знака на корена ⁴√3, тогава степента на корена е четири и ви е необходим резултатът от повишаване на 5 на четвърта степен 5⁴=625. Можете да направите това по всеки удобен за вас начин - наум, като използвате калкулатор или съответните публикувани услуги.
Въведете получената в предишната стъпка стойност под знака корен като множител на радикалния израз. За примера, използван в предишната стъпка с добавяне под корена ⁴√3 5 (5*⁴√3), това действие може да се направи по следния начин: 5*⁴√3=⁴√(625*3).
Опростете получения радикален израз, ако е възможно. За примера от предишните стъпки, това е, че просто трябва да умножите числата под основния знак: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Това завършва операцията по добавяне на число под корена.
Ако има неизвестни променливи в задачата, тогава описаните по-горе стъпки могат да бъдат извършени общ изглед. Например, ако искате да въведете неизвестна променлива x под корен от четвърта степен и коренният израз е 5/x³, тогава цялата последователност от действия може да бъде написана, както следва: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).
Източници:
- как се нарича коренният знак
Реалните числа не са достатъчни за решаване на квадратно уравнение. Най-простият от квадратни уравнения, без корени сред реални числа - това е x^2+1=0. При решаването му се оказва, че x=±sqrt(-1) и според законите на елементарната алгебра извадете корена равномерна степенот отрицателен числазабранено е.
