Ինչպես լուծել թվաբանական արմատները: Բնական արմատները և դրանց հատկությունները

որոշել պարզ առաջադրանքգտնելով քառակուսու կողմը, որի մակերեսը 9 սմ 2 է: Եթե ​​ընդունենք, որ հրապարակի կողմը ԲԱՅՑսմ, ապա կազմում ենք հավասարումը ըստ խնդրի պայմանների.

ԲԱՅՑ X A = 9

A 2 \u003d 9

A 2 -9 \u003d 0

(A-3)(A+3)=0

A=3 կամ A=-3

Քառակուսու կողմի երկարությունը չի կարող բացասական թիվ լինել, ուստի քառակուսու ցանկալի կողմը 3 սմ է։

Հավասարումը լուծելիս գտանք 3 և -3 թվերը, որոնց քառակուսիները 9 են։ Այս թվերից յուրաքանչյուրը կոչվում է 9 թվի քառակուսի արմատ։ Այս արմատներից ոչ բացասականը, այսինքն՝ 3 թիվը։ կոչվում է թվի թվաբանական արմատ:

Միանգամայն տրամաբանական է ընդունել այն փաստը, որ արմատը կարելի է գտնել թվերից մինչև երրորդ աստիճան (խորանարդային արմատ), չորրորդ աստիճան և այլն։ Իսկ սկզբունքորեն արմատը հզորացման հակադարձ գործողությունն է:

արմատn րդ աստիճանհամարից α այդպիսի թիվ է բ, որտեղ b n = α .

Այստեղ n- կոչվում է բնական թիվ արմատային ցուցիչ(կամ արմատի աստիճանը); այն սովորաբար մեծ է կամ հավասար է 2-ի, քանի որ դեպքը n = 1 տարօրինակ.

Նրանք նշում են տառի վրա, այնպես որ կոչվում է աջ կողմում գտնվող խորհրդանիշը (արմատային նշանը): արմատական. Թիվ α - արմատական ​​արտահայտություն. Մեր կողմնակի օրինակի համար լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ. որովհետեւ (± 3) 2 = 9 .

Մենք դրական ենք ստացել բացասական նշանակությունարմատ. Այս հատկությունը բարդացնում է հաշվարկները։ Միանշանակության հասնելու համար ներկայացվեց հայեցակարգը թվաբանական արմատ, որի արժեքը միշտ գումարած նշանով է, այսինքն՝ միայն դրական։

Արմատկանչեց թվաբանությունեթե այն կազմված է դրական թվից և ինքնին դրական թիվ է։

Օրինակ,

Տրված թվից կա տվյալ աստիճանի միայն մեկ թվաբանական արմատ:

Հաշվարկման գործողությունը կոչվում է արմատների արդյունահանում nրդ աստիճան» շարքից α . Փաստորեն, մենք կատարում ենք ուժի հակադարձ գործողությունը, այն է՝ գտնելով աստիճանի հիմքը բըստ հայտնի ցուցանիշի nև հզորացման արդյունքը

α = b n .

Երկրորդ և երրորդ աստիճանի արմատները գործնականում օգտագործվում են ավելի հաճախ, քան մյուսները, և, հետևաբար, նրանց տրվել են հատուկ անուններ:

Քառակուսի արմատ: Այս դեպքում ցուցիչը 2 սովորաբար չի գրվում, իսկ «արմատ» տերմինը առանց աստիճանը նշելու ամենից հաճախ նշանակում է քառակուսի արմատ: Երկրաչափորեն մեկնաբանված՝ քառակուսու կողմի երկարությունն է, որի մակերեսը հավասար է α .

Խորանարդի արմատ՝ երկրաչափական առումով խորանարդի եզրի երկարությունը, որի ծավալը հավասար է. α .

Թվաբանական արմատների հատկությունները.

1) հաշվարկելիս արտադրանքի թվաբանական արմատը, անհրաժեշտ է այն հանել յուրաքանչյուր գործոնից առանձին

Օրինակ,

2) հաշվարկի համար կոտորակային արմատ, անհրաժեշտ է այն հանել տրված կոտորակի համարիչից և հայտարարից

Օրինակ,

3) հաշվարկելիս աստիճանի արմատ, անհրաժեշտ է ցուցիչը բաժանել արմատի ցուցիչի վրա

Օրինակ,

Քառակուսի արմատի արդյունահանման հետ կապված առաջին հաշվարկները հայտնաբերվել են հին Բաբելոնի և Չինաստանի, Հնդկաստանի, Հունաստանի մաթեմատիկոսների աշխատություններում (ձեռքբերումների մասին Հին ԵգիպտոսԱղբյուրներում այս առնչությամբ տեղեկություններ չկան):

Հին Բաբելոնի մաթեմատիկոսները (մ.թ.ա. II հազարամյակ) օգտագործել են հատուկ թվային մեթոդ. Քառակուսի արմատի նախնական մոտավորությունը գտնվել է արմատին ամենամոտ բնական թվի հիման վրա (ներքև) n. Արմատային արտահայտությունը ներկայացնելով հետևյալ կերպ. α=n 2 +r, ստանում ենք. x 0 \u003d n + r / 2n, այնուհետև կիրառվել է կրկնվող ճշգրտման գործընթաց.

Այս մեթոդի կրկնությունները շատ արագ համընկնում են: Համար,

Օրինակ, α=5; n=2; r=1; x 0 \u003d 9/4 \u003d 2.25և մենք ստանում ենք մոտավորությունների հաջորդականություն.

Վերջնական արժեքում բոլոր թվանշանները ճիշտ են, բացի վերջինից:

Հույները ձեւակերպել են խորանարդի կրկնապատկման խնդիրը, որը եռում է կառուցելու խորանարդի արմատօգտագործելով կողմնացույց և քանոն: Հնդկաստանի և արաբական երկրների մաթեմատիկոսների կողմից ուսումնասիրված ամբողջ թվից ցանկացած հզորության հաշվարկման կանոններ: Ավելին, դրանք լայնորեն զարգացան միջնադարյան Եվրոպայում:

Այսօր քառակուսի և խորանարդ արմատները հաշվարկելու հարմարության համար լայնորեն կիրառվում են հաշվիչներ։

Ոչ բացասական թվի n-րդ աստիճանի թվաբանական արմատը ոչ բացասական թիվ է, n-րդ իշխանությունորը հավասար է.

Արմատի աստիճանն է բնական թիվ 1-ից մեծ.

3.

4.

Հատուկ դեպքեր.

1. Եթե արմատային ինդեքսը կենտ ամբողջ թիվ է(), ապա արմատական ​​արտահայտությունը կարող է բացասական լինել:

Կենտ ցուցիչի դեպքում հավասարումըցանկացած իրական արժեքի և ամբողջ թվի համար ՄԻՇՏ ունի մեկ արմատ.

Կենտ աստիճանի արմատի համար նույնականությունը ճշմարիտ է.

,

2. Եթե արմատի ցուցիչը զույգ ամբողջ թիվ է (), ապա արմատական ​​արտահայտությունը չի կարող բացասական լինել։

Զույգ ցուցիչի դեպքում հավասարումըԱյն ունի

ժամը մեկ արմատ

և եթե և

Հավասար աստիճանի արմատի համար ինքնությունը ճշմարիտ է.

Զույգ աստիճանի արմատի համար գործում են հետևյալ հավասարությունները.:

Հզորության գործառույթ, դրա հատկությունները և գրաֆիկը։

Հզորության ֆունկցիան և դրա հատկությունները:

Հզորության ֆունկցիա բնական ցուցիչով: y \u003d x n ֆունկցիան, որտեղ n-ը բնական թիվ է, կոչվում է ուժային ֆունկցիա բնական ցուցիչով: n = 1-ի համար մենք ստանում ենք y = x ֆունկցիան, նրա հատկությունները.

ուղիղ համամասնություն. Ուղղակի համաչափությունը y \u003d kx n բանաձևով տրված ֆունկցիա է, որտեղ k թիվը կոչվում է համաչափության գործակից:

Մենք թվարկում ենք y = kx ֆունկցիայի հատկությունները:

Ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է։

y = kx - ոչ նույնիսկ գործառույթ(f (- x) \u003d k (- x) \u003d - kx \u003d -k (x)):

3) k > 0-ի դեպքում ֆունկցիան մեծանում է, իսկ k-ի համար< 0 убывает на всей числовой прямой.

Գրաֆիկը (ուղիղ) ներկայացված է Նկար II.1-ում:

Բրինձ. II.1.

n=2-ով ստանում ենք y = x 2 ֆունկցիան, նրա հատկությունները.

y -x 2 ֆունկցիա: Մենք թվարկում ենք y \u003d x 2 ֆունկցիայի հատկությունները:

y \u003d x 2 - զույգ ֆունկցիա (f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d x 2 \u003d f (x)):

Գործառույթը նվազում է միջակայքում:

Ին կոտորակում, եթե, ապա - x 1 > - x 2 > 0, և հետևաբար

(-x 1) 2 > (- x 2) 2, այսինքն, և սա նշանակում է, որ ֆունկցիան նվազում է:

y \u003d x 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է: Այս գրաֆիկը ներկայացված է Նկար II.2-ում:

Բրինձ. II.2.

n \u003d 3-ի համար մենք ստանում ենք y \u003d x 3 ֆունկցիան, դրա հատկությունները.

Ֆունկցիայի շրջանակը ամբողջ թվային տողն է:

y \u003d x 3 - տարօրինակ գործառույթ(f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d - x 3 \u003d - f (x)):

3) y \u003d x 3 ֆունկցիան մեծանում է ամբողջ թվային տողի վրա: y \u003d x 3 ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է նկարում: Այն կոչվում է խորանարդ պարաբոլա։

Գրաֆիկը (խորանարդ պարաբոլա) ներկայացված է Նկար II.3-ում:

Բրինձ. II.3.

Թող n լինի երկուսից մեծ կամայական զույգ բնական թիվ.

n = 4, 6, 8,... . Այս դեպքում y \u003d x n ֆունկցիան ունի նույն հատկությունները, ինչ y \u003d x 2 ֆունկցիան: Նման ֆունկցիայի գրաֆիկը նման է պարաբոլային y \u003d x 2, միայն գրաֆիկի ճյուղերը՝ |n| >1, որքան կտրուկ են նրանք բարձրանում, այնքան մեծ է n-ը, և որքան շատ են «սեղմում» x առանցքի վրա, այնքան մեծ է n-ը:

Թող n-ը լինի երեքից մեծ կամայական կենտ թիվ՝ n = 5, 7, 9, ... : Այս դեպքում y \u003d x n ֆունկցիան ունի նույն հատկությունները, ինչ y \u003d x 3 ֆունկցիան: Նման ֆունկցիայի գրաֆիկը նման է խորանարդ պարաբոլայի (միայն գրաֆիկի ճյուղերն են բարձրանում և իջնում ​​ավելի կտրուկ, այնքան ավելի մեծ n: Մենք նաև նշում ենք, որ (0; 1) ինտերվալի վրա y \u003d x n ուժային ֆունկցիայի գրաֆիկը այնքան դանդաղ է այն հեռանում x առանցքից x-ի աճով, քան n-ից ավելի:

Հզորության ֆունկցիա ամբողջ թվով բացասական ցուցիչով: Դիտարկենք y \u003d x - n ֆունկցիան, որտեղ n-ը բնական թիվ է: n = 1-ով մենք ստանում ենք y = x - n կամ y = Այս ֆունկցիայի հատկությունները.

Գրաֆիկը (հիպերբոլա) ներկայացված է Նկար II.4-ում:

Արմատային աստիճան nիրական թվից ա, որտեղ n- բնական թիվ, այսպիսի իրական թիվ է կոչվում x, nորի հզորությունը հավասար է ա.

աստիճանի արմատ nհամարից անշվում է խորհրդանիշով: Այս սահմանման համաձայն.

Գտնելով արմատը nրդ աստիճանի միջից ակոչվում է արմատահանում: Թիվ ակոչվում է արմատային թիվ (արտահայտություն), n- արմատի ցուցիչ: Տարօրինակի համար nկա արմատ n-րդ հզորությունը ցանկացած իրական թվի համար ա. Նույնիսկ nկա արմատ n-րդ աստիճանը միայն ոչ բացասական թվի համար ա. Արմատի երկիմաստությունը վերացնելու համար nրդ աստիճանի միջից ա, ներկայացվում է թվաբանական արմատ հասկացությունը nրդ աստիճանի միջից ա.

N աստիճանի թվաբանական արմատ հասկացությունը

Եթե ​​և n- բնական թիվ ավելի մեծ, քան 1 , ապա կա, և միայն մեկ՝ ոչ բացասական թիվ X, այնպիսին, որ հավասարությունը պահպանվի: Այս թիվը Xկոչվում է թվաբանական արմատ nՈչ բացասական թվի հզորությունը աև նշվում է. Թիվ ակոչվում է արմատային համար n- արմատի ցուցիչ:

Այսպիսով, ըստ սահմանման, նշումը , որտեղ , նշանակում է, առաջին հերթին, որ և, երկրորդ, որ , այսինքն. .

Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հասկացությունը

Աստիճան բնական ցուցիչով՝ թող աիրական թիվ է, և nմեկից մեծ բնական թիվ է n- թվի թվի հզորությունը ազանգահարել աշխատանքը nբազմապատկիչներ, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է ա, այսինքն. . Թիվ ա- աստիճանի հիմքը, n- ցուցիչ. Ցուցանիշ զրոյական ցուցիչով. ըստ սահմանման, եթե , ապա . Թվի զրո հզորություն 0 իմաստ չունի. Հզորությունը բացասական ամբողջ թվի ցուցիչով. ըստ սահմանման, եթե և nբնական թիվ է, ապա . Աստիճան կոտորակային ցուցիչով. ըստ սահմանման, եթե և n- բնական թիվ, մամբողջ թիվ է, ապա .

Գործողություններ արմատներով.

Ստորև բերված բոլոր բանաձևերում խորհրդանիշը նշանակում է թվաբանական արմատ (արմատական ​​արտահայտությունը դրական է):

1. Մի քանի գործոնների արտադրյալի արմատը հավասար է այս գործոնների արմատների արտադրյալին.

2. Հարաբերությունների արմատը հավասար է հարաբերակցությանըշահաբաժնի և բաժանարարի արմատները.

3. Արմատը հզորության բարձրացնելիս բավական է արմատային թիվը հասցնել այս հզորության.

4. Եթե արմատի աստիճանը մեծացնեք n անգամ և միաժամանակ արմատի թիվը հասցնեք n-րդ աստիճանի, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.

5. Եթե արմատի աստիճանը կրճատեք n անգամ և միևնույն ժամանակ արմատական ​​թվից հանեք n-րդ աստիճանի արմատը, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.

Աստիճանի հայեցակարգի ընդլայնում. Առայժմ աստիճաններ ենք դիտարկել միայն բնական ցուցանիշով. բայց ուժերով և արմատներով գործողությունները կարող են հանգեցնել նաև բացասական, զրոյական և կոտորակային ցուցանիշների: Այս բոլոր ցուցանիշները պահանջում են լրացուցիչ սահմանում:

Բացասական ցուցիչով աստիճան: Բացասական (ամբողջ) ցուցիչով թվի հզորությունը սահմանվում է որպես մեկը, որը բաժանվում է նույն թվի հզորության վրա, որի ցուցիչը հավասար է բացարձակ արժեքբացասական ցուցանիշ.

Այժմ a m բանաձևը. a n \u003d a m - n կարող է օգտագործվել ոչ միայն n-ից մեծ m-ի, այլ նաև n-ից փոքր m-ի համար:

ՕՐԻՆԱԿ a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3:

Եթե ​​ուզում ենք a m բանաձեւը. a n = a m - n վավերական լինի m = n ի համար, մենք պետք է սահմանենք զրոյական աստիճանը:

Աստիճան զրոյական ցուցիչով: Զրո ցուցիչով ցանկացած ոչ զրոյական թվի աստիճանը 1 է:

ՕՐԻՆՆԵՐ. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3 / 5) 0 = 1:

Աստիճան կոտորակային ցուցիչով: Իրական a թիվը m / n հզորությանը բարձրացնելու համար անհրաժեշտ է այս a թվի m-րդ հզորությունից հանել n-րդ աստիճանի արմատը.

Անիմաստ արտահայտությունների մասին. Նման մի քանի արտահայտություններ կան.

Դեպք 1

Այնտեղ, որտեղ a ≠ 0 գոյություն չունի:

Իսկապես, եթե ենթադրենք, որ x-ը որոշակի թիվ է, ապա բաժանման գործողության սահմանմանը համապատասխան ունենք՝ a = 0 · x, այսինքն. a = 0, որը հակասում է պայմանին՝ a ≠ 0

Դեպք 2

Ցանկացած թիվ։

Իսկապես, եթե ենթադրենք, որ այս արտահայտությունը հավասար է x ինչ-որ թվի, ապա բաժանման գործողության սահմանման համաձայն՝ մենք ունենք՝ 0 = 0 · x: Բայց այս հավասարությունը գործում է ցանկացած x թվի համար, որը պետք է ապացուցվեր:

Իսկապես,

Լուծում Դիտարկենք երեք հիմնական դեպք.

1) x = 0 - այս արժեքը չի բավարարում այս հավասարմանը

2) x > 0-ի համար մենք ստանում ենք՝ x / x = 1, այսինքն. 1 = 1, որտեղից հետևում է, որ x-ը ցանկացած թիվ է. բայց հաշվի առնելով, որ մեր դեպքում x > 0, պատասխանը x > 0 է;

3) x-ում< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

այս դեպքում լուծում չկա. Այսպիսով, x > 0:

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Հավաքված մեր կողմից անձնական տվյալներթույլ է տալիս մեզ կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ այդ մասին եզակի առաջարկներ, առաջխաղացումներ և այլ միջոցառումներ և առաջիկա իրադարձություններ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտը, տվյալների վերլուծությունը և տարբեր ուսումնասիրություններբարելավել մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները և ձեզ առաջարկություններ տրամադրել մեր ծառայությունների վերաբերյալ:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքով սահմանված կարգով, դատական ​​կարգը, մեջ դատավարություն, և/կամ հիմնված հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա պետական ​​մարմիններՌուսաստանի Դաշնության տարածքում - բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրարկման կամ հանրային շահերի այլ նպատակներով:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Այս հոդվածում մենք կներկայացնենք թվի արմատ հասկացությունը. Գործելու ենք հաջորդաբար՝ կսկսենք քառակուսի արմատից, դրանից կանցնենք խորանարդի արմատի նկարագրությանը, որից հետո կընդհանրացնենք արմատ հասկացությունը՝ սահմանելով n-րդ աստիճանի արմատը։ Միաժամանակ կներկայացնենք սահմանումներ, նշումներ, կտանք արմատների օրինակներ և կտանք անհրաժեշտ բացատրություններ ու մեկնաբանություններ։

Քառակուսի արմատ, թվաբանական քառակուսի արմատ

Թվի արմատի և մասնավորապես քառակուսի արմատի սահմանումը հասկանալու համար պետք է ունենալ . Այս պահին մենք հաճախ կհանդիպենք թվի երկրորդ հզորության՝ թվի քառակուսու:

Սկսենք նրանից քառակուսի արմատների սահմանումներ.

Սահմանում

ա–ի քառակուսի արմատըայն թիվն է, որի քառակուսին a է:

Բերելու համար քառակուսի արմատների օրինակներՎերցրեք մի քանի թվեր, օրինակ՝ 5, −0.3, 0.3, 0 և քառակուսիացրեք դրանք, ստանում ենք համապատասխանաբար 25, 0.09, 0.09 և 0 թվերը (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25, (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 և 0 2 =0 0=0): Այնուհետև, ըստ վերը նշված սահմանման, 5-ը 25-ի քառակուսի արմատն է, −0.3-ը և 0.3-ը 0.09-ի քառակուսի արմատներն են, իսկ 0-ը զրոյի քառակուսի արմատն է:

Հարկ է նշել, որ ոչ մի թվի համար գոյություն չունի a, որի քառակուսին հավասար է a-ի: Այսինքն՝ ցանկացած բացասական a թվի համար չկա իրական b թիվ, որի քառակուսին հավասար լինի a-ի: Իրոք, a=b 2 հավասարությունն անհնար է որևէ բացասական a-ի համար, քանի որ b 2-ը ոչ բացասական թիվ է ցանկացած b-ի համար: Այս կերպ, Իրական թվերի բազմության վրա բացասական թվի քառակուսի արմատ չկա. Այսինքն՝ իրական թվերի բազմության վրա բացասական թվի քառակուսի արմատը սահմանված չէ և իմաստ չունի։

Սա հանգեցնում է տրամաբանական հարցի. «Արդյո՞ք a-ի քառակուսի արմատ կա որևէ ոչ բացասական a-ի համար»: Պատասխանը այո է: Այս փաստի հիմնավորումը կարելի է համարել կառուցողական մեթոդ, որն օգտագործվում է քառակուսի արմատի արժեքը գտնելու համար:

Այնուհետև առաջանում է հետևյալ տրամաբանական հարցը՝ «Որքա՞ն է տրված ոչ բացասական a թվի բոլոր քառակուսի արմատների թիվը՝ մեկ, երկու, երեք, կամ նույնիսկ ավելի»։ Ահա դրա պատասխանը. եթե a-ն զրո է, ապա զրոյի միակ քառակուսի արմատը զրո է. եթե a-ն ինչ-որ դրական թիվ է, ապա a թվից քառակուսի արմատների թիվը հավասար է երկուսի, իսկ արմատները՝ . Սա հիմնավորենք.

Սկսենք a=0 դեպքից: Նախ ցույց տանք, որ զրոն իսկապես զրոյի քառակուսի արմատն է: Սա բխում է 0 2 =0·0=0 ակնհայտ հավասարությունից և քառակուսի արմատի սահմանումից։

Հիմա ապացուցենք, որ 0-ն զրոյի միակ քառակուսի արմատն է։ Եկեք օգտագործենք հակառակ մեթոդը. Ենթադրենք, որ կա որևէ ոչ զրոյական b թիվ, որը զրոյի քառակուսի արմատն է։ Այնուհետև պետք է բավարարվի b 2 =0 պայմանը, ինչը անհնար է, քանի որ ցանկացած ոչ զրոյական b-ի համար b 2 արտահայտության արժեքը դրական է։ Մենք եկել ենք հակասության. Սա ապացուցում է, որ 0-ն զրոյի միակ քառակուսի արմատն է:

Անցնենք դեպքերին, երբ a-ն դրական թիվ է։ Վերևում ասացինք, որ ցանկացած ոչ բացասական թվի համար միշտ կա քառակուսի արմատ, թող b լինի a-ի քառակուսի արմատը: Ասենք, որ կա c թիվ, որը նույնպես a-ի քառակուսի արմատն է: Այնուհետև քառակուսի արմատի սահմանմամբ վավեր են b 2 =a և c 2 =a հավասարությունները, որից հետևում է, որ b 2 −c 2 =a−a=0, բայց քանի որ b 2 −c 2 =( b−c) (b+c) , ապա (b−c) (b+c)=0 . Ստացված հավասարությունը ուժի մեջ Իրական թվերով գործողությունների հատկություններըհնարավոր է միայն, երբ b−c=0 կամ b+c=0 . Այսպիսով, b և c թվերը հավասար են կամ հակադիր։

Եթե ​​ենթադրենք, որ կա d թիվ, որը a թվի մեկ այլ քառակուսի արմատն է, ապա արդեն տրվածներին նման պատճառաբանությամբ ապացուցվում է, որ d-ն հավասար է b թվին կամ c թվին։ Այսպիսով, դրական թվի քառակուսի արմատների թիվը երկու է, իսկ քառակուսի արմատները հակադիր թվեր են։

Քառակուսի արմատներով աշխատելու հարմարության համար բացասական արմատը «առանձնացվում է» դրականից։ Այդ նպատակով այն ներկայացնում է թվաբանական քառակուսի արմատի սահմանում.

Սահմանում

Ոչ բացասական թվի թվաբանական քառակուսի արմատ աոչ բացասական թիվ է, որի քառակուսին հավասար է a-ի:

a թվի թվաբանական քառակուսի արմատի համար նշումն ընդունված է։ Նշանը կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատի նշան։ Այն նաև կոչվում է ռադիկալի նշան։ Հետեւաբար, դուք կարող եք մասամբ լսել եւ «արմատ», եւ «արմատական», ինչը նշանակում է նույն օբյեկտը:

Թվաբանական քառակուսի արմատի նշանի տակ գտնվող թիվը կոչվում է արմատային համարըև արտահայտությունը արմատային նշանի տակ - արմատական ​​արտահայտություն, մինչդեռ «արմատական ​​թիվ» տերմինը հաճախ փոխարինվում է «արմատական ​​արտահայտությամբ»։ Օրինակ՝ նշման մեջ 151 թիվը արմատական ​​թիվ է, իսկ նշումում՝ a արտահայտությունը արմատական ​​արտահայտություն է։

Ընթերցանության ժամանակ «թվաբանություն» բառը հաճախ բաց է թողնվում, օրինակ՝ մուտքն ընթերցվում է որպես «Յոթ կետի քսանինը հարյուրերորդականի քառակուսի արմատ»։ «Թվաբանություն» բառն օգտագործվում է միայն այն ժամանակ, երբ ուզում են դա ընդգծել մենք խոսում ենքթվի դրական քառակուսի արմատի մասին։

Ներածված նշումի լույսի ներքո թվաբանական քառակուսի արմատի սահմանումից հետևում է, որ ցանկացած ոչ բացասական թվի համար a .

Դրական a թվի քառակուսի արմատները գրվում են՝ օգտագործելով քառակուսի արմատի թվաբանական նշանը և . Օրինակ, 13-ի քառակուսի արմատներն են և . Զրոյի թվաբանական քառակուսի արմատը զրո է, այսինքն՝ . Բացասական ա թվերի համար մենք գրառումներին նշանակություն չենք տա, քանի դեռ չենք ուսումնասիրել բարդ թվեր. Օրինակ, արտահայտությունները եւ անիմաստ են։

Քառակուսի արմատի սահմանման հիման վրա ապացուցված են քառակուսի արմատների հատկությունները, որոնք հաճախ օգտագործվում են գործնականում։

Այս ենթաբաժինը եզրափակելու համար մենք նշում ենք, որ թվի քառակուսի արմատները x 2 =a ձևի լուծումներ են x փոփոխականի նկատմամբ:

խորանարդի արմատը

Խորանարդի արմատի սահմանումը a թիվը տրված է քառակուսի արմատի սահմանման նման ձևով: Միայն այն հիմնված է ոչ թե քառակուսի, այլ թվի խորանարդ հասկացության վրա:

Սահմանում

ա–ի խորանարդ արմատըկոչվում է այն թիվը, որի խորանարդը հավասար է a-ի:

Եկեք բերենք խորանարդի արմատների օրինակներ. Դա անելու համար վերցրեք մի քանի թվեր, օրինակ՝ 7 , 0 , −2/3 , և դրանք խորանարդեք՝ 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Այնուհետև, հիմնվելով խորանարդի արմատի սահմանման վրա, կարող ենք ասել, որ 7 թիվը 343-ի խորանարդ արմատն է, 0-ը զրոյի խորանարդային արմատն է, իսկ −2/3-ը −8/27-ի խորանարդային արմատն է։

Կարելի է ցույց տալ, որ a թվի խորանարդ արմատը, ի տարբերություն քառակուսի արմատի, միշտ գոյություն ունի և ոչ միայն ոչ բացասական a, այլ նաև ցանկացած իրական թվի համար։ Դա անելու համար կարող եք օգտագործել նույն մեթոդը, որը մենք նշեցինք քառակուսի արմատն ուսումնասիրելիս:

Ընդ որում, տրված a թվի միայն մեկ խորանարդ արմատ կա։ Փաստենք վերջին պնդումը. Դա անելու համար հաշվի առեք երեք դեպք առանձին՝ a-ն դրական թիվ է, a=0, իսկ a-ն՝ բացասական թիվ։

Հեշտ է ցույց տալ, որ դրական a-ի համար a-ի խորանարդ արմատը չի կարող լինել ոչ բացասական, ոչ էլ զրո: Իսկապես, թող b լինի a-ի խորանարդային արմատը, ապա ըստ սահմանման մենք կարող ենք գրել b 3 =a հավասարությունը: Պարզ է, որ այս հավասարությունը չի կարող ճշմարիտ լինել b-ի և b=0-ի համար, քանի որ այս դեպքերում b 3 =b·b·b կլինի համապատասխանաբար բացասական թիվ կամ զրո: Այսպիսով, a դրական թվի խորանարդային արմատը դրական թիվ է:

Հիմա ենթադրենք, որ b թվից բացի a թվից կա ևս մեկ խորանարդ արմատ, նշանակենք այն c։ Ապա c 3 =a. Հետևաբար, b 3 −c 3 =a−a=0, բայց b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(սա կրճատված բազմապատկման բանաձևն է խորանարդների տարբերությունը), որտեղից (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Ստացված հավասարությունը հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ b−c=0 կամ b 2 +b c+c 2 =0: Առաջին հավասարությունից ունենք b=c, իսկ երկրորդ հավասարությունը լուծումներ չունի, քանի որ նրա ձախ կողմը դրական թիվ է ցանկացած դրական b և c թվերի համար՝ որպես b 2, b c և c 2 երեք դրական անդամների գումար: Սա ապացուցում է a դրական թվի խորանարդային արմատի եզակիությունը։

a=0-ի համար a-ի միակ խորանարդ արմատը զրո է: Իսկապես, եթե ենթադրենք, որ կա b թիվը, որը զրոյի ոչ զրոյական խորանարդ արմատ է, ապա պետք է պահպանվի b 3 =0 հավասարությունը, որը հնարավոր է միայն b=0 .

Բացասական a-ի համար կարելի է վիճարկել դրական a-ի դեպքի նման: Նախ՝ ցույց ենք տալիս, որ բացասական թվի խորանարդային արմատը չի կարող հավասար լինել ոչ դրական թվի, ոչ էլ զրոյի: Երկրորդ, մենք ենթադրում ենք, որ կա բացասական թվի երկրորդ խորանարդային արմատ և ցույց ենք տալիս, որ այն անպայման կհամընկնի առաջինի հետ:

Այսպիսով, ցանկացած իրական a թվի խորանարդ արմատը միշտ կա և միայն մեկը:

Եկեք տանք թվաբանական խորանարդի արմատի սահմանում.

Սահմանում

Ոչ բացասական թվի թվաբանական խորանարդ արմատը aկոչվում է ոչ բացասական թիվը, որի խորանարդը հավասար է a-ի:

Ոչ բացասական a թվի թվաբանական խորանարդի արմատը նշանակվում է որպես , նշանը կոչվում է թվաբանական խորանարդ արմատի նշան, այս նշման մեջ 3 թիվը կոչվում է. արմատային ցուցիչ. Արմատային նշանի տակ թիվն է արմատային համարը, արմատային նշանի տակ արտահայտությունն է արմատական ​​արտահայտություն.

Չնայած թվաբանական խորանարդի արմատը սահմանվում է միայն ոչ բացասական a թվերի համար, սակայն հարմար է նաև օգտագործել այն գրառումները, որոնցում թվաբանական խորանարդի արմատի նշանը պարունակում է. բացասական թվեր. Մենք դրանք կհասկանանք հետևյալ կերպ՝ , որտեղ a-ն դրական թիվ է։ Օրինակ, .

Արմատների հատկությունների ընդհանուր հոդվածում կխոսենք խորանարդի արմատների հատկությունների մասին։

Խորանարդի արմատի արժեքը հաշվարկելը կոչվում է խորանարդի արմատ հանելը, այս գործողությունը քննարկվում է արմատներ հանող հոդվածում՝ մեթոդներ, օրինակներ, լուծումներ։

Այս ենթաբաժինը եզրափակելու համար ասում ենք, որ a-ի խորանարդ արմատը x 3 =a ձևի լուծում է:

N-րդ արմատ, n-ի թվաբանական արմատ

Մենք ընդհանրացնում ենք թվից արմատ հասկացությունը՝ ներկայացնում ենք n-րդ արմատի որոշումհամար n.

Սահմանում

ա-ի n-րդ արմատըթիվ է, որի n-րդ աստիճանը հավասար է a-ի։

Սկսած այս սահմանումըպարզ է, որ a թվից առաջին աստիճանի արմատը հենց a թիվն է, քանի որ աստիճանը բնական ցուցանիշով ուսումնասիրելիս մենք վերցրել ենք 1 \u003d a.

Վերևում դիտարկել ենք n-րդ աստիճանի արմատի հատուկ դեպքեր n=2-ի և n=3-ի համար՝ քառակուսի և խորանարդ արմատ: Այսինքն՝ քառակուսի արմատը երկրորդ աստիճանի արմատն է, իսկ խորանարդը՝ երրորդ աստիճանի։ n=4, 5, 6, ... n-րդ աստիճանի արմատներն ուսումնասիրելու համար հարմար է դրանք բաժանել երկու խմբի՝ առաջին խումբ՝ զույգ աստիճանների արմատներ (այսինքն՝ n=4, 6-ի համար։ , 8, ...), երկրորդ խումբը՝ արմատները կենտ աստիճաններ (այսինքն՝ n=5, 7, 9, ... ի համար)։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ նույնիսկ աստիճանների արմատները նման են քառակուսի արմատ, իսկ կենտ հզորությունների արմատները՝ խորանարդ։ Եկեք հերթով զբաղվենք դրանցով:

Մենք սկսում ենք արմատներից, որոնց ուժերն են զույգ թվեր 4, 6, 8, ... Ինչպես արդեն ասացինք, դրանք նման են a-ի քառակուսի արմատին։ Այսինքն՝ a թվից ցանկացած զույգ աստիճանի արմատ գոյություն ունի միայն ոչ բացասական a-ի համար։ Ընդ որում, եթե a=0, ապա a-ի արմատը եզակի է և հավասար է զրոյի, իսկ եթե a>0, ապա a թվից զույգ աստիճանի երկու արմատ կա, և դրանք հակադիր թվեր են։

Արդարացնենք վերջին պնդումը. Թող b լինի զույգ աստիճանի արմատ (նշանակում ենք 2·m, որտեղ m-ը բնական թիվ է) a-ից: Ենթադրենք, որ կա c թիվը - ևս 2 մ արմատ a-ի: Ապա b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Բայց մենք գիտենք b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) ձևը: (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), ապա (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Այս հավասարությունից հետևում է, որ b−c=0 , կամ b+c=0 , կամ b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Առաջին երկու հավասարությունները նշանակում են, որ b և c թվերը հավասար են, կամ b և c թվերը հակառակ են։ Իսկ վերջին հավասարությունը վավեր է միայն b=c=0-ի համար, քանի որ նրա ձախ կողմը պարունակում է արտահայտություն, որը ոչ բացասական է ցանկացած b և c-ի համար՝ որպես ոչ բացասական թվերի գումար։

Ինչ վերաբերում է կենտ n-ի n-րդ աստիճանի արմատներին, ապա դրանք նման են խորանարդի արմատին։ Այսինքն՝ a թվից ցանկացած կենտ աստիճանի արմատ գոյություն ունի a ցանկացած իրական թվի համար, իսկ տրված a թվի համար այն եզակի է։

a թվից 2·m+1 կենտ աստիճանի արմատի եզակիությունն ապացուցվում է a-ից խորանարդ արմատի եզակիության ապացույցի անալոգիայով։ Միայն այստեղ՝ հավասարության փոխարեն a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b ձևի հավասարություն 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Վերջին փակագծում տրված արտահայտությունը կարելի է վերաշարադրել այսպես b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Օրինակ m=2-ի համար ունենք b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Երբ a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են կամ երկուսն էլ բացասական, նրանց արտադրյալը դրական թիվ է, ապա b 2 +c 2 +b c արտահայտությունը, որն ինքնին փակագծերում է: բարձր աստիճանբնադրումը դրական է որպես դրական թվերի գումար: Այժմ, հաջորդաբար անցնելով նախորդ բնադրման աստիճանների փակագծերի արտահայտություններին, համոզվում ենք, որ դրանք նույնպես դրական են որպես դրական թվերի գումարներ։ Արդյունքում մենք ստանում ենք, որ հավասարությունը b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0հնարավոր է միայն, երբ b−c=0 , այսինքն՝ երբ b թիվը հավասար է c թվին:

Ժամանակն է զբաղվել n-րդ աստիճանի արմատների նշումով։ Դրա համար տրված է n-րդ աստիճանի թվաբանական արմատի որոշումը.

Սահմանում

Ոչ բացասական թվի n-րդ աստիճանի թվաբանական արմատըկոչվում է ոչ բացասական թիվ, որի n-րդ աստիճանը հավասար է a-ի։