Така че нека да седнем и да започнем да пишем няколко числа. Например:
Можете да напишете произволни числа и може да има толкова, колкото искате (в нашия случай те). Колкото и числа да напишем, винаги можем да кажем кое от тях е първо, кое второ и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:
Числова последователност
Например за нашата последователност:
Присвоеният номер е специфичен само за един пореден номер. С други думи, в поредицата няма три втори числа. Второто число (като -тото число) винаги е същото.
Числото с числото се нарича -ти член на поредицата.
Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .
в нашия случай: 
Да кажем, че имаме числова последователност, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.
Например: 
и т.н.
Такава числова последователност се нарича аритметична прогресия.
Терминът „прогресия“ е въведен от римския автор Боеций още през 6 век и се разбира в по-широк смисъл като безкрайна числова последователност. Името "аритметика" е пренесено от теорията на непрекъснатите пропорции, с която са се занимавали древните гърци.
Това е числова последователност, всеки член на която е равен на предишния, добавен със същото число. Това число се нарича разлика от аритметична прогресия и се обозначава.
Опитайте се да определите кои числови поредици са аритметична прогресия и кои не:
а)
б)
° С)
д)
Схванах го? Сравнете нашите отговори:
Еаритметична прогресия - b, c.
Не еаритметична прогресия - a, d.
Нека се върнем към дадената прогресия () и се опитаме да намерим стойността на нейния th член. Съществува двеначин да го намерите.
1. Метод
Можем да добавим към предишната стойност на числото на прогресията, докато достигнем тия член на прогресията. Добре е, че нямаме много за обобщаване - само три стойности:
И така, -тият член на описаната аритметична прогресия е равен на.
2. Начин
Ами ако трябва да намерим стойността на тия член на прогресията? Сумирането щеше да ни отнеме повече от един час и не е факт, че нямаше да сгрешим при събирането на числата.
Разбира се, математиците са измислили начин, по който не е необходимо да добавяте разликата от аритметична прогресия към предишната стойност. Погледнете внимателно нарисуваната картина ... Със сигурност вече сте забелязали определен модел, а именно:
Например, нека видим какво съставлява стойността на -тия член на тази аритметична прогресия: 
С други думи:
Опитайте се самостоятелно да намерите по този начин стойността на член от тази аритметична прогресия.
Изчислено? Сравнете вашите записи с отговора:
Обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно добавихме членовете на аритметична прогресия към предишната стойност.
Нека се опитаме да „деперсонализираме“ тази формула - привеждаме я в общ вид и получаваме:
|
Уравнение за аритметична прогресия. |
Аритметичните прогресии се увеличават или намаляват.
Повишаване на- прогресии, в които всяка следваща стойност на термините е по-голяма от предходната.
Например:
Низходящо- прогресии, в които всяка следваща стойност на термините е по-малка от предходната.
Например:
Получената формула се използва при изчисляване на термини както в нарастващи, така и в намаляващи термини на аритметична прогресия.
Нека го проверим на практика.
Дадена ни е аритметична прогресия, състояща се от следните числа:
От тогава:
Така се убедихме, че формулата работи както при намаляваща, така и при нарастваща аритметична прогресия.
Опитайте се сами да намерите -тия и -тия членове на тази аритметична прогресия.
Нека сравним резултатите:
Свойство на аритметична прогресия
Нека усложним задачата - извеждаме свойството на аритметична прогресия.
Да предположим, че ни е дадено следното условие:
- аритметична прогресия, намерете стойността.
Лесно е, казвате вие, и започнете да броите по формулата, която вече знаете:
Нека, а, тогава:
Абсолютно прав. Оказва се, че първо намираме, след това го добавяме към първото число и получаваме това, което търсим. Ако прогресията е представена с малки стойности, тогава няма нищо сложно в това, но какво ще стане, ако ни бъдат дадени числа в условието? Съгласете се, има вероятност от грешки в изчисленията.
Сега помислете, възможно ли е да решите този проблем в една стъпка, като използвате някаква формула? Разбира се, да, и ние ще се опитаме да го изведем сега.
Нека да обозначим желания член на аритметичната прогресия като, знаем формулата за намирането му - това е същата формула, която изведохме в началото:
, тогава:
- предишният член на прогресията е:
- следващият член на прогресията е:
Нека обобщим предишните и следващите членове на прогресията:
Оказва се, че сумата от предишния и следващите членове на прогресията е два пъти по-голяма от стойността на члена на прогресията, разположен между тях. С други думи, за да се намери стойността на член на прогресията с известни предишни и последователни стойности, е необходимо да ги добавите и разделите на.
Точно така, имаме същия номер. Да оправим материала. Изчислете сами стойността за прогресията, защото не е никак трудно.
Много добре! Вие знаете почти всичко за прогресията! Остава да открием само една формула, която, според легендата, един от най-великите математици на всички времена, "кралят на математиците" - Карл Гаус, лесно извежда за себе си...
Когато Карл Гаус беше на 9 години, учителят, зает да проверява работата на ученици от други класове, зададе следната задача на урока: „Изчислете сбора на всички естествени числа от до (според други източници до) включително. " Каква беше изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) след минута даде правилния отговор на задачата, докато повечето от съучениците на смелчака след дълги изчисления получиха грешен резултат ...
Младият Карл Гаус забеляза модел, който лесно можете да забележите.
Да кажем, че имаме аритметична прогресия, състояща се от -ti членове: Трябва да намерим сбора от дадените членове на аритметичната прогресия. Разбира се, можем ръчно да сумираме всички стойности, но какво ще стане, ако трябва да намерим сбора от неговите членове в задачата, както търсеше Гаус?
Нека изобразим прогресията, която ни е дадена. Погледнете внимателно подчертаните числа и се опитайте да извършите различни математически операции с тях. 
Опитах? Какво забелязахте? Точно така! Техните суми са равни
Сега отговорете, колко такива двойки ще има в дадена ни прогресия? Разбира се, точно половината от всички числа, т.е.
Въз основа на факта, че сборът от два члена на аритметична прогресия е равен и подобни равни двойки, получаваме, че общата сума е равна на:
.
По този начин формулата за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:
При някои задачи не знаем тия член, но знаем разликата в прогресията. Опитайте се да замените във формулата на сбора формулата на тия член.
Какво получи?
Много добре! Сега да се върнем към задачата, която беше дадена на Карл Гаус: изчислете сами каква е сумата от числата, започващи от -то, и сумата от числата, започващи от -то.
колко получи?
Гаус се оказа, че сборът от членовете е равен и сборът от членовете. Така ли реши?
Всъщност формулата за сбора на членовете на аритметична прогресия е доказана от древногръцкия учен Диофант още през 3-ти век и през цялото това време остроумни хора са използвали свойствата на аритметична прогресия с голяма сила.
Например, представете си Древен Египет и най-голямата строителна площадка от онова време - изграждането на пирамида... Фигурата показва едната й страна. 
Къде е прогресът тук, казвате? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата. 
Защо не аритметична прогресия? Пребройте колко блока са необходими за изграждането на една стена, ако блок тухли са поставени в основата. Надявам се, че няма да броите като движите пръста си по монитора, помните ли последната формула и всичко, което казахме за аритметичната прогресия?
В този случай прогресията изглежда така:
Разлика в аритметичната прогресия.
Броят на членовете на аритметична прогресия.
Нека заместим нашите данни в последните формули (броим блоковете по 2 начина).
Метод 1.
Метод 2.
И сега можете да изчислите и на монитора: сравнете получените стойности с броя на блоковете, които са в нашата пирамида. Съгласи ли се? Браво, усвоихте сумата от ите членове на аритметична прогресия.
Разбира се, не можете да построите пирамида от блоковете в основата, но от? Опитайте се да изчислите колко пясъчни тухли са необходими за изграждане на стена с това условие.
Справихте ли се?
Правилният отговор е блокове:
Обучение
задачи:
- Маша влиза във форма за лятото. Всеки ден тя увеличава броя на кляканията с. Колко пъти Маша ще кляка след седмици, ако направи клекове на първата тренировка.
- Каква е сумата от всички нечетни числа, съдържащи се в.
- Когато съхраняват трупи, дървосекачите ги подреждат по такъв начин, че всеки горен слой да съдържа един труп по-малко от предишния. Колко трупи има в една зидария, ако основата на зидарията е трупи.
Отговори:
- Нека дефинираме параметрите на аритметичната прогресия. В такъв случай
(седмици = дни).Отговор:След две седмици Маша трябва да кляка веднъж на ден.
- Първо нечетно число, последно число.
Разлика в аритметичната прогресия.
Броят на нечетните числа на половината обаче проверете този факт, като използвате формулата за намиране на -ти член на аритметична прогресия:Числата съдържат нечетни числа.
Заместваме наличните данни във формулата:Отговор:Сборът от всички нечетни числа, съдържащи се в, е равен на.
- Припомнете си проблема за пирамидите. За нашия случай, a, тъй като всеки горен слой е намален с един дневник, има само куп слоеве, т.е.
Заменете данните във формулата:Отговор:В зидарията има трупи.
Обобщаване
- - числова последователност, в която разликата между съседни числа е еднаква и еднаква. То се увеличава и намалява.
- Намиране на формулатият член на аритметична прогресия се записва по формулата - , където е броят на числата в прогресията.
- Свойство на членовете на аритметична прогресия- - където - броят на числата в прогресията.
- Сборът от членовете на аритметична прогресияможе да се намери по два начина:
, където е броят на стойностите.
АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. СРЕДНО НИВО
Числова последователност
Да седнем и да започнем да пишем няколко числа. Например:
Можете да напишете произволни числа и може да има колкото искате. Но винаги можете да разберете кой от тях е първият, кой е вторият и т.н., тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност.
Числова последователносте набор от числа, на всеки от които може да бъде присвоен уникален номер.
С други думи, всяко число може да бъде свързано с определено естествено число и само с едно. И ние няма да присвоим този номер на друг номер от този набор.
Числото с числото се нарича -ти член на поредицата.
Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .
Много е удобно, ако -тият член на последователността може да бъде даден с някаква формула. Например формулата
задава последователността:
И формулата е в следната последователност:
Например, аритметичната прогресия е последователност (първият член тук е равен, а разликата). Или (, разлика).
формула за n-ти член
Наричаме рекурентна формула, в която, за да разберете -тия член, трябва да знаете предишния или няколко предишни:
За да намерим, например, тия член на прогресията, използвайки такава формула, трябва да изчислим предишните девет. Например, нека. Тогава:
Е, сега е ясно каква е формулата?
Във всеки ред добавяме към, умножено по някакво число. За какво? Много просто: това е номерът на текущия член минус:
Много по-удобно сега, нали? Ние проверяваме:
Решете сами:
В аритметична прогресия намерете формулата за n-ия член и намерете стотния член.
Решение:
Първият член е равен. И каква е разликата? И ето какво:
(в края на краищата тя се нарича разлика, защото е равна на разликата на последователните членове на прогресията).
Така че формулата е:
Тогава стотният член е:
Каква е сумата от всички естествени числа от до?
Според легендата великият математик Карл Гаус, като 9-годишно момче, изчислил тази сума за няколко минути. Той забеляза, че сборът на първото и последното число е равен, сборът на второто и предпоследното е еднакъв, сборът на третото и 3-то от края е еднакъв и т.н. Колко такива двойки има? Точно така, точно половината от всички числа, т.е. Така,
Общата формула за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:
пример:
Намерете сбора от всички двуцифрени кратни.
Решение:
Първото такова число е това. Всяко следващо се получава чрез добавяне на число към предишното. По този начин числата, които ни интересуват, образуват аритметична прогресия с първия член и разликата.
Формулата за тия член за тази прогресия е:
Колко члена са в прогресията, ако всички те трябва да са двуцифрени?
Много лесно: .
Последният член на прогресията ще бъде равен. Тогава сумата:
Отговор: .
Сега решете сами:
- Всеки ден атлетът бяга с 1 м повече от предишния ден. Колко километра ще избяга за седмици, ако пробяга km m през първия ден?
- Всеки ден велосипедист кара повече мили от предишния. В първия ден измина км. Колко дни трябва да кара, за да измине един километър? Колко километра ще измине в последния ден от пътуването?
- Всяка година цената на хладилник в магазина се намалява със същата сума. Определете с колко намалява цената на хладилника всяка година, ако е пуснат за продажба за рубли, шест години по-късно е продаден за рубли.
Отговори:
- Най-важното тук е да разпознаете аритметичната прогресия и да определите нейните параметри. В този случай (седмици = дни). Трябва да определите сумата от първите членове на тази прогресия:
.
Отговор: - Тук е дадено:, трябва да се намери.
Очевидно трябва да използвате същата формула за сумата като в предишния проблем:
.
Заменете стойностите:Коренът очевидно не пасва, така че отговорът.
Нека изчислим изминатото разстояние през последния ден, използвайки формулата на -тия член:
(км).
Отговор: - Дадено: . Да намеря: .
Не става по-лесно:
(разтривайте).
Отговор:
АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО
Това е числова последователност, в която разликата между съседни числа е еднаква и еднаква.
Аритметичната прогресия се увеличава () и намалява ().
Например:
Формулата за намиране на n-ия член на аритметична прогресия
се записва като формула, където е броят на числата в прогресията.
Свойство на членовете на аритметична прогресия
Улеснява намирането на член на прогресията, ако съседните му членове са известни - къде е броят на числата в прогресията.
Сборът от членовете на аритметична прогресия
Има два начина за намиране на сумата:
Къде е броят на стойностите.
Къде е броят на стойностите.
Е, темата свърши. Ако четете тези редове, значи сте много готини.
Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!
Сега най-важното.
Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е... просто е супер! Вече сте по-добри от по-голямата част от връстниците си.
Проблемът е, че това може да не е достатъчно...
За какво?
За успешно полагане на изпита, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.
Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...
Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.
Но това не е основното.
Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има и такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? Не знам...
Но помислете сами...
Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка... по-щастливи?
НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАвайки ПРОБЛЕМИ ПО ТАЗИ ТЕМА.
На изпита няма да ви питат теория.
Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.
И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.
Това е като в спорта – трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.
Намерете колекция, където искате задължително с решения, подробен анализи решавай, решавай, решавай!
Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.
За да се намесите с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете за удължаването на живота на учебника YouClever, който четете в момента.
Как? Има две възможности:
- Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия -
- Отключете достъпа до всички скрити задачи във всички 99 статии на урока - Купете учебник - 899 рубли
Да, имаме 99 такива статии в учебника и достъпът до всички задачи и всички скрити текстове в тях може да се отвори веднага.
Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.
В заключение...
Ако не ви харесват нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.
„Разбрах“ и „Знам как да реша“ са напълно различни умения. Трябват ти и двете.
Намерете проблеми и ги решавайте!
При изучаване на алгебра в средно училище (9 клас) една от важните теми е изучаването на числови поредици, които включват прогресии – геометрична и аритметична. В тази статия ще разгледаме аритметична прогресия и примери с решения.
Какво е аритметична прогресия?
За да се разбере това, е необходимо да се даде определение на разглежданата прогресия, както и да се дадат основните формули, които ще се използват по-нататък при решаването на проблеми.
Известно е, че в някаква алгебрична прогресия 1-вият член е равен на 6, а 7-ият член е равен на 18. Необходимо е да се намери разликата и да се възстанови тази последователност до 7-ия член.
Нека използваме формулата, за да определим неизвестния член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Заместваме в него известните данни от условието, тоест числата a 1 и a 7, имаме: 18 \u003d 6 + 6 * d. От този израз можете лесно да изчислите разликата: d = (18 - 6) / 6 = 2. Така беше отговорено на първата част от задачата.
За да възстановите последователността до 7-ия член, трябва да използвате дефиницията на алгебрична прогресия, тоест a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и т.н. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 и 7 = 18.
Пример №3: правене на прогресия
Нека още повече усложним състоянието на проблема. Сега трябва да отговорите на въпроса как да намерите аритметична прогресия. Може да се даде следният пример: дават се две числа, например 4 и 5. Необходимо е да се направи алгебрична прогресия, така че между тях да се поставят още три члена.
Преди да започнете да решавате този проблем, е необходимо да разберете какво място ще заемат дадените числа в бъдещата прогресия. Тъй като между тях ще има още три члена, тогава 1 = -4 и 5 = 5. След като установихме това, преминаваме към задача, подобна на предишната. Отново за n-ия член използваме формулата, получаваме: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. От: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Тук разликата не е цяло число, а е рационално число, така че формулите за алгебричната прогресия остават същите.
Сега нека добавим намерената разлика към 1 и възстановим липсващите членове на прогресията. Получаваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u0 което съвпадаше с условието на проблема.
Пример #4: Първият член на прогресията
Продължаваме да даваме примери за аритметична прогресия с решение. Във всички предишни задачи първото число на алгебричната прогресия беше известно. Сега разгледайте задача от различен тип: нека са дадени две числа, където a 15 = 50 и a 43 = 37. Необходимо е да се намери от кое число започва тази последователност.
Използваните досега формули предполагат познаване на a 1 и d. Нищо не се знае за тези числа в състоянието на проблема. Независимо от това, нека напишем изразите за всеки термин, за който имаме информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получаваме две уравнения, в които има 2 неизвестни величини (a 1 и d). Това означава, че задачата се свежда до решаване на система от линейни уравнения.
Посочената система е най-лесна за решаване, ако изразите 1 във всяко уравнение и след това сравните получените изрази. Първо уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второ уравнение: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Приравнявайки тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, откъдето разликата d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (дават се само 3 знака след десетичната запетая).
Знаейки d, можете да използвате всеки от двата израза по-горе за 1. Например, първо: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Ако има съмнения относно резултата, можете да го проверите, например, да определите 43-ия член на прогресията, който е посочен в условието. Получаваме: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Малка грешка се дължи на факта, че при изчисленията е използвано закръгляване до хилядни.
Пример #5: Сума
Сега нека разгледаме няколко примера с решения за сумата от аритметична прогресия.
Нека бъде дадена числова прогресия от следния вид: 1, 2, 3, 4, ...,. Как да изчислим сбора от 100 от тези числа?
Благодарение на развитието на компютърните технологии този проблем може да бъде решен, тоест да се сумират последователно всички числа, което компютърът ще направи веднага щом човек натисне клавиша Enter. Проблемът обаче може да бъде решен мислено, ако обърнете внимание, че представената серия от числа е алгебрична прогресия и разликата й е 1. Прилагайки формулата за сбора, получаваме: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Любопитно е да се отбележи, че този проблем се нарича "гаусов", тъй като в началото на 18-ти век известният германец, още само на 10-годишна възраст, успява да го реши наум за няколко секунди. Момчето не знаеше формулата за сумата на алгебричната прогресия, но забеляза, че ако добавите двойки числа, разположени в краищата на последователността, винаги получавате един и същ резултат, тоест 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... и тъй като тези суми ще бъдат точно 50 (100 / 2), тогава, за да получите правилния отговор, е достатъчно да умножите 50 по 101.
Пример #6: сбор от членове от n до m
Друг типичен пример за сумата на аритметична прогресия е следният: дадена серия от числа: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите каква ще бъде сумата от нейните членове от 8 до 14.
Проблемът се решава по два начина. Първият от тях включва намиране на неизвестни термини от 8 до 14 и след това последователното им сумиране. Тъй като има малко термини, този метод не е достатъчно трудоемък. Въпреки това се предлага този проблем да се реши по втория метод, който е по-универсален.
Идеята е да се получи формула за сумата от алгебрична прогресия между членове m и n, където n > m са цели числа. И в двата случая пишем два израза за сумата:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Тъй като n > m, очевидно е, че сумата 2 включва първата. Последният извод означава, че ако вземем разликата между тези суми и добавим термина a m към него (в случай на вземане на разликата, тя се изважда от сумата S n), тогава получаваме необходимия отговор на задачата. Имаме: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1-m/2). В този израз е необходимо да се заменят формули за n и a m. Тогава получаваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Получената формула е малко тромава, но сумата S mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Замествайки тези числа, получаваме: S mn = 301.
Както се вижда от горните решения, всички задачи се основават на познаването на израза за n-ия член и формулата за сбора на множеството от първите членове. Преди да започнете да решавате някой от тези проблеми, се препоръчва внимателно да прочетете условието, да разберете ясно какво искате да намерите и едва след това да продължите с решението.
Друг съвет е да се стремите към простота, тоест ако можете да отговорите на въпроса, без да използвате сложни математически изчисления, тогава трябва да направите точно това, тъй като в този случай вероятността да направите грешка е по-малка. Например, в примера на аритметична прогресия с решение № 6, може да се спре на формулата S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am, и разделете общата задача на отделни подзадачи (в този случай първо намерете термините an и am).
Ако има съмнения относно получения резултат, се препоръчва да го проверите, както беше направено в някои от дадените примери. Как да намерите аритметична прогресия, разбрах. След като го разберете, не е толкова трудно.
Безкрайна аритметична прогресия а 1 , а 2 , ..., а н, ... се състои от различни естествени числа.
а) Има ли прогресия, в която сред числата а 1 , а 2 , ..., аДали точно три числа се делят на 36?
б) Има ли такава прогресия, в която сред числата а 1 , а 2 , ..., а 30 точно 9 числа делят ли се на 36?
в) За това, което е най-голямото естествено нможе да се окаже, че сред числата а 1 , а 2 , ..., а 2нповече кратни на 36, отколкото сред числа а 2н + 1 , а 2н + 2 , ..., а 5н ?
Решение.
а) Подходящ пример е прогресия с първи член 18 и разлика от 18. Сред първите седем члена (18, 36, 54, 72, 90, 108, 126) точно три се делят на 36.
б) Означете с дразлика в аритметична прогресия а 1 , а 2 , ..., а н, .... От условието следва, че д- естествено число. Нека бъде мИ н- цели числа, м > н, gcd( д, 36) обозначава най-големия общ делител на числата ди 36. Имаме
Следователно разликата а м − а нсе дели на 36, ако и само ако разликата м − нсе дели на средно, ако е сред членовете на аритметична прогресия а 1 , а 2 , ..., а н, ... са кратни на 36, то това са членове с числа от вида където q- числото на първия член, кратно на a стрпреминава през всички неотрицателни цели числа. Следователно, сред всякакви к а 1 , а 2 , ..., а н, ... точно едно ще се дели на 36. Ако тогава и сред числата а 1 , а 2 , ..., а 30 ще бъде поне 10 кратни на 36. Ако тогава и сред числата а 1 , а 2 , ..., а 30 ще бъде не повече от 8 кратни на 36. Следователно няма такава прогресия, в която сред числата а 1 , а 2 , ..., а 30 точно 9 числа се делят на 36.
в) Означете с [ х] цялата част от числото хе най-голямото цяло число, което не надвишава х. Както е доказано в т. б) сред всякакви кпоследователни членове на прогресията а 1 , а 2 , ..., а н, ... точно едно ще се дели на 36, където де разликата на аритметична прогресия.
Значи сред числата а 1 , а 2 , ..., а 2нкратните на 36 ще бъдат не повече от числа. По същия начин и сред числата а 2н + 1 , а 2н + 2 , ..., а 5нкратни на 36 ще бъдат най-малко числа. Неравенството е изпълнено, ако и само ако Нека това равенство е изпълнено. Тогава разликата между числата и е по-малка от 1. Получаваме това и Оттук и Тъй като числото кне надвишава 36, от което следва, че Помислете за прогресия с първия член 27 и разликата 1. След това сред числата а 1 , а 2 , ..., а 46 е точно две, делими на 36 ( а 10 = 36 и а 46 = 72). Сред числата а 47 , а 48 , ..., а 115 е точно едно, делимо се на 36 ( а 82 = 108). Този пример показва това нможе да е 23.
Отговор: а) Да, например прогресия 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ...; б) не; в) 23.
