Александър Гайфулин е лауреат на президентската награда. Александър Гайфулин: живеем в многоизмерен свят. Защо започнахте да правите тези полиедри

Нашият свят изобщо не е триизмерен, просто така ни се струва. Този факт се подкрепя от фундаментални изследвания. Александър Александрович Гайфулин, член-кореспондент на Руската академия на науките, професор в механико-математическия факултет на Московския държавен университет, водещ научен сътрудник на Математическия институт. V.A. Стеклов RAS. За поредица от произведения, свързани със сложни математически конструкции, той получи президентската награда за млади учени.

Александър, трудно е дори да се обръщам към теб с името и бащината ти, толкова си млад. И в същото време – професор, член-кореспондент... Може би сте най-младият член на Академията на науките?

Доколкото знам, не. но един от най-младите. Станах доктор на науките на 26, а в академията ме избраха на 32 - на последните есенни избори. Трябва да кажа, че математиката като цяло е наука за младите.

- Защото мозъкът е така устроен: колкото по-млад, толкова по-добре функционира?

Може би. Въпреки че има случаи, когато хората в зряла възраст са получили много добри резултати. Но като цяло има много примери в математиката, когато първите статии стават най-силни. В други науки, да речем, в химията, във физиката, особено в експерименталната наука, времето е изключително важно, когато човек трябва да развие някакви умения, да се научи как да работи.

Експериментите често отнемат много време, така че, като правило, в такива области хората получават сериозни резултати по-късно.

- Вие станахте лауреат на президентската награда за млади учени. За какво изследване?

Работя по тази тема вече пета година. Това е поредица от работи върху така наречените гъвкави многогранници. Това е много интересен геометричен обект. Знаете ли как децата лепят картонени полиедри? Те рисуват ръбовете, изрязват сканирането и след това започват да сгъват и залепват. Така че можете да направите, да речем, куб. И тогава възниква въпросът: тук залепихме затворен полиедър, но дали ще бъде твърда структура или може по някакъв начин да се деформира с промяна в ъглите между лицата? Това се нарича огъване.

За да си представите по-добре това, можете, както казват математиците, да слезете надолу по измерението и вместо да гледате полиедри в триизмерно пространство, да погледнете многоъгълници в равнина. Ако вземем триъгълник и го направим твърди страни и панти във върховете, той пак ще остане твърда фигура и няма да можем да го деформираме по никакъв начин. И ако вземем четириъгълник, петоъгълник или многоъгълник с голям брой страни, тогава той винаги ще има нетривиални деформации. Например квадрат може да се превърне в ромб и т.н. Ако обаче се върнем към многогранниците, там ситуацията е различна. Сред тях има много малко огъваеми и са трудни за изграждане.

Първият пример за гъвкав полиедър е построен едва през 1977 г.

Факт е, че през 1813 г. известният френски математик Огюстен Луи Коши (това е една от първите му математически произведения) доказа, че ако полиедърът е изпъкнал, тогава той никога няма да има огъване.

Ами ако не е изпъкнал? Както се оказа век и половина по-късно, огъването е възможно. Освен това, когато започнаха да се изграждат такива гъвкави полиедри, се оказа, че те имат много невероятни свойства.

- Какъв вид?

Първо, те бяха открити експериментално. Да кажем такова невероятно нещо: полиедърът се огъва, деформира и обемът му остава постоянен. В началото имаше мисли, че може би това е съвпадение. Те започнаха да разглеждат други примери и там също обемът е постоянен. И имаше хипотеза, че обемът на всеки огъващ се полиедър е постоянен в процеса на огъване. Наричаха го много красиво - хипотезата на меховете. Силфонът е устройство, което изпомпва въздух в ковачницата. Възникна въпросът: възможно ли е да се направи такова устройство, което изпомпва въздух от гъвкав полиедър? Това би било възможно само ако има полиедър, който променя обема си. Хипотезата на духалата остава отворена дълго време и я доказа през 90-те години. от миналия век руският математик И.Х. Събитов.

Работата ми се състоеше в изграждането на теория на многомерните гъвкави полиедри. Живеем в обичайното си триизмерно пространство, но всъщност математиците изучават и многомерни пространства, а това е много важно не само за математиката, но и за различните й приложения – физика, механика, астрофизика и други области.

- Какво показаха изследванията ви?

Разгледахме полигони в самолета. след това в триизмерно пространство и тогава възникна друг въпрос: ами ако изучаваме подобни обекти, едни и същи гъвкави полиедри, в многомерни пространства с произволно измерение? И се оказа, че тук не знаем почти нищо. В края на XX-XXI век. бяха конструирани отделни примери на четириизмерни гъвкави многогранници, но не беше възможно да се отиде по-далеч. В по-високите измерения изобщо нямаше нито един пример.

Първо успях да построя примери за гъвкави полиедри в пространства от всички измерения. На второ място, имаше въпрос, свързан с хипотезата на меховете и I.Kh. Сабитов, че обемът на гъвкав полиедър винаги е постоянен. Имаше всички основания да се смята, че може би същото е вярно и в „по-високите“ измерения.

Доказателството, което той даде, работи много добре в триизмерна ситуация, но изобщо не работи в многоизмерна. Успях да измисля напълно нов подход, който ми позволи да докажа хипотезата на силфона, тоест твърдението, че обемът е постоянен по време на огъването на полиедри за полиедри с произволни размери.

Нашето пространство, както казват математиците, има нулева кривина. И има извити пространства. Най-лесно е да си представите положително извити пространства. Най-простият пример е повърхността на сфера, каквато е повърхността на Земята, на която живеем. Тоест нашата земна геометрия не е евклидова, не е плоска, а е сферична.

Има и пространство с отрицателна кривина - това е равнината на Лобачевски и цялата му известна геометрия, възникнала през 19 век. Това са двуизмерни пространства, но по същия начин има пространства с положителна и отрицателна кривина от всички измерения. И те също могат да изучават гъвкави полиедри.

И се оказа, че ситуацията там е много любопитна. Ако кривината е положителна, тогава хипотезата на меховете е невярна. Има примери за огъващи се полиедри, които променят обема си по време на процеса на огъване. В нашето обичайно измерение такъв пример е конструиран от V.A. S.L. Sobolev SB RAS и във всички по-високи измерения, това са моите резултати.

И най-любопитното е това. Ако се намираме в пространство с отрицателна кривина, се оказва, че ако размерността е нечетна - 3,5, 7 и т.н., тогава хипотезата на меховете е вярна, а обемът е постоянен.

- А ако размерът е четен, значи е неправилен и обемът се променя?

Не, ако е четно, тогава никой не знае. Това е въпросът, който остава отворен днес...

Да, всичко започна с изучаването на огъваеми полиедри, но тази наука се развива в различни посоки. Като цяло това е част от науката за шарнирните механизми, която има много приложения, които възникват в много инженерни конструкции. Или, да речем, има такава прекрасна конструкция - равнина, разделена на много паралелограми, които могат да бъдат много компактно сгънати в едно. Известен е от древни времена от японските оригами и сега се нарича miura-ori в чест на японския астрофизик Коре Миура, който предложи използването на този дизайн за сгъване на слънчеви панели.

Разбира се, такива структури могат да бъдат създадени и за изграждане на временни жилища, мобилни болници и научни лаборатории - например на север, за развитие на нови земи.

Можете да фантазирате колкото искате, но аз не съм експерт в областта на приложението. Бих искал обаче да кажа, че в допълнение към такива „наивни“ опции като използването в практиката на определени гъвкави повърхности, не по-малко важни са възможностите за по-дълбоки и неочевидни приложения не на самите гъвкави полиедри, а на математическите методи, възникнали при тяхното изследване. Като цяло, често се случва математическите резултати да се използват по някакъв начин, първоначално неочакван. Историята показва, че често се очаква да бъде приложен на едно място, но се появява на съвсем различно място.

Връщайки се към гъвкавите полиедри, бихме искали да отбележим връзката им с проблеми от този тип, които често се срещат на практика. В пространството има набор от точки и ние знаем разстоянията между някои двойки от тези точки (например успяхме да ги измерим), но не и между други. Възможно ли е да се намерят всички липсващи разстояния, да се изчислят?

Този проблем се свежда до изучаването на определен тип системи от алгебрични уравнения, а същият вид системи от уравнения възникват в задачи за гъвкави полиедри. Следователно методите, разработени в теорията на гъвкавите полиедри, несъмнено могат да бъдат полезни тук.

Точно.

- Как е построено всичко това? С компютърни програми?

Колкото и да е странно, не. Компютърният модел се създава, като правило, по-късно. Начертаването на хартия също е проблематично - там всичко е плоско. И, честно казано, не съм много добър в залепването на толкова сложни фигури от картон.

- Изграждате ли всичко това в главата си?

- Някакво математическо описание под формата на формули?

да. След това, когато има формули, те могат да бъдат заредени в компютър и да получат обект.

- Направи снимката в компютъра и какво ти беше в главата преди този мач?

Не винаги.

- Ще продължите ли да работите по тази тема? Какво искате да постигнете в тази посока?

За мен тази област не е съвсем родна. Първоначално специализирах в друга област на математиката - алгебричната топология. Топологията е науката за описване на геометричен обект от гледна точка на свойства, които не се променят, когато е деформиран. И алгебричната топология се стреми да даде такова описание в алгебрични термини. тоест, например, да присвоим на всяка повърхност някакъв алгебричен обект и да покажем, че този обект е различен, да речем, за сфера и за повърхност на поничка, и по този начин да покаже, че те не могат да бъдат трансформирани един в друг чрез непрекъсната деформация. Тази наука започва да се оформя в края на 19 век, но оттогава значително се развива и усложнява.

- Защо започнахте да работите по тези полиедри?

Мой научен ръководител в университета беше член-кореспондент на Руската академия на науките В.М. Buchstaber, а моята тема беше просто алгебрична топология. И когато бях на първата си година, имах голям късмет, че семинарите по математически анализ в нашата група се преподаваха от професор по механика и математика И.Х. Събитов, за когото вече говорих. Така че вече научих за огъваемите полиедри и неговите резултати в тази област. И още през 2011 г., когато тъкмо защитих докторската си дисертация, Иджад Хакович ми каза, че ме посъветва да се заема с този проблем, защото му се струваше, че там е възможно да приложим топологичните си знания.

- И той беше прав?

Абсолютно. Така че част от проблема е решен, останалото, надявам се, предстои.

Виктор Матвеевич Бухщабер. Член-кореспондент на Руската академия на науките, професор в Московския държавен университет „Ломоносов“. М.В. Ломоносов. главен научен сътрудник на Математическия институт. V.A. Стеклов:

Вярвам, че по отношение на приноса към фундаменталната наука, резултатите от тази работа са абсолютно изключителни. Те вече са оказали влияние върху развитието на математиката и ще продължат да го правят. Можем да изброим големи математици, които са се опитвали да решат тези проблеми в продължение на много години, но всеки път попадат в задънена улица. Александър, разбира се, разчита на резултатите на своите предшественици, но той открива нови методи, които му позволяват да пробие първо в четириизмерния свят, а след това и в света на повече измерения.

Факт е, че проблемът с гъвкавите полиедри, както го казват класиците, се основаваше на нашия триизмерен свят, на ежедневния опит. Но ако вземем фундаменталната работа на Анри Поанкаре, основателят на нашата наука - топологията, тогава той започва с факта, че класическата механика се занимава с триизмерен свят. Ако обаче искате да опишете динамиката на даден обект и свойствата на системата като цяло, тогава не можете да правите без многомерни пространства, където участват не само координати, но и скорост, ускорение и т.н. Тоест от триизмерното пространство е необходимо да се премине към многоизмерното. Разбирането на този факт послужи като стимул за създаването и развитието на топологията.

Фундаментален принос на Александър в кн. че той първо прехвърли класическите проблеми, свързани с триизмерния свят, в четириизмерния свят, а след това разработи методи, приложими за по-високи измерения. Преди него многомерните аналози на класическите задачи върху гъвкавите многогранници изглеждаха недостъпни. Ето защо формулировката на президентската награда казва „за решаване на фундаментални проблеми“: Александър разработи нови методи, които направиха възможно решаването на многоизмерни аналози на класическите проблеми.

На пръв поглед изглежда, че всичко това е плод на въображението ни. Всъщност ние не живеем в триизмерен свят, а в многоизмерен. Триизмерният свят е много прост и очевиден.

Например, известно е, че сега сте в Математическия институт в такава и такава аудитория. Намирането ви е триизмерна задача.

Но ако искам да те следвам, имам нужда от информация за твоята динамика, от разбиране къде в космоса ще бъдеш след известно време. Това вече е четириизмерна задача.

Фазовото пространство е концепцията, на която се основават фундаменталните резултати на цялата съвременна математика. Вие и аз живеем в многоизмерен свят, където нашите координати са не само данни за местоположението, но и много друга информация за нашата държава.

Сега тук се появиха абсолютно уникални възможности благодарение на съвременните изчислителни технологии и новите средства за комуникация. Същата навигационна система използва многоизмерни пространства. Дълги години изучавам не само топологията, но и нейните приложения към проблемите на физиката и химията и всеки път усещам предимството, което топологията ми дава. В сравнение с човек, който вярва, че живее в триизмерен свят, аз имам много по-богат инструментариум.

Саша е мой ученик, а бивши ученици няма. Гордея се с резултатите, които постигна, защото това е истински пробив в науката. Добре е, когато се получи резултатът, който може да се използва веднага. В същото време основните резултати са от особена стойност. Оказва се, че в нашия свят всичко е съвсем различно. както изглежда на пръв поглед. Първо, той наистина е многоизмерен, и второ, в този многоизмерен свят, когато работите с определени обекти, трябва да знаете забраните, които този свят налага. И човекът, който е открил тези забрани, влиза в историята на математиката, защото е дал на цялото човечество ново разбиране за условията на съществуване в този свят. И трето, знаейки тези забрани, можем да си поставим прекрасна задача – да изградим нещо много добро, за да го използваме в полза на човечеството. Не се съмнявам, че ще има още много подобни строежи и придобивки.

Академик Валери Козлов: "За чудеса - към Математическия институт"

Валерий Василиевич Козлов, изпълняващ длъжността президент на Руската академия на науките, академик, директор на Математическия институт. V.A. Стеклов (2004-2016).

Искам да кажа няколко думи за младите хора, работещи в нашия институт. Винаги сме се стремили да набираме най-способните, най-талантливите. Нашият институт е малък, малко над сто изследователи. И затова появата на всеки нов човек е събитие за нас. Появата на Саша Гайфулин, който сега е член-кореспондент на Руската академия на науките, професор, беше такова събитие.

Помня добре как го наехме. Няма да крия, това беше моя идея. След това работи в Московския университет, в родния ми механико-математически факултет, в един от трите катедра по геометрия. В нашия институт имаме много възпитаници на механико-математическия факултет на Московския държавен университет. Знаейки, че на математическия ни небосклон се появи млад способен човек, аз след консултация с моите колеги реших на всяка цена да го заведа при нас.

- Доколкото знам, А.А. Гайфулин продължава да преподава в Московския държавен университет.

Да, но сега на непълен работен ден.

- И все пак той не е единственият ви носител на президентската награда.

Да, той е трети. Първият беше A.G. Кузнецов е наш забележителен алгебраист, избран и за член-кореспондент на Академията на науките за изключителните си постижения в областта на алгебрата и алгебричната геометрия. И тази награда беше присъдена и на Н.Н. Андреев е талантлив популяризатор на математиката, ръководител на лабораторията за популяризиране и пропаганда на математиката.

- Но да се върнем към АА. Гайфулин.

Той е наистина страхотен геометър. Характерна черта на неговата научна работа е, че той се стреми да направи всичко докрай, грациозно и красиво. В тази връзка припомням думите на великия немски математик Гаус: „Ако нещо е недовършено, това означава, че нищо не е направено“. И така, Саша довежда всичко до края. Вземете например неговата брилянтна поредица от работи по хипотезата на меховете, която гласи, че обемите на гъвкавите полиедри като правило не се променят (поне, ако говорим за познатото ни евклидово пространство). Той разглежда многомерния случай и случая на пространства с положителна и отрицателна кривина. Той изведе особеностите на този проблем, свързан със знака на кривината, който също е много важен. Доведе въпроса до логичния му край. И това е най-ценното.

Тази хипотеза и цялата тема е тясно свързана между другото и с Механико-математическия факултет. Както е известно, в триизмерния случай тази хипотеза е доказана от изключителния геометър I.Kh. Събитов. Още бях ученик, когато той преподаваше в нашите класове. И сега чете лекции. Много се радвам, че именно той имаше възможността да реши този проблем, да го премести от началната точка. Александър Александрович получи крайните резултати в многомерния случай и дори в пространства с постоянна кривина. Това е отличен резултат.

- Колко важни са учителите за един млад учен?

Много важно. Но не само учители. Саша има прекрасен баща, A.M. Гайфулин, също учен, член-кореспондент на Руската академия на науките, работи в Жуковски, един от водещите специалисти в страната по теория на вихровото движение на непрекъсната среда. Следователно възпитанието на Александър е колективно дело.

Валери Василиевич, вашият институт е сериозна научна институция. Но чух, че и ти знаеш как да се забавляваш.

Не тази дума! Имаме традиция за старата Нова година: всички се събираме и провеждаме интелектуални задачи и състезания. И определено имаме Дядо Коледа и Снежанката. И така, Саша перфектно изигра ролята на главния зимен магьосник, оказа се много артистичен и убедителен, въпреки факта, че външно изглежда срамежлив човек. За мен беше неочаквано, но много приятно. Затова, ако искате истински чудеса, заповядайте при нас.

Наталия Лескова

Публикации

1. А. Гайфулин, „Върху горната хомологична група на ядрото на Джонсън“ [ PDF: Английски, arXiv: 1903.03864 ]
2. A. A. Gaifullin, Y. A. Neretin, “Безкрайна симетрична група, псевдомногообразия и комбинаторни кобордизъм-подобни структури”, J. Topol. Anal., https://doi.org/10.1142/S179352531850022X
3. А. Гайфулин, “За безкрайно генерираната хомология на групите на Торели”, [ PDF: English , arXiv: 1803.09311 ]
4. A. Gaifullin, L. Ignashchenko, “Ден инвариант на гъвкави многогранници” [ PDF: English , arXiv: 1710.11247 ]
5. А. А. Гайфулин, „За разширение на хомоморфизма Бирман–Крагс–Джонсън“, Руски мат. Проучвания, 72:6 (2017), 1171–1173
6. A. A. Gaifullin, “Малки покрития на граф-асоциаедри и реализация на цикли” [ PDF: English , arXiv: 1611.01816 ]
7. A. A. Gaifullin, „Силфоновата хипотеза за малки гъвкави полиедри в неевклидови пространства“, 2016, [ PDF: English , arXiv: 1605.04568 ]
8. A. A. Gaifullin, Гъвкави полиедри и техните обеми, 2016, [ PDF: Английски , arXiv: 1605.09316 ]
9. А. А. Гайфулин, “Проблемът за реализацията на цикли и малки покрития над граф-асоциаедри”, Александровски четения. Резюме (Москва, 22–26 май 2016 г.), Механико-математически факултет, Московски държавен университет, Москва, 2016 г.
10. А. А. Гайфулин, “Малки покрития над граф-асоциаедри и реализация на цикли”, Матем. Сб., 207:11 (2016), 53–81 [ „Малки покрития на граф-асоциаедри и реализация на цикли“, Сб. Математика 207:11 (2016), 1537–1561
11. А. А. Гайфулин, Ю. А. Неретин, “Безкрайна симетрична група и бордизми на псевдомногообразия”, [ PDF: Английски , arXiv: 1501.04062 ]
12. А. А. Гайфулин, “Вградени гъвкави сферични кръстосани многогранници с непостоянни обеми”, Геометрия, топология и приложения, Сборник. Към 70-годишнината от рождението на професор Николай Петрович Долбилин, Тр. МИАН, 288, МАИК, М., 2015, 67–94 [ PDF: английски , arXiv: 1501.06198 ]
13. А. А. Гайфулин, “Аналитично продължение на обема и хипотезата на меховете в пространствата на Лобачевски”, Матем. Сб., 206:11 (2015), 61–112 [ „Аналитичното продължение на обема и хипотезата на Белов в пространствата на Лобачевски“, Сб. Математика, 206:11 (2015), 1564–1609]
14. А. А. Гайфулин, „Текущи алгебри върху риманови повърхности: нови резултати и приложения (изложения на де Грюйтер по математика 58) От Олег К. Шейнман”, Рецензия на книга, Бюл. Лондон математика. с. 47:6 (2015), 1029–1032
15. А. А. Гайфулин, “Полиноми на Сабитов за обеми на многогранници в четири измерения”, Адв. Математика, 252 (2014), 586–611 [PDF: Английски, arXiv: 1108.6014]
16. А. А. Гайфулин, С. А. Гайфулин, “Деформации на периодични решетки на гъвкави полиедрални повърхности”, Дискретно изчисление. Geom., 51:3 (2014), 650–665 [PDF: Английски, arXiv: 1306.0240]
17. А. А. Гайфулин, „Гъвкави кръстосани многогранници в пространства с постоянна кривина“, Алгебрична топология, изпъкнали многогранници и свързани теми, Сборник. По повод 70-годишнината от рождението на член-кореспондент на Руската академия на науките Виктор Матвеевич Бухщабер, Тр. MIAN, 286, MAIK, M., 2014, 88–128 [ PDF: English , arXiv: 1312.7608 ]
18. А. А. Гайфулин, „Обобщение на теоремата на Сабитов към полиедри с произволни размери“, Дискретно изчисление. Geom., 52:2 (2014), 195–220 [ PDF: Английски , arXiv: 1210.5408 ]
19. А. А. Гайфулин, „Обеми от гъвкави полиедри“, Резюме на международната конференция „Дни на геометрията в Новосибирск – 2014“, посветена на 85-годишнината на акад. Юрий Григориевич Решетняк (Новосибирск, 24–24 септември), 24–27 септември И. А. Тайманов, А. Ю. Веснин, Институт по математика им. S. L. Soboleva SB RAS, Новосибирск, 2014, стр. 98–99
20. А. А. Гайфулин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов, Проблеми по линейна алгебра и геометрия, Московски централен център за зърнено образование, Москва, 2014, 152 стр. http://biblio.mccme.ru/node/5173
21. А. А. Гайфулин, „Обем на симплекс като многозначна алгебрична функция на областите на неговите две лица“, Топология, геометрия, интегрируеми системи и математическа физика: Семинар на Новиков 2012–2014 г., Постижения на математическите науки, Амер. математика соц. превод Сер. 2, 234, изд. В. М. Бухщабер, Б. А. Дубровин, И. М. Кричевер, Амер. математика Soc., Providence, RI, 2014, 201–221 [PDF: английски, arXiv: 1310.3417]
22. А. А. Гайфулин, „Гъвкави полиедри и техните обеми“, Геометрия, Доклад №. 29/2014 (Oberwolfach, 15–21 юни 2014), Oberwolfach Reports, 11, eds. J. Lott, I. Taimanov, B. Wilking, European Math. соц., 2014, 1584–1586
23. А. М. Вершик, А. П. Веселов, А. А. Гайфулин, Б. А. Дубровин, А. Б. Жижченко, И. М. Кричевер, А. А. Малцев, Д. В. Милионщиков, С. П. Новиков, Т. Е. Панов, А. Г. Сергеев, И. Г. Сергеев, И. А. Матвеевич Бухщабер (на седемдесетия му рожден ден)”, Успехи мат. наук, 68:3(411) (2013), 195–204 [ „Виктор Матвеевич Бухщабер (на 70-ия му рожден ден)“, Руска математика. Проучвания, 68:3 (2013), 581–590]
24. A. A. Gaifullin, „Универсални реализатори за класове по хомология“, Geometry & Topology, 17:3 (2013), 1745–1772 [ PDF: English , arXiv: 1201.4823 ]
25. А. А. Гайфулин, „Групи на Кокстер, малки корици и реализация на цикли“, Международна открита китайско-руска конференция „Действия на тор: топология, геометрия и теория на числата“. Резюмета (Хабаровск, 2–7 септември 2013 г.), Издателство Тогу, Хабаровск, 2013, 35-36
26. А. А. Гайфулин, „Гъвкави полиедри и места на полета“, Ярославска международна конференция „Геометрия, топология и приложения“, 23–27 септември 2013 г. Резюме, Ярославски държавен университет. P.G. Демидова, Ярославъл, 2013 г
27. А. А. Гайфулин, Т. Е. Панов, „Бухщабер Виктор Матвеевич“, Тр. MMO, 74, No. 2, MTsNMO, M., 2013, 209 [„70-годишнина от рождението на Виктор Матвеевич Бухщабер“, Прев. Московска математика. Soc., 2013 (2013), 173 ]
28. A. A. Gaifullin, “Комбинаторна реализация на цикли и малки корици”, Европейски конгрес по математика (Краков, 2–7 юли, 2012 г.), изд. R. Latala et al., European Mathematical Society, 2013, 315–330 [ PDF: English , arXiv: 1204.0208 ]
29. А. А. Гайфулин, „Комбинаторна реализация на цикли и малки корици“, 6-ти Европейски конгрес по математика. Резюмета и заглавия (Краков, Полша, 2–7 юли 2012 г.), 6ECM, Краков, 2012, 25–26
30. А. А. Гайфулин, „Комбинаторна реализация на цикли и симплициален обем“, Резюме на международната конференция „Дни на геометрията в Новосибирск, 2012 г.“, посветена на 100-годишнината на акад. А.Д. Александрова (Новосибирск, 30 август - 1 септември 2012 г.), Институт по математика на името на A.I. S. L. Soboleva SB RAS, 2012, 12–13
31. А. А. Гайфулин, „Полиноми на Сабитов за обеми на четиримерни многогранници“, Четвъртата среща по геометрия, посветена на стогодишнината на А. Д. Александров. Резюмета (Санкт Петербург, 20–24 август 2012 г.), Издателство ВВМ, Санкт Петербург, 2012 г.
32. А. А. Гайфулин, „Полиноми на Сабитов за обеми на четириизмерни многогранници“, Ярославска международна конференция „Дискретна геометрия“, посветена на стогодишнината от н.е. Александров. Резюмета (Ярославл, 13–18 август 2012 г.), Ярославски държавен университет им. P.G. Демидова, Ярославъл, 2012, 36–37
33. А. А. Гайфулин, „Полиноми на Сабитов за полиедри в четири измерения“, Международна конференция „Торична топология и автоморфни функции“. Резюме на доклади (Москва, 5–10 септември 2011 г.), Издателство на TOGU, Хабаровск, 2011, 27–35
34. А. А. Гайфулин, “Пространства на конфигурации, бизвездни трансформации и комбинаторни формули за първия клас Понтрягин”, Диференциални уравнения и топология. I, Колекция от статии. По случай 100-годишнината от рождението на акад. Лев Семенович Понтрягин, Тр. МИАН, 268, МАИК, М., 2010, 76–93 [ PDF: английски , arXiv: 0912.3933 ]
35. A. A. Gaifullin, „Набори от връзки на върхове на симплициални и кубични многообразия“, 2010 г. Международна конференция по топология и нейните приложения. Резюме (Нафпактос, Гърция, 26–30 юни 2010 г.), Технологичен образователен институт на Месолонги, Нафпактос, 2010 г., 101–103
36. A. A. Gaifullin, „Набори от връзки от върхове на триангулирани многообразия и комбинаторен подход към проблема на Steenrod за реализация на цикли“, Геометрия, топология, алгебра и теория на числата, приложения. Международната конференция, посветена на 120-годишнината на Б.Н. Делоне. Реферати (Москва, 16–20 август 2010 г.), Математически институт им. V.A. Стеклов RAS, Московски държавен университет Ломоносов М.В. Ломоносов, Москва, 2010-11
37. А. А. Гайфулин, Проблемът за комбинаторното изчисляване на рационалните класове на Понтрягин, Дисс. … док. физ.-мат. Науки, Математически институт. V.A. Стеклов, Руската академия на науките, Москва, 2010, 341 стр.
38. А. А. Гайфулин, „Минимална триангулация на сложната проективна равнина, която допуска шахматно оцветяване на четириизмерни симплекси“, Геометрия, топология и математическа физика. II, Сборник със статии. По случай 70-годишнината от рождението на акад. Сергей Петрович Новиков, Тр. МИАН, 266, МАИК, М., 2009, 33–53 [ PDF: английски , arXiv: 0904.4222 ]
39. А. А. Гайфулин, “Построяване на комбинаторни многообразия с дадени множества от върхови връзки”, Изв. RAN. Сер. Матем., 72:5 (2008), 3–62 [PDF: Английски, arXiv: 0801.4741]
40. А. А. Гайфулин, “Реализация на цикли от асферични многообразия”, Успехи мат. Наук, 63:3(381) (2008), 157–158 [ PDF: Английски , arXiv: 0806.3580 ]
41. А. А. Гайфулин, „Многообразието на изоспектралните симетрични тридиагонални матрици и реализацията на цикли от асферични многообразия“, Геометрия, топология и математическа физика. I, Колекция от статии. По случай 70-годишнината от рождението на акад. Сергей Петрович Новиков, Тр. МИАН, 263, МАИК, М., 2008, 44–63 [„Многообразието на изоспектралните симетрични тридиагонални матрици и реализация на цикли от асферични многообразия“, Proc. Стеклов Inst. Матем., 263 (2008), 38–56]
42. А. А. Гайфулин, “Локални комбинаторни формули за класове на Понтрягин на триангулирани многообразия”, Диференциални уравнения и топология: Международна конференция, посветена на 100-годишнината на Л.С. Понтрягин: Резюме на доклади (Москва, 17–22 юни 2008 г.), Издателски отдел на Факултета на ВМиК, Московски държавен университет. М.В. Ломоносов, 2008, 16
43. А. А. Гайфулин, Комбинаторна реализация на цикли, Дисс. ... канд. физ.-мат. Науки, Московски държавен университет. М.В. Ломоносов, Механико-математически факултет, Москва, 2008, 121 стр.
44. А. А. Гайфулин, “Експлицитна конструкция на многообразия, реализиращи дадени хомологични класове”, Успехи мат. наук, 62:6(378) (2007), 167–168 [ „Експлицитна конструкция на многообразия, реализиращи предписани хомологични класове“, Руски мат. Проучвания, 62:6 (2007), 1199–1201]
45. А. А. Гайфулин, П. В. Ягодовски, “За интегрируемостта на m-значна динамика чрез едногенерирани m-значни групи”, Успехи мат. наук, 62:1(373) (2007), 201–202 [ „Интегрируемост на m-значна динамика с помощта на едногенерирани m-значни групи”, Руски матем. Проучвания, 62:1 (2007), 181–183]
46. В. М. Бухщабер, А. А. Гайфулин, “Представяния на m-значни групи върху триангулации на многообразия”, Успехи мат. наук, 61:3(369) (2006), 171–172 [„Представяния на m-значни групи върху триангулации на многообразия“, Руски мат. Проучвания, 61:3 (2006), 560–562]
47. А. А. Гайфулин, “Изчисляване на характеристичните класове на многообразие от неговата триангулация”, Успехи мат. наук, 60:4(364) (2005), 37–66 [ „Изчисляване на характеристични класове на многообразие от негова триангулация“, Руски мат. Проучвания, 60:4 (2005), 615–644]
48. А. А. Гайфулин, “Локални формули за комбинаторни класове на Понтрягин”, Изв. RAN. Сер. Матем., 68:5 (2004), 13–66 [ PDF: Английски , arXiv: math/0407035 ]
49. А. А. Гайфулин, “За локалните формули за комбинаторни класове на многообразия на Понтрягин”, Успехи мат. наук, 59:2(356) (2004), 189–190 [ „За локалните формули за комбинаторни класове на Понтрягин от многообразия“, Руски мат. Проучвания, 59:2 (2004), 379–380]
50. А. А. Гайфулин, “Нерви на групите на Кокстер”, Успехи мат. наук, 58:3(351) (2003), 189–190 [“Нерви на групите на Кокстер”, Руски мат. Проучвания, 58:3 (2003), 615–616].
51. А.А. Гайфулин, „За изотопните тъкани“, Арх. математика (Базел), 81:5 (2003), 596–600
52. A. A. Gaifullin, V. O. Manturov, „За разпознаването на плитки“, J. Knot Theory Ramifications, 11:8 (2002), 1193–1209
53. А. А. Гайфулин, „Проекции на възли с една точка на многократно напречно самопресичане“, Съвременни изследвания по математика и механика, Сборник 23 от конференцията на младите учени на Механико-математическия факултет на Московския държавен университет, Изд. Къща на Централния пилотен институт при механ.-мат. fak. Московски държавен университет, Москва, 2001, стр. 88–92