Բախտավոր տոմսերի քանակի հաշվարկման խնդիրը վաղուց հայտնի է: Այն խնդրվում էր ծրագրավորում սովորող գրեթե ցանկացած ուսանողի: Ինտերնետում դուք կարող եք գտնել դրա լուծումները բազմաթիվ ծրագրավորման տարբեր լեզուներով: Այս բոլոր տարբերակները կրճատվում են ՝ տեսակավորելով բոլոր առկա տոմսերը և ստուգելով դրանք «բախտի» համար: Ստացվում է միլիոն տարբերակ:
Բայց այս խնդիրը կարող է լուծվել այլ կերպ ՝ անցնելով ընդամենը հազար տարբերակի միջով:
Հիշեցնեմ, որ տոմսերը բախտավոր են, եթե թվի առաջին երեք թվանշանների գումարը հավասար է թվի վերջին երեք թվանշանների գումարին: Օրինակ, «546780» թվով տոմսը հաջողակ է, քանի որ առաջին երեք թվանշանների գումարը (5 + 4 + 6) հավասար է վերջին երեք թվանշանների գումարին (7 + 8 + 0): Խնդիրը կայանում է նրանում, թե քանի բախտավոր տոմս կա:
Բոլոր օրինակներում այն լուծվում է դեմ առ դեմ, բայց ի՞նչ անել, եթե այլ ճանապարհով գնանք: Նախ, եկեք պատասխանենք մեկ այլ հարցի. Երեք թվերի (եռակի) քանի տարբեր համակցություններ կան, որոնք գումարվում են n? Այս հարցին պատասխանելու համար հարկավոր է տեսակավորել բոլոր հնարավոր եռյակները (հազար տարբերակ):
Tripանկացած եռյակի գումարը զրոյի (0 + 0 + 0) և 27 -ի (9 + 9 + 9) միջև է: Հետևաբար, կարող է պատրաստվել գումարների զանգված.
{n _0, n _1, n _2, n _3, …., n _25, n _26, n _27}
որտեղ n _ ես- գումարի մեջ տրվող եռակի թիվը ես... Այս դեպքում թվանշանների գումարը հավասար է զանգվածի այս տարրի ինդեքսին:
Լավ, մենք պատրաստելու ենք այսպիսի զանգված, բայց դա ի՞նչ կապ ունի տոմսերի հետ: Եկեք դիտարկենք հատուկ դեպք: Ամեն ինչից գոյություն ունի n _25եռյակ `տալով ընդհանուր 25. Յուրաքանչյուր նման եռյակի համար կա n _25եռյակ, որոնցից յուրաքանչյուրի հետ զուգակցվելիս դուք ստանում եք հաջողակ թիվ: Հետեւաբար կա n _25*n _25հաջողակ տոմսեր, որոնց առաջին երեք թվանշանների գումարը 25 է: Նմանապես այլ գումարների դեպքում: Այսպիսով, հաջողակ տոմսերի ընդհանուր թիվը հետևյալն է.
n _0*n _0 + n _1*n _1 + …. + n _26*n _26 + n _27*n _27
Ստորև բերված է այս ալգորիթմն իրականացնող ծրագրի ամբողջական աղբյուրի կոդը:
#ներառում
Կոդը լավ մեկնաբանված է, ուստի հարցեր չպետք է լինեն:
Եթե նայեք գումարների զանգվածին, կարող եք կատարել երկու դիտարկում:
1. Այն սիմետրիկ է.
n_13 = n_14,
n_12 = n_15,
n_11 = n_16,
n_10 = n_17,
………………
n _1 = n _26,
n _0 = n _27.
2. Ամենից շատ կան տոմսեր, որոնց առաջին երեք թվանշանների գումարը 13 և 14 է (դրանցից 75 -ը):
Եռյակներից բաղկացած մեկ կրկնությամբ կազմվում է 28 տարրերի գումարների զանգված: Հետեւաբար, հաջողակ տոմսերի թիվը հաշվելու համար բավական է թվարկել 1000 տարբերակ:
Ուսանողների մեծ մասը քաջատեղյակ է, թե ինչ է «բախտավոր տոմսը»: Եվ հաճախ նաև դպրոցականները: Trueիշտ է, ինչ են դրանք և ինչ անել դրանց հետ. Այստեղ կարծիքները ամենից հաճախ տարբերվում են:
Նախ եւ առաջ, «Երջանիկ եմ որպես ուսանող»համարվում է տոմս, որի պատասխանները գիտեք: Նույնիսկ տատիկի մոտ մի գնա այստեղ. Քննությանդ բախտը բերեց, հանեցիր հաջողակ տոմսը և այն հանձնեց առաջին անգամ, չնայած հարյուրից կարողացար սովորել միայն այս երկուսին: Այո, նա պատասխանեց այնքան արագ, որ ուսուցիչը, հոգնելով «ծեծելուց և հեզությունից», նույնիսկ չլսեց ձեզ մինչև վերջ. Նա ձայնագրության գրքում A- ով ուղարկեց ձեզ և մնացածներին հրահանգներ տվեց. սովորեք, թե ինչպես վերցնել թեման: Օրինակ վերցրեք այս լավ մարդուց »:
Սա այն է, ինչ ես հասկանում եմ - «ուրախ տոմս»!
Բայց կան տոմսեր, դրանք նաեւ ճանապարհորդության տոմսեր են, որոնք համարվում են կամ ուրախ, կամ գեղեցիկ: Երկրորդը չափազանց հազվադեպ է: Ամենից հաճախ դրանք կոչվում են «երջանիկ»: Ի՞նչ տոմսեր են համարվում այդպիսիք:
Նախ, և սա չափազանց հազվագյուտ դեպք է, տոմսը հաջողակ է համարվում, եթե դրա համարները նույնն են կամ դասավորված են սիմետրիկ:
Օրինակ: 555555
կամ 252252
... Կա ամբողջական համաչափություն:
Բայց համաչափությունը թերի է կամ հայելանման: Օրինակ ՝ այսպես. 251251
- թվերն այստեղ սիմետրիկորեն դասավորված են, բայց թվերը `ոչ:
Ամեն դեպքում, վերը նշված օրինակներն իրոք «երջանիկ»տոմսեր: Դրանք շա՞տ են: Դե, ես կարծում եմ, որ դուք կարող եք հեշտությամբ հաշվել այդ շատ -շատ քիչ ՝ հազարից մինչև միլիոն կամ յուրաքանչյուր հազարերորդ տոմս: Ուղեւորի ձեռքը նման տոմսի ընկնելու հավանականությունը չափազանց փոքր է: Մինչ այժմ, իմ կյանքում միայն երկու այդպիսի տոմս է ընկել, չնայած ես բավականին հաճախ եմ ճանապարհորդում հասարակական տրանսպորտով,
Երջանկություն եք ուզում? Հետեւաբար, ճանապարհի ձանձրույթից յուրահատուկ եւ արագ խելացի ուղեւորներն անմիջապես հանդես եկան «երջանկության» այլ տարբերակներով: Օրինակ ՝ թվի միևնույն թվանշանները ՝ առանց որոշակի հերթականության. 251521
, օրինակ. Այստեղ չկա համաչափություն, բայց բոլոր թվերն առկա են: Ավելին ՝ ավելին: Տոմսը հաջողակ էր համարվում, եթե երեք թվանշանների գումարը նույնն էր: Օրինակ, 474195:
4+7+4=15= 1+9+5
1. Տոմսերի օրինակներ, «գումարի բախտը բերել է»:
Կրկին, բոլորը գիտեն, որ նման տոմսեր կան, չնայած ոչ ամեն օր, բայց դեռ բավականին հաճախ: Մոտավորապես յուրաքանչյուր 18 -րդ տոմսը «գումարի բախտավոր է»: Եվ եթե դուք անընդհատ ճանապարհորդում եք, ապա նրանք հանդիպում են առնվազն շաբաթը մեկ անգամ: Մի անգամ ես մի փոքր փորձ անցկացրեցի. Ես դրանք ոչ թե դեն նետեցի, այլ այս տոմսերը դրեցի պայուսակիս գրպանը, որ ամսվա վերջում հաշվեն: Դա շատ վաղուց էր, ես հստակ չեմ հիշում, թե քանիսն էին, բայց ամսական նրանցից առնվազն տասը ունեի: Հաշվի առնելով, որ ես միջինը օրական երկու կամ երեք անգամ քաղաքային տրանսպորտով եմ ճանապարհորդում (մնացած ժամանակը ՝ միկրոավտոբուսներ, և ինչ -ինչ պատճառներով մենք այնտեղ տոմսեր չենք տրամադրում), պարզվում է, որ յուրաքանչյուր 6-9 ուղևորություն «վարձատրվում է» այսպիսի պարզ երջանկությամբ ... Դե, կամ մեկ տոմս յուրաքանչյուր երեք օրվա ընթացքում: Բայց սա, տեսնում եք, ես պարզապես հաջողակ ամիս ունեցա, քանի որ յուրաքանչյուր 18 -րդ տոմս պետք է հանդիպեր, ինչպես դա եղավ, ավելի հազվադեպ:
Իրոք, կան պահեր, երբ մեկ ամսից և ոչ մեկին չեն բռնի: Այսպիսով, ինչ ես դու անում? Իսկ գյուտի անհրաժեշտությունը խորամանկ է: Օրինակ, կան տոմսեր, «Երջանիկ եմ Մոսկվայում»(նրանք են - «Լենինգրադում») - սա այն դեպքում, երբ հաշվում են ոչ թե թվանշանների եռապատկերը, այլ դրանց զույգերը: Օրինակ ՝ կենտ թվերով յուրաքանչյուր զույգ գումարի գումարը ՝ 6 3
49
86
.
Այստեղ ՝
3+9+6= 18= 6+4+8
Ի՞նչ եք կարծում, հնարավո՞ր է, բացի հավելումից, վիրահատությունից օգտվելը հանում? Իհարկե, դուք կարող եք! Հիմնական բանը `ինքներդ որոշեք, թե ինչպես հանել` հերթականությամբ կամ ավելից փոքրով. 720821 ... Այստեղ ՝
7-2-0=5= 8-2-1
Բայց ... մեզ համար ընդունված չէ ինչ -որ կերպ «հանել երջանկությունը»: Ավելի լավ է, երբ այն ավելացվի կամ նույնիսկ բազմապատկվի:
Հետևաբար, ես ինքս ինձ համար գտա հաջողակ տոմսերի մեկ այլ տեսակ. «ուրախ եմ բազմապատկելու համար»:
Բավական է թվերը բազմապատկել երեքով ՝ ինքդ քեզ լրացուցիչ ստանալու համար «բազմապատկիչ»կենսուրախություն. Օրինակ: 338924.
Այստեղ ՝
3*3*8=72= 9*2*4
Օգտագործեք այն ձեր առողջության համար: Եվ հետո ինչու՞ եք ամփոփում և ամփոփում ... Դուք նույնպես կարող եք բազմապատկել:
Թարմացում. Ավելին, դուք չեք կարող պարզապես բազմապատկել: Ահա, մեկնաբանություններում դոկբրաուններ նկատեց, որ դուք կարող եք նաև բարձրացնել ուժի: Օրինակ 261812 :
(2^6)^1 = 64 = (8^1)^2
Եվ սա բազմիցս մեծացնում է ինչպես «երջանկություն գտնելու» հնարավորությունները, այնպես էլ ճանապարհորդության զվարճանքը:
2. Տոմսի օրինակ, «երջանիկ բազմապատկման մեջ»ա լա: 
Եթե օգտվում եք հասարակական տրանսպորտից, ավելի ուշադիր նայեք ուղևորներին: Շատ, շատ հաճախ կարող եք տեսնել, թե ինչպես, երբ նրանք տոմս են ստանում, սկսում են ուսումնասիրել դրա համարները: Բոլորը երջանկություն են փնտրում ... Եվ հետո ինչ անել դրա հետ: Մի անգամ ես լսեցի խոսակցություն երկու աղջիկների միջև, ովքեր պատրաստվում էին փորձարկել. «Վա !յ, ես հաջողակ տոմս ունեմ»: մեկը բացականչեց. "Կերեք այն: Հետո դուք կհանձնեք թեստը !!!" երկրորդը անմիջապես արձագանքեց: Իրոք, ես ծիծաղում էի: Ավելի լավ էր նրանք հույս ունենային այդ երջանիկի վրա «որպես ուսանող»տոմսը, որը ես նշեցի սկզբում: Եվ նույնիսկ ավելի լավ, որպեսզի դասընթացի բոլոր հիսուն տոմսերը ուրախ լինեն նրանց համար: Բայց ... նրանք նախընտրում էին սայլը ուտել, քան դասախոսությունը սովորել:
Տղերք: Կտրոններ ուտելու կարիք չկա: Դա նույնիսկ ընդհանրապես օգտակար չէ: Եվ դա ձեզ երջանկություն չի բերի: Ավելի հեշտ վերաբերվեք հաջողակ տոմսերին `մեկ անգամ այն ընկավ ձեզ համար, ապա երջանկությունը չի գա, ոչ `դու արդեն երջանիկկամ, ավելի պարզ, բախտավորմարդ! Վերջ: Սա ընդամենը պատճառ է ՝ տրամադրությունը փոքր -ինչ բարելավելու համար: Մի հավատացեք նշաններին. Դրանք հեռու են միշտ փաստերի վրա հիմնված լինելուց, և հաճախ դրանք կարող են նաև վնաս բերել, մանավանդ, եթե գետնից սկսեք ուտել չորսաթերթ ծաղիկներ կամ վերամշակված նյութերից և ավտոբուսից թղթե կտրոններ: Ինչպես այդ կատակում. Ես կերա հաջողակ տոմս, իսկ հետո երջանկությունը ընկավ. Ներս մտավ վերահսկիչը:
«Բախտավոր տոմսերին» վերաբերվեք որպես թվաբանական վարժություններով ձեր ճանապարհորդության ժամանակը անցկացնելու միջոց և դրանով ուրախանալու լրացուցիչ պատճառ:
Ի դեպ, հայրերի և մայրիկների համար նշեք. Շատ օգտակար է երեխաներին պատմել նման վարժությունների մասին: Դպրոցում նրանք իսկապես չեն սիրում բանավոր հաշվելը, այնպես որ, նույնիսկ եթե տրոլեյբուսներում զվարճանում են ՝ թվեր ավելացնելով կամ բազմապատկելով: Այո, և դա չի վնասի մեծերին. Ինչպես հաջորդաբար, այնպես էլ մեկի միջոցով ՝ յուրացնելով հավասարության, համաչափության, բազմազանության հասկացությունները ... Եվ դուք նույնպես չեք կարող մոռանալ բաժանման հետ հանման մասին: Ամեն դեպքում, նման զվարճալի առաջադրանքները չեն վնասի երեխայի զարգացմանը:
Եվ եթե բախտ չունեք տոմսի հետ, մի հուսահատվեք: Այնքան շատ մեքենաներ կան «բախտավոր համարներով», որոնք երթևեկում են փողոցով:
Հաջողություն և երջանկություն:
«Ուրախ տոմս»
Բոլորս գնում ենք տրանսպորտ: Աշխատանքի, տան, հանգստի և
և այլն: Եվ շատ հաճախ մենք գնում ենք ճանապարհորդության տոմս, որը մեծ մասամբ
պատում է վեցանիշ թիվը: Տոմսի համարի առաջին երեք թվանշանների ավելացում և
համեմատելով դրանք երկրորդ երեք թվանշանների գումարի հետ ՝ մենք սահմանում ենք «երջանկություն»
այս տոմսից: «Հաջողակ» թվով ամեն ինչ քիչ թե շատ պարզ է և
մարդկանց մեծ մասը գիտի. Ինչ վերաբերում է այլ ոչ զրո թվերին: Պարզ է, որ
թվերի տարբերությունը տատանվում է 0 -ից 27 -ի: Այսպես ծնվեց այս պլանշետը ...
Տոմսի գործողությունը չնչին է (ի դեպ, դա ընդհանրապես պարտադիր չէ ունենալ): -
տոմսը վավեր է 24 ժամ ակտիվացման պահից կամ մինչև գնումը
հաջորդ տոմս ՝ անիմաստ համարով: Տոմսերի ակտիվացում
առաջանում է թիվը հաշվելուց և դրա իմաստը գիտակցելուց հետո - այսպես
ասեք կախարդական ծես:
(Նշում. Եթե հաջորդ տոմսն ունի անկախ արժեք, և
նախորդը դեռ չի մարվել. մի արժեքը մյուսի վրա է դրված: Դե,
օրինակ - դուք վերցրել եք տոմս ՝ թվերի տարբերությամբ = 1 = - ինչը նշանակում է
ամսաթիվը: Մենք տեղափոխվեցինք մեկ այլ տրանսպորտ ՝ առանց ծանոթ որևէ մեկի,
այսինքն ՝ տոմսը դեռ ակտիվ է և չի «հրահրվել»: Մենք վերցրինք նոր տոմս - և ժամը
նրա տարբերությունը թվերի մեջ = 7 = - այսինքն `կրաքարի: Այսպիսով, ինչ կամ ինչ կարող է տեղի ունենալ
երկու իրադարձություն, կամ դրանք միաձուլվում են մեկի մեջ
նորություններ («Ես հղի եմ» - կատակ ...): Եվ այսպես շարունակ: -Ի համակցություններ
երեք թվերի հաջորդականությունը չի փորձարկվել հեղինակների կողմից. դրանք մեծ չեն
երեք փոխանցումներով մեքենա վարելիս վիճակագրական տվյալները `հազվադեպություն,
հասկանալ):
Այս սխեման որոշվում է էմպիրիկորեն: Ինչպես ցանկացած փորձարարական
իրականում հնարավոր են սխալներ: Ուղարկեք ձեր դիտարկումները, և նրանք կուղարկեն
հաշվի է առնվել հաջորդ անգամ:
Թվերի տարբերություն Նշանակություն Մեկնաբանություն
0 Luck plannedանկացած ծրագրված բիզնես լավ կավարտվի, կամ դու կավարտես
ինչ -որ բան ակնհայտորեն հաջողակ է:
1 ժամադրություն Դուք կհանդիպեք մի մարդու, ում ուրախ կլինեք տեսնել (հանդիպում
անձնական, ոչ թե աշխատանքի համար):
2 Հանդիպում Դուք ունեք գործնական հանդիպում:
3 Կրկնել Ինչ -որ բան պետք է կրկնել, հակառակ դեպքում այն չի աշխատի:
4 ingգուշացում Beգույշ եղեք: Այսօր դուք կարող եք ուշանալ գործին
նպատակակետ Մի հանգստացեք, և ամեն ինչ հաջող կլինի: Բայց եթե ծիծաղես -
ուշ ժամանումը երաշխավորված է:
5 Հաճելիություն Հաճելի հանդիպումը կամ իրադարձությունը կբարելավի ձեր տրամադրությունը:
6 Խնդիր Տհաճ հանդիպումը կամ իրադարձությունը կարող է փչացնել ձեր անձը
տրամադրություն. Մի անհանգստացեք շատ!
7 Նորություններ Դուք ինչ -որ մեկից նորություններ կստանաք:
8 Քաոս Այսօր ինչ -որ բան չի կարողանա միասին աճել, նավահանգիստ, վերջ ...
9 Փակում Այսօր որոշ բիզնեսներ, որոնք սկսվել են, ամբողջությամբ կփակվեն:
10 Սկսելը Այսօր դուք սկսում եք նոր նախագիծ կամ նոր գաղափար է ծագում ձեզ մոտ,
գաղափար.
11 Դե քայլիր, կամ խցանում, կամ պարզապես պետք է զբոսնես ...
12 տասնյակ Հնարավոր է ալկոհոլային խմիչքներ խմել ...
13 Սատանայի տասնյակը
նշում է ...
14 Նշանակում է Ոչինչ
15 Նշանակում է Ոչինչ
16 Նշանակում է Ոչինչ
17 Ոչինչ չի նշանակում
18 Նշանակում է Ոչինչ
19 Ոչինչ չի նշանակում
20 Նշանակում է Ոչինչ
21 Նշանակում է Ոչինչ
22 Նշանակում է Ոչինչ
23 Նշանակում է Ոչինչ
24 Նշանակում է Ոչինչ
25 Կրկնել Ինչ -որ բան պետք է կրկնել, հակառակ դեպքում այն չի աշխատի:
26 Հանդիպում Դուք ունեք գործնական հանդիպում:
27 Ամսաթիվ Դուք կհանդիպեք մի մարդու, ում ուրախ կլինեք տեսնել
(անձնական հանդիպում, ոչ թե աշխատանքի համար):
Քանի՞ եղանակ կա վճարելու 50 ցենտ: Մենք հավատում ենք, որ դուք կարող եք վճարել 1 կոպեկ, 5 նիկել, 10 լումա, 25 քառորդ և 50 կես դոլար: Գյորգի Պոյան հանրահռչակեց այս խնդիրը `ցուցադրելով այն լուծելու ուսանելի միջոց` օգտագործելով գեներացնող գործառույթներ:
Եկեք գրի առնենք փոխանակման բոլոր հնարավոր եղանակները ներկայացնող անսահման գումար: Սկսելու ամենահեշտ վայրը այն է, երբ մետաղադրամների ավելի քիչ տեսակներ կան, ուստի եկեք սկսենք ՝ ենթադրելով, որ կոպեկից բացի այլ մետաղադրամ չունենք: Որոշ կոպեկ (և միայն կոպեկ) վճարելու բոլոր եղանակների գումարը կարող է գրվել որպես
քանի որ վճարման յուրաքանչյուր տարբերակ ներառում է առաջին բազմապատկիչից ընտրված մի շարք նիկելներ և դրանից ընտրված մի քանի կոպեկ Պ... (Նկատի ունեցեք, որ Ն չի հավասարվումգումարը 1 + 1 + 5 + (1 + 5) 2 + (1 + 5) 3 + ..., քանի որ այս գումարը ներառում է բազմաթիվ տեսակի վճարումներ մեկից ավելի անգամ: Օրինակ, տերմինը (1 + 5) 2 = 1 1 + 1 5 + 5 1 + 5 5 վերաբերվում է 1 5 -ին և 5 1 -ին, կարծես դրանք տարբեր են, բայց մենք ուզում ենք մեկ անգամ թվարկել մետաղադրամների բոլոր հավաքածուները ՝ անկախ դրանցից պատվիրել)
Նմանապես, եթե մենք նույնպես ընդունում ենք տասնյակ, ապա ստանում ենք անսահման գումար
Մեր խնդիրն է գտնել քանի տերմին Գարժե ուղիղ 50 ցենտ:
Խնդիրը լուծվում է պարզ հնարքով: 1 -ը փոխարինել զ, 5 -ին զ 5, 10 -ին զ 10, 25 -ը զ 25 և 50 միացված զ 50. Յուրաքանչյուր տերմին այնուհետև կփոխարինվի հետևյալով z n, որտեղ n- սկզբնական տերմինի արժեքը կոպեկներով: Օրինակ ՝ 50 10 5 5 1 տերմինը դառնում է զ 50+10+5+5+1 = զ 71: 13 ցենտ վճարելու չորս հնարավոր եղանակներից յուրաքանչյուրը, այն է ՝ 10 1 3, 5 1 8, 5 2 1 3 և 1 13, կնվազի մինչև զ 13; հետեւաբար, գործակիցը ժամը զ 13 -ից հետո զ-փոխարինումը կլինի 4:
Թող լինի Պ n, Ն n, Դ n, Ք n և Գ n նշանակում է գումարի վճարման եղանակների քանակը nցենտ, եթե կարող եք օգտագործել ոչ հին, համապատասխանաբար ՝ 1, 5, 10, 25 և 50 ցենտներ: Մեր վերլուծությունը ցույց տվեց, որ այս թվերը գործակից են z nհամապատասխան ուժային շարքերում
| Պ = | 1 + զ + զ 2 + զ 3 + զ 4 + ... , |
| Ն = | (1 + զ 5 + զ 10 + զ 15 + զ 20 + ...)Պ, |
| Դ = | (1 + զ 10 + զ 20 + զ 30 + զ 40 + ...)Ն, |
| Ք = | (1 + զ 25 + զ 50 + զ 75 + զ 100 + ...)Դ, |
| Գ = | (1 + զ 50 + զ 100 + զ 150 + զ 200 + ...)Ք. |
Ակնհայտ է, որ Պ n= 1 բոլորի համար n 0. Կարճ մտորումների վրա դա հեշտ է ապացուցել Ն n = [n/ 5] + 1 ՝ գումարը գումարելու համար nցենտներ կոպեկներից և նիկելներից, մենք պետք է վերցնենք 0, կամ 1, կամ ..., կամ [ n/ 5] նիկելներ, որոնցից հետո անհրաժեշտ քանակությամբ կոպեկներ ընտրելու միայն մեկ տարբերակ կա: Այսպիսով, արժեքները Պ nեւ Ն nհեշտ է հաշվարկել, բայց դրանցով Դ n , Ք nեւ Գ nհարցը շատ ավելի բարդ է:
Այս բանաձևերի ուսումնասիրման մոտեցումներից մեկը հիմնված է այն դիտողության վրա, որ 1 + z մ + զ 2մ+ ... ընդամենը 1 / (1 - z մ): Հետեւաբար, մենք կարող ենք գրել
Այժմ, գործակիցները հավասարեցնելով z nԱյս հավասարումների մեջ մենք ստանում ենք կրկնվող հարաբերություններ, որոնցից հեշտությամբ հաշվարկվում են ցանկալի գործակիցները.
Օրինակ, գործակիցը ժամը z n v Դ= (1 - զ 25)Քհավասար է Ք n Ք n–25; ուրեմն պետք է լինի Ք n Ք n–25 = Դ nինչպես գրված է վերևում:
Հնարավոր կլիներ բացահայտել այդ հարաբերությունները և արտահայտվել Ք n, օրինակ, ձեւով Ք n = Դ n + Դ n–25 + Դ n–50 + Դ n–75 + ... որտեղ գումարը խզվում է, երբ ցուցանիշները բացասական են դառնում: Այնուամենայնիվ, սկզբնական, ոչ կրկնվող ձևը հարմար է նրանով, որ յուրաքանչյուր գործակից հաշվարկվում է ընդամենը մեկ գումարման միջոցով, ինչպես Պասկալի եռանկյունում:
Մենք օգտագործում ենք այս հարաբերությունները գտնելու համար Գ 50. Սկզբում, Գ 50 = Գ 0 + Ք 50 այնպես որ մենք պետք է իմանանք Ք 50. Ավելին, Ք 50 = Ք 25 + Դ 50 և Ք 25 = Ք 0 + Դ 25; ուստի մեզ նույնպես հետաքրքրում է Դ 50 և Դ 25. Այս արժեքները Դ nիր հերթին կախված է Դ 40 , Դ 30 , Դ 20 , Դ 15 , Դ 10 և Դ 5 -ից և Ն 50 , Ն 45 , ..., Ն 5 Այսպիսով, բոլոր անհրաժեշտ գործակիցները որոշելու համար բավական է պարզ հաշվարկներ կատարել.
| n | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| P n | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| N n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| D n | 1 | 2 | 4 | 6 | 9 | 12 | 16 | 25 | 36 | ||
| Q n | 1 | 13 | 49 | ||||||||
| C n | 1 | 50 | |||||||||
Աղյուսակի ամենավերջում պատասխանը կա Գ 50: Գոյություն ունի 50 ցենտ գցելու ուղիղ 50 եղանակ:
Իսկ ինչ վերաբերում է փակ ձևին Գ n? Բոլոր հավասարումները բազմապատկելը մեզ տալիս է գեներացնող գործառույթի կոմպակտ արտահայտություն
որը ռացիոնալ գործառույթ է զ, որի հայտարարն ունի 91 աստիճան: Այսպիսով, մենք կարող ենք հայտարարը 91 գործոնի մեջ դնել և արտահայտել Գ n«փակ տեսքով» ՝ կազմված 91 տերմիններից: Բայց նման սարսափելի արտահայտությունը ոչ մի դարպաս չի մտնում: Հնարավո՞ր է այս դեպքում գտնել ավելի լավ բան, և չկիրառել ընդհանուր մեթոդը:
Եվ ահա հույսի առաջին նշույլը. Եթե ներս է Գ(զ) փոխարինել 1 / (1 - զ) դեպի (1 +) զ + զ 2 + զ 3 + զ 4) / (1 - զ 5):
ապա «սեղմված» ֆունկցիայի հայտարարի աստիճանը Č (զ) արդեն ընդամենը 19 է, ուստի այս գործառույթը շատ ավելի լավն է, քան սկզբնականը: Նոր արտահայտություն հանուն Գ(զ), մասնավորապես, ցույց է տալիս, որ Գ 5n = Գ 5n+1 = Գ 5n+2 = Գ 5n+3 = Գ 5n+4; Իրոք, այս հարաբերությունները հեշտությամբ կարելի է բացատրել. 53 սենթերի հուշում կարելի է տալ ճիշտ նույն կերպ, ինչ 50 սենթերի հուշումը, քանի որ 5 կոպեկների մոդուլ 5 -ի թիվը նախապես հայտնի է:
Այնուամենայնիվ, նույնիսկ հանուն Č (զ) չկա պարզ արտահայտություն ՝ հիմնված հայտարարի արմատների վրա: Հավանաբար, գործակիցները հաշվարկելու ամենապարզ միջոցը Č (զ) ստացվում է, եթե նկատենք, որ հայտարարի յուրաքանչյուր գործոն 1 -ի բաժանարար է. զտասը. Հետեւաբար, մենք կարող ենք գրել
Այստեղ, ամբողջականության համար, մանրամասն արտահայտություն հանուն Ա(զ):
(1 + զ + ... + զ 9) 2 (1 + զ 2 + ... + զ 8)(1 + զ 5) =
= 1 + 2զ + 4զ 2 + 6զ 3 + 9զ 4 + 13զ 5 + 18զ 6 + 24զ 7 +
+ 31զ 8 + 39զ 9 + 45զ 10 + 52զ 11 +57զ 12 + 63զ 13 + 67զ 14 + 69զ 15 +
+ 69զ 16 + 67զ 17 + 63զ 18 + 57զ 19 + 52զ 20 + 45զ 21 + 39զ 22 + 31զ 23 +
+ 24զ 24 + 18զ 25 + 13զ 26 + 9զ 27 + 6զ 28 + 4զ 29 + 2զ 30 + զ 31 .
Եվ վերջապես, օգտվելով այն փաստից, որ
գործակիցների համար մենք ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը Č nաստիճաններով z nգործառույթի ընդլայնման մեջ Č (զ), որի մեջ n = 10ք + ռև 0≤ ռ<1 0:
| Č 10ք+ռ = | ∑ | Ա ժ | ( | կ + 4 կ |
) | = | ||||||||||||||||
| ժ, կ 10կ+ժ=n |
||||||||||||||||||||||
| = Ա ռ | ( | ք + 4 ք |
) | + Ա ռ+10 | ( | ք + 3 ք |
) | + Ա ռ+20 | ( | ք + 2 ք |
) | + Ա ռ+30 | ( | ք + 1 ք |
) | . |
Այն իրականում պարունակում է 10 տարբեր դեպքեր, մեկը յուրաքանչյուր արժեքի համար: ռ; բայց դա դեռ բավականին լավ փակ բանաձև է `համեմատած այլընտրանքների հետ, որոնք ներառում են բարդ թվերի ուժեր:
Օգտագործելով այս արտահայտությունը, մենք կարող ենք պարզել, օրինակ, արժեքը Գ 50ք = Č 10ք... Այստեղ ռ= 0, և մենք ունենք
1 դոլարի չափով ստացվում է
| ( | 6 4 |
) | + 45 | ( | 5 4 |
) | + 52 | ( | 4 4 |
) | = 292 եղանակ; |
իսկ մեկ միլիոն դոլարով այս թիվը կլինի
| ( | 2000004 4 |
) | + 45 | ( | 2000003 4 |
) | + 52 | ( | 2000002 4 |
) | + 2 | ( | 2000001 4 |
) | = |
= 66666793333412666685000001.
