Los estudiantes se encuentran con el concepto de pirámide mucho antes de estudiar geometría. Culpa a las famosas grandes maravillas egipcias del mundo. Por lo tanto, al comenzar el estudio de este maravilloso poliedro, la mayoría de los estudiantes ya lo imaginan claramente. Todas las vistas anteriores están en la forma correcta. Qué pirámide derecha, y qué propiedades tiene y se discutirán más adelante.
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Definición
Hay muchas definiciones de una pirámide. Desde la antigüedad, ha sido muy popular.
Por ejemplo, Euclides la definió como una figura sólida, formada por planos que, partiendo de uno, convergen en un punto determinado.
Heron proporcionó una formulación más precisa. Insistía en que era una figura que tiene una base y planos en forma de triángulos, convergiendo en un punto.
Depender de interpretación moderna, la pirámide se representa como un poliedro espacial, formado por un cierto k-gon y k figuras planas forma triangular teniendo un punto en común.
Miremos más de cerca, ¿De qué elementos se compone?
- k-gon se considera la base de la figura;
- Las figuras de 3 ángulos sobresalen como los lados de la parte lateral;
- la parte superior, de la que parten los elementos laterales, se denomina parte superior;
- todos los segmentos que conectan el vértice se llaman aristas;
- si se baja una línea recta desde la parte superior al plano de la figura en un ángulo de 90 grados, entonces su parte encerrada en el espacio interior es la altura de la pirámide;
- en cualquier elemento lateral al lado de nuestro poliedro, se puede dibujar una perpendicular, llamada apotema.
El número de aristas se calcula mediante la fórmula 2*k, donde k es el número de lados del k-ágono. Cuántas caras tiene un poliedro como una pirámide se puede determinar mediante la expresión k + 1.
¡Importante! Pirámide forma correcta llama a una figura estereométrica cuyo plano base es un k-ágono con lados iguales.
Propiedades básicas
Pirámide correcta tiene muchas propiedades que son exclusivos de ella. Vamos a enumerarlos:
- La base es una figura de la forma correcta.
- Los bordes de la pirámide, que limitan los elementos laterales, tienen valores numéricos iguales.
- elementos laterales - triángulos isósceles.
- La base de la altura de la figura cae en el centro del polígono, mientras que es al mismo tiempo punto central introducido y descrito.
- Todas las nervaduras laterales están inclinadas con respecto al plano base en el mismo ángulo.
- Todas las superficies laterales tienen el mismo ángulo de inclinación con respecto a la base.
Gracias a todas las propiedades enumeradas, el rendimiento de los cálculos de elementos se simplifica enormemente. Con base en las propiedades anteriores, prestamos atención a dos signos:
- En el caso de que el polígono encaje en un círculo, las caras laterales tendrán una base ángulos iguales.
- Al describir un círculo alrededor de un polígono, todas las aristas de la pirámide que parten del vértice tendrán la misma longitud y ángulos iguales con la base.
El cuadrado se basa
pirámide cuadrangular regular - un poliedro basado en un cuadrado.
Tiene cuatro caras laterales, que son isósceles en apariencia.
En un plano, se representa un cuadrado, pero se basan en todas las propiedades de un cuadrilátero regular.
Por ejemplo, si necesita conectar el lado de un cuadrado con su diagonal, use la siguiente fórmula: la diagonal es igual al producto del lado del cuadrado por la raíz cuadrada de dos.
Basado en un triángulo regular
Una pirámide triangular regular es un poliedro cuya base es un 3-ágono regular.
Si la base es un triángulo regular, y las aristas de los lados son iguales a las aristas de la base, entonces tal figura llamado tetraedro.
Todas las caras de un tetraedro son 3-ágonos equiláteros. A este caso necesita conocer algunos puntos y no perder tiempo en ellos al calcular:
- el ángulo de inclinación de las costillas a cualquier base es de 60 grados;
- el valor de todas las caras internas también es de 60 grados;
- cualquier cara puede actuar como base;
- dibujados dentro de la figura son elementos iguales.
Secciones de un poliedro
En cualquier poliedro hay varios tipos de secciones plano. A menudo en curso escolar Las geometrías funcionan con dos:
- axial;
- base paralela.
Una sección axial se obtiene al cortar un poliedro con un plano que pasa por el vértice, las aristas laterales y el eje. En este caso, el eje es la altura trazada desde el vértice. El plano de corte está limitado por las líneas de intersección con todas las caras, lo que da como resultado un triángulo.
¡Atención! En una pirámide regular, la sección axial es un triángulo isósceles.
Si el plano de corte corre paralelo a la base, entonces el resultado es la segunda opción. En este caso, tenemos en el contexto de una figura similar a la base.
Por ejemplo, si la base es un cuadrado, entonces la sección paralela a la base también será un cuadrado, solo que de menor tamaño.
Al resolver problemas bajo esta condición, se utilizan signos y propiedades de similitud de figuras, basado en el teorema de Tales. En primer lugar, es necesario determinar el coeficiente de similitud.
Si el plano se dibuja paralelo a la base y corta parte superior poliedro, luego se obtiene una pirámide truncada regular en la parte inferior. Entonces se dice que las bases del poliedro truncado son polígonos semejantes. En este caso, las caras laterales son trapecios isósceles. La sección axial también es isósceles.
Para determinar la altura de un poliedro truncado, es necesario dibujar la altura en una sección axial, es decir, en un trapezoide.
Áreas de superficie
Los principales problemas geométricos que se tienen que resolver en el curso de geometría escolar son Encontrar el área de la superficie y el volumen de una pirámide.
Hay dos tipos de superficie:
- área de elementos laterales;
- toda la superficie.
Desde el propio título queda claro de qué se trata. La superficie lateral incluye solo los elementos laterales. De esto se deduce que para encontrarlo, simplemente hay que sumar las áreas de los planos laterales, es decir, las áreas de los 3-ágonos isósceles. Intentemos derivar la fórmula para el área de los elementos laterales:
- El área de un 3-ágono isósceles es Str=1/2(aL), donde a es el lado de la base, L es la apotema.
- El número de planos laterales depende del tipo de k-ágono en la base. Por ejemplo, una pirámide cuadrangular regular tiene cuatro planos laterales. Por lo tanto, es necesario sumar las áreas de cuatro figuras Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . La expresión se simplifica de esta manera porque el valor 4a=POS, donde POS es el perímetro de la base. Y la expresión 1/2 * Rosn es su semiperímetro.
- Entonces, concluimos que el área de los elementos laterales de una pirámide regular es igual al producto del semiperímetro de la base y la apotema: Sside \u003d Rosn * L.
El área de la superficie total de la pirámide consiste en la suma de las áreas de los planos laterales y la base: Sp.p. = Slado + Sbase.
En cuanto al área de la base, aquí se usa la fórmula según el tipo de polígono.
Volumen de una pirámide regular es igual al producto del área del plano base y la altura dividido por tres: V=1/3*Sbase*H, donde H es la altura del poliedro.
¿Qué es una pirámide regular en geometría?
Propiedades de una pirámide cuadrangular regular
Una pirámide es un poliedro con un polígono en su base. Todas las caras, a su vez, forman triángulos que convergen en un vértice. Las pirámides son triangulares, cuadrangulares, etc. Para determinar qué pirámide está frente a ti, basta con contar el número de esquinas en su base. La definición de "altura de la pirámide" se encuentra muy a menudo en problemas de geometría en currículum escolar. En el artículo intentaremos considerar diferentes caminos su ubicación
partes de la piramide
Cada pirámide consta de los siguientes elementos:
- caras laterales que tienen tres esquinas y convergen en la parte superior;
- apotema representa la altura que desciende de su cima;
- la parte superior de la pirámide es un punto que conecta los bordes laterales, pero no se encuentra en el plano de la base;
- una base es un polígono que no contiene un vértice;
- la altura de la pirámide es un segmento que corta la parte superior de la pirámide y forma un ángulo recto con su base.
Cómo encontrar la altura de una pirámide si se conoce su volumen
A través de la fórmula V \u003d (S * h) / 3 (en la fórmula V es el volumen, S es el área de la base, h es la altura de la pirámide), encontramos que h \u003d (3 * V) / S . Para consolidar el material, resolvamos el problema de inmediato. La base triangular mide 50 cm 2 mientras que su volumen es de 125 cm 3 . altura desconocida Pirámide triangular, que debemos encontrar. Aquí todo es simple: insertamos los datos en nuestra fórmula. Obtenemos h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.
Cómo encontrar la altura de una pirámide si se conocen la longitud de la diagonal y su borde
Como recordamos, la altura de la pirámide forma un ángulo recto con su base. Y esto significa que la altura, el borde y la mitad de la diagonal juntos forman Muchos, por supuesto, recuerdan el teorema de Pitágoras. Conociendo dos dimensiones, no será difícil encontrar el tercer valor. Recordemos el conocido teorema a² = b² + c², donde a es la hipotenusa, y en nuestro caso la arista de la pirámide; b - el primer cateto o la mitad de la diagonal yc - respectivamente, el segundo cateto o la altura de la pirámide. De esta fórmula, c² = a² - b².
Ahora el problema: en una pirámide regular, la diagonal es de 20 cm, mientras que la longitud de la arista es de 30 cm, necesitas encontrar la altura. Resolvemos: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Por lo tanto, c \u003d √ 500 \u003d aproximadamente 22.4.
Cómo encontrar la altura de una pirámide truncada
Es un polígono que tiene una sección paralela a su base. La altura de una pirámide truncada es el segmento que conecta sus dos bases. La altura se puede encontrar en una pirámide regular si se conocen las longitudes de las diagonales de ambas bases, así como el borde de la pirámide. Sea la diagonal de la base mayor d1, mientras que la diagonal de la base menor sea d2, y la arista tenga longitud l. Para encontrar la altura, puedes bajar las alturas desde los dos puntos superiores opuestos del diagrama hasta su base. Vemos que tenemos dos triángulos rectángulos, queda por encontrar las longitudes de sus catetos. Para hacer esto, reste la diagonal más pequeña de la diagonal más grande y divida por 2. Entonces encontraremos una pierna: a \u003d (d1-d2) / 2. Después de eso, según el teorema de Pitágoras, solo nos queda encontrar el segundo cateto, que es la altura de la pirámide.
Ahora veamos todo esto en la práctica. Tenemos una tarea por delante. La pirámide truncada tiene un cuadrado en la base, la longitud de la diagonal de la base más grande es de 10 cm, mientras que la más pequeña es de 6 cm, y el borde es de 4 cm, se requiere encontrar la altura. Para empezar, encontramos un cateto: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Un cateto mide 2 cm y la hipotenusa mide 4 cm. Resulta que el segundo cateto o altura será 16- 4 \u003d 12, es decir, h \u003d √12 = aproximadamente 3,5 cm.
- apotema- la altura de la cara lateral de una pirámide regular, que se dibuja desde su parte superior (además, la apotema es la longitud de la perpendicular, que se baja desde la mitad de un polígono regular a 1 de sus lados);
- caras laterales (ASB, BSC, CDS, DSA) - triángulos que convergen en la parte superior;
- costillas laterales ( COMO , licenciatura , CS , D.S. ) — lados comunes caras laterales;
- cima de la piramide (v.S) - un punto que conecta los bordes laterales y que no se encuentra en el plano de la base;
- altura ( ASI QUE ) - un segmento de la perpendicular, que se dibuja a través de la parte superior de la pirámide hasta el plano de su base (los extremos de dicho segmento serán la parte superior de la pirámide y la base de la perpendicular);
- sección diagonal de una pirámide- sección de la pirámide, que pasa por la parte superior y la diagonal de la base;
- base (A B C D) es un polígono al que no pertenece la parte superior de la pirámide.
propiedades de la pirámide.
1. Cuando todos los bordes laterales tengan el mismo tamaño, entonces:
- cerca de la base de la pirámide es fácil describir un círculo, mientras que la parte superior de la pirámide se proyectará en el centro de este círculo;
- las nervaduras laterales forman ángulos iguales con el plano base;
- además, lo contrario también es cierto, es decir cuando los bordes laterales forman ángulos iguales con el plano base, o cuando se puede describir un círculo cerca de la base de la pirámide y la parte superior de la pirámide se proyectará en el centro de este círculo, entonces todos los bordes laterales de la pirámide tienen el mismo tamaño.
2. Cuando las caras laterales tengan un ángulo de inclinación respecto al plano de la base del mismo valor, entonces:
- cerca de la base de la pirámide, es fácil describir un círculo, mientras que la parte superior de la pirámide se proyectará en el centro de este círculo;
- las alturas de las caras laterales son de igual longitud;
- el área de la superficie lateral es la mitad del producto del perímetro de la base y la altura de la cara lateral.
3. Se puede describir una esfera cerca de la pirámide si la base de la pirámide es un polígono alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan por los puntos medios de las aristas de la pirámide perpendiculares a ellos. De este teorema concluimos que una esfera puede describirse tanto alrededor de cualquier triángulo como alrededor de cualquier pirámide regular.
4. Una esfera se puede inscribir en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diedros internos de la pirámide se cortan en el 1er punto (condición necesaria y suficiente). Este punto se convertirá en el centro de la esfera.
La pirámide más simple.
Según el número de vértices de la base de la pirámide, se dividen en triangulares, cuadrangulares, etc.
La pirámide será triangular, cuadrangular, y así sucesivamente, cuando la base de la pirámide es un triángulo, un cuadrilátero, etc. Una pirámide triangular es un tetraedro, un tetraedro. Cuadrangular - pentaedro y así sucesivamente.
Este video tutorial ayudará a los usuarios a tener una idea sobre el tema Pyramid. Pirámide correcta. En esta lección, nos familiarizaremos con el concepto de pirámide, le daremos una definición. Considere qué es una pirámide regular y qué propiedades tiene. Luego demostramos el teorema en la superficie lateral de una pirámide regular.
En esta lección, nos familiarizaremos con el concepto de pirámide, le daremos una definición.
Considere un polígono Un 1 Un 2...Un, que está en el plano α, y un punto PAGS, que no se encuentra en el plano α (Fig. 1). Conectemos el punto PAGS con picos Un 1, Un 2, Un 3, … Un. Obtener norte triangulos: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R y así.
Definición. Poliedro RA 1 A 2 ... A n, compuestos de norte-gon Un 1 Un 2...Un y norte triangulos RA 1 A 2, AR 2 A 3 …RA n A n-1 , llamado norte- Pirámide de carbón. Arroz. una.
Arroz. una
Considere una pirámide cuadrangular PABCD(Figura 2).
R- la parte superior de la pirámide.
A B C D- la base de la pirámide.
REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES- costilla lateral.
AB- borde base.
desde un punto R dejar caer la perpendicular enfermero en el plano de tierra A B C D. La perpendicular dibujada es la altura de la pirámide.
Arroz. 2
La superficie total de la pirámide está formada por la superficie lateral, es decir, el área de todas las caras laterales, y el área de la base:
S completo \u003d S lateral + S principal
Una pirámide se dice correcta si:
- su base es un polígono regular;
- el segmento que conecta la parte superior de la pirámide con el centro de la base es su altura.
Explicación sobre el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular
Considere una pirámide cuadrangular regular PABCD(Fig. 3).
R- la parte superior de la pirámide. base de la piramide A B C D- un cuadrilátero regular, es decir, un cuadrado. Punto O, el punto de intersección de las diagonales, es el centro del cuadrado. Medio, RO es la altura de la pirámide.
Arroz. 3
Explicación: en lo correcto norte-gon, el centro de la circunferencia inscrita y el centro de la circunferencia circunscrita coinciden. Este centro se llama el centro del polígono. A veces dicen que la parte superior se proyecta hacia el centro.
La altura de la cara lateral de una pirámide regular, dibujada desde su vértice, se llama apotema y denotado ha.
1. todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales;
2. las caras laterales son triángulos isósceles iguales.
Probemos estas propiedades usando el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular.
Dado: RABSD- pirámide cuadrangular regular,
A B C D- cuadrado,
RO es la altura de la pirámide.
Demostrar:
1. RA = PB = PC = PD
2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Ver Fig. cuatro
Arroz. cuatro
Prueba.
RO es la altura de la pirámide. es decir, recto RO perpendicular al plano A B C, y por lo tanto directa AO, VO, SO y HACER acostado en él. Entonces los triángulos ROA, ROV, ROS, BARRA- rectangular.
Considere un cuadrado A B C D. De las propiedades de un cuadrado se sigue que AO = BO = CO = HACER.
Entonces los triángulos rectángulos ROA, ROV, ROS, BARRA pierna RO- general y piernas AO, VO, SO y HACER iguales, entonces estos triángulos son iguales en dos catetos. De la igualdad de los triángulos se sigue la igualdad de los segmentos, RA = PB = PC = PD. El punto 1 está probado.
Segmentos AB y sol son iguales porque son lados del mismo cuadrado, RA = RV = PC. Entonces los triángulos AVR y videograbadora - isósceles e iguales en tres lados.
De manera similar, obtenemos que los triángulos PAA, BCP, CDP, PAD son isósceles e iguales, lo cual se exigió probar en el punto 2.
El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base y la apotema:
Para la demostración, elegimos una pirámide triangular regular.
Dado: RAVS es una pirámide triangular regular.
AB = BC = CA.
RO- altura.
Demostrar: 
. Véase la figura. 5.
Arroz. 5
Prueba.
RAVS es una pirámide triangular regular. Eso es AB= CA = BC. Dejar O- el centro del triangulo A B C, después RO es la altura de la pirámide. La base de la pirámide es un triángulo equilátero. A B C. Darse cuenta de 
.
triangulos RAV, RVS, RSA- triángulos isósceles iguales (por propiedad). Una pirámide triangular tiene tres caras laterales: RAV, RVS, RSA. Entonces, el área de la superficie lateral de la pirámide es:
Lado S = 3S RAB
El teorema ha sido probado.
El radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m, la altura de la pirámide es de 4 m, encuentra el área de la superficie lateral de la pirámide.
Dado: pirámide cuadrangular regular A B C D,
A B C D- cuadrado,
r= 3m,
RO- la altura de la pirámide,
RO= 4 metros
Encontrar: lado S. Véase la figura. 6.
Arroz. 6
Solución.
De acuerdo con el teorema probado, .
Encuentra primero el lado de la base AB. Sabemos que el radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m.
Entonces, m.
Halla el perímetro del cuadrado A B C D de 6 m de lado:
Considere un triángulo BCD. Dejar METRO- lado medio corriente continua. Porque O- medio BD, después 
(metro).
Triángulo DPC- isósceles. METRO- medio corriente continua. Eso es, RM- la mediana, y por lo tanto la altura en el triángulo DPC. Después RM- apotema de la pirámide.
RO es la altura de la pirámide. Entonces, directamente RO perpendicular al plano A B C, y por lo tanto la directa OM acostado en él. Encontremos una apotema RM de un triángulo rectángulo ROM.
Ahora podemos encontrar superficie lateral pirámides:
Responder: 60 m2.
El radio de un círculo circunscrito cerca de la base de una pirámide triangular regular es m. El área de la superficie lateral es de 18 m 2. Encuentra la longitud de la apotema.
Dado: ABCP- pirámide triangular regular,
AB = BC = SA,
R= m,
Lado S = 18 m 2.
Encontrar: . Véase la figura. 7.
Arroz. 7
Solución.
en un triangulo rectangulo A B C dado el radio de la circunferencia circunscrita. Busquemos un lado AB este triángulo usando el teorema del seno.
conociendo el lado triángulo rectángulo(m), halla su perímetro.
Según el teorema del área de la superficie lateral de una pirámide regular, donde ha- apotema de la pirámide. Después:
Responder: 4 metros
Entonces, examinamos qué es una pirámide, qué es una pirámide regular, demostramos el teorema en la superficie lateral de una pirámide regular. En la próxima lección, nos familiarizaremos con la pirámide truncada.
Bibliografía
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- Portal de Internet "Yaklass" ()
- Portal de Internet "Festival ideas pedagógicas"Primero de septiembre" ()
- Portal de Internet "Slideshare.net" ()
Tareas para el hogar
- ¿Puede un polígono regular ser la base de una pirámide irregular?
- Demostrar que las aristas que no se cortan de una pirámide regular son perpendiculares.
- Encuentre el valor del ángulo diedro en el lado de la base de una pirámide cuadrangular regular, si la apotema de la pirámide es igual al lado de su base.
- RAVS es una pirámide triangular regular. Construya el ángulo lineal del ángulo diedro en la base de la pirámide.
Concepto de pirámide
Definición 1
figura geometrica, formado por un polígono y un punto que no se encuentra en el plano que contiene este polígono, conectado a todos los vértices del polígono, se llama pirámide (Fig. 1).
El polígono del que se compone la pirámide se llama base de la pirámide, los triángulos que se obtienen al conectar con el punto son las caras laterales de la pirámide, los lados de los triángulos son los lados de la pirámide, y el punto común a todos triángulos es la parte superior de la pirámide.
tipos de piramides
Dependiendo del número de esquinas en la base de la pirámide, puede llamarse triangular, cuadrangular, etc. (Fig. 2).
Figura 2.
Otro tipo de pirámide es una pirámide regular.
Introduzcamos y demostremos la propiedad de una pirámide regular.
Teorema 1
Todas las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles que son iguales entre sí.
Prueba.
Considere una pirámide regular $n-$gonal con vértice $S$ de altura $h=SO$. Describamos un círculo alrededor de la base (Fig. 4).
Figura 4
Considere el triángulo $SOA$. Por el teorema de Pitágoras, obtenemos
Obviamente, cualquier borde lateral se definirá de esta manera. Por tanto, todas las aristas laterales son iguales entre sí, es decir, todas las caras laterales son triángulos isósceles. Probemos que son iguales entre sí. Como la base es un polígono regular, las bases de todas las caras laterales son iguales entre sí. En consecuencia, todas las caras laterales son iguales según el III signo de igualdad de los triángulos.
El teorema ha sido probado.
Introducimos ahora la siguiente definición relacionada con el concepto de pirámide regular.
Definición 3
La apotema de una pirámide regular es la altura de su cara lateral.
Obviamente, por el Teorema 1, todas las apotemas son iguales.
Teorema 2
El área de la superficie lateral de una pirámide regular se define como el producto del semiperímetro de la base y la apotema.
Prueba.
Denotemos el lado de la base de la pirámide $n-$carbon como $a$, y la apotema como $d$. Por lo tanto, el área de la cara lateral es igual a
Como por el teorema 1 todos los lados son iguales, entonces
El teorema ha sido probado.
Otro tipo de pirámide es la pirámide truncada.
Definición 4
Si se dibuja un plano paralelo a su base a través de una pirámide ordinaria, entonces la figura formada entre este plano y el plano de la base se llama pirámide truncada (Fig. 5).
Figura 5. Pirámide truncada
Las caras laterales de la pirámide truncada son trapezoides.
Teorema 3
El área de la superficie lateral de una pirámide troncocónica regular se define como el producto de la suma de los semiperímetros de las bases y la apotema.
Prueba.
Denotemos los lados de las bases de la pirámide de $n-$carbón como $a\ y\ b$, respectivamente, y la apotema como $d$. Por lo tanto, el área de la cara lateral es igual a
Como todos los lados son iguales, entonces
El teorema ha sido probado.
Ejemplo de tarea
Ejemplo 1
Encuentra el área de la superficie lateral de una pirámide triangular truncada si se obtiene de una pirámide regular con base de lado 4 y apotema 5 cortando por un plano que pasa por la línea media de las caras laterales.
Solución.
De acuerdo con el teorema de la línea mediana, obtenemos que la base superior de la pirámide truncada es igual a $4\cdot \frac(1)(2)=2$, y la apotema es igual a $5\cdot \frac(1)( 2) = 2,5 $.
Entonces, por el Teorema 3, obtenemos
